ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 5- ΛΥΣΕΙΣ Οι ασκήσεις της Εργασίας αυτής βασίζονται στην ύλη των Ενοτήτων 9 του συγγράµατος «Λογισµός Μιας Μεταβλητής» του Γ. άσιου. Όλα τα υοερωτήµατα βαθµολογούνται το ίδιο. Άσκηση ( µονάδες) Υολογίστε τα αόριστα ολοκληρώµατα α) και β) σύµφωνα µε τις υοδείξεις. ( ) d α) Παραγοντοοιήστε ρώτα τον αρονοµαστή και αναλύστε το κλάσµα µέσα στο 3 + κ + λ + µ A B + C ολοκλήρωµα σύµφωνα µε τον αλγόριθµο: = +. ( + a)( + b + c) + a + b + c 3 β) si d, χρησιµοοιώντας κατά αράγοντες ολοκλήρωση και την ταυτότητα cos = si. + d γ) είξτε ότι: = l e +, χρησιµοοιώντας την αντικατάσταση y = e και την ανάλυση σε αλά κλάσµατα, όως στο α) ιο άνω. ΛΥΣΗ α) Το κλάσµα αναλύεται ως εξής A B+ C A( + ) + ( B+ C)( + ) 3 + ( + )( + ) + + ( + )( + ) = = + = = A A + A + B + B + C + C ( A + B) + ( A + B + C) + ( A + C) = = ( + )( + ) ( + )( + ) Οι αριθµητές των κλασµάτων ρέει να είναι ταυτοτικά ίσοι άρα θα έχω Λύνοντας το σύστηµα βρίσκουµε A+ B = () A+ B+ C = () A+ C = (3) A =, B =, C = 3 3 3 οότε το ολοκλήρωµα γράφεται ως ακολούθως
( ) d d ( ) d = + = 3 + 3 + 3 + d( + ) d( + ) 3 + 3 + + όου χρησιµοοιήσαµε τις ιδιότητες του διαφορικού d = d( + ) και ( ) d= d( + ) εοµένως το ολοκλήρωµα ισούται µε l( + ) + l( + ) + C 3 3 (β) 3 si ( ) d = si ( )si( ) d = si ( ) d( cos( )) όου χρησιµοοιήσαµε το γεγονός ότι si( ) d = d( cos( )) λαµβάνοντας υ όψιν ότι = και θέτοντας u = cos( ) το ολοκλήρωµα γίνεται si ( ) cos ( ) ( u ) du = + = + + 3 3 du u du u u C C 3 3 = cos( ) + cos ( ) + d. Θέτουµε e + du du e u γ) Θα υολογίσουµε κατ αρχάς το αόριστο ολοκλήρωµα u = e du = e d d = = και το ολοκλήρωµα γίνεται: d = du e + uu ( + ) αυτό είναι ένα ρητό ολοκλήρωµα. Για να το υολογίσουµε θα αναλύσουµε το κλάσµα σε άθροισµα αλών κλασµάτων: A B Au ( + ) + Bu ( A+ Bu ) + A ( + ) = + + = ( + ) = ( + ) =, = uu u u uu uu A B και το ολοκλήρωµα γίνεται: και τελικά: du du du uu ( + ) = u u+ = l u l u+ + C ( e ) = l e l e + + C= l + C d e + e +
Το oορισµένο ολοκλήρωµα τώρα είναι: ( ) ( ) ( ) ( ) d e e e e + e + e + e + Και τελικά έχουµε: = l l = l l + d d e e + + e + + e + ( ) ( ) = lim = lim l l Με τον κανόνα L Hopital υολογίζουµε το όριο: αλλά lim l + e ( ) = l lim e e + e + + ( ) e lim = e lim = e lim = e + ( e + ) e και εοµένως e e lim l ( ) = l lim l() e + + e + = = + και το γενικευµένο ολοκλήρωµα τελικά γίνεται: + d d e e + + e + + e + ( ) ( ) ( ) = lim = lim l l = l() l = [l() l()] = l() και η άσκηση αοδείχθηκε. Άσκηση ( µονάδες) Η αξία µιας µετοχής στο Χρηµατιστήριο είναι σήµερα 7Α/8 ευρώ, όου A θετική σταθερά, ενώ σε t µήνες αό σήµερα η αξία της P( t )µειώνεται µε ρυθµό P ( t) = A/( t + ) ευρώ ανά µήνα. Να βρείτε: α) την αξία της µετοχής σε 6 µήνες αό σήµερα, 3
β) σε όσους µήνες(τουλάχιστον) η µετοχή δεν θα έχει καµία αξία. ΛΥΣΗ α) Εειδή / P(t) A = (t+ ) έχουµε: Εειδή / / A P ( t )dt dt A dt = = (t+ ) t+ A P( t ) = + c,( c ) t+ 7A P( ) = ροκύτει 8 P( ) = A + c Άρα 7A = A + c 8 A c = 8 A A P( t ) = t+ 8 και εοµένως η αξία της µετοχής µετά αό έξι µήνες θα είναι β) A (t+ ) / P(t) = < A A A P( 6 ) = = 7 8 56, άρα η συνάρτηση P είναι γνησίως φθίνουσα και εοµένως έχει το ολύ ένα σηµείο µηδενισµού και εειδή P(7 ) = συµεραίνουµε ότι η µετοχή δεν θα έχει καµία αξία σε 7 µήνες. Άσκηση 3 ( µονάδες) α) Έστω αραγωγίσιµη συνάρτηση f, µε f() =. Υοθέτουµε ακόµη ότι: σχέση / f συνεχή αράγωγο στο διάστηµα [,] και / / f ()d = ( )f ()d=. Ολοκληρώνοντας την / / ( f( )) = f( ) + f( ), βρείτε το f() και υολογίσετε το ολοκλήρωµα β) Έστω η συνεχής συνάρτηση f στο διάστηµα [,] για την οοία ισχύει f ()d f ()d=. 4
Εφαρµόστε το Θεώρηµα της σελίδας 58 στη συνάρτηση F( ), όου F( ) = f( t) dt και αοδείξτε ότι υάρχει a (,) τέτοιο ώστε ΛΥΣΗ a f()d=. a α) Αό την υόθεση έχουµε διαδοχικά: Όµοια βρίσκουµε: / / / / / [f () + f () f ()]d= f ()d + ( )f ()d= + / f ()d= f() f() = f() = / f ( )d = [ ] / f() () f()d= f() f()d= f()d= β) Θεωρούµε τη συνάρτηση Η g είναι συνεχής στο διάστηµα [,]και t g( t ) = t f ( )d,t [,] g( )g() = ( f ( )d ) = ( ). = < Άρα, αό το θεώρηµα Bolzao, υάρχει a (,) τέτοιο, ώστε a g(a) = a f()d = f()d= a a 5
Άσκηση 4 (6 µονάδες) Το θεµελιώδες θεώρηµα του αειροστικού λογισµού είναι: Έστω f( ) συνεχής συνάρτηση στο [, ] ab, τότε η συνάρτηση F( ) f( t) dt = έχει αράγωγο για [ ab, ] a και ισχύει: d d F( ) = f( t) dt f( ) d d =. Χρησιµοοιήστε το θεώρηµα αυτό για να λύσετε τις αρακάτω a ασκήσεις: 4 dt α) Έστω y =. Υολογίστε την αράγωγο dy, χρησιµοοιώντας τον κανόνα της t d + + 3 dy dy du αραγώγισης σύνθετης συνάρτησης: =. ( Υόδειξη: Θέστε u = ). Κατόιν, d du d βρείτε την ίδια αάντηση, υολογίζοντας κατ ευθείαν το ολοκλήρωµα και µετά αραγωγίζοντας ως ρος. β) Παρατηρείστε τώρα ότι η µέθοδος της α ευθείας ολοκλήρωσης δεν είναι άντα εφαρµόσιµη. Θεωρείστε για αράδειγµα τη συνάρτηση f ( ) =,. είξτε ότι η 4 + t + t f είναι αραγωγίσιµη, υολογίσετε την ΛΥΣΗ α) / f () και αοδείξτε ότι lim f ( ) =. + Εφαρµόζοντας τις ιδιότητες του ορισµένου ολοκληρώµατος και τον κανόνα αραγώγισης σύνθετης συνάρτησης θα έχω 4 + 3 d dt d dt d dt du d = = + t d + t du + t d + 3 4 4 u όου και εοµένως u = + 3 du d d = + = d ( 3 ) 6 Άρα θα έχω εφαρµόζοντας το θεώρηµα 4 d dt du 6 d = = + t + u d + (+ 3 ) + 3 Αν υολογίσω α ευθείας το ολοκλήρωµα θα άρω 6
4 4 + 3 dt t 4 + 3 = arcta( ) arcta( ) arcta( ) = + t + 3 η αραγώγιση της τελευταίας έκφρασης µας δίνει µηδέν για τον ρώτο όρο και για τον δεύτερο d + 3 d + 3 arcta( ) ( ) ( ) d = + 3 d + ( ) όου χρησιµοοιήσαµε τον κανόνα της σύνθετης αραγώγισης.υολογίζοντας λοιόν την αράγωγο θα έχω 6 ( ) (6 ) = + (+ 3 ) + (+ 3 ) ου είναι η ίδια έκφραση ου υολογίσαµε και ροηγουµένως. β) Για κάθε f () = dt+ dt + t + t + t + t 4 4 = dt + t + t + t + t 4 4 ου είναι αραγωγίσιµη ως διαφορά αραγωγίσιµων συναρτήσεων και / f () 4 = + 4 + 6 + + 4 8 4 8 Για κάθε t, =, εοµένως 4 4 + t + t t t >, εειδή dt dt + t + t t 4 f() t f() + lim ( ) = dt 7
ροκύτει lim f ( ) = + Άσκηση 5 (4 µονάδες) α) Ο Αρχιµήδης (87-.Χ) ανακάλυψε ότι το εµβαδόν κάτω αό ένα αραβολικό τόξο ισούται µε το γινόµενο των δύο τρίτων της βάσης εί το ύψος του τόξου. Χρησιµοοιώντας το κατάλληλο ολοκλήρωµα, βρείτε το εµβαδόν κάτω αό το αραβολικό τόξο: = 6 και άνω αό το ευθύγραµµο τµήµα 3 y στον άξονα των και δείξτε ότι αυτό ισούται µε το γινόµενο (βάση)*(ύψος) (Αάντηση: 5/6). 3 β) ίνεται η συνάρτηση f ( ) = l, > και ο ραγµατικός αριθµός λ µε < λ <. + Να υολογίσετε το εµβαδόν Ε( λ ) του τόου ου ερικλείεται αό την γραφική αράσταση της συνάρτησης f, τον άξονα των και τις ευθείες = λ, =. Κατόιν, υολογίστε το όριο lim E( λ ), χρησιµοοιώντας τον κανόνα l Hospital. + λ ΛΥΣΗ α. Το εµβαδόν θα ισούται µε 3 3 3 ( 3) ( 3) (6 ) d= 6 = [(6. ) (6.( 3) )] =5/6 3 3 3 3 3 Η βάση αρχίζει αό το -3 έως το,δηλαδή 5 µονάδες µήκους, το ύψος θα είναι η τεταγµένη του µεγίστου της 6 η οοία βρίσκεται µε την συµλήρωση του τετραγώνου: για 5 4 6 = [ + 6] = [( + ) ( ) 6] = [( + ) ] = η µεγίστη τιµή της συνάρτησης είναι 5/4 άρα το εµβαδόν θα είναι 5 5 5 = 3 4 6 8
(c) plot(6--^,,-3,); 6. 4. Y.. -.. -3. < X <.;. < Y < 6. X doe β) Αν >, τότε < < +, άρα f () < και εοµένως / E( λ ) = f()d= f()d= l d = ( ) l d λ λ λ λ / + = l d + + λ λ = + + + λ (+ ) λ l ( ) d = l + d + λ + λ λ = l + λ l + [ l( + ] λ λ + λ = l + λ l + l l( λ + ) λ + λ = l + λl l( λ+ ) λ + = l + λlλ λl( λ+ ) l( λ+ ) + + 9
Εειδή και οµοίως + λ l (l ) lim λlλ = lim lim lim lim = λ = = = λ λ λ / λ λ λ + + + / + + λ λ λ λ λ lim λ l( λ + ) =, ροκύτει ότι lim E( λ ) = l + λ Άσκηση 6. ( µονάδες) Έστω η ακολουθία I, =,,,..., τέτοια ώστε για κάθε θετικό ακέραιο I = ( ) e d!, όου! = 3,! =,! =. α) Να υολογίσετε τον ρώτο όρο I της ακολουθίας. β) Χρησιµοοιώντας ολοκλήρωση κατά αράγοντες, εκφράστε τον όρο I συναρτήσει του I, για. p= γ) Αθροίζοντας κατά µέλη για k =,...,, δείξτε ότι I = e p= p! δ) Χρησιµοοιώντας την ανισότητα < ( ) <, για < <, δείξτε ότι οι αριθµοί και e είναι ένα κάτω και ένα άνω φράγµα αντίστοιχα της ακολουθίας I, =,,,....! ιαιστώνοντας µάλιστα ότι η ακολουθία είναι γνησίως φθίνουσα συµεράνετε ότι συγκλίνει. ε) Βρείτε το όριο lim I και δείξτε το ολύ σηµαντικό αοτέλεσµα: + e = lim ( + + +... + ) +!!! ΛΥΣΗ α) β) / I = ( )ed = ( )e ( )ed= ed e e = + = I = ( ) e d ( ) e ( ) e d! =!! ( ) e d I = + = +! ( )!! Άρα
γ) Για =,3,... ροκύτει: I = + I,( )! I I = + I! = + I 3! 3 I = + I ( )! ροσθέτοντας κατά µέλη έχουµε: και εειδή ροκύτει δ) Εειδή ροκύτει ε) Εειδή I p= + I = + I! I =... + I =... + e! 3!!! 3!! I = +!! p= = e p= p! ( ) ( ) e e ( ) e d e d!i e e I! e lim =, αό την ροηγούµενη σχέση ροκύτει lim I = και αό την! + p= = e αίρνοντας τα όρια έχουµε p! e = lim ( + + +... + ) +!!! Άσκηση 7. (6 µονάδες) p= lim I = e lim, δηλαδή p! + + p =
Ανατύξτε κατά Fourier τις συναρτήσεις, α) f ) =, < ΛΥΣΗ ( β) ( ) a α) f( ) = + ( a cos( ) si( )) + b = L L Στη ερίτωση µας L = και εοµένως f() = si /, a = f( ) d d d = + = + a = f( )cos( d ) = cos( d ) + cos( d ) = = si( ) + d(si( )) = [ si( ) si( ) d] = ( ) = [cos( )] = [cos( ) ] = b = f ( )si( ) d = si( ) d + si( ) d = ( ) ( ) =. β) εδοµένου ότι ισχύει si( ) = si( ) η συνάρτηση f( ) = si( /) είναι εριττή. Αρκεί να βρούµε τα β στην αράσταση: si( / ) = β si( ) = Σύµφωνα µε το βιβλίο κεφ.. : β = f ( )si( ) d. Για να υολογίσουµε το I = si( / )si( ) d χρησιµοοιούµε την τριγωνοµετρική ταυτότητα si( a)si( ) = ( cos( a ) cos( a + ) ). Έχουµε
I = si( / )si( ) d= cos( ) cos( ) + d= = si( ) si( ) C. + + (/ ) (/ ) + Άρα I = si( ) si( ) + (/) (/) + = si( ) si( + ) (/ ) (/ ) + = cos( ) cos( ) (/ ) (/ ) + = (/ 4) cos( ) = ( ) (/ 4) Άσκηση 8. (Προαιρετική: µονάδες) Σύµφωνα µε τον λεγόµενο «κανόνα του τραεζίου», µορούµε να ροσεγγίσουµε το ολοκλήρωµα b h f ( d ) µε την οσότητα: T = ( y + y+ y +... + y + y), όου οι αριθµοί y είναι οι a τιµές της f ( ) στα σηµεία της διαµέρισης: = a, = a+ h, = a+ h,..., = a+ ( ) h, b a = b, όου h =. Αοδεικνύεται ότι το σφάλµα της ροσέγγισης αυτής δίνεται αό τον τύο b a ET h M όου θεωρούµε ότι η δεύτερη αράγωγος f ( ) είναι συνεχής και Μ τυχόν άνω φράγµα των τιµών της f ( ) στο [ a, b]. Υολογίστε το ολοκλήρωµα α) Αναλυτικά, δηλαδή ακριβώς (Η αάντηση είναι /3). dµε δύο τρόους: β) Αριθµητικά, δηλαδή ροσεγγιστικά, µε την µέθοδο του τραεζίου, γράφοντας ένα αλό ρόγραµµα στον υολογιστή σας. Χρησιµοοιώντας διαµερίσεις µε = 5,,,5,,... ειβεβαιώστε την ως άνω εξάρτηση του σφάλµατος αό το και στρογγυλοοιήστε τις ααντήσεις σας µε ακρίβεια 5 δεκαδικών ψηφίων. ΛΥΣΗ 3
4
5
6
7
8
9
-------------------------------