Domače naloge za 2. kolokvij iz ANALIZE 2b VEKTORSKA ANALIZA. Naj bo vektorsko polje R : R 3 R 3 dano s predpisom R(x, y, z) = (2x 2 + z 2, xy + 2yz, z). Izračunaj pretok polja R skozi površino torusa s središčem v točki T (x 0, y 0, z 0 ) in polmeroma a, b, a < b. Upoštevaš lahko, da je volumen torusa V = 2π 2 a 2 b. 2. Dano je vektorsko polje R(x, y, z) = (3x 2 + Ay 2, 2xy z 2, Byz). Določi konstanti A in B tako, da bo polje R potencialno ter izračunaj njegov pretok skozi sfero z enačbo x 2 + y 2 + z 2 4y = 0 in integral L Rd r, kjer je L gladek lok med točkama (,, ) in (2, 2, 2). 3. Naj bo krivulja C presek ploskev z enačbama z = 2x x 2 y 2 in 2z = y+. Dano je vektorsko polje f: R 3 R 3, f(x, y, z) = (xz, yz, z 2 ). (a) Izračunaj integral polja f vzdolž krivulje C, orientirane pozitivno glede na smer osi z. (b) Pokaži, da je integral (,2,3) (0,0,) (rot rot f) d r neodvisen od izbrane poti in ga izračunaj. 4. Naj bo S gladka zaključena ploskev in a R 3 izbran vektor. S pomočjo Gaussovega izreka izračunaj integral a r cos( a r, n)ds, kjer je n S enotska zunanja normala ploskve S in cos( x, y) označuje kosinus kota med vektorjema x in y. 5. Naj bo R > 0 in C R 3 množica določena z enačbama x 2 + y 2 = R 2 ter 3y 4z = 8. (a) Dokaži, da je C gladka krivulja (enorazsežna C -mnogoterost). (b) Uporabi Stokesov izrek in izračunaj integral C 3ydx xzdy +yz2 dz. 6. Naj bo D R 3 območje z gladkim robom in prostornino V, a R 3 pa izbran vektor. Izračunaj integral D ( r a) d S. (Velja ( x y) z = ( x z) y ( y z) x.) 7. Naj bo a > 0. Valj z enačbo x 2 + y 2 = a 2 odreže od ploskve z enačbo az = xy ploskev S. Izračunaj integral ydx+(x+z)dy ydz, pri čemer orientacijo izbereš S tako, da bo imela projekcija krivulje na ravnino xy pozitivno orientacijo. 8. Izračunaj integral K xz2 dx + x dy + x dz, kjer je krivulja K podana z enačbama x 2 + y 2 + z 2 = ter x + z = in orientirana v pozitivni smeri gledano iz koordinatnega izhodišča. 9. Naj bo F (x, y, z) = (2y, z, x+sin z), a > 0 in K presek ploskev z enačbama x + y + z = 0 in x 2 + y 2 + z 2 = a 2. Izračunaj krivuljni integral K F d r, pri čemer, krivuljo K orientiramo pozitivno gledano iz točke (,, ).
0. Dani sta ploskvi S = {(x, y, z) x 2 Rx + y 2 = 0, x 2 + y 2 + z 2 R 2 } in S 2 = {(x, y, z) x 2 Rx + y 2 0, x 2 + y 2 + z 2 = R 2 }, kjer je R > 0. Naj bo S = S S 2 in preslikava F : R 3 R 3 dana s predpisom F = (x 2 + x sin z, y 2 2yx + y 4, z + z 2 ). Izračunaj integral S F d S, pri čemer izberi zunanjo smer normale na ploskev S.. Naj bo a > 0, D = [0, a] [0, a] [0, a] R 3, Π ravnina podana z enačbo x + y + z = 2a in K = Π D. Izračunaj integral K (xy + 3z)dx + (z2 + x 2 )dy + (xz 2z)dz, pri čemer je orientacija krivulje K podana z vrstnim redom točk (0, a, a), (a, 0, a) in (a, a, 0). 2. Dano je vektorsko polje f(x, y, z) = (2y, z, x + e z2 ). Izračunaj integral K fd r, kjer je krivulja K podana z enačbama x+y+z = 0 in x 2 +y 2 +z 2 = 9 ter orientirana pozitivno, gledano iz točke (0, 0, ). 3. Valj D je dan z relacijama x 2 + y 2 4 in 0 z 4. Določi pretok vektorskega polja f = ( x 2 + y 2, y, (x 2 + y 2 )z 2 ) skozi rob in plašč valja D. 4. Dano je vektorsko polje f(x, y, z) = (Ax 2 y 2 z, 2x 3 yz, x 3 y n ). (a) Določi naravno število n in parameter A R tako, da bo polje f potencialno. (b) Izračunaj integral polja f vzdolž poljubne krivulje med točkama (,, 3) in (, 2, ). Odgovor utemelji! 5. Dano je vektorsko polje f(x, y, z) = ( 2xyz, cos z, yz 2 ). a) Določi kako polje g oblike g(x, y, z) = (α(z), β(x, y, z), γ(x)), za katero je rot g = f. b) Izračunaj integral fd S, kjer je S = {(x, y, e x 2 +y 2 S ) x 2 + y 2 < }. 6. Izračunaj pretok polja f(x, y, z) = ((x + y) 3, 2xy 2 + yz + y 2, 2xyz + z) skozi torus s polmeroma 0 < a < b, katerega simetrijska os je os z in simetrijska ravnina ravnina xy. 7. Dani sta vektorsko polje F = (z, xz, y) in krivulja K, ki je presek ploskev x 2 + y 2 = in z = (x 2) 2 + (y 3) 2. Krivuljo K orientiramo tako, da je njena projekcija na ravnino z = 0 orientirana pozitivno. Izračunaj integral F d r. K 8. Naj bo f : R 3 R harmonična funkcija, tj. funkcija, za katero velja f = 2 f x + 2 f 2 y + 2 f 2 z = 0. Dokaži, da za r > 0 velja 2 4πr S(0,r) f ds = 2 f(0, 0, 0). (Nasvet: Parametriziraj sfero S(0, r) in s pomočjo odvajanja ter Gaussovega izreka dokaži, da je gornji integral neodvisen od r. Nato pošlji r proti 0.)
HOLOMORFNE FUNKCIJE 9. Naj bo f O(C) holomorfna funkcija, ki ima v realnih številih realne vrednosti. Dokaži, da tedaj za vsak z C velja f(z) = f(z). (Nasvet: Dokaži najprej, da je funkcija f(z) holomorfna.) 20. Naj bo f holomorfna funkcija na polju D C. Označimo u = Re f, v = Im f. Denimo, da obstajajo konstante a, b, c C, ki niso vse enake 0, in za katere velja au + bv = c. Pokaži, da je funkcija f konstantna. 2. Naj bosta f, g: D C holomorfni funkciji na območju D, za kateri je fg > 0. Dokaži, da obstaja pozitivna konstanta c, da je f = c g. 22. Določi celo funkcijo f, za katero velja in f(i π 2 ) = π 2. (Re f)(x + iy) = e x ((x + ) cos y y sin y) 23. Naj bo f neničelna holomorfna funkcija z lastnostjo Določi funkcijo f! arg(f(z)) = xy. 24. Naj bosta f, g : C C taki holomorfni funkciji, da za vsak z C velja g(z) f(z). Dokaži, da obstaja taka konstanta α C, da je α in g = αf. 25. Določi vse možne razvoje oblike f(z) = k= c k z k, kjer je f(z) = z 2 + 3 z. 26. Naj bo f taka funkcija, holomorfna v okolici točke, da za vsako naravno število n velja f(n) = n2 n e + n 2. Določi funkcijo f.
27. Naj bo f funkcija holomorfna na okolici zaprtega kroga K = D(a, r) C, ki na K nima ničel, in p N. Z ničlami funkcije f in njihovimi večkratnostmi izrazi integral 28. Holomorfno funkcijo 2πi K f(z) = f (z) f(z) zp dz. z z 3 3z + 2 razvij v Laurentovo vrsto okrog točke ter izračunaj kompleksni integral I = f(z)dz. z =3 29. Dano je območje in funkciji D = {z C ; Re z > Im z} f(z) = z iz 2 z, g(z) = i (z + ) 3 (z + i). (a) Določi sliko E = f(d). (b) Določi Laurentovo vrsto za funkcijo g, ki konverira na množici E. 30. Naj bo D C odprta množica in a 0,..., a n : D C zvezne funkcije. Za w D definiramo polinom p w s predpisom p w (z) = a n (w)z n + + a 0 (w). Naj bo w 0 D taka točka, da ima polinom p w0 same različne ničle in a n (w 0 ) 0. Pokaži, da obstaja taka okolica U točke w 0, da ima polinom p w za vsak w U same različne ničle. 3. Izračunaj kompleksni integral 32. Naj bo z i =2 e z dz z 2 2z + 2. D = {z C; Re(z) (, ), Im(z) (, 3)} C. Izračunaj kompleksni integral D ch z z 3 + 4z dz.
33. Izračunaj kompleksni integral z =2 e πz sin 2 z( + z 2 ) dz. 34. Izračunaj integrala dz z 3 (z 2 + ) z i =6/5 in z 2 + z =4 z 2 cos z 2 dz. 35. S pomočjo kompleksne integracije izračunaj integral 36. Izračunaj kompleksni integral 37. Izračunaj integral za a / {z z = 2}. z =2 x cos x x 2 2x + 0 dx. z =2 (z + ) 2 e /z dz. sin(/z) z a dz, 38. Naj bosta g, f celi funkciji, Z množica ničel funkcije f in D C taka omejena odprta množica s kosoma gladkim robom, da je Z D =. Označimo z m(a) večkratnost ničle a Z. Pokaži, da velja 2πi Nato izračunaj integral D g(z)f (z) dz = f(z) a Z D zf (z) 2πi D f(z) dz, kjer je f(z) = z n + + a 0 in Z D. 39. Izračunaj kompleksni integral z =/2 z 2 e /z z 2 dz! m(a)g(a). 40. Naj bo x (0, ). S pomočjo kompleksne integracije izračunej integral 2π 0 x cos t 2x cos t + x 2 dt.
4. Izračunaj integral z i =2 e z dz z 2 2z + 2. 42. Izračunaj kompleksni integral ( ) e πz z =3/2 z 2 + 3i 2 z + + (z3 + z) cos(z ) dz. 43. a) Izračunaj kompleksni integral b) Dokaži, da velja 44. Prevedi integral I = I = z+2 =6 2π 0 2π 0 (z 2 + ) 6 2 6 iz 7 dz. cos 6 xdx. dϕ 5 4 sin ϕ na kompleksni integral po enotski krožnici in ga izračunaj. 45. Izračunaj kompleksni integral 46. Preslikaj območje z =2 (z + i) e /z dz. D = {x + iy x 2 4x + y 2 < 0, x 2 + y 2 6x + 8 > 0} biholomorfno na odprt enotski disk. 47. Dano je območje D C, D = {x + iy x 2 + y 2 4x 2y + 4 < 0, x 2 + y 2 4y 2x + 4 < 0}. Določi biholomorfno preslikavo, ki območje D preslika na enotski krog {z z > }. 48. Dano je območje D C, D = {z C z >, z 2 < 2, Im(z) > 0}. Poišči zaporedje biholomorfnih preslikav, ki območje D preslikajo na odprt enotski krog.
49. Dano je območje v kompleksni ravnini, D = {z C z <, Re(z) > 0, Im(z) < 0} in funkcija (a) Določi sliko E = φ(d). (b) Izračunaj φ(z) = be ( i)z. z i ze 2z dz.