ATSITIKTINIAI PROCESAI (paskaitų konspektas 2014[1] ) Alfredas Račkauskas Vilniaus universitetas Matematikos ir Informatikos fakultetas Ekonometrinės analizės katedra Vilnius, 2014 Iš dalies rėmė Projektas VP1-2.2-ŠMM-07-K-02-008
Turinys 1 Mato teorijos elementai 7 1.1 Aibės ir funkcijos................................... 7 1.2 Mačios erdvės ir erdvės su matu........................... 10 1.3 Mačios funkcijos................................... 20 1.4 Mačių realiųjų funkcijų integravimas......................... 26 1.5 Pratimai........................................ 32 2 Atsitiktiniai dydžiai 37 2.1 Apibrėžimai...................................... 37 2.2 Pasiskirstymo funkcija ir kitos charakteristikos.................... 38 2.3 Atsitiktiniai vektoriai................................. 44 2.4 Nepriklausomumas.................................. 47 2.5 Sąlyginis vidurkis................................... 49 2.6 Naudingi tikimybių teorijos faktai.......................... 51 2.7 Pratimai........................................ 53 3 Atsitiktiniai procesai 57 3.1 Apibrėžimai...................................... 57 3.2 Atsitiktinių procesų skirstiniai............................ 61 3.3 Klasifikavimas pagal skirstinius........................... 66 3.4 Klasifikavimas pagal trajektorijas........................... 73 3.5 Pratimai........................................ 82 4 Martingalai 85 4.1 Diskretaus laiko martingalo apibrėžimas, pavyzdžiai................ 85 4.2 Paprasčiausios savybės................................ 88 4.3 Martingalų konvergavimas.............................. 91 4.4 Tolydaus laiko martingalai.............................. 92 4.5 Kai kurie taikymai ekonomikoje........................... 93 4.6 Pratimai........................................ 95 5 Puasono procesas 97 5.1 Apibrėžimas ir modeliavimas............................. 97 5.2 Puasono procesų suma ir išskaidymas........................ 101 5.3 Sudėtinis Puasono procesas.............................. 102 3
5.4 Nehomogeniškas Puasono procesas.......................... 104 5.5 Pratimai........................................ 104 6 Brauno judesio procesas 107 6.1 Apibrėžimas ir paprasčiausios savybės........................ 107 6.2 Atsitiktiniai procesai susiję su Brauno judesiu.................... 108 6.3 Vynerio proceso modeliavimas............................ 111 6.4 Trajektorijų savybės.................................. 114 6.5 Stochastinis integralas................................. 118 6.6 Pratimai........................................ 118 Literatūros sąrašas..................................... 121 4
Įvadas Teorija be praktikos - sausa Praktika be teorijos - akla. (E. Kantas) Su neapibrėžtumais susiduriame nuolatos. Koks bus rytoj oras? Kaip keisis JAV dolerio kursas Euro atžvilgiu? Kiek kitą mėnesį išleisime maistui? Didės ar mažės kitais metais Lietuvos bendrasis vidaus produktas (BVP)? Tokie ir panašūs klausimai domina kiekvieną. Aišku, tikslaus atsakymo į juos negali pasakyti niekas. Todėl dažnai į pagalbą pasitelkiame tikimybių teoriją, kuri tiria neapibrėžtumus, jų pobūdį, dėsningumus ir gali pasiūlyti įvairių priemonių jiems nustatyti bei modeliuoti. Sistemos būsenai vienu kuriuo nors laiko momentu aprašyti paprastai naudojami atsitiktiniai dydžiai. Norėdami suprasti sistemos kitimą (evoliuciją) laike, atsitiktinį dydį turime priskirti kiekvienam laiko momentui. Gautas atsitiktinių dydžių rinkinys yra atsitiktinis procesas (terminas stochastinis procesas yra lygiavertis). Jų pagalba sukonstruoti matematiniai modeliai sutinkami įvairiose srityse: economikoje, finansuose, fizikoje, klimatologijoje, telekomunikacijoje, biologijoje ir t.t. Atsitiktinių procesų teorija yra labai turininga ir gerai išvystyta, o jos užuomazgos siekia net 1827 metus, kai Anglų botanikas R. Brown as stebėjo žiedadulkės chaotišką judėjimą skystyje (vėliau pavadint1 Brauno judesiu). 1 pav. Chaotiškas dalelės judėjimas skystyje Šį nereguliarų tolydų judėjimą Einstein as 1905 metais paaiškino šilumine molekulių osciliacija ir pirmasis jį aprašė matematiškai. Pagal jo modelį dalelės pozicija kiekvienu laiko momentu yra atsitiktinis dydis, o jos trajektorija turi būti nagrinėjama kaip atsitiktinės laiko funkcijos grafikas. Dabar tai plačiai žinomas ir daug pritaikymų sulaukęs Brauno judesio procesas. Vėliau Einstein o 5
modelį apibendrino Wiener is. Todėl dažnai Brauno judesio procesas dar vadinamas Wiener io vardu. Šis procesas yra bene plačiausiai taikomas modeliuojant įvairias reiškinius. Modeliavimas yra neatsiejama bet kurio mokslo dalis - tiek socialinio, tiek gamtos. Realaus pasaulio sistemos paprastai yra labai sudėtingos. Norėdami šias sistemas suprasti, prognozuoti jų elgesį ar kontroliuoti, turime jas supaprastinti, t.y. sukurti modelį. Modelis originalo atvaizdas, tapatus pasirinktu struktūros lygmeniu arba pasirinktomis funkcijomis (TŽŽ). Egzistuoja daug modelio formų: pavyzdžiui, verbaliniai/logistiniai (sistemų veiklos aiškinimas paradigmomis, kaip antai, nematomos rankos paradigma), fikiniai (sumažinto mastelio ir supaprastintos veiklos modeliai), geometriniai (lentelės, diagramos), algebriniai (algebrinės lygtys) ir pan. Sukurti matematinį modelį reiškia nagrinėjamai sistemai suteikti matematinę išraišką. Čia gali pasireikšti du kraštutinumai: realistinis ir idealistinis. Realistinis modelis paprastai gana tiksliai aprašo tiriamą sistemą, bet būna toks sudėtingas, kad neįmanoma jo nei ištirti, nei įvertinti. Idealistinis modelis, su kuriuo lengva dirbti, gali būti gerokai nutolęs nuo realaus tiriamo fenomeno. Todėl geras modelis yra tam tikras kompromisas tarp realaus ir idealaus. Rasti tinkamą kompromisą yra menas, kurio rezultatus nulemia žinios, įgūdžiai ir, be abejo, talentas. Matematiniai modeliai būna arba deterministiniai, arba stochastiniai. Pirmieji postuluoja tikslią nagrinėjamų sistemų funkcinę priklausomybę ir neatsižvelgia į galimus neapibrėžtumus. Taigi deterministiniai matematiniai modeliai nėra pats geriausias įrankis, pavyzdžiui, ekonominėms ar socialinėms sistemoms tirti. Modeliai aprašomi lygtimis, į kurias įeina atsitiktiniai procesai, vadinami stochastiniais. Ekonometristams jie yra pagrindinis įrankis tiriant ekonomines sistemas, finansų makleriams padeda spręsti atsargų problemas ar sekti finansinių biržų būseną, komunikacijų specialistams atskirti informatyvius signalus nuo natūralių ar dirbtinų triukšmų, atpažinti vaizdus, o biologams suprasti genų mutacijos principus, augmenijos ir gyvūnijos populiacijų pasiskirstymus, epidemijų plitimą ir t.t. Šios paskaitos apima įvadinį atsitiktinių procesų teorijos kursą. Jų tikslas yra ugdyti stochastinio modeliavimo, taikant atsitiktinius procesus, kompetencijas bei vystyti stochastinį mąstymą. Šiame kurse supažindinama su pagrindinėmis atsitiktinių procesų sąvokomis bei savybėmis. Tarp jų yra stacionarumas, ergodiškumas, reguliarumas. Pristatomos svarbiausios atsitiktinių procesų klasės: diskretaus ir tolydaus laiko Markovo procesai, diskretaus ir tolydaus laiko martingalai, Puasono, atstatymo bei Brauno judesio procesai. Pateikti įvairių pritaikymų pavyzdžiai padės pasinaudoti atsitiktinių procesų teorija identifikuojant, formuluojant ir sprendžiant įvairius taikomuosius uždavinius. 6
1 skyrius Mato teorijos elementai Intervalo I R (atviro, uždaro ar pusiau atviro), kurio kraštiniai taškai yra a < b R ilgis lygus l(i) = b a. O koks yra bet kurios kitos (ne intervalo) aibės A R ilgis l(a)? Kaip jį apskaičiuoti? Bandymai atsakyti į šiuos klausimus matematikams padovanojo Lebego matą (pavadintą Henri Lebesgue (1875 1941) garbei). O poreikis pamatuoti dar sudėtingesnius objektus (ir ne tik plotą, tūrį ar pan.) išsivystė į turiningą mato teoriją. Šiame skyriuje jos pristatyta tiek, kiek reikės geresniam atsitiktinių procesų teorijos supratimui. Jei kam pasirodys, kad pateiktas žinių bagažas yra skurdokas, papildomam skaitymui rekomenduojame [5] vadovėlio bei [6], [2] knygų skyrius, skirtus mato teorijai. 1.1 Aibės ir funkcijos Veiksmai su aibėmis Aibe vadiname tam tikrų matematinių objektų rinkinį, visumą ir dažniausiai aprašome kokiu nors būdu nusakydami jos elementus. Raide R įprasta žymėti realiųjų skaičių aibę, C kompleksinių, N natūraliųjų, Z sveikųjų, Q racionaliųjų skaičių aibes, o N 0 = {0, 1, 2,... }. Jei A kažkokia aibė, tai x A reiškia, kad x yra tos aibės elementas, o x A elementas x nepriklauso aibei A. Norėdami išskirti aibės A elementus, turinčius savybę P, rašysime {x A : P } arba, jei aišku apie kokios aibės elementus kalbame, trumpiau {x : P }. Tuščia aibe vadiname aibę neturinčią nei vieno elemento. Ją žymėsime simboliu. Aibė, susidedanti iš vieno elemento x, žymima {x} (atkreipkite dėmesį, kad x ir {x} skiriasi, pvz., { } = ). Jei kiekvienas x A yra kartu ir aibės B elementas, tai sakome, kad A yra B poaibis (arba B yra aibės A viršaibis) ir rašome A B (arba B A). Jei A B ir B A, tai aibės A ir B sutampa: A = B. Aibė A yra tikrinis aibės B poaibis (arba B yra A tikrinis viršaibis) (žymime A B arba B A), jei A B ir A B. Aibė 2 A yra sudaryta iš visų aibės A poaibių: 2 A = {B : B A}. Atlikdami veiksmus su aibėmis neakivaizdžiai tariame, kad jos yra vienos kurios nors (universalios) aibės poaibiai. Dviejų aibių A ir B sankirta A B yra aibė {x : x A ir x B}, o sąjunga A B = {x : x A arba x B}. Analogiškai bet kokiai indeksų aibei I ir aibių sistemai 7
{A α, α I} apibrėžiame sąjungą A α = {x : x A α kuriam nors α I} ir sankirtą α I A α = {x : x A α su visais α I}. α I Jei aibės A i, i I poromis nesikerta, t.y. A i A j =, kai i j, tai vietoj sąjungos ženklo naudosime sumos, t.y. i I A i = i I A i, kai (A i ) yra poromis nesikertančių aibių šeima. Kiti svarbesni veiksmai su aibėmis yra aibių skirtumas bei simetrinis skirtumas A\B = {x : x A, x B} A B = (A\B) (B\A). Jei B A tai skirtumas A\B dar vadinamas aibės B papildiniu (iki aibės A) ir, tuo atveju, kai aibė A aiški iš konteksto, žymimas B c. Aibių sąjungai ir sankirtai galioja De Morgan o dėsniai: ( ) c ( ) c (1.1) A i = A c i; A i = i I i I Aibių A 1, A 2,..., A d Dekarto sandauga yra sudaryta iš sutvarkytų rinkinių (x 1, x 2,..., x d ), x 1 A 1, x 2 A 2,..., x d A d ir žymima i I i I A c i A 1 A 2 A d ; A d = A } {{ A }. d kartų Svarbus pavyzdys yra R d = {(x 1,..., x d ) : x i R, i = 1,..., d}. Aibę R d dar vadiname d-mate vektorine erdve, o jos elementus tuomet reiškiame vektoriais stulpeliais. Binariniai sąryšiai Aibės S elementų binariniu sąryšiu vadinamas bet kuris aibės S S poaibis E S S. Jei (x, y) E tai sakome, kad elementas x S susijęs su elementu y S sąryšiu. Norėdami tai pažymėti, rašome x y arba x E y, jei reikia pabrėžti aibę E. Aibės S elementų binarinis sąryšis yra refleksyvusis, jei x x su kiekvienu x S, asimetrinis, jei kartu x y ir y x gali būti tik tuomet, kai x = y, tranzityvusis, jei iš x y, y z gauname x z. Sąryšis E vadinamas simetriniu,jei y x, kai tik x y. Refleksyvus simetrinis tranzityvus sąryšis vadinamas ekvivalentumo sąryšiu. Štai porą paprasčiausių pavyzdžių. 1.1 pavyzdys. S = Z, n - duotas sveikasis skaičius. Sąryšis x y reiškia x = y(mod n). 1.2 pavyzdys. S = R. Sąryšis x y reiškia, kad x y yra sveikasis skaičius. 8
Jei aibės S ekvivalentumo sąryšis ir x S, tai aibė {y S : y x} vadinama elementą x atitinkančia ekvivalentumo klase ir dažnai žymima [x]. 1.1 teiginys. Dvi ekvivalentumo klasės yra arba lygios, arba nesikerta. Įrodymas. Tarkime, [x] ir [y] - dvi aibės S ekvivalentumo klasės, atitinkančios sąryšį. Jei [x] [y], tai [x] = [y]. Tikrai, tegu u [x] ir v [x] [y]. Tuomet u v ir v y. Remiantis tranzityvumo savybe, u y, taigi u [y]. Vadinasi, [x] [y]. Taip pat samprotaudami įsitikiname, kad [y] [x]. Šis teiginys leidžia aibę suskaidyti į ekvivalentumo klases, kurių šeima vadinama faktor-aibe atžvilgiu nagrinėjamo ekvivalentumo sąryšio arba tiesiog faktor-aibe ir žymima S/ : S/ = {[x] : x S}. Galima įsitikinti, kad 1.1 pavyzdyje R/ = {[0], [1],..., [n 1]}. Funkcijos Visur toliau terminai atvaizdis ir funkcija vartojami kaip sinonimai ir užrašas f : U V žymi vienareikšmę funkciją, apibrėžtą aibėje U su reikšmių sritimi aibėje V : kiekvienam elementui u U funkcija f priskiria vienintelį elementą f(u) = v V. Funkcija su reikšmėmis realiųjų skaičių aibėje R vadinama realiaja, o su reikšmėmis išplėstinėje skaičių tiesėje R = [, + ] skaitine. Įprasta V U žymėti aibę visų funkcijų f : U V, V U := {f : U V }. Svarbūs pavyzdžiai yra aibė R T = {f : T R}, kai T bet kuri aibė ir atskiras jos atvejis, intervale [a, b] apibrėžtų realiųjų funkcijų aibė R [a,b] = {f : [a, b] R}. Aibė G f = {(u, f(u)) : u U} U V vadinama funkcijos f grafiku. Jei A U, tai f(a) := {f(u) V : u A} yra aibės A vaizdas, o f 1 (B) = {u U : f(u) B}, vadinama aibės B V pirmavaizdžiu. Atvaizdis f : U V vadinamas siurjekcija arba aibės U atvaizdžiu į aibę V, jei f(u) = V ir injekcija, jei f(x 1 ) f(x 2 ), kai x 1 x 2. Atvaizdis f : U V vadinamas bijekcija, jei f yra ir injekcija, ir siurjekcija. Jei f : U V yra bijekcija, tai su kiekvienu v V egzistuoja tik vienas toks elementas u U, kad v = f(u). Šiuo atveju sakome, kad egzistuoja funkcijos f atvirkštinė funkcija, kuri žymima f 1 ir kuri aibę V atvaizduoja į aibę U pagal šią taisyklę: f 1 (v) = u, jei f(u) = v. 9
Atvaizdžio f apibrėžimo sritį ir reikšmių sritį įprasta žymėti atitinkamai D(f) ir R(f). Funkcija f vadinama funkcijos g tęsiniu, o g f siauriniu, jei D(g) D(f) ir f(x) = g(x), kai x D(g). Dvi funkcijos yra lygios, jei sutampa jų apibrėžimo sritys ir reikšmės: f = g, jei D(f) = D(g) ir f(x) = g(x) su visais x D(f). Jeigu f : U V, g : V Z, tai funkcija g f : U Z, g f(u) = g(f(u)), kai u U, vadinama funkcijų f ir g kompozicija, arba sudėtine funkcija. Jei A U, tai aibės A indikatorinė funkcija 1 A : U R yra apibrėžta šia formule: { 1, kai x A; 1 A (x) = 0, kai x A. Funkciją f : N V, kurios apibrėžimo sritis yra natūralieji skaičiai, vadiname aibės V elementų seka ir vietoj f(n) rašome f n. Sekas įprasta žymėti (f n, n N), (f n ) n N, (f 1, f 2,... ) arba trumpiau (f n ). Aibių A 1, A 2,... Dekarto sandaugą A 1 A 2 sudaro sekos (x i, i N), kai x i A i : A 1 A 2 = {(x 1, x 2,... ) : x 1 A 1, x 2 A 2,... }. Kai visos aibės A i yra lygios, tarkime, A i = A su visais i = 1, 2,..., begalinę sandaugą A 1 A 2 žymėsime A N arba A. Visų realiųjų skaičių sekų aibė yra R N : R N = {(x n, n N) : x n R su visais n N}. Aibė yra baigtinė, jei ji turi n elementų su kuriuo nors baigtiniu n N. Priešingu atveju aibė yra begalinė. Pavyzdžiui, natūraliųjų skaičių aibė N yra begalinė. Aibė B vadinama skaičia, jei egzistuoja funkcija f, atvaizduojanti B į N abipus vienareikšmiškai. Jei aibė nėra nei baigtinė nei skaiti, tai ji vadinama neskaičia. Pavyzdžiui, norint įsitikinti, kad N N yra skaiti aibė, užtenka pastebėti, kad f(n, m) = 2 m (2n+1) 1 atvaizduoja N N į N abipus vienareikšmiškai. Atvaizdis n 2n + 1, kai n 0 ir n 2 n, kai n < 0, nustato abipus vienareikšmę atitinkamybę tarp aibių Z ir N. Racionaliųjų skaičių aibė yra skaiti, o bet kuris netuščias atviras realiųjų skaičių intervalas neskaiti. Be to, galima įsitiktinti, kad skaiti skaičių aibių sąjunga yra skaiti aibė (žr. 1.6 pratimą). 1.2 Mačios erdvės ir erdvės su matu Mačios erdvės Tarkime, turime netuščią aibę S. Nagrinėsime jos poaibių šeimas, t.y. aibės 2 S poaibius. 1.1 apibrėžimas. Aibės S poaibių šeima S 2 S vadinama algebra, jeigu ji pasižymi šiomis savybėmis: 10
(i) S S; (ii) jei A S, tai ir A c S; (iii) jei A 1,..., A n S tai ir n i=1 A i S. Algebra S vadinama σ algebra, jei ji yra uždara skaičios sąjungos atžvilgiu, t.y., jei A 1, A 2, S tai ir i=1 A i S. Algebrai visada priklauso tuščia aibė = S c. Iš De Morgan o (1.1) tapatybių gauname, kad σ algebra (atitinkamai algebra) yra uždara skaičios (atitinkamai baigtinės) sankirtos atžvilgiu. Bet kuri σ algebra yra ir algebra, bet ne atvirkščiai (žr. 1.7 pratimą). 1.1 pavyzdžiai. (a) Trivialioji σ algebra yra S = {S, }. (b) Diskrečioji σ algebra yra S = 2 S. (c) Jei A S, tai S = {A, A c, S, } yra algebra. 1.2 teiginys. Bet kuriam aibės S poaibių rinkiniui A egzistuoja mažiausia σ algebra σ(a), kuriai priklauso A (ją vadinsime šeimos A generuota σ algebra). Įrodymas. Tegu I yra rinkinys visų σ algebrų, kurioms priklauso A. Kadangi diskrečioji σ algebra 2 S I, tai rinkinys I yra netuščias. Apibrėžkime σ(a) = F I F. Kadangi A F kiekvienai σ algebrai F I, tai A σ(a). Lieka patikrinti, kad σ(a) yra σ algebra. Kadangi S F kiekvienai F I, tai S σ(a). Jei A σ(a), tai A F kiekvienai F I. Kadangi F yra σ algebra, tai A c F. Taigi A c σ(a). Jei (A i, i 1) σ(a), tai (A i, i 1) F, ir i A i F kiekvienai F I. Taigi i A i σ(a). 1.2 apibrėžimas. Realiųjų skaičių aibės R Borelio σ algebra B R yra aibių šeimos generuota σ algebra: B R = σ(a). A := {[a, b), (, b), [a, ), (, ), a, b R} 1.3 apibrėžimas. Aibių rinkinys A 2 S yra π sistema, jei A 1 A 2 A, kai A 1, A 2 A; λ sistema, jei (i) S A; (ii) B \ A A, kai A, B A ir A B; (iii) skaiti poromis nesikertančių aibių iš A sąjunga priklauso A, t.y., jei A 1, A 2, A ir A i A j =, kai i j, tuomet i=1 A i A. Ekvivalenti (iii) savybei yra ši: (iii ) jei (A i ) A, A 1 A 2 tai i=1 A i A. 11
Įsitikinti ekvivalentumu paliekame vietoj pratimo. Akivaizdu, kad σ algebra yra tiek π sistema, tiek λ sistema. Teisingas ir atvirkščias teiginys. 1.3 teiginys. Aibės S poaibių šeima yra σ algebra, jei ji yra kartu ir π sistema, ir λ sistema. Įrodymas. Tarkime, E 2 S yra ir π sistema ir λ sistema. Pirmiausia pastebime, kad E yra uždara papildinio atžvilgiu: jei A E tai ir S \ A E, nes S E ir A E, o E yra λ sistema. Įsitikinkime, kad A B E, kai A, B ce. Taip yra, nes A B = (A c B c ) c, o E yra uždara atžvilgiu papildinio (λ sistema) ir sankirtos (π sistema) operacijų. Tegu (A n ) E. Įsitikinkime, kad k 1 A k E. Tegu B 1 = A 1, B 2 = A 2 A c 1,... B k = A k A c k 1 Ac 1,.... Aibės (B k ) nesikerta ir priklauso E. Be to, k=1 A k = k=1 B k. Teiginys pilnai įrodytas. 1.1 teorema. Tegu E 2 S yra λ sistema, o B 2 S yra π sistema. Jei E B tai E σ(b). Įrodymas. Tegu B yra mažiausia λ sistema, kuriai priklauso B. Įsitikinsime, kad B σ(b). Tam pakanka patikrinti, kad B yra σ algebra. O tam, savo ruožtu, pakanka patikrinti, kad λ sistema B yra kartu ir π sistema. Pasinaudosime šiuo teiginiu, kurio įrodymui pakanka žingsnis po žingsnio patikrinti λ sistemos apibrėžimą. 1.4 teiginys. Jei A yra λ sistema ir A A, tuomet ir A = {B A : B A A} yra λ sistema. Tęsdami teoremos įrodymą, fiksuokime B B ir nagrinėkime D 1 := {A B : A B B }. Kadangi B B tai, remiantis 1.4 teiginiu, D 1 yra λ sistema. Be to, jai priklauso B : jei A B tai A B B. Taigi D 1 B. Gauname, kad fiksuotai aibei A B, rinkinys D 2 := {B B : A B B } apima ir B. Remiantis 1.4 teiginiu D 2 yra λ sistema, taigi turi apimti B. Tai reiškia, kad A B B, kai A, B B. 1.4 apibrėžimas. Pora (S, S), kai S yra netuščia aibė, o S jos poaibių σ algebra, vadinama mačiąja erdve. Aibės A S vadinamos mačiosiomis. Matai Matai yra kaip tik ta matematinė priemonė, kuri padeda pamatuoti aibes (prisiminkime skyriaus pradžioje iškeltą klausimą), o mačios aibės yra tos, kurias galima pamatuoti. 1.5 apibrėžimas. Tarkime, A yra aibės S poaibių algebra. Funkcija µ: A [0, ] vadinama matu, jei teisingos šios aksiomos: (1) µ( ) = 0; 12
(2) jei A n A, n = 1, 2,..., A n A m =, kai n m, ir A = n A n A, tai µ(a) = µ(a k ). k=1 Matas µ, apibrėžtas algebroje A, vadinamas: baigtiniu, jei µ(s) < ; tikimybiniu, jei µ(s) = 1; σ-baigtiniu, jei egzistuoja tokia aibių seka (A n ) A, kad S = n A n ir µ(a n ) < su kiekvienu n N. 1.3 pavyzdys. (1) Tarkime, (S, S) - mati erdvė, x S - duotas aibės S elementas. Aibei A S apibrėžkime { 1, jei x A, µ(a) = δ x (A) = 0, jei x A. Galima įsitikinti, kad δ x yra erdvės (S, S) matas. Jis vadinamas Dirako matu taške x. (2) Tarkime, (S, S) - mati erdvė, D S skaiti mati aibė. Aibei A S apibrėžkime µ D (A) = x D δ x (A). Galima įsitikinti, kad taip apibrėžta aibių funkcija µ D yra erdvės (S, S) matas, kuris suskaičiuoja aibės A D elementus (jų gali būti ir begalo daug). (3) Tarkime, (S, S) - mati erdvė, D S skaiti mati aibė, m : D R kokia nors neneigiama funkcija. Aibei A S apibrėžkime µ D (A) = x D m(x)δ x (A). Galima įsitikinti, kad taip apibrėžta aibių funkcija µ D yra erdvės (S, S) matas. Jis vadinamas diskrečiuoju. Jei x D m(x) <, tai matas µ yra baigtinis. Jei x D m(x) = 1, tai matas µ yra tikimybinis. Svarbios mato savybės surinktos šiame teiginyje. 1.5 teiginys. Matas µ apibrėžtas algebroje A yra: (1) monotoniškas, t.y., jei A, B A, A B, tai µ(a) µ(b); (2) tolydus, t.y., jei seka (A n ) A yra monotoniškai didėjanti (t.y., A 1 A 2 ), tai ( ) (1.2) µ lim A n = lim µ(a n ); n n 13
(3) monotoniškai mažėjančiai sekai (A n ) (t.y., A 1 A 2 ) (1.2) galioja, jei µ(a n0 ) < kažkuriam n 0 1. (4) skaičiai subadityvus, t.y., jei (A n ) A ir n A n A, tai ( µ A n ) µ(a n ). n n Įrodymas. (1) Kadangi A B, tai B = A + B A c. Aibės A ir A B c nesikerta, todėl µ(b) = µ(a) + µ(b A c ) µ(a). (2) Tegu A 0 =. Tuomet n=1 A n = n=1 A n \ A n 1. Taigi ( µ n=1 ) ( ) A n = µ A n \ A n 1 = = lim n n=1 k=1 = lim n µ(a n ). µ(a n \ A n 1 ) n=1 n ( n ) µ(a k \ A k 1 ) = lim µ A k \ A k 1 n (3) Nagrinėkime monotoniškai mažėjančią seką (A n ). Nemažindami bendrumo tarkime, kad n 0 = 1, t.y., µ(a 1 ) <. Tegu B n = A 1 \ A n, n > 1. Seka (B n ) yra monotoniškai didėjanti. Taigi n=1 k=1 ( ) ( lim µ(b n ) = µ(lim B n ) = µ (A 1 A c n n n) = µ A 1 ( ( = µ A 1 n=1 = µ(a 1 ) µ(lim n A n ). ) c ) ( ) A n = µ(a 1 ) µ A n n=1 n=1 A c n ) Iš kitos pusės lim µ (B n ) = lim n (µ(a 1 ) µ(a n )) = µ(a 1 ) lim n µ(a n ). Kadangi µ(a 1 ) < šios lygybės reiškia, kad lim n µ(a n ) = µ(lim n A n ). (4) Tegu B 1 = A 1, B 2 = A 2 A c 1,..., B k = A k A c k 1 Ac 1. Aibės B 1,..., B n nesikerta ir n k=1 A k = n k=1 B k. Taigi ( n µ k=1 ) ( n ) A k = µ B k = k=1 n µ(a k ) k=1 n µ(b k ) k=1 µ(a k ). Lieka pereiti prie ribos, kai n ir pritaikyti mato tolydumo savybę. k=1 14
1.6 apibrėžimas. Trejetą (S, S, µ), kai S yra aibės S poaibių σ algebra ir µ yra σ baigtinis matas, apibrėžtas σ algebroje S, vadinsime erdve su matu. Jei µ yra tikimybinis matas, tai trejetas (S, S, µ) vadinamas tikimybine erdve. Abstrakti tikimybinė erdvė dažniausiai žymima (Ω, F, P ). 1.7 apibrėžimas. Aibė A S vadinama µ-nuline, jei egzistuoja tokia aibė E S, kad µ(e) = 0 ir A E. Erdvė su matu (S, S, µ) vadinama pilna, jei kiekviena µ-nulinė aibė A S yra mati. Dažnai pasitaikantis būdas sukonstruoti erdves su matu yra toks. Pirmiausia matas aprašomas kuriai nors patogiai duotos aibės poaibių klasei. Toliau patikrinama ar, išlaikant norimas savybes, galima jį apibrėžti tos aibių klasės generuotoje algebroje. Generuotas algebras, priešingai nei σ algebras galima aprašyti konstruktyviai (žr. 1.8 pratimą). Galiausiai paskutiniame žingsnyje remiamės mato pratęsimo teorema. Šį būdą kitame skyrelyje pritaikysime konstruodami realiųjų skaičių aibės Lebego bei Lebego-Stiltjeso matus (žr. 1.3 teoremą), o čia aptarsime labai svarbią mato pratęsimo teoremą. 1.2 teorema. ( Carathéodory teorema ) Tarkime, µ yra σ baitinis matas apibrėžtas aibės S poaibių algebroje A. Egzistuoja tokia σ algebra A A ir toks vienintelis mačios erdvės (S, A ) σ baigtinis matas µ, kad µ (A) = µ(a), kai A A. Be to, erdvė su matu (S, A, µ ) yra pilna. Įrodymas. Bet kuriai aibei A S apibrėžiame vadinamą jos išorinį matą: { } (1.3) µ (A) := inf µ(a n ) : A A n, A n A, n N. Apibrėžkime n=1 A := {A 2 S : µ (C) = µ (C A) + µ (C A c ), su visais C 2 S }. Taip sukonstruoti µ ir A ir yra ieškomieji matas bei σ algebra. Pilną teoremos įrodymą galima rasti [5] knygoje. n=1 1.1 pastaba. Išorinio mato µ apibrėžime galima nagrinėti tik poromis nesikertančias aibes A i, mato µ (A) reikšmė nuo to nepasikeis, t. y.: { } (1.4) µ (A) = inf µ(a n ) : A A n, A n A, n N. n=1 Tikrai, tegu A i A, i = 1, 2,... tokios aibės, kad i=1 A i A. Apibrėžkime B 1 = A 1, B i = A i \ n=1 i A i, i > 1. Aibės B 1, B 2,... nesikerta ir i=1 B i = i=1 A i A. Kadangi A yra algebra, tai jai priklauso visos aibės B i. Be to, B i A i. Todėl µ(b i ) µ(a i ). i=1 15 i=1 k=1
Toliau lieka pasinaudoti tiksliojo apatinio rėžio apibrėžimu. 1.2 pastaba. Kadangi σ(a) A, matą µ galime nagrinėti ir aibėms A σ(a). Mato µ siaurinys σ-algebroje σ(a) vadinamas mato µ tęsiniu į σ(a) ir dažnai žymimas tuo pačiu simboliu µ. Taigi µ(a) = µ (A), kai A σ(a). Erdvių su matu sandaugos Skyrelį baigsime apibrėždami erdvių su matu sandaugą. Nagrinėkime erdves su matu (S i, S i, µ i ), i = 1, 2,..., n. Dekarto sandaugos n i=1 S i σ algebra yra n S i = σ{a 1 A n : i=1 A i S i, i = 1,..., n}. Pora ( n i=1 S i, n i=1 S i) vadinama mačių erdvių (S i, S i ), i = 1,..., n sandauga. Imdami aibes A i S i, i = 1,..., n, apibrėžkime (1.5) µ(a 1 A n ) = m µ i (A i ). i=1 Galime įsitikinti (žr. 1.24 pratimą), kad µ yra matas algebroje (1.6) A = {A 1 A n : A i S i, i = 1,..., n}. Remdamiesi Carathéodory teorema, pratęskime matą µ į σ algebrą σ(a) = n i=1 S i. Gautą matą žymime µ 1 µ n ir vadiname sandaugos matu. Trejetas n ( S i, i=1 n S i, i=1 n µ i ) i=1 vadinamas erdvių su matu (S i, S i, µ i ), i = 1, 2,..., n tiesiogine sandauga. Kai (S i, S i, µ i ) = (S, S, µ) su kiekvienu i = 1,..., n, tai atitinkamą tiesioginę sandaugą žymėsime (S n, S n, µ n ). Lebego-Stiltjeso matai 1.3 teorema. Tegu F : R R yra monotoninė nemažėjanti tolydi iš dešinės funkcija. Egzistuoja toks Borelio σ algebroje B R apibrėžtas matas µ, kad (1.7) µ((a, b]) = F (b) F (a). Matas µ vadinamas Lebego Stiltjeso matu (atitinkančiu funkciją F ). Įrodymas. Tegu A I yra aibė visų realiųjų skaičių tiesės R intervalų, pavidalo (a, b], (, b], (a, + ), (, + ), a, b R. 16
Nagrinėkime rinkinį A, sudarytą iš visų baigtinių nesikertančių intervalų iš A I sąjungų: A A, jei A = m i=1i i, I 1,..., I m A I ir I i I j =, kai i j. Galime įsitikinti, kad šeima A yra algebra. Be to, jos generuota σ algebra sutampa su Borelio, σ(a) = B R (žr. 1.12 pratimą). Pirmiausia matą µ apibrėžiame algebroje A. Tuo tikslu bet kuriam intervalui (a, b], kai a b R, tegu µ((a, b]) = F (b) F (a). Be to, tegu kai a R ir. tegu µ((a, )) = lim [F (x) F (a)], x µ((, a]) = [F (a) F (x)], µ((, )) = lim x lim [F (x) F ( x)]. x + Jei A A ir A = m k=1 I k, I 1,..., I m A I, apibrėžkime µ(a) = m µ(i k ). k=1 Įsitikinkime, kad toks apibrėžimas yra korektiškas, tai yra µ(a) nepriklauso nuo aibės A reiškimo baigtine nesikertančių intervalų sąjunga. Tegu A = d k=1 J k. Pastebėkime, kad I k = I k A = d (I k J j ), J i = J i A = j=1 m (J i I l ), k = 1,..., m; j = 1,..., d. l=1 Kadangi funkcija µ yra adityvi algebroje A, tai µ(i k ) = d µ(i k J j ), µ(j i ) = j=1 n µ(j i I l ). l=1 Iš šių lygybių matome, kad m µ(i k ) = k=1 d µ(j l ). Tai ir įrodo funkcijos µ apibrėžimo vienareikšmiškumą. Taigi µ(a) 0 apibrėžėme kiekvienai aibei A A. Įrodykime, kad taip apibrėžta aibių funkcija µ yra algebros A matas. Tam pakanka patikrinti funkcijos µ skaitų adityvumą, nes µ( ) = µ((a, a]) = F (a) F (a) = 0. Tarkime, (a, b] = n=1 (a n, b n ] - skaiti nesikertnčių intervalų sąjunga. Tegu skaičiai ε > 0 ir δ > 0 yra laisvai pasirenkami. Kadangi funkcija F tolydi iš dešinės, egzistuoja tokie ε k > 0, kad (1.8) F (b k + ε k ) F (b k ) < ε/2 k, k 1. Uždarą intervalą [a+δ, b] dengia atvirieji intervalai (a k, b k +ε k ), k 1. Remiantis Heinės Borelio teorema (žr. [4]), egzistuoja toks svaikasis skaičius N, kad (a + δ, b] [a + δ, b] l=1 N (a k, b k + ε k ) k=1 17 N (a k, b k + ε k ]. k=1
Taigi F (b) F (a + δ) N [F (b k + ε k ) F (a k )] k=1 N [F (b k ) F (a k )] + k=1 N k=1 N [F (b k ) F (a k )] + ε. k=1 ε2 k Perėję prie ribos, kai δ 0 ir ε 0 bei pritaikę funkcijos F tolydumą iš dešinės, gauname (1.9) F (b) F (a) [F (b k ) F (a k )]. k=1 Kadangi (a, b] n k=1 (a k, b k ] su kiekvienu n, tai (1.10) F (b) F (a) [F (b k ) F (a k )]. k=1 Taigi skaitų adityvumą kai baigtinis intervalas yra nesikertančių intervalų sąjunga įrodo (1.9) ir (1.10) nelygybės. Galima įsitikinti, kad bet kuriam intervalui I, µ(i) = + n= µ(i (n, n + 1]). Jei dabar I = j=1 I j yra nesikertančių baigtinių intervalų sąjunga, tai pagal jau įrodytą dalį µ(ij ) = µ(i j (n, n + 1]) j = n n µ(i (n, n + 1]) = µ(i). Dabar jau nesudėtinga užbaigti teoremos įrodymą. Nemažėjanti tolydi iš dešinės funkcijs F : R R, tenkinanti sąlygas lim F (x) = 1, lim x + F (x) = 0, x vadinama pasiskirstymo funkcija. Lebego Stiltjeso matas µ = P F, kurį apibrėžia pasiskirstymo funkcija F, yra tikimybinis, t.y., P F (R) = 1. Be to, jei P yra tikimybinis matas, apibrėžtas realiųjų skaičių aibėje R, tuomet funkcija F (x) = P ((, x]), x R yra pasiskirstymo funkcja. 18
Lebego matas Nagrinėkime funkciją F (x) = x, x R. Ją atitinkantis Lebego Stiltjeso matas µ vadinamas Lebego matu ir toliau žymimas m. Dėl Lebego mato svarbos atskirai pateiksime jo apibrėžimą. Tuo tikslu, intervalo I R ilgį žymėkime l(i). 1.8 apibrėžimas. Aibės A R išoriniu Lebego matu m (A) vadinamas skaičius { m (A) = inf l(i k ) : {I k } yra toks atvirų intervalų rinkinys, kad E I i }. k=1 Akivaizdu, kad 0 m (A). 1.4 teorema. Išorinis Lebego matas m apibendrina ilgį, yra monotoninis ir invariantinis postūmiams. Be to, m (A) = 0, jei A yra skaiti aibė; bet kuriai aibių sekai A i R, i 1, i=1 ( ) m A i i=1 m (A i ). i=1 1.9 apibrėžimas. Aibė A R vadinama Lebego prasme mačia, jei su bet kuria aibe B R m (A) = m (A B) + m (A B c ). 1.10 apibrėžimas. Lebego prasme mačios aibės A Lebego matas m(a) yra apibrėžiams kaip išorinis matas m (A), t.y. m(a) = m (A). Aibę visų Lebego prasme mačių R poaibių žymime A. Žemiau išrašytos savybės parodo, kad m yra matas σ-algebroje A. Be to, trejetas (R, A, m) yra pilna erdvė su matu. Bet dažniau nagrinėjame lebego mato siaurinį Borelio σ algebroje B R, kurį bėl gi žymime m ir vadiname Lebego matu. 1.5 teorema. Aibė A pasižymi šiomis savybėmis: 1. A ir R A ; 2. jei A A tai ir A c A ; 3. jei m (A) = 0, tai A A ; 4. jei A 1, A 2 A, tai A 1 A 2 A ir A 1 A 2 A ; 5. jei A A ir b R, tai A + b A ; 6. Bet kuris intervalas I A ir, be to, m(i) = m (I) = l(i); 19
7. jei A 1,..., A n A ir nesikerta, tai su bet kuria aibe B R n n n m ( B A i ) = m (B A i ) = m (B A i ); i=1 i=1 i=1 Atskiru atveju, imdami B = R, gauname n n m( A i ) = m(a i ). 8. Jei A i A, i = 1, 2,..., tai i=1 i=1 A i A i=1 9. Jei (A i, i = 1, 2,... ) A ir nesikerta, tai ir A i A ; i=1 ( ) m A i = i=1 m(a i ); i=1 10. Bet kuri atvira aibė ir bet kuri uždara aibė yra mačios Lebego prasme. 1.3 Mačios funkcijos Mačios funkcijos sąvoka Tarkime, (S, S) ir (V, V) yra dvi mačios erdvės. 1.11 apibrėžimas. Atvaizdis f : S V, vadinamas (S, V)-mačiuoju (mačiu σ algebrų S, V atžvilgiu arba tiesiog mačiuoju, kai atitinkamos σ algebros yra žinomos iš konteksto), jei f 1 (V) := {f 1 (A): A S} S. Norėdami pabrėžti f reikšmių aibę, sakysime, kad f yra V-reikšmis matus atvaizdis (arba, matus atvaizdis su reikšmėmis aibėje V). Svarbi yra sudėtinės funkcijos matumo teorema. 1.6 teorema. Tarkime, (S, S), (V, V) ir (E, E) mačios erdvės, f : S V, g : V E matūs atvaizdžiai. Tuomet kompozicija g f : S E (g f(s) = g(f(s)), s S) yra matus atvaizdis. Įrodymas. Paliekamas vietoj pratimo. 1.6 teiginys. Tegu f : S V. Su bet kokia aibės T poaibių klase A galioja lygybė σ ( f 1 (A) ) = f 1 (σ(a)). 20
Iš šio teiginio gauname, kad bet kuriai funkcijai f : S V, aibių šeima f 1 (V) yra σ algebra. Ji vadinama atvaizdžio f generuota σ algebra ir dažnai žymima σ f arba σ(f). Tai mažiausia σ algebra, kurios atžvilgiu yra mati funkcija f. 1.6 teiginio įrodyme pasiremsime funkcijos pirmavaizdžio savybėmis. Jos surinkos šioje lemoje, kurios įrodymą paliekame vietoj pratimo. 1.1 lema. Bet kuriai funkcijai f : S T, teisingos šios savybės: (a) f 1 ( ) = ; (b) f 1 (T) = S; (c) f 1 (A c ) = ( f 1 (A) ) c ; ( ) (d) f 1 i I A i = i I f 1 (A i ); ( ) (e) f 1 i I A i = i I f 1 (A i ); 1.6 teiginio įrodymas. Pirmiausia, pritaikę 1.1 lemą įsitikinkime, kad f 1 (σ(a)) yra σ algebra. Be to, f 1 (A) f 1 (σ(a)). Taigi σ ( f 1 (A) ) f 1 (σ(a)). Nagrinėkime A := {A T : f 1 (A ) σ ( f 1 (A) ) }. Pastebėkime, kad A yra σ algebra ir, be to, A A. Todėl ir A σ(a). Taigi f 1 (σ(a)) f 1 (A ) σ(f 1 (A)). Tai užbaigia įrodymą. Šis teiginys palengvina funkcijos matumo tikrinimą. 1.7 teiginys. Jei A yra tokia aibės T poaibių klasė, kad T = σ(a) ir f 1 (A) S, tai funkcija f : S T yra (S, T )-mati. Įrodymas. Kadangi f 1 (T ) = f 1 (σ(a)) = σ(f 1 (A)) S, nes f 1 (A) S ir S yra σ algebra. 21
Realios ir skaitinės mačios funkcijos Plačiau aptarsime realias mačias funkcijas. Tegu (S, S) yra bet kuri mati erdvė. Jei nepasakyta kitaip, realiųjų skaičių aibėje R nagrinėsime Borelio σ algebrą B R. Funkcija f : S R yra mati, jei f 1 (B) S su kiekviena Borelio aibe B R. Kadangi Borelio σ algebrą generuoja aibės pavidalo (a, + ), a R (žr. 1.12 pratimą), tai teisingas šis teiginys. 1.8 teiginys. Funkcija f : S R yra (S, B R )-mati tada ir tik tada, kai f 1 ((a, )) S, su visais a R. Be to, aibę (a, ) galime pakeisti bet kuria iš aibių (, a), (, a], [a, ). 1.4 pavyzdys. Nagrinėkime indikatorinę funkciją 1 A : S R, A S. Tegu B B R. Tuomet S, jei 0, 1 B 1 1 A (B) =, jei 0, 1 B c A, jei 1 B, 0 B c A c, jei 0 B, 1 B c. Taigi 1 1 A (B) S su bet kuria B B R, jei tik A S. Vadinasi, 1 A yra mati funkcija tada ir tik tada, kai A S. 1.12 apibrėžimas. Poromis nesikertančių mačių aibių rinkinys {A 1,..., A n } S vadinamas aibės S skaidiniu, jei S = n k=1 A k. Funkcija f : S R vadinama laiptine, jei n f = x k 1 Ak ; k=1 čia x 1,..., x n R, o {A 1,..., A n } yra aibės S skaidinys. Jei x 1,..., x n 0, tuomet f vadinama neneigiama laiptine funkcija. 1.9 teiginys. Laiptinės funkcijos yra mačios. Įrodymas. Tuomet Kadangi Tegu f = n k=1 x k1 Ak ; čia x 1,..., x n R, {A 1,..., A n } S yra aibės S skaidinys. f 1 ((a, ]) = {x S : f(x) > a} = = n {x A k : x k > a}. k=1 {x A k : x k > a} = n {x A k : f(x) > a} k=1 { A k, jeigu x k > a tai f 1 ((a, ]) yra mačių aibių sąjunga, todėl yra mati aibė. priešingu atveju, 22
1.10 teiginys. Tarkime, f, g : S R yra mačios funkcijos, a, b R. Tuomet yra teisingi šie teiginiai: (a) funkcijos f + c ir cf yra mačios su bet kuriuo c R; (b) su bet kuriais a, b R funkcija af + bg yra mati; (b) funkcija f g yra mati; (d) savo apibrėžimo srityje funkcija f/g yra mati; (e) funkcijos max{f, g} ir min{f, g} yra mačios; (f) funkcija f yra mati. Įrodymas. (a) Kadangi {x : f(x) + c > a} = {x : f(x) > a c} = f 1 (a c, ) S, nes f yra mati. Jei c = 0, tuomet {, kai a 0 {x : cf(x) > a} = S, kai a < 0. Taigi {x : cf(x) > a} S, kai c = 0. Jei c > 0, tuomet {x : cf(x) > a} = f 1 ((a/c, )) S. Galiausiai, jei c < 0, tuomet {x : cf(x) > a} = f 1 ((, a/c)) S, nes f yra mati. (b) Pakanka įrodyti, kad funkcija f + g yra mati. Turime {x S : f(x) + g(x) > a} = A c {x S : f(x) > a g(x)}. Pasinaudosime tuom, kad realiesiems skaičiams c, d nelygybė c > d teisinga tada ir tik tada, kai egzistuoja toks racionalus skaičius r, kad c > r > d. Todėl {x S : f(x) > a g(x)} = [ {x S : f(x) > r} {x S : r > a g(x)}. r Q Iš čia matyti, kad aibė {x S : f(x) > a g(x)} S, taigi ir {x S\A : f(x)+g(x) > a} S. (c) Pirmiausia pastebėkime, kad bet kurios mačios funkcijos f kvadratas f 2 yra mati funkcija. Tikrai, jei a 0, tuomet (f 2 ) 1 ((a, )) = S. Jei a > 0, tuomet (f 2 ) 1 ((a, )) = f 1 (( a, )) f 1 ((, a)) S. Toliau pastebėkime, kad fg = 2 1 ((f + g) 2 f 2 g 2 ). Taigi fg yra mati. (d) Pakanka įrodyti, kad funkcija 1/g yra mati. Ji apibrėžta aibėje B c, kai B = {x S : g(x) = 0}. Tegu a > 0. Tuomet {x B c : 1/g(x) > a} = {x B c : 0 g(x) < 1/c} = {x S : 0 < g(x) < 1/c} S. Jei a 0, tuomet {x B c : 1/g(x) > a} = {x B c : 0 g(x)} {x B c : g(x) < 1/a} = {x S : 0 < g(x)} {x S : g(x) < 1/a} S. 23
(e) Pakanka pastebėti, kad {x : max{f(x), g(x)} > a} = {x : f(x) > a} {x : g(x) > a} {x : min{f(x), g(x)} > a} = {x : f(x) > a} {x : g(x) > a}. (f) Funkcijos f = max{f, 0} ir f = min{f, 0} yra mačios, kaip ką tik įsitikinome. Taigi ir funkcija f = f + + f yra mati. Mačių funkcijų sekų ribos Tegu f n : S R yra mačių funkcijų seka. Pataškiui apibrėžta funkcija sup n f n reiškia, kad (sup n f n )(x) = sup n f n (x), x S. Analogiškai pataškiui apibrėžiamos ir kitos sekos (f n ) funkcijos. 1.11 teiginys. Tarkime, f, f n : S R, n 1 yra mačios funkcijos. Tuomet (a) funkcijos inf f n, sup f n yra mačios; (b) funkcijos lim inf f n, lim sup f n yra mačios; (c) aibė {x : lim f n (x) (d) aibėje {x : lim f n (x) egzistuoja} yra mati; egzistuoja} apibrėžta funkcija x lim n f n (x) = f(x) yra mati. Įrodymas. (a) Tegu g(x) = sup n f n (x), x S. Tuomet {x : g(x) a} = n {x : f n (x) a}, a R, {x : g(x) = + } = {x : g(x) = } = N=1 N=1 {x : f n (x) > N} n {x : f n (x) < N}. Kadangi kiekviena aibė dešinėje lygybių pusėje priklauso S, tai kairėje pusėje esančios aibės tai pat priklauso σ algebrai S. Taigi g yra mati funkcija. Kadangi inf n f n (x) = sup n ( f n (x)), tai funkcija inf n f n taip pat mati. (b) Pastebėję, kad n lim inf n f n = sup(inf f k) n 1 k n ir lim sup f n = inf (sup f k ), n n 1 k n rezultatą išvedame iš (a). (c) Turime {x : lim n f n (x) egzistuoja} = {x : lim inf n f n(x) = lim sup f n (x)}. n 24
(d) Pažymėkime A = {x : lim n f n (x) lim inf n f n (x) = lim n f n (x), tai egzistuoja}. Kadangi aibėje A teisinga lygybė {x A : lim n f n (x) > a} = {x A : lim inf n f n(x) > a} = A {x X : lim inf n f n(x) > a} S, nes funkcija lim n f n yra apibrėžta visoje aibėje S ir yra mati. Teiginys pilnai įrodytas. Taigi mačiųjų funkcijų pataškė riba, kai ji egzistuoja, yra mati funkcija. Čia verta pastebėti, kad tolydžiųjų funkcijų sekos riba nebūtinai tolydi funkcija. Pavyzdžiu gali būti seka f n (t) = t n, t [0, 1]. Jos pataškė riba yra lim f n(t) = n { 0, kai t 1 1, kai t = 1. 1.13 apibrėžimas. Mačių funkcijų seka (f n ) konverguoja prie mačios funkcijos f tolygiai, jei lim sup f n (x) f(x) = 0. n x S 1.14 apibrėžimas. Mačių funkcijų seka (f n ) konverguoja prie mačios funkcijos f beveik tikrai mato µ atžvilgiu (µ-b. t.) jei egzistuoja tokia mati aibė N, kad µ(n) = 0 ir su visais x N c. lim f n(x) = f(x) n 1.15 apibrėžimas. Mačių funkcijų seka (f n ) konverguoja prie mačios funkcijos f pagal matą µ, jei su kiekvienu ε > 0 lim n µ(x : f n(x) f(x) > ε) = 0. Taigi turime keturis mačių funkcijų sekos konvergavimo tipus: pataškis, pataškis tolygus, pagal matą ir beveik tikrai mato atžvilgiu. Panagrinėkime 6iuos konvergavimus indikatorinių funkcijų pavyzdžiu. Tegu (S, S, µ) yra erdvė su matu, (A n ) S - mačių aibių seka, A cs. Apibrėžkime f n (x) = 1 An (x), x S, n 1 ir f(x) = 1 A (x), x S. Kadangi sup x S 1 A (x) 1 B (x) = 1, jei A B, tai seka (f n ) konverguos tolygiai vieninteliu atveju, kai A n = A su visais n 1. Pataškiui seka konverguos prie funkcijos f = 1 A tada ir tik tada, kai lim sup A n = n n m n A m = lim inf n = n (žr. 1.22 pratimą). Seka f n f pagal matą tada ir tik tada, kai lim µ(a n A) = 0. n m n Taigi f n 0 pagal matą tada ir tik tada, kai µ(a n ) 0, nes 0 =. 25 A m = A
1.12 teiginys. Funkcija f : S R yra neneigiama mati funkcija. Tuomet egzistuoja tokia neneigiamų laiptinių funkcijų seka (f n ), kad f n f su visais n ir lim f n(x) = f(x) su visais x S. n Įrodymas. Kiekvienam n apibrėžkime A n,k = f 1 ((k/n, (k + 1)/n]), kai k = 1,..., n 2 1 ir A n,0 = f 1 ([0, 1/n] (n, )). Be to, tegu A = f 1 ({ }). Apibrėžkime f n (x) = 1 n n 2 1 k=0 Užbaigti teiginio įrodymą paliekame vietoj pratimo. k1 An,k (x) + n1 A (x), x S. 1.4 Mačių realiųjų funkcijų integravimas Apibrėžimai ir paprasčiausios savybės Tegu (S, S, µ) yra erdvė su matu. Nagrinėsime mačias funkcijas f, g, : (S, S) (R, B R ). Joms apibrėšime ingeralą atžvilgiu mato µ. Tai daroma trimis žingsniais. Pirmuoju apibrėžiamas laiptinės funkcijos integralas, antruoju - neneigiamos mačios funkcijos ir, galiausiai bet kurios mačios funkcijos integralas. Mato ir integralo teorijoje sutariama, kad 0 = 0. 1.16 apibrėžimas. Neneigiamos laiptinės funkcijos f = n k=1 x k1 Ak (x k [0, ], k = 1,..., n) (Lebego) integralas aibėje E S yra E fdµ := n x k µ(a k E). k=1 Pirmiausia reikėtų įsitikinti, kad integralo reikšmė nepriklauso nuo laiptinės funkcijos reprezentacijos, t.y., jei f = m k=1 y k1 Bk, tai n x k µ(a k E) = k=1 m y k µ(b k E). k=1 Tai paliekame vietoj pratimo. Iš integralo apibrėžimo iškart matyti, kad funkcija E E f dµ : S [0, ] yra neneigiama ir skaičiai adityvi. 1.17 apibrėžimas. Jei mati funkcija f 0, tai jos (Lebego) integralas aibėje E S yra E { f dµ := sup g dµ : E } g 0, g yra laiptinė funkcija ir g f aibėje E. 26
Norėdami apibrėžti integralą bet kuriai mačiai funkcijai f, pažymėkime f + = max{f, 0}, f = max{ f, 0}. Funkcijos f +, f, kurios vadinamos atitinkamai teigiama ir neigiama funkcijos f dalimi, yra mačios (žr. 1.10 teiginį ) ir f = f + f, f = f + + f. 1.18 apibrėžimas. Funkcija f vadinama integruojama aibėje E S, jei integralas f dµ yra E baigtinis. Šiuo atveju, funkcijos f integralas aibėje E yra f dµ = f + dµ f dµ. E E 1.13 teiginys. Jei mačios funkcijos f, g aibėje E yra lygios beveik visur mato µ atžvilgiu, t.y. µ(s E : f(s) g(s)) = 0, tai f dµ = g dµ. Įrodymas. Paliekamas vietoj pratimo. E Integralą S f dµ toliau žymėsime trumpiau f dµ. Jei µ yra tikimybinis matas, dažnai f dµ žymimas Ef ir vadinamas funkcijos f vidurkiu. E E 1.14 teiginys. Jei f yra neneigiama mati funkcija, tai atvaizdis (1.11) E f dµ, E S, yra neneigiama monotoninė nemažėjanti ir skaičiai adityvi funkcija. E Įrodymas. Kad (1.11) formule apibrėžta funkcija yra nemažėjanti, gauname tiesiog iš apibrėžimo. Tegu (E n ) yra mačių aibių seka ir E = n E n. Bet kuriai neneigiamai laiptinei funkcijai g f, remiantis integralo apibrėžimu, g dµ g dµ f dµ. E n E n n E n Nagrinėdami kairiosios pusės tikslųjį viršutinį rėžį atžvilgių visų neneigiamų laiptinių funkcijų g f, gauname f dµ f dµ. E n E n Norėdami įrodyti skaitų adytivumą, pakanka įsitikinti, kad (1.12) f dµ f dµ, E n E n 27
kai E i E j =, i j. Nagrinėkime dvi nesikertančias aibes E 1, E 2 S. Kiekvieną ε > 0 atitinka tokios dvi laiptinės funkcijas g 1, g 2, kad g i f aibėje E i, i = 1, 2 ir (1.13) f dµ E i g i dµ + ε/2. E i Apibrėžkime g 1 (s), kai s E 1, g(s) = g 2 (s), kai s E 2, 0, kai s (E 1 E 2 ) c. Funkcja g yra neneigiama ir g f aibėje E 1 E 2. Sudėję (1.13) nelygybes kai i = 1, 2, gauname f dµ + f dµ ε + g dµ + g dµ E 1 E 2 E 1 E 2 = ε + g dµ E 1 E 2 ε + f dµ. E 1 E 2 Kadangi ε > 0 laisvai pasirenkamas skaičius ir funkcija E f dµ pusiauadityvi, tai E f dµ = E 1 E 2 f dµ + E 1 f dµ. E 2 Remiantis šia lygybe ir integralo, kaip aibės funkcijos monotoniškumu, gauname E f dµ d dµ = A 1 E n n k=1 E k f dµ. Perėję prie ribis, kai n, įsitikiname, kad (1.12) nelygybė yra teisinga. Teiginys pilnai įrodytas. Lebego teoremos 1.7 teorema. ( Lebego teorema apie monotoninį konvergavimą ) Tegu 0 f 1 f 2 f n yra mačių funkcijų seka ir lim n f n (t) = f(t) su visais t S. Tuomet (1.14) lim f n dµ = f dµ n E E bet kuriai E S. Įrodymas. Kairę (1.14) lygybės pusę pažymėkime v. Kadangi f n f su visais n 1, tai (1.15) v f dµ. E 28
Tegu laiptinė funkcija g f aibėje E. Imdami skaičių c (0, 1), apibrėžkime aibes E n = {x : x E, 0 cg(x) f n (x)}. Seka (E n ) yra nemažėjanti ir konverguoja į E. Todėl f n dµ E f n dµ c E n g dµ. E n Perėję prie ribos, kai n ir, pritaikę ką tik įrodytą 1.4 teiginį, gauname v c g dµ. Imdami E tikslųjį viršutinį rėžį pagal neneigiamas laiptines funkcijas g f ir perėję prie ribos, kai c 1, gauname v f dµ. Ši nelygybė, kartu su (1.15), įrodo (1.14). E Integralo savybės Įrodysime, kad integravimas yra tiesinė operacija. 1.15 teiginys. Jei mačios funkcijos f 1, f 2 yra integruojamos aibėje E S, tai su bet kuriais a, b R, funkcija af 1 + bf 2 yra integruojama aibėje E ir (af 1 + bf 2 ) dµ = a f i dµ + b f 2 dµ. E Įrodymas. Paliekame vietoj pratimo įrodyti, kad teiginys yra teisingas laiptinėms funkcijoms. Tarkime, f 1, f 2 yra neneigiamos mačios funkcijos. Egzistuoja tokios dvi laiptinių funkcijų sekos (g 1n ) ir (g 2n ) kurios monotoniškai didėja ir konverguoja į atitinkamai f 1 ir f 2. Suma (g 1n +g 2n ) yra nemažėjanti laiptinių funkcijų seka ir konverguoja į sumą f 1 + f 2. Pritaikę 1.7 teoremą, gauname (f 1 + f 2 ) dµ = lim (g 1n + g 2n ) dµ E n E E = lim g 1n dµ + lim n E = f 1 dµ + f 2 dµ. E E E n E g 1n dµ 1.16 teiginys. Neneigiamos mačios funkcijos f integralas f dµ = 0 tada ir tik tada, kai µ(x E E : f(x) 0) = 0. Įrodymas. Tarkime, kad f dµ = 0, bet µ(x E : f(x) 0) = α > 0. Tuomet egzistuoja tokia E konstanta c > 0 ir tokia aibė A E, kad µ(a) > 0 ir f(s) c su visais s A. Tokiu atveju, f dµ f dµ c 1 dµ = cµ(a) > 0. E A A Taigi būtinumas įrodytas. Pakankamumą paliekame skaitytojui vietoj pratimo. Kai kurios kitos integralo savybės surinktos šiame pratime. 29
1.17 teiginys. Integralo pasižymi šiomis savybėmis: (a) Jei µ(t: f(t) > g(t)) = 0, tai f(t)µ( dt) g(t)µ( dt); S S (b) Jei yra integruojama funkcija f tai integruojama ir funkcija f ir, be to, f(t)µ( dt) f(t) µ( dt); S (c) Jei f yra integruojama funkcija, a, b R ir E tokia mati aibė, kad a f(t) b su visais t E, tai aµ(e) f(t)1 E µ( dt) bµ(e); S S (d) Atvaizdis yra σ-adityvus. E fdµ : F R E Įrodymas. Paliekamas vietoj pratimo. Integralų ribos Perėjimą prie ribos po integralo ženklu nustato trys žemiau suformuluoti rezultatai: Lebego teorema apie mažoruojamą konvergavimą, B. Levy teorema apie monotoninį konvergavimą ir Fatu lema. Sakysime, kad seka (f n ) konverguoja prie f pagal matą µ, jei su kiekvienu ε > 0 lim µ(t: f n(t) f(t) > ε) = 0. n Seka (f n ) konverguoja į funkciją f µ beveik visur, jei µ(t: f n (t) f(t)) = 0. 1.8 teorema. Tarkime, integruojamų funkcijų seka (f n ) konverguoja pagal matą µ į funkciją f ir egzistuoja tokia integruojama funkcija g, su kuria f n (t) g beveik visiems t S (n N.) Tuomet (1.16) lim f n (t)µ( dt) = f(t)µ( dt). n S 30 S
Įrodymas. Pereidami, jei reikia, prie posekių, galime tarti, kad seka (f n ) konverguoja prie f pataškiui. Be to, galime tarti, kad f n (t) g(t) kiekvienai argumento reikšmei t. Tuomet su visais t g(t) f n (t) 0, g(t) + f n (t) 0. Remiantis Fatu lema lim inf n (g f n ) dµ lim inf (g f n) dµ = n (g f) dµ. Kairėje šios lygybės pusįėje esantys dydis yra lygus g dµ lim inf n fn dµ. Kadangi funkcija g yra integruojama ir f g, f n g, tai f n ir f taip pat integruojamos, todėl lim inf f n dµ f dµ. n Atlikę analogiškus veiksmus su seka (g + f n ), gauname lim inf f n dµ n f dµ. Iš pastarųjų dviejų nelygybių gauname (1.16). 1.9 teorema. Tarkime (f n ) yra tokia mačių funkcijų seka, kad f n (t) 0 beveik visiems t S, f n (t) f m (t) su visais t S, kai n m ir lim n f n (t) = f(t) visiems t S. Tuomet galioja (1.16) sąryšis. 1.2 lema. Tarkime, (f n ) yra neneigiamų integruojamų funkcijų seka. Jei lim f n (t)µ( dt) <, n S tai funkcija f(t) = lim inf n f n (t), t S, yra integruojama ir f(t)µ( dt) lim inf f n (t)µ( dt). n S S Įrodymas. Apibrėžkime g n (s) = inf{f i (s), i n}, s S. Tuomet seka (g n ) monotoniškai nemažėja ir konverguoja į lim inf n f n. Remiantis teorema apie monotoninį konvergavimą lim inf g n dµ = (lim inf f n ) dµ. n n Kadangi g n f n su visais n, tai E g n dµ E f n dµ su visais n. E E 31
Integravimo kintamųjų keitimas Kintamųjų keitimo integrale taisyklę nustato ši teorema. 1.10 teorema. Tarkime, (S 1, S 1, µ 1 ) yra kita erdvė su matu, T : S 1 S matus atvaizdis. Be to, tarkime µ 1 yra toks σ baigtinis matas, kad matas µ 1 T 1 taip pat σ baigtinis. Tuomet su bet kuria mačia funkcija f ir bet kuria mačia aibe F f T dµ 1 = f dµ 1 T 1. T 1 (F ) F Matas µ 1 T 1 (A) = µ 1 (T 1 (A)), A T. Įrodymas. Pirmausia imkime funkciją f = 1 A. Tuomet 1 A dµ T 1 = µ T 1 (B F ) = µ(t 1 (B) T 1 (F )) F = 1 T 1 (B) dµ = 1 B T dµ. T 1 (F ) T 1 (F ) Taigi formulė teisinga, kai f indikatorinė funkcija. Kadangi laiptinės funkcijos yra tiesinė kompinacija indikatorinių, tai formulė išlieka teisinga ir bet kuriai laiptinei funkcijai. Toliau tarkime, f yra neneigiama mati funkcija. Tuomet egzistuoja tokia laiptinių funkcijų seka (g n ), kuri monotoniškai didėja ir konverguoja į f. Be to, (g n T ) taip pat yra monotoniškai didėjanti laiptinių funkcijų seka, kuri konverguoja į f T. Lieka pritaikyti teoremą apie monotoninį konvergavimą. Bendras mačios funkcijos atvejis susiveda į išnagrinėtą pritaikius lygybę f T = f T. 1.18 teiginys. Tegu (f n ) yra neneigiamų mačių funkcijų seka, kuri konverguoja prie f pagal matą. Jei f n ir f integruojamos ir f n dµ f dµ, tai f n f dµ = 0. 1.5 Pratimai lim n 1.1 pratimas. Raskite x [0,1] [x, 2] ir x [0,1] [x, 2]. 1.2 pratimas. Tarkime, {A i, i I} yra kurios nors aibės poaibių šeima. Įrodykite De Morgano (1.1) tapatybes. 1.3 pratimas. Nustatykite, kurie iš pateiktų binarinių sąryšių yra ekvivalentumo ir jiems aprašykite ekvivalentumo klases: (a) Aibėje R sąryšis x y reiškia, kad x y < 1.; (b) Aibėje R 2 sąryšis x y reiškia, kad taškai x ir y yra vienoje tiesėje, einančioje per koordinačių pradžią; 32
(c) Aibėje R 2 sąryšis x y reiškia, kad taškai x = (x 1, x 2 ) ir y = (y 1, y 2 ) tenkina x 2 1 + x 2 2 = y 2 1 + y 2 2; (d) Aibėje 2 R sąryšis A B aibėms A, B R reiškia, kad A B = ; (e) Funkcijų aibėje R R sąryšis f g reiškia, kad egzistuoja tokia konstanta c, kad f(x) = g(x) + c, x R. 1.4 pratimas. Apibrėžkime funkciją f : N {0} Z: f(x) = Įrodykite, kad funkcija f yra bijekcija. { x/2, 1.5 pratimas. Patikrinkite šias lygybes: (a) 1 A B = 1 A 1 B. { (b) x : } n 1 A n (x) < (x + 1)/2, = n k n Ac k. 1.6 pratimas. Įrodykite šiuos teiginius. (1) Racionaliųjų skaičių aibė Q yra skaiti. (2) Skaiti skaičių aibių sąjunga yra skaiti aibė. jei x yra lyginis jei x yra nelyginis. (3) Bet kuris netuščias atviras realiųjų skaičių intervalas yra neskaiti aibė. 1.7 pratimas. Įsitikinkite, kad visų galimų intervalo [0, 1] pointervalių baigtinių sąjungų rinkinys yra algebra, bet nėra σ algebra. 1.8 pratimas. Imkime A 2 S. Nagrinėkime aibių B = n k=1 i=1 m B ki, rinkinį, kai arba B ki A, arba B c ki A. Pažymėkime jį A 0. Įsitikinkite, kad šeima A 0 ir yra mažiausia algebra, kuriai priklauso A. 1.9 pratimas. Tegu A, A 2 S. Įrodykite šiuos sąryšius: (a) Jei A A, tai σ(a) σ(a ); (b) Jei A σ(a ) tai σ(a) σ(a ); (c) Jei A A σ(a), tai σ(a) = σ(a ). 33
1.10 pratimas. Įsitikinkite, kad B R = σ(a), kai A yra bet kuri iš šių šeimų: {(a, b) : a, b R}, {(, a) : a R}. {(a, b) : a, b Q}, {(, a) : a Q}. 1.11 pratimas. Įrodykite, kad realiųjų skaičių aibės R bet kuri taškinė aibė {x} yra Borelio. 1.12 pratimas. Įsitikinkite, kad B R = σ(a), kai (a) A = {(a, b) : a, b R}; (b) A = {(, a] : a R}; (c) A = {(a, ) : a R}. 1.13 pratimas. Įsitikinkite, kad B R = σ(b R, { }, {+ }) 1.14 pratimas. Įsitikinkite, kad topologinės erdvės Borelio σ algebra yra taip pat generuojama uždarųjų aibių šeima. Taigi tiek atviros tolologinės erdvės S aibės, tiek uždaros yra Borelio. 1.15 pratimas. Įrodykite, kad atvirasis metrinės erdvės rutulys yra atvira aibė, o uždarasis - uždara. 1.16 pratimas. Įsitikinkite, kad atvirųjų metrinės erdvės (S, d) aibių šeima τ d sudaro topologiją. Ji vadinama natūraliaja metrinės erdvės topologija. 1.17 pratimas. Patikrinkite metrikos aksiomas funkcijai d(x, y) = x y, x, y R. 1 + x y Ar metrinės erdvės (R, d) topologija yra ekvivalenti Euklidinei? 1.18 pratimas. Patikrinkite metrikos aksiomas funkcijoms d 1, d 2, d, apibrėžtoms?? pavyzdyje. Įsitikinkite, kad jos aprašo ekvivalenčias erdvės R m topologijas. 1.19 pratimas. Tegu F yra aibės Ω poaibių σ algebra, B Ω. Įsitikinkite, kad rinkinys G = {A B : A F} yra aibės B poaibių σ algebra. Tegu (S, S) yra mati erdvė. Seka (A n ) S yra monotoniškai didėjanti, jei A n A n+1 su visais n 1; monotoniškai mažėjanti, jei A n A n+1 su visais n 1. Aibei lim sup A n = n i=1 n=i A n 34
priklauso tik tie s S, kurie priklauso begalo daugeliui A n. Aibei lim inf A n = A n n i=1 n=i priklauso tik tie s S, kurie priklauso visoms aibėms A n išskyrus galbūt baigtinį jų skaičių. Jei lim inf n A n = lim sup n A n tai tą aibę žymime lim n A n ir vadiname aibių sekos (A n ) riba. 1.20 pratimas. Koks ryšys tarp lim sup ir lim inf apibrėžimų skaičių sekai (x n ) ir aibių sekai (A n )? 1.21 pratimas. Apibrėžkime A n = Raskite lim inf n A n ir lim sup n A n. { ( 1/n, 1], ( 1, 1/n], kai n nelyginis kai n lyginis. 1.22 pratimas. Tegu (A n, n N) yra aibių seka. Įrodykite šiuos teiginius: (a) lim inf n A n = lim sup n A n tada ir tik tada, kai su kiekvienu ω Ω egzistuoja riba lim n 1 An (ω). (b) Jei seka (A n ) monotoniškai didėjanti, tai lim n A n = n=1 A n. (c) Jei seka (A n ) monotoniškai mažėjanti, tai lim n A n = n=1 A n. 1.23 pratimas. Įrodykite 1.1 lemą. 1.24 pratimas. Įrodykite, kad (1.5 formule aprašoma aibių sistema yra algebra, o (1.5 formule aprašoma funkcija - matas toje algebroje. 1.25 pratimas. Įrodykite, kad funkcija f : S R yra mati tada ir tik tada, kai f 1 ((r, ]) S su visais r Q. 1.26 pratimas. Įrodykite, kad atitinkamai parinkus matą µ f(x n ) = f(x)µ(dx). n=1 1.27 pratimas. Tegu metrinės erdvės (S, d) σ algebra σ(c) yra generuota atvirų rutulių šeima C S = {S r (x) : r 0.x S}. Pateikite pavyzdį, kuris įrodytų, kad bendru atveju σ(c S ) B S. Pagalba. Nagrinė metrinę erdvę (R, d), kai d yra diskrečioji metrika: { 1, kai x y, d(x, y) = 0, kai x = y.. Tuomet bet kuris R poaibis yra atvira aibė, taigi B R = 2 R.. Atviri diskrečiosios metrinės erdvės rutuliai yra arba vieno taško aibės arba visa R. 35
1.28 pratimas. Tegu (S, S) yra mati erdvė, A R yra tiršta aibė. T.y., kokį beimtume skaičių ε > 0, kiekvienam x R rasime tokį x ε A, kad x x ε < ε. Pavyzdžiui, racionaliųjų skaičių aibė Q yra tiršta. Įrodykite, kad funkcija f : S R yra mati tada ir tik tada, kai išpildoma viena iš šių sąlygų: (a) f 1 ((a, ]) S su kiekvienu a A; (a) f 1 ([a, ]) S su kiekvienu a A; (a) f 1 ([, a)) S su kiekvienu a A; (a) f 1 ([, a]) S su kiekvienu a A. 1.29 pratimas. Tarkime, funkcija f : R R yra tolydi visur išskyrus baigtinį arba skaitų taškų skaičių. Įrodykite, kad funkcija f yra Borelio. 1.30 pratimas. Įrodykite, kad bet kuri monotoninė funkcija f : R R yra Borelio. 36
2 skyrius Atsitiktiniai dydžiai 2.1 Apibrėžimai Fiksuokime tikimybinę erdvė (Ω, F, P ). Tuo atveju, kai tikimybinę erdvę siejame su kokiu nors statistiniu eksperimentu, aibę Ω interpretuojame kaip elementariųjų įvykių visumą, F eksperimento metu stebimų įvykių σ-algebrą, o P (A) reiškia įvykio A pasirodymo galimybė išreikšta skaičiumi iš intervalo [0, 1]. Visiškai bendru atveju, Ω galima interpretuoti kaip vsiumą Gamtos scenarijų, o A F yra scenarijų rinkinys, kurį Gamta parenka su tikimybe P (A). Matematine-tikimybine kalba, atsitiktinis dydis, apibrėžtas tikimybinėje erdvėje (Ω, F, P ), yra (F, B R ) - matus (trumpiau F-matus) atvaizdis X : Ω R, t.y., tokia funkcija kad X : Ω R, (2.1) {ω Ω : X(ω) A} F su kiekviena Borelio aibe A R (A B R ). Kadangi Borelio σ algebrą generuoja intervalai, pakanka, kad (2.1) savybė būtų teisinga šio pavidalo (2.2) [a, b), (, b), [a, ), (, ), a, b R aibėms A R. Taigi tie scenarijai ω Ω, dėl kurių atsitiktinio dydžio X reikšmės yra, tarkime, intervale [a, b), visados yra pamatuojami, t.y. {ω Ω : X(ω) [a, b)} F ir galime kalbėti apie tikimybę P ({ω : X(ω) [a, b)}). Trumpindami, vietoj P ({ω : X(ω) A}) dažnai rašysime P (X A). 2.1 teiginys. Jei X yra atsitiktinis dydis, o g : R R yra Borelio funkcija, t.y., tokia funkcija, kuriai g 1 (A) := {x R : g(x) A} B R, su kiekviena aibe A B R, tai g(x) yra atsitiktinis dydis. 37
Įrodymas. Išvedame iš 1.6 teoremos. Tolydžios funkcijos ir funkcijos turinčios ne daugiau nei skaičią trūkio taškų aibę yra Borelio (žr. 1.29 pratimą). Taigi pavyzdžiui, jei X yra atsitiktinis dydis, tai X 2, cos(x), 1/X, yra atsitiktiniai dydžiai. Visų atistiktinių dydžių, apibrėžtų tikimybinėje erdvėjs (Ω, F, P ) aibė žymima L 0 = L 0 (Ω, F, P ). Du atsitiktiniai dydžiai X 1 ir X 2, apibrėžti toje pačioje tikimybinėje erdvėje, vadinami ekvivalenčiais (žymėsime X 1 = X 2 arba X 1 = X 2 b.t., arba tiesiog X 1 = X 2 ), b.t. jei P (ω : X 1 (ω) X 2 (ω)) = 0. Galima įsitikinti, kad yra aibės L 0 ekvivalentumo sąryšis (žr. 2.3 pratimą). Atitinkama faktor aibė žymima L 0 = L 0 (Ω, F, P ): L 0 (Ω, F, P ) = L(Ω, F, P )/. Atsitiktinis dydis X apibrėžia σ algebrą F X := {X 1 (B) : B B R } F, kuri vadinama atsitiktinio dydžio X generuota σ algebra (žr. 2.1 pratimą), bei tikimybinį matą P X : P X (B) = P ({ω : X(ω) B}), B B R. Tikimybinis matas P X vadinamas atsitiktinio dydžio X skirstiniu. Taigi atsitiktinis dydis tikimybinę erdvę (Ω, F.P ) pakeičia kita tikimybine erdve (R, B R, P X ) arba (R, F X, P X ). Jei µ yra tikimybinis matas, apibrėžtas aibės R Borelio σ algebroje, tai egzistuoja tikimybinė ervdvė (Ω, F, P ) ir toks atsitiktinis dydis X : Ω R, kad P X = µ. Pakanka paimti Ω = R, F = B R ir apibrėžti X : Ω R, X(ω) = ω. 2.2 Pasiskirstymo funkcija ir kitos charakteristikos Atsitiktinio dydžio aprašymui naudojamos įvairios neatsitiktinės charakteristikos. Bene svarbiausia yra pasiskirstymo funkcija. Atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo funkcija yra realioji realaus argumento funkcija F X : R R, F X (x) = P (ω Ω : X(ω) x), x R. Pagrindines jos savybes aprašo šis teiginys. 2.2 teiginys. Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija F pasižymi šiomis savybėmis: (i) lim x + F (x) = 1, lim x F (x) = 0, (ii) F yra nemažėjanti: jei x < y tai F (x) F (y), (iii) F yra tolydi iš dešinės: F (x + h) F (x), jei h 0. Be to, kiekviena nemažėjanti tolydi iš dešinės ir tenkinanti (i) sąlygą funkcija F : R R yra kurio nors atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo funkcija, t.y. egzistuoja tokia tikimybinė erdvė (Ω, F, P ) ir toks joje apibrėžtas atsitiktinis dydis X, kad F = F X. Atsitiktiniai dydžiai X 1, X 2 yra vienodai pasiskirstę (žymėsime X 1 D = X2 ), jei jų pasiskirstymo funkcijos sutampa, t.y. F X1 (x) = P (ω : X 1 (ω) x) = P (ω : X 2 (ω) x) = F X2 (x) su visais x R. Čia atkreipiame dėmesį, kad vienodai pasiskirstę atsitiktiniai dydžiai nebūtinai turi būti apibrėžti vienoje tikimybinėje erdvėje. Ekonometrija bei finansų matematika paprastai nagrinėja tik diskrečiuosius ir tolydžiuosius atsitiktinius dydžius. 38
2.1 apibrėžimas. Atsitiktinis dydis X vadinamas diskrečiuoju, jeigu jo įgyjamų reikšmių aibė {x i } yra baigtinė arba skaiti. Diskretūs atsitiktiniai dydžiai pilnai aprašomi įgyjamomis reikšmėmis x 1, x 2,..., ir atitinkamomis tų reikšmių įgyjimo tikimybėmis p 1, p 2, : p k = p X (x k ) = P (ω : X(ω) = x k ), k = 1, 2,... Skaičių rinkinys (p X (x k )) (arba trumpiau (p k )) vadinamas diskrečiojo atsitiktinio dydžio X reikšmių tikimybių funkcija. Ji pasižymi šiomis savybėmis: (i) 0 p X (x k ) 1 su visais k (ii) p X (x) = 0, jei x x k ; (iii) k p X(x k ) = 1. Jei X yra diskretus atsitiktinis dydis su reikšmėmis x 1, x 2,... ir tai jo pasiskirstymo funkcija yra P (X = x k ) = p k, k = 1, 2,... F (x) = k: x k x p k, x R. Jei aibė A Ω yra mati (A F), tuomet (ir tik tuomet) indikatorinė funkcija { 1, kai ω A, 1 A (ω) = 0, kai ω A yra atsitiktinis dydis. Tai bene paprasčiausias diskretusis atsitiktinis dydis. 2.2 apibrėžimas. Atsitiktinį dydį X su pasiskirstymo funkcija F X vadiname tolydžiuoju, jei egzistuoja tokia neneigiama Borelio funkcija f X : R R, kad F X (x) = x f X (t) dt, x R. Jei nepasakyta kitaip, realaus argumento funkcijų integralai suprantami Lebego prasme. Funkcija f X vadinama atsitiktinio dydžio X tankio funkcija (tankiu). Ji pasižymi šiomis savybėmis: (i) f X (x) 0 su visais x R; (ii) f X(x) dx = 1; (iii) f X yra atkarpomis tolydi funkcija; (iv) P (ω : a < X(ω) b) = b a f X(x) dx su visais a < b; (v) Borelio aibei B R, B f(x) dx = P (X B). 39
Atsitiktinio dydžio X vidurkis (tikėtina reikšmė arba tipinė reikšmė) yra X integralas atžvilgiu tikimybinio mato P : E(X) = X(ω) dp (ω) = X dp. Ω Priminsime šio integralo apibrėžimą. Atskiru atveju, kai X yra diskretusis atsitiktinis dydis, tarkime, su reikšmėmis a 1, a 2,... ir A j = {ω : X(ω) = a j }, j = 1, 2,..., apibrėžiame X(ω) dp (ω) := a 1 P (A 1 ) + a 2 P (A 2 ) +. Ω Taigi E(1 A ) = P (A). Todėl vidurkis yra tam tikra prasme bendresnė sąvoka už tikimybę. Toliau remiamės šiuo faktu: jei X yra neneigiamas a.d. tai egzistuoja tokia neneigiamų diskrečiųjų a.d. seka X 1, X 2,..., kad X 1 (ω) X 2 (ω) ir, be to, lim X n(ω) = X(ω) n su visais ω Ω. Remdamiesi šiuo faktu, apibrėžiame X(ω) dp (ω) := lim n Ω Ω X n (ω) dp. Čia reikia pažymėti, kad riba visada egzistuoja (baigtinė arba begalinė), nes seka ( Ω X ndp, n 1) yra nemažėjanti. Galiausiai, jei X yra bet kuris atsitiktinis dydis, tuomet E(X) := E(X + ) E(X ), čia X + = max{x, 0}, X = min{x, 0}, jei tik bent vienas iš vidurkių E(X + ) arba E(X ) yra baigtinis. Jei abu vidurkiai EX + ir EX yra baigtiniai, tuomet E X <. Šiuo atveju sakome, kad a.d. X yra integruojamas. 2.3 teiginys. Neneigiamo tolydžiojo atsitiktinio dydžio vidurkis yra (2.3) E(X) = 0 P (ω : X(ω) > x) dx. Įrodymas. Šią formulę nesunkiai išvedame sukeitę integravimo tvarką: ( ) E(X) = X(ω) dp (ω) = 1 {X(ω)>t} dt dp (ω) = Ω 0 P (X > t) dt. Iš (2.3) gauname kitą svarbią formulę, kuri susieja atsitiktinio dydžio momentus su galimų didelių reikšmių tikimybėmis: jei p 1, tada (2.4) E X p = p 0 Ω 0 x p 1 P (ω : X(ω) > x) dx. Diskretaus neneigiamo sveikareikšmio a.d. vidurkiui skaičiuoti galima naudotis tokia formule. 40
2.4 teiginys. Jei X yra neneigiamas sveikareikšmis atsitiktinis dydis, tai (2.5) EX = P (X > k). k=0 Įrodymas. Įrodymui reikia sukeisti sumavimo tvarką: P (X > k) = k=0 = k=0 j=k+1 p j = jp j = EX. j=1 Atsitiktinio dydžio vidurkį galime išreikšti Rymano-Stiltjeso integralu atžvilgiu jo pasiskirstymo funkcijos: E(X) = 0 j=1 xdf X (x). Jei g : R R yra Borelio funkcija ir E g(x) <, tuomet E(g(X)) = g(x(ω)) dp (ω) = Atskiru atveju, jei X yra tolydusis a.d. su tankio funkcija f X, tai Eg(X) = Ω g(x) dp X (x) = Jei X yra diskretusis a.d. su reikšmių tikimybių funkcija (p k ) tuomet ( j 1 k=0 ) p j g(x) df X (x). g(x)f X (x) dx. Eg(X) = g(x) df X (x) = k g(x k )p k. Priminsime kitas svarbesnes diskrečiųjų bei tolydžiųjų atsitiktinių dydžių charakteristikas. n-tosios eilės momentas: { E(X n ) = xk f X (x)dx, kai X tolydus a.d. k xn k p X(x k ), kai X diskretus a.d. dispersija { σx 2 = var(x) = (x µ X) 2 f X (x)dx, kai X tolydus a.d. k (x k µ X ) 2 p X (x k ), kai X diskretus a.d. standartinis nuokrypis yra σ X - kvadratinė šaknis iš dispersijos. charakteristinė funkcija yra argumento t R, bendru atveju, kompleksinė funkcija c X (t) = Ee ıtx = E cos(tx) + ıe sin(tx). Čia ı = 1. 41
generuojanti funkcija yra argumento s > 0 funkcija g X (s) = Es X, s > 0. Funkcija g X yra apibrėžta tiems s > 0 su kuriais Es X <. 2.1 pavyzdys. Bernulio atsitiktinis dydis. Atsitiktinis dydis X turintis tik dvi galimas reikšmes 0 ir 1, vadinamas Bernulio atsitiktiniu dydžiu. Tikimybė, kad tas dydis įgis reikšmę 1 lygi p, o P (X = 0) = 1 p. Bernuli atsitiktinis dydis aprašo vieno kurio nors įvykio sėkmę nesekmę. Tai gali būti, tarkime, vartotojo sprendimas pirkti kurią nors prekę; banko sprendimas apie kredito išdavimą; darbdavio sprendimas apie priėmimą į darbą ir t.t. Jo vidurkis ir dispersija yra atitinkamai µ X = p ir σ 2 X = p(1 p). 2.2 pavyzdys. Binominis atsitiktinis dydis. Jei atliekame n bandymų, kiekviename iš kurių įvykis pasirodo su tikimybe p ir nepasirodo su tikimybe 1 p, tuomet įvykio pasirodymų skaičius X yra Binominis atsitiktinis dydis (žymime X b(k; n, p)). Jo galimos reikšmės yra 0, 1,..., n ir atitinkamos tikimybės P (X = k) = b(k; n, p) := ( n k ) p k (1 p) n k, k = 0, 1,..., n. Be to, µ X = E(X) = np, σ 2 X = var(x) = np(1 p), o generuojanti funkcija yra g X (s) = (1 p + ps) n, s > 0. 2.3 pavyzdys. Puasono atsitiktinis dydis. Puasono atsitiktinis dydis X yra diskretusis atsitiktinis dydis, kurio reikšmės yra 0, 1, 2, 3,..., o atitinkamos tikimybės P (X = k) = p(k; λ) := λk k! e λ su kiekvienu k = 0, 1,... (žymėsime X p(k; λ)). Čia λ > 0 yra Puasono parametras, dar vadinamas intensyvumu. Tai labai plačiai naudojamas atsitiktinis dydis, dažniausiai aprašantis kokių nors įvykių pasirodymo skaičių vienetinio ilgio laiko intervale, kai vidutinis tų įvykių pasirodymas per tą patį laiką yra λ. Pavyzdžiui, skambučių skaičius per tam tikrą laiką (valandą, dieną ir t.t.); fiksuotame laiko intervale kreditinių kortelių panaudojimo bankomate skaičius; per tam tikrą laiko intervalą (per dieną, valandą ar pan.) užeinančių į parduotuvę pirkėjų skaičius. Puasono atsitiktinis dydis labai paplitęs modeliuojant skaičiuojančiuosius procesus. Tegu X yra Puasono atsitiktinis dydis su parametru λ > 0. Tuomet EX = =λ k=0 k=1 k λk k! e λ = k=1 λ k 1 (k 1)! e λ = λ. k λk k! e λ Norėdami suskaičiuoti Puasono atsitiktinio dydžio dispersiją, pirmiausia suskaičiuojame EX(X 1) = k=2 k(k 1) λk k! e λ = λ 2. 42
Kadangi EX 2 = EX(X 1) + EX = λ 2 + λ, tai dispersija yra Puasono atsitiktinio dydžio generuojanti funkcija yra var(x) = EX 2 (EX) 2 = λ. g X (s) = e λ(s 1), s > 0. 2.4 pavyzdys. Geometrinis atsitiktinis dydis. Bandymą, kuriame įvykis pasirodo su tikimybe p tol kartojame, kol įvykis pasirodo. Reikalingų tam bandymų skaičius X ir turi geometrinį skirstinį (žymėsime X g(n; p). Atitinkamos tikimybės yra Pažymėję q = 1 p, suskaičiuojame P (X = n) = (1 p) n p, n = 0, 1, 2,... ( k ) EX = kq k p = p kq k = p 1 q k =p = k=0 j=1 k=j k=0 k=0 q j = p q j (1 q) 1 q j = q p. j=1 j=1 Geometrinio atsitiktinio dydžio generuojanti funkcija yra g X (s) = j=1 p 1 qs, 0 < s < q 1. 2.5 pavyzdys. Tolygusis a.d. Atsitiktinis dydis X vadinamas tolygiuoju intervale (a, b), jei jo tankio funkcija yra 1 f X (x) = b a, kai a < x < b 0 kitur. Tolygiojo a.d. pasiskirstymo funkcija yra 0, kai x a x a F X (x) =, kai a < x < b; b a 1 kai x b. Kitos jo skaitinės charakteristikos: vidurkis µ X = E(X) = a+b 2, dispersija σ2 (b a)2 X = var(x) = 12. 2.6 pavyzdys. Eksponentinis a.d. Atsitiktinis dydis X vadinamas eksponentiniu su parametru λ > 0 (žymėsime X exp{λ}), jei jo tankio funkcija yra f X (x) = { λe λx, kai x > 0 0 kitur. 43
Eksponentinio a.d. pasiskirstymo funkcija yra { 1 e λx, kai x 0; F X (x) = 0 kai x < 0. Kitos jo charakteristikos yra: vidurkis µ X = E(X) = 1 λ, dispersija σ2 X = var(x) = 1 λ 2. Eksponentiniai atsitiktiniai dydžiai taikomi modeliuojant draudiminius įvykius. 2.7 pavyzdys. Normalusis a.d. Atsitiktinis dydis X vadinamas normaliuoju su parametrais (µ, σ 2 ) (žymėsime X N (µ, σ 2 )), jei jo tankio funkcija yra f X (x) = 1 { (x } µ)2 exp 2πσ 2σ 2, x R. Parametrai µ ir σ 2 yra atitinkamai vidurkis ir dispersija. Atsitiktinis dydis X N (0, 1) vadinamas standartiniu normaliuoju. Jo pasiskirstymo funkcija žymima Φ: Φ(x) = 1 2π x e s2 /2 ds, x R. A.d. X N (0, σ 2 ) charakteristinę bei generuojančią funkcijas galime rasti pasinaudoję šia formule: su visais u R E exp{ux} = 1 σ e ux e x2 /2σ 2 dx = 1 2π σ 2π eσ2 u2 /2 e ux e (x σ2 u) 2 /2σ 2 dx = exp{σ 2 u 2 /2}. Normalusis atsitiktinis dydis, kurio vidurkis yra µ, o dispersija σ 2 reikšmes iš intervalo [µ 1.96σ, µ+1.96σ] įgyja su tikimybe 0.95: Šis sąryšis plačiai taikomas statistikoje. P (µ 1.96σ X µ + 1.96σ) = Φ(1.96) Φ( 1.96) = 0.95. 2.3 Atsitiktiniai vektoriai Jei X 1,..., X d yra atsitiktiniai dydžiai, apibrėžti vienoje tikimybinėje erdvėje (Ω, F, P ), tai jų sutvarkytas rinkinys X = (X 1,..., X d ) vadinamas atsitiktiniu vektoriumi. Norėdami jį interpretuoti kaip atsitiktinį erdvės R d elementą, turime apibrėžti atitinkamą tos erdvės σ algebrą. 2.3 apibrėžimas. Erdvės R d Borelio σ algebra B R d yra mažiausia σ algebra, kuriai priklauso aibės A 1 A d, A 1,..., A d B R. Galima įsitiktinti (žr, 2.21 pratimą), kad atsitiktinis vektorius X = (X 1,..., X d ) yra F/B R d-matus atvaizdis: X 1 (B) F, B B R d. Taigi, atsitiktinis vektorius yra atsitiktinis erdvės R d elementas. Ir atvirkščiai, jei X : Ω R d yra F/B R d- matus atvaizdis, tuomet X = (X 1,..., X d ) ir X i, i = 1,..., d yra atsitiktiniai dyžiai. 44
Atsitiktinio vektoriaus X = (X 1,..., X d ) pasiskirstymo funkcija vadiname d kintamųjų funkciją F X (x) = F X (x 1,..., x d ) = P (ω : X 1 (ω) x 1,..., X d x d ), x = (x 1,..., x d ) R d. Atsitiktinio vektoriaus X = (X 1,..., X d ), kurio pasiskirstymo funkcija yra F X (x 1,..., x d ) komponentės X k marginalinė pasiskirstymo funkcija yra F k (x k ) = F X (+,, +, x k, +,..., + ) : lim F X(x 1,..., x d ), x k R. x 1,...,x k 1,x k+1,...,x d Analogiškai apibrėžiame ir bet kurio vektoriaus X = (X 1,..., X d ) kooedinačių rinkinio (X k1,..., X kq ) marginalinę pasiskirstymo funkciją F k1,...,k q (x k1,..., x kq ) = lim F X(x 1,..., x d ). x j,j {1,...,d}\{k 1,...,k q} Bet kuri d-mačio atsitiktinio vektoriaus pasiskirstymo funkcija F pasižymi šiomis savybėmis: (i) kiekvienam k, 1 k d, F (x 1,..., x d ) 0, kai x k ; (ii) F (x 1,..., x d ) 1, kai x 1,..., x d ; (iii) F yra tolydi iš dešinės kiekvieno argumento atžvilgiu; (iv) su bet kuriais a i < b i, i = 1,..., d, ( 1) ε 1+ +ε d F (ε 1 a 1 + (1 ε 1 )b 1,..., ε d a d + (1 ε d )b d ) 0. ε 1,...ε d =±1 Ir atvirkščiai, jei d kintamųjų funkcija F (x 1,..., x d ) pasižymi (i) (iv) savybėmis, tai ji yra kurio nors atsitiktinio vektoriaus pasiskirstymo funkcija. Atsitiktiniai vektoriai X 1 = (X 11,..., X 1d ), X 2 = (X 21,..., X 2d ) yra ekvivaletūs X 1 X 2 arba lygūs beveik tikrai X 1 = X 2 b.t., jei P ({ω : X 1 (ω) X 2 (ω)}) = 0; vienodai pasiskirstę (žymėsime X 1 D = X2 ), jei jų pasiskirstymo funkcijos sutampa, t.y. P (ω : X 11 (ω) x 1,..., X 1d (ω) x d ) = P (ω : X 21 (ω) x 1,..., X 2d x d ) su visais (x 1,..., x d ) R d. Sakysime, kad atsitiktinis vektorius X R d turi tankio funkciją f X jei f X : R d R yra tokia neneigiama Borelio funkcija, kad P (a i < X i b i, i = 1,..., d) = b1 a 1 su bet kuriais realiaisiais skaičiais a i < b i, i = 1,..., d. 2.5 teiginys. Jei funkcija g : R d R m yra Borelio, t.y. bd a d f X (x 1,..., x d )dx 1 dx d, g 1 (A) B R d su kiekviena aibe A B R m, tai g(x 1,..., X d ) yra m-matis atsitiktinis vektorius. 45
Atskiru šio teiginio atveju gauname, kad su kiekviena Borelio funkcija g : R d R, g(x) yra atsitiktinis dydis, jei X yra atsitiktinis vektorius. Taigi galime kalbėti apie to atsitiktinio dydžio įvairias skaitines charakteristikas. Tolydi funkcija arba funkcija turinti ne daugiau nei skaičią trūkio taškų aibę yra Borelio. Taigi pavyzdžiui, jei X 1, X 2 yra atsitiktiniai dydžiai, tai X 1 + X 2, X 1 X 2, X 1 /X 2 yra atsitiktiniai dydžiai. Atsitiktinio vektoriaus X = (X 1,..., X d ) vidurkis yra vektorius E(X) = (E(X 1 ),..., E(X d )). Atsitiktinio vektoriaus X = (X 1,..., X d ) kovariacinė matrica yra matrica Γ X = (Γ X (i, j)) 1 i,j d = (cov(x i, X j )) 1 i,j d ; čia Γ X (i, j) = cov(x i, X j ) = E(X i X j ) E(X i )E(X j ), yra atsitiktinių dydžių X i ir X j kovariacija, i, j = 1,..., d. Matrica Γ X yra simetrinė ir neneigiamai apibrėžta, t.y., Γ X (i, j) = Γ X (j, i) ir d Γ X (i, j)a i a j 0 i,j=1 su visais realiaisais skaičiais a 1,..., a d. Kovariacinės matricos simetriškumas yra matomas tiesiog apibrėžime, o jos neneigiamą apibrėžtumą gauname iš šių lygybių: d Γ X (i, j)a i a j = i,j=1 d ( d ) cov(x i, X j )a i a j = var a i X i 0. i,j=1 2.8 pavyzdys. Atsitiktinis vektorius X = (X 1,..., X d ) turi normalųjį skirstinį su parametrais m ir Γ (trumai žymėasime X N (m, Γ)), jei jo tankio funkcija yra { f X (x 1,..., x d ) = (2π det(γ)) d/2 exp 1 2 d i,j=1 i=1 } (x i m i )(x j m j )Γ 1 (i, j). Čia m = (m 1,..., m d ) R d yra atsitiktinio vektoriaus X vidurkio vektorius, Γ = (Γ(i, j)) - kovariacinė matrica, o Γ 1 = (Γ 1 (i, j)) - jos atvirkštinė matrica. Atsitiktinis vektorius X N (0, I); čia I yra vienetinė matrica, vadinamas standartiniu normaliuoju. Jei Γ yra diagonalinė matrica, Γ = diag(σ1 2,..., σ2 d ), tuomet atsitiktinio vektoriaus X tankio funkcija yra normaliųjų tankio funkcijų sandauga: f X (x 1,..., x d ) = d ( 1 2πσi 2 i=1 ) exp{ (x i m i ) 2 /2σi 2 }. Jei X N (m, Γ) ir A yra bet kuri d d matrica, tai atsitiktinis vektorius AX turi normalinį skirstinį su parametrais Am ir AΓA (A žymi transponuotą matricą). 46
2.4 Nepriklausomumas Nepriklausomumo sąvoka yra bene svarbiausia tikimybių teorijoje. Tegu (Ω, F, P ) yra tikimybinė erdvė. 2.4 apibrėžimas. Įvykiai A, B F yra vadinami tarpusavyje P -nepriklausomais, jei P (A B) = P (A)P (B). Nagrinėkime tikimybinę erdvę, atitinkančią taisyklingo lošimo kauliukų metimą. Įvykiai ir nėra nepriklausomi.tačiau įvykiai B ir A = {dviejų mestų kauliukų iškritusių taškų suma yra 6} B = {pirmame kauliuke iškrito 4} C = {dviejų mestų kauliukų iškritusių taškų suma yra 7} yra nepriklausomi. Pažymėsime, kad įvykiai gali būti tarpusavyje nepriklausomi vieno tikimybinio mato atžvilgiu, bet priklausomi atžvilgiu kito (žr. 2.25 pratimą). 2.5 apibrėžimas. Įvykiai A 1,..., A n vadinami: poromis tarpusavyje P -nepriklausomais, jei P (A j A k ) = P (A j )P (A k ), kai k j; tarpusavyje P -nepriklausomais, jei su bet kuriais 1 i 1 < i 2 < < i k n, P (A i1 A ik ) = P (A i1 ) P (A ik ), Begalinis rinkinys įvykių yra tarpusavyje P -nepriklausomi, jei bet kuris baigtinis jų porinkinis yra tarpusavyje P -nepriklausomi. Dvi aibės Ω poaibių σ algebros F 1 ir F 2 vadinamos P -nepriklausomomis, jei kai A F 1, B F 2. P (A B) = P (A)P (B), Galima įsitikinti, kad poromis tarpusavio P -nepriklausomumas negarantuoja tarpusavio P -nepriklausomumo (žr. 2.26 pratimą). Šiuose apibrėžimuose, tikimybinį matą P praleisime, kai jis yra žinomas iš konteksto, t.y., vietoj P - nepriklausomi sakysime tiesiog nepriklausomi. 2.6 apibrėžimas. Atsitiktiniai dydžiai X ir Y, apibrėžti vienoje tikimybinėje erdvėje vadinami nepriklausomais, jei σ algebros F X ir F Y yra nepriklausomos. Analogiškai, atsitiktiniai vektoriai X = (X 1,... X m ) ir Y = (Y 1,..., Y d ), apibrėžti vienoje tikimybinėje erdvėje vadinami nepriklausomais, jei jų generuotos σ algebros F X ir F Y yra nepriklausomos. 47
Galima įrodyti (žr. 2.28 pratimą), kad atsitiktiniai dydžiai X ir Y yra nepriklausomi tada ir tik tada, kai P (X x, Y y) = P (X x)p (Y y), x, y R. Ši nepriklausomumo savybė sugeneruoja įvairius atsitiktinių dydžių priklausomumo modelius. Pavyzdžiui, atsitiktiniai dydžiai X ir Y yra vadinami neigiamai priklausomais, jei P (X x, Y y) P (X x)p (Y y) ir P (X x, Y y) P (X x)p (Y y) su visais x, y R. Jei vektoriai X = (X 1,... X m ) ir Y = (Y 1,..., Y d ) yra nepriklausomi, tai nepriklausomi yra ir atsitiktiniai dydžiai h(x), g(y ), kokios bebūtų Borelio funkcijos h : R m R ir g : R d R (žr. 2.27 pratimą). 2.7 apibrėžimas. Atsitiktiniai dydžiai X ir Y, kuriems EX 2 < ir EY 2 < vadinami nekoreliuotais, jei E(XY ) = E(X)E(Y ). Atsitiktinių dydžių koreliacija rodo tam tikrą tų dydžių tarpusavio priklausomybę. Jei jie yra nepriklausomi tai ir nekoreliuoti. Bet atvirkščiai nebūtinai. Pavyzdžiui, jei X N (0, 1), tai atsitiktiniai dydžiai X 1 = X ir X 2 = X 2 yra akivaizdžiai priklausomi, bet nekoreliuoti : E(X 1 X 2 ) = E(X 3 ) = 0 = E(X 1 )E(X 2 ). Šis teiginys paaiškina nepriklausomumo sąryšį su koreliacija. 2.6 teiginys. Su bet kuriais m 1, d 1 atsitiktiniai vektoriai X = (X 1,... X m ) ir Y = (Y 1,..., Y d ), apibrėžti vienoje tikimybinėje erdvėje yra nepriklausomi tada ir tik tada, kai E(h(X 1,..., X m )g(y 1,..., Y d )) = Eh(X 1,..., X m )Eg(Y 1,..., Y d ), bet kurioms aprėžtoms Borelio funkcijoms h : R m R ir g : R d R. Pritaikę teiginį dviems atsitiktiniams dydžiams matome, kad atsitiktiniai dydžiai X 1 ir X 2 yra nepriklausomi tada ir tik tada, kai atsitiktiniai dydžiai h(x 1 ) ir g(x 2 ) yra nekoreliuoti su bet kuriomis aprėžtomis Borelio funkcijomis g, h : R R. Tikimybių teorija negrinėja įvairius atsitiktinių dydžių priklausomumo modelius. 2.8 apibrėžimas. Tegu sveikasis skaičius m 1. Atsitiktiniai dydžiai X 1, X 2,... vadinami m-priklausomais, jei atsitiktiniai dydžiai X i ir X j yra nepriklausomi, kai tik i j m. 2.9 pavyzdys. Tarkime, Y 0, Y 1, Y 2,... yra nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai. Apibrėžkime X j = Y j 1 + Y j, j = 1, 2,... Tuomet atsitiktiniai dydžiai X 1, X 2,... yra 2-priklausomi. Kitokius atsitiktinių dydžių priklausomumo modelius (pavyzdžiui, martingalinis, markoviškas priklausomumai) sutiksime studijuodami atsitiktinius procesus. 48
2.5 Sąlyginis vidurkis Įvykio A F sąlyginė tikimybė su sąlyga, kad įvyko įvykis B F, apskaičiuojama pagal formulę P (A B) = P (A B). P (B) Sąlyginės tikimybės interpretacija paprasta. Tarkime, kad įvykis B įvyko. Ši, papildoma informacija, leidžia pakeisti tikimybinę erdvę. Priskirkime nulinę tikimybę įvykiui B c, o vienetą įvykiui B. Taip įvykis B pasidaro nauja elementariųjų įvykių erdve, tarkime, Ω, o įvykiais dabar yra jos matūs jos poaibiai A B Ω (žr. 3.2 pratimą). Naujoje erdvėje apibrėžiame tikimybinį matą normalizuodami senąsias tikimybes P (A B) skaičiumi P (B). Jei P (B) > 0 ir X atsitiktinis dydis, tai jo sąlyginė pasiskirstymo funkcija atžvilgiu B yra funkcija o sąlyginis vidurkis: F X (x B) = P (X x, B), x R, P (B) E(X B) = 1 P (B) EX1 B. 2.10 pavyzdys. Imkime Ω = (0, 1], F = B (0,1] - jos Borelio σ algebrą, o tikimybę P apibrėžkime taip, kad P ((a, b]) = b a. Apibrėžkime atsitiktinį dydį X(ω) = ω, ω Ω. Nesunku įsitikinti, kad X turi tolygųjį pasiskirstymą ir EX = 0.5. Jei B = (0, 1/4], tai E(X B) = 1 P (B) EX1 B = 1 P (B) 1/4 0 x dx = 1 8. Dabar tarkime, kad Y yra diskretusis atsitiktinis dydis, apibrėžtas aibėje Ω ir įgyjantis reikšmes y i, i = 1, 2,.... Nemažindami bendrumo galime tarti kad tos reikšmės yra skirtingos ir Tuomet aibių rinkinys (B i ) yra aibės Ω skaidinys: B i = {ω : Y (ω) = y i }, i = 1, 2,... B i B j =, kai i j ir B i = Ω. i=1 Be to, tarsime, kad P (B i ) > 0, su visais i = 1, 2,.... 2.9 apibrėžimas. Atsitiktinio dydžio X, apibrėžto aibėje Ω ir turinčio baigtinį vidurkį (E X < ) sąlyginiu vidurkiu atžvilgiu atsitiktinio dydžio Y vadinamas toks diskretusis atsitiktinis dydis E(X Y ), kad E(X Y )(ω) = E(X B i ) = E(X Y = y i ), kai ω B i, i = 1, 2,... Jei žinome, kad įvyko įvykis B i, tuomet apsiribojame tik tais ω, kurie priklauso aibei B i. Tiems ω, E(X Y )(ω) sutampa su sąlyginiu vidurkiu E(X B i ). 2.11 pavyzdys. Tęskime 2.10 pavyzdį. Tegu a.d. Y yra apibrėžtas toje pačioje tikimybinėje erdvėje kaip ir X, tokiu būdu: { ω/2, kai ω [0, 1/4) Y (ω) = 2ω, kai ω [1/4, 1]. 49
Tuomet E(X Y )(ω) = Išvardinsime kelias sąlyginio vidurkio savybes: Sąlyginis vidurkis yra tiesinė funkcija: { 1/8, kai ω [0, 1/4) 5/8, kai ω [1/4, 1]. E([aX + bz] Y ) = ae[x Y ] + be[z Y ]. Atsitiktinių dydžių X ir E[X Y ] vidurkiai sutampa: EX = E(E[X Y ]). Šių savybių įrodymą paliekame vietoj pratimo. Sąlyginis vidurkis E[X Y ], kai Y diskretusis a.d. yra diskretus a.d. Tam tikra prasme, tai yra šiurkštesnė (grubesnė) a.d. X versija. Kuo mažiau reikšmių įgyja Y, tuo grubesnis yra a.d. E[X Y ]. Taip, jei Y = const, tai E[X Y ] = EX; jei Y įgyja dvi skirtingas reikšmes, tai toks yra ir sąlyginis vidurkis E[X Y ]. Sąlyginis vidurkis E[X Y ] yra Y funkcija: E[X Y ] = g(y ), čia g(y) = E[X Y = y i ]1 {yi }(y). i=1 Iš sąlyginio vidurkio E[X Y ] apibrėžimo, kai Y yra diskretus atsitiktinis dydis, aišku, kad a.d. Y reikšmės čia visai nesvarbios, bet svarbūs įvykiai lemiantys tas reikšmes. Todėl sąlyginį vidurkį galime suprasti kaip atsitiktinį dydį sukonstruotą pagal su dydžiu Y susijusią įvykių aibę, tarkime σ(y ) ir simboliškai, vietoj E[X Y ] rašyti E[X σ(y )]. Aišku, kad σ(y ) suteikia visą informaciją apie a.d. Y, kaip ω Ω funkciją. Priminsime, kad atsitiktinius dydžius nagrinėjame apibrėžtus tikimybinėje erdvėje (Ω, F, P ). Tarkime, G yra kita aibės Ω poaibių σ algebra ir G F. 2.10 apibrėžimas. Atsitiktinio dydžio X sąlyginis vidurkis atžvilgiu σ algebros G yra toks G-matus atsitiktinis dydis E(X G), kuriam E(E(X G)1 F ) = E(X1 F ), su kiekviena aibe F G. Sąlyginis vidurkis E(X Y ) = E(X F Y ), kai F Y yra mažiausia σ algebra atžvilgiu kurios yra matus atsitiktinis dydis Y. Įvykio A F sąlyginė tikimybė atžvilgiu G yra P (A G) = E(1 A G). Svarbu įsidėmėti, kad sąlyginis vidurkis ir sąlyginė tikimybė atžvilgiu kurios nors σ algebros yra atsitiktinis dydis. Jei σ algebra G yra generuota baigtiniu skaidiniu {B 1,..., B n }, tuomet E(X G) = n k=1 1 P (B k ) E(X1 B k )1 Bk. Jei atsitiktinis vektorius (X, Y ) yra aprašomas tankio funkcija f(x, y), tai atsitiktinio dydžio X sąlyginė tankio funkcija, kai fiksuota dydžio Y reikšmė y, yra f(x y) = f(x, y) f Y (y), 50
kai f Y (y) yra atsitiktinio dydžio Y marginalioji tankio funkcija. Tuomet P (a < X b Y = y) = E(X Y = y) = b a xf(x y)dx. f(x y)dx, Išvardinsime paprasčiausias sąlyginio vidurkio savybes. Lygybės tarp atistiktinių dyžių yra lygybės beveik tikrai. 1) Jei X = c b.t., tai E(X G) = c b.t. 2) E(aX + by G) = ae(x G) + be(y G); 3) Jei σ algebros F X ir G yra nepriklausomos, tai E(X G) = EX; 4) Jei X yra G-matus, tai E(X G) = X; 5) Jei X Y b.t., tai E(X G) E(Y G) b.t. 6) E(X G) E( X G); 7) Dvigubo vidurkinimo taisyklė: jei σ-algebros G 1 ir G 2 tenkina G 1, G 2 F, tai E(E(X G 2 ) G 1 ) = E(X G 1 ). 8) Jei Y yra G-matus, tai E(XY G) = Y E(X G). 9) Jenseno nelygybė: jei h : R R yra iškiloji funkcija (t.y., h(λx + (1 λ)y) λh(x) + (1 λ)h(y) su visais λ [0, 1] ir x, y R), tuomet h(e(x G)) E(h(X) G). 2.6 Naudingi tikimybių teorijos faktai Šiame skirelyje surinkti naudingi tikimybių teorijos faktai, kuriais ateityje naudosimės. Čebyševo nelygybė: jei λ > 0, tai Švarco nelygybė: E(XY ) P ( X > λ) λ p E X p. ( EX 2 EY 2 ) 1/2. Hiolderio nelygybė: jei skaičiai p, q > 1 tenkina sąryšį 1/p + 1/q = 1, tai E(XY ) ( E X p) 1/p( E Y q ) 1/q. Jenseno nelygybė: jei funkcija φ : R R yra iškila, tai φ(e(x)) E(φ(X)). 51
Atsitiktinių dydžių sekoms apibrėžiami kelių tipų konvergavimai. Tarkime, atsitiktinių dydžių seka (X n ) ir a.d. X yra apibrėžti vienoje tikimybinėje erdvėje (Ω, F, P ). b.t. Konvergavimas beveik tikrai: Seka (X n ) konverguoja beveik tikrai prie X (X n X), jei egzistuoja tokia mati aibė N F, kad P (N) = 0 ir su visais ω N. lim X n(ω) = X(ω), n Konvergavimas pagal tikimybę: Seka (X n ) konverguoja pagal tikimybę prie X (X n su visais ε > 0. lim P ( X n X > ε) = 0, n P X), jei Konvergavimas p-ojo momento prasme: tegu p 1. Seka (X n ) konverguoja p-ojo momento praseme (L p -prasme) prie X (X n Lp X), jei lim E X n X p = 0. n Sekos (X n ) konvergavimo pagal skirstinį apibrėžimui jau nėra būtina, kad tie dydžiai būtų apibrėžti vienoje tikimybinėje erdvėje. Konvergavimas pagal skirstinį: Seka (X n ) konverguoja pagal skirstinį prie X (X n su bet kuria aprėžta tolydžia funkcija f : R R. lim Ef(X n) = Ef(X) n Pasiskirstymo funkcijų terminais konvergavimas pagal skirstinį yra ekvivalentus kiekvienam funkcijos F tolydumo taškui x R. Sąryšius tarp konvergavimo tipų nusako šis teiginys. lim F X n n (x) F X (x) 2.7 teiginys. Tegu (X n ) yra a.d. seka, a.d. X R. Teisingi šie teiginiai: 1. X n b.t. X X n P X; 2. X n Lp X X n P X; 3. X n P X X n D X; 4. X n D C(konstanta) Xn P X; 3. X n P X egzistuoja posekis X nk b.t. X. D X), jei Tikimybių teorijai labai svarbūs yra didžiųjų skaičių dėsnis bei centrinė ribinė teorema. Silpnasis didžiųjų skaičių dėsnis yra šis teiginys. 52
2.8 teiginys. (Silpnasis didžiųjų skaičių dėsnis) Tegu (X n ) yra nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių atsitiktinių dydžių seka. Tuomet n 1 P (X 1 + + X n ) 0 tada ir tik tada, kai lim t tp ( X 1 > t) = 0; lim n EX1{ X > n} = 0. Stiprusis didžiųjų skaičių dėsnis ir centrinė ribinė teorema suformuluoti šiuose teiginiuose. 2.9 teiginys. (Stiprusis didžiųjų skaičių dėsnis) Tegu (X n ) yra seka nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių a.d. Tuomet n 1 (X 1 + + X n ) b.t. EX 1. tada ir tik tada, kai E X 1 <. 2.10 teiginys. (Centrinė ribinė teorema) Tegu (X n ) yra seka nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių a.d. su vidurkiu µ = EX 1 ir baigtine dispersija σ 2 = EX1 2 <. Tuomet 2.7 Pratimai Z n = n 1/2 (X 1 + + X n nµ) 2.1 pratimas. Įsitikinkite, kad F X yra σ algebra. 2.2 pratimas. Įrodykite 2.1 teiginį. D N (0, 1). 2.3 pratimas. Įrodykite kad atsitiktinių dydžių lygybė beveik tikrai yra ekvivalentumo sąryšis. 2.4 pratimas. Įrodykite, kad atsitiktinių dydžių X ir X skirstiniai sutampa, jei sutampa jų pasiskirstymo funkcijos. 2.5 pratimas. Įrodykite, kad λf + (1 λ)g yra pasiskirstymo funkcija, kai F ir G yra pasiskirstymo funkcijos, o λ [0, 1]. Ar sandauga F G yra pasiskirstymo funkcija? 2.6 pratimas. Įrodykite, kad tolydžiam atsitiktiniam dydžiui X, P (ω : X(ω) = x) = 0. 2.7 pratimas. Tegu (X n ) yra atsitiktinių dydžių seka. Įsitikinkite, kad (a) lim sup n X n, yra atsitiktinis dydis; (b) lim inf n X n yra atsitiktinis dydis; (c) aibė {ω : lim n X n (ω) egzistuoja} yra mati; { lim n X n (ω), jei riba egzistuopja (d) X(ω) =. 0, kitur. Įsitikinkite, kad X yra atsitiktinis dydis. 53
2.8 pratimas. Įrodykite, kad λf + (1 λ)g yra tankio funkcija, kai f ir g yra tankio funkcijos, o λ [0, 1]. Ar sandauga fg yra tankio funkcija? 2.9 pratimas. Tarkime, X yra atsitiktinis dydis su tankio funkcija kai x R. Raskite var(x). 2.10 pratimas. Atsitiktinių dydžių f X (x) = λ 2 e λ x, X + = max{0, X}, X = min{0, X}, X = X + + X, X pasiskirstymo funkcijas išreiškite atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo funkcija F X. 2.11 pratimas. Atvaizdis d : S S R vadinamas aibės S metrika, jei yra teisingos šios savybės: (i) d(s, t) = d(t, s) 0 su visais s, t S, (ii) d(s, t) = 0 tada ir tik tada, kai s = t, (iii) d(s, t) d(s, u) + d(u, t) su visais s, t, u S. (a) Levi metrika. Pasiskirstymo funkcijoms F ir G, Levi metrika yra d L (F, G) = inf{ε > 0 : G(x ε) F (x) G(x + ε), visiems x}. Įrodykite, kad d L yra pasiskirstymo funkcijų aibės metrika. (b) Pilnosios variacijos metrika. Tegu X ir Y yra sveikareikšmiai atsitiktiniai dydžiai ir d T V (X, Y ) = k P (X = k) P (Y = k). Įrodykite, kad funkcija d T V tenkina pirmą ir trečią metrikos savybes ir d T V (X, Y ) = 0 tada ir tik tada, kai P (X = Y ) = 1. (c) Įrodykite, kad 2.12 pratimas. Įrodykite, kad d T V (X, Y ) = 2 sup P (X A) P (Y A). A Z argmin a R E(X a) 2 = EX. 2.13 pratimas. Tarkime, X yra Puasono atsitiktinis dydis su parametru λ. Raskite E(1/(X + 1)). 2.14 pratimas. Tegu X, Y yra nepriklausomi eksponentiniai atsitiktiniai dydžiai su parametru λ. Raskite E X Y. 2.15 pratimas. Tegu X N (0, σ 2 ). Žinodami, kad { 1 Ee λx = exp 2 λ2 σ 2} su visais λ R, išveskite: 54
(a) EX 2k = (2k)! 2 k k! σ2k, k = 1, 2,... ; (b) EX 2k 1 = 0, k = 1, 2,.... 2.16 pratimas. Įrodykite, kad Puasono atsitiktinio dydžio X su paramatru λ charakteristinė funkcija yra lygi c X (t) = exp{λ(e it 1)}, t R. Remdamiesi šia formule suskaičiuokite EX 2, var(x), EX 3. 2.17 pratimas. Tegu X yra Bernulio atsitiktinis dydis, P (X = 0) = 1 p, P (X = 1) = p. Tegu Y = 1 X, o Z = XY. Raskite P (X = x, Y = y) ir P (X = x, Z = z), kai x, y, z [0, 1]. 2.18 pratimas. Įrodykite, kad a.d. X p(k; λ), generuojanti funkcija yra g X (s) = e λ(s 1), s > 0. 2.19 pratimas. Tarkime g(s) yra atsitiktinio dydžio generuojanti funkcija, kurios konvergavimo spindulys nemažesnis už 1. Įrodykite, kad funkcija g(s) yra be galo daug kartų diferencijuojama. 2.20 pratimas. Įrodykite šią generuojančių funkcijų savybę: Jei X 1, X 2 yra nepriklausomi neneigiami sveikareikšmiai a.d., kurių generuojančios funkcijos yra g Xi (s), 0 s 1, i = 1, 2, tai g X1 +X 2 (s) = P X1 (s)p X2 (s). 2.21 pratimas. Įsitikinkite, kad jei X 1,, X d yra vienoje tikimybinėje erdvėje (Ω, F, P ) apibrėžti atsitiktiniai dydžiai, tai vektorius (X 1,..., X d ) yra F/B R d-matus. 2.22 pratimas. Įrodykite 2.5 teiginį. 2.23 pratimas. Tarkime, vektoriaus (X, Y ) pasiskirstymo funkcija yra F. Įrodykite, kad kai a < b, c < d. P (a < X b, c < Y d) = F (b, d) F (a, d) F (b, c) + F (a, c), 2.24 pratimas. Ar funkcija F (x, y) = 1 exp{ xy}, 0 x, y < yra kokio nors atsitiktinio vektoriaus pasiskirstymo funkcija? 2.25 pratimas. Sukonstruokite dviejų įvykių pavyzdį,kurie būtų tarpusavyje nepriklausomi vieno tikimybinio mato atžvilgiu, bet priklausomi atžvilgiu kito. 2.26 pratimas. Įsitikinkite, kad poromis tarpusavio P -nepriklausomumas negarantuoja tarpusavio P -nepriklausomumo. 2.27 pratimas. Įsitikinkite, kad jei vektoriai X = (X 1,... X m ) ir Y = (Y 1,..., Y d ) yra nepriklausomi, tai nepriklausomi yra ir atsitiktiniai dydžiai h(x), g(y ), kokios bebūtų Borelio funkcijos h : R m R ir g : R d R. 55
2.28 pratimas. Įrodykite, kad atsitiktiniai dydžiai X 1,..., X d yra tarpusavyje nepriklausomi tada ir tik tada, kai P (X 1 x 1,..., X d x d ) = P (X 1 x 1 ) P (X d x d ), x 1,..., x d R. 2.29 pratimas. Tegu X i N (m i, σi 2 ), i = 1, 2 yra nekoreliuoti atsitiktiniai dydžiai. Įrodykite, kad jie yra nepriklausomi. Apibendrinkite atsitiktiniams Gausiniams vektoriams. 2.30 pratimas. Jei X N (0, I m ) (I m = diag(1,..., 1) yra m m vienetinė matrica) ir A, B yra m m matricos, tai vektoriai AX ir BX yra nepriklausomi tada ir tik tada, kai AB = 0. 2.31 pratimas. Tegu τ yra eksponentinis atsitiktinis dydis su parametru λ. Raskite sąlyginį vidurkį E(τ τ < c). 2.32 pratimas. Raskite atsitiktinio dydžio Y sąlyginę tankio funkciją ir sąlyginį vidurkį atžvilgiu X, jei poros (X, Y ) tankio funkcija yra: (a) f(x, y) = λ 2 e λy, 0 x y <, (b) f(x, y) = xe x(y+1), x, y 0. 2.33 pratimas. Įrodykite, kad beveik visur konvergavimas yra invariantinis tolydinių transformacių atžvilgiu: jei X n X ir f : R R yra tolydi funkcija, tuomet f(x n ) b.t. b.t. f(x). 2.34 pratimas. Tegu (X n ) yra nepriklausomų bernuli a.d. seka, P (X n = 1) = p m, P (X m = 0) = 1 p m. Įrodykite šiuos teiginius: (a) X n (b) X n (c) X n P 0 tada ir tik tada, kai p n 0; Lp 0 tada ir tik tada, kai p n 0; b.t. 0 tada ir tik tada, kai n p n <. 56
3 skyrius Atsitiktiniai procesai Atsitiktinius procesus galime apibrėžti dviem būdais. Pirmuoju - kaip atsitiktinių dydžių rinkinį indeksuotą kokia nors realiųjų skaičių aibe. Antruoju - kaip atsitiktinį kokios nors mačios realiojo argumento funkcijų erdvės elementą. Šiam apibrėžimui reikalingos tam tikros funkcinės analizės žinios. Pirmajam gi tokių žinių nereikia, tačiau tuomet galime kalbėti tik apie atsitiktinio proceso baigtiniamačius skirstinius, bet ne apie jų trajektorijų savybes, tokias kaip tolydumas ar diferencijuojamumas. Šiame skyriuje pateikti abu atsitiktinių procesų apibrėžimai, aprašytos jų skaitinės charakteristikos bei reguliarumo (matumo, diferencijuojamumo, integruojamumo) savybės. 3.1 Apibrėžimai Tegu T R yra duota aibė. 3.1 apibrėžimas. Tikimybinėje erdvėje (Ω, F, P ) apibrėžtų atsitiktinių dydžių rinkinys vadinamas atsitiktiniu procesu. (X t, t T ) Atsitiktinio proceso (X t, t T ) indeksų aibė T dažnai vadinama laiko sritimi, o t T interpretuojamas kaip laiko momentas. Jei aibė T bus aiški iš konteksto, vietoj (X t, t T ) dažnai rašysime tiesiog (X t ). Atsitiktinis procesas (X t, t T ), kai T Z = {0, ±1, ±2,... } vadinamas diskretaus laiko procesu arba laikine seka. Jei T yra baigtinė aibė, tuomet (X t, t T ) yra tiesiog atsitiktinis vektorius. Jei aibė T yra tolydi, pavyzdžiui, T = [0, 1], tai procesas (X t, t T ) vadinamas tolydaus laiko. Atsitiktinis procesas (X t, t T ) yra dviejų argumentų t T ir ω Ω funkcija. Kai t T fiksuotas, X t = {X t (ω), ω Ω} yra atsitiktinis dydis ir interpretuojamas kaip proceso būsena laiko momentu t. Kai fiksuotas elementarusis įvykis ω Ω, turime argumento t T funkciją: {X t (ω), t T } arba t X t (ω) : T R. Ši funkcija vadinama proceso trajektorija arba realizacija. 3.1 pavyzdys. Bene paprasčiausias diskretaus laiko atsitiktinio proceso pavyzdys - atsitiktinis klaidžiojimas metant monetą. Dalelė startuoja nulinio laiko momentu koordinačių pradžioje (žr. 2.1 pav.). Kiekvienu laiko 57
momentu n = 1, 2,... metama moneta ir dalelė juda per vienetą į dešinę iškritus pinigui, į kaire - iškritus herbui. X n yra dalelės padėtis po n-ojo monetos metimo, n = 1, 2,.... 2.1 pav. Diskretaus laiko proceso trajektorija 3.2 pavyzdys. Tegu X ir Y yra du nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai. Apibrėžkime tolydaus laiko atsitiktinį procesą (X t, t 0): X t = tx + Y, t 0. Šio proceso trajektorijos yra tiesės su atsitiktiniais koeficientais (atsitiktinės tiesės). 3.3 pavyzdys. (Atvykimų procesas) Nagrinėkime klientų atvykimą į parduotuvę, matuodami laikus nuo vieno kliento atvykimo iki kito. Tegu tie laikai yra teigiami atsitiktiniai dydžiai X 1, X 2,.... Imdami t [0, ), apibrėžkime N t = k, jei sveikasis skaičius k yra toks, kad X 1 + + X k t < X 1 + + X k+1. Tegu N t = 0, jei t < X 1. Tuomet N t yra iki laiko momento t (laiko intervale [0, t]) į parduotuvę atvykusių klientų skaičius. Pastebėkime, kad su kiekvienu t 0, N t yra atsitiktinis dydis įgyjantis reikšmes aibėje N := {0, 1, 2,... }. Taigi {N t, t 0) yra tolydaus laiko diskretus procesas. Jo trajektorijos yra nemažėjančios, tolydžios iš dešinės funkcijos ir didėjančios vienetiniais šuoliukais taškuose X 1 + + X k. Be to, N t < su visais t 0 tada ir tik tada, kai k=1 X k =. 3.4 pavyzdys. Nagrinėkime diskretaus laiko atsitiktinį procesą (X t ), kurio būsenų aibė yra S = {1, 2, 3}. Proceso dinamika (kitimas laike) aprašoma taip: iš būsenos 1 į būseną 2 procesas pereina su tikimybe 1. Iš būsenos 3 gali pereiti arba į 1, arba 2 su vienoda tikimybe 1/2, o iš 2 peršoka į 3 su tikimybe 1/3 arba lieka būsenoje 2. Tai yra Markovo grandinės pavyzdys. Jas detaliai nagrinėsime vėliau. 58
Kaip jau minėjome, kitaip atsitiktinį procesą galime apibrėžti panaudoję atsitiktinės funkcijos sampratą. Priminsime, kad R T žymi visų funkcijų f : T R aibę: R T := {f : T R}. Jei T = {1,..., d}, tuomet R T = R d yra tiesiog d-mačių vektorių aibė. Jei T = Z arba T = N, tuomet R T yra visų galimų skaitinių sekų aibė, atitinkamai R Z := {(x j, j = 0, ±1, ±2,... )}, R N := {(x j, j = 0, 1, 2,... )}. Taigi atsitiktinį procesą (X t, t T ) atitinka atvaizdis ω {X t (ω), t T } : Ω R T, apibrėžtas aibėje Ω ir reikšmes įgyjantis funkcijų erdvėje R T. Norėdami atsitiktinį procesą interpretuoti ar apibrėžti kaip atsitiktinį aibės R T elementą (kaip atsitiktinę funkciją), aibėje R T turime apibrėžti σ algebrą kurios atžvilgiu atvaizdis ω X(ω) = (X t (ω), t T ) būtų matus. Aibės R T d-mate cilindrine aibe vadinsime aibę A = {x S T : x(t 1 ) E 1,..., x(t d ) E d }, kai t 1,..., t d T, E i B R, i = 1,..., d. Cilindrinė aibės R T σ algebra yra C T R : C T R = σ{1 mačiai stačiakampiai). Pagal σ algebros apibrėžimą bet kuri baigtiniamatė cilindrinė aibė priklauso C T R. 3.2 apibrėžimas. Atsitiktine realiąja funkcija, apibrėžta aibėje T, vadinsime atvaizdį X : Ω R T, kuris yra F/C T R -matus, t.y. {ω : X(ω) C} F, jei C B T R. 3.1 teiginys. Atsitiktinis procesas X = (X t, t T ), kaip atvaizdis X : Ω R T, yra F/B T R -matus. Įrodymas. Jei E B R ir C = {x R : x(t) E} yra bet kuri vienmatė cilindrinė aibė, tai nes X t yra atsitiktinis dydis. X 1 (C) = {omega : X t (ω) E} = X 1 t (E) F, 3.3 apibrėžimas. Atsitiktinė (realioji) funkcija apibrėžta aibėje T yra (F, CR T )-matus atvaizdis X : Ω R T. Taigi atsitiktinis procesas yra kartu ir atsitiktinė funkcija. Atvirkščiai yra taip pat. Apibrėžkime projektorius π t : R T R: π t x = x(t), x R T. 3.2 teiginys. Funkcija X : Ω R T yra (F, C T R )-matu tada ir tik tada, kai π tx : Ω R yra (F, B R -matus su kiekvienu t T. 59
Įrodymas. Pakanka prisiminti, kad cilindrinę σ-algebrą generuoja vienmačtės cilindrinės aibės. Taigi atsitiktiniu procesu galime vadinti bet kurį BR T /F-matų atvaizdį X : Ω RT. Ši atsitiktinio proceso interpretacija leidžia kalbėti apie įvairias procesų trajektorijų savybes, pavyzdžiui, trajektorijų tolydumą, diferencijuojamumą ir pan. Tarkime, mus domina atsitiktinio proceso X = (X t, t T ) trajektorijų savybė, kurią aprašo aibė U R T. Pati U gali nepriklausyti (o dažniausiai ir nepriklauso) σ algebrai BR T. Todėl nagrinėkime susiaurintą σ algebrą U BR T := {U A : A BT R }. Tuomet pora (U, U BT R ) yra mati erdvė (žr. 3.2 pratimą). 3.4 apibrėžimas. Atsitiktiniu procesu su trajektorijomis aibėje U vadinsime atvaizdį X : Ω U, kuris yra F/U B T R -matus. 3.3 teiginys. Funkcija X = (X t, t T ) : Ω U yra F/U B T mati tada ir tik tada, kai su kiekvienu t T, X t : Ω R yra F/B R -matus atvaizis. Įrodymas. Kadangi X(ω) U, tai {ω : X(ω) U A} = {ω : X(ω) A} su kiekviena A B T. Kitaip tariant, jei X : Ω U tai X yra F/U B T -matus atvaizdis tada ir tik tada, kai jis yra F/B T -matus. Keletas pavyzdžių paaiškins, kaip aibės U parinkimas atspindi proceso trajektorijų savybes. Tegu T = [a, b] ir U := C(T ) = C[a, b] visų tolydžių funkcijų f : [a, b] R aibė. Taigi atsitiktinio proceso X = (X t, t [a, b]) trajektorijos yra tolydžios, jei tas procesas yra atsitiktinis erdvės C[a, b] elementas. Kartais tai matyti tiesiog iš proceso apibrėžimo. Taip, pavyzdžiui, atsitiktinis procesas X = (X t, t 0): X t = ηt + ξ, t 0, kai η, ξ yra atsitiktiniai dydžiai yra akivaizdžiai procesas su tolydžiomis trajektorijomis (su kiekvienu t 0, X t = ηt + ξ yra atsitiktinis dydis ir X : Ω C[0, ), nes {ω : X(ω) C[0, )} = Ω). Kiti analogiški pavyzdžiai: U = B[a, b] aprėžtų funkcijų f : [a, b] R aibė; T = (0, ) ir U = L 1 (T ) Lebego prasme integruojamų funkcijų f : (0, ) R aibė; T = N ir U = c 0 konverguojančių į nulį skaitinių sekų aibė arba U = l 2 kvadratu sumuojamų skaitinių sekų aibė. Norėdami įsitikinti, kad atsitiktinio proceso X = (X t, t T ) beveik visos trajektorijos turi savybę, kurią aprašo aibė U R T, pakanka įrodyti, kad X U su tikimybe vienas. Pavyzdžiui, atsitiktinio proceso X = (X n, n N) beveik visos trajektorijos konverguoja prie nulio, jei P (X c 0 ) = 1. Kadangi P (ω : X(ω) c 0 ) = P (ω : lim n X n (ω) = 0), tai X c 0 beveik tikrai reiškia, kad X n 0 beveik tikrai. Tačiau patikrinti, kad X U su tikimybe vienas, ne visada yra paprasta tolydaus laiko procesams, nes gali iškilti matumo problemos. Įvykis {ω : X(ω) U} nebūtinai yra matus. Pavyzdžiui, atsitiktiniam procesui X = (X t, t [0, 1]), aibė {ω : X(ω) C[0, 1]} = n=1 k=1 t s <1/k {ω : X t (ω) X s (ω) 1/n} nebūtinai priklauso F. Šią matumo problemą detaliau aptarsime kiek vėliau. 60
2.2 pav. Tolydaus laiko proceso trajektorijos Taigi turime atsitiktinio proceso apibrėžimą ir atsitiktinio proceso su aprašytomis trajektorijų savybėmis apibrėžimą. 3.2 Atsitiktinių procesų skirstiniai Nagrinėkime atsitiktinį procesą (X t, t T ), T R. Fiksuotu laiko momentu t 1 T, X t1 yra atsitiktinis dydis. Jo pasiskirstymo funkcija yra F t1 (x 1 ) = P (ω : X t1 (ω) x 1 ), x 1 R. Pasiskirstymo funkcijų rinkinys {F t1, t 1 T } vadinamas atsitiktinio proxceso (X t, t T ) pirmosios eilės pasiskirstimu. Analogiškai, jei t 1 < t 2 T, tai X t1, X t2 yra du atsitiktiniai dydžiai. Jų bendra pasiskirstymo funkcija yra F t1,t 2 (x 1, x 2 ) = P (ω : X t1 (ω) x 1, X t2 (ω) x 2 ). Rinkinys {F t1,t 2, t 1 < t 2 T } sudaro proceso antrosios eilės pasiskirstimą. Jei t 1 < < t n yra baigtinis parametro t skirtingų reikšmių rinkinys, tai atsitiktinio vektoriaus (X t1,..., X tn ) pasiskirstymo funkcija F t1,...,t n yra F t1,...,t n (x 1,..., x n ) = P (ω : X t1 (ω) x 1,..., X tn (ω) x n ) ir jų šeima, kai t 1 < < t n T vadinama n-tosios eilės pasiskirstimu. Visų eilių pasiskirstimų rinkinys, (3.1) {F t1,...,t n : t 1 < t 2 < t n T, n 1} vadinama proceso (X t, t T ) baigtiniamačių pasiskirstymo funkcijų šeima. Ji pilnai aprašo atsitiktinį procesą. Funkcijų šeima {F t1,...,t n : t 1 < t 2 < t n T, n 1}, vadinama suderinta pasiskirstymo funkcijų šeima, jei 61
(i) F t1,...,t n yra n-mačio atsitiktinio vektoriaus pasiskirstymo funkcija; (ii) jei {t k1 < < t km } {t 1 < < t n }, tuomet F tk1,...,t km yra pasiskirstymo funkcijos F t1,...,t n marginalinė funkcija atitinkanti indeksus t k1,..., t km, t.y. lim F t 1,...,t n (x 1,..., x n ) = F tk1,...,t km (x k1,..., x km ). x i, i {1,...,n}\{i 1,...,k m} 3.1 teorema. (Kolmogorovo) Jei {F t1,...,t n : t 1 < t 2 < t n T, n 1}, yra suderinta pasiskirstymo funkcijų šeima, tai egzistuoja tikimybinė erdvė (Ω, F, P ) ir toks joje apibrėžtas atsitiktinis procesas (X t, t T ), kurio baigtiniamačių pasiskirstymo funkcijų šeima sutampa su {F t1,...,t n : t 1 < t 2 < t n T, n 1}. 3.5 pavyzdys. (Chaoso procesas) Tegu F yra bet kuri pasiskirstymo funkcija, apibrėžta realiųjų skaičių aibėje R. Imdami skirtingus t 1 < < t m T ir bet kuriuos x 1,..., x m R, apibrėžkime F t1,t 2,...,t m (x 1, x 2,..., x m ) = m F (x k ), Atitinkama baigtiniamačių pasiskirstymo funkcijų šeima apibrėžia atsitiktinį procesą (X t, t T ), kurį galime interpretuoti kaip chaosą, nes visi procesą sudarantys atsitiktiniai dydžiai yra tarpusavyje nepriklausomi. Jei atsitiktinį procesą apibrėžiame kaip atsitiktinę funkciją, galime kalbėti apie jos skirstinį. Tegu U R T ir X = (X t, t T ) : Ω U yra F/U BR T -matus atvaizdis. Jo skirstiniu vadiname tikimybinį matą P X, apibrėžtą aibėms A U BR T : k=1 P X (A) = P (ω : X(ω) A). Jei A yra cilindrinė aibė, tarkime, A = (, x] R T \{t}, tai P X (A) = P (X t x). 3.2 teorema. Tarkime X = (X t, t T ) ir Y = (Y t, t T ) yra du atsitiktiniai procesai su trajektorijomis aibėje U R T. Tuomet P X = P Y tada ir tik tada, kai procesų (X t, t T ) ir (Y t, t T ) baigtiniamačiai skirstiniai sutampa. Įrodymas. Jei P X = P Y, tuomet P X (C) = P Y (C) su kiekviena cilindrine aibe C R T. Imdami C = {f R T : f(t 1 ) x 1,..., f(t d ) x d } gauname P (X t1 x 1,..., X td x d ) = P (Y t1 x 1,..., Y td x d ). Taigi procesų baigtiniamačiai skirstiniai sutampa. Pakankamumo įrodymui pasinaudosime aibių π λ-sistemų savybėmis. Nagrinėkime cilindrinių aibių šeimą C = {f R T : (f(t 1 ),..., f(t d )) B}, d N, B B R d, t 1,..., t d T. Ji yra uždara sankirtų atžvilgiu. Taigi yra π-sistema. Toliau nagrinėkime tokių aibių U R T sistemą U, kad P X (U) = P Y (U). Įsitikinkime, kad ji yra λ-sistema: (i) jai priklauso R T ; (ii) uždara atžvilgiu papildymo; (iii) uždara atžvilgiu monotoniniškai didėjančių ribų. Kadangi P X (R T ) = 1 = P Y (R T ), tai R T U. Jei U U, tai P X (U c ) = 1 P X (U) = 1 P Y (U) = P Y (U c ), taigi U c U. Galiausiai, jei turime monotoniškai didėjančią aibių seką (U n ) U ir U n U, 62
tuomet P X (U n ) P X (U) ir P Y (U n ) P Y (U). Bet P X (U n ) = P Y (U n ), todėl P X (U) = P Y (U). Taigi U yra λ-sistema. Kadangi C U ir C yra π λ-sistema, tai ir σ(c) U. Kita vertus σ(c) = B T R. Taigi BT R U. Vadinasi, B T R = U ir P X(U) = P Y (U) su visais U B T R. Taigi P X = P Y. Atsitiktinio proceso baigtiniamačiai skirstiniai aprašo įvairius jo skaitinius parametrus bei įvairias trajektorijų savybes. Atsitiktinio proceso X = (X t, t T ) vidurkio funkcija (arba tiesiog vidurkis) yra funkcija µ X : T R, µ X (t) = EX t, t T. Vidurkio funkciją, kuri charakterizuoja vidutinę ar tipinę proceso trajektoriją, aprašo proceso pirmos eilės pasiskirstymas, nes µ X (t) = x df t(x). Atsitiktinis procesas X = (X t, t T ) vadinamas antrosios eilės procesu, jei EXt 2 < su visais t T. Antrosios eilės procesui X = (X t, t T ) apibrėžiami šie parametrai: autokoreliacinė funkcija Q X : T 2 R, Q X (t, s) = EX t X s, t, s T, Funkcija (Q X (t, t), t T ) dažnai vadinama proceso (X t, t T ) vidutine galia. autokovariacinė funkcija Γ X : T 2 R, variacijos funkcija σ 2 X : T R, Γ X (t, s) = cov X (t, s) = E[(X t µ X (t))(x s µ X (s))], t, s T, autokoreliacijos keoficientas ρ X : T 2 R, σ 2 X(t) = cov X (t, t) = varx t, t T. ρ X (t, s) = Γ X (t, s), s, t T. [Γ X (t, t)γ X (s, s)] 1/2 Tiek autokoreliacinę funkciją, tiek autokovariacinę funkciją aprašo proceso antrosios eilės pasiskirstymas. Autokovariacinės funkcijos savybės surinktos šiame teiginyje. 3.4 teiginys. Tarkime, X = (X t, t T ) yra atsitiktinis procesas su nuliniu vidurkiu ir autokovariacine funkcija Γ = Γ X. Tada teisingos šios savybės: (1) Γ(s, t) = Γ(t, s) ir Γ(t, t) 0. (2) Funkcija Γ yra neneigiamai apibrėžta, t.y., n j,k=1 Γ(t j, t k )a j a k 0 su visais t i T, a i R, i = 1,..., n ir visais n N; (3) Γ(s, t) Γ 1/2 (s, s)γ 1/2 (t, t); 63
(4) dviejų autokovariacinių funkcijų suma yra autokovariacinė funkcija; (5) dviejų autokovariacinių funkcijų sandauga yra autokovariacinė funkcija; (6) su bet kuria realiąja funkcija σ : T R, funkcija (s, t) σ(s)σ(t) yra autokovariacinė funkcija. Įrodymas. Pimoji savybė gaunama tiesiog iš autokoreliacijos funkcijos apibrėžimo. Norėdami įrodyti (2) savybę, apibrėžkime atsitiktinį dydį Y = n k=1 a kx tk. Galime suskaičiuoti EY 2 = n j,k=1 a j a k Γ(t j, t k ) 0. Trečioji savybė yra tiesiog perrašyta Cauchy-Schwarz o nelygybė. Norėdami įrodyti (4), nagrinėkime du tokius procesus X ir Y, kuriems atsitiktiniai dydžiai X 1 (t) ir X 2 (t) yra nepriklausomi su bet kuriuo t T ir kurių autokovariacinės funkcijos yra atitinkamai Γ 1 ir Γ 2. Tuomet sumos X + Y autokovariacinė funkcija yra Γ 1 + Γ 2. (Įsitikinkite!) Kita savybė įrodoma analogiškai, suskaičiuojant sandaugos XY autokoreliacinę funkciją. Galiausiai (6) savybės įrodymui nagrinėjamre procesą X t = σ(t)z, t T. Čia a.d. Z N (0, 1). Kaip jau minėjome, baigtiniamačiai atsitiktinio proceso skirstiniai aprašo ir tam tikras trajektorijų savybes. Paprasčiausia apibrėžti atsitiktinio proceso tolydumą pagal tikimybę. 3.5 apibrėžimas. Atsitiktinis procesas (X t, t T ) vadinamas tolydžiu pagal tikimybę taške t 0 T, jei su kiekvienu ε > 0 lim h 0 P ( X t 0 +h X t0 > ε) = 0. Jei procesas tolydus pagal tikimybę kiekviename taške, tai jis vadinamas tiesiog tolydžiu pagal tikimybę. 3.6 apibrėžimas. Tegu p > 0. Atsitiktinis procesas (X t, t T ) vadinamas tolydžiu p-ojo momento prasme taške t 0 T, jei su kiekvienu ε > 0 lim E X t 0 +h X t0 p = 0. h 0 Jei procesas tolydus p-ojo momento prasme kiekviename taške, tai jis vadinamas tiesiog tolydžiu p-ojo momento prasme (kvadratinio vidurkio prasme, kai p = 2). Pritaikę Čebyševo nelygybę matome, kad tolydumas p-ojo momento prasme yra stipresnis už tolydumą pagal tikimybę: P ( X t0 +h X t0 > ε) = P ( X t0 +h X t0 p > ε p ) ε p E( X t0 +h X t0 p ), jei ε > 0 ir p > 0. Panašiai galime apibrėžti diferencijuojamumą pagal tikimybę: procesas (X t ) yra diferencijuojamas pagal tikimybę taške t 0 jei egzistuoja riba X t0 +h X t0 lim h 0 h := X t 0 pagal tikimybę. Riba X t 0 vadinama proceso išvestine pagal tikimybę taške t 0. 64
2.3 pav. Tolydaus pagal tikimybę proceso realizacija Kad ne visas atsitiktinio proceso trajektorijų savybes galima aprašyti baigtiniamačiais skirstiniais paaiškinsime pavyzdžiu. 3.6 pavyzdys. Tegu Ω = [0, 1] ir P yra tolygusis intervalo [0, 1] skirstinys. Apibrėžkime atsitiktinius procesus (X t, t [0, 1]) ir (Y t, t [0, 1]): X t (ω) = 0 su visais t, ω [0, 1] { 1, kai t = ω Y t (ω) = 0, kai t ω Galima įsitikinti, kad abu procesai turi vienodus baigtiniamačius skirstinius: { 1, kai visi x j 0 F t1,...,t n (x 1,..., x n ) = 0, kitur Tačiau tuo tarpu Taip pat matome, kad P (ω : X t (ω) < 1 su visais t [0, 1]) = P (Ω) = 1 P (ω : Y t (ω) < 1 su visais t [0, 1]) = P ( ) = 0 P ((X t ) tolydus intervale [0, 1]) = 1 P ((Y t ) tolydus intervale [0, 1]) = 0. Šiame paprastame pavyzdyje nagrinėjamų įvykių tikimybės nėra aprašomos baigtiniamačiais skirstiniais. Taigi vien Kolmogorovo teoremos nepakanka norint analizuoti atsitiktinius procesus. Mat tokios geometrinės trajektorijų savybės kaip tolydumas, diferencijuojamumas, integruojamumas ir pan., susijusios su visa proceso trajektorija, t.y. su reikšmėmis X t kiekvienam laiko momentui t T. Tuo atveju, kai T yra neskaiti 65
aibė kyla matumo problemų. Nagrinėjami įvykiai gali būti nematūs. Pavyzdžiui, jei T = [a, b], A B R - bet kuri Borelio aibė, tai įvykis {ω Ω : X t (ω) A su visais t T } = t T{ω Ω : X t A} yra neskaitaus skaičiaus mačių įvykių sankirta. Nors kiekvienas iš įvykių {ω Ω : X t A} yra matus (priklauso F) σ algebros apibrėžimas negarantuoja, kad jų neskaiti sankirta bus mati. Taigi norėdami analizuoti tas atsitiktinio proceso trajektorijų savybes, kurių aprašymui rekia kontroliuoti reikšmes kiekvienu laiko momentu t T, turime ieškoti papildomų priemonių, nei suteikia baigtiniamačiai skirstiniai. Laimei, tam yra galimybė modifikuoti procesus, nekeičiant jų baigtiniamačių skirstinių. 3.3 Klasifikavimas pagal skirstinius Šiame skyrelyje klasifikuojami atsitiktiniai procesai pagal savybes, aprašomas baigtiniamačiais skirstiniais. Gauso procesai 3.7 apibrėžimas. Atsitiktinis procesas X = (X t, t T ) yra Gauso (arba normalusis), jei visi jo baigtiniamačiai skirstiniai yra Gauso (normaliniai). 3.7 pavyzdys. Tegu X, Y yra normaliniai atsitiktiniai dydžiai. Tuomet procesas X t = tx + Y, t 0 yra Gauso. 3.5 teiginys. Gauso procesą pilnai aprašo jo vidurkio funkcija ir autokovariacinė funkcija šia prasme: jei m : T R yra bet kuri funkcija, o simetrinė funkcija Γ : T T R yra neneigiamai apibrėžta, tai egzistuoja Gauso procesas su vidurkio funkcija m ir autokovariacine funkcija Γ. Įrodymas. Įrodoma remiantis Kolmogorovo teorema, nes daugiamačius Gauso vektorius vienareikšmiškai aprašo vidurkio vektorius ir kovariacijų matrica. 3.6 teiginys. Atsitiktinis procesas X = (X t, t T ) yra Gauso tada ir tik tada, kai su bet kuriuo n 1 ir bet kuriais rinkiniais t 1,..., t n, λ 1,..., λ n atsitiktinis dydis n k=1 λ kx tk yra Gauso. Įrodymas. Paliekame vietoj pratimo. 3.8 pavyzdys. (Gauso baltasis triukšmas) Nagrinėkime procesą X = (X t, t Z), kai X t, t Z yra nepriklausomi normaliniai atsitiktiniai dydžiai su vienodu pasiskirstymu N (0, σ 2 ). Tada procesas X yra Gauso procesas su vidurkio funkcija m X (t) = 0, t Z, ir kovariacine funkcija Γ X (s, t) = { σ 2, kai s = t 0, kai s t, s, t Z. Šitaip apibrėžtas procesas vadinamas Gauso baltuoju triukšmu. 66
3.9 pavyzdys. (Vynerio procesas) Tarkime, T yra arba uždaras intervalas [0.a], arba aibė [0, ). Imdami 0 = t 0 < t 1 < < t n ir x 0 = 0, x 1,..., x n R apibrėžkime F t1,...,t n (x 1,..., x n ) = x1 xn f t1,...,t n (u 1,..., u n ) du 1 du n, o f t1,...,t n (u 1,..., u n ) = n { (2π(t k t k 1 )) 1/2 exp (u k u k 1 ) 2 } ; 2(t k t k 1 ) k=1 čia t 0 = u 0 = 0. Galime patikrinti, kad pasiskirstymo funkcijų šeima {F t1,...,t n, 0 t 1 < < t n T, n 1} tenkina Kolmogorovo 3.1 teoremos sąlygas. Taigi egzistuoja atsitiktinis procesas, pažymėkime jį (W t, t T ), kurio baigtiniamačių pasiskirstymo funkcijų šeima sutampa su {F t1,...,t n, t 1 < < t n T, n 1}. Gautasis procesas vadinamas Vynerio arba Brauno judesio procesu. Stacionarūs procesai Daugelio svarbių atsitiktinių procesų baigtiniamačiai skirstiniai nepriklauso nuo laiko postūmio. Todėl natūralu juos apjungti į vieną klasę. Primename, kad nagrinėjame atsitiktinius procesus, kurių indeksų aibė T yra realiųjų skaičių intervalas arba sveikųjų skaičių aibė. 3.8 apibrėžimas. Atsitiktinis procesas X = (X t, t T ) vadinamas stipriai stacionariu (stacionariu siaurąja prasme), jei atsitiktinių vektorių (X t1, X t2,..., X tm ) ir (X t1 +h, X t2 +h,..., X tm+h) skirstiniai sutampa kokie bebūtų t 1 < t 2 < < t m T ir toks h > 0, kad t 1 + h,..., t m + h T. Stipriai stacionaraus atsitiktinio proceso (X t, t T ), atsitiktiniai dydžiai X t, t 0, yra vienodai pasiskirstę. Tikrai, imdami t < s, turime F t (x) = P (X t x) = P (X t+(s t) x) = F s (x), x R. Taigi a.d. X t ir X s pasiskirstymo funkcijos sutampa. Kadangi proceso vidurkį aprašo pirmos eilės skirstinys, tai stacionaraus proceso vidurkio funkcija yra konstanta. 3.7 teiginys. Stacionaraus proceso (X t, t T ) kovariacinė funkcija Γ(s, t), s > t, priklasuso tik nuo skirtumo s t. Įrodymas. Tarkime, EX t = 0 su kiekvienu t T. Jei s > t, tai Γ(s, t) = E(X s X t ) = xy df s,t (x, y) = xy df s t,0 (x, y) = Γ(s t, 0). Taigi Γ(s, t) = Γ(s t, 0) su visais s > t. Stacionaraus atsitiktinio proceso autokovariacinį funkcija yra vieno argumento funkcija. Dėl šios priežasties, vietoj Γ(h, 0) rašysime tiesiog γ(h). 67
3.10 pavyzdys. (Stiprus baltasis triukšmas) Atsitiktinių dydžių seka X t, t Z sudaryta iš centruotų ir nepriklausomų vienodai pasiskirs2iusių atsitiktinių dydžių: EX t = 0, vadinama stipriu baltuoju triukšmu. Jo autokoreliacinė funkcija yra { σ 2, jei s = t (3.2) Q X (s, t) = EX t X s = 0, jei s t. 2.3 pav. Stiprus baltasis triukšmas Bendru atveju, atsitiktinis procesas su nuliniu vidurkiu ir (3.4) autokoreliacine funkcija nėra stacionarus. Tokia autokoreliacinė funkcija tik reiškia, kad atsitiktiniai dydžiai X t ir X s yra nekoreliuoti. 3.11 pavyzdys. Tegu (Y t, t Z) yra stacionarus procesas, sveikasis skaičius d 1 ir a 1,..., a d realieji skaičiai. Apibrėžkime d X t = a k Y t k, t Z. k=0 Atsitiktinis procesas (X t, t Z) yra stacionarus (įsitikinkite!). Jis vadinamas d-eilės slenkančio vidurkio procesu (MA(d) procesu). Jo autokoreliacinė funkcija yra (3.3) Q X (s, t) = kai t s. d k=0 m=0 d a k a m E(Y t k Y s m ) = d a m a t s+m, m=0 2.4 pav. Slenkančio vidurkio procesas MA(1) Stipraus stacionarumo sąlyga dažniausiai yra per stiprus reikalavimas praktiniuose atsitiktinių procesų teorijos taikymuose. Todėl dažnai pakanka vadinamojo silpnojo stacionarumo. 3.9 apibrėžimas. Antrosios eilės atsitiktinis procesas X = (X t, t T ) vadinamas silpnai stacionariu (stacionariu plačiąja prasme), jei su visais t 1, t 2 T ir tokiais h > 0, kad t 1 + h, t 2 + h T, 68