ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ Τα κάτωθι προβλήµατα προέρχονται από τα κεφάλαια, και του συγγράµµατος «Γραµµική Άλγεβρα». Η ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας είναι η 8 Νοεµβρίου.. α) Μον. ) ίνονται οι πίνακες C E,,,, Να υπολογίσετε τις παρακάτω εκφράσεις όταν αυτό είναι δυνατό : όπου α) β) E γ) C δ) E ε) στ) δηλώνει τον ανάστροφο πίνακα του Β. β) Μον. ) ίνονται οι πίνακες Εξηγήστε γιατί ο αντίστροφο ενός πίνακα. Ισχύει ότι και, χωρίς να χρησιµοποιήσετε τον τύπο που δίνει τον ;. ίνεται ο πίνακας n α) Μον. ) Να υπολογιστεί ο πίνακας, n N, β) Μον. ) Έστω ο πίνακας

όπου R, πραγµατικός αριθµός. Να υπολογιστεί ο πίνακας µε δύο διαφορετικούς τρόπους : i) µε την χρήση του προσαρτηµένου πίνακα και ii) µε την µέθοδο που περιγράφεται στη σελ. 7 για τον υπολογισµό αντίστροφου σύνθετου πινάκα. Ποιος τρόπος είναι ο πιο γρήγορος; Υπόδειξη. ες ενότητα... α) Μον. ) Έστω διανύσµατα O, O τέτοια ώστε O O και η π γωνία θ που σχηµατίζουν µεταξύ τους είναι θ. Να υπολογιστεί η γωνία που σχηµατίζουν τα διανύσµατα OC O O, O O O. β) Μον. ) ίνονται τα διανύσµατα [ ] [ ] O ; O c ; OC c Για ποιες τιµές των c R,, τα παραπάνω διανύσµατα είναι : ι) κάθετα, ιι) συγγραµικά, ιιι) συνεπίπεδα. Υπόδειξη. Οι παραπάνω έννοιες αναφέρονται στην ενότητα., ενώ χρήσιµο στην άσκηση µπορεί να θεωρηθεί και το παράδειγµα... Μον. ) Έστω ο πίνακας α) Να υπολογιστεί ο πίνακας C. β) Να υπολογιστεί η ορίζουσα του πίνακα [ ] ) det C όπου είναι ο µοναδιαίος πίνακας. γ) Να βρεθούν οι αριθµοί {,, } είναι διάφορος του µηδενός είναι ο. C και να γραφεί στη µορφή και να δειχθεί ότι ο πρώτος από αυτούς που

δ) Να υπολογιστεί ο πίνακας [ ] C ε) Να αποδείξετε ότι ο πίνακας ικανοποιεί τις παρακάτω ιδιότητες : ) ) ; ; ; Σηµείωση. Για κάθε πίνακα Α, µε στοιχεία πραγµατικούς αριθµούς, υπάρχει µοναδικός πίνακας που ικανοποιεί τις παραπάνω ιδιότητες και ο οποίος ονοµάζεται γενικευµένος αντίστροφος του. Στην περίπτωση που ο Α είναι [ ] αντιστρέψιµος det ), τότε ο γενικευµένος αντίστροφος του Α,,ταυτίζεται µε τον αντίστροφο του Α. Τα βήµατα α-δ) προτείνουν µια µέθοδο υπολογισµού του γενικευµένου αντίστροφου του πίνακα Α.. α) Μον. ) είξτε ότι η τιµή της παρακάτω ορίζουσας είναι µηδέν: 7 7 9 Υπόδειξη. Να χρησιµοποιηθούν οι ιδιότητες των οριζουσών που αναφέρονται στα θεωρήµατα. και.. β) Μον. ) Να δείξετε ότι ισχύει η σχέση Q RP όπου ; P ; Q ; R Σηµείωση. Η ορίζουσα ονοµάζεται απαλείφουσα του Slveter.. Μον. ) Για τις επόµενες προτάσεις )-) αποφασίστε αν είναι αληθείς δικαιολογώντας γιατί) ή ψευδείς µε κάποιο παράδειγµα) ) Αν LU LU όπου Ui, i, άνω τριγωνικοί χωρίς µηδενικά στη διαγώνιο και Li, i, κάτω τριγωνικοί µε µονάδες στη διαγώνιο) τότε L L και U U. Η παραγοντοποίηση LU είναι µοναδική.

) Αν n τότε n όπου είναι n n πίνακας και n είναι ο n n µοναδιαίος πίνακας. ) Αν SS όπου S,, είναι n n αντιστρέψιµοι πίνακες τότε α) det[ ] det[ ] και β) det. Υπόδειξη. Να χρησιµοποιήσετε τις ιδιότητες των οριζουσών που αναφέρονται στην ενότητα.. 7. Μον. ) Να βρεθούν οι τιµές του α για τις οποίες το σύστηµα : α) έχει µια λύση, και να βρεθεί η λύση αυτή, β) καµία λύση, γ) άπειρες λύσεις, και να βρεθεί η παραµετρική οικογένεια των λύσεων αυτών. 8. α) Να λυθεί το γραµµικό σύστηµα όπου : ; ι) Μον. ) µε την παραγοντοποίηση LU, ιι) Μον. ) µε την χρήση οριζουσών. Σηµείωση. Εφόσον υπολογίσετε την λύση του παραπάνω συστήµατος επαληθεύσατε ότι η λύση που βρήκατε ικανοποιεί όλες τις παραπάνω εξισώσεις. β) Μον. ) Να λυθεί το παρακάτω σύστηµα εφόσον το γράψετε πρώτα στη µορφή X : όπου X είναι πίνακας. X X Υπόδειξη. Για την επίλυση του θέµατος 9i) θα πρέπει να συµβουλευτείς την ενότητα. και.., ενώ για την επίλυση της άσκησης 9ii) την ενότητα... ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!!

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΣΚΗΣΗ.α..α.α ) 9 ).α.β ) ) ) ) ) E θα προκύψει πίνακας Ο αριθµός των στηλών του Α ισούται µε τον αριθµό των γραµµών του Ε.α.γ ) ) ) ) ) ) C.α.δ E Επειδή το πλήθος των στηλών του Ε) δεν είναι ίσο µε το πλήθος των γραµµών του Α, ο πολ/σµός των πινάκων Ε,Α δεν είναι δυνατός.α.ε.

.α.στ, ο είναι τετραγωνικός ΑΣΚΗΣΗ.β. Σύµφωνα µε τον ορισµό της σελίδας αν για τον πίνακα Α υπάρχει πίνακας Β µε την ιδιότητα, τότε ο Β είναι αντίστροφος του Α και συµβολίζεται µε Α -. Επίσης επειδή για να δείξουµε ότι αρκεί να δείξουµε ή. 8 Παρόµοια για να δείξουµε ότι αρκεί να ικανοποιείται µια από τις ιδιότητες ή που ήδη έχουµε δείξει.

ΑΣΚΗΣΗ.α. Παρατηρούµε για τον πίνακα Α ότι γράφεται:, δηλαδή όπου Μ βλέπε σελ. 9) Επίσης Ι, Μ είναι αντιµεταθετικοί, οπότε: n n n... Αλλά για τον πίνακα Μ είναι : n n n n ) όπου: n k n! k! n k)!. n, Οπότε: n n n n n n n n n n n n ) n ΑΣΚΗΣΗ.β Υπολογισµός αντίστροφου µε τη χρήση του προσαρτηµένου πίνακα βλ. σελ. ). Α dj) τύπος.7 / σελ. ) det ) 9 ) ) ) ) )

) ) ) Άρα: 9 dj det det.det det κατά µήκος τηςης στήλης: ε µ 8 αναπτύσου 9 8 9 9 8 Υπολογισµός αντίστροφου µε τη χρήση σύνθετων πινάκων βλ. σελ. 7). Ο πίνακας µπορεί να διαµεριστεί και έτσι έχουµε το σύνθετο πίνακα όπου,,. N [] N Οι πίνακες Β και Ν είναι αντιστρέψιµοι αφού det και det N Έχουµε λοιπόν από τη σελίδα 7): µε. N N σελ.7, άσκηση αυτοαξιολόγησης...). 9 8 8.. N εποµένως ο Α - είναι: 9 9. N N

ΑΣΚΗΣΗ.α. Έστω φ είναι η γωνία των ΟC, O: Ισχύει από σελ., Γραµµική Άλγεβρα) : OC O συνφ ) OC O Αφού θ είναι η γωνία των ΟΑ, ΟΒ και O O έχουµε: π π θ συνθ συν OO συνθ ΟΑ ΟΒ OO ) Θα βρούµε το γινόµενο ΟC.O σελ.) OC O O O) O O) ΟΑ ΟΑ ΟΑ ΟΒ ΟΒ ΟΑ ιδιότητες εσωτ. γινοµένου ΟΒ ΟΒ ΟΑ ΟΑΟΒ ΟΑΟΒ ΟΒ ΟΑ ΟΑΟΒ ΟΒ ) ΟΑΟΒ ΟΑΟΒ ) α. O O α α α Λαµβάνοντας υπόψη ότι: β. O O O O OC O έχουµε: O O) O) O) OO OC ) O O O) O) O O O) O ) Από τις σχέσεις ) ) έχουµε: ) OC O συνφ OC O ),) συνφ συν 97,89 φ 97,89,77

ΑΣΚΗΣΗ.β. i. κάθετα Τα ΟΑ,ΟΒ, OC είναι κάθετα αν ανά δύο είναι κάθετα. Γιαυτό θα πρέπει ταυτόχρονα να ικανοποιούνται οι παρακάτω συνθήκες σελ.) : α) O O, β) O OC και γ) O OC Οι παραπάνω ισχύουν όταν σελ. ) : ΟΑ ΟΒ α β α β α β α β c Πρέπει α β c ΟΑ, ΟC κάθετα θα πρέπει OOC α β c β c ΟΒ, ΟC κάθετα θα πρέπει O OC α β c Συµπέρασµα : Από τις δύο πρώτες συνθήκες είναι εύκολο να βγάλουµε το συµπέρασµα ότι α β c που ικανοποιεί και την τρίτη συνθήκη. ii. συγγραµµικά σελ. ) παρόµοια και εδώ) Για να είναι τα ΟΑ,ΟΒ, OC συγγραµµικά θα πρέπει ανά δύο να είναι συγγραµµικά.. Γιαυτό θα πρέπει να ικανοποιούνται ταυτόχρονα οι παρακάτω συνθήκες δες σελ.): α) ΟΑ, ΟΒ συγγραµικά αν και µόνο αν [ O, O] β) ΟΑ, ΟC συγγραµικά αν και µόνο αν [, OC] γ) ΟΒ, OC συγγραµικά αν και µόνο αν [, OC] α) H σχέση α) δίνει α β α β i α O και O. ) β α β ) j α β α β ) k c β ) i α c) j β α ) k α c β c β α θα πρέπει α β c β) H σχέση β) δίνει [ ] β ) α ) β α ) O, OC c i c j k Παρατηρούµε ότι όταν η συνθήκη α) ικανοποιείται τότε c και συνεπώς [ O, OC] i j k. γ) H σχέση γ) δίνει O, OC βc c β i c α c α j αβ α β k [ ] ) ) ) Παρόµοια µε την β) παρατηρούµε ότι όταν η συνθήκη α) ικανοποιείται τότε [ O, OC] i j k. Συµπέρασµα. αβc

iii. συνεπίπεδα Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι τρία διανύσµατα συνεπίπεδα είναι το µικτό γινόµενό τους να είναι. O,O,OC),, ) [ O, O] OC [ c β α c β α] α β c c β ) α α c) β β α ) c O O OC Παρατηρούµε ότι: O, O, OC) β c c ) c ) ) β c β c β c Συµπέρασµα. β c β c

ΑΣΚΗΣΗ.α. Βρίσκουµε τον ανάστροφο του πίνακα Α σύµφωνα µε τη σελ. ) που συµβολίζεται µε Α Τ Παρατηρούµε ότι Α Α Τ. Άρα C. Α Τ. C ΑΣΚΗΣΗ.β. [ ] det det det det C Πολλαπλασιάζουµε την τρίτη στήλη επί και προσθέτουµε στην η στήλη det και στη συνέχεια προσθέτουµε την η γραµµή στην τρίτη και έχουµε: ) [ ] ) 8 8 det µε α -, α, α ΑΣΚΗΣΗ.γ. Από το β, έχουµε ότι» που είναι της µορφής, όπου [ ] C det,,. Παρατηρούµε ότι ο πρώτος από τους { },, που είναι διάφορος του είναι ο

ΑΣΚΗΣΗ.δ. [ ] 7 7 7 7 C C C ΑΣΚΗΣΗ.ε. Αντικαθιστούµε τους πίνακες Α, Α και κάνουµε τις πράξεις:

) ) ) ) ) άλλος τρόπος)

) ) ) ) C C C C άλλος τρόπος) Επειδή ο Α είναι συµµετρικός τότε και ο C είναι επίσης συµµετρικός. Ισχύει C C C C ) ) ] [ ] [ ) και ) C C ) ] ) [.

ΑΣΚΗΣΗ α Εφαρµόζουµε την ιδιότητα σελίδα ) του θεωρήµατος.. Αφαιρούµε την η στήλη από τη η και την η στήλη από την η και παρατηρούµε ότι οι η και η στήλη έχουν όλα τα στοιχεία τους ίσα µε. Συνεπώς η ορίζουσα ισούται µε εφόσον έχει δύο στήλες ίσες/ συµπέρασµα θεωρήµατος., σελίδα 8) ΑΣΚΗΣΗ β Αναπτύσσουµε την ορίζουσα κατά µήκος της ης γραµµής: Αναπτύσσουµε την ορίζουσα κατά µήκος της ης στήλης και την ορίζουσα κατά µήκος της ης στήλης και έχουµε: ) ) ) ) P R Q R P Q P Q Q P Q P )

ΑΣΚΗΣΗ α ) Αληθής Αφού οι πίνακες L i, είναι κάτω τριγωνικοί µε µονάδες στη διαγώνιο έπεται ότι η ορίζουσα ισούται µε το γινόµενο των διαγωνίων στοιχείων σελ.9) και εποµένως detl i υπάρχει ο αντίστροφος του L i. L U L L U L U U L U L U U L L L U L U L U L U L U L L U U L U U Έστω ότι L L ή U U τότε από τη σχέση L L U U συµπεραίνουµε ότι ο τριγωνικός κάτω πίνακας L L γινόµενο κάτω τριγωνικών πινάκων) είναι ίσος µε έναν άνω τριγωνικό ως πίνακαu U ως γινόµενο άνω τριγωνικών πινάκων). Αυτό είναι εφικτό µόνο όταν και οι δύο πίνακες είναι διαγώνιοι. Επειδή όµως η κύρια διαγώνιος του L i αποτελείται από µονάδες συνεπώς θα πρέπει L L U U. Από την σχέση αυτή συµπεραίνουµε ότι L L U U ) Αληθής Έχοντας υπόψη τον ορισµό του αντιστρόφου σελ., έχουµε: n n ) n και Α Α Ι n n n ) n ) Αληθής α) det[ ] det[ S S ]. Από το θεώρηµα., σελίδα Την ιδιότητα, της πρότασης., στη σελίδα 7 Την αντιµεταθετικότητα του πολλαπλασιασµού των πραγµατικών και µιγαδικών) αριθµών έχουµε: det det S S det S det det S det S det det S [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] det [ S] det[ S] det[ ]. det[ ] det[ ] ΑΣΚΗΣΗ.β Χρησιµοποιώντας το α) και det[] και τη σελίδα ) έχουµε: det [ ] det[ ] det[ ] det[ ] det[ ] det[ ] det[]

ΑΣΚΗΣΗ 7 Θα λύσουµε το σύστηµα µε τη χρήση του επαυξηµένου πίνακα: εναλλάσσουµε την η µε την η γραµµή και έχουµε. Πολλαπλασιάζουµε διαδοχικά την η γραµµή µε και α και προσθέτουµε στη η και η γραµµή αντίστοιχα : ) Αν α διαιρούµε τη η γραµµή και την η γραµµή δια -α και έχουµε: ) Προσθέτουµε τη η γραµµή στην η και έχουµε: ) ) Αν α - διαιρούµε την η γραµµή διά α και έχουµε: ) και έχουµε το σύστηµα: ) )

Αν τότε: Το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις: R R R R Αν τότε από την ) έχουµε: και επειδή από την τελευταία γραµµή έχουµε ότι... έπεται ότι το σύστηµα είναι αδύνατο. 7.α. Για να έχει το σύστηµα µοναδική λύση θα πρέπει α και α -. ) Η µοναδική λύση είναι: ),,,, Το σύστηµα δεν έχει λύση όταν 7.β. 7.γ. Το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις όταν Η παραµετρική οικογένεια των λύσεων αυτών είναι:,, ),, ) µε R, R ος τρόπος Το σύστηµα γράφεται ως εξής : Υπολογίζουµε την ορίζουσα του Α ) ) det Για τις τιµές του για τις οποίες η ορίζουσα του Α είναι διάφορη του µηδενός, υπάρχει µοναδική λύση που δίνεται από τον τύπο :

) ) ) ) det[ ] [ ] ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) det [ ] ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) det Εξετάζουµε ξεχωριστά την περίπτωση που det[ ] δηλαδή όταν ή -. Για α το σύστηµα µου διαµορφώνεται ως εξής : το οποίο έχει άπειρες λύσεις της µορφής ),,, R Για α- το σύστηµα µου διαµορφώνεται ως εξής : Παρατηρούµε ότι [ ] R rnk rnk R και συνεπώς το σύστηµα µου είναι αδύνατο.

ΑΣΚΗΣΗ 8.α ι)για να λύσουµε το σύστηµα µε τη µέθοδο LU: Βήµα : Ξεκινάµε από το σύνθετο πίνακα [ ] και µε τους κατάλληλους µετασχηµατισµούς γραµµών καταλήγουµε στο σύνθετο πίνακα [P U] όπου ο Ρ είναι κάτω τριγωνικός, αντιστρέψιµος και τα στοιχεία της διαγωνίου του είναι µονάδες ενώ ο U είναι κλιµακωτής µορφής. Βήµα : Βρίσκουµε τον αντίστροφο του Ρ, τον Ρ - Βήµα : Η παραγοντοποίηση LU του είναι ΑL.U όπου L Ρ - Βήµα : Το σύστηµα Αβ γίνεται L.U. β και λύνω διαδοχικά τα: L. β και U. Εφαρµόζουµε τα παραπάνω βήµατα: [ ] πολλαπλασιάζουµε την η γραµµή επί / και επί / και προσθέτουµε αντίστοιχα στη η γραµµή και η γραµµή: Πολλαπλασιάζουµε τη η γραµµή επί / και προσθέτουµε στην η γραµµή: [ ] U P Έτσι λοιπόν: P U και Εύρεση αντίστροφου του Ρ: [ ] P

Πολλαπλασιάζουµε την η γραµµή επί / και επί / και προσθέτουµε στη η και γραµµή αντίστοιχα:. Πολλαπλασιάζουµε τη η γραµµή επί / και προσθέτουµε στην η γραµµή: Συνεπώς: P L L β 7 7 U ii) Στo γραµµικό σύστηµα β ο πίνακας είναι πίνακας στήλη Οπότε το σύστηµα γράφεται:

δηλαδή Σ) Βρίσκουµε τις ορίζουσες,,, του συστήµατος Σ) Βρίσκουµε την ορίζουσα : Εναλλάσσουµε την η γραµµή µε την η και στη συνέχεια τη η µε την η µε εναλλαγές γραµµών δεν έχουµε αλλαγή πρόσηµου της ορίζουσας: Πολλαπλασιάζουµε τη η γραµµή επί - και επί και προσθέτουµε στην η και την η γραµµή αντίστοιχα: ) ) Βρίσκουµε την ορίζουσα Εναλλάσσουµε την η στήλη µε την η και στη συνέχεια τη η µε την η µε εναλλαγές στηλών δεν έχουµε αλλαγή πρόσηµου της ορίζουσας: Εναλλάσσουµε την η γραµµή µε την η και στη συνέχεια τη η µε την η µε εναλλαγές γραµµών δεν έχουµε αλλαγή πρόσηµου της ορίζουσας: Πολλαπλασιάζουµε τη η γραµµή επί - και επί και προσθέτουµε στην η και την η γραµµή αντίστοιχα. ) ) Βρίσκουµε τη Εναλλάσσουµε την η γραµµή µε την η και στη συνέχεια τη η µε την η :

Πολλαπλασιάζουµε τη η γραµµή επί - και επί και προσθέτουµε στην η και την η γραµµή αντίστοιχα. ) 7 7 Βρίσκουµε τη Εναλλάσσουµε την η γραµµή µε την η και στη συνέχεια τη η µε την η : Πολλαπλασιάζουµε τη η γραµµή επί - και επί και προσθέτουµε στην η και την η γραµµή αντίστοιχα. 7) 8 7 Εποµένως, εφόσον το Σ έχει µοναδική λύση:

ΑΣΚΗΣΗ 8.β Ι X X X X X Επειδή το σύστηµα είναι οµογενές, έχει πάντα λύση. Αν τότε έχει µοναδική λύση τη µηδενική. Αν τότε το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις. Πολλαπλασιάζουµε τη η γραµµή επί και προσθέτουµε στην η : Εναλλάσσουµε την η γραµµή µε την η και στη συνέχεια τη η µε την η Πολλαπλασιάζουµε διαδοχικά την η γραµµή επί και επί και προσθέτουµε στην η και την η γραµµή αντίστοιχα... Το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις. Θα βρούµε τις λύσεις αυτές µε τη χρήση του επαυξηµένου πίνακα:

Πολλαπλασιάζουµε την η γραµµή διαδοχικά επί / και επί / και προσθέτουµε αντίστοιχα στη η και η γραµµή: Προσθέτουµε τη η γραµµή στην η και έχουµε: Πολλαπλασιάζουµε τη η γραµµή επί / και έχουµε: Έτσι έχουµε το σύστηµα: Άρα οι λύσεις του συστήµατος είναι:,,), R