İki Eksenli Gerilme Hali

Σχετικά έγγραφα
Tek Eksenli Gerilme Hali

Üç Eksenli Gerilme Hali

ibemo Kazakhstan Republic of Kazakhstan, West Kazakhstan Oblast, Aksai, Pramzone, BKKS office complex Phone: ; Fax:

19 ΙΑΦΟΡΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) λ = 1 + t t. θ = t ε t. Continuum Mechanics. Chapter 1. Description of Motion dt t. Chapter 2. Deformation and Strain

Επαλληλία-Υπέρθεση Κυμάτων. Επαλληλία (υπέρθεση) Κυμάτων. Επαλληλία (Υπέρθεση) Κυμάτων. Επαλληλία: Συμβολή κυμάτων. Συμβολή αρμονικών κυμάτων

Formulario Básico ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( 1) ( 2) ( 2) λ = 1 + t t. θ = t ε t. Mecánica de Medios Continuos. Grado en Ingeniería Civil.

Mühazirə 4. HİDROGENƏBƏNZƏR ATOMLAR ÜÇÜN ŞREDİNGER TƏNLİYİNİN HƏLLİ. Nüvədən və bir elektrondan ibarət sistemlərə hidrogenəbənzər sistemlər deyilir.

Ακαδημαϊκός Λόγος Εισαγωγή

Εισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού

ΒΟΗΘΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΜΑΘΗΣΗΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΗΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΙΣΧΥΟΣ

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi

( ) ΘΕ ΑΝ4 / 2 0. α) β) f(x) f ( x) cos x

! "# " #!$ &'( )'&* $ ##!$2 $ $$ 829 #-#-$&2 %( $8&2(9 #."/-0"$23#(&&#

The Minority and the newly created Turkish State. Νεοσυσταθέν Τουρκικό Κράτο

March 14, ( ) March 14, / 52

A[0] = 0; /* To μηδέν δεν έχει διαιρέτες */ for (i=1; i<n; i++) { S=0; for (d=1; d<=i; d++) if (i % d == 0) S += d; A[i] = S; }

(a b) c = a (b c) e a e = e a = a. a a 1 = a 1 a = e. m+n

T : g r i l l b a r t a s o s Α Γ Ί Α Σ Σ Ο Φ Ί Α Σ 3, Δ Ρ Α Μ Α. Δ ι α ν ο μ έ ς κ α τ ο ί κ ο ν : 1 2 : 0 0 έ ω ς 0 1 : 0 0 π μ

x = l divarları ilə hüdudlanmış oblastda baş verir:

M p f(p, q) = (p + q) O(1)

sin(5x 2 ) sin(4x) e 5t 2 1 (ii) lim x 0 10x 3 (iii) lim (iv) lim. 10t sin(ax) = 1. = 1 1 a lim = sin(5x2 ) = 2. f (x) = sin x. = e5t 1 = 1 0 = 0.

Azınlık Eğitimi Bölümünün kapsayacağı bilimsel alanlar ise şunlar: - İki Dilli ve Çok Dilli Ortamlarda Sosyalleşme ve Eğitim

ÖSYM KAMU PERSONELİ YABANCI DİL BİLGİSİ SEVİYE TESPİT SINAVI YUNANCA :... SALON NUMARASI

ΟΙ ΠΕΡΙ ΠΡΟΣΤΑΣΙΑΣ ΤΗΣ ΥΓΕΙΑΣ (ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΟΥ ΚΑΠΝΙΣΜΑΤΟΣ) ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ 2002 ΕΩΣ 2004

Montaj Planı. Isı Pompalı Kurutma Makinesi. . Σσέδιο εγκαηάζηαζηρ ΣΤΕΓΝΩΤΗΡΙΑ PT 8337 WP. el - GR tr - TR / 01


2x 1 + x 2 x 3 + x 4 = 1. 3x 1 x 2 x 3 +2x 4 = 3 x 1 +2x 2 +6x 3 x 4 = 4

YUNANİSTAN DIŞİŞLERİ BAKANI KOCİAS: ERDOĞAN ÜLKESİ İÇİN BÜYÜK BİR LİDER Cumartesi, 02 Aralık :08

SHORT REVISION. FREE Download Study Package from website: 2 5π (c)sin 15 or sin = = cos 75 or cos ; 12

Cosmological Space-Times

P Š. ˆ Éμ Î,... ƒˆ ˆ ˆ ˆ. Ê²Ó ± μ Ê É Ò Ê É É

Η απόσταση του σημείου Ρ από τη δεύτερη πηγή είναι: β) Από την εξίσωση απομάκρυνσης των πηγών y = 0,2.ημ10πt (S.I.) έχουμε:

Rīgas Tehniskā universitāte. Inženiermatemātikas katedra. Uzdevumu risinājumu paraugi. 4. nodarbība

Öklid in Öğelerinin 13 Kitabından Birinci Kitap

ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΧΟΡΔΗΣ ΠΟΥ ΕΙΝΑΙ ΠΑΚΤΩΜΕΝΗ ΣΤΟ ΕΝΑ ΑΚΡΟ ΤΗΣ Κ. ΕΥΤΑΞΙΑΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΕΥΤΑΞΙΑΣ

Οδηγίες χρήσης Kullanım Kılavuzu

ΘΕΜΑ 1. Στο φορέα του σχήματος ζητούνται να χαραχθούν τα διαγράμματα M, Q, N. (3 μονάδες)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

!"#!$% &' ( )*+*,% $ &$ -.&01#(2$#3 4-$ #35667

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΓΚΡΙΚΟ ΕΠΙΠΕΔΟ A1 ΓΙΑ ΠΑΙΔΙΑ ΑΠΟ 8 ΕΩΣ 15 ΕΤΩΝ

Φυσική για Μηχανικούς

β. Το πλάτος της σύνθετης ταλάντωσης είναι : Α = (Α 1 ² + Α 2 ² + 2 Α 1 Α 2 συν φ) (φ = π rad) Α = (Α 1 ² + Α 2 ² + 2 Α 1 Α 2 συν π) Α = [Α 1 ² + Α 2

E = 1 2 k. V (x) = Kx e αx, dv dx = K (1 αx) e αx, dv dx = 0 (1 αx) = 0 x = 1 α,

X x C(t) description lagrangienne ( X , t t t X x description eulérienne X x 1 1 v x t

Μέϑοδοι Εφαρμοσμένων Μαϑηματιϰών (ΜΕΜ 274) Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης Ιούνη 2019

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι



(ταλαντούμενο) μαγνητικό πεδίο τυχαίας κατεύθυνσης Επίλυση με αλλαγή βάσης


d 2 y dt 2 xdy dt + d2 x

Φυσική για Μηχανικούς

Laplace Expansion. Peter McCullagh. WHOA-PSI, St Louis August, Department of Statistics University of Chicago

Τα θεμέλια της κβαντομηχανικής. Τα θεμέλια της κβαντομηχανικής

Κεφ 4: Εξαναγκασμένη ταλάντωση μηχανικών συστημάτων ενός βαθμού ελευθερίας με αρμονική διέγερση

Η ΣΕΙΡΑ FOURIER ΚΑΙ Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ ΩΣ ΠΡΟΣ ΗΜΙΤΟΝΙΚΕΣ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ. xt A t A t A t t

10/12/2012 ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΡΓΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

A άβακας: sayı boncuğu, çörkü, abaküs άγκιστρο : küme parantezi άθροισμα: toplam ακέραιος αριθμός : tam sayı

22Y504 : ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ # 5 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

Επίλυση ενός τριδιαγώνιου γραµµικού συστήµατος Ax = d µε τη µέθοδο απαλοιφής του Gauss (µέθοδος του Thomas)

Εφαρμογές της κβαντομηχανικής. Εφαρμογές της κβαντομηχανικής

Φυσική για Μηχανικούς

1. Ma trận A = Ký hiệu tắt A = [a ij ] m n hoặc A = (a ij ) m n

Direktif Kitapçık Akku-Schlagschrauber 18 V 85308, 85310, 93095, el, pl, tr. Ürün No. / Article No.: Lisan / Languages:

ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΦΩΤΟΜΕΤΡΙΑΣ

List MF19. List of formulae and statistical tables. Cambridge International AS & A Level Mathematics (9709) and Further Mathematics (9231)

P P Ó P. r r t r r r s 1. r r ó t t ó rr r rr r rí st s t s. Pr s t P r s rr. r t r s s s é 3 ñ

Leaving Certificate Applied Maths Higher Level Answers

ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ. Ενότητα 5 η : Παραδείγµατα 3 µηχανισµών. χώρο (3 )

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN

4 8 c +t +t - (t +t ) - <t +t < - < t t < + +c ( ) +t + ( ) +t + [ - (t +t )] (t + t ) + t + t t 0 + +c c x i R + (i ΔABC ABC ) x i x i c ABC 0 ABC AC

technologie moderního bydlení

ANTİFONİTİS VE TOURKİKA NEA BAYRAM YAPIYOR: SELANİK TE KÜÇÜK BİR ZAFER Cumartesi, 08 Temmuz :41

Φυσική Α Λυκείου Σχολικό Έτος Διαγώνισμα Φυσικής Α Λυκείου Ευθύγραμμη κίνηση Δυναμική σε μία διάσταση Δυναμική στο επίπεδο ~~ Λύσεις ~~

CDMA. Performance Analysis of Chaotic Spread Spectrum CDMA Systems. LI Xiao - chao, GUO Dong - hui, ZENG Quan, WU Bo - xi RESEARCH & DEVELOPMENT

ΙΗ Δημοτικό Σχολείο Λεμεσού - Αγίου Αντωνίου

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου

Κώστας Φελουκατζής Σημειώσεις εξετάσεων ΠΛΗ-20 / ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ

ITU-R P (2012/02) &' (

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11.

m i N 1 F i = j i F ij + F x

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα

Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής. Σημειώσεις I: Κίνηση σε τρεις διαστάσεις, στροφορμή

Εισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού

Mobilitrade PROJECT MANAGEMENT / INTERMEDIATION

Öklid in Öğelerinin 13 Kitabından Birinci Kitap

Εισαγωγή στο Πεδίο Βαρύτητας

Φυσική για Μηχανικούς

3. Κεφάλαιο Μετασχηματισμός Fourier

ΣΤΟΙΧΕΙΩΝΑ Öğelerin Birinci Kitabı

Αυτόματος Έλεγχος. Ενότητα 4 η : Πρότυπα μεταβλητών κατάστασης. Παναγιώτης Σεφερλής. Εργαστήριο Δυναμικής Μηχανών Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

1. Για καθένα από τους ακόλουθους διανυσματικούς χώρους βρείτε μια βάση και τη διάσταση. 3. U x y z x y z x y. {(,, ) } a b. c d


ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΧΟΡΔΗΣ ΠΟΥ ΕΙΝΑΙ ΠΑΚΤΩΜΕΝΗ ΣΤΟ ΕΝΑ ΑΚΡΟ ΤΗΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΕΥΤΑΞΙΑΣ

HD9388, HD9386, HD9384, HD9380

DRAFT. ΣΤΟΙΧΕΙΩΝΑ Öğelerin Birinci Kitabı. ΕΥΚΛΕΙΔΟΣ Öklid

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Transcript:

İki Ekseli Gerilme Hali İki Ekseli Gerilme Hali Bir cismi herhagi bir oktasıdaki asal gerilmelerde birisi sıfır ise o oktadaki gerilme hali "iki ekseli gerilme hali"dir. Düzlem gerilme hali de deir. 0 0 3 = 0 0 0 0 0 0 0 0 Gerilme ivaratları: I 0 I 0 I 3 = 0 Literatürde geellikle böle seçilir. 3 oktasıda geçe bütü üzelerdeki eğik gerilme vektörleri aı düzlem içidedir. Gerilmeleri içide buluduğu düzlem, asal gerilme doğrultularıda birie diktir. Bu doğrultudaki asal gerilme sıfırdır. Diğer asal gerilmeler sıfırda farklıdır. Örek Kedi düzlemi içideki kuvvetlere maruz bir levha

3 0 0 0 0 0 0 0 İki Ekseli Gerilme Hali ' ' z z z' 3 3 3 0 0 0 ' τ '' 0 0 0 τ 0 τ '' ' 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Literatürde geellikle z-eksei ve z'-eksei, 3-eksei ile çakıştırılır. τ T I 0 ' τ '' ' ' ' ' τ '' ' τ '' ' ' Behcet DAĞHAN

İki Ekseli Gerilme Hali 3 İşaret kabulü Herhagi bir ekse takımıda +) ozitif gerilmeleri öleri ) Negatif gerilmeleri öleri τ τ τ τ

Dödürülmüş ekselerde gerilme bileşeleri Gerilme Tasörüü Döüştürülmesi) Asal olmaa ekselerde başlaarak dödürme apıla durum z-eksei ve z'-eksei, 3-eksei ile çakıştırılmıştır. ' ' τ '' İki Ekseli Gerilme Hali 4 ' τ '' τ τ ) = τ τ τ ' τ '' ' ' ') = ' τ '' τ '' ' A Acos Asi A cos) A cos) τ '' A) ' A) τ Asi) ' Asi) ΣF ' = 0 ' A) Acos) cos Asi ) si Acos ) si τ Asi ) cos = 0 ' cos si cos si τ si cos = 0 τ = erie +90 o azarak: ΣF ' = 0 ' = cos + si + cos si ' = si + cos cos si τ '' = si cos + si cos + cos si )

İki Ekseli Gerilme Hali 5 ' = cos + si + cos si ' = si + cos cos si τ '' = si cos + si cos + cos si ) ' τ '' ' = cos si cos si si cos cos si cos si cos si cos si τ cos + cos = si cos = cos si = si cos si = cos } ' = + ) + ) cos + si ' = + ) ) cos si τ '' = 0 ) si + cos ' τ '' ' = 0 cos cos si si si cos + ) )

τ τ ' İki Ekseli Gerilme Hali 6 Yüze ormali dödürülmüş eksee paralel ola bir üzee etki ede gerilme bileşelerii iç çarpım ardımıla buluması Gerilme tasörüü, üze ormali ola bir üzee izdüşümü ' ' τ '' τ Bir tasörü bir vektör ile iç çarpımı = bir vektör T = T) = ) = ) T ) = } = cos i + si j cos = ) = si T ' cos τ '' si T ) = T = + τ = T) = = ' si + τ '' cos cos si T ' cos τ '' si cos + si T) = = = T ' si + τ '' cos cos + si ' = cos + si + cos si τ '' = si cos + si cos + cos si ) τ = Bir vektörü herhagi bir doğrultua izdüşümü, vektör ile doğrultu üzerideki birim vektörü iç çarpımı skaler çarpımı) ile buluabilir. Bezer şekilde, bir tasörü bir üzee izdüşümü de, tasör ile üze ormali üzerideki birim vektörü iç çarpımı ile buluabilir. a β F F F = F u = F) = F F a cos si F) T = F cos si) u = cos i + si j F a F a = F e T cos + τ si = cos + si a e = cosβ i + siβ j e = e) = = F) T e) F a = F cos cosβ + si siβ) cosβ siβ

' ' N) = ' ' z-eksei ve z'-eksei, 3-eksei ile çakıştırılmıştır. ' eksei ile eksei arasıdaki açı ' eksei ile eksei arasıdaki açı ' eksei ile eksei arasıdaki açı ' eksei ile eksei arasıdaki açı = = 90 o = 90 o + = cos = cos ) = τ ') = cos cos ' τ '' τ '' = ' = cos si si cos = m Döüştürme matrisi İki Ekseli Gerilme Hali 7 } Doğrultma kosiüsleri ' eksei ile eksei arasıdaki açıı kosiüsü ' eksei ile eksei arasıdaki açı m N) = İdisleri açıklaması = e ' e ' eksei üzerideki birim vektör eksei üzerideki birim vektör Döüştürme matrisi ortogoal bir matristir. N) T = N) ') = N) ) N) T ' τ '' ' τ '' τ '' ' τ '' ' = = cos si m m si cos τ τ τ τ m cos si m si cos

İdis otasou ile: ij ' = Σ Σ ik jl kl l= k= vea ij ' = ik jl kl i,j,k,l =,) İki Ekseli Gerilme Hali 8 i,j =,) i = j = ' = k l kl k,l =,) i = j = ' = + + + k = l = ' = k l kl k = l = k,l =,) k = l = k = l = ' = + + + i = j = ' = k l kl k,l =,) ' = + + + i = j = ' = k l kl k,l =,) ' = + + +

İki Ekseli Gerilme Hali 9 ij ' = ik jl kl i,j,k,l =,) ij = ik jl kl ' i,j,k,l =,) ') = N) ) N) T ) = N) T ') N) ' τ '' τ '' ' = m m τ τ m m τ τ = m m ' τ '' τ '' ' m m ' ' = m m m m = m m m m ' ' τ '' m m m m m m τ '' τ '' = τ '' } τ = τ = A) } τ '' = τ '' A)

Asal gerilmeler ve asal ekse doğrultuları "Dödürüle ' eksei e zama asal ekse ile çakışır?" sorusua cevap arıoruz. ) = ' τ τ ' ' 0 ' 0 ' ' ' ) = 0 0 ' = + ) + ) cos + si } d ' = 0 d Literatürde geellikle böle seçilir.) ' = ma vea ' = mi İki Ekseli Gerilme Hali 0 - Asal gerilmeler ormal gerilmedir. - Normal gerilmei ekstremum değerleri asal gerilmedir. - Asal gerilme doğrultuları birbirie diktir. - Gerilme hali iki ekseli olduğu zama iki tae asal gerilme vardır. = ' τ = τ '' = 0 ma = mi = Alteratif olarak: d ' = 0 = d ) si + cos ta = Asal ekseler ile, ekseleri arasıdaki açıı vere bağıtı Asal gerilmei etki ettiği üzede kama gerilmesi oktur. Yai τ '' = 0 τ '' = ) si + cos τ } ta =

İki Ekseli Gerilme Hali Asal ekseler ile - ekseleri arasıdaki açıı vere bağıtı = p > ) ta = vea = p < ) Örekler ' ' ' ' = p = p

R si R ta ta = ) R = [ )] + İki Ekseli Gerilme Hali R si ) R R R Asal gerilmeleri, ) - ekselerideki gerilme bileşeleri ciside vere bağıtılar: } ) R cos si = ' = = p R ) cos = = + ) + [ )] + τ R ' = + ) + ) cos + si = m + R VEYA R ta m = + ) p = p ± 90 o = τ + ) R ) } R cos si = ' = = p R ) cos = = + ) [ )] + τ R ' = + ) + ) cos + si = m R

Gerilme halii ivaratları Gerilme tasörüü değişmezleri 0 ) = 0 τ ' τ '' τ '' ' λ = İki Ekseli Gerilme Hali 3 Bir cismi herhagi bir oktasıda geçe ekseler değiştikçe o oktadaki gerilme halii göstere tasörü bileşeleri de değişir. Fakat değişmee bazı değerler vardır. İşte bu değerlere gerilme halii ivaratları deir. Gerilme hali, iki ekseli olduğu zama iki tae gerilme ivaratı vardır. Gerilme halii ivaratlarıı - ekselerideki gerilme bileşeleri ciside bulalım: λ τ τ λ = 0 λ I λ + I = 0 Bu ikici derecede deklemi kökleri asal gerilmeleri verir. Gerilme tasörüü birici ivaratı I = + = + = ' + ' I = 0 0 I = + I = I ve I değerleri, ekse takımı değişse de değişmee değerlerdir. = τ = ' τ '' τ '' ' Gerilme tasörüü ikici ivaratı τ λ = = I I ) I +_ Asal gerilmeler gerilme tasörüü özdeğerleridir.

Kama gerilmesii ekstremum değerleri ve doğrultuları İki Ekseli Gerilme Hali 4 "Ekseler dödürülürke hagi üzede kama gerilmesi ekstremum olur?" sorusua cevap arıoruz. τ '' = ) si + } cos τ '' = τ '' ) ma dτ vea '' = 0 d τ '' = τ '' ) mi dτ '' = 0 = ) cos si d ta = Kama gerilmesii ekstremum olduğu üzeleri ormali ile, ekseleri arasıdaki açıı vere bağıtı Kama gerilmesii ekstremum olduğu üzelerde ormal gerilme, geellikle, sıfır değildir. Bu ormal gerilmei değeri: ' = m = + ) = I Ortalama gerilme

İki Ekseli Gerilme Hali 5 Kama gerilmesii ekstremum olduğu üzeleri ormali ile - ekseleri arasıdaki açıı vere bağıtı ta = = s ) ma τ '' = τ '' ) ma vea = s ) mi ta p ta s = τ '' = τ '' ) mi p ± s = 90 o p ± s = 45 o Örekler ' ' m τ '' ) mi ' 45 o p = smi 45 o p = sma ' m τ '' ) ma

R si R ta ) ta = R = [ )] + τ İki Ekseli Gerilme Hali 6 ) R si R R ) R ta Kama gerilmesii ekstremum değerlerii, - ekselerideki gerilme bileşeleri ciside vere bağıtılar: } R cos ) si = τ '' = τ '' ) ma = s ) ma R τ '') ma = [ )] + τ cos = ) R R τ '' = ) si + cos τ '' ) ma = R R cos ) R VEYA } s ) ma = s ) mi ± 90 o ) si = τ '' = τ '' ) mi = s ) mi R τ '' ) mi = [ )] τ + cos = R τ '' = ) si + cos τ '' ) mi = R Kama gerilmesii ekstremum değerlerii, asal gerilmeler ciside vere bağıtılar: τ '' ) ma = ) τ '' ) mi = )

Mohr çemberi İki Ekseli Gerilme Hali 7 Mohr çemberie mahsus işaret kabulü Mohr çemberi üzeride bir oktaa karşılık gele bir üzee etki ede gerilme bileşeleri içi +) ozitif gerilmeleri öleri ) Negatif gerilmeleri öleri τ τ = τ = τ τ τ Bazı kaaklarda buu tersi seçilir. Bu seçim kefidir. Örekler = = τ τ τ = > 0 > 0 > 0 τ < 0 > 0 τ > 0 τ > 0 τ > 0 τ = τ

Mohr çemberi Asal olmaa ekselerde başlaarak dödürme apıla durum İki Ekseli Gerilme Hali 8 Mohr çemberi edir? - Bir cismi herhagi bir oktasıdaki gerilme halii grafik gösterilimidir. - Bir cismi herhagi bir oktasıda geçe her bir üzedeki gerilmei ve bileşelerii vere grafiktir. - Bir cismi herhagi bir oktasıda geçe her bir üzedeki gerilme bileşeleri ve τ değer çiftlerie -τ ekse takımıda karşılık gele oktaları geometrik eridir. - Bir cismi herhagi bir oktasıda geçe ve dödürüle ekselerdeki gerilme bileşelerii vere grafiktir '-' ekseleri dödürüle ekselerdir). Asal olmaa ve sabit tutula, ekseleri kefi olarak seçilebilir vea problemde verilmiş olabilir. Mohr çemberi üzeride bir oktaa ' karşılık gele üze ' = + ) + ) cos + si ' τ '' τ '' = 0 ) si + cos ' τ τ τ < 0 İşaret kabulüe ve şekle göre bu gerilmei işareti pozitiftir. τ = τ '' τ Mohr çemberie mahsus işaret kabulümüze ve şekle göre bu gerilmei işareti egatiftir. { Yüze ormali dödürülmüş eksee paralel ola bir üzedeki gerilme bileşelerii asal olmaa gerilmeler ciside vere bağıtılar = + ) + ) cos + si τ = 0 + ) si cos [ + )] = [ ) cos + si ] + τ = [ ) si cos ] τ = 0 ta = Asal ekseler ile, ekseleri arasıdaki açıı vere bağıtı [ + )] + τ = [ )] + τ Mohr çemberii deklemi

İki Ekseli Gerilme Hali 9 [ + )] + τ = [ )] + τ m ) + τ = R Mohr çemberii deklemi m = + ) R = τ ma = [ )] + τ = + ) + [ )] + τ = + ) [ )] + τ p p ta = ma = = m + R mi = = m R m = + ) ta p ta s = s ± p = 45 o τ ma = ) τ mi = ) s ) mi s)ma ta =

İki Ekseli Gerilme Hali 0 τ ' τ τ < 0 τ '' > 0 ' ' τ '' ' ' τ '' τ τ τ ' ' ' τ τ '' < 0 > 0 τ τ = m,τ=τ ma ) ' = m,τ '' =τ '' ) mi ) m ) + τ = R τ =,τ=τ ) ' =,τ '' = τ ),τ) ',τ '' ) τ '' =,τ=0) ' =,τ '' = 0) τ '' = τ =,τ=0) ' =,τ '' =0) =,τ= ) ' =,τ '' = ) ' ' = = m,τ=τ mi ) ' = m,τ '' =τ '' ) ma ) Behcet DAĞHAN

E = p τ ' τ = p = 90 o D ' τ τ τ > 0 C τ τ > 0 İki Ekseli Gerilme Hali ' B = p τ D =,τ = τ ) E =,τ = 0) C,τ) B =,τ = 0) τ ' = p A =,τ= ) ' τ '' τ A = 0 τ τ < 0 ' Behcet DAĞHAN

' İki Ekseli Gerilme Hali ' ' = 90 o ' ' = ' ' ' = 45 o 45 o '' '' ' ' ' 0 0 Kutup 45 o ' _ ' '' = 0 Behcet DAĞHAN

} verileler ise ta = İki Ekseli Gerilme Hali 3 > p vea p = p 45 o = p > > 0 ta > 0 > 0 0 < < 45 o < 0 τ,τ ),0) p,0) < 0, ) Behcet DAĞHAN

} verileler ise ta = İki Ekseli Gerilme Hali 4 p vea p > 0 > = p > < 0 τ ta < 0 < 0 45 o < < 0, ) 45 o = p > 0 p,0),0),τ ) Behcet DAĞHAN

} verileler ise < ta = p vea p = p İki Ekseli Gerilme Hali 5 45 o = p < < 0 ta > 0 > 0 0 < < 45 o τ, ) p,0),0),τ ) Behcet DAĞHAN

} verileler ise ta = İki Ekseli Gerilme Hali 6 p vea p < = p < > 0 τ ta < 0 < 0 45 o < < 0,τ ) 45 o = p,0),0) p, ) Behcet DAĞHAN

İki Ekseli Gerilme Hali 7 τ 0 0 3 = 0 0 0 0 0 0 0 0 m,τ ma ),τ ),τ) > 0 > 0 3,0),0),0), ) m,τ mi ) m ) + τ = R z-eksei ve z'-eksei, 3-eksei ile çakıştırılmıştır.

İki Ekseli Gerilme Hali 8 τ m, τ ma ) 0 0 3 = 0 0 0 0 0 0 0 0, τ ),τ) > 0 < 0, 0) 3, 0), 0), ) m ) + τ = R m, τ mi ) z-eksei ve z'-eksei, 3-eksei ile çakıştırılmıştır.

İki Ekseli Gerilme Hali 9 τ 0 0 3 = 0 0 0 0 0 0 0 0 m,τ ma ), τ ),τ) < 0 < 0, 0), 0) 3, 0), ) m, τ mi ) m ) + τ = R z-eksei ve z'-eksei, 3-eksei ile çakıştırılmıştır.

İki Ekseli Gerilme Hali 30 - ekseleri, asal ekseler ile çakıştırılırsa: = = = 0 ' τ ' τ '' ' = + ) + ) cos τ = 0 + ) si [ + )] + τ = [ )] τ,τ),0),0) ' τ ''

Ekseler dödürüldükçe eğik gerilmei değişimi Asal ekselerde başlaarak dödürme apıla durum τ = 90 o φ = 0 T mi φ T T İki Ekseli Gerilme Hali 3 cosφ = cos + si cos + si τ φ T = T cosφ τ = T siφ T = + τ = 0 φ = 0 φ T mi T T ma T ma = 90 o = 90 o [ + )] + τ = [ )] Behcet DAĞHAN

İki Ekseli Gerilme Hali 3 Dödürüle üzei ormalii asal ekseler ile aptığı açıı Mohr çemberi üzerideki erleri τ = 90 o = 90 o m,τ ma ) = 45 o = 35 o,0) > 0 < 0,0) = 0 = 0 = 80 o = 80 o = 90 o m, τ mi ) = 35 o = 90 o = 45 o

τ = 90 o = 90 o T T mi C G = 90 o = 90 o T B F T ma D H Ekseler dödürüldükçe eğik gerilmei değişimi olar koordiatlarda A E T mi = 90 o T İki Ekseli Gerilme Hali 33 - T, ekstremum değerlerii etki ettiği üzee dik olduğu zama almaktadır. - T, üzee dik olduğu zama asal gerilme adıı alır. - T, üzee dik olduğu zama a eşit olur. -, T i dik bileşei olduğu içi T de büük olamaz. Dolaısıla: - Asal gerilmeler ormal gerilmedir. - Normal gerilmei ekstremum değerleri asal gerilmedir. B T = cos + si D C T T T mi = T ma E = 80 o T ma = = 80 o Kutup T ma = = 0 = 0 A T ma T mi = T F T G H - Asal gerilme doğrultuları birbirie diktir. - Gerilme hali iki ekseli olduğu zama iki tae asal gerilme vardır. Üçücüsü sıfırdır. = 90 o Behcet DAĞHAN