Matemātskās statstkas pamatjēdze Uzskatīsm, ka ξ - gadījuma lelums, kas apraksta pētāmā objekta uzvedību (rādītāj par veu, va varākām objekta pazīmēm ). Gadījuma lelums ξ peņem vērtības o kādas kopas X. Kopu X sauksm par ģeerālo kopu (pazīmes vērtību kopu). Peņemsm, ka dot gadījuma leluma ξ mērījumu (ovērojumu, mēģājumu) rezultāt x, x,... x, kas vedo vrk, kuru sauc par empīrsko rdu. Reģstrētās pazīmes vērtības, kas vedo empīrsko rdu, sauksm par ovērojumem (varatem). Models Vekāršākas u tcamākas models r gadījumā, kad ovērojum tka egūt vecot atkārtotus eatkarīgus ekspermetus emaīgos apstākļos. Tas ozīmē, ka skatļus x, x,... x var uzskatīt kā veu gadījuma vektora X = ( X, X,... X ) realzācju x ( x, x,... x ) lelum { X,,,..., } def =, kur gadījuma = - savstarpēj eatkarīg u veād sadalīt, ( FX ( x) = P( X ), ( ) ( ),,,...,, < x FX x = F ξ x = t..,. j PX ( < xx, < y) = PX ( < x) PX ( < y)) j j Vektora X (jeb tā realzācju x) sauc par zlas. Izlases kopas elemetu skatu sauc par zlases apjomu. l Par statstku sauc attēlojumu T : X R, l N. Formalzēt statstsko eotektību pētāmā objektā ozīmē kostruēt objekta stohastsko model: =
< X, Fξ( x, θ) >, θ Θ, Fξ( x, θ) = Pθ( ξ < x), x R, kur mūs teresējošā gadījuma leluma ξ sadalījuma fukcja Fξ ( x, θ ) r atkarīga o parametraθ, kas var peņemt vērtības o kopas Θ. def Par varācju rdu sauc ovērojumu rezultātu vrk, ja še rezultāt sakārtot augošā kārtībā. Apzīmējot k-to pēc vērtības ' ovēroto lelumu ar xk, k =,,...,, varam uzdot apskatāmā gadījuma lelumaξ ovēroto vērtību vrk varācju rdas vedā ' ' ' x x x.... Empīrskā sadalījuma fukcja Par empīrsko sadalījuma fukcju sauc fukcju 0, x x k F ( x) =, x < x x, x> x k k+ Empīrskā sadalījuma fukcja r mootoa, epārtraukta o kresās puses u ta r pārtraukuma pukt tka pe argumeta vērtībām, kas veādas ar varācju rdas locekļem. Lēceu lelum pārtraukuma puktos r daudzkārtņ. Pe katra x F ( ) x ordāta r gadījuma lelums ar espējamām vērtībām k 0,,,...,,. Varbūtību otkumam ϖ : F ( x) = pe jebkuras x vērtības aprēķa pēc formulas k k k k P F( x) = = C [ P( ξ < x) ] [ P( ξ < x) ] =.
k k k = C Fξ( x) Fξ( x), k =,,...,. Fξ ( x) osaka otkuma { ωξϖ : ( ) < x} varbūtību dotam x, bet F ( x ) dod otkuma { ωξϖ : ( ) < x} bežumu. Apzīmējot ar x -otkuma { ωξϖ : ( ) < x} ovērojumu skatu x, x kur - kopējas ovērojumu skats, egūstam F ( x) =. No pastprātā lelo skatļu lkuma (PLS) seko F ( x) F ( x), x R ar varbūtību. ξ Glveko teorēma:[],[] Ja Fξ ( x) - gadījuma leluma ξ sadalījuma fukcja, F ( x )- gadījuma leluma ξ empīrskā sadalījuma fukcja, kas egūta, zmatojot leluma ξ eatkarīgus ovērojumus, tad P( sup F ( x) Fξ ( x) 0) =. < x< Kolmogorova teorēma: [],[] Ja Fξ ( x) epārtraukta gadījuma leluma ξ sadalījuma fukcja, F ( x )- gadījuma leluma ξ empīrskā sadalījuma fukcja, D : = sup F ( x) F ( x), tad < x< ξ 0, z 0 P( D < z) K( z), K( z) = k ( ) e k = Pezīme. Fukcja K( z), z > 0 r tabulēta. k z., z > 0 3
Statstskā materāla oformēšaa ξ - dskrēts gadījuma lelums ξ statstskas sadalījums tabula, kurā erakstītās augošā kārtībā sakārtotas ovērotās vērtības x, =,..., k, u tām atblstoše bežum, =,,..., k. k =, =,,..., k, =, va relatīve bežum ξ - epārtraukts gadījuma lelums Varācjas rdas varatus apveo k tervālos ( x+, x), =,,..., k, kur x: m{ x, =,..., }, xk+ : max{ x, =,..., }, u saskata ck ovēroto vērtību atrodas katrā tervālā. Novēroto vērtību k skatu katrā -tajā tervālā apzīmē ar, =,,..., k, =. ξ statstskā (varācjas) rda- tabula, kurā dot tervāl augošā kārtībā u tem atblstoše bežum, va relatīve bežum, =,,..., k. Tālākā statstskās (varācjas) rdas apstrādē zvēlas katra tervāla pārstāv x *, =,,..., k, parast tervāla cetru ( va tervāla robežu), u katrā -tajā tervālā oākušos varatus * osacīt uzskata par veādem x. Pemēram, la kostruētu gadījuma leluma ξ empīrsko sadalījuma fukcju, va aprēķātu statstkas vērtības, gadījumā, kad dat uzdot statstskās rdas formā, jāzmato ξ statstskas = 4
sadalījums, t.., jākostruē tabula, kurā erakstītas augošā kārtībā sakārtotas ovērotās vērtības x *, =,,..., k u tām atblstoše bežum. Apstrādājot tervālu statstskās rdas, jāleto šād lelum: xm - pazīmes vsmazākā reģstrētā vērtība, bet, ja tā av zāma, prmā tervāla apakšējā robeža, xmaks - pazīmes lelākā reģstrētā vērtība va pēdējā tervāla augšējā robeža, xmaks - xm - varācjas ampltūda jeb apjoms. Parast leto veāda garuma tervālus, bet ja veāda garuma tervālu rdas malējos tervālos bežum r maz va parādās tukš tervāl, tad leto arī eveāda garuma tervālus. Ja av ekādu ctu apsvērumu par vēlamo tervālu garumu, var zmatot Sterdžesa formulu: Δ = x maks x m. + 3, lg Varācjas rdu grafske attēl Varācjas rdu attēlo ar polgou va hstogrammu. Polgou zmato galveokārt dskrētu varācjas rdu attēlošaa. To zvedo šād: koordātu sstēmā atlek puktus, kuru koordātas attecīg r pazīmes vērtības (varat) u to bežum, va relatīve bežum. Blakus esošos puktus saveojot ar tases ogrežņem, egūst polgou. Hstogrammu leto galveokārt tervālu varācjas rdu attēlošaa. Uz abscsu ass atlek ogrežņus, kas atblst varācjas rdas tervālem. Peņemot tos par pamatem, vrs katra tervāla kostruē tasstūr, kura laukums veāds ar dotā tervāla relatīvo bežumu, =,,..., k, va bežumu. 5
Ja katrā tervālā relatīvo bežumu (bežumu) dala ar tervāla garumu h = x+ x, =,..., k, tad egūtas skatls r tasstūra augstums, =,..., k, =,,..., k. Plas relatīvo h h bežumu hstogrammas laukums r veāds ar. Bežumu hstogrammas laukums r veāds ar..pemērs. Lauksamecības uzņēmumu sadalījums pēc graudaugu ražības. Grupas Graudaugu ražība, Samecību skats Nr. ct/ha 3 4 5 6 x x + 0,0 4,0 4,0 8,0 8,0,0,0 6,0 6,0 30,0 30,0 34,0 x 6 0 4 8 3 4 7 47 43 6 8 relatīvas bežums (%) 3 7 30 8 7 5 0,03 0,7 0,30 0,8 0,7 0,05 Kopā =55 00.tabula. 0.08 h 0.076 0.069 0.06 0.04 0.044 0.04 0.0 0 0.006 0.03 0 4 8 6 30 34 x.zīm. Graudaugu ražības relatīvo bežumu hstogramma. 6
F (x) x-ražība, - samecību skats (.tabulas dat r grafsk lustrēt.attēlā). 0.95 0.78 0.5 0.03 0. 6 0 4 8 3.zīm. Graudaugu ražības empīrskā sadalījuma fukcja. x.pemērs. Peņemsm, ka 0 studetu grupa, kārtojot eksāmeu, r eguvus šādas atzīmes (desmt ballu sstēmā): 7;5;6;9;7;8;3;4;4;7. Studetu sadalījums pēc atzīmēm: x 3 4 5 6 7 8 9 3.tabula. 4 3 3 0 x 3 4 5 6 7 8 9 3.zīm. Atzīmju bežumu polgos. 7
F (x) 0.8 0.9 0.5 0.3 0.4 0. 0 3 4 5 6 7 8 9 x 4.zīm. Atzīmju sadalījumu empīrskā sadalījuma fukcja. Varācjas rdas raksturotāj Statstske raksturotāj jāatspoguļo statstskā objekta (parādības) objektīvās īpašības. Statstkā zmato rādītājus, kur īs u kocetrēt raksturo galveās sadalījuma īpašības. Šos rādītājus aprēķa teš pēc sākotējem datem. Datus apstrādā ar datortehku. Peņemsm, ka dota zlase ( x, x,..., x ). Empīrskas (artmētskas) vdējas -- x = = x svērtas (dat sagrupēt) -- x = k = x. 8
Empīrskas l-tās kārtas sākuma momets-- l x = α l :, = l N l ( x ) = svērtas -- αl : =, l N Empīrskas l-tās kārtas cetrālas Empīrskā dspersja -- k l ( x x) = momets -- β l : =, l N k l ( x x) = svērtas -- βl : =, l N ( x x) x : ( ) β = = = = α α = = = s Var x x Ja dot kāda dvdmesju gadījuma leluma ( ξ, η ) ovērojum, {( x, y),,,..., } xy : = = = ( x y ) x y k = tad -- empīrskas -ās kārtas sākuma momets, k N -- empīrskas k-tās kārtas sākuma momets. 3.Pemērs. Aprēķāt vdējo mēeša darba algu 8 clvēku brgāde, ja atsevšķem brgādes strādekem šajā mēesī r zmaksāts: 5,7; 30,9; 90,5; 50,3; 0,50;,93; 9,0; 05,9(lat). Mūsu rīcībā r teš, esagrupēt dat par katra strādeka algu. Tādēļ r jāleto empīrskā (esvērtā) vdējā formula. 9
Izdarot aprēķus 8 x = x = = 6,9( lat) 8 Strādeka vdējā mēeša alga pēc oapaļošaas r 7lat. 8 x = Var( x) = x = 306, S = Var( x) = 7.5 8 Medāa varācjas rdas vdū esošā varats. Ja veību skats varācjas rdā r epāra skatls m+, tad medāa r x m+. Ja veību skats r pāra skatls m, tad medāa r varatu x m u x m+ artmētskas vdējas. x + x + Me=x m+, ja =m+; Me= m m, ja =m. La atrastu medāu tervālu varācjas rda -- jāatrod medāas tervāls ( xl, x l + ). Medāas tervāls r tas, kurā uzkrāte absolūte bežum prmo rez pārsedz pus o kopas veību skata va kurā uzkrāte relatīve bežum prmo rez pārsedz 50% -- peņemot, ka medāas tervāla etvaros varat sadalās vemērīg, zmato terpolācjas formulu l (0.5 )( xl+ xl) = Me = xl + l Pemēram, -ajā pemērā o -ās tabulas atrodam medāas tervālu. Tas r (,6), jo tajā uzkrātas relatīvas bežums prmo rez pārsedz 0.5 (50%), (pemērā teš 50%). Me= Par modu Mo sauc varatu, kurš sadalījuma rdā r sastopams vsbežāk. 0
Dskrētā varācjas rda gadījumā moda olasāma teš kā varats ar vslelāko absolūto va relatīvo bežumu. Nepārtrauktā gadījumā varācjas rdu vsprms attēlo ar hstogrammu. Pēc tam, la atrastu modu tervālu varācjas rda: -- jāosaka modas jeb modālas tervāls ( xl, x l + ). Tas r tervāls ar vslelāko bežumu. -- peņemot hpotēz, ka sadalījums tervālu etvaros r vemērīgs, modu aprēķa pēc terpolācjas formulas : ( xl+ xl)( l l ) Mo = xl + l l+ l Tā, -ajā pemērā modālas tervāls r (8, ), Mo =,5. Nosakot medāu, ņem vērā vsus rdas locekļus, bet modu osaka galveokārt modālas tervāls; terpolācjas gadījumā bez tam ņem vērā vēl prms modālo u pēc modālo tervālus. Modu leto galveokārt tad, ja r svarīg zdalīt teš to varatu, kurš sastopams vsbežāk. Pemēram, preču peprasījuma statstkā moda var būt vsbežāk peprasītas apavu zmērs, gatavo apģērbu zmērs utt. Šajā gadījumā artmētske vdēje r mazozīmīg, jo av vajadzīgs u av paredzēts ražot, pemēram, apavus, kuru zmērs teš atblstu artmētskajam vdējam (zmēram). Parametru ovērtējumu īpašības [],[] Peņemsm, ka gadījuma leluma ξ sadalījuma fukcja Fξ ( x, θ ) satur ezāmu parametru θ. Peņemsm, ka dota zlase x=( x, x,... x ).
Par parametra θ ovērtējumu sauc fukcju T( x, x,... x ), kas atkarīga tka o ovērotājām vērtībām x, x,... x, kura kaut kādā ozīmē tuva ovērtējamam parametram θ. Statstku T( x, x,... x ) sauc par parametra θ eovrzītu (eobīdītu) ovērtējumu, ja jebkuram ET( x, x,... x ) =θ. Pretēja gadījumā ovērtējums r ovrzīts. Statstku T( x, x,... x ) sauc par parametra θ asmptotsk eovrzītu ovērtējumu, ja lm ET ( x, x,... x ) = θ. Statstku T( x, x,... x ) sauc par parametra θ būtsku ovērtējumu, ja ε, δ > 0 0: > 0 P( T( x, x,..., x ) θ > ε) < δ, T( x, x,... x ) koverģē pēc kas ozīmē, ka statstka varbūtības uz skatl θ. Statstku T*( x, x,... x ) sauc par parametraθ efektīvu ovērtējumu, ja m DT( x, x,... x ) = DT. T { T: ET= θ } Tas ozīmē, ka pe dota zlases apjoma starp eovrzītem ovērtējumem statstka T*( x, x,... x ) r vsmazākā dspersja. Pemēram, Ex = Eξ, ES = Dξ, kas ozīmē, ka empīrskas vdējas r eovrzīts ovērtējums matemātskaja cerība, bet empīrskā dspersja r asmptotsk eovrzīts ovērtējums teorētska dspersja. ( x x) = Savukārt, statstka s : = S = būs eovrzīts ovērtējums teorētska dspersja, jo zpldās Es = Dξ. Empīrske raksturlelum r ozīmīg, jo pe lelem te r tuv, koverģeces pēc varbūtības ozīmē, atblstošem teorētskem lelumem.
Teorēma [],[8]. Ja, spēkā sekojošas sakarības (vsur koverģece pēc varbūtības) F ( ) ( ) x Fξ x jebkuram x, x, < x < k x k k αk = = Eξ,jaEξ < ( x x) = S = Dξ, ja Eξ <. Atzīmēsm, ka dažrez būtsks, bet ovrzīts ovērtējums dod labāku rezultātu. Kā lkums, ar tešem aprēķem var pārbaudīt va parametra θ ovērtējums r ovrzīts, va eovrzīts. La pārbaudītu va ovērtējums r būtsks, va ebūtsks jāleto LSL u sekojošu lemmu. Lemma. Ja gadījuma lelumu vrke (, ) ξ koverģē pēc varbūtības uz skatl a, gadījuma lelumu vrke (, ) η koverģē pēc varbūtības uz skatl b, dvu maīgo x u y fukcja f ( xy, ) epārtraukta puktā x = ay, = b, tad f ( ξ, η ) f( a, b) pēc varbūtības. La pārbaudītu va ovērtējums r efektīvs, va av jāleto Rao- Kramera eveādību. 3
Teorēma[],[9]. Peņemsm, ka px (, θ ), x= ( x, x,... x ) r gadījuma vektora X = ( X, X,... X ) varbūtību sadalījuma blīvuma fukcja, parametrs θ R, u spēkā osacījum: a) kopa G = { x R : p( x, θ ) > 0} av atkarīga o parametra θ (regulāras osacījums) b) blīvuma fukcjas logartms dferecējams pēc θ x G u l px (, θ) l px (, θ) I : = p( x, θ ) dx= E <, θ θ G tad jebkuram parametra θ eovrzītam ovērtējumam θ = T( X, X,..., X) zpldās Rao-Kramera eveādība E( θ θ) = var( θ). I I -(Fšera koefcets) r formācjas daudzums par parametru θ zlasē X = ( X, X,... X ). Saskaņā ar mūsu model, zlases vsas kompoetes r eatkarīgas u veād sadalītas, tātad I = I, kur l px (, θ ) I = E r formācjas daudzums par parametru θ θ veā kompoetē X. Rao-Kramera eveādība osaka parametraθ ovērtējuma dspersjas zemāko robežu. Tātad, ja kaut kāda parametraθ eovrzīta statstka to sasedz, tad varam apgalvot, ka statstka r parametraθ efektīvs ovērtējums. Pemēr... Peņemsm, ka ξ N( θσ, ), kur x, x,..., x r gadījuma lelumaξ vērtību zlase, ko zmatosm, la egūtu 4
parametra θ efektīvu ovērtējumu. Šm olūkam uz ovērojumem ( x, x,..., x ) skatāmes kā uz -dmesju gadījuma leluma ( X, X,..., X ) veu vērtību. Gadījuma lelum X, =,,..., kopumā eatkarīg u veād sadalīt, F ( x) = F ( x). X ξ ( x θ) l p( x, θ) l px (, θ) = l πσ = σ θ x θ X θ = E I = =. σ σ σ σ No šejees varam secāt, ka statstka x, kura Ex = θ u σ Dx =, r parametra θ efektīvs ovērtējums.. La gadījuma lelums η sadalīts pēc ekspoecālā lkuma ar ezāmo parametru λ > 0. Ievērojot, ka Eη =, Dη = λ λ σ u ka Ex E, Dx η = η =, evedīsm jauu parametru θ : = λ u tam meklēsm efektīvu ovērtējumu. x x l px (, θ ) θ px (, θ) = e, x> 0 l px (, θ) = lθ = θ θ θ x x = + I = p( x, θ ) dx I. 0 θ θ + = = θ θ θ θ Līdz ar to statstka x r eovrzīts u efektīvs ovērtējums parametram θ : =. λ 5
Parametru ovērtējumu atrašaas metodes [],[9] I.Vslelākās tcamības metode Uzskata, ka ekspermeta rezultātā esam eguvuš vstcamākās vērtības, tas ozīmē: a) dskrētem gadījuma lelumem - Pθ ( X = x, X = x,..., X = x) = : L( x, x,..., x, θ ), max Lx (, x,..., x, θ) = Lx (, x,..., x, θ). θ Par parametra θ ovērtējumu ņemsm θ, kas dod tcamības Lx (, x,...,, ) fukcjas x θ maksmumu. Ja ξ r dskrēts gadījuma lelums, kuram -vērtību zlasē r r ovērotas vērtības x, x,..., x r ar atblstošem bežumem,,..., =, tad, r r = ņemot vērā X, =,,..., eatkarību, tcamības fukcju varam pārrakstīt formā r L( x, x,..., xr, θ ) = Pθ ( X = x). b) epārtrauktem gadījuma lelumem - Peņemsm, ka eatkarīgu ovērojumu rezultātā otek varbūtīgas otkums, t.., ( [, ], [, ],..., [, ], θ ) P X x x+ dx X x x+ dx X x x+ dx = = max θ Par parametra θ ovērtējumu, tāpat kā dskrētā gadījumā, ņem θ, kas dod tcamības fukcjas = 6
Lx (, x,..., x, θ ) = px (, θ ) maksmumu, kur pxθ (, ) r = gadījuma leluma ξ sadalījuma blīvuma fukcja. Tātad, jāatrsa veādojums dl( x, x,..., x, θ ) = 0. dθ Atrsājums, kas dod tcamības fukcjas maksmumu, būs parametra θ ovērtējums. Ieprekšējā veādojuma vetā rezēm ērtāk apskatīt šādu veādojumu dl L( x, x,..., x, θ ) dl( x, x,..., x, θ ) = = 0. dθ dθ L Dvu ezāmo parametru θ u θ gadījumā jāatrsa veādojumu sstēma Lx (, x,..., x, θ, θ) l Lx (, x,..., x, θ, θ) = 0 0 θ = θ va Lx (, x,..., x, θ, θ) l Lx (, x,..., x, θ, θ) = 0 = 0 θ θ Pemēr.. Novērtēsm otkuma A varbūtību p, ja otkums A eatkarīgos mēģājumos parādījes m rezes. Varbūtību p uzskatīsm par parametru, kas etpst dskrētā gadījuma leluma ξ sadalījuma fukcjā. Gadījuma lelums ξ peņem tka dvas vērtības: x =, x = 0 atkarībā o tā, va otkums A dotajā mēģājumā otek va ē. Tātad, tcamības fukcja būs o kurees m m Lx (, x,..., x, θ) = p ( p), 7
dl L( x, x,..., x, p) m m = = 0. dp p p m Līdz ar to p = = x. Tātad, varbūtības p ovērtējums r = otkuma A parādīšaās relatīvas bežums X m p = = = x =. Šs ovērtējums būtsks (lelo skatļu lkums) u eovrzīts, jo X E( X) = = p Ep = E = = = p, kā arī asmptotsk ormāls (cetrālā robežteorēma).. Peņemsm, kaξ r gadījuma lelums, sadalīts pēc Puasoa lkuma ar ezāmo parametru μ > 0, t.., gadījuma lelums, kas peņem eegatīvas veselu skatļu vērtības ar μ μ varbūtībām P( ξ = ) = e, μ > 0, = 0,,,....! Peņemsm, ka eatkarīgos mēģājumus ovērotas gadījuma leluma ξ vērtības x, x,..., xk ar atblstošem bežumem,,..., k, =. Tad k = μ μ Lx (, x,..., x, ) P ( X x) ( e ),! k k x k μ = = = = = x k k dl L x l L= [ x l μ l x! μ], = [ ] = 0, μ = dμ = 8
k x X μ = = = = = k x μ = = = x. 3. Peņemsm, ka ξ N( μσ, ), t.., gadījuma lelums ξ r sadalīts pēc ormālā sadalījuma lkuma ar ezāmem parametrem μ u σ. x, x,..., x gadījuma leluma ξ vērtību zlase, Peņemsm, ka kuru zmatosm, la egūtu parametru μ u σ ovērtējumu. Tad o sakarības Lx (, x,. x,.., μ, σ ) = ( ) exp{ ( ) } x μ πσ σ = l L = l π l σ ( x ) }. μ σ Veādojum μ u = σ ovērtējumu egūšaa r sekojoš: Atrodam L = ( x ) 0 μ = μ σ = L = + 4 = σ σ σ ( x μ) 0 = ( X x) = μ = x, σ = = S. Prmas ovērtējums-eovrzīts, būtsks u efektīvs, otrasasmptotsk eovrzīts u būtsks.. 9
4. Peņemsm, ka gadījuma lelums ξ vs..[ a, b], t.., varbūtību sadalījuma blīvuma fukcja gadījuma leluma ξ r, x [ ab, ] pxab (,, ) = b a. 0, x [ ab, ] Peņemsm, ka x, x,..., x gadījuma leluma ξ vērtību zlase, kuru zmatosm, la egūtu parametru a u b ovērtējumu. Tcamības fukcja Lx (, x,..., x, ab, ) = r ezāmo ( b a) parametru a u b fukcja u maksmumu sasedz pe a = m X, b = max X. Vslelākās tcamības metode -dod būtskus, kaut arī rezēm ovrzītus ovērtējumus, kas asmptotsk ormāl sadalīt; - kaut kāda ozīmē vslabāk zmato vsu ovērojumu zlases doto formācju par ezāmo parametru. II. Mometu metode Šī metode dod vekāršākus u ērtākus raksturojumus: zlases sākuma momet kalpo par ovērtējumem gadījuma leluma ξ sadalījuma atblstošem teorētskem sākuma mometem, kas satur ezāmus parametrus. Savukārt ovērtējame parametr zsakās kā teorētsko mometu zāmas fukcjas. Azvetojot tajās teorētskos mometus ar to ovērtējumem, egūstam parametru ovērtējumus. 0
Pemēr. a) Peņemsm, ka gadījuma lelums ξ vs..[ a, b]. x, x,..., x r gadījuma leluma ξ vērtību zlase, kuru zmatosm, la egūtu parametru a u b ovērtējumu ar mometu metodes palīdzību. Ir zāms, ka ( ) Eξ = b+ a, Dξ = b a. b+ a x = b = x + 3S Tad, ( b a). S a = = x 3S b) Aplūkosm kā egūt korelācjas koefceta ovērtējumu zmatojot mometu metod. def cor( ξ, η) ρ( ξη, ): = = E( ξ Eξ)( η Eη) = σσ ξ η σσ ξ η = ( Eξη Eξ Eη ). σσ ξ η Azvetojot teorētskos mometus ar to ovērtējumem, egūstam sstēmu x = Eξ y = Eη xy = = Eξη sx = σ ξ sy = ση rxy, = ( xy x y ) ss x y
Tātad, r( xy, ) = Cov( x, y) Cov( x, y) = = Var( x) Var( y) ss x y ss x y ( xy xy ) r korelācjas koefceta ρ( ξη, ) ovērtējums. Vsbežāk sastopamās sadalījuma fukcjas[6],[8] Vemērīgas sadalījums [ ab,, ] ξ vs..[ a, b] Varbūtību blīvuma fukcja r 0, x a px ( ) =, a< x b ( ) b a, Eξ = b+ a, Dξ = b a, x> b Normālas sadalījums, ξ Na (, σ ) Normālā sadalījuma blīvuma fukcja r ( x a) σ (,, ),, 0 pxaσ = e a R σ > πσ Eξ = a, Dξ = σ, Mo( ξ) = Me( ξ) = a. Pa ( 3σ < ξ < a+ 3 ξ) = 0.9986 Ja σ = u a=0, tad sadalījumu sauc par stadartu (ormētu) ormālo sadalījumu. Daudzdmesju ormālas sadalījums, ξ NaM (, )
ξ = ( ξ, ξ,..., ξ ), a = ( a, a,..., a ), a R k, k M -smetrskā, poztīv defīta matrca. Daudzdmesju sadalījumu sauc par ormālu, ja tā blīvuma fukcja r k π pxaa (,, ) = ( ) A exp{ ( Ax ( a),( x a)}, k kur x R, A - matrcas A determats, (.,. )-skalāras - rezājums, M : = A = cov( ξ, ξ j),, j =,,..., k - kovarācjas matrca. - Ja A r dagoālmatrca, tad ormālā vektora ξ kompoetes eatkarīgas u k ( x a ) pxaa (,, ) = ( π ) σ exp = σ. Spēkā arī pretējs apgalvojums, ja ormālā vektora kompoetes eatkarīgas, tad atblstošā kovarācjas matrca dagoāla. Dvdmesju ormālā sadalījuma blīvuma fukcja r šāda: pxy (, ) = ( x a) ( x a)( y b) ( y b) = exp ρ + πσ ( ρ) σ ξση ρ ξ σξση σ η kur ρ( ξη, )-korelācjas koefcets, Eξ = ae, η = b. k Lemma [] ξ ~ NaM (, ), η = Cξ η ~ NCaCMC (, ) χ sadalījums. Pīrsoa jeb Peņemsm, ka ξ N(0,), =,,...,, eatkarīg 3
χ ξ = χ sadalījumu ar brīvības pakāpēm (hī- kvadrāts ar Gadījuma leluma brīvības pakāpēm). χ sadalījuma blīvuma fukcja r p χ kur r brīvības pakāpes. = sadalījumu sauc par Prsoa jeb x x e, x> 0, ( x) = ( ) Γ 0, x 0, χ Eχ =, Dχ =, τ pēc sadalījuma, kur τ N (0,). 5.zīm. χ sadalījumu blīvuma fukcjas. 4
Stjūdeta jeb t-sadalījums. Peņemsm, ka ξ ~ N (0,), χν = χν r eatkarīg gadījuma lelum. ξ χ Gadījuma leluma t ν = ν sadalījumu sauc par Stjūdeta jeb t-sadalījumu ar ν brīvības pakāpēm. t ν sadalījuma blīvuma fukcja r ν ν + ν + Γ x pt ( x) =, x (, ). ν πν ν + ν Γ Ja ν =, tad egūstam Koš sadalījumu. τ pēc sadalījuma, kur τ N (0,) t ν ν 6.zīm. t-sadalījumu blīvuma fukcjas. 5
F-sadalījums. Peņemsm, ka χ, χ - eatkarīg gadījuma lelum. m χm Gadījuma leluma χ m jeb F- sadalījumu ar m u brīvības pakāpēm. F m sadalījuma blīvuma fukcja r, = Fm, sadalījumu sauc par Sedekora m+ m m+ Γ m m m x + x, x> 0, pf ( x) = m m, Γ Γ 0, x 0. Ja m=, tad F, t. 7.zīm. F-sadalījumu blīvuma fukcjas. 6
Gadījuma leluma z = l F m, sadalījumu sauc par Fšera sadalījumu ar m u brīvības pakāpēm. Peņemsm, ka ξ epārtraukt sadalīts gadījuma lelums ar sadalījuma fukcju F ξ (x) Atradīsm gadījuma leluma η = Fξ (ξ ) sadalījuma fukcju. No tā, ka Fξ ( x) [0,] zret 0, x 0, Fη( x) = P( η < x) = P( Fξ( ξ) < x) =., x >. Ja x (0,) egūstam F ( x) = P( η < x) = P( F ( ξ ) < x) = η ξ = P < F x = F F x = x < x. ({ ω: ξ ξ ( )}) ξ( ξ ( )), 0 Līdz ar to 0, x 0 Fη ( x) = x, 0< x, x > Tādējād, gadījuma lelums η r vemērīg sadalīts segmetā [0,]. Izmatojot formulu ξ = ( η) varam modelēt epārtraukt sadalītus F ξ gadījuma lelumus (η - vemērīg sadalīts [0,] gadījuma lelums).. 7
Statstkas, sastītas ar ormālo zlas Kokrea teorēma [] Ja gadījuma vektora ξ = ( ξ, ξ,..., ξ ) kompoetes r eatkarīgas u sadalītas pēc stadarta ormālā sadalījuma lkuma u eksstē k kvadrātskas formas ( Vjξ, ξ ), j =,,..., k ar atblstošem ragem,,.., k, kurām ( Vjξξ, ), k ξ = = j= tad r spēkā šād apgalvojum:. o veādības k j= j = seko, ka katra kvadrātska forma ( Vjξ, ξ ), j =,,..., k r χ j sadalījums u tās vsas r eatkarīgas;. ja katra kvadrātska forma ( Vjξ, ξ ), j =,,..., k r χm j sadalījums, tad katra šī sadalījuma brīvības pakāpju skats m j veāds ar atblstošo kvadrātskās formas ragu, j =,,..., k u r spēkā j k j = ; j= 3. ja vsas kvadrātskās formas ( Vjξ, ξ ), j =,,..., k r eatkarīgas kopumā, tad katra šī gadījuma leluma k sadalījums r χ j =,,..., k u r spēkā j =. j Teorēmas rezultātus bež zmato matemātskajā statstka, vecot pētījumos, kas sastīt ar ormālo sadalījumu. j= Saskaņā ar mūsu model, o Kokreas teorēmas seko: 8
a) ja ξ N (0,), y = ( y, y,... y ) r gadījuma ξ zlase, tad s y Perādījums. pārrakstīsm formā y χ Kvadrātskās formas N(0,) u eatkarīg. y ( y y) = = = + y y = ( y y) + y. = = ( y y) = rags veāds ar -, savukārt kvadrātskās formas y rags veāds ar. Tā kā zpldās Kokrea teorēmas prmā apgalvojuma osacījum varam secāt, ka sy χ, y χ u tās r eatkarīgas. Ievērojot gadījuma leluma χ = τ, kur τ N(0,), defīcju egūstam: s, (0,) y N eatkarīg. y b) ja χ ξ Na (, σ ), ( x a) σ p( xa,, σ ) = e, a R, σ R πσ x= ( x, x,... x )- r gadījuma ξ zlase, tad + 9
x a N(0,) σ sx = χ σ eatkarīg Perādījums. Saskaņā ar mūsu model, gadījuma vektora y = ( y, y,... y ), x a kur y : =, =,,...,, kompoetes eatkarīgas kopumā σ u sadalītas pēc stadarta ormāla sadalījuma lkuma. Tādējād, o pukta (a) seko, ka s x s = y y = x x = χ, ( ) ( ) y = σ = σ x a y= N(0,), u tās r eatkarīgas, kas arī bja σ jāperada. x a t (pēc t-sadalījuma defīcjas) s s σ = χ (pēc χ -sadalījuma defīcjas) c) x= ( x, x,..., x ), y= ( y, y,... y ) dvas Peņemsm, ka eatkarīgas zlases o sadalījumem: = m ( x a ) σ ξ Na (, σ ), pxa (,, σ ) e, πσ a R R =, σ +,,. 30
Ja ξ, ξ -eatkarīg, tad kur sm ( ) σ s σ = F (, m ), sm x zl, x y ( ) σ szl, yσ ( x x) ( y y) = = zl, x =, szl, y = s (seko o F-sadalījuma defīcjas). d) Jaξ gadījuma lelums ar sadalījuma fukcju Fξ ( x), Eξ = a, Dξ = σ, x= ( x, x,... x )- r gadījuma ξ zlase, u zlases apjoms r lels, tad o Cetrālās Robeža teorēmas (CRT), x a N(0,) σ e) ξ gadījuma lelums ar sadalījuma fukcju Fξ ( x), varācjas rdas varatus apveo k tervālos: ( x+, x), =,,..., k, x: = m{ x, =,..., }, xk+ : = max{ x, =,..., }, - ovēroto vērtību skats katrā -tajā tervālā, =,,..., k, zlases apjoms r lels, tad k ( p) p χk l, = ξ + ξ + ξ =, k k =, = p = P( ( x, x )) = F ( x ) F ( x ), =,,..., k, x x + =, l- ovērtējumu skats, kas r epecešams la aprēķātu p, =,,..., k. 3
Tcamības tervāla kostruēšaa Peņemsm, ka Fξ ( x, θ ) r gadījuma leluma ξ sadalījuma fukcja, fukcja zāma, bet satur ezāmu parametru θ, θ R. Peņemsm, ka x = ( x, x,... x ) -gadījuma leluma ξ vērtību zlase, ar kuru palīdzību tka egūts parametra θ ovērtējums γ ( x, x,..., x ). Nepecešams vēl ovērtēt ovērtējuma precztāt u drošību, t.., jāoskadro, kādas kļūdas rada ezāmā parametra azvetošaa ar tā ovērtējumu. Tas sevšķ svarīg, ja ovērojumu skats r maz. Peņemsm, ka egūts parametra θ eovrzīts ovērtējums γ ( x, x,..., x ). Jo mazāks θ γ, jo precīzāk ovērtējumsγ ( x, x,..., x ) osaka parametruθ. Tātad, ja θ γ < δ, tad skatls δ raksturo ovērtējuma precztāt. Statstskās metodes ļauj sprest tka par varbūtību β, ar kādu realzējas pēdēja eveādība. Par parametra θ ovērtējuma γ ( x, x,..., x ) drošību va tcamības varbūtību sauc varbūtību β, ar kādu realzējas eveādība θ γ < δ. Ņemsm, pemēram, varbūtību β petekoš lelu, tādu, la otkumu ar varbūtību β varētu uzskatīt par praktsk drošu, t.., β [0.95;0.999]. Tad P( θ γ < δ) β, va arī P( γ δ < θ < γ + δ) β, t.., azvetojot parametru θ ar γ ( x, x,..., x ), kļūda būs dapazoā δ, va ar varbūtību β ezāmā parametra θ vērtība būs tervālā ( ) J θβ = γ δγ+ δ. Kļūda, pēc absolūtās vērtības lelāka ekā δ,,, 3
parādīses ar varbūtību, kas mazāka par α = β. Šādā gadījumā tervālu J θβ, = ( γ δγ, + δ) sauc par parametra θ tcamības tervālu ar drošības koefcetu β. Ja varbūtību teorjas kursā apskatīja varbūtību, ar kādu gadījuma lelums peņem vērtības o dotā tervālā, tad šet ctād, šet θ r J θβ = γ δγ+ δ r gadījuma tervāls. kostate, bet ( ),, β - av varbūtība tam, ka θ būs dotajā tervālā, bet varbūtība tam,, =, + pārklās puktu θ. Tcamības tervālu var uzskatīt par tādu θ vērtību tervālu, kas saska ar ovērojumu rezultātem, av ar tem pretruā. Tās θ vērtības, kam θ γ > δ, var uzskatīt par pretruīgām ovērojumem, jo tāda otkuma varbūtība mazāka par α = β, t.., praktsk eespējams gadījums. Teorētsk tcamības tervālu ar tcamības varbūtību, pemēram, 0.5, var lustrēt sekojoš: ja zdarītu ovērojumu sērjas, tad puse o tcamības tervālem, kas kostruēt pēc katras sērjas ovērojumem, segtu ovērtējamo parametra θ. ka gadījuma tervāls J θβ ( γ δγ δ) Peņemsm, ka Fξ ( x, θ ) r gadījuma leluma ξ sadalījuma fukcja, θ, θ Ξ - parametrs. x = ( x, x,... x ) -gadījuma leluma ξ vērtību zlase, γ( x), γ( x) statstkas, α {0.05;0.0;0.00}- ozīmības līmes, β = α - drošība, T( x, θ )- gadījuma fukcja o ovērotājām vērtībām x, x,... x u parametra θ : k T : X Ξ R, k N = Jθ, α = ( γ( x), γ ( x)) sauc par parametra θ tcamības tervālu, ja zpldās P(( γ ( x) < θ < γ ( x)) = α, 33
t.., ar varbūtību β = α tervāls ( γ ( x), γ ( x)) ar gadījuma galem γ ( x) u γ ( x) pārklāj parametra θ pateso vērtību..teorēma[9] Ja T( x, θ ) : F ( t), t R av atkarīga o θ, θ Ξ T( x, θ ) x T( x, θ) pēc θ eatkarīg o x ves veīgs atrsājums T( x, θ ) = t attecība pret θ tad, x T( x, β), T( x, β): Pθ ( x: T( x, β) < θ < T( x, β)) = β, β = α drosība Pemēram, gadījumā, kad T( x, θ) vsem x u β = p- p egūstam Pθ( T( x, θ ) < t ) = FT( x, θ) ( t) = p t( p) Pθ( T( x, θ ) < t ) = FT( x, θ) ( t) = p t( p). Tātad β = P( t ( β) < T( x, θ) < t ( β)) = P( T ( x, t ) < θ < T ( x, t )) Nezāmā parametra θ tcamības tervāls būs Jθβ, = ( T ( x, β), T ( x, β)), x - zlase, β -drošība. Jθβ, = ( T ( x, β), T ( x, β)) r tādu θ vērtību tervāls, kas saska ar ovērojumu rezultātem, t.., av ar to pretruā. Vēlams, la tervāla garums, kas r gadījuma lelums, būtu mazāks. Tomēr, vsbežāk tervāla robežas t, t zvēlās tā, la α Pθ( T( x, θ) > t) = Pθ( T( x, θ) < t) =. 0 34
Pemēr.. Ar uzdoto drošību β otekt tcamības tervālu ormāl sadalīta gadījuma leluma ξ parametram θ := Eξ, ja zāma Dξ = σ. x θ T( x, θ ) = apmera teorēmas osacījumus. Līdz ar to: σ x θ T( x, θ ) = N(0,) ; σ ar Laplasa fukcjas tabulām, pe uzdota β atrodam t o veādojumā x θ β = P < t < t σ, o šejees egūstam tσ tσ β = P x < θ < x+ ; tātad, matemātskās cerības tcamības tervāls ormāl sadalītam gadījuma lelumam ξ, gadījumā, kad Dξ = σ zāma, r tσ tσ Jθβ, = x, < x+.. Gadījuma lelums ξ ormāl sadalīts ar ezāmem parametrem θ 0, θ. Aalzējot zlas x= ( x, x,... x ), kostruēt ar uzdotu drošību β tcamības tervālus parametrem θ 0 u θ. x θ0 a) T( x, θ0) = apmera teorēmas osacījumus. s x θ0 T( x, θ0) = t (Stjūdeta sadalījums ar - s brīvības pakāpēm); ņemot vērā, ka gadījuma leluma t ν ar ν brīvības pakāpēm sadalījuma blīvuma fukcja r pāra fukcja, secām, ka 35
t = t = t evērojot eprekšējo, pēc Stjūdeta sadalījuma fukcjas tabulām, atrodam t o veādojuma x θ 0 β = P t< < t. s Ievetojot t = t = t formulā, egūstam ts ts β = P x < θ0 < x+ 8.zīm.Smetrsks tervāls zem Stjūdeta sadalījuma līkes. līdz ar to secām, ka pe uzdota β matemātskās cerības tcamības tervāls ormāl sadalītam gadījuma lelumam ξ, gadījumā, kad dspersja ξ av zāmā, r ts ts Jθ x, x. 0, β = < + 36
s b) T( x, θ) = χ u apmera teorēmas osacījumus. Līdz ar θ to uzdotam β var atrast bezgalīg daudz skatļu pāru ( t, t ) tādu, ka Pt ( < χ < t) = β. Skatās letderīg tervāla robežas t u t zvēlētes tā, la zpldās β α Pθ ( T( x, θ ) > t) = Pθ( T( x, θ) < t) = =. 9.zīm. Itervāls zem χν sadalījumu blīvuma fukcjas. t u t atrod o tabulām u eveto formulā ( s ) s s β = Pt < < t = P < θ < θ t t ; o šejees secām, ka pe uzdota β dspersjas tcamības tervāls ormāl sadalītam gadījuma lelumam ξ r s s Jθ, β=,. t t.pezīme. Dspersjas tcamības tervāla kostruēšaa mēs letojam gadījuma leluma χ ν sadalījuma tabulas, kurās parast brīvības pakāpes ν 30. 37
Izmatosm faktu, ka Eχ = ν, Dχ = ν u to, ka gadījuma ν ν χ leluma ν ν sadalījuma fukcja, ja ν, tecas uz stadartu ν ormālu sadalījumu. Tad, pe lelām ν vērtībām χν N( ν, ν). Tātad, ja ν >30, s t ( ) s ( ) t ( ) β = Pt ( < < t) = P < < = θ ( ) ( ) ( ) t ( ) t ( ) = FN(0,) FN(0,). ( ) ( ) Ievērojot, ka s s β Pθ t > = Pθ < t =, σ σ egūstam t ( ) β ( ) N(0,), t + β F = FN(0,) =, ( ) ( ) kā arī to, ka t ( ) t ( ) =. ( ) ( ).pezīme. Ja ovērojamā ormāl sadalīta gadījuma leluma matemātskā cerība a r zāma, tad, la kostruētu dspersjas σ tcamības tervālu, var zmatot statstku x a T( x, σ ) = N(0,). σ 3.pezīme. Peņemsm, ka F( x, θ ) r gadījuma leluma ξ sadalījuma fukcja ar veu ezāmu parametru θ R. Atzīmēsm, ka šajā gadījumā ga Eξ, ga Dξ r fukcjas o parametra θ. 38
Peņemsm, ka x, x,..., x r gadījuma leluma ξ zlase. Tā kā { x, =,,..., } kopumā eatkarīg u veād sadalīt, tad pe lelem pēc cetrālās robežteorēmas zpldās = ( x Ex) N(0,), Dx = kas ļauj kostruēt tcamības tervālu ezāmam parametram θ R. 3. Ar uzdotu drošību β otekt tcamības tervālu ekspoecāla sadalīta gadījuma leluma ξ parametram θ := λ, gadījumā, kad zlases apjoms r lels. Blīvuma fukcja ekspoecālajam sadalījumam r 0, x < 0 pξ ( x) = λx λe, x 0, λ > 0. Eξ =, Dξ λ = λ u pe lelem pēc CRT fukcja x T( x, λ) = λ = λ( x ) N(0,). λ Tātad, pe uzdotas drošības β o ( ( λ ) ) β = P t< x < t atrodam t. Līdz ar to, ekspoecāl sadalīta gadījuma leluma ξ parametra λ tcamības tervāls r t t Jλβ, =, + x x. 4.Pezīme. Pe lelem līdzīg kostruē tcamības tervālu ezāmam parametram, pemēram, tādem gadījuma lelumem: 39
x p ξ b(, P), T( x, p) = N(0,), lels, p( p) x λ ξ P( λ), T( x, λ) = N(0,), lels, λ x ν χ ν, T( x, ν) = N(0,), lels. ν 5.Pezīme. La aprēķātu korelācjas koefceta ρ( ξη, ) tcamības tervālu, var zmatot statstkas + rx, y T( x, y) = l rx, y sadalījuma fukcju, kura ļot tuva ormālajam sadalījumam ar matemātsko cerību + ρ l ( ξη, ) u dspersju ρ( ξη, ) 3 (R.Fšers). Statstskā hpotēžu pārbaude[],[],[5] Hpotēzes par varbūtību statstskā pārbaude Peņemsm, ka zāmu apsvērumu rezultātā mums r pamats uzskatīt, ka dotā otkuma varbūtība r p. Zot, ka eatkarīgos mēģājumos otkums parādījes m rezes, grbām pārbaudīt mūsu hpotēz par otkuma varbūtību p. Pemēram, metot moētu, uzskatām, ka varbūtība veā meteā uzkrst ģerbom r 0.5. Peņemsm, ka 00 rezes metot moētu, ģerbos r uzkrts 40 rezes. Mūsu pemērā uzkrtušo ģerboņu skats μ - gadījuma lelums, kas sadalīts pēc bomālā sadalījuma lkuma ar matemātsko cerību Eμ = p = 50 u dspersju Dμ = pq = 5. Mūs teresē, va ekspermetā uzkrtušo ģerboņu skatu 40 var uzskatīt par petekoš tuvu teorētska orma 50, kas atblst hpotēze p =. 40
Vsprms zvēlēsmes robežas gadījuma leluma μ peļaujamām ovrzēm, ja spēkā mūsu hpotēze, t.., uzrādīsm tādu krtsko ovrz, kuras pārsegšaa pe mūsu hpotēzes r espējama ar tk mazu varbūtību, ka to praktsk var skatīt par eespējamu. Tāpēc, ja šī pārsegšaa tomēr otek, mūsu hpotēze av saveojama ar ovērojumem, ovērojum eapstpra hpotēz. U ctād, ja faktskās ovrzes mazākas par krtsko, mēs varam uzskatīt, ka ekspermeta rezultāts av pretruā ar zvrzīto hpotēz u ovērotajām ovrzēm r gadījuma raksturs. Parast par praktsk eespējamām ovrzēm peņem tādas, kuru varbūtība epārsedz 0.05 va 0.0. Šo varbūtību sauc par ozīmības līme α, ta atblstošo lelo ovržu apgabalu par krtsko apgabalu, bet pašu pārbaudes lkumu- par ozīmes krtērju (pārbaudes procedūru, hpotēzes krtērju). Prcps, pēc kura otkum ar mazu varbūtību skatās eespējam, bet otkum ar varbūtību tuvu veekam gadrīz droš, r gadrīz vsas matemātskās statstkas pamatā. Skatl α zvēlas az praktskem apsvērumem. Dažos gadījumos var ņemt vērā otkumus, ja to varbūtība <0.05, bet, ja jāoskadro, pemēram, ldmašīas avārjas espēja, jāņem vērā pat gadījum, kuru varbūtība r 0.00 u mazāka. Peņemsm, ka α =0.05. Ņemot vērā, ka pe petekoš lelem gadījuma lelums μ r tuvu ormāl sadalītam gadījuma lelumam, lelums μ p η = pq tuvu ormāl sadalītam gadījuma lelumam ar parametrem Eη = 0, Dη =. No šejees atradīsm krtskā apgabala robežu t P( η > t) = α t =.96. Tātad, gadījuma lelumaη vērtības, kas pēc absolūtās vērtības lelākas par t, espējamas ar varbūtību 0.05, tk maza, ka pe peņemtās hpotēzes dotā ekspermetā, tas r eespējams otkums. Jāoskadro gadījuma lelumaη ekspermetā realzējuses vērtība 40 00 0.5 η* = = 5. 00 0.5 4
Tā kā η * >.96, hpotēz evar peņemt par parezu, jo ekspermetā realzējes otkums ar tk mazu varbūtību, ka mēs to peņemam par eespējamu. Prcps: otkum ar mazu varbūtību tek uzskatīt par eespējamem, otkum ar varbūtību tuvu gadrīz drošem. Ja η * būtu bjs espējamo vērtību robežas, tad hpotēzes būtu jāpārbauda tālāk, jo ekspermetā egūtas rezultāts ebūtu ar to pretruā, bet tas vēl ebūtu hpotēzes parezības perādījums. Hpotēžu pārbaudes vspārīgas uzdevums Peņemsm, ka ruājot par kādas parādības vedu, hpotēze H 0, zāmu apsvērumu dēļ, r peņemta kā galveā (ulles), ošķrot to o vsas alteratīvo hpotēžu {H, =,,...} kopas. Ir ekspermets, kura rezultāts x r kādas kopas X (ģeerālās kopas) elemets. Pēc zlases vērtības x jāosaka, kura o hpotēzēm dodama prekšroka. Hpotēzes H 0 pārbaudes process formāl r šāds: - zvēlas kādu kopu S, ko sauc par hpotēzes H 0 krtsko kopu - zdara ekspermetu - ja ekspermeta rezultāts x S, tad hpotēz H 0 orada. Vēlams, la S apmerātu sekojošas prasības: a) Px ( S H0) = 0, jo tādā gadījumā mēs ekad eoradītu parezu hpotēz H 0 b) Px ( S H ) =, 0, jo tādā gadījumā mēs vemēr oradītu hpotēz H 0, ja patesībā pareza būtu jebkura o hpotēzēm H, 0. Taču praktsk teresatos gadījumos, la zpldās Px ( S H0) = 0, kopa S jābūt tukša. Bet tad arī Px ( S H ) = 0vsem, u pārbaudes process r bjs veltīgs. Tāpēc jāpeļauj o 0 atšķrīgas 4
vērtības varbūtība Px ( S H0), zvēlotes vsprms ozīmības līme, t.., zvēlotes skatl α > 0 u prasot, la Px ( S H) α. Ha hpotēze H 0 ļot ozīmīga, α jābūt mazam. Parast zvēlas veu o skatļem 0.05, 0.0, 0.00, kas r vsu atzīt u kurem tāpēc r sastādītas atblstošas statstskas tabulas. Tātad, vsprms zvēlas α, tad zvēlas S, kas apmera Px ( S H0) α u zdara ekspermetu. Acīmredzot Px ( S H0) r varbūtība oradīt hpotēz H 0, ja tā pareza. Šādu kļūdu sauc par prmā veda kļūdu. No Px ( S H0) α seko, ka prmā veda kļūdas varbūtība epārsedz ozīmības līme α. Ja x S, kur S apmera Px ( S H0) α, tad hpotēze H 0 tek oradīta ozīmības līme α. Ja x S, tad var sacīt, ka hpotēze H 0 etek oradīta ozīmības līme α. Apgalvot, ka hpotēze H 0 tek peņemta, edrīkst, jo espējams, ka ctā ozīmības līmeī tā tks oradīta. Protams, ka mūs galveokārt teresē gadījum, kad hpotēze H 0 tek va etek oradīta vsos saprātīgos ozīmības līmeņos. Tād gadījum sastopam bež. Bez prmā veda kļūdas espējama otrā veda kļūda- hpotēze H 0 etek oradīta, la ga patesībā pareza r evs H 0, bet ga kāda o hpotēzēm H, 0. Šs kļūdas varbūtība r γ (): = P( x S H ) = P( x S H ). 0 Fukcju β () = P( x S H ), kas veāda ar varbūtību oradīt hpotēz H 0, jo pareza hpotēze H 0, sauc par statstskā krtērja S jaudu. La otrā veda kļūda būtu 43
vsmazākā starp vsem S, kas apmera Px ( S' H0) α, jāzvēlas tas S, kam spēkā Px ( S H) = sup Px ( S' H), 0. S ' Vspār S atkarīgs o. Ja eksstē S, kas av atkarīgs o, tad tas r vslabākas krtērjs, kas demžēl dezga ret eksstē. Otrā veda kļūdu regulē ar krtskā apgabala zvēl. Krtskas apgabals jāzvēlas tā, la gadījumā, kad orada H 0, varbūtība okļūt apgabalā S, kas šajā gadījumā r eparezas hpotēzes H 0 oradīšaas varbūtība, būtu vslelākā. Peņemsm, ka ekspermeta rezultātā ovēro statstku T(x). Tad, gadījumā =, hpotēzes H 0 pārbaudes procesu formulē šād: Peņemsm, ka F( x, θ ) gadījuma leluma ξ sadalījuma fukcja, fukcja zāma, bet satur ezāmu parametru, θ Ξ, Ξ =Ξ Ξ, Ξ Ξ = 0 0 x = ( x, x,..., x ) -gadījuma leluma ξ vērtību zlase, α (0.05;0.0;0.00) ozīmības līmes. Hpotēzes H 0 pārbaudes process: zvrzās H0={ θ Ξ0} -ulles hpotēze H = { θ Ξ } - alteratīva hpotēze zvēlas α zvēlas statstku T( x) X, zvēlas hpotēzes H 0 krtsko kopu S X : 44
C = { S : P( T( x) S H0) = α} sup PT ( ( x) S H) = S C = PT ( ( x) S H) vec ekspermetu aalzē ekspermeta rezultātu T( x) S hpotēze H 0 tek oradīta ozīmības līmeī α, T( x) S hpotēze H 0 etek oradīta ozīmības līmeī α. α = ( ( ) ) PT x S H0 prmā veda kl, uda β = ( ( ) ) PT x S H otrā veda kl, uda β = PT ( ( x) S H) krtērja jauda Krtskas apgabals Peņemsm, ka par gadījuma lelumaξ sadalījumu zvrzās hpotēzes 0.zīm. H = ( θ= θ ), H = ( θ= θ ) f ξ 0 0 ( x) gadījuma leluma ξ sadalījuma blīvuma fukcja 45
Pe šādām hpotēzēm, kas dotas zīmējumā, otrā veda kļūda mmāla, ja par krtsko apgabalu zvēlas lelu poztīvo ovržu apgabalu. Ja hpotēze H būtu ovrzīta pa kres attecība pret hpotēz H 0 par krtsko apgabalu būtu jāzvēlas lelu egatīvo ovržu apgabalu. Ja av zāmas kokurējošās hpotēzes ovrzes tedeces, tad par krtsko apgabalu zvēlas pēc absolūtās vērtības lelu ovržu apgabalu. Vdējo salīdzāšaa. Praksē bež ve ekspermetu vec varākas rezes, pe tam ekspermetos egūte vdēje lelum jūtam atšķras. Kā pemēru varam mēt produkcjas kvaltātes zlases pārbaud. Jāoskadro, va šo atšķrību dod ekspermetu gadījuma kļūdas, zlases erobežotība va arī būtskas atšķrības zlasēs. Pemēram: produkcjas kvaltāte būtsk atšķras atkarībā o partjas, jo etek evērots ražošaas teholoģjas process. Peņemsm, ka katrā sērjā tek mērīts ves u tas pats lelums a. Mērīšaas kļūdas prmajā u otrajā ekspermetā sadalītas pēc ormālā sadalījuma lkuma attecīg ar parametrem (0, σ ) u (0, σ ). Jāoskadro, va mērāmo lelumu patesā vērtība r a, kaut ga x u y atšķīrās. Atrsājuma etap:.izvrzām ulles hpotēz H 0 : starp salīdzāmo zlašu parametrem būtsku atšķrtību av u alteratīvas hpotēz H : salīdzāmo zlašu parametr būtsk atšķras. 46
.Atrodam gadījuma leluma T( x, y) = x y, va kādas ctas statstkas T( x, y) = f( x, y) sadalījuma fukcju. 3.Uzdodot β = α kostruējam T( x, y ) statstkas krtsko apgabalu S. 4.Izdarot ekspermetu zrēķām statstkas egūto vērtību T*. 5. Ja egūtā vērtība T* r krtskā apgabalā, tad zvrzīto ulles hpotēz oradām. Ja ē, tad varam uzskatīt, ka atšķrību zsaukušas ekspermeta gadījuma kļūdas. Taču mūsu ulles hpotēze perādīta av, evaram apgalvot, ka abas zlases r egūtas vea u tā paša leluma mērījumu rezultātā. a)vdējo salīdzāšaa, ja zāma mērījumu precztāte x, x,..., x ; y, y,..., y, u ka Peņemsm, ka dotas dvas zlases m abās mērījumu sērjās, abos ekspermetos, zām lelum σ u σ. Tad, ņemot vērā, ka x N( a, σ ), =,,...,, y N( a, σ), =,,..., m, egūstam, ka gadījuma lelum σ σ x N( a, ), y N( a, ) m u r eatkarīg. No tas seko, ka x y N a a, σ σ +. m No šejees x y ( a a) T( x, y) = N(0,) σ σ. + m Tālāk pēc dota α oteksm krtsko apgabalu 47
x y P( T( x, y) > t H0) = α jeb P > t = α σ σ. + m No šejees pēc Laplasa tegrāļa tabulām atrodam t. Tālāk, ja x y T*( x, y) = σ σ kur, x, y,, m, σ, σ + m kokrēt, dote va ekspermetā egūt skatļ, pēc moduļa lelāk par t, tad hpotēz H 0 : ka starp salīdzāmo zlašu parametrem būtsk atšķrtību av, oradām kā eparezu. Tātad atšķrtība r būtska. Pretējā gadījumā atšķrības var būt gadījuma rakstura, eozīmīgas. b)vdējo salīdzāšaa, ja mērījumu precztāte av zāma Peņemsm, ka σ u σ av zām, bet abās zmēģājumu sērjās veād ( pemēram, abās sērjās mērījum tek vekt ar veu strumetu). Ievērojot, ka χ χm σ σ s s m,, peņēmumu σ = σ = σ, kā arī faktu, ka eatkarīgem χ u χ spēkā m : χ + χ = χ, egūstam - m- +m- s + sm χ + m. σ Ņemot vērā, ka gadījuma lelum 48
x y ( a a) N(0,) s + sm, χ + m σ + σ m r eatkarīg, kostruējam statstku sadalītu pēc t-sadalījuma lkuma x y ( a a ) T( x, y) = + m t+ m. + s + sm Pēc dota α, o t-sadalījuma tabulām atrodam t o m t.., P( T( x, y) > t H ) = α, 0 P x y + m > t = α. + s + sm m Tālāk, pēc ekspermetā egūtajem skatļem, jāaprēķa x y T*( x, y) = + m + s + sm m u jāaalzē, va T*(x,y) vērtība peder krtskajam apgabalam va ē. Pezīme. Šajā zlases salīdzāšaas uzdevumā var tkt mērīts ves u tas pats ormāl sadalīts gadījuma lelums. Tad gadījumā a) σ u σ, kas tek uzdot, vars av tka mērījumu kļūdu rezultāts, gadījumā b) spredum palek te paš. 49
Dspersju hpotēžu pārbaude Dspersju hpotēzēm peletojumos r svarīga ozīme, jo dspersja raksturo tādus kostruktīvus u teholoģskus rādītājus kā mašīu u strumetu precztāte, teholoģsko procesu precīza zplde utt. Peņemsm, ka grbam pārbaudīt, va dvas ormālu zlašu dspersjas r veādas. Izvrzām hpotēz, ka dspersjas r veādas. Kā mēs redzējām, šāda veda hpotēžu pārbaudē jāatrod statstka, kuras, ja H 0 pareza, sadalījums av atkarīgs o ovērojumu sadalījuma lkuma parametrem, jo tādam e o kā eatkarīgam sadalījumam var vegl sastādīt tabulas. Apskatīsm attecību ( x x) sm x ( ) m = (, ) = =, m sm y ( ) ( y y) = T x y kur x, x,..., x; y, y,..., ym-dvas eatkarīgas zlases o sadalījumem ξ Na (, σ ), η Na (, σ), turklāt skatītajam σ sadalījums r χ, saucējam - σ χm m. Ja hpotēze H 0 pareza, tad attecība r F- (Sedekora) sadalījums ar atblstošajām brīvības pakāpēm - u m-, T( x, y) F, m. Ievērojot F- sadalījuma blīvuma fukcjas formu, krtsko apgabalu zvēlas tā, la pe ozīmības līmeņa zpldās α α PF (, m > t) = PF (, m < t ) =. Tāda krtskā apgabala zvēle dod lelāku pārbaudes krtērja jaudu. Acīmredzot, ka Fm,. Tad F, m PF (, m < t ) = P > = PF ( m, > ). F, m t t 50
F Tātad,, m - sadalījuma kresajam krtskajam puktam atblst Fm, sadalījuma labas krtskas pukts. Tāpēc petek ar vepusīgām tcamības robežu tabulām, la otektu krtsko apgabalu. Korelācjas koefceta hpotēzes pārbaude La pārbaudītu hpotēz par korelācjas koefcetu, var zmatot tcamības tervāla metod. Ša pārbaude r dv soļ:. zmatojot statstku + rx, y T( x, y) = l r osaka ar drošību β = α tcamības tervālu jeb statstkas peļaujamo vērtību apgabalu;. zdara secājumus: ja ulles hpotēzes vērtība peder tcamības tervālam, tad evaram oradīt ulles hpotēz H 0 : ρ( ξη, ) = ρ0; ja vērtība atrodas ārpus tcamības tervāla, ulles hpotēz orada u uzskata, ka zpldās H: ρ( ξη, ) ρ0. Tādējād tcamības tervālu varam uzskatīt par ulles hpotēzes peļaujamo apgabalu, bet tervālu ārpus peļaujamā apgabala par ulles hpotēzes oradīšaas apgabalu. Sadalījuma lkumu hpotēžu pārbaude Peņemsm, ka jāpārbauda hpotēze H 0, kas apgalvo, ka gadījuma leluma ξ sadalījuma fukcja r Fξ ( x). Kā zāms, šajā gadījumā, tek kostruēts krtskas apgabals S, u hpotēze tek oradīta, ja zlases vērtība x S u etek oradīta, ja x S. Krtsko apgabalu kostruē, zmatojot statstku T( x, y) Z, kuras sadalījuma lkums F (), R T( x, y) t t zāms. Tad, krtskas apgabals var būt, pemēram, šāda veda { ztxy : (, ) > γ }, kur α x, y 5
PzTxy { : (, ) > γ α H0} α, α -eprekš uzdots ozīmības līmes. Kostruētā krtērja prmā veda kļūdas varbūtība epārsedz α. Taču α r pārāk mazs, la krtērjs mūs plīgā apmerātu. Vajag, la tam būtu petekoša jauda, t.., la varbūtība P{ ztxy : (, ) > γ α H} būtu petekoš tuva veekam. Pe uzdotās alteratīvas H varumam statstku šīs īpašība ezpldās. Tāpēc īpaš teresatas r uversālās statstkas, kuru atblstošajem krtērjem r petekoša jauda plašā gadījumu klasē. χ statstka u krtērjs (Prsoa krtērjs) Dota zlase ar apjomu. Jāpārbauda, va ekspermetāle dat av pretruā ar hpotēz, ka gadījuma lelums ξ sadalīts pēc sadalījuma lkuma Fξ ( x). Sadalīsm skatļu tas r savstarpēj ešķeļošos ogrežņos: (, a),[ a, a),...,[ ar, ). Ar p, =,,..., rapzīmēsm varbūtību zlases vērtība ekļūt -tajā ogrezī. Acīmredzot, p = Fξ( a) Fξ( a ). Defēsm statstku r ( p) χ : =, = p kur zlases apjoms, - -tajā tervālā esošo ovēroto vērtību skats, =,,...,r; a0 =, ar =. Krtērju, kura pamatā r χ statstka, sauc par χ krtērju. Ja hpotēze H 0 pareza, tad p, =,,..., r gadrīz droš, u statstka r r ( p) χ : = = p p p = = 5
pe petekoš lelem ar lelu varbūtību būs ārpus krtskā apgabala S = { χ > γ }. Ja pareza H, t.., ģeerālās kopas sadalījuma fukcja α F '( x) F ( x), tad eksstē tāds, ka ξ ξ p > 0.Tātad χ. Še spredum rāda, ka χ krtērjam r petekoša jauda. To apstpra ga precīz aprēķ, ga šī krtērja sekmīga peletošaa praktsku uzdevumu rsāšaā. Teorēma[],[6]. Ja pareza hpotēze H : F ( x) F( x) 0 ξ = u zlases apjoms tecās uz bezgalību, tad statstkas r ( p) χ : = = p sadalījums tecas uz χr l sadalījumu ar r lbrīvības pakāpēm, kur zlases apjoms; (, a),[ a, a),...,[ ar, ) - skatļu tases sadalījums savstarpēj ešķeļošos tervālos, a0 =, ar = ; - - tajā tervālā esošo ovēroto vērtību skats, =,,...,r; p = F( a) F( a ), =,,...,r; l- ovērtējumu skats, kas zmatots, aprēķot teorētsko sadalījumu. Teorēma ļauj par krtsko apgabalu ņemt S = ( γ, ), kur γ r veādojuma F χ ( γ ) = α atrsājums. r l Pezīme. Galvee uzdevum, kurus rsa, zmatojot χ krtērju, r šād:. pārbauda, va dv gadījuma lelum r eatkarīg ves o otra;. pārbauda, va dotas empīrskas sadalījums atblst zvēlētajam teorētskajam sadalījumam; 3. pārbauda, va dv va varāk empīrske sadalījum r veāda veda, eoskadrojot, kādam teorētskam sadalījumam te atblst. 53
χ kā empīrskā u teorētskā sadalījuma atblstības pārbaudes krtērjs Peņemsm, ka dota zlase ar apjomu. Ar drošību β = α jāpārbauda, va ekspermetāle dat av pretruā ar hpotēz, ka gadījuma lelums ξ sadalīts pēc sadalījuma lkuma F ( x).tātad, ξ H0 : Fξ ( x) = F( x) H : Fξ ( x) F( x) Sadalīsm skatļu tas r savstarpēj ešķeļošos ogrežņos: (, a),[ a, a),...,[ ar, ). Peņemot, ka ulles hpotēze r spēkā, aprēķāsm varbūtību, ar kādu zlases vērtība var ekļūt -tajā ogrezī. t.., p, =,,..., r. Ja sadalījuma fukcja satur ezāmus parametrus, jāzmato parametru atblstoše ovērtējum. Defēsm statstku r ( p) T( x) =, = p kur zlases apjoms, - -tajā tervālā esošo ovēroto vērtību skats, =,,...,r; a0 =, ar =. Ja pareza H 0, pēc teorēmas, T( x) χr l pēc sadalījuma, kur l- ovērtējumu skats, kas zmatots, aprēķot p, =,,..., r. Ja spēkā H, tad vsmaz pe vea lm p > 0, u T( x). Līdz ar to S = ( γ, ), kur γ atrodam o veādojumā PT ( ( x) > γ H0) = α. Izrēķām statstkas ekspermetā egūto vērtību * ( ) Secām: T x. 54
ja T * ( x) < γ, tad hpotēz jāpārbauda tālāk, jo ekspermetā egūtas rezultāts av ar to pretruā, ja T * ( x) > γ zvrzīto ulles hpotēz oradām. Kolmogorova krtērjs [0],[4] La otektu ekspermetālo datu saskaņotības pakāp ar hpotēz, kas apgalvo, ka epārtraukta gadījuma leluma ξ sadalījuma lkums r F( x, ) var letot Kolmogorova krtērju. Izvēlas sekojošu statstku D = sup F ( x) F( x), kur F ( x ) r empīrskā sadalījuma fukcja, F( x ) r teorētskā sadalījuma fukcja. A. Kolmogorovs r perādījs, ka P( D < x) K( x), kur x ( ) e. ( ) k k x K x = k = Krtskā apgabala kostruēšaa var zmatot Kolmogorova sadalījuma tabulas, kas sasta x u K(x) Ja gadījuma leluma ξ sadalījuma fukcja r F ( x) F( x), t.., pareza alteratīvā hpotēze, tad pēc Gļveko teorēmas ar varbūtību veādu ar r spēkā lm sup F ( x) F( x) = 0 u, tātad x lmd = lmsup F( x) F( x) > 0. x No šejees ar varbūtību lm D =. Tas ozīmē, ka pe jebkura ozīmības līmeņa α, zlases apjomam eerobežot palelotes, Kolmogorova krtērja jauda tecas uz veeku. 55
Kolmogorova krtērja peletošaas shēma r šādā: a)tek kostruēta empīrskā sadalījuma fukcja F ( x ) u zvrzīta hpotēz par teorētsko sadalījuma fukcju F( x; ) o ekspermeta rezultātem tek otekta D = x* ; b)pēc tabulām tek atrasts lelums K( x*), t.., varbūtība, ka gadījuma cēloņu dēļ F ( x) u F( x ) atšķrība, ja pareza ulles hpotēze, ebūs mazāka par faktsk ovēroto x*; c)ja K( x*) < α, tad ulles hpotēz vajag oradīt kā eparezu, pretējā gadījumā to var uzskatīt par saveojumu ar prakses datem. Kolmogorova krtērjs o Prsoa krtērja atšķras ar savu vekāršību. Taču, la to letotu, precīz jāza F( x, ) t.., jāza e tka fukcjas vedu, bet arī vs tajā etlpstoše parametr, kas praksē ret r espējams. Parast o teorētskem apsvērumem zāms r tka fukcjas F( x ) vspārīgas veds, tajā eejošos parametrus osaka pēc statstskā materāla. Prsoa krtērjā tas tek evērots, samazot sadalījuma hīkvadrāta brīvības pakāpju skatu par osakāmo parametru skatu. Letot Kolmogorova krtērju, ja parametr av zām, av etecams. ω pārbaudes krtērjs Peņemsm, ka hpotēze H 0 apgalvo, ka epārtraukta gadījuma leluma ξ sadalījuma fukcja r F(x). Letosm statstku kur ω = [ F ( x) F( x)] df( x), 0, x x, k F( x) =, xk < x xk+, k =,,...,, x> x 56
(x,x,...,x )-zlases vērtības, dotas varācju rdas vedā. x x k+ k ω = F ( x) df( x) + F( x) df( x) + k = k 3 F( x ) k F ( x) + + [ F( x) ] df( x) = + 3 3 x 3 k F( x ) 3 k [ F( x )] k = + F( x ). k k= 3 3 k= x k k = 3 Ir zāms, ka statstkas ω sadalījums pe petekoš lelem tuvs dotam tabulētam robežsadalījumam. Pe ω - pārbaudes krtērja jauda, tāpat kā Prsoa u Kolmogorova krtērja jaudas, tecas uz veeku. χ kā eatkarības pārbaudes krtērjs Peņemsm, ka jāpārbauda H 0 : F( ξη, )( x, y) = Fξ( x) Fη( y), kas ozīmē, ka gadījuma lelum ξ u η r eatkarīg, pret alteratīvo hpotēz H : gadījuma lelum ξ u η r atkarīg. Aplūkosm dskrētu gadījumu: ξ { a, a,..., a }; η { b, b,..., b }. s Apkoposm ovērojumu rezultātus darba tabulā: k ( x, y ),( x, y ),...,( x, y ) 57
ξ η b b... b k Σ a ν ν... ν k ν. a... ν... ν... ν k ν. a s ν s ν s... ν sk ν s. Σ ν. ν.... ν. k Kad ulles hpotēze r pareza, zpldās pj : = P( ξ = a, η = bj ) = P( ξ = a ) P( η = bj ) = : p p j, =,,... s, j =,,..., k. Mūsu apzīmējumos, tas ozīmē, ka p = p p, =,,... s, j =,,..., k, p =, p = j j j = j= s La aprēķātu p, =,..., s, j =,..., k, jāzmato s- j k ν p = ovērtējumus u k- ovērtējumus pārbaudes krtērja statstku var perakstīt ν j p j =. Tātad, χ j s k s k j p ( ν j j ) ν ν ν = = p ν ν j = j= j = j= 58
s k s k s k ( ) ν ν j ν j ν ν j = + = ν ν = j= j = j= = j= ( ν ) j ( νj ) s k s k = =. = j= ν ν j = j= ν ν j Saskaņā ar hī- kvadrāta krtērju, brīvības pakāpju skatu šajā gadījumā osaka, atskatot o kopējā klašu skata savstarpēj eatkarīgo leāro osacījumu skatu, kas sasta aplūkojamos datus, t.., sk ( s ) ( k ) = ( s )( k ). Tātad, pe petekoš lelem χ ( ν ) j. s k = χ( s )( ) = j= ν ν j Atlek, pēc uzdotā α, atrast atblstošo krtsko vērtību, aprēķāt empīrsko hī kvadrātu u zdarīt vajadzīge secājum. Pezīme. Gadījumā, kad (ξ, η ) epārtraukt sadalīts vektors (jeb vea o kompoetēm r epārtraukt sadalīts gadījuma lelums), jākostruē statstskā rda, jāzvēlas tervālu pārstāvjus u ekspermeta rezultātus jāpkopo darba tabulā. 59