ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Α ΟΜΑΔΑ. Να βρεθούν τα αναπτύγματα: ι) ιν) ιι) y ιιι) 3 4 3 a 4 ν) ( +y 3 ) νι) (3y+) 4 y νιιι) (5αα +3β y) ι) 5 a ay 3 νιι) 3 4 5 3 ) (β-) ι) (3-7y) ιι) (5α-8βy) ιιι) (9-5) ιν) (αβ-γδ) v) (7α-8βy ) vι) ( -3y) νιι) (3 3 -y ) vιιι) (α 3 β -3αγ ) ι) (--3) ) (-4-3y) ι) (-α +αβ) ιι) (-α 3 -α) ιιι) (α +β y ) ιν) (α - +αβ). Να βρείτε τα γινόμενα: ι) (αβ+3)(αβ-3) ιι) (3+)(3-) ιιι) (α β-γ)(α β+γ) ιν) (3α-β (β 3 +3α) ν) (-y)(--y) νι) (+y-)(+y+) 3. Να γίνουν οι πράξεις: ι) (-)(+)( +) ιι) (α-3β)(4α +9β )(α+3β) ιιι) (-y)(--y)(- -y ) ιν) (y+( y +)(+ 4 y 4 ). 4. Να γίνουν οι πράξεις: ι) (3α+4β)(3α-4β)-(β-5α)(β+5α) ιι) (μ+ν) -(μ-ν) +(μ+ν)(μ-ν) ιιι) (3+y) -(y-5) -(4+y)(4-y) ιν) 3(α-) +(α-)(α+)+(3-α)(3+α)-(α-3) 5. Να αποδειχθούν οι ταυτότητες: ι) (4+3y) -(3+4y) =7(+y)(-y) ιι) (+y) -(+y)(-y)+(-y) =4y. 6. Να γίνουν οι πράξεις: ι) (+) -(+3)(-3)-(-3) ιι) (+) -(3-) -(+5)(5-) ιιι) (α-β) -3(α+3β) -(α+3β)(3α-β) ιν) ( +-)( -+)+(-3)(+)-4(-)(+)( +) 7. Να αποδειχθούν οι ταυτότητες: ι) (α-β) -(β-α) =0 ιι) (α+β) -(α-β) =4αβ ιιι) (α +4)( +)-(α+) =(-α) ιν) (α+β) -(α+β)(α-β)+(α-β) =4β

ν) (κ+κy) =κ (+y) νι) νιι) (α+β) +β =[α +(α+β) ] νιιι) (α +β )( +y )=(α+βy) +(αy-β) 8. Να βρεθούν τα αναπτύγματα: ι) (-3) 3 ιι) ( +) 3 ιιι) (3+4y) 3 ιν) (αβ-3βγ) 3 ν) (3α+βy) 3 νι) (y-3 y) 3 9. Να εκτελεστούν οι πράξεις: ι) (3-5) 3 +(-)(+)(3+)-(3-5) ιι) (+y) 3 +(-y) 3 +3(+y)(-y) +3(-y)(+y) 0. Να εκτελεστούν οι πράξεις: ι) (-) 3 -(3+) 3 -(+)(-) ιι) (+) 3-3(-) +(-)(+)(-) ιιι) (α+β) 3 -β(α-β)(α+β)+α(α-β). Να γίνουν οι πράξεις: (-) 3-3(4+3) -(+3)(-3). Να αποδειχθεί η ταυτότητα: (α 3 +) -(α +) 3 +3α (α+) =8α 3 3. Να γίνουν οι πράξεις: (α+) 3 +(α-)(α+3)(α-3)-α(3α-) Β ΟΜΑΔΑ 4. Να βρείτε τα γινόμενα: ι) (+y+z).(+y-z) ιι) (+y+3z)(+y-3z) ιιι) (α+β-3γ)(α-β+3γ) ιν) (α-+β-y)(α++β+y) ν) ( ++)( -+) νι) (α+β+γ-δ)(α+β-γ+δ) 5. Να βρεθεί ποιων διωνύμων τέλεια τετράγωνα είναι τα τριώνυμα: ι) -4+4 ιι) 5 +0+ ιιι) 9 4 +4- ιν) 6 +y - 3 y ν) α -6αβ+9β νι) (α+) -6(α+)+9 6. Αν για τα,y R ισχύει (+y) =( +y ) να αποδειχθεί ότι =y. 7. Να βρεθούν τα αναπτύγματα: ι) (α-3β+4γ) ιι) ( -+) ιιι) (3-4+) 8. Να εκτελεστούν οι πράξεις: ι) ( -+) -( ++) -(-) ιι) (α-3β+) -(α-3β)(α+3β)-α(α-β) ιιι) ( -3+) -( +) +3(-)(-)+6

9. Να αποδειχθούν οι ταυτότητες: ι) (α+β) 3 =α(α-3β) +β(β-3α) ιι) ( 3 +y 3 ) -( +y ) 3 +3 y (+y) =(y) 3 ιιι) (-) 3 -(-)(4+) =7 ιν) α(α+)(α+)(α+3)+=(α +3α+) ν) (α+β+γ) +(α-β) +(β-γ) +(γ-α) =3(α +β +γ ) 0. Αν +y=7 και y=, να βρεθεί η αριθμητική τιμή της παράστασης +y.. Αν + 7 ι) +. Αν +y α και y β να βρεθεί η τιμή των παραστάσεων : ιι) 3 + 3 να αποδειχθεί ότι 3 +y 3 =α 3-3αβ. 3. Αν +y= και y=3 να υπολογιστούν οι παραστάσεις: Α=3 3 +y+3y 3 B=5-4y+5y 4. Αν +y=7 και y= να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων: ι) +y ιι) 3 +y 3 ιιι) 4 +y 4 5. Αν α, β R με α,β>0 να δειχθεί ότι: 6. Να γίνουν οι πράξεις: ι) ( -y ( +y )( 4 +y 4 ( 8 +y 8 ) ιι) (+y)(-y)( +4y )( 4 +6y 4 ) ιιι) (+α)(-α)( +α+β )( -α+β ) 7. Θεωρούμε τους αριθμούς,y,ω για τους οποίους ισχύουν οι ισότητες +y+ω= και +y =4. Να αποδείξετε ότι y=ω -4ω. 8. Να αποδείξετε ότι ι) ω -6ω+0>0 για κάθε ω ιι) +y+y 0 για κάθε,y 9. Αν (+α) +(y+β) =4(α+βy) να δειχθεί ότι =α και y=β. 30. Να βρεθούν οι αριθμοί,y από τις παρακάτω ισότητες: ι) +y -4+6y+3=0 ιι) +y +0+y+6=0 ιιι) +y +y-4+85=0 3. Να υπολογισθούν τα,y R στις παρακάτω παραστάσεις: ι) +y -8+0y+4=0 ιι) 3 +3y +8+6y+30=0 3. Αν +y +z +3=+y+z να βρείτε τα, y, z. 3

33. Να βρεθούν οι αριθμοί α+β, α, β από τις ισότητες α -β =4 και α-β=4 34. Να βρεθούν οι θετικοί ακέραιοι α και β για τους οποίους ισχύει 37+α =β. 35. Αν είναι α=8, β=3 +4, γ=3 +4-4 να δείξετε ότι β +3αγ=(α+γ) 36. Αν α+β+γ=0 να δείξετε ότι: ι) α +β +γ =(γ -αβ) ιι) α 3 +β 3 +γ 3 =3αβγ 37. Αν +y+ω=0 να δειχθεί ότι 3 +y 3 +ω 3 =3yω. 38. Αν α+β=γ τότε α 3 +β 3 +3αβγ=γ 3. 39. Αν α+β= να δείξετε ότι α 3 +β 3 +3αβ=. 40. Αν α +β = να βρείτε την τιμή της παράστασης: y=(3α-4α 3 ) +(3β-4β 3 ) 4. Αν ο είναι ακέραιος να δείξετε ότι: ( ) 4. Αν + 5 να δείξετε ότι α=β 43. Αν +y+z=α και +y +z =β να βρείτε την τιμή της παράστασης y+yz+z. 44. ι) Να επαληθεύσετε την ταυτότητα: 4αβ=(α+β) -(α-β) ιι) Να αποδείξετε ότι το γινόμενο δύο πραγματικών αριθμών γράφεται διαφορά δύο τετραγώνων. ιιι) Να κάνετε εφαρμογή στο γινόμενο 7.3 πάντα ως ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ ΚΕΝΟΥ-ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ-ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΣΗΣ 45. Να αντικατασταθούν οι παύλες έτσι ώστε να προκύψουν τριώνυμα, που να είναι τέλεια τετράγωνα διωνύμων. ι) ++ ιι) -6+ ιιι) α -αβ+ ιν) 9 +4y + v) 5 ++ 6 νι) + 5 4

46. Να προσδιορίσετε τους όρους Α, Β, Γ, Δ, Ε ώστε οι παρακάτω παραστάσεις να είναι τέλεια τετράγωνα: ι) 5κ +9λ +Α ιι) Β+6α -40αβ ιιι) λ 6-0λ 3 μ 3 +Γ ιν) + a +Δ ν) (+y) +ω +Ε 47. Να συμπληρωθούν οι ισότητες: ι) (7α + ) = + +4 ιι) ( + ) = +70 3 y+49y 3 ιιι)......... ιν) ( -3) =5 y- + 3 5 ν)......... 9 y 48. Να αντικατασταθούν οι παύλες με κατάλληλα μονώνυμα έτσι ώστε να ισχύουν οι ισότητες: ι) (5+4y)( - + )=5 3 +64y 3 ιι) ( - )(36α + +49β +6α 3-343β 3 49. Να αντιστοιχήσετε τις ταυτότητες της στήλης (Α) με τα αναπτύγματά τους στη στήλη (Β). Στήλη Α Στήλη Β (ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ) (ΑΝΑΠΤΥΓΜΑΤΑ) a α 3-9α +7α-7 6α +9β +4αβ (4α+3β) α +α+ 4 α 3-6α +8α-9 (α-3) 3 α +α+ 4 6α +αβ+9β a α -+ a a 50. Να σημειώσετε τη σωστή απάντηση στις παρακάτω ερωτήσεις: ι) Αν α+β= -γ τότε η παράσταση α 3 +β 3 +γ 3 είναι ίση: Α. α Β. 0 Γ. 3αβγ Δ. (α+β-γ) 3 ιι) Αν 3 τότε η παράσταση είναι ίση με: Α. 9 Β. Γ. 7 Δ. Ε. 9 ιιι) Η παράσταση +y είναι ίση με: Α. (+y) B. (+y) +αβ Γ. (-y) +y Δ. y-(+y) ιν) Αν ισχύει (α+β) =α +β τότε είναι: Α. α=0 μόνο Β. β=0 μόνο Γ. α=0 ή β=0 Δ. α=β=0 5