Περιεχόμενα Πρόλογος...xliii Μέρος Ι: Λογιστικά φύλλα 1. Λογικές συναρτήσεις του Calc και οι εφαρμογές τους...3 1.1 Οι λογικές συναρτήσεις...3 1.2 ΦΠΑ λιανικής ή χονδρικής με τη συνάρτηση if...5 1.3 Συμπλήρωση στήλης μετά από υπολογισμό με τη συνάρτηση if...7 1.4 Επίλυση πρωτοβάθμιας εξίσωσης στο Calc...9 1.5 Επίλυση δευτεροβάθμιας εξίσωσης... 10 1.6 Συνδυασμός λογικών συναρτήσεων... 13 1.6.1 Άθροισμα στήλης μετά από έλεγχο if...13 1.6.2 Άθροισμα στήλης με λογική σύζευξη...14 1.6.3 Άθροισμα στήλης με λογική διάζευξη...15 1.6.4 Λογική σύζευξη με πολλαπλασιασμό ελέγχων if...16 1.6.5 Λογική διάζευξη με πρόσθεση ελέγχων if...18 2. Απλοί στατιστικοί υπολογισμοί και γραφική αναπαράσταση δεδομένων στο Calc...21 2.1 Περιγραφικά στατιστικά μιας ομάδας καλαθοσφαίρισης... 21 2.1.1 Επίδραση της κλίμακας του κατακόρυφου άξονα σε γράφημα στηλών...22 2.1.2 Διαφορά ύψους από το μέσο ύψος...27 2.1.3 Διαφορά ύψους από τον ψηλότερο παίκτη...31 2.2 Υπολογισμοί με ποσοστά... 32 2.2.1 Ποσοστό κατηγορίας και γράφημα πίτας...32 2.2.2 Ποσοστιαία μεταβολή της εξέλιξης στην τιμή της βενζίνης...37 vii
viii Περιεχόμενα 2.3 Κίνηση σε σταθμό διοδίων... 39 2.3.1 Γράφημα με δύο σειρές δεδομένων σε έναν ή δύο κατακόρυφους άξονες...41 2.3.2 Ποσοστό των Ι.Χ. και των φορτηγών επί του συνόλου οχημάτων ανά ημέρα...45 2.3.3 Ποσοστιαία μεταβολή του πλήθους των Ι.Χ. και των φορτηγών...48 2.3.4 Υπολογισμοί με βάση τα έσοδα από τη διέλευση οχημάτων σε σταθμό διοδίων...49 2.4 Ανάλυση τραπεζικών καταθέσεων σε Ελληνικές τράπεζες... 52 2.4.1 Μετατροπή σε ΕΥΡΩ...53 2.4.2 Καταμέτρηση μετά από έλεγχο...54 2.4.3 Καταμέτρηση μετά από συνδυασμό πολλών συνθηκών...56 2.4.4 Γράφημα διασποράς και συντελεστής συσχέτισης...59 3. Μαθηματικοί υπολογισμοί και γραφήματα συναρτήσεων στο Calc.61 3.1 Ακολουθίες... 61 3.1.1 Παραδείγματα με ακολουθίες...62 3.1.2 Αναδρομικές ακολουθίες...63 3.1.3 Ακολουθία Fibonacci...65 3.2 Σύγκλιση ακολουθιών... 67 3.2.1 Το όριο μιας ακολουθίας...67 3.2.2 Η ακρίβεια μιας υπολογιστικής μηχανής...69 3.2.3 Η βάση των φυσικών λογαρίθμων...70 3.2.4 Η χρυσή τομή...71 3.3 Απλό γράφημα μαθηματικής συνάρτησης... 72 3.3.1 Η γραφική παράσταση μιας πολυωνυμικής συνάρτησης...72 3.3.2 Η γραφική παράσταση μιας τριγωνομετρικής συνάρτησης...77 3.4 Γραφική παράσταση δύο συναρτήσεων στο ίδιο γράφημα... 81 3.5 Γραφική αναπαράσταση των καμπυλών για το μέσο κόστος μιας επιχείρησης... 86 3.6 Τομή της καμπύλης ζήτησης και της καμπύλης προσφοράς... 91 3.7 Γραφική παράσταση εκθετικής μεγέθυνσης... 96 3.8 Μαθηματικές συναρτήσεις για πίνακες και γραμμικά συστήματα στο Calc...101 3.8.1 Αναστροφή πίνακα στο OpenCalc...102 3.8.2 Ορίζουσα τετραγωνικού πίνακα στο Calc...105 3.8.3 Πολλαπλασιασμός μητρών...108 3.8.4 Εσωτερικό γινόμενο...112
Περιεχόμενα ix 3.9 Η μέθοδος αντιστροφής μήτρας για την επίλυση συστήματος γραμμικών εξισώσεων...116 3.10 Οικονομικές εφαρμογές γραμμικής άλγεβρας...123 3.10.1 Μεταβολή στο μερίδιο της αγοράς...123 3.10.2 Σύνδεση μεταξύ αεροδρομίων με ενδιάμεσους σταθμούς...127 4. Εφαρμογές αριθμητικής ανάλυσης με το Calc...133 4.1 Αριθμητικός υπολογισμός της παραγώγου...134 4.2 Ολοκλήρωση με τον κανόνα του τραπεζίου...136 4.3 Ολοκλήρωση με τη μέθοδο Monte Carlo...141 4.3.1 Υπολογισμός της σταθεράς π με τη μέθοδο Monte Carlo...141 4.4 Υπολογισμός ρίζας εξίσωσης με τη μέθοδο Newton...144 4.4.1 Σύγκλιση...145 4.4.2 Περιορισμοί της μεθόδου...145 4.4.3 Παράδειγμα της μεθόδου...146 4.4.4 Εφαρμογή στο Calc...147 5. Συναρτήσεις βάσεων δεδομένων σε λογιστικά φύλλα...149 5.1 Παραδείγματα χρήσης συναρτήσεων βάσεων δεδομένων για την ανάλυση επιχειρησιακών δεδομένων...155 5.1.1 Να βρεθεί ο μεγαλύτερος μισθός των γυναικών υπαλλήλων...155 5.1.2 Να βρεθεί το άθροισμα των μισθών για τους άντρες υπαλλήλους άνω των 45 ετών...157 5.1.3 Να βρεθεί ο μέσος μισθός των υπαλλήλων που είτε είναι γυναίκες είτε έχουν Ηλικία κάτω των 30...161 5.1.4 Να βρεθεί ο μέσος όρος της ηλικίας των υπαλλήλων: Γιάννης, Βασιλική, και Νίκος...163 5.1.5 Να βρεθεί ο μισθός της υπαλλήλου με όνομα Ζηνοβία...165 5.1.6 Να βρεθεί ο μεγαλύτερος μισθός των αντρών υπαλλήλων με ηλικία κάτω των 40 ετών...167 5.2 Ασκήσεις...169 6. Σύνθετη ανάλυση επιχειρησιακών δεδομένων...171 6.1 Το οριακό προϊόν της εργασίας...171 6.1.1 Γραφική παράσταση του προϊόντος ως προς την εργασία...171 6.1.2 Οι καμπύλες μέσου και οριακού προϊόντος...173 6.1.3 Υπολογισμός της εργασίας που μεγιστοποιεί το προϊόν...177 6.2 Ανάλυση υπερωριών υπαλλήλων μιας επιχείρησης...178 6.2.1 Αντιστοίχιση αποζημίωσης ανάλογα με την ημέρα υπερωρίας...180
x Περιεχόμενα 6.2.2 Βασικοί υπολογισμοί με τον πίνακα υπερωριών...181 6.2.3 Ανάλυση υπερωριών ανά υπάλληλο...185 6.3 Ανάλυση δεδομένων με χρήση συγκεντρωτικού πίνακα...191 Μέρος IΙ: Maxima 7. Εισαγωγή στο Maxima...197 7.1 Λίγα ιστορικά στοιχεία...197 7.2 Χρήση του Maxima ως αριθμομηχανής...197 7.3 Αριθμητικές μεταβλητές στο Maxima...201 7.4 Ενσωματωμένες μαθηματικές συναρτήσεις...204 8. Επίλυση εξισώσεων με το Maxima...207 8.1 Απλές πολυωνυμικές εξισώσεις...207 8.1.1 Επώνυμες παραστάσεις...209 8.1.2 Συναρτήσεις και επίλυση εξισώσεων...210 8.1.3 Υπολογισμός παράστασης ως προς μία μεταβλητή...210 8.1.4 Ασκήσεις...212 8.2 Άλλες μη γραμμικές εξισώσεις...212 8.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων...213 8.3.1 Ασκήσεις...216 8.4 Συστήματα μη γραμμικών εξισώσεων...216 8.4.1 Ασκήσεις...218 8.5 Επίλυση εξίσωσης με μιγαδικές ρίζες...218 8.5.1 Ασκήσεις...221 9. Γραφικές παραστάσεις με τo Maxima...223 9.1 Εισαγωγή...223 9.2 Παραδείγματα γραφικών παραστάσεων δύο διαστάσεων...223 9.2.1 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης x 2 1...223 9.2.2 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 1 x...224 9.2.3 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης...226 9.2.4 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης x 3 2x 2 + 1...227 9.2.5 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης cos(x)...230 9.2.6 Ασκήσεις...232 9.3 Παραδείγματα γραφικών παραστάσεων δύο διαστάσεων με περισσότερες συναρτήσεις...232
Περιεχόμενα xi 9.3.1 Η γραφική παράσταση των συναρτήσεων cos x, sin x...232 9.3.2 Η γραφική παράσταση των συναρτήσεων 2x 2 + 10 και 110x + 110...235 9.3.3 Προσθήκη οριζόντιων γραμμών...236 9.3.4 Γραμμικός συνδυασμός συναρτήσεων...238 9.3.5 Καμπύλες της ίδιας συνάρτησης για διαφορετικές τιμές παραμέτρων...239 9.4 Γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων δύο μεταβλητών και τρισδιάστατα γραφήματα...241 9.4.1 Το γράφημα της συνάρτησης x 2 + y 2...241 9.4.2 Δημιουργία γραφήματος της συνάρτησης χρησιμότητας...243 9.4.3 Ασκήσεις...246 9.5 Διαγράμματα ισοϋψών καμπυλών...247 9.5.1 Το διάγραμμα ισοϋψών καμπυλών μιας κωνικής επιφάνειας...247 9.5.2 Το διάγραμμα ισοϋψών καμπυλών της συνάρτησης χρησιμότητας...251 9.5.3 Ασκήσεις...254 10. Γραμμικός προγραμματισμός με το Maxima...255 10.1 Ένα απλό πρόβλημα μεγιστοποίησης εισοδήματος αγροτικής καλλιέργειας...256 10.1.1 Κατανομή γης ανάμεσα σε δύο πιθανές καλλιέργειες...256 10.1.2 Επαλήθευση της λύσης...259 10.1.3 Γραφική αναπαράσταση της λύσης...262 10.2 Μεγιστοποίηση κερδών πιτσαρίας: ένα πρόβλημα με τρεις περιορισμούς...266 10.3 Ελαχιστοποίηση κόστους κατασκευής προϊόντος...267 11. Παραγώγιση με το Maxima...271 11.1 Παραγώγιση συναρτήσεων μιας μεταβλητής...271 11.2 Παράγωγοι μεγαλύτερης τάξης...273 11.3 Μερικές και ολικές παράγωγοι συναρτήσεων πολλών μεταβλητών...274 11.4 Ορισμός συναρτήσεων παραγώγων...275 11.5 Γράφημα συνάρτησης και εφαπτόμενης σε σημείο...276 11.6 Βελτιστοποίηση με χρήση παραγώγων...278 11.6.1 Συνάρτηση μιας μεταβλητής με ένα ακρότατο...278 11.6.2 Συνάρτηση μιας μεταβλητής με περισσότερα από ένα ακρότατα...280 11.6.3 Βελτιστοποίηση συνάρτησης δύο μεταβλητών...282
xii Περιεχόμενα 12. Ολοκλήρωση με το Maxima...287 12.1 Απλά ολοκληρώματα...287 12.2 Ολοκληρώματα με άπειρα όρια ολοκλήρωσης...288 12.3 Ασκήσεις...289 13. Ισορροπία αγοράς με το Maxima...293 13.1 Ισορροπία αγοράς με γραμμικές συναρτήσεις ζήτησης και προσφοράς...293 13.1.1 Υπολογισμός της τιμής ισορροπίας από τις συναρτήσεις ζήτησης και προσφοράς...293 13.1.2 Αντίστροφη συνάρτηση ζήτησης και προσφοράς...296 13.1.3 Υπολογισμός της ποσότητας ισορροπίας με την αντίστροφη συνάρτηση ζήτησης και προσφοράς...298 13.2 Ισορροπία αγοράς με μη γραμμικές συναρτήσεις ζήτησης και προσφοράς...300 13.2.1 Ισορροπία αγοράς με καμπύλη ζήτησης τετραγωνικής μορφής...300 13.2.2 Ισορροπία αγοράς με καμπύλη προσφοράς και ζήτησης τετραγωνικής μορφής...303 13.3 Επίλυση της ισορροπίας αγοράς ως σύστημα εξισώσεων...305 13.4 Ασκήσεις...307 14. Το πλεόνασμα καταναλωτή και παραγωγού...309 14.1 Το πλεόνασμα του καταναλωτή...309 14.1.1 Το πλεόνασμα του καταναλωτή με γραμμική καμπύλη ζήτησης...309 14.1.2 Το πλεόνασμα του καταναλωτή με μη γραμμική καμπύλη ζήτησης...311 14.1.3 Αύξηση του πλεονάσματος του καταναλωτή όταν μειώνεται η τιμή...313 14.1.4 Μεταβολή της τιμής και επίπτωση στο πλεόνασμα του καταναλωτή με μη γραμμική συνάρτηση ζήτησης...316 14.2 Το πλεόνασμα του παραγωγού...319 14.2.1 Το πλεόνασμα του παραγωγού με γραμμική καμπύλη ζήτησης...319 14.2.2 Το πλεόνασμα του παραγωγού με μη γραμμική καμπύλη προσφοράς...321 14.2.3 Το πλεόνασμα του παραγωγού ως συνάρτηση της ποσότητας προϊόντος...322 14.3 Το πλεόνασμα καταναλωτή και παραγωγού στην ισορροπία της αγοράς...327 14.3.1 Η απλή περίπτωση με γραμμική ζήτηση και προσφορά...327
Περιεχόμενα xiii 14.3.2 Μεταβολή στο πλεόνασμα του καταναλωτή έπειτα από μετατόπιση της ισορροπίας λόγω μεταβολής της καμπύλης ζήτησης...332 14.3.3 Πλεόνασμα του παραγωγού με μεταβολή της καμπύλης παραγωγής χωρίς μετατόπιση του σημείου ισορροπίας...336 14.3.4 Πλεονάσματα καταναλωτή και παραγωγού με μη γραμμικές καμπύλες ζήτησης και προσφοράς...340 14.4 Επίδραση της φορολογίας στο πλεόνασμα παραγωγού και καταναλωτή και η απώλεια κοινωνικής ευημερίας (deadweight loss)..344 14.4.1 Η απώλεια κοινωνικής ευημερίας μετά την επιβολή φόρου...344 14.4.2 Το μέγεθος της απώλειας κοινωνικής ευημερίας σε σχέση με την ελαστικότητα της ζήτησης ή της προσφοράς...349 14.4.3 Κατανομή των φόρων και απώλεια κοινωνικής ευημερίας με ελαστική προσφορά...350 14.4.4 Κατανομή των φόρων και απώλεια κοινωνικής ευημερίας με ανελαστική προσφορά...358 14.4.5 Κατανομή των φόρων και απώλεια κοινωνικής ευημερίας με ελαστική ζήτηση...361 14.4.6 Κατανομή των φόρων και απώλεια κοινωνικής ευημερίας με ανελαστική ζήτηση...367 15. Ελαστικότητα...373 15.1 Γενικά για την ελαστικότητα...373 15.1.1 Ορισμός της ελαστικότητας ως κλάσμα μεταβολών...374 15.1.2 Ορισμός της ελαστικότητας με χρήση παραγώγου συνάρτησης...375 15.1.3 Ελαστικότητα σημείου...375 15.1.4 Ελαστικότητα συναρτήσεων της μορφής x α...378 15.2 Ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιμή...379 15.2.1 Ελαστικότητα σε γραμμική συνάρτηση ζήτησης...379 15.2.2 Η μέθοδος του μέσου σημείου ή τοξοειδής ελαστικότητα...381 15.2.3 Ελαστικότητα σε μη γραμμική συνάρτηση ζήτησης...382 15.2.4 Ελαστικότητα από αντίστροφη συνάρτηση ζήτησης...385 15.2.5 Έσοδα από πωλήσεις και φόρους και ελαστικότητα ζήτησης...388 15.2.6 Ελαστικότητα και καμπύλη εσόδων...390 15.3 Ελαστικότητα προσφοράς ως προς την τιμή...394 15.3.1 Υπολογισμός ελαστικότητας από μη γραμμική συνάρτηση προσφοράς...394 15.3.2 Υπολογισμός ελαστικότητας σημείου σε συνάρτηση προσφοράς...395 15.3.3 Ελαστικότητα από αντίστροφη συνάρτηση προσφοράς...398
xiv Περιεχόμενα 16. Το κόστος παραγωγής...403 16.1 Ορισμοί, συμβολισμοί, και γραφήματα συναρτήσεων κόστους...403 16.1.1 Ορισμοί των συναρτήσεων κόστους...403 16.1.2 Γράφημα των συναρτήσεων κόστους...404 16.1.3 Το ελάχιστο του μέσου ολικού κόστους...406 16.1.4 Η τομή της καμπύλης μέσου ολικού κόστους και οριακού κόστους...410 16.2 Εφαρμογές του οριακού κόστους...411 16.2.1 Η συνάρτηση προσφοράς του κλάδου...411 16.2.2 Υπολογισμός του μέσου ολικού κόστους από τη συνάρτηση οριακού κόστους...414 17. Ο τέλειος ανταγωνισμός...419 17.1 Μεγιστοποίηση κέρδους...419 17.1.1 Ανάλυση νεκρού σημείου, η καμπύλη κέρδους συναντά την καμπύλη κόστους...419 17.1.2 Υπολογισμός του προϊόντος που μεγιστοποιεί τα κέρδη της επιχείρησης...422 17.1.3 Το οριακό έσοδο και η σημασία του στη μεγιστοποίηση του κέρδους...426 17.2 Λειτουργία της επιχείρησης με ζημία...429 17.2.1 Το κέρδος από την τιμή πώλησης στον τέλειο ανταγωνισμό...429 17.2.2 Η τιμή αγοράς είναι κάτω από το μέσο ολικό κόστος...432 18. Η μονοπωλιακή αγορά...437 18.1 Το μονοπωλιακό κέρδος...437 18.2.1 Υπολογισμός κέρδους με βάση την καμπύλη οριακού εσόδου και μέσου κόστους...437 18.2.2 Το κέρδος του μονοπωλητή ως προς τη ποσότητα του προϊόντος...439 18.2.3 Μεγιστοποίηση κέρδους στο μονοπώλιο...443 18.3 Απώλεια κοινωνικής ευημερίας στη μονοπωλιακή αγορά...444 18.4 Διακριτή πολιτική τιμών στη μονοπωλιακή αγορά...448 19. Χρησιμότητα και οι επιλογές του καταναλωτή...453 19.1 Γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων χρησιμότητας...453 19.1.1 Η συνάρτηση χρησιμότητας...453 19.1.2 Η καμπύλη εισοδηματικού περιορισμού στο γράφημα καμπυλών αδιαφορίας...456
Περιεχόμενα xv 19.2 Τομή της καμπύλης αδιαφορίας με την καμπύλη εισοδηματικού περιορισμού...458 19.3 Μεγιστοποίηση χρησιμότητας με τη μέθοδο του πολλαπλασιαστή Lagrange...462 19.3.1 Ένα απλό παράδειγμα μεγιστοποίησης χρησιμότητας...462 19.3.2 Οικονομική ερμηνεία του πολλαπλασιαστή Lagrange...466 19.3.3 Παραμετρική λύση μεγιστοποίησης της συνάρτησης χρησιμότητας Cobb-Douglas...467 19.3.4 Μεγιστοποίηση συνάρτησης χρησιμότητας με τρεις μεταβλητές...471 19.4 Μεταβολή των επιλογών του καταναλωτή με αύξηση του εισοδήματος...474 Μέρος ΙΙΙ: Octave 20. Εισαγωγή στο Octave και στις εφαρμογές γραμμικής άλγεβρας...481 20.1 Εισαγωγή δεδομένων σε μορφή διανυσμάτων και πινάκων...481 20.2 Λογικοί έλεγχοι σε μήτρες και διανύσματα...484 20.3 Επίλυση πολυωνυμικών εξισώσεων...485 20.3.1 Λυμένα παραδείγματα...486 20.3.2 Ασκήσεις...490 20.4 Διανύσματα και διανυσματικοί χώροι...491 20.4.1 Άθροισμα διανυσμάτων...491 20.4.2 Γινόμενο βαθμωτής μεταβλητής με διάνυσμα...492 20.4.3 Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων...492 20.4.4 Το μέτρο ενός διανύσματος...493 20.5 Γωνία μεταξύ δύο διανυσμάτων...494 20.5.1 H ανισότητα Cauchy-Schwarz...495 20.6 Πράξεις με βαθμωτές μεταβλητές και πίνακες...495 20.6.1 Πρόσθεση βαθμωτού μεγέθους σε διάνυσμα ή μήτρα...495 20.6.2 Πολλαπλασιασμός βαθμωτού μεγέθους σε διάνυσμα ή μήτρα...496 20.7 Πράξεις ανάμεσα σε μήτρες και διανύσματα...496 20.7.1 Αναστροφή μήτρας...496 20.7.2 Πρόσθεση μητρών...498 20.7.3 Πολλαπλασιασμός μητρών...500 20.7.4 Πολλαπλασιασμός διανυσμάτων...503 20.8 Το γινόμενο Kronecker...504 20.9 Αντιστροφή μήτρας...506
xvi Περιεχόμενα 20.10 Βοηθητικές συναρτήσεις για διανύσματα και μήτρες...508 20.10.1 Μήτρες με μηδενικά ή μονάδες...508 20.10.2 Άλλες βοηθητικές συναρτήσεις κατασκευής μητρών και διανυσμάτων...510 20.10.3 Η ορίζουσα τετραγωνικής μήτρας...512 20.10.4 Ίχνος μιας μήτρας...517 20.10.5 Βαθμός μήτρας...522 20.11 Επώνυμες μήτρες...523 20.11.1 Η μήτρα του Hadamard...523 20.11.2 Η μήτρα Hilbert...524 20.11.3 Η μήτρα Vandermonde...525 20.12 Τετραγωνική ρίζας μήτρας...525 20.13 Λογάριθμος μήτρας...526 20.14 Εκθετικό μήτρας...528 20.15 Η γενικευμένη αντίστροφη μήτρα...531 20.16 Επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων...534 20.17 Ασκήσεις...536 20.18 Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα...537 20.18.1 Υπολογισμός ιδιοτιμών...538 20.18.2 Υπολογισμός ιδιοδιανυσμάτων...542 20.19 Πράξεις περιγραφικών στατιστικών με μήτρες και διανύσματα...544 20.19.1 Μέσος, άθροισμα, και πλήθος...545 20.19.2 Το άθροισμα τετραγώνων...546 20.19.3 Μέγιστη τιμή, ελάχιστη τιμή, και εύρος τιμών...548 20.19.4 Διάμεση τιμή, επικρατούσα τιμή, και γεωμετρικός και αρμονικός μέσος...548 20.19.5 Υπολογισμός διακύμανσης και τυπικής απόκλισης...549 20.19.6 Συνδιακύμανση και συντελεστής συσχέτισης...551 20.19.7 Αναλυτικός υπολογισμός συνδιακύμανσης...551 20.19.8 Η τυπική απόκλιση...555 20.19.9 Αναλυτικός υπολογισμός του συντελεστή συσχέτισης...555 21. Προγραμματισμός με το Octave...559 21.1 Εισαγωγή...559 21.2 Η εντολή επιλογής if...560 21.3 Η εντολή επανάληψης for...563
Περιεχόμενα xvii 21.4 Η εντολή επανάληψης while...565 21.4.1 Υπολογισμός πλήθους επαναλήψεων σε βρόχο while...566 21.4.2 Τερματισμός υπό συνθήκη σε βρόχο while...566 21.5 Η εντολή επανάληψης do...until...568 21.6 Παραδείγματα προγραμματισμού...570 21.6.1 Ο αλγόριθμος του Ευκλείδη για τον υπολογισμό του μέγιστου κοινού διαιρέτη...570 21.6.2 Βελτιστοποίηση πλέγματος...574 21.6.3 Χρονομέτρηση εκτέλεσης προγράμματος...577 22. Συναρτήσεις οριζόμενες από τον χρήστη...581 22.1 Εισαγωγή...581 22.2 Ορισμός απλών συναρτήσεων...581 22.2.1 Συναρτήσεις χωρίς όρισμα και επιστρεφόμενη τιμή...581 22.2.2 Συναρτήσεις με όρισμα αλλά χωρίς επιστρεφόμενη τιμή...582 22.2.3 Συναρτήσεις με όρισμα και επιστρεφόμενη τιμή...584 22.2.4 Συναρτήσεις που καλούν άλλες συναρτήσεις...585 22.3 Πιο περίπλοκες συναρτήσεις...586 22.3.1 Συναρτήσεις με περισσότερα ορίσματα...586 22.3.2 Συναρτήσεις με πολλές επιστρεφόμενες τιμές...587 22.3.3 Συναρτήσεις με πίνακες ως ορίσματα ή επιστρεφόμενες τιμές...587 22.4 Τοπικές και καθολικές μεταβλητές...591 22.4.1 Χρήση καθολικών μεταβλητών...592 22.4.2 Εκχώρηση τιμών σε καθολικές μεταβλητές...593 22.5 Αναδρομικές συναρτήσεις...594 22.5.1 Υπολογισμός του παραγοντικού...594 22.5.2 Ο αλγόριθμος του Ευκλείδη για τον υπολογισμό του μέγιστου κοινού διαιρέτη...595 22.6 Ασκήσεις...596 23. Οικονομικές και οικονομετρικές εφαρμογές με το Octave...599 23.1 Υπολογισμός ισορροπίας ελεύθερης αγοράς...599 23.2 Το μοντέλο εισροών-εκροών Leontief...600 23.2.1 Λύση του προβλήματος παραγωγής σε οικονομία τύπου Leontief...603 23.2.2 Γιατί εργαζόμαστε με μαθηματική/υπολογιστική προσέγγιση στα οικονομικά;...604
xviii Περιεχόμενα Μέρος ΙV: H γλώσσα R 24. Γραφήματα με τη γλώσσα R...609 24.1 Απλά γραφήματα...609 24.1.1 Ραβδόγραμμα με μια σειρά δεδομένων...609 24.1.2 Γραμμή και σημεία σειράς δεδομένων...611 24.1.3 Γράφημα γραμμής με δύο ή περισσότερες σειρές δεδομένων...615 24.1.4 Ραβδόγραμμα με δύο ή περισσότερες σειρές δεδομένων...619 24.2 Θηκογράμματα...620 24.3 Γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων με συνάρτηση curve...623 25. Εισαγωγή στους στατιστικούς υπολογισμούς με τη γλώσσα R...627 25.1 Εισαγωγή δεδομένων...627 25.1.1 Ασκήσεις...630 25.2 Συναρτήσεις για την κανονική κατανομή...630 25.2.1 Τυχαίοι αριθμοί...631 25.3 Γραφήματα σχετικά με την κανονική κατανομή...635 25.4 Άλλες κατανομές...638 25.4.1 Η κατανομή t...638 25.4.2 Η κατανομή χ 2...643 25.4.3 Η κατανομή F...646 25.5 Διάστημα εμπιστοσύνης του μέσου...649 25.5.1 Διάστημα εμπιστοσύνης με γνωστή τη διακύμανση του πληθυσμού...649 25.5.2 Διάστημα εμπιστοσύνης με άγνωστη τη διακύμανση του πληθυσμού...650 25.6 Υπολογισμοί με την τιμή p-value...650 25.7 Έλεγχοι υποθέσεων με την τιμή pval...651 25.7.1 Έλεγχος του μέσου του πληθυσμού με γνωστή διακύμανση...651 25.7.2 Έλεγχος του μέσου του πληθυσμού με άγνωστη διακύμανση...654 25.8 Έλεγχος για τη διαφορά των μέσων από δύο δείγματα με διαφορετικό πλήθος, μέσο, και διακύμανση...657 26. Γραμμικά μοντέλα...659 26.1 Η συνάρτηση παλινδρόμησης...659 26.2 Υπολογισμοί με βάση τα αποτελέσματα της lm()...665
Περιεχόμενα xix 27. Χρονολογικές και ποσοτικές μετρήσεις στην Οικονομία...671 27.1 Γραφήματα και υπολογισμοί με μακροοικονομικά δεδομένα...671 27.1.1 Το ΑΕγχΠ των ΗΠΑ κατά την περίοδο 1960-2011...671 27.1.2 Απασχόληση αντρών και γυναικών στην ελληνική οικονομία...676 27.2 Η συνάρτηση παραγωγής της εθνικής οικονομίας...678 27.3 Ημερήσια στοιχεία...681 27.3.1 Συναλλαγματικές ισοτιμίες...681 27.3.2 Χρηματιστηριακά δεδομένα...683 Βιβλιογραφία...685
Πρόλογος Οι υπολογιστικές μέθοδοι, που έχουν καθιερωθεί εδώ και καιρό στο βασικό πρόγραμμα των φυσικών και πολυτεχνικών σπουδών, κερδίζουν σιγά-σιγά τη θέση τους στις οικονομικές και επιχειρησιακές σπουδές. Τα οικονομικά είναι γενικά εκλεκτική επιστήμη. Απορροφούν δύσκολα και αργά τις εξελίξεις άλλων επιστημών, είτε αυτές είναι ποσοτικές, όπως τα Μαθηματικά, η Στατιστική ή η Υπολογιστική Επιστήμη, είτε είναι ανθρωπιστικές, όπως η Ψυχολογία, η Πολιτική Επιστήμη, κ.ά. Έτσι, σε παγκόσμιο επίπεδο, μόνο πρόσφατα άρχισαν να προσφέρονται μαθήματα υπολογιστικών οικονομικών σε προπτυχιακά προγράμματα Οικονομικής Επιστήμης. Τα περισσότερα πανεπιστήμια, ωστόσο, δεν έχουν εντάξει ακόμα στο πρόγραμμα σπουδών τους ένα τέτοιο μάθημα. Η κατάσταση αυτή αλλάζει σταδιακά. Υπάρχει μια σαφής τάση εμπλουτισμού της διδασκαλίας των Οικονομικών με μεθόδους περισσότερο ποσοτικές και υπολογιστικές. Η πορεία αυτή έχει αποδειχτεί σύνθετη και με ποικίλα αποτελέσματα. H διδασκαλία υπολογιστικών μεθόδων σε φοιτητές Οικονομικών Επιστημών προϋποθέτει ένα στέρεο υπόβαθρο μαθηματικής ανάλυσης, κάτι που δεν είναι πάντα δεδομένο. Με αυτό το βιβλίο αναδεικνύεται το συγκριτικό πλεονέκτημα που μπορούν να αποκτήσουν τα ελληνικά πανεπιστήμια εισάγοντας, επεκτείνοντας, και αξιοποιώντας τις υπολογιστικές μεθόδους. Πιο συγκεκριμένα, οι απόφοιτοι Λυκείου στην Ελλάδα έχουν διδαχθεί σύνθετες μαθηματικές έννοιες όπως αυτές του διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού. Οι έννοιες αυτές αναπτύσσονται ακόμα περισσότερο στο πρώτο έτος των πανεπιστημίων: σχεδόν όλα τα προγράμματα σπουδών των Οικονομικών σχολών περιέχουν μαθήματα όπως τα μαθηματικά και η στατιστική. Αυτό δεν ισχύει απόλυτα στο εξωτερικό, όπου οι φοιτητές έρχονται σε επαφή με ποσοτικές μεθόδους στα ανώτερα έτη των προπτυχιακών σπουδών ή κατά τις μεταπτυχιακές σπουδές τους. Οι φοιτητές στα ελληνικά πανεπιστήμια έχουν μια μοναδική ευκαιρία: επενδύοντας στις γνώσεις που απέκτησαν στο Λύκειο, και στις γνώσεις που εξακολουθούν να αποκτούν κατά τα πρώτα έτη των σπουδών τους, έχουν τη δυνατότητα να εφαρμόζουν υπολογιστές μεθόδους επίλυσης Οικονομικών προβλημάτων. Μια χαρακτηριστική ε- φαρμογή είναι τα προβλήματα αριστοποίησης, όπως η μεγιστοποίηση χρησιμότητας xliii
xliv Πρόλογος ενός καταναλωτή με εισοδηματικό περιορισμό, η μεγιστοποίηση της συνάρτησης κέρδους μιας επιχείρησης, ή προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού. Επίσης στο βιβλίο αυτό παρουσιάζονται με απλό τρόπο αριθμητικά προβλήματα, όπως είναι ο υπολογισμός ριζών μιας μη γραμμικής εξίσωσης, ή η ολοκλήρωση Monte Carlo, μεθοδολογίες που έχουν σημαντική εφαρμογή στην Οικονομική και Χρηματοοικονομική ανάλυση. Πιστεύω όμως πως το υπόβαθρο των φοιτητών έχει αλλάξει σε τέτοιο βαθμό ώστε πλέον μπορεί να γίνει μια σημαντική τομή στην εκπαίδευση των φοιτητών οικονομικών και επιχειρησιακών σπουδών. Καταρχάς, η εισαγωγή μαθημάτων πληροφορικής στα σχολεία έχει αυξήσει αρκετά το επίπεδο γνώσεων και δεξιοτήτων των φοιτητών. Το 2000, για παράδειγμα, έπρεπε να εξηγώ για δύο εβδομάδες στους πρωτοετείς φοιτητές τι είναι το Διαδίκτυο, τι είναι το ηλεκτρονικό ταχυδρομείο, και γιατί είναι χρήσιμο. Σήμερα σχεδόν ο καθένας που ξεκινά το πανεπιστήμιο έχει τουλάχιστον 2-3 λογαριασμούς ηλεκτρονικού ταχυδρομείου, ενώ το 15-20% των επισκέψεων που δέχεται η ιστοσελίδα η οποία διαθέτω για την υποστήριξη της διδασκαλίας προέρχεται από τηλεφωνικές συσκευές, υπολογιστές-ταμπλέτες κτλ. Ο κόσμος έχει αλλάξει. Επίσης, νέες μορφές εφαρμογών γραφείου αντικαθιστούν σιγά-σιγά τις παλιές εφαρμογές. Κάποτε, για να συνεργαστούν δύο άτομα για μια εργασία χρειάζονταν την ίδια έκδοση λογισμικού, όπως είναι το MS Word. Σήμερα υπάρχουν υπηρεσίες και εφαρμογές όπως το GoogleDocs, τα ιστολόγια (blogs), και δεκάδες άλλα εργαλεία στο Διαδίκτυο που κάνουν τη συνεργατική συγγραφή παιχνίδι, με πολύ λιγότερο κόστος και χρόνο. Αυτό λοιπόν που πρεσβεύω είναι πως είναι καιρός, εμείς οι διδάσκοντες, να στραφούμε σε εφαρμογές που σχετίζονται περισσότερο με την Οικονομική θεωρία και ανάλυση. Ας αφήσουμε τις εφαρμογές γραφείου, κάτι που προφανώς χρειάζονται όλοι, στο επίπεδο των σεμιναριακών διαλέξεων και της σεμιναριακής εκπαίδευσης και ας δείξουμε στους φοιτητές πιο ρεαλιστικές εφαρμογές των υπολογιστών στην Οικονομική ανάλυση. Από την άλλη πλευρά, υπάρχει πολύ συχνά η σύγχυση για το τι κάνει και τι μπορεί να κάνει ένας φοιτητής χρησιμοποιώντας υπολογιστή. Ο καθένας, για παράδειγμα, μπορεί είναι εξοικειωμένος με την ιδέα πως ο υπολογιστής αναπαράγει μουσική, όμως λίγοι μπορούν να εξηγήσουν εύκολα τη μεταβολή στο μερίδιο της αγοράς μεταξύ ανταγωνιστικών επιχειρήσεων λύνοντας ένα πρόβλημα γραμμικής άλγεβρας. Το χειρότερο από όλα είναι πως έχουν ξοδέψει πάρα πολύ χρόνο (πιθανόν και χρήμα) για την εκπαίδευσή τους, χωρίς ωστόσο να έχουν δει την υπολογιστική υλοποίηση. Αυτό συμβαίνει, πιστεύω, επειδή οι νέες και οι νέοι μας δεν έχουν το σωστό παράδειγμα. Ας τους δείξουμε λοιπόν τις δυνατότητες χρήσης υπολογιστή στις οικονομικές και επιχειρησιακές σπουδές και είμαι βέβαιος ότι το αποτέλεσμα θα μας εκπλήξει όλους.
Πρόλογος xlv Πιστεύω και ελπίζω πως μέσα στα επόμενα χρόνια θα γραφούν πολλά και καλά βιβλία, και μάλιστα προχωρημένου επιπέδου, στα Υπολογιστικά Οικονομικά. Ελπίζω επίσης πως οι φοιτητές μας θα αγκαλιάσουν ένα τέτοιο αντικείμενο και δεν θα αργήσουμε να δούμε το πρώτο πρόγραμμα μεταπτυχιακών σπουδών στα Υπολογιστικά Οικονομικά. Πίνακας Π.1: Λογισμικό που χρησιμοποιείται στο βιβλίο για τη λύση των προβλημάτων και ασκήσεων Πρόγραμμα ανοιχτού κώδικα Αντίστοιχο εμπορικό Ιστότοπος λήψης Calc MS Excel http://www.openoffice.org Maxima Mathematica http://maxima.sourceforge.net Octave MATLAB http://www.gnu.org/software/octave R S-Plus http://cran.r-project.org Εδώ και αρκετά χρόνια υποστηρίζω ενεργά το λογισμικό ανοιχτού κώδικα στη διδασκαλία και έρευνα. Τα τελευταία 4 χρόνια έχω δημοσιεύσει 18 επιστημονικές εργασίες παράλληλης/κατανεμημένης χρήσης ηλεκτρονικών υπολογιστών χρησιμοποιώντας μόνο λογισμικό ανοιχτού κώδικα. Ολόκληρο το βιβλίο γράφηκε χρησιμοποιώντας τέτοιο λογισμικό. Δύσκολα μπορώ να φανταστώ πως υπάρχει ερευνητικό αντικείμενο στον χώρο της επιστήμης των ηλεκτρονικών υπολογιστών το οποίο δεν μπορεί να διδαχθεί με λογισμικό ανοιχτού κώδικα. Από την άποψη αυτή δεν έχω κανένα λόγο να μην ενθαρρύνω τις νέες και τους νέους να κάνουν το ίδιο. Δεν είναι μόνο τα χρήματα που απαιτούνται για την αγορά πακέτων λογισμικού, στους δύσκολους για τη νεολαία καιρούς μας. Είναι κυρίως θέμα φιλοσοφίας του λογισμικού ανοιχτού κώδικα έναντι του λογισμικού κλειστού κώδικα. Δεν αντιλέγω πως προγράμματα και υπολογιστικά πακέτα όπως το Matlab ή το Mathematica σίγουρα «αξίζουν» τα λεφτά τους. Κατά τη γνώμη μου, πάντως, δεν χρειάζεται ένας νέος που ενδιαφέρεται απλώς για την εκπαίδευσή του να προβληματιστεί με την αγορά τέτοιου εμπορικού λογισμικού. Επίσης, ό- ταν παγκόσμιοι κολοσσοί όπως η Google, το Facebook, το Twitter, η Amazon, η Boeing και τόσοι άλλοι τα καταφέρνουν μια χαρά με λογισμικό ανοιχτού κώδικα, γιατί να μην τα καταφέρει και η φοιτήτρια ή ο φοιτητής ενός ελληνικού πανεπιστημίου; Και, ασφαλώς, είναι αυτονόητο ότι η επιτυχία τέτοιων επιχειρήσεων στηρίχτηκε και στην επιστημονική αξιοποίηση υπολογιστικών μεθόδων. Τα περισσότερα παραδείγματα του βιβλίου βασίζονται σε εισαγωγικές έννοιες της Οικονομικής Επιστήμης. Ωστόσο, με πολύ λίγες εξαιρέσεις, το μεγαλύτερο μέρος του βιβλίου μπορεί να διαβαστεί και να μελετηθεί από οποιονδήποτε φοιτητή με στοιχειώδεις γνώσεις μαθηματικών και στατιστικής.
xlvi Πρόλογος Ευχαριστίες Οι συνάδελφοί μου, Σπύρος Συμεωνίδης και Αθανάσιος Λαπατίνας σχολίασαν αρκετά μέρη του βιβλίου και πρότειναν διορθώσεις και προσθήκες σε αρκετές παραλήψεις. Η φοιτήτρια του τμήματος Οικονομικών Επιστημών, Ελένη Στράτη, διάβασε, σχολίασε, και έκανε παρατηρήσεις στο μεγαλύτερο μέρος του βιβλίου, κυρίως στις ασκήσεις Μικροοικονομικής με το Maxima, και σχεδόν όλο το μέρος του Octave. Δεκάδες άλλοι φοιτητές έκαναν παρατηρήσεις και σχόλια τα τελευταία 3 χρόνια στο αμφιθέατρο και στο εργαστήριο Η/Υ του τμήματος Οικονομικών Επιστημών στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων. Όλα τα εναπομείναντα λάθη και παραλήψεις είναι βέβαια δικά μου. Οι συνεργάτες μου από τις Εκδόσεις Κλειδάριθμος, Παναγιώτης Καναβός (επιμέλεια κειμένου), Βασίλης Βρεττός (σελιδοποίηση), Παναγιώτης Σταυρόπουλος (υπεύθυνος παραγωγής) και Γιάννης Αϊναλίδης έκαναν εξαιρετική δουλειά με το βιβλίο. Τους ευχαριστώ θερμά. Τέλος, θα ήθελα να ευχαριστήσω τη σύζυγό μου Έλενα και τον μικρό μου γιο Νέστωρ, οι οποίοι στερήθηκαν καθημερινά πολλές ώρες από την οικογενειακή μας ζωή, προκειμένου να ολοκληρωθεί η έκδοση αυτού του βιβλίου. Τους το αφιερώνω με πολύ αγάπη. Επικοινωνία με τον συγγραφέα Για παρατηρήσεις, σχόλια, διορθώσεις, απορίες και οτιδήποτε άλλο σχετικά με την ύλη του βιβλίου, μπορείτε να επικοινωνήσετε μαζί μου μέσω της ακόλουθης ιστοσελίδας http://stavrakoudis.econ.uoi.gr/books.php.
Μ Ε Ρ Ο Σ ΙΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 19 Χρησιμότητα και οι επιλογές του καταναλωτή 19.1 Γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων χρησιμότητας 19.1.1 Η συνάρτηση χρησιμότητας Στην Ενότητα 9.4.2 είδαμε παραδείγματα γραφικών παραστάσεων συναρτήσεων χρησιμότητας. Θα επεκτείνουμε εκείνη την περιγραφή εξετάζοντας πιο σύνθετες και απαιτητικές περιπτώσεις. Έστω η συνάρτηση χρησιμότητας (τύπου Cobb Douglas) ανάμεσα σε αγαθά: η οποία μπορεί να γραφεί και ως εξής: 1 1 2 2 Uxy (, ) = x y (19.1) Uxy (, ) = xy (19.2) Ζητείται η κατασκευή του γραφήματος της συνάρτησης χρησιμότητας για U = 2, 4, 6. δηλαδή, για 3 διαφορετικές τιμές της χρησιμότητας. Όπως έχουμε δει, αυτό μπορεί να γίνει εύκολα με τη συνάρτηση contour_plot: 1 2 U(x,y) := x^(1/2) * y^(1/2); contour_plot(u, [x,0,7], [y,0,7]); Ωστόσο, αυτό δεν μας δίνει πλήρη έλεγχο στο γράφημα αφού, για παράδειγμα, δεν μπορούμε να προσθέσουμε την καμπύλη του εισοδηματικού περιορισμού ή να κατα- 453
454 ΜΕΡΟΣ ΙΙ Maxima σκευάσουμε μη ισαπέχουσες καμπύλες. Για τον λόγο αυτό, με βάση τη συνάρτηση χρησιμότητας, θα κατασκευάσουμε μια νέα συνάρτηση του τύπου y = f (x) χρησιμοποιώντας το U ως παράμετρο: y= f( x, U) Έτσι, μπορούμε, να χρησιμοποιήσουμε τη συνάρτηση plot2d και με τρεις κλήσεις της συνάρτησης f (x, U) να πετύχουμε καλύτερο αποτέλεσμα. Αλλά ποιος θα είναι ο τύπος αυτής της συνάρτησης; Θα πρέπει να λύσουμε τη συνάρτηση χρησιμότητας ως y 1 1 2 2 U = x y 2 U = x y 2 U y = x Έτσι μπορούμε να γράψουμε: 2 U y= f( x, U) = (19.3) x Με τον τρόπο αυτό, μπορούμε να δώσουμε ως δεδομένα την ποσότητα x και τη χρησιμότητα U για να υπολογίσουμε την ποσότητα y που θα μας δώσει αυτή τη δεδομένη χρησιμότητα. Στο Maxima, μπορούμε να ορίσουμε τη συνάρτηση y= f( x), με βάση τη συνάρτηση U = f( x, y) ως εξής: 1. Ορίζουμε τη συνάρτηση χρησιμότητας: 1 U(x,y) := x^(1/2) * y^(1/2); 2. Υποθέτουμε θετικές τιμές για όλες τις μεταβλητές: 1 assume(x>0); 2 assume(y>0); 3 assume(u>0); 3. Εξισώνουμε τη συνάρτηση χρησιμότητας με U και λύνουμε την εξίσωση ως προς y: 1 sol : solve(u(x,y)=u, y); 4. Ορίζουμε τη συνάρτηση f ( xu, ) με βάση το δεξιό μέλος της παράστασης λύσης: 1 f(x, U) := ''(rhs(sol[1])); Τα αποτελέσματα των υπολογισμών φαίνονται στο Σχήμα 19.1. Με δεδομένη τη συνάρτηση f (x, U), τώρα είναι πολύ εύκολο να υπολογίσουμε τη ποσότητα f (8, 4) η οποία μας δίνει την ποσότητα y όταν x = 8 και U = 4.,όπως επίσης και την ποσότητα f (1, 2) που μας δίνει την ποσότητα y όταν x = 1 και U = 2. Αυτοί οι υπολογισμοί φαίνονται στο Σχήμα 19.2.
Κεφάλαιο 19 Χρησιμότητα και οι επιλογές του καταναλωτή 455 Σχήμα 19.1 Αντιστροφή της συνάρτησης χρησιμότητας στο περιβάλλον του Maxima. Σχήμα 19.2 Χρήση της συνάρτησης χρησιμότητας στο περιβάλλον του Maxima. Τώρα μπορούμε να δημιουργήσουμε το γράφημα των καμπυλών χρησιμότητας για τις τιμές U = 2, 4, 6 ως εξής: 1 2 3 4 5 plot2d([f(x,2), f(x,4), f(x,6)], [x, 0.01, 10], [y, 0, 10], [legend, "U=2 ", "U=4 ", "U=6 "], [style, [lines, 4,1], [lines, 8,2], [lines, 12,3]], [gnuplot_preamble, "set grid"]); Το αποτέλεσμα θα είναι η γραφική παράσταση του Σχήματος 19.3. Μπορούμε επίσης να διαπιστώσουμε την ορθότητα των προηγούμενων υπολογισμών πάνω στο γράφημα. Πειραματιστείτε με το γράφημα, αλλάζοντας τα όρια στους άξονες, τροποποιώντας τις τιμές U, προσθέτοντας και αφαιρώντας καμπύλες, ώστε να εξοικειωθείτε με τις καμπύλες χρησιμότητας που προκύπτουν από τις συναρτήσεις Cobb-Douglas.
456 ΜΕΡΟΣ ΙΙ Maxima Σχήμα 19.3 Γραφική παράσταση των καμπυλών χρησιμότητας. 19.1.2 Η καμπύλη εισοδηματικού περιορισμού στο γράφημα καμπυλών αδιαφορίας Έστω ότι θέλουμε να προσθέσουμε την καμπύλη εισοδηματικού περιορισμού: I = x + y = 8 (19.4) στο Γράφημα 19.3 θέτοντας, για λόγους απλότητας, p x = 1 και p y = 1. Σε ένα τέτοιο γράφημα, θα πρέπει να γράψουμε όλες τις συναρτήσεις ως προς x (η μεταβλητή του οριζόντιου άξονα), οπότε στο Maxima θα ορίσουμε τον εισοδηματικό περιορισμό ως: 1 I(x) := 8 - x; Η προσθήκη του εισοδηματικού περιορισμού φαίνεται στο Σχήμα 19.4. Οι εντολές στο Maxima για τη δημιουργία του γραφήματος, μαζί με τα επισημασμένα σημεία, είναι: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 I(x) := 8 - x; pp : [[4,4], [0.54,7.46], [7.46, 0.54], [2,6], [6,2]]; plot2d([f(x,2), f(x,4), f(x,6), I(x), [discrete, pp]], [x, 0.01, 10], [y, 0, 10], [legend, ""], [style, [lines, 4,1], [lines, 8,2], [lines, 12,3], [lines, 2, -1], [points, 3,-1,1] ], [gnuplot_preamble,
Κεφάλαιο 19 Χρησιμότητα και οι επιλογές του καταναλωτή 457 11 12 13 14 15 16 17 18 "set label 'U=2' at 0.6, 9; set label 'U=4' at 2.0, 9; set label 'U=6' at 4.3, 9; set label 'A' at 0.75, 7.5; set label 'B' at 2.1, 6.2; set label 'C' at 4.1,4.2; set label 'D' at 6.2, 2.1; set label 'E' at 7.6, 0.8;"]); Να σημειωθεί βέβαια πως οι εντολές του παραπάνω πλαισίου έπονται αυτών του Σχήματος 19.1, οι οποίες είναι απαραίτητες για τον ορισμό της αντίστροφης συνάρτησης χρησιμότητας. Τα στοιχεία της λίστας pp τοποθετούνται ως διακριτά (discrete) σημεία. Παρατηρούμε πως η καμπύλη εισοδηματικού περιορισμού I = 8 εφάπτεται στην καμπύλη αδιαφορίας U = 4 στο σημείο C. Αυτό είναι το άριστο σημείο που πρέπει να επιλέξει (x = 4, y = 4) ο καταναλωτής ώστε να μεγιστοποιήσει τη χρησιμότητά του, με δεδομένη τη δαπάνη 8 χρηματικών μονάδων. Ένα καλό βιβλίο εισαγωγής στην Οικονομική θα σας εξηγήσει πως τα σημεία A, E είναι επίσης συμβατά με τον εισοδηματικό περιορισμό I = 8, αλλά προσδίδουν μικρότερη χρησιμότητα στον καταναλωτή: πέφτουν επάνω στην καμπύλη αδιαφορίας U = 2 και, σύμφωνα με την οικονομική θεωρία, ο καταναλωτής επιλέγει τη μέγιστη δυνατή χρησιμότητα που μπορεί να αποκομίσει. Σχήμα 19.4 Γράφημα των καμπυλών χρησιμότητας μαζί με την καμπύλη εισοδηματικού περιορισμού I = x + y = 8.
458 ΜΕΡΟΣ ΙΙ Maxima Σχήμα 19.5 Γράφημα 50 καμπυλών αδιαφορίας. Στο σημείο αυτό θα προχωρήσουμε λίγο παραπέρα. Θα δείξουμε πως, εκτός από τα σημεία A, E, συμβατά με τον εισοδηματικό περιορισμό είναι και τα σημεία B, C. Το γεγονός ότι τα σημεία αυτά δεν προσπίπτουν σε κάποια (ορατή) καμπύλη αδιαφορίας δεν σημαίνει τίποτα. Δείτε για παράδειγμα το Σχήμα 19.5, όπου απεικονίζονται 50 καμπύλες αδιαφορίας. Η χρησιμότητα είναι μια συνεχής συνάρτηση. Το γεγονός ότι τα διαγράμματα καμπυλών αδιαφορίας εμφανίζουν μερικές μόνο καμπύλες, δεν σημαίνει πως οι ενδιάμεσες καμπύλες δεν υπάρχουν. Στην πραγματικότητα, από κάθε σημείο του τμήματος AE περνάει μια καμπύλη αδιαφορίας. Βέβαια, η καμπύλη U = 4 είναι αυτή με τη μεγαλύτερη χρησιμότητα. 19.2 Τομή της καμπύλης αδιαφορίας με την καμπύλη εισοδηματικού περιορισμού Όταν η χρησιμότητα είναι μικρότερη από τη μέγιστη δυνατή με βάση τον εισοδηματικό περιορισμό, τότε οι καμπύλες αδιαφορίας και εισοδηματικού περιορισμού τέμνονται σε δύο σημεία. Για παράδειγμα, έστω η καμπύλη αδιαφορίας: Uxy (, ) x y 1/3 2/3 = (19.5) όπου x, y είναι οι ποσότητες δύο αγαθών με τιμές p x = 1 και p y = 4, αντίστοιχα. Όταν ο καταναλωτής προμηθεύεται ποσότητες από τα δύο αγαθά, καταναλώνει C χρηματικές μονάδες:
Κεφάλαιο 19 Χρησιμότητα και οι επιλογές του καταναλωτή 459 Cxy (, ) = p x+ p y= x+ 4y (19.6) x Αν ο καταναλωτής αντιμετωπίζει τον εισοδηματικό περιορισμό Cxy (, ) < I, τότε για δεδομένο επίπεδο χρησιμότητας U υπάρχουν 3 ενδεχόμενα (δείτε πάλι το Σχήμα 19.4): 1. Οι καμπύλες I, U δεν τέμνονται, οπότε η χρησιμότητα U δεν είναι εφικτή με το εισόδημα I, όπως η χρησιμότητα U = 6 στο Σχήμα 19.4. 2. Οι καμπύλες I, U τέμνονται (εφάπτονται) σε ένα μόνο σημείο, όπως η χρησιμότητα U = 4 στο Σχήμα 19.4, οπότε ο καταναλωτής έχει τη μέγιστη δυνατή χρησιμότητα με το εισόδημα I. 3. Οι καμπύλες I, U τέμνονται σε δύο σημεία, όπως η χρησιμότητα U = 2 στο Σχήμα 19.4, οπότε ο καταναλωτής είναι αδιάφορος ανάμεσα σε δύο επιλογές. Θα εξετάσουμε αυτή την τελευταία περίπτωση και θα υπολογίσουμε το ζεύγος των ε- πιλογών του καταναλωτή, όταν η κατανάλωσή του βρίσκεται κάτω από το βέλτιστο επίπεδο. Με βάση τη συνάρτηση χρησιμότητας (19.5) και της κατανάλωσης (19.6), θα υπολογίσουμε το ζεύγος επιλογών του καταναλωτή όταν U = 2 και Ι = 12, και θα παραστήσουμε γραφικά τη λύση, όπως φαίνεται στο Σχήμα 19.6. Για να το πετύχουμε αυτό, χρειάζεται να λύσουμε το επόμενο σύστημα εξισώσεων: y 1/3 2/3 x y = 2 (19.7α) x+ 4y= 12 (19.7β) Σχήμα 19.6 Τομή της καμπύλης αδιαφορίας με την καμπύλη εισοδηματικού περιορισμού.
460 ΜΕΡΟΣ ΙΙ Maxima Η επίλυση τέτοιων μη γραμμικών συστημάτων εξισώσεων δεν είναι απλή υπόθεση και περιλαμβάνει πολλά στάδια. Γενικά, δεν υπάρχει μια καθολική αναλυτική μέθοδος επίλυσης τέτοιων συστημάτων και τα βήματα επίλυσης εξαρτώνται από την κάθε περίπτωση. Συστήματα λογισμικού όπως το Matlab ή το Octave προσφέρουν μεγαλύτερη ευελιξία αλλά υπολογίζουν τις ρίζες με αριθμητικό προσεγγιστικό τρόπο. Πιο αποδοτική, ως προς την ταχύτητα και αποτελεσματικότητα, φαίνεται να είναι η μεθοδολογία που χρησιμοποιεί τεχνικές βελτιστοποίησης στη γλώσσα προγραμματισμού C++ [47]. Θα πρέπει να μετατρέψουμε τις συναρτήσεις χρησιμότητας και εισοδηματικού περιορισμού ως συναρτήσεις της μεταβλητής x, δηλαδή της μορφής y= f( x). Με τον τρόπο αυτό μπορούμε και να επιλύσουμε τις εξισώσεις και να δημιουργήσουμε τη γραφική παράσταση σε κοινούς άξονες. Ας δούμε τη λύση βήμα προς βήμα. 1. Πρώτα θα μετατρέψουμε τη συνάρτηση Uxy (, ) στη συνάρτηση y= f( x, U), δηλαδή θα λύσουμε ως προς y. Ορίζουμε τη συνάρτηση χρησιμότητας: 1 U(x,y) := x^(1/3) * y^(2/3); 2. Υποθέτουμε θετικές τιμές: 1 assume(x>0); 2 assume(y>0); 3 assume(u>0); 3. Λύνουμε ως προς y: 1 sol : solve(u(x,y)=u, y); 4. Ορίζουμε τη νέα συνάρτηση 1 f(x, U) := ''(rhs(sol[1])); Τα αποτελέσματα των υπολογισμών φαίνονται στο Σχήμα 19.7. Από μια συνάρτηση Uxy, (, ) η οποία μας δίνει τη χρησιμότητα για ποσότητες x, y, τώρα έχουμε τη συνάρτηση f ( xu, ): 3 2 U f( x, U) = x η οποία μας δίνει την ποσότητα του αγαθού y, αν δώσουμε την ποσότητα του αγαθού x και τη χρησιμότητα U. Τώρα θα υπολογίσουμε μια νέα συνάρτηση y= I( x) η οποία, με βάση τον εισοδηματικό περιορισμό, θα μας δώσει την ποσότητα του αγαθού y, αν γνωρίζουμε την ποσότητα του αγαθού x. 1. Ορίζουμε την τιμή του αγαθού x: 1 px : 1;
Κεφάλαιο 19 Χρησιμότητα και οι επιλογές του καταναλωτή 461 Σχήμα 19.7 Υπολογισμός της αντίστροφης συνάρτησης χρησιμότητας y = f (x, U) στο περιβάλλον του Maxima. 2. Ορίζουμε την τιμή του αγαθού y: 1 py : 4; 3. Ορίζουμε το μέγιστο διαθέσιμο εισόδημα: 1 I : 12; 4. Ορίζουμε τη συνάρτηση κατανάλωσης: 1 C(x,y) := px*x + py*y; C(x, y) = px x+ py y 5. Εξισώνουμε την κατανάλωση με I και λύνουμε ως προς y: 1 sol : solve(c(x,y)=i, y); 6. Τέλος, ορίζουμε τη νέα συνάρτηση: 1 I(x) := ''(rhs(sol[1])); Τα αποτελέσματα φαίνονται στο Σχήμα 19.8. Η συνάρτηση x 12 Ix ( ) = 4 μας δίνει την ποσότητα του αγαθού y που θα προμηθευτεί ο καταναλωτής, όταν προμηθευτεί ποσότητα αγαθού x.
462 ΜΕΡΟΣ ΙΙ Maxima Σχήμα 19.8 Υπολογισμός της αντίστροφης συνάρτησης κατανάλωσης y = I (x) στο περιβάλλον του Maxima. Το σχήμα αποτελεί συνέχεια των υπολογισμών του Σχήματος 19.7. Τώρα που έχουμε και τις δύο συναρτήσεις ως προς x, μπορούμε να γράψουμε: 1 plot2d([i(x), f(x,2)], [x, 0.01, 14], [y, 0, 4]); και να πάρουμε μια πρώτη μορφή του Σχήματος 19.6 19.3 Μεγιστοποίηση χρησιμότητας με τη μέθοδο του πολλαπλασιαστή Lagrange 19.3.1 Ένα απλό παράδειγμα μεγιστοποίησης χρησιμότητας Η μέθοδος Lagrange είναι μια μέθοδος βελτιστοποίησης συναρτήσεων κάτω από περιορισμό. Ο περιορισμός αυτός δεσμεύει τις μεταβλητές της συνάρτησης να δέχονται οποιαδήποτε τιμή. Ας θεωρήσουμε ένα παράδειγμα συνάρτησης χρησιμότητας τύπου Cobb-Douglas: Uxy (, ) 5x y 3/5 2/5 = (19.8) όπου x, y είναι οι ποσότητες από δύο αγαθά που επιλέγει ο καταναλωτής. Προφανώς, η χρησιμότητα αυξάνει όσο αυξάνει η κατανάλωση, αλλά αυτό έχει κάποιο κόστος. Ο καταναλωτής αγοράζει τα δύο προϊόντα πληρώνοντας κάποιο τίμημα:
Κεφάλαιο 19 Χρησιμότητα και οι επιλογές του καταναλωτή 463 P = 5 (19.9α) x P = 2 (19.9β) y Αν ο καταναλωτής δαπανήσει I = 25 χρηματικές μονάδες αγοράζοντας x, y ποσότητες προϊόντων, τότε ισχύει: Μπορούμε επίσης να γράψουμε: I= p x+ p y (19.10) x y Cxy (, ) = I px x + py y (19.11) όπου C είναι μια συνάρτηση η οποία συνδέει το εισόδημα προς κατανάλωση με τις ποσότητες των προϊόντων x, y που ο καταναλωτής προμηθεύεται δαπανώντας I χρηματικές μονάδες. Το πρόβλημα λοιπόν είναι να μεγιστοποιήσουμε τη Συνάρτηση 19.8 λαμβάνοντας υ- πόψη μας τη Συνάρτηση 19.11. Για το πετύχουμε αυτό εισάγουμε μια σταθερά, τον πολλαπλασιαστή Lagrange λ, και γράφουμε μια νέα συνάρτηση, τη συνάρτηση L: L = Uxy (, ) + λ( Cxy (, ) = 0) (19.12) Έτσι λοιπόν, καταλήγουμε στη μεγιστοποίηση της συνάρτησης: 3/5 2/5 max = max x y + λ( I px x+ py y) x, y x, y L (19.13) η οποία είναι η συνάρτηση χρησιμότητας U με την προσθήκη του περιορισμού C = 0 πολλαπλασιασμένο με λ. Υπενθυμίζεται πως ο συμβολισμός: max L x, y σημαίνει μεγιστοποίηση της συνάρτησης L τόσο ως προς x, όσο και ως προς y. Μέχρι στιγμής, οι ορισμοί που απαιτούνται μπορούν να γραφούν στο Maxima ως εξής: 1 2 3 4 5 U(x,y) := 5 * x^(3/5) * y^(2/5); Px : 5; Py : 2; I : 25; L(x,y,lambda) := U(x,y) + lambda*(i - Px*x - Py*y); Προσέξτε ότι ορίζουμε τη συνάρτηση Lagrange ως συνάρτηση τριών μεταβλητών, των x, y οι οποίες περιέχονται στον αρχικό ορισμό της συνάρτησης χρησιμότητας U και της μεταβλητής λ, που είναι ο πολλαπλασιαστής Lagrange. Έτσι όπως έχει γραφεί ο ορισμός της συνάρτησης Lagrange, το Maxima δεν θα εκτελέσει τις πράξεις αντικατάστα-
464 ΜΕΡΟΣ ΙΙ Maxima σης των συναρτήσεων και μεταβλητών. Κάτι τέτοιο δεν χρειάζεται βέβαια, αλλά δεν θα είναι λάθος αν γράψουμε τον ορισμό ως εξής: 1 L(x,y,lambda) := ''(U(x,y) + lambda*(i - Px*x - Py*y)); Σε αυτή την περίπτωση, το πρόγραμμα θα μας έδινε την απάντηση: 3 2 5 5 L ( x, y, λ) = ( 2y 5x+ 25) λ+ 5x y Και οι δύο τρόποι ορισμού της συνάρτησης είναι συμβατοί με τους σκοπούς της επίλυσης του προβλήματος. Στη συνέχεια, η μέθοδος επίλυσης του προβλήματος της μεγιστοποίησης προβλέπει την ικανοποίηση των συνθηκών πρώτης τάξης, δηλαδή την επίλυση των εξισώσεων μηδενισμού των παραγώγων: 2 2 dl 5 5 = 3x y 5λ = 0 dx 3 3 dl 5 5 = 2x y 5λ = 0 dy (19.14α) (19.14β) dl = 5x 2y+ 25= 0 (19.14γ) dλ Μπορούμε να ορίσουμε τις εξισώσεις των πρώτων παραγώγων του Maxima ως εξής: 1 2 3 eq1 : diff(l(x,y,lambda), x) = 0; eq2 : diff(l(x,y,lambda), y) = 0; eq3 : diff(l(x,y,lambda), lambda) = 0; Η μαθηματική ανάλυση του συστήματος εξισώσεων (19.14) ξεφεύγει από τους σκοπούς αυτού του βιβλίου *. Στο Maxima μπορούμε να λύσουμε το σύστημα εξισώσεων (19.14) με την εντολή solve και (προαιρετικά) να αποθηκεύσουμε τα αποτελέσματα στις μεταβλητές x max, y max, λ max ως εξής: 1 2 3 4 sol : solve([eq1, eq2, eq3], [x,y,lambda]); xmax : rhs(sol[1][1]); ymax : rhs(sol[1][2]); lmax : rhs(sol[1][3]), numer; Όλοι οι ορισμοί του προβλήματος και οι υπολογισμοί της λύσης φαίνονται στο Σχήμα 19.9. Ο καταναλωτής μεγιστοποιεί τη χρησιμότητά του όταν, δαπανώντας 25 χρηματικές μονάδες, προμηθεύεται 3 μονάδες προϊόντος x και 5 μονάδες προϊόντος y. * Μπορείτε να βρείτε μια έξοχη παρουσίαση της λύσης εδώ http://bit.ly/ailytk, 9 Μαρτίου 2012
Κεφάλαιο 19 Χρησιμότητα και οι επιλογές του καταναλωτή 465 Σχήμα 19.9 Μεγιστοποίηση της συνάρτησης χρησιμότητας με τη μέθοδο Lagrange στο περιβάλλον του Maxima. Η επίλυση τέτοιων προβλημάτων στο Maxima, όπως φαίνεται στο Σχήμα 19.9, μας δίνει τη δυνατότητα να επαναλαμβάνουμε εύκολα τη λύση όταν μεταβάλλονται οι συνθήκες του προβλήματος. Για παράδειγμα, μια αύξηση της τιμής του x σε p x = 6 θα οδη-
466 ΜΕΡΟΣ ΙΙ Maxima γούσε τον καταναλωτή σε ένα νέο καταμερισμό με x max = 5 και y = 5. Μπορούμε πολύ 2 εύκολα να επαναλάβουμε τη διαδικασία της λύσης αν αλλάξουμε μόνο μία γραμμή στο πρόγραμμα: 1 Px : 6; και εκτελέσουμε όλες τις εντολές εκ νέου πατώντας τα πλήκτρα CTRL+R. 19.3.2 Οικονομική ερμηνεία του πολλαπλασιαστή Lagrange Με το Maxima είναι επίσης πολύ εύκολο να ερμηνεύσουμε την οικονομική σημασία που έχει ο πολλαπλασιαστής Lagrange. Έστω η γενικού τύπου συνάρτηση χρησιμότητας Cobb-Douglas: Uxy (, ) 5x y 3/5 2/5 = (19.15) Αν I είναι το διαθέσιμο εισόδημα, μπορούμε να γράψουμε τη συνάρτηση Lagrange ως εξής: 1 L(I,x,y,lambda) := U(x,y) + lambda*(i - Px*x - Py*y); (οι τιμές είναι απλώς παράμετροι του προβλήματος) και να υπολογίσουμε την παράγωγο: dl di = λ γράφοντας στο Maxima (Σχήμα 19.10): 1 diff(l(i,x,y,lambda), I); Σχήμα 19.10 Υπολογισμός της παραγώγου της συνάρτησης Lagrange ως προς το εισόδημα, στο περιβάλλον του Maxima.
Κεφάλαιο 19 Χρησιμότητα και οι επιλογές του καταναλωτή 467 Η μεταβλητή λ είναι λοιπόν η μεταβολή της χρησιμότητας ως προς τη μεταβολή του εισοδήματος ή, πιο απλά, το ποσό κατά το οποίο μεταβάλλεται η χρησιμότητα όταν το εισόδημα μεταβάλλεται κατά μία χρηματική μονάδα. Η ιδιότητα αυτή δεν εξαρτάται από τη φύση της συγκεκριμένης συνάρτησης αλλά ισχύει γενικά. 19.3.3 Παραμετρική λύση μεγιστοποίησης της συνάρτησης χρησιμότητας Cobb-Douglas Θα εξετάσουμε τώρα μια γενικότερη περίπτωση υπολογισμού της μέγιστης χρησιμότητας. Έστω η γενικού τύπου συνάρτηση χρησιμότητας Cobb-Douglas: Uxy (, ) a 1 a = Ax y (19.16) με A > 0 και 0 < a < 1. Αν p x και p y είναι οι τιμές των προϊόντων x και y, αντίστοιχα, και I είναι το διαθέσιμο εισόδημα του καταναλωτή, τότε: I = p x+ p y (19.17) x Το ζητούμενο είναι να υπολογίσουμε το μέγιστο της συνάρτησης χρησιμότητας, x max, y max ως παράμετρο των A, a, p x και p y και I. Δηλαδή, να έχουμε μια λύση της μορφής: y xmax = f( A, a, px, py, I) (19.18α) ymax = g( A, a, px, py, I) (19.18β) Δηλαδή, πρέπει να δώσουμε μια γενική λύση της μεγιστοποίησης της συνάρτησης χρησιμότητας Cobb-Douglas. Για να το πετύχουμε αυτό, θα εργαστούμε όπως και στην προηγούμενη περίπτωση της Ενότητας 19.3.1, με τη διαφορά ότι δεν θα δώσουμε τιμές στις παραμέτρους A, a, p x και p y και I. Κατά τα λοιπά, η διαδικασία της λύσης είναι παρόμοια. Ξεκινάμε με τον ορισμό της συνάρτησης χρησιμότητας: 1 U(x,y):= A * x^(2*a) * y^(1-a); και τον ορισμό της συνάρτησης Lagrange: 1 L(x,y,lambda) := U(x,y) + lambda*(i - Px*x - Py*y); Ορίζουμε τις τρεις εξισώσεις με βάση τις πρώτες παραγώγους ως προς x, y και λ: 1 2 3 eq1 : diff(l(x,y,lambda), x) = 0; eq2 : diff(l(x,y,lambda), y) = 0; eq3: diff(l(x,y,lambda), lambda) = 0; Τέλος, υπολογίζουμε τη λύση του συστήματος εξισώσεων που προκύπτουν (δείτε τις Eξισώσεις 19.18):