GEOMETRIE PENTRU GIMNAZIU Partea I (cls. a V a, a VI a, a VII a) Geometrie pentru pregătirea Evaluării Naționale la Matematică

Σχετικά έγγραφα
GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. = înălţimea triunghiului echilateral h =, R =, r = R = bh lh 2 A D ++ D. abc. abc =

TRIUNGHIUL. Profesor Alina Penciu, Școala Făgăraș, județul Brașov A. Definitii:

BREVIAR TEORETIC CU EXEMPLE CONCRETE, PENTRU PREGĂTIREA EXAMENULUI DE EVALUARE NAŢIONALĂ, clasa a VIII-a

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează

π } R 4. ctg:r\{kπ} R FuncŃii trigonometrice 1. DefiniŃii în triunghiul dreptunghic 2. ProprietãŃile funcńiilor trigonometrice 1.

CERCUL LUI EULER ŞI DREAPTA LUI SIMSON

cateta alaturata, cos B= ipotenuza BC cateta alaturata AB cateta opusa AC

Asemănarea triunghiurilor O selecție de probleme de geometrie elementară pentru gimnaziu Constantin Chirila Colegiul Naţional Garabet Ibrãileanu,

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

y y x x 1 y1 Elemente de geometrie analiticã 1. Segmente 1. DistanŃa dintre douã puncte A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ): AB = 2. Panta dreptei AB: m AB =

SINTEZ~ A GEOMETRIEI de clasa a VII-a

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.

LUCRARE DE DIPLOMĂ CENTRE REMARCABILE ÎN TRIUNGHI

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

PUNCTUL.DREAPTA. PLANUL

Subiecte Clasa a VII-a

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu

3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice

Varianta 1. SUBIECTUL I Pe foaia de teză se trec numai rezultatele.

Subiecte Clasa a VI-a

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme

DEFINITIVAT 1993 PROFESORI I. sinx. 0, dacă x = 0

GRADUL II 1995 CRAIOVA PROFESORI I

BAC 2007 Pro Didactica

Vectori liberi-seminar 1

Concursul Interjudeţean de Matematică Academician Radu Miron Vaslui, noiembrie Subiecte clasa a VII-a

29 Iunie Aplicaţii ale numerelor complexe în Geometrie. Absolvent: Haliţă Diana-Florina. Coordonator ştiinţific: Prof. Dr.

Subiectul I Pe foaia de examen scrieți numai rezultatele. 5p , , atunci numărul natural n este egal cu.

Capitole speciale de geometrie pentru profesori. Camelia Frigioiu

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. <

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.

Subiectul 1-similar cu subiectul 1 MEC

METODE ŞI ETAPE NECESARE PENTRU DETERMINAREA

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

OLIMPIADA DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ CLASA A V-A

CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ. Ediţia a XVII-a, 7 8 Aprilie CLASA a IV-a

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)

BAC 2007 Pro Didactica

Subiecte Clasa a VIII-a

BAC 2007 Pro Didactica

BISECTOAREI GLISANTE

Elemente de geometrie

Aplicaţii ale numerelor complexe în geometrie, utilizând Geogebra

GRADUL II n α+1 1

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi

Cercul lui Euler ( al celor nouă puncte și nu numai!)

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.

Cercul de Matematică Gimnaziu, zona Balş 25 mai 2007 Şcoala cu clasele I-VIII Bobiceşti

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2017 Clasa a V-a

BACALAUREAT 2007 SESIUNEA IULIE M1-1

LUCRARE METODICO-ŞTIINŢIFICĂ PENTRU OBŢINEREA GRADULUI DIDACTIC I

Geometria triunghiului

Curs 4 Serii de numere reale

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2014 Clasa a V-a

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =.

Testul nr. 1. Testul nr. 2

Dreapta in plan. = y y 0

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca

Integrala nedefinită (primitive)

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice

GEOMETRIE VECTORIALĂ, ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ. PROBLEME REZOLVATE. Gabriel POPA, Paul GEORGESCU c August 20, 2009, Iaşi

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate.

P A R A D O X U R I M A T E M A T I C E U N D E E S T E G R E Ş E A L A?

2.3. Inegalităţi şi limite Convergenţă, monotonie, mărginire Limite remarcabile Limita unei funcţii...

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1996 Clasa a V-a

Subiecte Clasa a VIII-a

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

GA XI. 138 Să se calculeze produsul distanţelor unui punct oarecare al hiperbolei : d) ;

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2018 Clasa a V-a. 1. Scriem numerele naturale nenule consecutive sub forma:

prof. Busuioc Gianina Elena

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ. Ediţia a X-a, MAI 2010 CLASA A IV-A

MATEMATICĂ. Clasa I. AlegeŃi răspunsul corect: 1. Vecinii lui 7 sunt: a)1 şi 3 ; b) 7 şi 9 ; c) 6şi 8 ; d) 6 şi 7 ; e) 8 şi 9.

Algebra si Geometrie Seminar 9

cercului circumscris triunghiului ABE.

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

CERCUL. Prof. V Corcalciuc Scoala nr. 146 I.G. Duca Bucuresti ( Lectie facuta dupa manualul de clasa a 7-a Prof.Radu)

MATEMATICĂ. Evaluarea naţională Caba. 103 modele de teste pentru elevii claselor a VII-a şi a VIII-a

P A + P C + P E = P B + P D + P F.

Criptosisteme cu cheie publică III

GRADUL II, Demonstrați că are loc inegalitatea: 1 n+1 + 1

4. Ecuatia asimptotei orizontale la + a graficului functiei f : R R, 7 9x + 8x2 f(x) = 3x 2 + 2x + 5 este.

MATEMATICA a I -a. 4. Care şir, are numerele scrise de la cel mai mare la cel mai mic?

Convorbiri didactice Nr. 13

Soluţiile problemelor pentru pregătirea concursurilor propuse în nr. 2/2015

1. Teorema lui Menelaus in plan Demonstratia teoremei in plan (clasa a VII-a). DC EC F B DB EA = 1.

Transcript:

Geometrie pentru pregătirea Evaluării Naționale la Matematică (Cls. a V a, a VI a, a VII a) UNITĂȚI DE MĂSURĂ Lungime rie Volum Capacitate DE REȚINUT! Masă 1hm 1ha 1dam 1ar 1dm 1l 1q 1kg 1t 1kg 1v 1kg Timp - secundă, minut, ora, ziua, saptamana, luna, anul, deceniul, secol (veac), mileniu 1 deceniu 1 ani ; 1 secol 1 ani ; 1 mileniu 1 ani Unghi - gradul, minutul, secunda 1 6',1' 6",1 6" 1

UNGHIUL - Tipuri de unghiuri Unghi nul m( OB ). Unghiuri adiacente m( OC) m( OB) + m( BOC) Unghi ascuțit < m( OB) < 9 Unghi drept m( OB ) 9 Unghi obtuz 9 < m( OB) < 18 Unghi alungit m( OB ) 18 Unghiuri complementare m( OB) + m( BOC) 9 Unghiuri suplementare m( OB) + m( BOC) 18 Unghiuri opuse la vârf OC BOD BOC OD Unghiuri în jurul unui punct Suma măsurilor unghiurilor formate în jurul unui punct este de 6

TRIUNGHIUL După laturi 1. Clasificare: Triunghi scalen (oarecare) triunghiul cu laturile de lungimi diferite Dupa unghiuri Triunghi isoscel triunghiul care are două laturi congruente [ B] [ C] Triunghi echilateral triunghiul care are toate laturile congruente [ B] [ C] [ BC] Triunghi ascuțitunghic triunghiul care are toate unghiurile ascuțite (<9) Triunghi dreptunghic triunghiul care are un unghi drept (9 ) Proprietati: 1) B C ) [D] bisectoarea unghiului de la varf [D] mediană, înălțimea și mediatoarea bazei Proprietăți: 1) m( ) m( B) m( C) 6 )Bisectoarea oricărui unghi este mediană, înălțime și mediatoare Triunghi obtuzunghic triunghiul care un unghi obtuz (>9 )

. Linii importante in triunghi a) Înăltimea segmentul determinat de un vârf al triunghiului și proiecția acestuia pe latura opusă - Intersecția înălțimilor este ortocentrul triunghiului (H) b) Mediana segmentul determinat de un vârf al triunghiului și mijlocul laturii opuse. - Intersecția medianelor este centrul de greutate al triunghiului G D 1 GD D si G D [ D] mediană c) Bisectoarea (unui unghi propriu) semidreapta cu originea în vârful unghiului, situata în interiorul lui, astfel încât cele două unghiuri formate de ea cu laturile unghiului inițial să fie congruente. - intersectia bisectoarelor este centrul cercului înscris în triunghi 4

r S p S - aria triunghiului p - semiperimetrul r - raza cercului înscris în triunghi d) Mediatoarea (unui segment) dreapta perpendiculară dusă prin mijlocul segmentului dat - Intersecția mediatoarelor laturilor unui triunghi este centrul cercului circumscris triunghiului. Criterii de congruență pentru triunghiul oarecare L.U.L, U.L.U, L.L.L., L.U.U.* O OB OC R abc R 4S R raza cercului circumscris triunghiului a, b, c laturile triunghiului S aria triunghiului 4. Cazurile de congruență pentru triunghiurile dreptunghice C.C., C.U., I.U., I.C. 5

RII 1. rie triunghiul oarecare. rie triunghiul dreptunghic bh l sin 1 l u oarecare Formula lui Heron p( p a)( p b)( p c), oarecare a+ b+ c unde p h echilateral echilateral h dreptunghic dreptunghic c c c1 c ip 1. rie triunghiul echilateral 4. rie paralelogram l 4 l paralelog ram bh paralelog ram l1 l sin u P ( B + BC) paralelog ram 6

5. rie dreptunghi 6. rie patrat dreptunghi P ( L+ l) dreptunghi Ll 1 romb romb l sin P romb 4l d d P d patrat patrat patrat l 4l l 7. rie romb 8. rie trapez bh ( B+ b) h trapez lm h B+ b lm ( linia mijlocie) P B + BC + CD + D trapez 7

9. rie patrulater ortodiagonal 1. rie patrulater convex d1 d patrulater ortodiagonal P B + BC + CD + D patrulater ortodiagonal d1 d sinα, ( patrulater convex α mdd 1, ) + patrulater convex BD BDC P B + BC + CD + D patrulater ortodiagonal 11. rie poligon regulat 1. rie disc Pn an poligonregulat o n ln Rsin o n an Rcos ( o m B) n 18( n ) m( BC) n L l disc cerc arc sector π R π R π Rn 18 π 6 Rn 8

RELȚII METRICE ÎN TRIUNGHI 1. Teorema lui Thales Reciproca Teoremei lui Thales. Teorema fundamental a asemanarii BC F G FG BC FB GC BC E D DE BC EB DC F G Daca FG BC FB GC E D Daca DE BC EB DC BC FG BC FG BC BC ED BC DE BC.. Triunghiuri asemenea 4. Cazuri de asemanare BC ' B ' C ' 1) U.U. B C BC B C, ) si B ' ' C ' ' BC ' ' B ' ' C ' ' ', B B', C C' ' ) B C BC B ' ' C ' ' BC ' ' 9

. 5. Teorema catetei 6. Teorema înălțimii 7. Teorema lui Pitagora Reciproca Teorema lui Pitagora Dacă în BC BC o m( ) 9 D BC BC T. Catetei B C BD BC CD CB T. Inaltimii o m D BD DC ( ) 9 D BC BC avem BC > C > B si m( ) 9 +, ( ) 9 o BC B C BC dreptunghic m 8. Teorema bisectoarei T. Pitagora BC B C o + BC B BD ( D) bi sectoare C DC 1

ELEMENTE DE TRIGONOMETRIE cateta opusă sin x ipotenuză cateta alăturată cos x ipotenuză cateta opusă tgx cateta alăturată cateta alăturată ctgx cateta opusă TEOREM UNGHIULUI DE O sinx 1 cosx tgx o 45 o 6 o 1 1 ctgx 1 Într-un triunghi dreptunghic cateta opusă unghiului de este jumatate din ipotenuză TEOREM Mediana in triunghiul dreptunghic Într-un triunghi dreptunghic mediana dusă din vârful unghiului drept este jumatate din ipotenuză TEOREM COSINUSURILOR (se aplica în triunghiul oarecare) cos a b + c bc b a + c ac cos Bˆ c a + b ab cosc TEOREM SINUSURILOR (se aplică în triunghiul oarecare) a b c R sin ˆ sin Bˆ sin Cˆ ˆ ˆ Material realizat de ndrei Octavian Dobre (Profesor de matematică Ploiești) Contact: office@mateinfo.ro ; dobre.andrei@yahoo.com 11