4. Ανισώσεις. 4.1 Ανισώσεις 1 ου Βαθμού

1 Ανισώσεις 1 ου Βαθμού Ανισώσεις 1. Πρωτοάθμιες Ανισώσεις Επιλύονται όπως οι εξισώσεις με την διαφορά ότι, όταν πολλαπλασιάζω ή διαιρώ με αρνητικό αριθμό αλλάζει φορά η ανίσωση.. Υπενθύμιση α), ή, ) ή, ή (, ) (, ) 5 5 ή, ή 5,, 5 5 δ) αδύνατη γ) ε) R στ) 5 0 5 5 5 5, ή 5, 5 ζ) 1 αδύνατη Πρωτοάθμιες Ανισώσεις με Απόλυτα Α) α θ όπου θ > 0. α θ θ α θ θ α θ αν α > 0 τότε : αν α < 0 τότε : θ θ α α θ θ θ θ α α α α Παρατήρηση : αν θ = 0, τότε : α 0 α 0 αν θ < 0, τότε : α θ είναι αδύνατη. Β) α θ όπου θ > 0. α θ α θ α θ ή ή α θ α θ θ α θ θ αν α > 0 τότε : ή,, α α θ α ΣΕΛ. 109

αν α < 0 τότε : θ α θ θ ή,, α α θ α Παρατήρηση : αν θ 0, τότε : α θ ισύει πάντα (για κάθε R) Γ) α γ δ ή α γ δ Εξετάζω περιπτώσεις για το γ + δ (>0 ή =0 ή <0) και λύνω σύμφωνα με τα παραπάνω. Ασκήσεις 511. Να αντιστοιίσετε κάθε ανίσωση της στήλης (Α) με τις λύσεις της που ρίσκονται στη στήλη (Β) Στήλη (Α) Στήλη (Β) Ανίσωση Λύσεις 1. (,0][1,+) Α. 1 1. Αληθεύει για κάθε R Β. 1961 [,1] Γ. 004 4 0 Αδύνατη Απάντηση : Α Β Γ Δ Δ. 4 6 5. (,][1,+) 6. [0,1] 51. Για ποια R ισύει η ανίσωση : 1 > 1 Α. είναι αδύνατη Β. για κάθε R Γ. μόνο για Δ. μόνο για > Ε. μόνο για < 51 Αν, y και z 5 να αποδείξετε ότι : 10 +y+z 10. 51 Να λυθούν οι ανισώσεις : 1. 6. 1 5 5 1 6 1 4 5. 4 1 6. 1 7 5 7. 5 1 9 8. 9. + > 5 10. d(, ) 11. 1d(,1) 1. +7 < 1 +6 > 1 5 15. +1 > 7 16. 17. 1 18. d(, ) 1 19. d(,1) 0. > 4 1. 1 1 5. 15 d(, 6) 9 1 1d( 1, 4) 6 1 ΣΕΛ. 110

5. 5 6. 1 1 1 7. 4 5 1 8. 1 9. 4 6 0. 5 d(1, ) 1 Απαντήσεις: 1. [4, 8]. (, 4] [6, ) [5,4][6,7] [,0][1,4] 5. αδύνατη 6. (5,0)(,7) 7. [,0)(6,8] 8. 9. (, 4) (1, ) 10. [5, 1] 11. (1,0)(1,) 1. (,5/), 1 (, ] [7, ) 15. (, 4) (, ) 1 16. (1/,+) 17. (,] [4, ) 18. 19. 0. 1. (,0)(1,). 5. 6. (/5,+) 7. 8. 9. 0. 515. Αν y < α και yω < α να αποδείξετε ότι : ω < α. 516. Αν ισύουν οι σέσεις και y 5, να δείξετε ότι : α) +y 11 ) y+11 < 517. Να ρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων: 1 5 και 1 518. Να ρεθούν οι κοινές λύσεις των : 7 και 1 Απ: ( 4,1] [,6) Απ : [ 5, ) (4, 9] 519. Να ρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού για τις οποίες ισύει : 1 1 50. Να λυθεί η ανίσωση : 1 1 1 Απ : 4 5 51. Να ρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων : 0 και 5 8 Απ: [,4] 5. Που συναληθεύουν οι ανισώσεις : (+) (+1)> και ( 1)<( )+ Απ: (,) 5 Να λυθεί η ανίσωση : 5 Να λυθεί το σύστημα : 1. ( )( ) 0. 4 55. Τρεις διαδοικοί φυσικοί αριθμοί έουν άθροισμα μεγαλύτερο του 1 και μικρότερο του 17. Να ρεθούν οι αριθμοί αυτοί. ΣΕΛ. 111

Ανισώσεις ου Βαθμού 1. Μορφές του Τριωνύμου γ γ γ f() α ++γ α α α α α α α α 4α 4α α α α α 4α γ α α Άρα Δ f() α (1) α 4α α 4α 4αγ 4αγ α 4α α 4α Α) Αν Δ>0 Δ Δ Δ (1) f() α α Δ Δ α α α α α α α α α Δ Δ α α( ρ 1)( ρ ) α α Δηλαδή το τριώνυμο παραγοντοποιείται α γ α( ρ1)( ρ) Β) Αν Δ=0 (1) f() α Συνεπώς το τριώνυμο παραγοντοποιείται και είναι ταυτότητα α Γ) Αν Δ<0 (τότε Δ = Δ ) Δ (1) f() α το τριώνυμο δεν παραγοντοποιείται στο R α 4α. Πρόσημο Τριωνύμου ( α ++γ ) 1 + α Δ > 0 f() ομόσημο του α ετερόσημο του α ομόσημο του α Δ = 0 f() ομόσημο του α ομόσημο του α Δ < 0 f() ομόσημο του α Ανισώσεις ου αθμού Είναι της μορφής α + + γ 0 (η 0 η > 0 η < 0) όπου α,, γr, α0. Για να ρούμε τις τιμές του που επαληθεύουν μια δευτέρου αθμού ανίσωση, αρκεί να ρούμε τις τιμές του για τις οποίες το τριώνυμο γίνεται ομόσημο ή ετερόσημο του α, δηλ. αναγόμαστε στα γνωστά για το πρόσημο του τριωνύμου. Π.. Να λυθεί η ανίσωση : 5 0 Απάντηση : Επειδή Δ 4αγ 5 4( )( ) 5 4 Δ 1 0 και α 0 το τριώνυμο είναι ετερόσημο του α όταν ρίσκεται μεταξύ των ριζών. Βρίσκω τις ρίζες: ΣΕΛ. 11

5 1 4 ρ1 ρ1 Δ 5 1 5 1 6 6 ρ1 ρ 1, α ( ) 6 5 1 6 ρ ρ ρ 1 6 6 Δηλαδή η ανίσωση αληθεύει για κάθε,1 Χ - / 1 + - + 5 - - 0 + 0 - Ασκήσεις 56. Αντιστοιίστε κάθε τριώνυμο της στήλης Α με την αντίστοιη παραγοντοποιημένη μορφή του της στήλης Β: στήλη Α στήλη Β 1. ( α) ( ) Απάντηση : Α. + (α ) α. ( + α) ( ) Α Β. (α ) α ( α) ( + ) Β Γ ( + α) ( + ) Γ. + (α + ) + α Δ 5. (α ) ( + ) Δ. (α + ) + α 6. (α + ) ( ) 57. Κάθε στοιείο της στήλης (Α) αντιστοιεί με ένα μόνο στοιείο της στήλης (Β). Αντιστοιίστε τα στοιεία των δύο στηλών: στήλη (Α) στήλη (Β) Σέσεις 1. Δ < 0 και α < 0. Δ < 0 και α > 0 Δ > 0 και α 0 Α. αληθεύει για κάθε α + + γ > 0 Β. αληθεύει για κάθε που ρίσκεται μεταξύ των ριζών του τριωνύμου Γ. αληθεύει για κάθε εκτός των ριζών του τριωνύμου Δ. δεν αληθεύει για κανένα Ε. αληθεύει για ίσο με τις ρίζες του τριωνύμου ΣΤ. δεν μπορούμε να απαντήσουμε για ποια αληθεύει η ανίσωση Απάντηση : 58. Αν ρ 1, ρ (ρ 1 < ρ ) είναι ρίζες του τριωνύμου f () = α + + γ και αf (1) < 0, ο αριθμός 1 ανήκει στο διάστημα : Α. (, ρ 1) Β. (ρ 1, ρ ) Γ. [ρ 1, ρ ] Δ. [ρ, + ) Ε. (ρ, + ) 1 ΣΕΛ. 11

59. Αν f () = α + + γ και Δ < 0 τότε το τριώνυμο f () γράφεται : Α. f () = Β. f () = α Δ Δ. f () = α Ε. f () = α 4α Γ. f () = α α Δ α 4α α 50. Αν το τριώνυμο f () = + + γ έει Δ < 0, ποια από τις παρακάτω ανισώσεις αληθεύει για κάθε πραγματικό αριθμό ; Α. f () < 0 B. f () 0 Γ. ( f() f() + 1) f () > 0 Δ. < 0 Ε. 0 1 1 51. Το τριώνυμο f () = 5 6 έει ρίζες τους αριθμούς 1 και 6. Ποια από τις παρακάτω ανισότητες είναι σωστή; Α. f (0) > 0 B. f (0) 0 Γ. f (1999) < 0 Δ. f (1999) 0 E. f ( 1999) >0 5 Αν f () = + +, αρακτηρίστε ως Σ ή Λ τις ανισότητες : f ( 1997) < 0 Σ Λ f (10 5 ) > 0 Σ Λ 1 f () > 0 Σ Λ f ( ) < 0 Σ Λ 000 f (π) > 0 Σ Λ 5 Να αρακτηρίσετε καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις αν είναι Σωστή (Σ) ή Λάθος (Λ). 1. Για το τριώνυμο f () = α + + γ = 0, α 0 ισύει α f (1) < 0. Τότε αυτό έει δύο ρίζες άνισες.. Αν για το τριώνυμο f () = α + + γ = 0, α 0 ισύει α f () > 0, τότε ισύει ρ 1 < < ρ (ρ 1, ρ ρίζες του τριωνύμου). Αν η εξίσωση λ + 1 = 0, λ R* έει δύο ρίζες άνισες, αυτές είναι αντίστροφες. Σ Σ Σ Λ Λ Λ 5 α)βρείτε το λ έτσι ώστε η εξίσωση + λ + λ + 5λ + 10 = 0 να έει ρίζα το 1. Στη συνέεια : ) Βρείτε την άλλη ρίζα της εξίσωσης. γ) Να μετατρέψετε το πρώτο μέλος της εξίσωσης σε γινόμενο. 55. Να παραγοντοποιηθούν τα τριώνυμα : 1. 6 7. 7. 10. 1 16. 19.. 10 1 1 5. + + 1 6. 9 6 8. 5 11. α 9α 0 1 (α ) 1(α ) 7 17. (α 9) (α ) 0. 4 6 9. 4 6 1. 11y 6y 10 15. (α ) (α ) 4 18. 4 10 9 1. 7 4 5 α α 5 4 α α 18α (α ) 5(α ) 4 5 4 4 4 1 + 6 1 1 + 1 5 0. 6 7 5. 4 + 1 6. ( + 5 ) + 5 7. 8. 9 6 1 9. 0 Απαντήσεις : 1. ( )( 1). ( )( ) Δ 19 Δ 5. 6. Δ 8 ΣΕΛ. 114

7. ( 1)( ) 8. ( 1)( ) 9. ( )( 1) 10. ( 1)( ) 11. ( )( 1) 1. (α )(α 5) 1 (α 5)(α ) 1 (5 y)( y) 15. α (α 6)(α ) 16. (α )(α 9) 17. (α 6)(α 4) 18. (α )(α 1) 19. (α ) (α 4)(α ) 0. 1.. ( 1) 5. 6. ( )( 5) 7. 8. ( 1) 9. ( )( 1) 0. 6( )( 1) 56. Απλοποιήστε τις κλασματικές παραστάσεις: 6 9 1 α) ) 1 ζ) δ) 18 4 1 α α α α α 6α ε) 7α 1α η) 5 7 6 9 γ) στ) 4 9 4 1 9 5 6 5 6 1 θ) 57. Στον παρακάτω άξονα είναι τοποθετημένες οι ρίζες ρ 1, ρ της εξίσωσης + + γ = 0 και οι αριθμοί 7,, 5, 10. Αν f () = + + γ να συμπληρώσετε το κατάλληλο σύμολο (>) ή (<) στα παρακάτω κενά : f ( 7)... 0 f ( )... 0 f (5)... 0 f (10)... 0 58. Δίνεται το τριώνυμο 4 + 1 α) Για ποιες τιμές του το τριώνυμο γίνεται ίσο με 0; ) Για ποιες τιμές του το τριώνυμο γίνεται θετικό; γ) Για ποιες τιμές του το τριώνυμο γίνεται αρνητικό; δ) Κάντε το ίδιο για το τριώνυμο + +. 59. Δίνεται το τριώνυμο 8 + 1 = 0. α) Ποιες είναι οι ρίζες του; ) Όταν το μεταάλλεται από έως 5, το πρόσημο του 8 + 1 μεταάλλεται; 540. Να λυθούν οι ανισώσεις: 1. 5 6 0. 7. 10. 1 4 4 0 5. 1 1 0 6. 4 0 8. 6 8 < + 9. 5 5 10 11. 1 0 1 5 18 8 1. 1 5 15. 9 0 15 4 5 0 6 6 7 16. 1 0 17. Απαντήσεις: 1. (, ) (, ). ( 1,1) 1 5 18. 1 5 1 0,, 5. αδύνατη 6. 5,, 7. (0, 4) 8. 9. (, ) 10. 11., 4 5 1. 1,, ΣΕΛ. 115

1 (, ) 1 16. αδύνατη 17. 1,, 4 1, 4 15. 1, 18. 541. Για ποιες τιμές του ορίζεται καθεμιά από τις παρακάτω ρίζες : 1. 7. 4 4 9 18 1 5 Για ποιες τιμές του συναληθεύουν οι ανισώσεις: 7 0 1. 6 5 0 5. Απαντήσεις : 1 8 16 9 0 15 0. 8 0 5 6 0 1. ( 7,1) (5, )., 5. 6. 54 Για ποιες τιμές του το τριώνυμο του 6 ; 14 50 παίρνει τιμές μεγαλύτερες του 5 και μικρότερες 54 Να δειθεί ότι οι παρακάτω ανισώσεις αληθεύουν για κάθε α,, R. 1. 6α 9α 4 0. α α α α 545. Να ρεθούν οι τιμές του λr, ώστε οι παρακάτω ανισώσεις να ισύουν για κάθε R. 1. λ 1 0. (λ 1) 4 1 0 5. (4λ 1) 15λ λ 7 0 (λ 1) (λ ) λ 10 0 6. (λ 1) 19 0 (λ ) (λ ) 5λ 6 0 7. (λ 4) 6λ 5λ 0 Απαντήσεις : 1. 5 λ 4. λ > 5 5. 6. λ(, +) 7. 546. Να ρεθεί για ποιες τιμές του λr, οι παρακάτω εξισώσεις δεν έουν ρίζες πραγματικές. 1. λ (λ 1) λ 0. (λ ) λ λ 0 ( ) ( 1) ( λ) 0 547. Να ρεθεί για ποιες τιμές του λr, οι παρακάτω εξισώσεις έουν ρίζες πραγματικές. 1. λ (λ 1) λ 1 0. (λ 5) 4λ λ 0 8 (λ 1) λ 7 0 λ (λ 1) λ 0 548. Για ποιες τιμές του λr, τα παρακάτω τριώνυμα έουν σταθερό πρόσημο για κάθε R. 1. (λ ) 4 λ 1, λ. λ (λ 1) λ, λ 0 ΣΕΛ. 116

549. Να ρεθεί για ποιες τιμές του λr, το τριώνυμο λ (λ ) 1, έει : α) δύο ρίζες άνισες (Απ: για κάθε λr) ) πρόσημο θετικό (Απ: ποτέ) 550. Δίνεται η εξίσωση (λ 1) 1 0,λ R α) Για ποιες τιμές του λ έουμε μία ρίζα διπλή (Απ: λ= 1, λ=) ) Για ποιες τιμές του λ δεν έουμε ρίζες πραγματικές (Απ: λ( 1,) ) γ) Για ποιες τιμές του λ έει δύο ρίζες θετικές (Απ: λ(,1) ) 551. Για ποιες τιμές του λr η εξίσωση (λ ) λ 1 0 έει : α) δύο ρίζες αρνητικές ) δύο ρίζες ετερόσημες γ) δύο ρίζες αντίστροφες 55. Να λυθούν οι ανισώσεις : 1. 5 6 0. 5. 4 7 1 8 8 4 5 11 Απαντήσεις : 1. (, ) (, ). (, 0) (0,1) (, ) (, ] [, ) (, 1) (5, ) 5. (1, ) 55 Για τις διάφορες τιμές του λr να διερευνηθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης : λ. λ 55 Να λυθεί η εξίσωση : 4. (Απ: = ή =, απορρίπτονται 0, 1) ΣΕΛ. 117

4 Γενικές Ασκήσεις 555. Για ποιες τιμές του συναληθεύουν οι ανισώσεις : 7 0 1. 6 5 0 5. Απαντήσεις: 8 0 5 6 0 0 15 0. 5 0 0 4 0 9 0 0 1. ( 7,1) (5, )., 5. 556. Να αποδειθεί ότι αν α,, γ είναι μέτρα πλευρών τριγώνου, τότε το τριώνυμο f() ( γ α ) γ, 0 είναι θετικό για οποιαδήποτε τιμή του. 557. Αν ( y) ( y) 4α ( y) ( y) α,, y, αr, να αποδείξετε ότι y. ΣΕΛ. 118