Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 12 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1
Περιεχόμενα Απόκριση Συστημάτων N Β.Ε. Σε αρχικές συνθήκες Συστήματα χωρίς απόσβεση Εισαγωγή στην ιδιοανυσματική ανάλυση Συστήματα χωρίς απόσβεση 2
Αναλυτική Λύση σε Συστήματα Ν Β.Ε. Παραδοχές: Γραμμικά (ή γραμμικοποιημένα) συστήματα Το μητρώο απόσβεσης C αμελείται: Μητρώο αδράνειας M q + K q = ξ = G f(t) Μητρώο ελαστικότητας Γενικευμένες δυνάμεις Η χρονική απόκριση στην πιο γενική περίπτωση είναι η λύση του προβλήματος αρχικών συνθηκών M q + K q = G f(t) q 0 = q 0 q 0 = q 0 Εξωτερικές δυνάμεις 3
Αναλυτική Λύση σε Συστήματα Ν Β.Ε. Η αρχή της επαλληλίας: το γενικό πρόβλημα μπορεί να σπάσει σε δύο (αρχικές συνθήκες, εξωτερική διέγερση) M q + K q = G f(t) q 0 = q 0 q 0 = q 0 M q + K q = 0 q 0 = q 0 q 0 = q 0 M q + K q = G f(t) q 0 = 0 q 0 = 0 q i (t) q f (t) q t = q i t + q f t 4
Αρχικές Συνθήκες Η λύση του προβλήματος αρχικών συνθηκών M q + K q = 0 q 0 = q 0 q 0 = q 0 αποτελείται μόνο από την ομογενή λύση q t = q h (t) Για την ομογενή λύση, αναζητούνται λύσεις της μορφής q h t = φe λt όπου φ είναι ένα Ν 1 διάνυσμα (ιδιοάνυσμα). Αντικαθιστώντας στην ΣΔΕ προκύπτει το σύστημα εξισώσεων: (λ 2 M + K) φ = 0 5
Αρχικές Συνθήκες Οι 2Ν ιδιοτιμές λ του συστήματος υπολογίζονται από την εξίσωση λ 2 M + K = 0 Ορίζουσα πίνακα Η λύση της εξίσωσης δίνει Ν ζεύγη φανταστικών ιδιοτιμών: λ = ± i ωj, i = 1, 2,, N όπου i ω είναι η i-ιοστή ιδιοσυχνότητα του συστήματος Για κάθε ιδιοσυχνότητα i ω (ισοδύναμα, για κάθε ζεύγος ιδιοτιμών ± i ωj ) το αντίστοιχο ιδιάνυσμα i φ υπολογίζεται από το σύστημα εξισώσεων: ( i ω 2 M + K) i φ = 0 6
Αρχικές Συνθήκες H (ομογενής) απόκριση σε αρχικές συνθήκες είναι το άθροισμα συνιστωσών των 2Ν ιδιοανυσμάτων/ιδιοτιμών N q h t = {c i i φ i=1 e j i ω t + c i i φ e j i ω t } Μιγαδικός συζηγής Γενικά, οι άγνωστες σταθερές c i είναι μιγαδικοί αριθμοί Επειδή q h (t) είναι πραγματικός αριθμός, οι συντελεστές των ιδιοτιμών j i ωt πρέπει να είναι οι μιγαδικοί συζηγής των συντελεστών των ιδιοτιμών j i ωt 7
Αρχικές Συνθήκες Ισοδύναμα, η (ομογενής) απόκριση σε αρχικές συνθήκες μπορεί να γραφτεί ως: q(t) = q h t = {c i i φ N cos ( i ω t + φ i )} i=1 οι άγνωστες παράμετροι c i και φ i είναι πραγματικοί αριθμοί. Η απόκριση αυτή μπορεί να εκφραστεί σε μητρωϊκή μορφή ως: q(t) = q h t = Φ diag(cos ( i ω t + φ i )) c όπου diag(cos ( i ω t + φ i )) είναι o διαγώνιος πίνακας του οποίου το i-ιοστό διαγώνιο στοιχείο είναι cos ( i ω t + φ i ), και επίσης: Φ = 1 φ Ν φ c = c 1 c T N 8
Αρχικές Συνθήκες Οι 2Ν άγνωστες παράμετροι c i, φ i υπολογίζονται από τις 2Ν αρχικές συνθήκες: N q 0 = {c i i φ cos (φ i )} i=1 N q 0 = {c i i ω i=1 Στην περίπτωση q 0 i φ sin (φ i )} = 0, τα φ i, c i υπολογίζονται ως: φ i = 0 c = Φ Τ q 0 ο υπολογισμός αυτός χρησιμοποιεί την σχέση Φ Τ Φ = Ι (τα ιδιοανύσματα έχουν κανονικοποιηθεί ώστε το μέτρο τους να είναι μοναδιαίο, βλέπε παράρτημα) 9
Αρχικές Συνθήκες Αποτέλεσμα: Στην περίπτωση q 0 = 0, η ομογενής λύση ενός συστήματος Ν Β.Ε. σε αρχικές συνθήκες είναι: q t = q h t = Φ diag(cos ( i ω t)) Φ Τ q 0 όπου i ω είναι η i-ιοστή ιδιοσυχνότητα και Φ είναι το Ν Ν μητρώο του οποίου η i-ιοστή στήλη είναι το i-ιοστό ιδιοάνυσμα i φ Τα ιδιοανύσματα έχουν επιλεγεί με τέτοιο τρόπο (έχουν κανονικοποιηθεί ώστε το μέτρο τους να είναι μοναδιαίο) ώστε: Φ Τ Φ = Ι, δηλαδή iφ T j φ = 1, i = j 0, i j 10
Βηματική Διέγερση Πρόβλημα: Αναλυτικός υπολογισμός της απόκρισης (πρόβλημα αρχικών συνθηκών) σε βηματική είσοδο: M q + K q = G f(t) q 0 = 0 q 0 = 0 Όπου f(t) = u s t είναι η συνάρτηση Heavyside Λύση Η συνολική απόκριση q t είναι το άθροισμα της ομογενούς και της ειδικής λύσης: q t = q h t + q p t 11
Βηματική Διέγερση Ειδική λύση: αναζητείται ειδική λύση της μορφής q p t = α όπου α είναι ένα Ν 1 διάνυσμα. Αντικαθιστώντας την q p t στην ΣΔΕ, προκύπτει ότι: K α = G α = K 1 G Συνολική λύση: H συνολική (ομογενής + ειδική) λύση είναι: q t = Φ diag(cos ( i ω Ομογενής λύση t + φ i )) c + K 1 G Ειδική λύση 12
Βηματική Διέγερση Οι 2Ν άγνωστες παράμετροι c i, φ i υπολογίζονται από τις 2Ν αρχικές συνθήκες: q 0 = q 0 = 0 Αντικαθιστώντας στην συνολική λύση προκύπτει: φ i = 0 c = Φ Τ K 1 G Οπότε η συνολική απόκριση σε βηματική είσοδο είναι: q t = (Ι Φ diag cos i ω t Φ Τ ) K 1 G 13
Αρμονική Διέγερση Πρόβλημα: Αναλυτικός υπολογισμός της απόκρισης σε αρμονική διέγερση (πρόβλημα αρχικών συνθηκών): όπου f t M q + K q = G f(t) q 0 = 0 q 0 = 0 = f 0 cos Ω t Λύση Η συνολική απόκριση q t είναι το άθροισμα της ομογενούς και της ειδικής λύσης: q t = q h t + q p t 14
Αρμονική Διέγερση Ειδική λύση: αναζητείται ειδική λύση της μορφής q p t = χ cos (Ω t + ψ) όπου χ είναι ένα Ν 1 διάνυσμα. Αντικαθιστώντας την q p t στην ΣΔΕ, προκύπτει ότι: ψ = 0 χ = ( Ω 2 M + K) 1 G f 0 Συνολική λύση: H συνολική (ομογενής + ειδική) λύση είναι: q t = Φ diag(cos ( i ω t + φ i )) c + Ω 2 M + K 1 G f 0 cos (Ω t) Ομογενής λύση Ειδική λύση 15
Αρμονική Διέγερση Οι 2Ν άγνωστες παράμετροι c i, φ i υπολογίζονται από τις 2Ν αρχικές συνθήκες: q 0 = q 0 = 0 Αντικαθιστώντας προκύπτει φ i = 0 c = Φ Τ ( Ω 2 M + K) 1 G f 0 Οπότε η συνολική απόκριση σε βηματική είσοδο είναι: q t = (Ι cos (Ω t) Φ diag(cos ( i ω t)) Φ Τ ) ( Ω 2 M + K) 1 G f 0 16
Παράρτημα: Κανονικοποίηση Ιδιοανυσμάτων Έστω i φ ένα ιδιοάνυσμα του συστήματος M q + K q = 0 Κάθε διάνυσμα κ i φ (κ αριθμός) είναι επίσης ιδιοάνυσμα (αντιστοιχεί στην ίδια ιδιοσυχνότητα i ω) Κανονικοποίηση: Επιλογή της τιμής του κ ώστε το νέο ιδιοάνυμα i φ κ i φ να έχει κάποια επιθυμητή ιδιότητα Μια συνήθης κανονικοποίηση είναι οι ιδιοτιμές να έχουν μοναδιαίο μέτρο: το κ επιλέγεται ώστε το μέτρο (η 2-νόρμα) του διάνυσματος κ i φ να ισούται με 1: Η 2-νόρμα x 2 ενός διανύσματος x, είναι η τετραγωνική ρίζα του αθροίσματος των τετραγώνων των στοιχείων του: x 2 = x Τ x Επομένως το κ επιλέγεται ώστε: κ i φ 2 = κ i φ Τ κ i φ = κ i φ Τ i φ = 1 κ = ( i φ Τ i φ ) 1 17
Παράρτημα: Κανονικοποίηση Ιδιοανυσμάτων Παράδειγμα: Για ένα σύστημα 2 Β.Ε. τα ιδιοανύσματα υπολογίστηκαν ως 1 φ = 1 4 T και 2 φ = 8 2 T. Υπολογίστε τα κανονικοποιημένα ιδιοανύσματα μοναδιαίου μέτρου. Λύση 1 ο ιδιοάνυσμα: κ = ( 1 φ Τ 1 φ) 1 = ( 1 2 + 4 2 ) 1 = 0.242 Το αντίστοιχο κανονικοποιημένο ιδιοάνυσμα είναι 1 φ = 0.242 1 4 T = 0.242 0.970 T 2 ο ιδιοάνυσμα: κ = ( 2 φ Τ 2 φ) 1 = ( ( 8) 2 +2 2 ) 1 = 0.121 Το αντίστοιχο κανονικοποιημένο ιδιοάνυσμα είναι 2 φ = 0.121 8 2 T = 0.970 0.242 T Το ορθοκανονικό μητρώο ιδιοανυσμάτων είναι Φ = 1 φ 2 φ = 0.242 0.970 0.970 0.242. Εύκολα επιβεβαιώνεται ότι ΦΤ Φ = Φ Φ Τ = I 18