İki Eksenli Gerilme Hali

İki Ekseli Gerilme Hali İki Ekseli Gerilme Hali Bir cismi herhagi bir oktasıdaki asal gerilmelerde birisi sıfır ise o oktadaki gerilme hali "iki ekseli gerilme hali"dir. Düzlem gerilme hali de deir. 0 0 3 = 0 0 0 0 0 0 0 0 Gerilme ivaratları: I 0 I 0 I 3 = 0 Literatürde geellikle böle seçilir. 3 oktasıda geçe bütü üzelerdeki eğik gerilme vektörleri aı düzlem içidedir. Gerilmeleri içide buluduğu düzlem, asal gerilme doğrultularıda birie diktir. Bu doğrultudaki asal gerilme sıfırdır. Diğer asal gerilmeler sıfırda farklıdır. Örek Kedi düzlemi içideki kuvvetlere maruz bir levha

3 0 0 0 0 0 0 0 İki Ekseli Gerilme Hali ' ' z z z' 3 3 3 0 0 0 ' τ '' 0 0 0 τ 0 τ '' ' 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Literatürde geellikle z-eksei ve z'-eksei, 3-eksei ile çakıştırılır. τ T I 0 ' τ '' ' ' ' ' τ '' ' τ '' ' ' Behcet DAĞHAN

İki Ekseli Gerilme Hali 3 İşaret kabulü Herhagi bir ekse takımıda +) ozitif gerilmeleri öleri ) Negatif gerilmeleri öleri τ τ τ τ

Dödürülmüş ekselerde gerilme bileşeleri Gerilme Tasörüü Döüştürülmesi) Asal olmaa ekselerde başlaarak dödürme apıla durum z-eksei ve z'-eksei, 3-eksei ile çakıştırılmıştır. ' ' τ '' İki Ekseli Gerilme Hali 4 ' τ '' τ τ ) = τ τ τ ' τ '' ' ' ') = ' τ '' τ '' ' A Acos Asi A cos) A cos) τ '' A) ' A) τ Asi) ' Asi) ΣF ' = 0 ' A) Acos) cos Asi ) si Acos ) si τ Asi ) cos = 0 ' cos si cos si τ si cos = 0 τ = erie +90 o azarak: ΣF ' = 0 ' = cos + si + cos si ' = si + cos cos si τ '' = si cos + si cos + cos si )

İki Ekseli Gerilme Hali 5 ' = cos + si + cos si ' = si + cos cos si τ '' = si cos + si cos + cos si ) ' τ '' ' = cos si cos si si cos cos si cos si cos si cos si τ cos + cos = si cos = cos si = si cos si = cos } ' = + ) + ) cos + si ' = + ) ) cos si τ '' = 0 ) si + cos ' τ '' ' = 0 cos cos si si si cos + ) )

τ τ ' İki Ekseli Gerilme Hali 6 Yüze ormali dödürülmüş eksee paralel ola bir üzee etki ede gerilme bileşelerii iç çarpım ardımıla buluması Gerilme tasörüü, üze ormali ola bir üzee izdüşümü ' ' τ '' τ Bir tasörü bir vektör ile iç çarpımı = bir vektör T = T) = ) = ) T ) = } = cos i + si j cos = ) = si T ' cos τ '' si T ) = T = + τ = T) = = ' si + τ '' cos cos si T ' cos τ '' si cos + si T) = = = T ' si + τ '' cos cos + si ' = cos + si + cos si τ '' = si cos + si cos + cos si ) τ = Bir vektörü herhagi bir doğrultua izdüşümü, vektör ile doğrultu üzerideki birim vektörü iç çarpımı skaler çarpımı) ile buluabilir. Bezer şekilde, bir tasörü bir üzee izdüşümü de, tasör ile üze ormali üzerideki birim vektörü iç çarpımı ile buluabilir. a β F F F = F u = F) = F F a cos si F) T = F cos si) u = cos i + si j F a F a = F e T cos + τ si = cos + si a e = cosβ i + siβ j e = e) = = F) T e) F a = F cos cosβ + si siβ) cosβ siβ

' ' N) = ' ' z-eksei ve z'-eksei, 3-eksei ile çakıştırılmıştır. ' eksei ile eksei arasıdaki açı ' eksei ile eksei arasıdaki açı ' eksei ile eksei arasıdaki açı ' eksei ile eksei arasıdaki açı = = 90 o = 90 o + = cos = cos ) = τ ') = cos cos ' τ '' τ '' = ' = cos si si cos = m Döüştürme matrisi İki Ekseli Gerilme Hali 7 } Doğrultma kosiüsleri ' eksei ile eksei arasıdaki açıı kosiüsü ' eksei ile eksei arasıdaki açı m N) = İdisleri açıklaması = e ' e ' eksei üzerideki birim vektör eksei üzerideki birim vektör Döüştürme matrisi ortogoal bir matristir. N) T = N) ') = N) ) N) T ' τ '' ' τ '' τ '' ' τ '' ' = = cos si m m si cos τ τ τ τ m cos si m si cos

İdis otasou ile: ij ' = Σ Σ ik jl kl l= k= vea ij ' = ik jl kl i,j,k,l =,) İki Ekseli Gerilme Hali 8 i,j =,) i = j = ' = k l kl k,l =,) i = j = ' = + + + k = l = ' = k l kl k = l = k,l =,) k = l = k = l = ' = + + + i = j = ' = k l kl k,l =,) ' = + + + i = j = ' = k l kl k,l =,) ' = + + +

İki Ekseli Gerilme Hali 9 ij ' = ik jl kl i,j,k,l =,) ij = ik jl kl ' i,j,k,l =,) ') = N) ) N) T ) = N) T ') N) ' τ '' τ '' ' = m m τ τ m m τ τ = m m ' τ '' τ '' ' m m ' ' = m m m m = m m m m ' ' τ '' m m m m m m τ '' τ '' = τ '' } τ = τ = A) } τ '' = τ '' A)

Asal gerilmeler ve asal ekse doğrultuları "Dödürüle ' eksei e zama asal ekse ile çakışır?" sorusua cevap arıoruz. ) = ' τ τ ' ' 0 ' 0 ' ' ' ) = 0 0 ' = + ) + ) cos + si } d ' = 0 d Literatürde geellikle böle seçilir.) ' = ma vea ' = mi İki Ekseli Gerilme Hali 0 - Asal gerilmeler ormal gerilmedir. - Normal gerilmei ekstremum değerleri asal gerilmedir. - Asal gerilme doğrultuları birbirie diktir. - Gerilme hali iki ekseli olduğu zama iki tae asal gerilme vardır. = ' τ = τ '' = 0 ma = mi = Alteratif olarak: d ' = 0 = d ) si + cos ta = Asal ekseler ile, ekseleri arasıdaki açıı vere bağıtı Asal gerilmei etki ettiği üzede kama gerilmesi oktur. Yai τ '' = 0 τ '' = ) si + cos τ } ta =

İki Ekseli Gerilme Hali Asal ekseler ile - ekseleri arasıdaki açıı vere bağıtı = p > ) ta = vea = p < ) Örekler ' ' ' ' = p = p

R si R ta ta = ) R = [ )] + İki Ekseli Gerilme Hali R si ) R R R Asal gerilmeleri, ) - ekselerideki gerilme bileşeleri ciside vere bağıtılar: } ) R cos si = ' = = p R ) cos = = + ) + [ )] + τ R ' = + ) + ) cos + si = m + R VEYA R ta m = + ) p = p ± 90 o = τ + ) R ) } R cos si = ' = = p R ) cos = = + ) [ )] + τ R ' = + ) + ) cos + si = m R

Gerilme halii ivaratları Gerilme tasörüü değişmezleri 0 ) = 0 τ ' τ '' τ '' ' λ = İki Ekseli Gerilme Hali 3 Bir cismi herhagi bir oktasıda geçe ekseler değiştikçe o oktadaki gerilme halii göstere tasörü bileşeleri de değişir. Fakat değişmee bazı değerler vardır. İşte bu değerlere gerilme halii ivaratları deir. Gerilme hali, iki ekseli olduğu zama iki tae gerilme ivaratı vardır. Gerilme halii ivaratlarıı - ekselerideki gerilme bileşeleri ciside bulalım: λ τ τ λ = 0 λ I λ + I = 0 Bu ikici derecede deklemi kökleri asal gerilmeleri verir. Gerilme tasörüü birici ivaratı I = + = + = ' + ' I = 0 0 I = + I = I ve I değerleri, ekse takımı değişse de değişmee değerlerdir. = τ = ' τ '' τ '' ' Gerilme tasörüü ikici ivaratı τ λ = = I I ) I +_ Asal gerilmeler gerilme tasörüü özdeğerleridir.

Kama gerilmesii ekstremum değerleri ve doğrultuları İki Ekseli Gerilme Hali 4 "Ekseler dödürülürke hagi üzede kama gerilmesi ekstremum olur?" sorusua cevap arıoruz. τ '' = ) si + } cos τ '' = τ '' ) ma dτ vea '' = 0 d τ '' = τ '' ) mi dτ '' = 0 = ) cos si d ta = Kama gerilmesii ekstremum olduğu üzeleri ormali ile, ekseleri arasıdaki açıı vere bağıtı Kama gerilmesii ekstremum olduğu üzelerde ormal gerilme, geellikle, sıfır değildir. Bu ormal gerilmei değeri: ' = m = + ) = I Ortalama gerilme

İki Ekseli Gerilme Hali 5 Kama gerilmesii ekstremum olduğu üzeleri ormali ile - ekseleri arasıdaki açıı vere bağıtı ta = = s ) ma τ '' = τ '' ) ma vea = s ) mi ta p ta s = τ '' = τ '' ) mi p ± s = 90 o p ± s = 45 o Örekler ' ' m τ '' ) mi ' 45 o p = smi 45 o p = sma ' m τ '' ) ma

R si R ta ) ta = R = [ )] + τ İki Ekseli Gerilme Hali 6 ) R si R R ) R ta Kama gerilmesii ekstremum değerlerii, - ekselerideki gerilme bileşeleri ciside vere bağıtılar: } R cos ) si = τ '' = τ '' ) ma = s ) ma R τ '') ma = [ )] + τ cos = ) R R τ '' = ) si + cos τ '' ) ma = R R cos ) R VEYA } s ) ma = s ) mi ± 90 o ) si = τ '' = τ '' ) mi = s ) mi R τ '' ) mi = [ )] τ + cos = R τ '' = ) si + cos τ '' ) mi = R Kama gerilmesii ekstremum değerlerii, asal gerilmeler ciside vere bağıtılar: τ '' ) ma = ) τ '' ) mi = )

Mohr çemberi İki Ekseli Gerilme Hali 7 Mohr çemberie mahsus işaret kabulü Mohr çemberi üzeride bir oktaa karşılık gele bir üzee etki ede gerilme bileşeleri içi +) ozitif gerilmeleri öleri ) Negatif gerilmeleri öleri τ τ = τ = τ τ τ Bazı kaaklarda buu tersi seçilir. Bu seçim kefidir. Örekler = = τ τ τ = > 0 > 0 > 0 τ < 0 > 0 τ > 0 τ > 0 τ > 0 τ = τ

Mohr çemberi Asal olmaa ekselerde başlaarak dödürme apıla durum İki Ekseli Gerilme Hali 8 Mohr çemberi edir? - Bir cismi herhagi bir oktasıdaki gerilme halii grafik gösterilimidir. - Bir cismi herhagi bir oktasıda geçe her bir üzedeki gerilmei ve bileşelerii vere grafiktir. - Bir cismi herhagi bir oktasıda geçe her bir üzedeki gerilme bileşeleri ve τ değer çiftlerie -τ ekse takımıda karşılık gele oktaları geometrik eridir. - Bir cismi herhagi bir oktasıda geçe ve dödürüle ekselerdeki gerilme bileşelerii vere grafiktir '-' ekseleri dödürüle ekselerdir). Asal olmaa ve sabit tutula, ekseleri kefi olarak seçilebilir vea problemde verilmiş olabilir. Mohr çemberi üzeride bir oktaa ' karşılık gele üze ' = + ) + ) cos + si ' τ '' τ '' = 0 ) si + cos ' τ τ τ < 0 İşaret kabulüe ve şekle göre bu gerilmei işareti pozitiftir. τ = τ '' τ Mohr çemberie mahsus işaret kabulümüze ve şekle göre bu gerilmei işareti egatiftir. { Yüze ormali dödürülmüş eksee paralel ola bir üzedeki gerilme bileşelerii asal olmaa gerilmeler ciside vere bağıtılar = + ) + ) cos + si τ = 0 + ) si cos [ + )] = [ ) cos + si ] + τ = [ ) si cos ] τ = 0 ta = Asal ekseler ile, ekseleri arasıdaki açıı vere bağıtı [ + )] + τ = [ )] + τ Mohr çemberii deklemi

İki Ekseli Gerilme Hali 9 [ + )] + τ = [ )] + τ m ) + τ = R Mohr çemberii deklemi m = + ) R = τ ma = [ )] + τ = + ) + [ )] + τ = + ) [ )] + τ p p ta = ma = = m + R mi = = m R m = + ) ta p ta s = s ± p = 45 o τ ma = ) τ mi = ) s ) mi s)ma ta =

İki Ekseli Gerilme Hali 0 τ ' τ τ < 0 τ '' > 0 ' ' τ '' ' ' τ '' τ τ τ ' ' ' τ τ '' < 0 > 0 τ τ = m,τ=τ ma ) ' = m,τ '' =τ '' ) mi ) m ) + τ = R τ =,τ=τ ) ' =,τ '' = τ ),τ) ',τ '' ) τ '' =,τ=0) ' =,τ '' = 0) τ '' = τ =,τ=0) ' =,τ '' =0) =,τ= ) ' =,τ '' = ) ' ' = = m,τ=τ mi ) ' = m,τ '' =τ '' ) ma ) Behcet DAĞHAN

E = p τ ' τ = p = 90 o D ' τ τ τ > 0 C τ τ > 0 İki Ekseli Gerilme Hali ' B = p τ D =,τ = τ ) E =,τ = 0) C,τ) B =,τ = 0) τ ' = p A =,τ= ) ' τ '' τ A = 0 τ τ < 0 ' Behcet DAĞHAN

' İki Ekseli Gerilme Hali ' ' = 90 o ' ' = ' ' ' = 45 o 45 o '' '' ' ' ' 0 0 Kutup 45 o ' _ ' '' = 0 Behcet DAĞHAN

} verileler ise ta = İki Ekseli Gerilme Hali 3 > p vea p = p 45 o = p > > 0 ta > 0 > 0 0 < < 45 o < 0 τ,τ ),0) p,0) < 0, ) Behcet DAĞHAN

} verileler ise ta = İki Ekseli Gerilme Hali 4 p vea p > 0 > = p > < 0 τ ta < 0 < 0 45 o < < 0, ) 45 o = p > 0 p,0),0),τ ) Behcet DAĞHAN

} verileler ise < ta = p vea p = p İki Ekseli Gerilme Hali 5 45 o = p < < 0 ta > 0 > 0 0 < < 45 o τ, ) p,0),0),τ ) Behcet DAĞHAN

} verileler ise ta = İki Ekseli Gerilme Hali 6 p vea p < = p < > 0 τ ta < 0 < 0 45 o < < 0,τ ) 45 o = p,0),0) p, ) Behcet DAĞHAN

İki Ekseli Gerilme Hali 7 τ 0 0 3 = 0 0 0 0 0 0 0 0 m,τ ma ),τ ),τ) > 0 > 0 3,0),0),0), ) m,τ mi ) m ) + τ = R z-eksei ve z'-eksei, 3-eksei ile çakıştırılmıştır.

İki Ekseli Gerilme Hali 8 τ m, τ ma ) 0 0 3 = 0 0 0 0 0 0 0 0, τ ),τ) > 0 < 0, 0) 3, 0), 0), ) m ) + τ = R m, τ mi ) z-eksei ve z'-eksei, 3-eksei ile çakıştırılmıştır.

İki Ekseli Gerilme Hali 9 τ 0 0 3 = 0 0 0 0 0 0 0 0 m,τ ma ), τ ),τ) < 0 < 0, 0), 0) 3, 0), ) m, τ mi ) m ) + τ = R z-eksei ve z'-eksei, 3-eksei ile çakıştırılmıştır.

İki Ekseli Gerilme Hali 30 - ekseleri, asal ekseler ile çakıştırılırsa: = = = 0 ' τ ' τ '' ' = + ) + ) cos τ = 0 + ) si [ + )] + τ = [ )] τ,τ),0),0) ' τ ''

Ekseler dödürüldükçe eğik gerilmei değişimi Asal ekselerde başlaarak dödürme apıla durum τ = 90 o φ = 0 T mi φ T T İki Ekseli Gerilme Hali 3 cosφ = cos + si cos + si τ φ T = T cosφ τ = T siφ T = + τ = 0 φ = 0 φ T mi T T ma T ma = 90 o = 90 o [ + )] + τ = [ )] Behcet DAĞHAN

İki Ekseli Gerilme Hali 3 Dödürüle üzei ormalii asal ekseler ile aptığı açıı Mohr çemberi üzerideki erleri τ = 90 o = 90 o m,τ ma ) = 45 o = 35 o,0) > 0 < 0,0) = 0 = 0 = 80 o = 80 o = 90 o m, τ mi ) = 35 o = 90 o = 45 o

τ = 90 o = 90 o T T mi C G = 90 o = 90 o T B F T ma D H Ekseler dödürüldükçe eğik gerilmei değişimi olar koordiatlarda A E T mi = 90 o T İki Ekseli Gerilme Hali 33 - T, ekstremum değerlerii etki ettiği üzee dik olduğu zama almaktadır. - T, üzee dik olduğu zama asal gerilme adıı alır. - T, üzee dik olduğu zama a eşit olur. -, T i dik bileşei olduğu içi T de büük olamaz. Dolaısıla: - Asal gerilmeler ormal gerilmedir. - Normal gerilmei ekstremum değerleri asal gerilmedir. B T = cos + si D C T T T mi = T ma E = 80 o T ma = = 80 o Kutup T ma = = 0 = 0 A T ma T mi = T F T G H - Asal gerilme doğrultuları birbirie diktir. - Gerilme hali iki ekseli olduğu zama iki tae asal gerilme vardır. Üçücüsü sıfırdır. = 90 o Behcet DAĞHAN