Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

2ο κεφάλαιο: Ευθείες Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ )

Μαθηµατικά Προσανατολισµού Β Λυκείου Αποστόλου Γιώργος Μαθηµατικός

Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com κιν. 6944380346 άδεια χρήσης 1η Εκδοση, Ιούλιος 2015

Περιεχόµενα 1 Ευθειες...................................................... 7 1.1 Ευθειες 1.1.1 1.1.2 Θεωρία......................................................... 7 Μεθοδολογίες................................................... 22 2 Βιβλιογραφία.................................................. 37 7 Βιβλιογραφία.................................................. 37 2.1 2.2 Βιβλία 37 Βιβλία 37 Ιστοσελίδες 37 Ιστοσελίδες 37

Ευθειες Θεωρία Μεθοδολογίες 1. Ευθειες 1.1 Ευθειες 1.1.1 Θεωρία Ερώτηση 1.1.1 Ποιά εξίσωση λέγεται εξίσωση γραµµής ; Απάντηση Ενα σηµείο σηµείο A(xo, yo ) είναι σηµείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f αν-ν yo = f (xo ) Αρα µια εξίσωση µε δύο αγνώστους x, y λέγεται εξίσωση της γραµµής C αν-ν όλες οι συντεταγµένες των σηµείων της καµπύλης επαληθεύουν την εξίσωση. Σχήµα 1.1: Εξίσωση γραµµής

Ερώτηση 1.1.2 Ποιος είναι ο συντελεστής διεύθυνσης µιας ευθείας ; Απάντηση Ο συντελεστής διεύθυνσης µιας ευθείας, είναι η εφαπτόµενη της γωνιάς που σχηµατίζει η ευθεία µε τον xx Σχήµα 1.2: Εξίσωση γραµµής Ο συντελεστής διεύθυνσης είναι ϑετικός όταν η γωνία που σχηµατίζει η ευθεία µε τον xx είναι οξεία. 0 o ω 90 o Σχήµα 1.3: Συντελεστής διεύθυνσης µιας ευθείας 8

Ο συντελεστής διεύθυνσης είναι αρνητικός όταν η γωνία που σχηµατίζει η ευθεία µε τον xx είναι αµβλεία. 90 o ω 180 o. Σχήµα 1.4: Συντελεστής διεύθυνσης µιας ευθείας Ο συντελεστής διεύθυνσης είναι µηδέν όταν η ευθεία είναι παράλληλα µε τον µε τον xx δηλαδή ω = 0 o. 9

Σχήµα 1.5: Συντελεστής διεύθυνσης µιας ευθείας Ο συντελεστής διεύθυνσης δεν ορίζεται όταν η ευθεία είναι κάθετη στον xx δηλαδή ω = 90 o. Σχήµα 1.6: Συντελεστής διεύθυνσης µιας ευθείας 10

Ερώτηση 1.1.3 Πως ορίζεται η εξίσωση µιας ευθείας ; Απάντηση Μια εξίσωση µε δύο αγνώστους x, y, πρώτου ϐαθµού και οι δύο, λέγεται εξίσωση της ευθείας (ɛ) αν-ν όλες οι συντεταγµένες των σηµείων της ευθείας επαληθεύουν την εξίσωση. Ερώτηση 1.1.4 Ποια είναι η εξίσωση της ευθείας που τέµνει τον yy στο (β, 0) και σχηµατίζει µε τον xx γωνία ω; Απάντηση Η εξίσωση y = αx + β Με λ ɛ = α = ɛφω και β το σηµείο στο οποίο η (ɛ) τέµνει τον yy Σχήµα 1.7: Εξίσωση ευθείας 11

Ερώτηση 1.1.5 Ποια είναι η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και σχηµατίζει µε τον xx γωνία ω; Απάντηση Η εξίσωση y = αx είναι η εξίσωση της ευθείας που έχει συντελεστή διεύθυνσης λ ɛ = α και διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Σχήµα 1.8: Εξίσωση ευθείας 12

Ερώτηση 1.1.6 Ποια είναι η εξίσωση της ευθείας που τέµνει τον yy στο (β, 0) και είναι παράλληλη µε τον xx ; Απάντηση Η εξίσωση y = β είναι η εξίσωση της ευθείας που έχει συντελεστή διεύθυνσης λ ɛ = 0 δηλαδή είναι παράλληλη στον yy και διέρχεται από το σηµείο A(0, β) Σχήµα 1.9: Εξίσωση ευθείας 13

Ερώτηση 1.1.7 Ποια είναι η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σηµείο A(x o, y o ) και σχηµατίζει µε τον xx γωνία ω 90 o ; Απάντηση Η εξίσωση y y o = λ(x x o ) είναι η εξίσωση της ευθείας που έχει γνωστό συντελεστή διεύθυνσης λ και διέρχεται από το γνωστό σηµείο A(x o, y o ) Αποδειξη Εστω ενα σηµειο M(x, y) της ευθειας και το σηµειο A(x o, y o ). Ο συντελεστης διευθυνσης της ευθειας ειναι : λ = λ AM = y y o x x o y y o = λ(x x o ) Σχήµα 1.10: Εξίσωση ευθείας 14

Ερώτηση 1.1.8 Ποια είναι η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σηµείο A(x o, y o ) και σχηµατίζει µε τον xx γωνία ω = 90 o (είναι κάθετη στον xx ); Απάντηση Η εξίσωση x = x o είναι η εξίσωση της ευθείας που είναι κάθετη στον xx, δηλαδή δεν έχει συντελεστή διεύθυνσης λ και διέρχεται από το γνωστό σηµείο A(x o, y o ) Σχήµα 1.11: Εξίσωση ευθείας 15

Ερώτηση 1.1.9 Ποια είναι η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από δυο γνωστά σηµεία A(x 1, y 1 ) και B(x 2, y 2 ); Απάντηση x x 1 x 1 x 2 = y y 1 y 1 y 2, x 1 x 2, y 1 y 2 y y 1 = y 2 y 1 x 2 x 1 (x x 1 ), x 1 x 2 Σχήµα 1.12: Εξίσωση ευθείας 16

Ερώτηση 1.1.10 Ποια είναι η εξίσωση της ευθείας που τέµνει τους άξονες στα σηµεία A(α, 0) και B(0, β); Απάντηση x α + y β = 1 Ερώτηση 1.1.11 Πότε δυο ευθείες είναι παράλληλες ; Απάντηση Αν οι συντελεστές διεύθυνσης 2 ευθειών ορίζονται, τότε : Οι ευθείες είναι παράλληλες αν-ν οι συντελεστές διεύθυνσης είναι ίσοι ɛ 1 ɛ 2 λ 1 = λ 2 Σχήµα 1.13: Παραλληλες ευθειες 17

Ερώτηση 1.1.12 Πότε δυο ευθείες είναι κάθετες ; Απάντηση Αν οι συντελεστές διεύθυνσης 2 ευθειών ορίζονται, τότε : Οι ευθείες είναι κάθετες αν-ν οι συντελεστές διεύθυνσης είναι αντίθετοι και αντίστροφοι ɛ 1 ɛ 2 λ 1 λ 2 = 1 Σχήµα 1.14: Καθετες ευθειες 18

Ερώτηση 1.1.13 Ποια είναι η γενική µορφή της εξίσωση µιας ευθείας ; Απάντηση Η εξίσωση Ax + By + Γ = 0, µε A 0 ή B 0 είναι η γενική µορφή της εξίσωσης µιας ευθείας. Αποδειξη Θεωρούµε την ευθεία µε εξίσωση : 1η περίπτωση : y = αx + β η οποία έχει συντελεστή διεύθυνσης α και τέµνει τον yy στο ϐ. y = αx+β αx y+β = 0 Άρα γράφετε στη µορφή Ax + By + Γ = 0 µε A = α, B = 1 0, Γ = β 2η περίπτωση : x = x o η οποία είναι κάθετη στον xx και δεν ορίζεται για αυτή συντελεστής διεύθυνσης. x = x o x x o = 0 Άρα γράφετε στη µορφή Ax + By + Γ = 0 µε A = 1 0, B = 0, Γ = x o Άρα και στις 2 περιπτώσεις η εξίσωση της ευθείας µπορεί να πάρει τη µορφή Ax+By+Γ = 0, µε A 0 ή B 0 Αντιστροφα : Θεωρώ την εξίσωση Ax + By + Γ = 0, µε A 0 ή B 0 1η περίπτωση : Αν B 0 τοτε : Ax + By + Γ = 0 y = A B x Γ B Η οποία είναι εξίσωση ευθείας µε συντελεστή διεύθυνσης λ = A B και τέµνει τον yy στο σηµείο A(0, Γ B ) 2η περίπτωση : Αν B = 0 τότε A 0 και η εξίσωση γράφεται : Ax + 0y + Γ = 0 x = Γ B Η οποία είναι εξίσωση ευθείας για την οποία δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης (είναι κάθετη στον xx ) και τέµνει τον xx στο σηµείο K( Γ A, 0) Άρα και στις 2 περιπτώσεις η εξίσωση Ax + By + Γ = 0, µε A 0 ή B 0 παριστάνει ευθεία. Η οποία έχει συντελεστή διεύθυνσης λ ɛ = A B όταν A 0 Είναι παράλληλη στο διάνυσµα u = ( B, A) και κάθετη στο διάνυσµα v = (A, B) Ειδικές περιπτώσεις A = 0 (ɛ xx ) B = 0 (ɛ xx ) Γ = 0 η ευθεια διερχεται απ το O(0, 0) Ερώτηση 1.1.14 Ποια είναι εξίσωση της ευθείας που διέρχεται απ το σηµείο K(x o, y o ) και είναι κάθετη στο u = (A, B) Απάντηση A()x x o ) + B(y y o ) = 0 19

Σχήµα 1.15: Γενικη εξίσωση ευθειας Ερώτηση 1.1.15 Οι ευθείες 1. Πότε είναι παράλληλες ; 2. Πότε ταυτίζονται ; 3. Πότε τέµνονται ; Απάντηση { A1 x + B 1 y + Γ 1 = 0 A 2 x + B 2 y + Γ 2 = 0 1. Είναι παράλληλες όταν A 1 B 1 A 2 B 2 = 0 2. Ταυτίζονται όταν A 1 A 2 = B 1 B 2 = Γ 1 Γ 2 3. Τέµνονται όταν A 1 B 1 A 2 B 2 0 Ερώτηση 1.1.16 Ποια είναι η γωνία που σχηµατίζουν δυο µη παράλληλες ευθείες µεταξύ τους ; Απάντηση{ A1 x + B 1 y + Γ 1 = 0 Οι ευθείες A 2 x + B 2 y + Γ 2 = 0 είναι παράλληλες στα διανύσµατα u 1 = ( B 1, A 1 ) και u 2 = ( B 2, A 2 ) Άρα η γωνία των ευθειών, είναι ίση µε τη γωνία των διανυσµάτων τους. συνθ = συν(ɛ 1, ɛ 2 ) = συν( u 1, u 1 u 2 u 2 ) = u 1 u 2 = A 1 A 2 + B 1 B 2 A 2 1 + B1 2 A 2 2 + B2 2 Ερώτηση 1.1.17 Ποιος είναι τύπος της απόστασης ενός σηµείου A(x o, y o ) από µια ευθεία (ɛ) : Ax + By + Γ = 0; Απάντηση 20

Ο τύπος της απόστασης Σ είναι : d(a, ɛ) = Ax o + By o + Γ A 2 + B 2 Σχήµα 1.16: Απόσταση σηµείου από ευθεία Ερώτηση 1.1.18 Τι ονοµάζουµε οικογένεια ευθειών ; Απάντηση Οικογένεια ευθειών είναι το σύνολο των ευθειών, ενός επιπέδου, οι οποίες διέρχονται από ένα σταθερό σηµείο Κ, το οποίο καλείτε κέντρο της οικογένειας. Αν ϑεωρήσουµε ως κέντρο το σηµείο K(x o, y o ) το οποίο είναι η τοµή 2 ακτίνων της οικογένειας, τις { A1 x + B 1 y + Γ 1 = 0 A 2 x + B 2 y + Γ 2 = 0 Τότε κάθε ακτίνα της οικογένειας ϑα είναι της µορφής µ(a 1 x+b 1 y+γ 1 )+λ(a 2 x+b 2 y+γ 2 ) = 0 (A 1 x+b 1 y+γ 1 )+ρ(a 2 x+b 2 y+γ 2 ) = 0 µε µ, λ, ρ R, µ + λ 0 Ερώτηση 1.1.19 Ποιος είναι ο τύπος που υπολογίζει το εµβαδόν ενός τριγώνου ΑΒΓ; Απάντηση E ABΓ = 1 2 det( AB, AΓ) 1 2 det( BA, BΓ) 1 2 det( ΓB, ΓA) 21

1.1.2 Μεθοδολογίες Μεθοδολογία 1.1.20 Η εξίσωση Ax + By + Γ = 0 παριστάνει ευθεία Οταν οι εξισώσεις A = 0 και B = 0 δεν έχουν κοινή λύση. Θέµα 1.1 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (µ 1)x+µy +µ 2 = 0 παριστάνει ευθεία γραµµή για κάθε τιµή του πραγµατικού αριθµού µ. Λύση 1.1.1 Ο συντελεστής του x το µ 1 µηδενίζεται για µ 1 = 0 µ = 1 Ο συντελεστής του y το µ µηδενίζεται για µ = 0. Αφού οι συντελεστές των x, y δεν µηδενίζονται ταυτόχρονα για κάποιον πραγµατικό αριθµό µ, η εξίσωση (µ 1)x + µy + µ 2 = 0 παριστάνει ευθεία γραµµή για κάθε τιµή του πραγµατικού αριθµού µ. Θέµα 1.2 Να εξετάσετε για ποιες τιµές του πραγµατικού αριθµού µ, η εξίσωση (µ 2 1)x + (µ + 1)y + µ 2 = 0 παριστάνει ευθεία γραµµή. Λύση 1.1.2 Ο συντελεστης του x το µ 2 1 µηδενιζεται για µ 2 1 = 0 µ 2 = 1 µ = ±1 Ο συντελεστης του y το µ + 1 µηδενιζεται για µ + 1 = 0 µ = 1. Αφου οι στντελεστες των x, y µηδενιζονται ταυτοχρονα για µ = 1, η εξισωση (µ 2 1)x+(µ+1)y +µ 2 = 0 παριστανει ευθεια γραµµη για καθε τιµη του πραγµατικου αριθµου µ εκτος απο το -1. Αρα µ R 1. Μεθοδολογία 1.1.21 Προσδιορισµος εξισωσης ευθειας οταν γνωριζω ενα σηµειο A(x o, y o ) της εξισωσης 1η µορφη x = x o και την επαληθευω ή την αποριπτω. 2η µορφη y y o = λ(x x o ) και υπολογιζω το λ Θέµα 1.3 Να ϐρειτς τις εξισωσεις των ευθειων, που διερχονται απο το σηµειο A( 1, 2) και σχηµατιζουν µε τους αξονες ισοσκελες τριγωνο. Λύση 1.1.3 Οι ευθειες που διερχονται απο το σηµειο A( 1, 2) ειναι οι : x = 1, την οποια επαληθευω ή αποριπτω y 2 = λ(x + 1), στην οποια προσδιοριζω το λ Η x = 1 δεν σχηµατιζει τριγωνο µε τους αξονες, οποτε απορριπτεται. Για να ϐρω σε ποιο σηµειο η y 2 = λ(x + 1) τεµνει το xx ϑετω y = 0 και υπολογιζω το x και για να ϐρω σε ποιο σηµειο τεµνει τον yy ϑετω x = 0. 22

y 2 = λ(x + 1) y=0 2 = λ(x + 1) 2 = λx + λ x = 2 λ λ Αρα το σηµειο στο οποιο η y 2 = λ(x+1) τεµνει τον xx στο σηµειο A( 2 λ, 0) λ y 2 = λ(x + 1) x=0 y 2 = λ(0 + 1) y 2 = λ y = 2 + λ Αρα το σηµειο στο οποιο η y 2 = λ(x + 1) τεµνει τον yy στο σηµειο B(0, 2 + λ) Για να ειναι το τριγωνο ΟΑΒ ισοσκελες ϑα πρεπει : (OA) = (OB) 2 λ = 2 + λ 2 λ λ λ εξισωσεις 2 λ (1) : (2) : = (2 + λ) (1) και 2 λ = (2 + λ), (2) λ λ 2 λ = (2 + λ)... λ = 1 ή λ = 2 λ 2 λ = (2 + λ)... λ = 1 ή λ = 2 λ = ±(2 + λ) Οποτε εχω να λυσω τις Αρα : για λ = 1 εχουµε την ευθεια y = x + 3 για λ = 1 εχουµε την ευθεια y = x + 1 για λ = 2 εχουµε την ευθεια y = 2x η οποια σχηµατιζει µε τους αξονες, τριγωνο µε µηδενικου µηκους πλευρες. Θέµα 1.4 Να ϐρειτε την εξισωση της ευθειας που διερχεται απο το σηµειο M(2, 1) και τεµνει τις ευθειες y = x + 1 (ɛ 1 ) και y = x + 1 (ɛ 2 ) στα σηµεια Α και Β αντιστοιχα, ετσι ωστε το Μ να ειναι µεσο του ΑΒ. Λύση 1.1.4 Οι ευθειες που διερχονται απο το σηµειο M(2, 1) ειναι οι : x = 2, την οποια επαληθευω ή αποριπτω y 1 = λ(x 2), στην οποια προσδιοριζω το λ Η x = 2 τεµνει την y = x + 1 (ɛ 1 ) στο Α(2, 3) Η x = 2 τεµνει την y = x + 1 (ɛ 2 ) στο Β(2, -1) Το µεσον του ΑΒ ειναι το ( 2 + 2 2, 3 1 ) = (2, 1) = M 0 Αρα η x = 2 ειναι δεκτη λυση στο προβληµα µας. Η y 1 = λ(x 2) τεµνει την y = x + 1 (ɛ 1 ) στο Α y = λx 2λ + 1 A λx 2λ + 1 = x + 1 x = y = x + 1 2λ λ 1 23

Αρα A( 2λ λ 1, 2λ 2λ + 1) = A( λ 1 λ 1, 3λ 1 λ 1 ) Η y 1 = λ(x 2) τεµνει την y = x + 1 (ɛ 2 ) στο Β y = λx 2λ + 1 B λx 2λ + 1 = x + 1 x = 2λ λ + 1 y = x + 1 Αρα B( 2λ λ + 1, 2λ 2λ + 1) = B( λ + 1 λ + 1, λ + 1 λ + 1 ) 2λ Το µεσον του ΑΒ ειναι ( λ 1 + 2λ 3λ 1 λ + 1, λ 1 + λ + 1 λ + 1 ) = (2, 1) 2 2 Αρα εχουµε : 2λ(λ + 1) + 2λ(λ 1) 2(λ 2 = 2 1) (3λ 1)(λ + 1) + (λ 1)( λ + 1) 2(λ 2 = 1 1) 2λ 2 + 2λ + 2λ 2 2λ = 4λ 2 4 3λ 2 + 3λ λ 1 + λ λ 2 1 + λ = 2λ 2 2 0 = 4 αδύνατο 4λ = 0 Άρα δεν υπάρχει λ ώστε η y 1 = λ(x 2) να ικανοποιεί την προϋπόθεση του προβλήµατος. Άρα η µοναδική ευθεία που έχουµε είναι η x = 2. Μεθοδολογία 1.1.22 Προσδιορισµός εξίσωσης ευθείας όταν γνωρίζω τον συντελεστή διεύθυνσης λ Γράφω την εξίσωση στη µορφή y = λx + β και υπολογίζω το β Θέµα 1.5 Να ϐρείτε την εξίσωση της ευθείας που είναι παράλληλη στην ευθεία (ɛ 1 ) : y = 2 3 x 11 3 και τέµνει τους άξονες xx και yy στα σηµεία Α και Β, ώστε το άθροισµα της τετµηµενης του Α και της τεταγµένης του Β να είναι ίσο µε 15. Λύση 1.1.5 Η ευθεία (ɛ 1 ) : y = 2 3 x 11 3 έχει συντελεστή διεύθυνσης λ ɛ 1 = 2 3, άρα η Ϲητούµενη ευθεία ɛ επειδή είναι παράλληλη στην (ɛ 1 ) έχει συντελεστή διεύθυνσης λ ɛ = λ ɛ1 = 2 3 Οπότε η εξίσωση της είναι (ɛ) : y = 2 3 x + β Το σηµείο Α στο οποίο τέµνει τον xx το ϐρίσκω αντικαθιστώντας y = 0 στην εξίσωση της 24

y = 2 3 x + β y=0 0 = 2 3 x + β 2 3 x = β x = 3β 2 Άρα το σηµείο είναι A( 3β 2, 0) Το σηµείο Β στο οποίο τέµνει τον yy το ϐρίσκω αντικαθιστώντας x = 0 στην εξίσωση της y = 2 3 x + β x=0 y = β Άρα το σηµείο είναι B(0, β). Επειδή το άθροισµα της τετµηµενης του Α και της τεταγµένης του Β να είναι ίσο µε 15, έχουµε 3β 2 + β = 15 5β 2 = 15 β = 6 οπότε (ɛ) : y = 2 3 x + 6 Μεθοδολογία 1.1.23 Προσδιορισµός συντελεστή διεύθυνσης 1η περίπτωση Μου δίνουν 2 σηµεία A(x 1, y 1 ) και B(x 2, y 2 ) της ευθείας λ ɛ = y 2 y 1 x 2 x 1, x 2 x 1 2η περίπτωση Ξέρω τη γωνία ω την οποία σχηµατίζει η ευθεία µε τον xx 3η περίπτωση Η y = αx + β έχει 4η περίπτωση Η Ax + By + Γ = 0 έχει 5η περίπτωση Οταν ɛ 1 ɛ 2 τότε λ ɛ1 = λ ɛ2 6η περίπτωση Οταν ɛ 1 xx τότε λ ɛ1 = 0 λ ɛ = ɛφω λ ɛ = α λ ɛ = A B 7η περίπτωση Οταν ɛ η = (x, y) τότε λ ɛ = y x, x 0 8η περίπτωση Οταν ɛ 1 ɛ 2 τότε λ ɛ1 λ ɛ2 = 1 9η περίπτωση Οταν ɛ 1 xx τότε λ ɛ1 δεν ορίζεται 10η περίπτωση Οταν ɛ η = (x, y) τότε λ ɛ = x y, y 0 Παρατηρήσεις Για την (ɛ) Ax + By + Γ = 0 έχουµε : 1ον ɛ n = (B, A) 2ον ɛ n = (A, B) Θέµα 1.6 Να ϐρείτε την εξίσωση της ευθείας (ε), που διέρχεται από το σηµείο A( 1, 3) και i. και το σηµείο B(3, 1) ii. σχηµατίζει µε τον xx γωνία ω = 60 o 25

iii. είναι παράλληλη στην ευθεία (n) : y = 2x 8 iv. είναι παράλληλη στην (n) : 3x + y 2 = 0 v. είναι παράλληλη στο διάνυσµα n = (1, 2) vi. είναι παράλληλη στον xx vii. είναι κάθετη στην ευθεία (n) : y = 1 2 x + 3 viii. είναι κάθετη στην ευθεία (n) : x 2y + 4 = 0 ix. είναι κάθετη στο διάνυσµα n = ( 3, 1) x. είναι κάθετη στον xx Λύση 1.1.6 i. Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας (ε) είναι : λ ɛ = λ AB = 1 3 3 + 1 = 1 2 Άρα η εξίσωση της ευθείας (ε), είναι : y 3 = 1 2 (x + 1) y = 1 2 x + 5 2 ii. Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας (ε), είναι : λ ɛ = ɛφω = ɛφ60 o = 3 Άρα η εξίσωση της ευθείας (ε), είναι : y 3 = 3(x + 1) y = 3x + 3 + 3 iii. Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας (n) : y = 2x 8, είναι 2 Επειδή (ɛ) (n) λ ɛ = λ n λ ɛ = 2 Άρα η εξίσωση της ευθείας (ε), είναι : y 3 = 2(x + 1) y = 2x + 5 iv. Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας (n) : 3x + y 2 = 0, είναι λ n = 3 1 = 3 Επειδή (ɛ) (n) λ ɛ = λ n λ ɛ = 3 Άρα η εξίσωση της ευθείας (ε), είναι : y 3 = 3(x + 1) y = 3x v. Ο συντελεστής διεύθυνσης του διανύσµατος n = (1, 2), είναι λ n = 2 1 = 2 Επειδή (ɛ) n λ ɛ = λ n λ ɛ = 2 Άρα η εξίσωση της ευθείας (ε), είναι : y 3 = 2(x + 1) y = 2x + 5 vi. Ο συντελεστής διεύθυνσης του xx, είναι 0 Επειδή (ɛ) (xx ) λ ɛ = 0 Άρα η εξίσωση της ευθείας (ε), είναι : y 3 = 0(x + 1) y = 3 vii. Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας (n) : y = 1 2 x + 3, είναι λ n = 1 2 Επειδή (ɛ) (n) λ ɛ λ n = 1 λ ɛ = 2 Άρα η εξίσωση της ευθείας (ε), είναι : y 3 = 2(x + 1) y = 2x + +1 viii. Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας (n) : x 2y + 4 = 0, είναι λ n = 1 2 = 1 2 Επειδή (ɛ) (n) λ ɛ λ n = 1 λ ɛ = 2 Άρα η εξίσωση της ευθείας (ε), είναι : y 3 = 2(x + 1) y = 2x + 1 ix. Ο συντελεστής διεύθυνσης του διανύσµατος n = ( 3, 1), είναι λ n = 1 3 = 1 3 Επειδή (ɛ) (n) λ ɛ λ n = 1 λ ɛ = 3 26

Άρα η εξίσωση της ευθείας (ε), είναι : y 3 = 3(x + 1) y = 3x + 6 x. Αφού η (ε) είναι κάθετη στον xx ο συντελεστής διεύθυνσης της δεν ορίζεται. Άρα η εξίσωση της ευθείας (ε), είναι x = 1 Μεθοδολογία 1.1.24 Προσδιορισµός σηµείων Σηµεία τοµής, ευθείας µε τους άξονες, για να ϐρω σε ποιο σηµείο η ευθεία τέµνει τον xx τέµνει τον y ϐάζω στον τύπο της, y = 0 και ϐρίσκω τον x ϐάζω στον τύπο της, x = 0 και ϐρίσκω τον y Σηµείο τοµής 2 ευθειών, για να ϐρω σε ποιο σηµείο τέµνονται 2 ευθείες, λύνω το σύστηµα των εξισώσεων τους. Συµµετρικά σηµεία, µε κέντρο συµµετρίας, για να ϐρω το συµµετρικό ενός σηµείου, ως προς κάποιο γνωστό κέντρο συµµετρίας, χρησιµοποιώ τον τύπο του µέσου. Οταν έχω τις συντεταγµένες 2 σηµείων A(x 1, y 1 ) και B(x 2, y 2 )] είναι : Το µέσο Μ έχει συντεταγµένες M AB = ( x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) 2 2 Τυχαίο σηµείο Του επιπέδου M(x, y) Του xx M(x, 0) Του yy M(0, y) Της ευθείας y = αx + β M(x, αx + β) Θέµα 1.7 ίνονται τα σηµεία A(5, 1) και B(1, 3). Να ϐρείτε σηµείο Μ του xx, ώστε το εµβαδόν του τριγώνου ΜΑΒ να είναι 7 τ.µ.. Λύση 1.1.7 Το σηµείο Μ του xx το γράφω M(x, 0). Εχουµε τα διανύσµατα AM = (x 5, 0 1) = (x 5, 1) και AB = (1 5, 3 1) = ( 4, 2) Το εµβαδόν του τριγώνου ΜΑΒ ειανι 7 τ. µ. άρα έχουµε : (MAB) = 7 1 2 det( AM, AB) = 7 1 2 x 5 4 1 2 2(x 5) 4 = 14 2x 14 = 14 { 2x 14 = 14 2x 14 = 14 { x = 14 x = 0 = 7 Άρα το Ϲητούµενο σηµείο είναι M(14, 0) ή το M(0, 0). 27

Θέµα 1.8 ίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραµµο ΑΒΓ. Με τις πλευρές ΑΒ και Γ να έχουν εξισώσεις (AB) : x + 2y 1 = 0 και (B ) : 2x y + 3 = 0 και το σηµείο τοµής των διαγωνίων να είναι το K(1, 5 4 ). Να προσδιοριστείτε τις εξισώσεις των άλλων 2 πλευρών. Σχήµα 1.17: Άσκηση Λύση 1.1.8 Το σηµείο Α είναι το σηµείο τοµής των ευθειών (ΑΒ) και (Γ ), οπότε µπορούµε να { το προσδιορίσουµε από τη{ λύση του συστήµατος : x + 2y 1 = 0 x = 1 2x y + 3 = 0... y = 1 Άρα το Α(-1, 1). Το κέντρο του παραλληλογράµµου Κ είναι και το µέσον του ΑΓ. Αν ϑεωρήσουµε ότι η κορυφή Γ έχει συντεταγµένες Γ(x, y) από τον τύπο του µέσου έχουµε ότι : ( x 1, y + 1 2 2 ) = (1, 5 x 1 { 4 ) = 1 x = 3 2 y + 1 = 5 y = 3 2 4 2 Άρα η κορυφή Γ έχει συντεταγµένες Γ(3, 3 2 ) Η BΓ A λ BΓ = λ A λ BΓ = 2 Άρα (BΓ) : y 3 2 = 2(x 3) y = 2x 9 2 Η Γ AB λ Γ = λ AB λ Γ = 1 2 Άρα (BΓ) : y 3 2 = 1 2 (x 3) y = 1 2 x + 3 Θέµα 1.9 Να προσδιορισεται τα σηµεία της ευθείας (ɛ) : y = x + 1 τα οποία απέχουν από την ευθεία (n) : 4x + 3y 7 = 0 2 µονάδες µέτρησης. Λύση 1.1.9 Ενα τυχαίο σηµείο της ευθείας (ε) είναι της µορφής A(x o, x o + 1). Οπότε d(a, n) = 2 4x o + 3(x o + 1) 7 4 2 + 3 2 = 2 7x o 4 = 10 x o = x o = 28

2 ή x o = 6 7 Άρα έχουµε τα σηµεία A(2, 3) και B( 6 7, 13 7 ) Μεθοδολογία 1.1.25 3 σηµεία είναι συνευθειακα, όταν 2 από τα διανύσµατα που σχηµατίζουν είναι παράλληλα Εχουν ορίζουσα 0 Εχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης Επαληθεύουν την ίδια εξίσωση ευθείας Το ένα είναι πολλαπλάσιο του άλλου (αυτό όταν δεν έχω συντεταγµένες) α β = α β ή α β = α β Θέµα 1.10 Να δείξετε ότι τα σηµεία A(1, 1), B(2, 0) και Γ( 1, 3) είναι συνευθειακα. Λύση 1.1.10 Θα προσδιορίσω την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σηµεία Α και Β και στη συνέχεια ϑα αποδείξω ότι διέρχεται κι από το σηµείο Γ. λ AB = 0 ( 1) = 1 2 1 Άρα (AB) : y 0 = 1(x 2) y = x 2 y = x 2 x= 1 3 = 1 2 3 = 3 y= 3 Εποµένως τα τρία σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακα. Μεθοδολογία 1.1.26 Οικογένειες ευθειών (Παραµετρική εξίσωση) Αποδεικνύω ότι παριστάνει ευθεία η παραµετρική εξίσωση της ευθείας ϕέρνοντάς τη στη µορφή A(λ)x + B(λ)y + Γ(λ) = 0 και αποδεικνύω ότι οι εξισώσεις A(λ) = 0, B(λ) = 0 δεν έχουν κοινές λύσεις. Βρίσκω το κοινό σηµείο από το οποίο διέρχονται, ϕέρνοντας την παραµετρική εξίσωση της ευθείας, στη µορφή λ(a 1 x + B 1 y + Γ 1 ) + A 2 x + B 2 y + Γ 2 = 0 και λύνουµε το σύστηµα A 1 x + B 1 y + Γ 1 = 0 A 2 x + B 2 y + Γ 2 = 0 Θέµα 1.11 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( 2λ 2 +3λ+1)x+(5λ 2 λ+2)y+(8λ 2 +λ+5) = 0 (1) παριστάνει ευθεία, για κάθε τιµή του πραγµατικού αριθµού λ και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι όλες αυτές οι ευθείες διέρχονται από το ίδιο σηµείο, το οποίο και να ϐρείτε. 29

Λύση 1.1.11 Η εξίσωση Ax + By + Γ = 0 παριστάνει ευθεία όταν οι εξισώσεις Α=0 και Β=0 δεν έχουν κοινή λύση. Η εξίσωση A = 0 2λ 2 + 3λ + 1 = 0 έχει λύσεις λ 1,2 = 3 ± 17 4 Η εξίσωση B = 0 5λ 2 λ + 2 = 0 είναι αδύνατη, άρα οι εξισώσεις Α=0 και Β=0 δεν έχουν κοινή λύση, οπότε η (1) παριστάνει ευθεία, για κάθε τιµή του πραγµατικού αριθµού λ. ( 2λ 2 + 3λ + 1)x + (5λ 2 λ + 2)y + (8λ 2 + λ + 5) = 0 ( 2λ 2 x + 3λx + x + 5λ 2 y λy + 2y + 8λ 2 + λ + 5 = 0 λ 2 ( 2x + 5y + 8) + λ(3x y + 1) + x + 2y + 5 = 0 2x + 5y + 8 = 0 Από το σύστηµα 3x y + 1 = 0 (x, y) = ( 1, 2) x + 2y + 5 = 0 Άρα όλες οι ευθείες (1) επαληθεύονται από το ίδιο σηµείο, το οποίο είναι το Α(-1, -2). Θέµα 1.12 Να ϐρείτε την εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται απ το Μ(2, 1) και το σηµείο τοµής των 3x 5y 10 = 0 (ɛ 1 ) x + y + 1 = 0 (ɛ 2 ) Λύση 1.1.12 Αν K(x o, y o ) το σηµείο τοµής των (ɛ 1 ), (ɛ 2 ), τότε οι ευθείες αυτές µαζί µε την (ε) ανήκουν στην ίδια οικογένεια ευθειών, η οποία έχει τη µορφή (3x 5y 10) + λ(x + y + 1) = 0. Αφού η (ε) διέρχεται απ το σηµείο Μ(2, 1) ϑα επαληθεύει την παραπάνω οικογένεια. Οπότε έχουµε : (3x 5y 10) + λ(x + y + 1) = 0 για x = 2, y = 1 6 5 10 + λ(2 + 1 + 1)... λ = 9 4 Άρα η (ε) 3x 5y 10 + 9 (x + y + 1) = 0 4 Οπότε (ε) 21x 11y 31 = 0 Θέµα 1.13 Να ϐρείτε την εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται απ το σηµείο τοµής των 2x + y + 1 = 0 (ɛ 1 ) και είναι παράλληλη στην 4x 3y 7 = 0 (ζ) x 2y + 1 = 0 (ɛ 2 ) Λύση 1.1.13 Αν K(x o, y o ) το σηµείο τοµής των (ɛ 1 ), (ɛ 2 ), τότε οι ευθείες αυτές µαζί µε την (ε) ανήκουν στην ίδια οικογένεια ευθειών, η οποία έχει τη µορφή (2x + y + 1) + λ(x 2y + 1) = 0. Η οποία ϑα πρέπει να έχει συντελεστή διεύθυνσης 4 3 = λ ζ 30

(2x + y + 1) + λ(x 2y + 1) = 0 2x + y + 1 + λx 2λy + λ = 0 (2 + λ)x + (1 2λ)y + (1 + λ) = 0 Αυτή έχει συντελεστή διεύθυνσης λ ζ = 2 + λ 1 2λ = 4 3 λ = 2 Άρα (ζ) : 2x + y + 1 + 2(x 2y + 1) = 0 4x 3y + 3 = 0 Μεθοδολογία 1.1.27 Γωνιες Μεταξύ 2 ευθειών (ɛ 1 ) : A 1 x + B 1 y + Γ 1 = 0, (ɛ 2 ) : A 2 x + B 2 y + Γ 2 = 0 Θεωρώ τα διανύσµατα n 1 = ( B 1, A 1 ) ɛ 1 και n 2 = ( B 2, A 2 ) ɛ 2 τότε : Ευθείας µε τον xx συν( ɛ 1, ɛ 2 ) = συν( n 1, n 2 ) ɛφω = λ ɛ1 Θέµα 1.14 Να υπολογίσετε την οξεία γωνία, που σχηµατίζουν δυο µη παράλληλες ευθείες. Λύση 1.1.14 Εστω οι ευθείες { A1 x + B 1 y + Γ 1 = 0 A 2 x + B 2 y + Γ 2 = 0 συνθ = συν(ɛ 1, ɛ 2 ) = συν( u 1, u 2 ) = u 1 u 2 u 1 A 1 A 2 + B 1 B 2 u 2 A 2 1 + B1 2 A 2 2 + B2 2 Από τον τύπο ɛφ 2 θ + 1 1 συν 2 θ ɛφ2 θ = 1 συν 2 θ 1 Εχουµε : ɛφ 2 θ = (A2 1 + B2 1 )(A2 2 + B2 2 ) (A 1A 2 + B 1 B 2 ) 2 (A 1 A 2 + B 1 B 2 ) 2 =... = (A 1B 2 A 2 B 1 ) 2 (A 1 A 2 + B 1 B 2 ) 2 Επειδή πρόκειται για την οξεία γωνία, η οποία έχει εφαπτόµενη ϑετική (είναι στο 1ο 31

τεταρτηµόριο), έχουµε : ɛφθ = A 1B 2 A 2 B 1 A 1 A 2 + B 1 B 2 = A 1B 2 A 1 A 2 A 2B 1 A 1 A 2 A 1A 2 A 1 A 2 + B 1B 2 A 1 A 2 = λ 2 λ 1 1 + λ 1 λ 2 Μεθοδολογία 1.1.28 Εµβαδόν τριγώνου, όταν γνωρίζω τις 3 κορυφές τους. Χρησιµοποιώ τον τύπο : E ABΓ 1 det( AB, AΓ) 2 Προσοχή!!! Τα διανύσµατα που χρησιµοποιώ στην ορίζουσα πρέπει να έχουν την ίδια αρχή. Θέµα 1.15 Λύση 1.1.15 Μεθοδολογία 1.1.29 Συνιθισµενοι Γεωµετρικοι τοποι Μεσοκαθετος του ΑΒ Θεωρω σηµειο M(x, y) του Γ.Τ. και χρησιµοποιω τη ιδιοτητα, d(m, A) = d(m, B) ιχοτοµος 2 τεµνοµενων ευθειων ɛ 1, ɛ 2 Θεωρω σηµειο M(x, y) του Γ.Τ. και χρησιµοποιω τη ιδιοτητα, d(m, ɛ 1 ) = d(m, ɛ 2 ) Μεσοπαραλληλος 2 παραλληλων ευθειων ɛ 1, ɛ 2 και χρησιµοποιω τη ιδιοτητα, Θεωρω σηµειο M(x, y) του Γ.Τ. d(m, ɛ 1 ) = d(m, ɛ 2 ) Απο παµετρικο σηµειο M(f(λ), g(λ)) Θεωρω το σηµειο M(x, y) του Γ.Τ. και χρησιµοποιω οτι x = f(λ) y = g(λ) λυνωντας ως προς λ τις 2 σχεσεις και εξισωνοντας τα πρωτα µελοι εχουµε το Γ.Τ. Απο παραµετρικο σηµειο που εχει τριγωνοµετρικους αριθµους Θεωρω το σηµειο M(x, y) του Γ.Τ. λυνουµε τις σχεσεις που προκυπτουν ως προς ηµω, συνω και αντικαθιστουµε στον τυπο ηµ 2 ω + συν 2 ω = 1 32

Θέµα 1.16 Να ϐρείτε το γεωµετρικό τόπο τω σηµείων M(κ + 2, 2κ + 1), κ R Λύση 1.1.16 Είναι M(κ + 2, 2κ + 1) Θεωρώ x = κ + 2 και y = 2κ + 1 x = κ + 2 y = 2κ + 1 κ = x 2 κ = y 1 2 x 2 = 1 y 2 2x 4 = 1 y 2x + y 5 = 0 Άρα ο Ϲητούµενος γ.τ. είναι η ευθεία y = 2x + 5 Θέµα 1.17 Να ϐρείτε το γεωµετρικό τόπο τω σηµείων M(2ρκ 2, 2ρκ), κ R και ϱ σταθερός αριθµός Λύση 1.1.17 Είναι M(2ρκ 2, 2ρκ) Θεωρώ x = 2ρκ 2 και y = 2ρκ x = 2ρκ 2 y = 2ρκ 2ρx = 4ρ 2 κ 2 y = 2ρκ 2ρx = y 2 Άρα ο Ϲητούµενος γ.τ. είναι η παραβολή y 2 = 2ρx Θέµα 1.18 Να ϐρείτε το γεωµετρικό τόπο τω σηµείων M(2ηµω, 3συνω), ω R Λύση 1.1.18 Είναι M(2ηµω, 3συνω) Θεωρώ x = 2ηµω και y = 3συνω x = 2ηµω y = 3συνω ηµω = x 2 συνω = y 3 (ηµω) 2 + (συνω) 2 = ( x 2 )2 + ( y 3 )2 1 = x2 4 + y2 9 Άρα ο Ϲητούµενος γ.τ. είναι η έλλειψη x2 4 + y2 9 = 1 Θέµα 1.19 Να ϐρείτε το γεωµετρικό τόπο τω σηµείων M(4ηµω, 4συνω), ω R 33

Λύση 1.1.19 Είναι M(4ηµω, 4συνω) Θεωρώ x = 2ηµω και y = 3συνω x = 4ηµω y = 4συνω ηµω = x 4 συνω = y 4 (ηµω) 2 + (συνω) 2 = ( x 4 )2 + ( y 4 )2 1 = x2 16 + y2 16 Άρα ο Ϲητούµενος γ.τ. είναι ο κύκλος x 2 + y 2 = 16 µε κέντρο K(0, 0) και ακτίνα ρ = 4 1 Θέµα 1.20 Να ϐρείτε το γεωµετρικό τόπο τω σηµείων M( συνω, ɛφω), ω R 1 Λύση 1.1.20 Είναι M( συνω, ɛφω) Θεωρώ x = 1 και y = ɛφω συνω x = 1 συνω y = ɛφω 1 1+(ɛφω) 2 = (συνω) 2 ============ συνω = 1 x ɛφω = y 1 + y 2 = x 2 1 x 1 x 2 y 2 = 1 1 x 1, 1 x 1 Άρα ο Ϲητούµενος γ.τ. είναι η υπερβολή x 2 y 2 = 1 µε x 1 Μεθοδολογία 1.1.30 Αποστασεις Αποσταση µεταξυ 2 σηµειων A = (x 1, y 1 ) και B = (x 2, y 2 ) d(a, B) = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 Αποσταση µεταξυ ενός σηµείου A(x o,yo ) από µια ευθεία (ɛ) : Ax + By + Γ = 0 d(a, ɛ) = Ax o + By o + Γ A 2 + B 2 Αποσταση µεταξυ 2 παραλληλων ευθειων ɛ 1, ɛ 2 Βρισκω ενα σηµειο A(x o, y o ) της µιας ευθειας (Αντικαθιστω στη ϑεση του x εναν αριθµο και υπολογιζω το y) 34

και d(a, ɛ 2 ) = d(ɛ 1, ɛ 2 ) Θέµα 1.21 Λύση 1.1.21 35

Βιβλία Βιβλία Ιστοσελίδες Ιστοσελίδες 2. Βιβλιογραφία 2.1 Βιβλία 1. Νίκος Κυριακόπουλος ιανύσµατα, Ευθεία 2. Παπακωνσταντίνου ιανύσµατα, Ευθεία, Κύκλος 3. Σχολικό ΟΕ Β Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου 4. Μπάρλας Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου 5. Μαντας Μεγάλη αναλυτική γεωµετρία. 6. Ραικοφτσαλης Εσωτερικό γινόµενο. 7. Μοσχόπουλος ιανύσµατα, Ευθεία 2.2 Ιστοσελίδες