ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης

ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης

ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ευτέρα, 0 Μα ου 0 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της ταυτοτικής συνάρτησης f (x)=x είναι f (x)=, για κάθε x R. Α. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α. Πότε λέμε ότι η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο xo A ; Μονάδες Α. Να δώσετε τον ορισμό της διαμέσου (δ) ενός δείγματος ν παρατηρήσεων. Μονάδες Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Για τη συνάρτηση f (x) =, x 0 ισχύει ότι f (x)= x x (μονάδες ) β) Για το γινόμενο δύο παραγωγίσιμων συναρτήσεων f, g ισχύει ότι (f(x) g(x)) = f (x) g(x)+f(x) g (x) (μονάδες ) γ) Το ραβδόγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση των τιμών μιας ποσοτικής μεταβλητής. (μονάδες ) δ) Η διάμεσος είναι ένα μέτρο θέσης, το οποίο επηρεάζεται από τις ακραίες παρατηρήσεις. (μονάδες ) ε) Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω με Α Β, ισχύει ότι Ρ(Α) > Ρ(Β) (μονάδες ) Μονάδες 0 ΑΠΑΝΤΗΣΗ Α. Σχολικό βιβλίο σελ 8 Α. Σχολικό βιβλίο σελ

ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 Α. Σχολικό βιβλίο σελ 87 Α. α) Λ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) Λ ΘΕΜΑ Β Δίνεται ο δειγματικός χώρος Ω = {ω, ω, ω, ω } και τα ενδεχόμενα Α = {ω, ω } και Β = {ω, ω } Για τις πιθανότητες των απλών ενδεχομένων {ω} και {ω} του Ω ισχύει ότι: x + x+ P(ω)= lm x x + x H P(ω) είναι ίση με το ρυθμό μεταβολής της f (x) ως προς x, όταν x =, όπου f (x) = x lnx, x > 0 Β. Να αποδείξετε ότι P(ω) = και P(ω)= Β. Να αποδείξετε ότι P(A ), όπου A το συμπληρωματικό του A. Μονάδες 0 Β. Αν P(A ) =, τότε να βρείτε τις πιθανότητες P( ω), P( ω), P[(A B) (B A)] και P(Α -Β ), όπου Β το συμπληρωματικό του Β. Μονάδες 8 ΑΠΑΝΤΗΣΗ Β. Ισχύει ότι: lm lm x + x+ = lm x + x x x x + x+ x x (x )( x + + x + + ) = lm x ( x + x+ )( x + x+ + ) = ( x(x+ ) = = x x x )( x + + x + + ) (x )( x + + x + + ) Οπότε P(ω)= =. Επίσης έχουμε ότι: x ln x f (x)= lnx+ x= +, ο ρυθμός μεταβολής της f(x), όταν x= είναι: f ()= ln+ f ()=. Οπότε P(ω)=

Β. Αρκεί να δείξω ότι: P(A) ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 P(A' ) P(A) P(A) Ισχύει ότι: A B={ω} και A B Α, τότε P(A B) P(A) P(A) Επίσης P(A B) P(A)+P(ω) P(A) P(A) Β. P(A') = A' = {ω 5 P(ω)+P(ω)= P(ω)+ = P(ω)= P(ω)=,ω } P(ω)+P(ω)+P(ω)+ P(ω)= + 5 + + P(ω)= + 5 + + P(ω)= P(ω)+= P(ω)=0 Α Β={ω} και Β Α={ω} άρα (A B) (B A)={ω, ω} τότε P[(A B) (B A)]= P(ω)+P(ω)= A' = {ω Β' = {ω,ω} Α Β ={ω} άρα P(A B )= P(ω)=,ω} ΘΕΜΑ Γ Θεωρούμε ένα δείγμα ν παρατηρήσεων μιας συνεχούς ποσοτικής μεταβλητής X, τις οποίες ομαδοποιούμε σε ισοπλατείς κλάσεις. Δίνεται ότι: η μικρότερη παρατήρηση είναι η κεντρική τιμή της τέταρτης κλάσης είναι x=85 η σχετική συχνότητα της τέταρτης κλάσης είναι διπλάσια της σχετικής συχνότητας της τρίτης κλάσης η διάμεσος των παρατηρήσεων του δείγματος είναι δ=75 η μέση τιμή των παρατηρήσεων του δείγματος είναι x= 7 Γ. Να αποδείξετε ότι το πλάτος είναι c = 0 Μονάδες Γ. Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα συμπληρωμένο Κλάσεις Κεντρικές Σχετική τιμές x Συχνότητα f [...,...) [...,...) [...,...) [...,...) Σύνολο

ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 Μονάδες 8 Γ. Δίνεται ότι f=0,, f=0,, f=0,, f=0, Να αποδείξετε ότι η μέση τιμή των παρατηρήσεων, που είναι μικρότερες του 80, 00 είναι. Γ. Επιλέγουμε κ παρατηρήσεις του αρχικού δείγματος με κ < ν, οι οποίες ακολουθούν κανονική κατανομή με το,5% των παρατηρήσεων αυτών να είναι τουλάχιστον 7 το 6% των παρατηρήσεων αυτών να είναι το πολύ 68 Να βρείτε τη μέση τιμή και την τυπική απόκλιση των παρατηρήσεων αυτών καθώς και να εξετάσετε αν το δείγμα των παρατηρήσεων αυτών είναι ομοιογενές. Μονάδες 6 ΑΠΑΝΤΗΣΗ Γ. Η μικρότερη παρατήρηση είναι tmn= και x=85 η κεντρική τιμή της ης κλάσης. Αν θεωρήσουμε c το πλάτος της κάθε κλάσης τότε είναι: c c 7 c +c+c+c+ =85 +c+=85 + =85 c=0 f % Γ. Ισχύει ότι f=f () και δ=75 συνεπὠς f%+f%+ f =% ή f+f+ =0,5 () Επιπλέον f+f+f+f= (). Tότε () () f +f=0, 5 () () f Η () 5f +f=0,5 =0,5 f=0, Τότε λόγω της () f=0, Άρα η () γράφεται: f+f=0, (5) Καθώς η μέση τιμή των παρατηρήσεων του δείγματος είναι x=7 ισχύει: v x= 7= x f 7=55 f+65 f+75 f+85 f 7=55 f+65 f+75 0,+85 0, v 7=55 f+65 f+5+ 5=55 f+65 f (6) (5) Η (6) 5=55 (0, f)+65 f 5= 55 f+65 f =0 f f=0, άρα από (5) f=0, Κλάσεις Κεντρικές τιμές x Σχετική Συχνότητα f [, 60) 55 0, [60, 70) 65 0, [70, 80) 75 0, [80, 90) 85 0, Σύνολο 5

ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 Γ. Αν xaείναι η μέση τιμή των παρατηρήσεων που είναι μικρότερες του 80 και x B η μέση τιμή των παρατηρήσεων που είναι μεγαλύτερες του 80 και αντίστοιχα να το πλήθος των παρατηρήσεων μέχρι 80 και νβ το πλήθος από 80 έως 90 θα ισχύει xava + xbvb xa va + xbvb va vb =7 ή =7 ή xa + xb =7 ή xafa+ xbfb=7 ή v + v v v v A B x A(f+f+f)+ xb 0,=7 ή xa 0,6+ xb 0,=7 και αφού x B=85 κεντρική τιμή της ης 6 00 κλάσης: xa 0,6+85 0,=7 xa =7 85 0 6x A=70 0 x A= 0 6 00 x A= Παρατήρηση: To x' των τριών πρώτων κλάσεων δεν δίνεται από τη σχέση ' x = καθώς για τις τρείς πρώτες σχετικές συχνότητες του αρχικού δείγματος f, f, f ισχύει ότι f+f+f=0,6 0, 0, 0, Συνεπὠς με αναγωγή στη μονάδα προκύπτει f = =, f = =, f = =. 0,6 6 0,6 0,6 Στην περίπτωση αυτή x ' = x f ' =55 55+ 95+ 00 00 +65 +75 = = = 6 6 6 x f Γ. Σε μια κανονική κατανομή τα ποσοστά κατανέμονται ως εξής: % %,5%,5% 0,5%,5%,5% 0,5% x s x s x s x x + s x + s x + s 68% 95% 99,7% Άρα ποσοστό,5% των παρατηρήσεων βρίσκεται πάνω από τη χαρακτηριστική τιμή x+s συνεπώς x+s=7 () Άρα ποσοστό 6% των παρατηρήσεων βρίσκεται κάτω από τη χαρακτηριστική τιμή x s συνεπώς x s=68 () Λύνοντας το σύστημα των (), (), προκύπτει: () () s=6 s= και x=70 Το δείγμα ως προς την ομοιογένεια χαρακτηρίζεται από το συντελεστή μεταβολής που είναι CV= x s =70 =5 <0. Άρα το δείγμα είναι ομοιoγενές. 6

ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΘΕΜΑ Θεωρούμε τη συνάρτηση f(x) = xln x + κ, x > 0, όπου κ ακέραιος με κ > και την εφαπτομένη (ε) της γραφικής παράστασης της f στο σημείο (,f()), η οποία σχηματίζει με τους άξονες, τρίγωνο εμβαδού E, με E < Δ. Να αποδείξετε ότι κ = Μονάδες 5 Δ. Έστω x, x,, x οι τετμημένες σημείων της (ε) των οποίων οι αντίστοιχες τεταγμένες τους έχουν μέση τιμή y= α) Να αποδείξετε ότι x =0 (μονάδες ) β) Για τις τετμημένες των παραπάνω σημείων θεωρούμε ότι : Κάθε μία από τις τετμημένες x, x,, x αυξάνεται κατά, οι επόμενες 5 τετμημένες παραμένουν σταθερές και κάθε μία από τις υπόλοιπες ελαττώνεται κατά λ R με λ > 0. Να βρείτε το λ, ώστε η νέα μέση τιμή των τετμημένων να είναι ίση με (μονάδες ) Μονάδες 6 Δ. Αν e < α < β < γ < e με α α β β γ γ =e 7, τότε να βρείτε το εύρος R και τη μέση τιμή των τιμών f(α), f(β), f(γ), f(e), f, όπου f(x)=xln x + e Δ. Θεωρούμε τον δειγματικό χώρο Ω = tn, n=,,,...,0: 0< t < t <... < t0 < < t <...t0 = e με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα, καθώς και τα ενδεχόμενα Α={ t Ω: η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο (t,f(t)), να σχηματίζει με τον άξονα x x οξεία γωνία }, Β = { t Ω: f(t) > f (t)+}, όπου f(t) = t lnt + Να βρεθούν οι πιθανότητες: α) να πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο Α (μονάδες ) β) να πραγματοποιηθούν συγχρόνως τα ενδεχόμενα Α και Β (μονάδες ) ΑΠΑΝΤΗΣΗ Δ. f(x)=xlnx+κ, x>0, κ Ζ, κ > f (x)=lnx+ f ()=, f ()=κ Η εφαπτομένη της Cf στο σημείο της (,f()) είναι: y= f ()x+β, άρα y=x+β Για x=0, y=κ > 0 Β(0, κ ) 7

Για y=0, x= κ < 0 Β( κ, 0) ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΕΟΑΒ= ΟΑ ΟΒ= κ κ = κ = (κ ), κ > Α Β Ο Ε < (κ ) < (κ ) < κ < < κ < < κ <, κ Ζ με κ >, άρα < κ < κ=. Δ. α) Για κ=, η (ε) γίνεται y=x+ και οι τεταγμένες των σημείων ικανοποιούν την : yx+ οπότε xy,,,,...,. Από εφαρμογή σχολικού βιβλίου x=y = =0 β) Οι νέες τιμές είναι: z=x+ z=x και z6=x6 λ, λ>0 z=x+ z=x z7=x7 λ. z0=x0+ z5=x5 z=x λ Πρἐπει z= 0 0 z + 5 z + 6 z 0 5 = z + z+ z5 6 ( x + ) + x + (x λ) =5 x + + + 0 x 5 6 x +60 5λ=5 0 0+60 5 λ=5 5λ=0 λ= Δ. < α< β< γ< e, με α α β β γ γ = e 7 e f(α)=αlnα+=lnα α + f(β)=βlnβ+=lnβ β + f(γ)=γlnγ+=lnγ γ + f(x)=xlnx+, x>0 f (x)=lnx+ f (x)=0 lnx+=0 lnx= x= e = e f (x)>0 lnx>lne x > e x > e (x= x 5 6 x 5λ=5 =0 άρα =5 x ) 8

ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 x 0 e f (x) + f + Η f παρουσιάζει (ολικό) ελάχιστο στο e το f (e )=e lne += e +>0 και f ( e )=lne +=0, Είναι < α< β< γ< e, f στο [, + ), άρα f ( ) < f(α) < f(β) < f(γ) < f(e), e e e Άρα f '( ) < f( ) < f(α) < f(β) < f(γ) < f(e) και επειδή f(e)=e+ e e είναι, R= f(e) f'( ) = e+ e f (α) + f(β) + f(γ) + f(e) + f'( ) a β γ x= e lnα + lnβ + lnγ + e+ 8 = = 5 5 α β γ ln(α β γ ) + e+ 8 lne 7 + e+ 8 e+5 e = = = = + 5 5 5 5 Δ. α) Πρέπει f (x)>0 lnx+>0 lnx x> 0 > x > e Άρα, Α={ t, t,..., } t0, άρα P(A)= Ν(Α) 0 = = Ν(Ω) 0 β) f(t) > f (t)+ t lnt+ t> 0 > lnt+ t lnt > lnt t lnt lnt > 0 lnt(t ) > 0 t,t t t lnt<0 0<t< (t 9 0= άρα Β={ t, t,..., t9} Α Β={ t, t,..., } t9 Ν(A B) 9 άρα P(Α Β)= =0 Ν(Ω) ) ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ Τα σημερινά θέματα έχουν τα εξής χαρακτηριστικά: καλύπτουν όλο το εύρος της ύλης και διακρίνονται για τον αυξημένο βαθμό δυσκολίας συγκριτικά με τις προηγούμενες εξετάσεις όλων των ετών. Οι μαθητές έπρεπε να είναι κατάλληλα προετοιμασμένοι να έχουν ευχέρεια στον χειρισμό των πράξεων και να έχουν αυξημένη κριτική ικανότητα. Κρίνουμε ότι οι σημερινές επιδόσεις θα είναι σημαντικά μικρότερες των προηγούμενων ετών. 9