ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

06

Κεφάλαιο ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Λ 0. i) Σ 9. Σ. Σ 0. ii) Σ 0. Σ 3. Σ. Σ. Σ 4. Σ. Λ. Λ 5. Λ 3. Σ 3. Σ 6. Σ 4. Σ 4. Λ 7. Λ 5. Σ 5. Λ 8. Σ 6. Σ 6. i) Λ 9. Σ 7. Λ 6. ii) Λ 8. Λ 7. Λ Απαντήσεις στις ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Β. Α. Α. Γ. Ε. 3. 3. Γ 3. Β 4. Γ 4. Γ 4. Γ 5. Β 5. Β 5. Ε 6. 6. 6. 7. Β 7. Β 7. 8. Ε 8. 8. 9. 9. Β 9. Ε 0. Γ 0. Β 30. Β 07

Μερικές ενδεικτικές λύσεις 9. Στην ερώτηση αυτή δεν µπορούµε εύκολα να αποκλείσουµε κάποιες απαντήσεις. Ο στόχος της ερώτησης είναι να «θυµηθούµε» ότι δυο συµµετρικά σηµεία ως προς τον y y θα έχουν συντεταγµένες (, y) και (-, y). Έτσι, αν στον τύπο y = - θέσουµε όπου το -, βρίσκουµε y = - - και η σωστή απάντηση είναι Β. 4. Εδώ θέλουµε να επισηµάνουµε αφενός τη µονοτονία (και το -) κάποιων γνωστών συναρτήσεων, αφετέρου την κατανόηση του ορισµού της - συνάρτησης. Όλες οι συναρτήσεις Α, Β,, Ε προφανώς είναι -, άρα αντιστρέφονται. Έτσι αποµένει η Γ, η οποία δεν είναι αντιστρέψιµη. 7. Φαινοµενικά η ερώτηση έχει πολλές πράξεις ή µπορεί να θεωρηθεί άσκηση ανάπτυξης, αφού πρέπει να βρεθεί η gof. Εκείνο όµως που θέλαµε να τονίσουµε µ αυτή την ερώτηση είναι ότι αν η πρώτη (µε τη σειρά που γράφονται) συνάρτηση µιας σύνθεσης συναρτήσεων είναι σταθερή, τότε και η σύνθεση είναι σταθερή µε την ίδια τιµή. Έτσι έχουµε (gof) () = g (f ()) = 7. Απαντήσεις στις ερωτήσεις αντιστοίχισης 08

. β. ε η γ 3 γ 3 α 4 γ 4 β 5 γ 6 δ 7 ε 3. γ 4. β δ α 3 ε 3 ε 4 α 4 δ 5. δ 6. γ ε α 3 β 3 η 4 α 4 ζ 7. γ 8. β α α 3 β 3 γ 4 δ Απαντήσεις στις ερωτήσεις διάταξης. g ( ) < g ( ) < g ( 3 ) < g ( 4 ) < f ( 4 ) < f ( 3 ) < f ( ) < f ( ). f, φ, h, g. Απαντήσεις - υποδείξεις στις ερωτήσεις ανάπτυξης 09

. α) D f = (-, ) β) log - log - = log - - = log - - log = log - = log - - 3. α) Αν = y = 0, τότε f (0) f (0) = f (0) f (0) f (0) = 3f (0), δηλαδή f (0) = 0 β) Αν y =, τότε f () f (0) = f () f (), άρα f () = 3f () Αν y = -, τότε f (0) f () = f () f (- ), άρα f () = f () f (- ), οπότε 3f () = f () f (- ), δηλαδή f () = f (- ) γ) i) > 0, οπότε f ( ) = f () ii) < 0, οπότε f ( ) = f (- ) = f (), γιατί f άρτια 4. p () = 8 - -, [, 6] 5. F () = < < 5, 0 - - 3 9, -4-3 - 9, 0

6. α) Μετατόπιση της C f κατά προς τα πάνω β) ιπλασιασµός των τιµών της f γ) Συµµετρική ως προς τον y y δ) Τα τµήµατα της C f πάνω από τον και τα συµµετρικά όσων βρίσκονται κάτω από αυτόν. 7. Θεωρώ > και ( ) ( ) = f g f αύξουσα. Αφού f ( ), f ( ) > 0, τότε θα ισχύει g ( <, οπότε ) g ( ) f ( ), αλλά f ( ) > f ( ), γιατί f ( ) g ( ) < g ( ) Τελικά ( ) ( ) < ( ) ( ), δηλαδή f g f g <. Όµοια f ( ) f ( ) = ( ) ( ). f ( ) g ( ) f g φθίνουσα. f g 8. α) Df = [- 3, 3] β) f (A) = [-, ] γ) f () = 0 = - 3 ή = 0 ή = 3, f () = = -, f () = - = δ) f () > 0-3 < < 0, f () < 0 0 < < 3, f () - 3 3, f () < - αδύνατη ε) δεν είναι άρτια ζ) είναι περιττή η) δεν είναι - 9. α) α - α 0, δηλαδή (α - ) 0 ισχύει για κάθε α R, άρα και για α > 0 β) Εφαρµογή του (α) για = α. Άρα, αφού, το θα είναι το ελάχιστο. Αν =, - = 0 =

. α) Μετατόπιση της C f κατά προς τα πάνω β) Συµµετρική ως προς τον γ) Τα τµήµατα πάνω από τον και τα συµµετρικά όσων βρίσκονται κάτω από αυτόν. α) Dg = [- 3, ] [3, 6] g (A) = [- 3, - ] [0, ] β) g () = 3 - γ) = - 3 και = δ) [- 3, - 3 8 ) (-, ] ii) [3, 6] 4. α) f () = - 4 - ( ) 4 - ( ),, - 4 < 0 0 4 γιατί για 0 4 ισχύει ( - ) y = 4, δηλαδή y = 4 - ( - ) και για - 4 0 ισχύει ( ) y = 4, δηλαδή y = - 4 - ( ) β) - 4 < -, f γνησίως φθίνουσα - <, f γνησίως αύξουσα 4, f γνησίως φθίνουσα Ακρότατα f min = - f ma = 5. h () = - 3 g () = 5 3

6. α) g () = συν, f () = β) g () =, f () = 3 3 γ) g () = συν, f () = δ) g () = ν, f () = ηµ ε) g () =, f () = 7. α) D f = R - {}, D g = R - {- } β) (f g) () = γ) (gof) () = δ) δεν είναι ίσες., (fg) () = - -, ενώ (fg) () = 8. α) f () =, g () = β) ο σχήµα: f () =, g () =, τότε (fog) () = f ( ) = ( ) ο σχήµα: f () =, g () = e, τότε (fog) () = f (e ) = e 3ο σχήµα: f () =, g () = -, τότε (fog) () = f ( - ) = 4ο σχήµα: f () =, g () = log, τότε (fog) () = f (log) = log γ) f () =, g () = - δ) f () =, g () = log 9. Πρέπει (fog) () =, δηλαδή f (g ()) =, δηλαδή g () =, οπότε g () = - 3

0. α) f - () = α - α β, άρα ο συντελεστής του είναι α και ο σταθερός όρος - α β β) f - () = α α β, άρα ο συντελεστής του είναι α και ο σταθερός όρος α β γ) f - () c = α - α β c, άρα ο συντελεστής του είναι α και ο σταθερός όρος - α β c. α) y = -, οπότε y ( ) = -, δηλαδή = - y. Έχουµε λοιπόν y f - - () = β) Η συνάρτηση έχει άξονα συµµετρίας την ευθεία y =.. α) Έστω f ( ) = f ( ) 3 = 3 =, άρα f - β) y = 3 = y - 3, δηλαδή f - () = - 3 D = R - f γ) h () = (gof - ) () = g ( - 3) = ( - 3) - = - 6 8 δ) 8-3 4 ε) h (A) = [-, ). Έχει ελάχιστο το - για = 3 4

3. α) y = -, άρα = - y µε - y, δηλαδή y 0, οπότε f (A) Dg, άρα (gοf) () = g ( - ) = ( - ) β) Έστω, ανήκουν στο Dg µε >, τότε - < - και - < -, δηλαδή ( - ) < ( - ), οπότε η g είναι φθίνουσα γ) y = -, δηλαδή - - y = 0, ± y οπότε = = ± y, δηλαδή (gof) - () =, 0 δ) (gof) - () = δηλαδή =, > 0, δηλαδή - - = 0. Θέτω z =, οπότε z - z - = 0 και z = 5 ή = 5, άρα = 3 5 4. α) µεταξύ 00 και 400 β) 300 γ) δεν έχει κέρδος δ) θα έχει τη µέγιστη ζηµιά ΛΚ 5. α) Ισχύει = Β ΛΚ Ε () = = Όµοια, αν, δηλαδή ΛΚ = =, ( Β = ΑΓ = ) =, 0., ισχύει Ε () = - ( - ). β) Ε (0) = 0 = 0, Ε ( ) = - ( - ) =, Ε () = - ( - ) = -, Ε = = 5

6. α) 0 6, γ) y = 6 00 β) εφω = 6 60 y - 6 60y = 0 άρα πρέπει y 9, άρα y 9 = 60 60 β 6 για = - = = 60 µέτρα,6 m α y 7. α) s (t) = 60 t 80 t = 00t. Άρα αποµακρύνονται µε ταχύτητα 00 km/h β) AM = s = 50t γ) Έστω ότι πρέπει να έχει ταχύτητα km/h. Τότε ΑΜ = 80 = 60 t t s (t), άρα. Για t = 4, έχουµε 3 600 = 90, οπότε 67. Άρα ο δεύτερος πρέπει να ελαττώσει την ταχύτητά του κατά 3 km/h περίπου. 8. α) L = (α - ΛΓ - ΒΚ). Ισχύει A ΛΓ ΒΚ = και =, οπότε υ ΓΞ υ ΒΞ ΛΓ = ΓΞ, ΒΚ = υ ΒΞ, υ δηλαδή ΛΓ ΒΚ = υ (ΓΞ ΒΞ) = B Ν Κ υ Ξ α Μ Λ Γ α, υ δηλαδή L = (α - υ α) 6

α β) ΚΛ = α - (ΒΚ ΛΓ) = α - α, Ε = ΚΛ = (α - α) = α - = υ υ υ α ( - υ ) 9. β) f () = 0t - 5t. Η συνάρτηση παρουσιάζει µέγιστο για =, το οποίο είναι f () = 0 γ) Λύνουµε την εξίσωση 60 = 0t - 5t 8 4 και έχουµε t = s και t = s 9 3 3 f (t) - f () δ) υ (t) = = t - - 5t (t - ) 0 (t - t - ) 0t - t - 40 t - = - 5t 0 0 = 0t - t - 0 t - = 30. α) Η ζητούµενη συνάρτηση είναι η σύνθεση της Κ () µε την Ν (t), δηλαδή: Κ (t) = 5 800t - 40t, t ακέραιος µε 0 t 0 β) K (t) 3.885 και 0 t 0, άρα 0 t 8, ή t,8, άρα t = 8 3. E () = 0 3. α) K () = (70 - ) - 0 (70 - ) = - 80-700 β γ) Μέγιστο έχουµε, για = - α = 40, άρα η τιµή πώλησης θα πρέπει να είναι 40.000 δρχ. 7

33. Για 0 είναι f () =, για 4 είναι f () = 0 ( - ),, 0 οπότε f () = 0-08, < 4 40-88, > 4 34. α) Π (3) = 0, άρα 9 3α - 3 = 0 α = - Ζ (4) = 0, άρα 4β 3 = 0 β = - 8 Π () = - - 3 Z () = - 8 3 Πρέπει Π () = Z (), άρα = 3,633, δηλαδή 3.633 δρχ. β) Πρέπει Z () = 4Π (), άρα =, δηλαδή = 3,36 ή 3.36 δρχ. 35. α) f () = β) 6.000 0 500 6000 0 < < 3 3 <.500 0 3 36. α) d = 0ηµκ β) h = d γ) s = h εφ0 8