Patea IV. Câmp magnetc staţona 57 4.2. Fomule Bot-Savat-Laplace ) Cazul 3 evenm la ecuaţle câmpulu magnetc în egmul staţona (Cap.): ot H (4.4) dv B 0 (4.5) B H (4.6) n elaţa (4.5), ezultă că putem sce (v. ş Patea I, Cap.2): B ota (4.7) unde A este potenţalul magnetc vecto. Înlocund (4.7) în (4.6) ş apo în (4.4), ezultă ecuaţa dfeenţală cu devate paţale a potenţalulu vecto A, cae nlocueşte sstemul (4.4), (4.5), (4.6): ot ota (4.8) În cazul medulu omogen (ct), elaţa (4.8) devne: ot ota ot ota ( A) ( ( A) ( ) A) Impunem acum potenţalulu vecto condţa de etalonae: dv A A 0 (4.9) ş, notând (Laplacan), ezultă ecuaţa: A (4.20) cae, scsă pe componente, înt-un sstem de coodonate catezene, conduce la ecuaţle:
Patea IV. Câmp magnetc staţona 58 A x x, A y y, z z A (4.2) M A P B Fg.4.2. C@mpul magnetc ceat de o dstbu\e volumc` de denstate de cuent. La Patea a II-a, Cap.4, pa.4., Fomule coulombene, a fost făcută obsevaţa că ecuaţa: ε V ρ v ae soluţa dată de elaţa coulombană: V ε ρ v dv în cazul unu medu omogen ş nemăgnt. La fel, ecuaţle (4.2) vo avea soluţle: A x x dv, Ay y dv, Az z dv (4.22) pentu medle omogene ş nemăgnte. Înmulţnd cele te elaţ cu veso constanţ, j, k a axelo de coodonate, pe cae putem să- ntoducem sub semnul de ntegae, ezultă pn însumae (Fg.4.2):
Patea IV. Câmp magnetc staţona 59 A( P) ( dv M ( (4.23) Potenţalul vecto dat de elaţa (4.23) este soluţe a ecuaţe dfeenţale (4.20). Pentu a f soluţe a ecuaţe (4.8), tebue să dovedm că expesa (4.23) vefcă condţa de etalonae (4.9). eoaece devatele în elaţa (4.9) se fac în apot cu coodonatele punctulu opeatoul poate nta sub semnul de ntegae, ntegaea făcându-se în apot cu coodonatele punctulu M. ezultă: ( P A( P) P dvm (4.24) ( Avem: ( P P (4.25) ( ( 3 Ma avem: ( M M ( + M (4.26) ( ( ( a dn elaţa (4.4) ezultă că dv dvoth 0 ş atunc elaţa (4.26) devne: ( ' M (4.27) ( 3 3 unde '. ezultă că elaţa (4.24) se ma sce: P A( P) M ( dv ( M n ds a componenta nomală a denstăţ de cuent este nulă pe fontea a domenulu (v. Patea I, Cap.4, pa.4.3) ş, ca umae, condţa de etalonae (4.9) este îndeplntă. Inducţa magnetcă ezultă dn elaţa (4.7):
Patea IV. Câmp magnetc staţona 60 Avem: B P ( A( P) P dv ( ( P P ( ( 3 M (4.28) ş (4.28) devne: B dv 3 (4.29) elaţle (4.23) ş (4.29) sunt fomulele Bot-Savat-Laplace. P n Γ detalu S Fg.4.3. Conducto flfom. Cazul conductoaelo flfome În cazul conductoaelo flfome, domenul ae foma specală dn Fg. 4.3, în cae dmensunle secţun tansvesale sunt mult ma mc decât a tea dmensune, cae desce cuba închsă Γ. În plus, denstatea de volum a cuentulu este oentată dea lungul cube Γ. Pvnd o poţune mult mătă dn conducto (Fg.4.3), apecem că, local, vecto n, ş au aceeaş oentae. Atunc, putem sce:
Patea IV. Câmp magnetc staţona 6 dv S ş dv S ş elaţle (4.23) ş (4.29) devn: A Γ Γ B 3 (4.30) (4.3) Aplcaţe: Fomula lu Neumann pentu calculul nductvtăţ de cuplaj înte două spe flfome ce descu cubele Γ, Γ 2 ş sunt stuate înt-un medu omogen ş nemăgnt. Inductvtatea de cuplaj este (Cap.2): ϕ L 2 2 (4.32) 2 0 Γ n d l ds S Γ 2 2 Fg. 4.4. ou` spe flfome, cuplate magnetc. unde ϕ 2 este fluxul magnetc al une supafeţe S Γ 2 de boduă Γ 2 (Fg.4.4). Ţnând cont de elaţa (4.7) ş utlzând fomula lu Stokes, avem: ϕ 2 S B nds S ota nds A d l 2 (4.33)
Patea IV. Câmp magnetc staţona 62 Potenţalul vecto A este podus de cuentul cae pacuge pma spă (4.30): A (4.34) Γ Înlocund (4.34) în (4.33) ş apo în (4.32), ezultă: L 2 2 Γ (4.35) elaţa (4.35) este fomula lu Neumann. ) Cazul 2 Fe un f ectlnu nfnt de lung, pacus de cuentul electc ş aflat înt-un medu omogen ş măgnt. Poblema ae smete clndcă ş, datotă faptulu că ful este nfnt de lung, mămle nu depnd de coodonatele z ş θ. Aplcăm teoema lu Ampèe (.) pe cuba Γ de fomă cculaă cu centul pe f, de ază ş de lungme l : Γ Γ de unde ezultă: H d l Hθ Hθ Hθ lγ Hθ Γ Γ Hθ (4.36) Aplcăm teoema lu Ampèe pe cuba Γ 2 ABCA de fomă deptunghulaă, cu latule BC ş A paalele cu ful ş ţnem cont de faptul că H nu depnde de coodonatele z ş θ: H d l H + H z ( B) H H z ( ) AB BC C A H z ( B) H z ( ) H z ( B) BC H z ( ) A 0 BC A
Patea IV. Câmp magnetc staţona 63 de unde ezultă H z ( B) H z ( ). ec, componenta lu H pe decţa z este constantă. Impunând H 0 pentu 0, ezultă că H z 0. Aplcăm legea fluxulu magnetc pe supafaţa închsă Σ de fomă clndcă, cu axa pe f, de înălţme h, cu bazele S, S 2 ş supafaţa lateală S l : B nds 0 Σ dec: BzdS Bz ds + BdS B h 0 S S 2 S de unde: B 0 k Γ H θ n C S Ez S l A B n B S 2 n 2 e ac ezultă: ş: Fg.4.5. C@mpul magnetc podus de un f ectlnu pacus de cuentul electc. B H θ (4.37)
Patea IV. Câmp magnetc staţona 64 k B (4.38) 2 Admtem că potenţalul vecto A depnde doa de coodonata ş este oentat pe decţa axe oz: AkA(x,y). Atunc, avem: B A k A k A' Compaând cu elaţa (4.38), ezultă: A' ş, admţând că la 0 avem A0, ezultă: acă 0m, avem: ln A 0 A ln (4.39) emacăm că stuctua analzată ma sus ae confguaţe planpaalelă (v. Patea a II-a, Cap.4, pa.4.). acă cuentul electc este dstbut înt-un domenu ², cu denstatea de volum a cuentulu electc oentată pe decţa axe oz, atunc, folosnd ezultatele (4.38) ş (4.39), obţnem: ş: B k A 2 ln ds ds (4.40) (4.4)
Patea IV. Câmp magnetc staţona 65 elaţle (4.40) ş (4.4) sunt fomulele fomulele Bot-Savat- Laplace pentu stuctu plan-paalele.