ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΚΩ ΙΚΕΣ

1 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΚΩ ΙΚΕΣ

2 Σκοπός Μέθοδοι παράστασης και ερµηνείας των ψηφιακών δεδοµένων στα υπολογιστικά συστήµατα ιάφορα αριθµητικά συστήµατα που χρησιµοποιούνται στους υπολογιστές και επεξήγηση της αριθµητικής δυαδικών αριθµών ιάφορες µέθοδοι αναπαράστασης στον υπολογιστή των αριθµητικών πληροφοριών (δηλαδή των αριθµών)

3 Ψηφιακές Πληροφορίες Μέσα σε κάθε υπολογιστικό σύστηµα οι ψηφιακές πληροφορίες παριστάνονται σαν πεπερασµένες σειρές δυαδικών µεταβλητών Η κάθε στοιχειώδη µεταβλητή µπορεί να λάβει µία από τις δύο λογικές τιµές 0 ή 1 Η µεταβλητή αυτού του είδους αντιπροσωπεύει ένα bit (δυαδικό ψηφίο) Το bit ισοδυναµεί µε την µικρότερη µονάδα πληροφορίας που µπορεί να αναπαρασταθεί σε ένα υπολογιστή Οι συνδυασµοί των δυαδικών ψηφίων δηµιουργούν το σύνολο των πληροφοριών στο υπολογιστικό σύστηµα

4 Φυσικά Μεγέθη Τα περισσότερα φυσικά µεγέθη που υπάρχουν στο περιβάλλον µας είναι αναλογικά Θερµοκρασία, ο χρόνος, η απόσταση κ.τ.λ Για να µπoρέσει ο υπολογιστής να κάνει χρήση ή να επεξεργαστεί µία πληροφορία, θα πρέπει αυτή να ψηφιοποιηθεί Μετατροπή αναλογική µορφή σε ψηφιακή Κατάλληλα κωδικοποιηµένη Η µετατροπή των αριθµών, αλφαβητικών χαρακτήρων ή ειδικών συµβόλων, σε δυαδική κωδικοποιηµένη µορφή δεν είναι δύσκολη, εντούτοις η µετατροπή τους από τον ίδιο τον προγραµµατιστή αποτελεί κουραστικό και ανεπιθύµητο έργο Στους υπολογιστές η µετατροπή αυτή γίνεται αυτόµατα από το ίδιο το σύστηµα

Αριθµητικά Συστήµατα (1) Τα αριθµητικά συστήµατα µπορεί να είναι Συµβολικά Ρωµαϊκό αριθµητικό σύστηµα (Ι, ΙΙ, ΙΙΙ, ΙV, V, VI,..) Θέσης-βάρους Αραβικό αριθµητικό σύστηµα (0,1, 2, 3,...9, 10, 11,...) Στους υπολογιστές χρησιµοποιούνται αριθµητικά συστήµατα αριθµών θέσης-βάρους δυαδικής µορφής Η παράσταση αριθµών σε δυαδική µορφή είναι κεντρικής σπουδαιότητας, τόσο για την χρήση όσο και για την σχεδίαση ψηφιακών συστηµάτων και υπολογιστών Πανεπιστήµιο Πατρών 5

6 Αριθµητικά Συστήµατα (2) Μια αριθµητική πληροφορία (ένας αριθµός) παριστάνεται σαν διάνυσµα µήκους λ, όπου λ το πλήθος των ψηφίων του αριθµού Ο αριθµός K παριστάνεται σαν διάνυσµα της µορφής (K) β = (K ν-1 K ν-2 K i K 0. K -1 K -2 K -µ ) β β : ακέραιος αριθµός µεγαλύτερος του 1 Ο β είναι η βάση του αριθµητικού συστήµατος Οι πιο συχνά χρησιµοποιούµενες βάσεις είναι οι δύο (β=2), οκτώ (β=8), δέκα (β=10) και δεκαέξι (β=16) Το κάθε ψηφίο K i µπορεί να πάρει τιµές από 0 έως και β-1, δηλαδή ισχύει, 0 K i β-1

Μη Προσηµασµένοι Αριθµητικά Συστήµατα (3) Προσηµασµένοι Αναπαράσταση πρόσηµο-µέγεθος Αναπαράσταση συµπληρώµατος βάσης Αναπαράσταση συµπληρώµατος µειωµένης βάσης Πανεπιστήµιο Πατρών 7

Αριθµητικά Συστήµατα (4) (K) β = (K ν-1 K ν-2 K i K 0. K -1 K -2 K -µ ) β K ν-1 : το πιο σηµαντικό ψηφίο (most significant bit) K -µ : λιγότερο σηµαντικό ψηφίο (least significant bit) K ν-1 K ν-2 K i K 0 : ακέραιο µέρος του αριθµού K -1 K -2 K -µ : κλασµατικό µέρος του αριθµού Πανεπιστήµιο Πατρών 8

9 Μετατροπή Βάσης Για να επιτύχουµε την µετατροπή ενός αριθµού (K) β = (K ν-1 K ν-2 K i K 0. K -1 K -2 K -µ ) β από µια βάση διάφορη του 10, σε αριθµό εκφραζόµενο ως προς βάση του 10, (Λ) 10 χρησιµοποιούµε την εξίσωση: ( ) Λ = 10 = i ν 1 µ Κ i β i

10 Παράδειγµα Μετατροπής Βάσης (1) Οδεκαδικός ισοδύναµος αριθµός (Λ) 10 του δυαδικού αριθµού (11001.101) 2 (Λ) 10 = 1x2 4 + 1x2 3 + 0x2 2 + 0x2 1 + 1x2 0 + 1x2-1 + 0x2-2 + 1x2-3 = 1x16 + 1x8 + 0x4 + 0x2 + 1x1 + 1x(1/2) + 0x(1/4) + 1x(1/8) = 16 + 8 + 1 + (1/2) + (1/8) = 25 + (5/8) = (15.625) 10 Ο δεκαδικός ισοδύναµος αριθµός (Λ) 10 του οκταδικού αριθµού (436.52) 8 (Λ) 10 = 4x8 2 + 3x8 1 + 6x8 0 + 5x8-1 + 2x8-2 = 4x64 + 3x8 + 6x1 + 5x(1/8) + 2x(1/64) = 256 + 24 + 6 + (5/8) + (2/64) = 286 + (42/64) = (15.65625) 10 Ο δεκαδικός ισοδύναµος αριθµός (Λ) 10 του δεκαεξαδικού αριθµού (1CE8.A) 16 (Λ) 10 = 1x16 3 + Cx16 2 + Ex16 1 + 8x16 0 + Ax16-1 = 1x4096 + 12x256 + 14x16 + 8x1 + 10x(1/16) = 4096 + 3072 + 224 +8 + (10/16) = 7400 + (10/16) = (7400.625) 10

11 Παράδειγµα Μετατροπής Βάσης (2) ίδεται ένας δεκαδικός αριθµός (Β) 10 και ζητείται η µετατροπή του σε ένα αριθµό (A) β βάσης β. Έστω ότι ο δεκαδικός αριθµός (Β) 10 είναι ακέραιος. Οπότε (Β) 10 = (A) β = (A ν-1 A ν-2 Α 0 ) β (Β) 10 = (A) β = A ν-1 x β ν-1 + A ν-2 x β ν-2 +. + A 1 x β 1 + A 0 Εάν ο (Β) 10 διαιρεθεί διά του β τότε ((Β) 10 / β)= (A ν-1 x β ν-2 + A ν-2 x β ν-3 +. + A 1 ) + (A 0 / β) ((Β) 10 / β) = Ακε ((Β)10 / β) + Κλα ((Β) 10 / β) όπου Ακε: το ακέραιο µέρος της ((Β) 10 / β). Κλα: το κλασµατικό µέρος της ((Β) 10 / β).

12 Παράδειγµα Μετατροπής Βάσης (3) (A 0 = Υπο ((Β) 10 / β) όπου Υπο : το υπόλοιπο της (Β) 10 / β Εάν αυτή η διαδικασία συνεχιστεί ξεκινώντας από το Ακε ((Β) 10 / β) το επόµενο υπόλοιπο θα είναι το A 1 και το επόµενο ακέραιο µέρος το A ν-1 x β ν-3 + A ν-2 x β ν-4 +. + A 2 Συνεχίζοντας αυτή τη διαδικασία µέχρι ότου δεν υπάρχει ακέραιο µέρος θα προκύψουν τα ψηφία του αριθµού (A) β

13 Αριθµητική υαδικών Αριθµών (1) υαδική Πρόσθεση υαδικός Πολλαπλασιασµός 0 + 0 = 0 0 x 0 =0 0 + 1 = 1 0 x 1 =0 1 + 0 = 1 1 x 0 =0 1 + 1 = 10 1 x 1 =1 Άθροισµα δυο µη προσηµασµένων αριθµών Α = (10111010) 2 = (186) 10 και Β = (110111) 2 = (55) 10 11111 (κρατούµενο) 10111010 110111 11110001 = (241) 10

Αριθµητική υαδικών Αριθµών (2) 101100 Πολλαπλασιαστέος 1011 Πολλαπλασιαστής 101100 101100 Μερικά αθροίσµατα 000000 101100 111100100 Γινόµενο (101100) 2 x (1011) 2 = 44 x 11 = 484 = (111100100) 2 Πανεπιστήµιο Πατρών 14

15 Αριθµητική υαδικών Αριθµών (3) υαδική Αφαίρεση 0-0 = 0 1-0= 1 1-1 = 0 0-1 = 1 µε κρατούµενο από τη θέση του επόµενου πιο σηµαντικού δυαδικού ψηφίου 0111 (δυαδικό ψηφίο µετά το δανεισµό) 10000 101-1011 1010 1 = 1001 110010 101 = 101101 1101 100101 = -11000

16 Αριθµητική υαδικών Αριθµών (4) υαδική ιαίρεση (100101) 2 / (101) 2 ιαιρετέος 100101 101 ιαιρέτης 101 111 Πηλίκο 1000 101 111 101 10 Υπόλοιπο (100101) 2 / (101) 2 = (111) 2 και µε υπόλοιπο (10) 2 37 / 5 = 7 = (111) 2 και υπόλοιπο 2 = (10) 2

17 Παράσταση Αριθµών θετικοί και αρνητικοί σε µορφή αναπαράστασης πρόσηµο- µέγεθος Η διαδικασία υπολογισµού των πράξεων της αφαίρεσης και διαίρεσης µεταξύ αριθµών που βρίσκονται σε αναπαράσταση πρόσηµο-µέγεθος έχει κάποια επιπλέον πολυπλοκότητα Ο πολλαπλασιασµός σαν πράξη µπορεί να απλοποιηθεί σαν µια σειρά από διαδοχικές προσθέσεις Γενικά το υλικό του υπολογιστή είναι επιθυµητό να είναι µικρό και απλό και να περιλαµβάνει µόνο ένα αθροιστή που να εκτελεί όλες τις αριθµητικές πράξεις Είναι απαραίτητο να υιοθετηθεί ένας τρόπος αναπαράστασης των αριθµών που η πράξη της αφαίρεσης να µπορεί να εκτελεστεί στο αθροιστή του υπολογιστή

Συµπλήρωµα Βάσης και Μειωµένης Βάσης (1) Α: Aκέραιος αριθµός ν ψηφίων (σε αναπαράσταση βάσης β) Α σ = Συµπλήρωµα βάσης του Α = β ν A Α σµ = Συµπλήρωµα µειωµένης βάσης του Α = β ν A 1 Πανεπιστήµιο Πατρών 18

Συµπλήρωµα Βάσης και Μειωµένης Βάσης (2) Στους δεκαδικούς αριθµούς το συµπλήρωµα βάσης συµπλήρωµα του10 το συµπλήρωµα µειωµένης βάσης συµπλήρωµα του 9 Στους δυαδικούς αριθµούς το συµπλήρωµα βάσης συµπλήρωµα του2 το συµπλήρωµα µειωµένης βάσης συµπλήρωµα του 1 Πανεπιστήµιο Πατρών 19

20 Συµπλήρωµα Βάσης και Μειωµένης Βάσης (3) Για να βρεθεί το συµπλήρωµα του 1 ενός αριθµού αρκεί µόνο να µετατρέψουµε τα 1 σε 0 και τα 0 σε 1 Αφού υπολογιστεί το συµπλήρωµα του 1 µπορεί να προκύψει και το συµπλήρωµα του 2 απλά µε το να προσθέσουµε µια µονάδα στο συµπλήρωµα του 1 Ένας άλλος τρόπος κατευθείαν υπολογισµού του συµπληρώµατος του 2 είναι ξεκινώντας από το δεξιότερο ψηφίο του δυαδικού αριθµού κρατάµε όλα τα µηδενικά και το πρώτο 1. Τα υπόλοιπα δυαδικά ψηφία δεξιότερα του πρώτου 1 τα αντιστρέφοµε

Συµπλήρωµα Βάσης και Μειωµένης Βάσης (4) Έστω οι δύο αριθµοί Α και Β έχουν το ίδιο αριθµό ν ψηφίων και ζητείται ο υπολογισµός του Γ = Β A Η πράξη της πρόσθεσης του Β µε το συµπλήρωµα βάσης του Α είναι: Β + Α σ = B + (β ν A) = β ν + (B A) Εάν Β>A τότε η παραπάνω πράξη µας δίδει τον αριθµό Γ (ν ψηφίων) µε ένα επιπλέον 1 στην αρχή (δηλαδή στη θέση ν+1) Εάν Α>B τότε η παραπάνω η εξίσωση µπορεί να γραφεί σαν Β + Α σ = β ν (Α Β) Πανεπιστήµιο Πατρών 21

22 Αναπαράσταση υαδικών Αριθµών (1) Μη Προσηµασµένοι Αριθµοί Προσηµασµένοι Αριθµοί Αναπαράσταση πρόσηµο-µέγεθος Αναπαράσταση αριθµών συµπληρώµατος του 1 Αναπαράσταση αριθµών συµπληρώµατος του 2 Στις προσηµασµένες αναπαραστάσεις το πρώτο δυαδικό ψηφίο δείχνει το πρόσηµο του αριθµού. ηλαδή όταν το πρώτο ψηφίο είναι 0 ο αριθµός είναι θετικός ενώ όταν είναι 1 ο αριθµός είναι αρνητικός Άρα και στις τρεις προσηµασµένες αναπαραστάσεις που ξέρουµε το δυαδικό ψηφίο του πρόσηµου χρησιµοποιείται µε τον ίδιο τρόπο.

23 Αναπαράσταση υαδικών Αριθµών (2) Η διαφοροποίηση των προσηµασµένων αναπαραστάσεων είναι στα υπόλοιπα δυαδικά ψηφία που δείχνουν το µέγεθος του αριθµού Στη αναπαράσταση πρόσηµο-µέγεθος τα ψηφία αυτά δείχνουν το απόλυτο µέγεθος του αριθµού Το ίδιο συµβαίνει και για τους θετικούς αριθµούς στις µορφές αναπαράστασης συµπληρώµατος του 1 και 2 Εκεί που διαφέρουν οι τρεις αναπαραστάσεις είναι στους αρνητικούς αριθµούς Στην µορφή αναπαράστασης πρόσηµο-µέγεθος τα ψηφία εξακολουθούν να δείχνουν το απόλυτο µέγεθος του αριθµού Στη µορφή αναπαράστασης συµπληρώµατος του 1 τα ψηφία περιέχουν το συµπλήρωµα του 1 του απόλυτου µεγέθους του αριθµού Στη µορφή αναπαράστασης συµπληρώµατος του 2 το συµπλήρωµα του 2 του απόλυτου µεγέθους του αριθµού

24 Αναπαράσταση υαδικών Αριθµών (3) ηλαδή άλλο είναι το συµπλήρωµα του 1 ή του 2 ενός αριθµού και άλλο είναι να λέµε ότι ο αριθµός είναι σε αναπαράσταση συµπληρώµατος του 1 ή του 2 Στα περισσότερα υπολογιστικά συστήµατα οι αριθµοί βρίσκονται αποθηκευµένοι σε µορφή αναπαράστασης συµπληρώµατος του 2. Έτσι οι αριθµητικές πράξεις µεταξύ των αριθµών µπορεί να εκτελεστούν µόνο µε τη χρήση ενός αθροιστή

25 Αναπαράσταση υαδικών Αριθµών (4) Παραδείγµατα πρόσθεσης δυαδικών αριθµών 4 ψηφίων σε µορφή αναπαράστασης του 2 +3 0011-2 1110 + +4 + 0100 + -6 + 1010 +7 0111-8 1 1000 +6 0110 +4 0100 + -3 + 1101 + -7 + 1001 +3 1 0011-3 1101

Αριθµοί Σταθερής και Κινητής Υποδιαστολής Οι αριθµοί µπορούν να παρασταθούν µέσα στον υπολογιστή µε τις κάτωθι δύο µορφές: σαν αριθµοί σταθερής υποδιαστολής (fixed point representation) σαν αριθµοί κινητής υποδιαστολής (floating point representation) Πανεπιστήµιο Πατρών 26

27 Αριθµοί Σταθερής Υποδιαστολής Οι αριθµοί σταθερής υποδιαστολής είναι αριθµοί των οποίων η θέση της υποδιαστολής παραµένει σταθερή και αµετάβλητη Η θέση της υποδιαστολής καθορίζει την περιοχή των αριθµών που µπορεί να χειρισθεί ο υπολογιστής. Π.χ. όταν οι δεκαδικοί αριθµοί έχουν την µορφή dddd.dd (όπου d δεκαδικό ψηφίο), τότε ο υπολογιστής µπορεί να χειρισθεί αριθµούς της περιοχής ±9999.99 Οι ακέραιοι αποτελούν ειδική περίπτωση αριθµών σταθερής υποδιαστολής, µε την υποδιαστολή στο δεξιό άκρο. Το κυριότερο µειονέκτηµα του συστήµατος σταθερής υποδιαστολής είναι ότι η περιοχή των αριθµών που µπορεί να χρησιµοποιήσει ο υπολογιστής είναι περιορισµένη Το µήκος του αριθµού σταθερής υποδιαστολής ισούται συνήθως µε το µήκος λέξεως του υπολογιστή

28 Αριθµοί Κινητής Υποδιαστολής (1) ιευρύνεται η περιοχή των αριθµών που µπορεί να χρησιµοποιήσει ο υπολογιστής, ώστε τα αποτελέσµατα των αριθµητικών πράξεων να παρουσιάζουν µεγαλύτερη ακρίβεια Στο σύστηµα κινητής υποδιαστολής, κάθε αριθµός αποτελείται από τον εκθέτη Ε και ένα αριθµητικό κλάσµα Μ Το ζεύγος (Ε, Μ) παριστάνει τον αριθµό κινητής υποδιαστολής Μxβ Ε Ο Ε είναι προσηµασµένος ακέραιος αριθµός µε τιµή -(β ν 1) 10 Ε +(β ν 1) 10 ν: το πλήθος των ψηφίων του εκθέτη (µη συµπεριλαµβανοµένου του πρόσηµου του), Μ: είναι το προσηµασµένο κλάσµα µε τιµή 1 < Μ < +1 β: είναι η βάση του αριθµητικού συστήµατος

29 Αριθµοί Κινητής Υποδιαστολής (2) Η παράσταση των αριθµών ονοµάζεται σύστηµα κινητής υποδιαστολής, διότι για κάθε µεταβολή του εκθέτου Ε, µπορούµε να κινούµε ανάλογα την υποδιαστολή κατά τρόπο που η τιµή του αριθµού να παραµένει αµετάβλητη Ο εκθέτης Ε ορίζει τον αριθµό των θέσεων που πρέπει να ολισθήσει η υποδιαστολή προς τα δεξιά (για θετικό εκθέτη) ή προς τα αριστερά (για αρνητικό εκθέτη) ώστε να βρεθεί ο ισοδύναµος αριθµός στο σύστηµα σταθερής υποδιαστολής Αυξάνοντας την τιµή της βάσεως β ή του εκθέτη Ε, διευρύνεται η περιοχή των αριθµών που µπορούν να παρασταθούν

Αριθµοί Κινητής Υποδιαστολής (3) Η συνηθέστερη µορφή αριθµού κινητής υποδιαστολής είναι αυτή όπου ο εκθέτης δίνεται πάντα σαν θετικός ακέραιος αριθµός Με ολίσθηση του κλάσµατος (Μ) προς τα αριστερά και της κατάλληλης τροποποίησης της τιµής του εκθέτη (Ε), είναι δυνατόν να τον µετατρέψουµε σε αριθµό κινητής υποδιαστολής του οποίου το πιο σηµαντικό bit του κλάσµατος να είναι πάντοτε 1 Οι αριθµοί αυτοί ονοµάζονται κανονικοποιηµένοι (normalized). Τότε η τιµή του κλάσµατος είναι µεταξύ β-1 Μ < 1 Πρόσηµο (Π) Εκθέτης (Ε) Κλάσµα (Μ) Πανεπιστήµιο Πατρών 30

Κώδικες (1) Οι σηµερινοί υπολογιστές επεξεργάζονται µη αριθµητικά δεδοµένα όπως είναι π.χ. οι αλφαβητικοί χαρακτήρες και τα ειδικά σύµβολα (+, -. ; κλπ) Το σύνολο των αριθµητικών ψηφίων, των αλφαβητικών χαρακτήρων και των ειδικών συµβόλων ονοµάζεται αλφαριθµητικό σύνολο Σε ένα υπολογιστικό σύστηµα χρησιµοποιούνται συνήθως διάφοροι µέθοδοι για την παράσταση πληροφοριών. Κάθε µέθοδος αντιπροσωπεύει ξεχωριστό σύστηµα κωδικοποίησης Επειδή τα διάφορα τµήµατα του υπολογιστικού συστήµατος χρησιµοποιούν διαφορετικούς κώδικες για την παράσταση των πληροφοριών, κατά την διακίνηση των πληροφοριών αυτών παρουσιάζεται συχνά η ανάγκη αυτόµατης µετατροπής από το ένα σύστηµα κωδικοποίησης στο άλλο Πανεπιστήµιο Πατρών 31

32 Κώδικες (2) κώδικας είναι µια αντιστοιχία µεταξύ ενός συµβόλου κάποιου αλφαβήτου (π.χ. του αλφαβήτου γραµµάτων) και ενός αριθµού από ψηφία ενός αριθµητικού συστήµατος (π.χ. έξι δυαδικά ψηφία µε βάση το 2) Ένας κώδικας είναι ένα ζεύγος (Σ, Α) όπου το Σ: είναι ο χώρος των συµβόλων Α: είναι οι αριθµητικοί συνδυασµοί. Εάν σ ένα σύµβολο του χώρου συµβόλων Σ και α είναι ένας συνδυασµός ψηφίων στο αριθµητικό µετρήσιµο χώρο Α Τότε µπορούµε να πούµε ότι: σ απεικονίζεται στο α ή ότι σ αναπαριστάται από το α σ α ή σ α

33 Κώδικες (3) Κάθε α του Α καλείται συνδυασµός. Επειδή το α αποτελείται από ν ψηφία α α ν α 3 α 2 α 1 α i :είναι ένα οιονδήποτε ψηφίο του αριθµητικού συστήµατος µε βάση β δηλαδή α i = 0, 1, 2, 3,, ή β-1 Έστω Σ γ είναι χώρος συµβόλων όλων των γραµµάτων του αλφαβήτου και κάθε συνδυασµός α αποτελείται από δύο δεκαδικά ψηφία β = 10 και ν = 2 Ένας πολύ απλός κώδικας µπορεί να καθορίζει διαδοχικούς αριθµούς στα γράµµατα έτσι ώστε να έχουµε Α 01, Β 02, Γ 03, 04,, Ω 24 Τελεστής τ: βρίσκει τον αριθµό των στοιχείων σε ένα σύνολο. Για το προηγούµενο παράδειγµα τσ γ = 24 και τα = 100 Επειδή υπάρχουν περισσότεροι συνδυασµοί από τα σύµβολα του χώρου συµβόλων αρκετοί συνδυασµοί δεν καθορίζονται. Αυτοί οι συνδυασµοί αρκετές φορές καλούνται απαγορευτικοί συνδυασµοί

34 εκαδικοί Κώδικες Ένας δεκαδικός κώδικας δίδει µια αναπαράσταση των δεκαδικών αριθµών σε δυαδική µορφή. Η σύνοψη των χαρακτηριστικών είναι: τσ = 10, β =2, ν 4 εκαδικοί κώδικες χρησιµοποιούν 4 bits ή περισσότερα. Οι σταθµισµένοι κώδικες (weighted codes) δίδουν διαφορετικά βάρη (weights) σε κάθε bit του συνδυασµού. Οι κανόνες µετάβασης µπορούν να δηµιουργηθούν για να δείξουν πως ο κώδικας του επόµενου αριθµού δηµιουργείται από κάποιο δεδοµένο αριθµό. Κώδικες 4-bits β 4 β 3 β 2 β 1

35 Σταθµισµένοι Κώδικες Ένας σταθµισµένος κώδικας συσχετίζει ένα βάρος Β i µε κάθε bit β i και µπορεί να παρασταθεί συµβολικά σαν β i Β i i = 1 έως 4 Η απαίτηση του σταθµισµένου κώδικα είναι: όταν κάθε bit πολλαπλασιάζεται µε το βάρος του και µετά αυτά αθροίζονται, το άθροισµα πρέπει να είναι ίσο σε τιµή µε το ψηφίο 4 = β Β = β Β + β Β + β Β + β Β 1 i i 4 4 Για κάθε ψηφίο που κωδικοποιείται υπάρχει ένας συνδυασµός από bits και τα αντίστοιχα βάρη των, το άθροισµα των οποίων είναι ίσο µε τη τιµή του ψηφίου Όταν υπάρχουν δύο συνδυασµοί έτσι ώστε όταν αντικαθιστώνται στην παραπάνω εξίσωση, καταλήγουν στο ίδιο ψηφίο, τότε υπάρχει ένας καινούργιος κανόνας για να αποφασίζει ποιος συνδυασµός θα χρησιµοποιηθεί 3 3 2 2 1 1

Παραδείγµατα Κωδίκων (1) Ψηφία Βάρη 8 4 2 1 7 4 2 1 7 4 2-1 Excess-3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 2 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 3 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 4 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 5 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 6 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 (0 1 1 0) 7 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 (0 1 1 1) Πανεπιστήµιο Πατρών 36

Παραδείγµατα Κωδίκων (2) Ψηφία Βάρη 8 4 2 1 7 4 2 1 7 4 2-1 Excess-3 8 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 9 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 (A)* 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 (B)* 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 (C)* 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (D)* 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 (E)* 1 1 1 0 1 1 1 1 (F)* 1 1 1 1 *Aπαγορευτικοί συνδυασµοί Πανεπιστήµιο Πατρών 37

εκαεξαδικοί Κώδικες Οι προγραµµατιστές συχνά χρησιµοποιούν δεδοµένα που είναι σε µονάδες του ενός byte, που αποτελείται από οκτώ bits ή δύο nibbles, το κάθε nibble αποτελείται από τέσσερα bits Εάν ο συνδυασµός για κάθε nibble, έχει ένα διαφορετικό σύµβολο για να το αναπαραστήσει, τότε αυτό ευκολύνει την περιγραφή Οι ψηφιακές τιµές µε δεκαδικά ισοδύναµα µεταξύ 10 και 15 έχουν καταχωρηθεί µε τα κεφαλαία γράµµατα A έως F 10110101 στο δεκαεξαδικό αναπαριστάται σαν B5 Πανεπιστήµιο Πατρών 38

39 Άλλοι εκαδικοί Κώδικες (1) Εάν δεν περιοριστούµε σε δεκαδικούς κώδικες 4- bits, µπορούµε να έχουµε τα παρακάτω πλεονεκτήµατα: ιάγνωση σφαλµάτων Απλοποίηση στην δηµιουργία συνδυασµών Απλοποίηση στην υλοποίηση σε υλικό (hardware)

Άλλοι εκαδικοί Κώδικες (2) 2-out-of-5 Biquinary MBQ Gray Ψηφία Βάρη 74210 50 43210 5421 0 11000 01 00001 0000 0000 1 00011 01 00010 0001 0001 2 00101 01 00100 0010 0011 3 00110 01 01000 0011 0010 4 01001 01 10000 0100 0110 5 01010 10 00001 1000 0111 6 01100 10 00010 1001 0101 7 10001 10 00100 1010 0100 8 10010 10 01000 1011 1100 9 10100 10 10000 1100 1101 Πανεπιστήµιο Πατρών 40

41 Αλφαριθµητικοί Κώδικες Κλάσεις συµβόλων: Γράµµατα: Το Α έως Ζ του λατινικού αλφαβήτου Αριθµητικά 0 έως 9 (που ήδη τα έχουµε αναλύσει) Σύµβολα Στίξης Ειδικά σύµβολα, όπως $, @, % Πόσο µεγάλο/µικρό το πεδίο των συµβόλων πρέπει να είναι 6 bits 64 σύµβολα, 7 bits 128 σύµβολα, 8 bits 256 σύµβολα Η ευκολία χρησιµοποίησης bytes των 8-bit (οι δύο συνδυασµούς των 4 bits) οδήγησε στην ανάπτυξη κωδίκων των 8 bits Στους προσωπικούς υπολογιστές, οι επιπλέον 128 χαρακτήρες που είναι διαθέσιµοι µε την χρήση οκτώ bits αντί επτά, χρησιµοποιούνται συχνά για να αναπαραστήσουν διάφορους χαρακτήρες γραφικών που επιτρέπουν την απεικόνιση σχεδιασµών video Βασικοί κώδικες έξι και οκτώ bits. Hollerith, IBM 1401, EBCDIC, ASCII, ISO Latin 1

42 ιάγνωση Σφαλµάτων και ιόρθωση Στην περίπτωση του biquinary, έχουµε δει πως ένας κώδικας µπορεί να δοµηθεί µε ιδιότητες διάγνωσης σφαλµάτων Αυτό είναι βοηθητικό, και απαραίτητο σε περιπτώσεις όπου: Μεταδίδονται πληροφορίες από ένα σταθµό σε κάποιο άλλο δια µέσο γραµµών που υπάρχει θόρυβος ή οιονδήποτε άλλη παραµόρφωση σήµατος. Τα δεδοµένα αποθηκεύονται σε ένα µέσο αποθήκευσης που δεν είναι αδιαπέραστο θορύβου, έτσι ώστε 1ς να χάνονται και να διαβάζονται σαν 0ς, ή 0ς να ερµηνεύονται σαν 1ς Σε συσκευές µέσα στον υπολογιστή που µπορεί να παρουσιάζουν σφάλµατα και να δηµιουργούν ή να καταστρέφουν τις πληροφορίες Ισοτιµία (Parity): Στη άρτια ισοτιµία, ο συνολικός αριθµός των 1ς, συµπεριλαµβανοµένου και του bit ισοτιµίας, πρέπει να είναι άρτιος αριθµός. Στη περιττή ισοτιµία, ο συνολικός αριθµός των 1ς, συµπεριλαµβανοµένου και του bit ισοτιµίας, πρέπει να είναι περιττός αριθµός.