ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 6 Αό τα κάτωθι Θέµατα καλείσθε να λύσετε το ο ου εριλαµβάνει ερωτήµατα αό όλη την ύλη του µαθήµατος, ενώ αό τα Θέµατα,, 4 και 5 µορείτε να ειλέξετε το ολύ τρία. Προσοχή: Αν ροσαθήσετε να ειλύσετε και τα τέσσερα Θέµατα,, 4 και 5 ρέει να µας υοδείξετε οια τρία αό αυτά θέλετε να βαθµολογήσουµε. Θέµα. (4 µονάδες) Ενδεικτικές λύσεις α) ( 5 µονάδες) Aν A = να βρεθούν όλοι οι x ίνακες ραγµατικοί Β για τους οοίους ισχύει ΑΒ = ΒΑ. οθέντος ότι το σύνολο των ινάκων Β αοτελεί υόχωρο του διανυσµατικού χώρου όλων των ραγµατικών x ινάκων, οια είναι η διάστασή του; Γράφουµε τον ίνακα Β στη x y µορφή B = z w και κάνοντας τις ράξεις βρίσκουµε z w y x AB = BA, αό όου ροκύτει z = y, x = w. Άρα η γενική µορφή του ίνακα Β x y = w z = x y είναι B= x y. Αφού λοιόν αράγεται αό δύο γραµµικώς ανεξάρτητους y x = + ίνακες, η διάσταση του υόχωρου των ινάκων Β είναι. β) ( 5 µονάδες) κ x ίνεται το σύστηµα κ y = κ z (ii) κ = - (iii) κ {, }. όου κ. Τι γνωρίζετε για τις λύσεις του αν: (i) κ =, (i) Αν κ =, υάρχουν άειρες λύσεις της µορφής: (x,y,z) = (x,y, x y) (ii) Αν κ = -, το σύστηµα είναι αδύνατο. (iii) Αν κ {, } η λύση είναι x = y = z = /(κ+).
γ) ( 5 µονάδες) Να βρεθούν οι ιδιοτιµές του ίνακα είναι διαγωνιοοιήσιµος. A =. Εξηγήστε αν ο Α είναι αντιστρέψιµος και αν Οι ιδιοτιµές του Α είναι λ =, λ =, λ =. Ο Α δεν είναι αντιστρέψιµος αφού µια αό τις ιδιοτιµές του είναι η µηδενική, ενώ είναι διαγωνιοοιήσιµος εειδή οι ιδιοτιµές του είναι ραγµατικές και διακριτές. δ) ( 5 µονάδες) + + + Εξετάστε αν η σειρά συγκλίνει, εξηγώντας αναλυτικά την αάντησή σας. ( + ) = + + + Γράφοντας = + = ( + ) ( και χρησιµοοιώντας το κριτήριο του λόγου + ) a+ ρ = lim, ότι ο ρώτος όρος είναι συγκλίνουσα σειρά µε λόγο ρ = ½ <, ενώ ο δεύτερος έχει a ρ = / και αοκλίνει. Αφού δε όλοι οι όροι των σειρών είναι θετικοί αυτό σηµαίνει ότι και η αρχική σειρά αοκλίνει. ε) ( 5 µονάδες) ίδεται η συνάρτηση f( x) = x 6x + 9x+ 6, µε x [,4]. Βρείτε όλα τα µέγιστα και ελάχιστα της f ( x ) στο διάστηµα αυτό. Ποιο είναι το εδίο τιµών της f ( x ); Παραγωγίζοντας την f(x) αίρνουµε f ( x) = x x+ 9= ( x 4x+ ) = ( x )( x ), ενώ η δεύτερη αράγωγος δίνει f ( x) = 6x. Εοµένως στο x = υάρχει τοικό µέγιστο ενώ στο x = υάρχει τοικό ελάχιστο. Στο x [,4] όµως, ολικά ελάχιστα είναι και το x = και το x =, αφού f() = f() = 6, ενώ ολικά µέγιστα είναι και το x = και το x = 4, αφού f(4) = f() =. Tο εδίο τιµών της συνάρτησης είναι [6, ]. στ) ( 5 µονάδες) Βρείτε τα ανατύγµατα Taylor µέχρι όρους τάξης x / των συναρτήσεων f( x) = ( ( + 4x) ), x gx ( ) = e cosx, στο x = και δείξτε µέσω αυτών ότι οι συναρτήσεις ταυτίζονται µέχρι την τάξη αυτή. Ο αλούστερος τρόος να ααντηθεί το ερώτηµα είναι να υολογισθούν και για τις δύο συναρτήσεις οι τιµές τους, καθώς και οι τιµές των ρώτων και δεύτερων αραγώγων τους στο x =
και να δειχθεί ότι είναι ίσες. Έτσι έχουµε, f() = g() =, f () = g () =, f () = g () =, οότε τα εν λόγω ανατύγµατα είναι: f x g x x x x x! ( ) = ( ) = + +... = + +.. ζ) ( 5 µονάδες) x Υολογίστε το ολοκλήρωµα (Υόδειξη: Χρησιµοοιήστε, αν χρειάζεται, την x x ανάλυση σε εί µέρους κλάσµατα). x x x = l x x + C. Άλλος τρόος: x x = = + ( )( + ) ( ) ( + ) = x x x x x x l l l x + x+ + C = x x + C η) ( 5 µονάδες) Να ροσδιοριστούν οι ραγµατικοί αριθµοί a, b, c έτσι ώστε στην συνέχεια να υολογιστεί το ολοκλήρωµα x x e. d x x [( ax + bx + c) e ] = x e και d x Η σχέση [( ax + bx + c) e ] = x e x x x ισοδυναµεί µε ( ax + bx + c) e + ( ax + b) e = x e δηλαδή ax bx c + ax + b = x και συνεώς a =, b = a =, c = b =. d x x Ολοκληρώνοντας την σχέση [( ax + bx + c) e ] = x e βρίσκουµε ότι x x e x l = lim x e = lim [ ( x + x+ ) e x ]=[ lim l l l ( Έγινε χρήση του κανόνα l Hopital για το όριο lim l l x ( l + l + ) e l ]-(-)=. ( l + l + ) e l ). Θέµα. ( µονάδες) (α) (8 µον.) Έστω f : µια γραµµική αεικόνιση τέτοια ώστε f(,) = (,), f(,) = (,). Να βρεθεί το διάνυσµα f ( xy, ). (β) ( µον.) Θεωρούµε την αεικόνιση g:, g( x, y, z) = ( x+ y z, x+ y, x+ z). Βρείτε τον ίνακά της ως ρος την κανονική βάση του υρήνα της Kerg και της εικόνας της Img.. Βρείτε µια βάση και τη διάσταση του (α) Γράφοντας τον ίνακα ου αντιστοιχεί στην αεικόνιση ως a c b d και χρησιµοοιώντας τις
δοσµένες ληροφορίες εύκολα βρίσκουµε: a+ b=, c+ d =, b=, d = a=, c= Εοµένως ο ζητούµενος ίνακας της αεικόνισης είναι: και το διάνυσµα f(x,y) = (x y, x +y). Ο ίνακάς της ως ρος την κανονική βάση στο είναι A =, µία βάση του υρήνα της Kerg είναι { (-,, ) }, εοµένως dim Kerg =. Εειδή τα διανύσµατα (,, ), (,, ), (-,,) είναι γραµµικώς εξαρτηµένα, µια βάση της εικόνας της είναι {(,, ), (,, )} και dim Img =. Θέµα. ( µονάδες) (α) (8 µον.) Να υολογισθούν τα όρια: (i) lim x l x x (ii) lim ( x ) + x+ x x (i) ( x ) lx / x / x lim = lim = lim = = lim l x x ( x ) l x l x+ / x / x+ / x x x x l ' Hopital l ' Hopital = = x + (ii) lim x ( x x x) ( x + x+ x)( x + x+ + x) x+ x = lim + + = lim = lim = x x x x + x+ + x x + x+ + x x + = lim = x x + + + x x (β) (6 µον.) Να εξεταστούν ως ρος τη σύγκλιση οι σειρές: (i) = + (ii) = (i) Χρησιµοοιώντας το κριτήριο της ρίζας έχουµε ( ) / lim a = lim = <, άρα η + (ii) σειρά συγκλίνει. Άλλος τρόος είναι µε το κριτήριο σύγκρισης: Χρησιµοοιώντας το κριτήριο του λόγου έχουµε < + = = < + lim = lim = lim = >, άρα η σειρά αοκλίνει. / + a+ /( ) a + (γ) (6 µον.) Για οιες τιµές του x συγκλίνει η σειρά x = x + ; 4
Χρησιµοοιώντας το κριτήριο του λόγου (ή της ρίζας) έχουµε ότι η σειρά συγκλίνει για: x (i) x : < < x < /: x < x + x >, οότε συγκλίνει για όλα x + τα < x /. Είσης για x > /, έχουµε σύγκλιση όταν x < x+ x<. Άρα γενικά η σειρά συγκλίνει για < x <. Στις εριτώσεις x =, η σειρά αοκλίνει. x < x< : x< x+ x> (ii) x < : <, και στις δύο εριτώσεις όµως x + x< : x > x+ x> καταλήγουµε σε αοτέλεσµα ασυµβίβαστο µε το x <. Άρα η σειρά αοκλίνει για όλα τα x <, ενώ για x = - η σειρά δεν ορίζεται. Συµερασµατικά, η σειρά συγκλίνει µόνο για < x <. Θέµα 4. ( µονάδες) x + (α) ( µον.) Να γίνει η λήρης γραφική αράσταση της συνάρτησης f( x) =, για όλα x + x + τα x. Υόδειξη: Βρείτε τα ακρότατα, την συµεριφορά της f(x) καθώς τιµών της συνάρτησης. Υολογίζοντας την αράγωγο της συνάρτησης x ± και το εδίο 4x 4 x x( x+ ) f ( x) = = 4 =, (x + x+ ) (x + x+ ) βρίσκουµε ότι αυτή µηδενίζεται στα σηµεία x =, -. Η συνάρτηση µηδενίζεται στο x = -/, στο x = έχει τοικό µέγιστο, αφού για x>, f '( x) < και στο x = - έχει τοικό ελάχιστο αφού για <x <, f '( x ) >, ενώ για x<, f '( x) <. Παίρνοντας τα όρια για x και x - + lim f( x) =, lim f( x) = x x, βλέουµε ότι αυτή µηδενίζεται µε θετικές τιµές και αρνητικές αντιστοίχως. Άρα τα τοικά ακρότατα είναι και ολικά και το εδίο τιµών της f(x) είναι το [ -, ]. (β) ( µον.) Να βρεθεί το ορθογώνιο αραλληλόγραµµο µε το µεγαλύτερο εµβαδόν ου µορεί να εγγραφεί σε ένα ηµικύκλιο ακτίνας, έτσι ώστε οι δύο γωνίες του να βρίσκονται άνω στην διάµετρο του κύκλου. Αν το µήκος της κάτω λευράς του αραλληλογράµµου είναι x και το ύψος του είναι y το εµβαδόν του είναι Ε = xy. Eειδή δε είναι εγγεγραµµένο σε ηµικύκλιο ακτίνας, ισχύει η σχέση x + y =. Εοµένως, αραγωγίζοντας την συνάρτηση του εµβαδού ως ρος x έχουµε: de dy x ( x ) x ( x ) = y+ x = x + x = = = x x x 5
αό όου ροκύτει ότι x = /. Εοµένως οι διαστάσεις του ορθογωνίου αραλληλογράµµου είναι βάση x = και ύψος y = /. Θέµα 5. ( µονάδες) 9x (α) ( µον.) Να βρεθεί το εµβαδόν της εριοχής ου ευρίσκεται µεταξύ της αραβολής y = και της συνάρτησης y = cos( x). Αν χωρίζαµε την εριοχή σε δύο µικρότερες µέσω της ευθείας y =, οια αό αυτές θα είχε µεγαλύτερο εµβαδόν; Υόδειξη: cos( ± / ) = /, si( / ) = /. Το ζητούµενο εµβαδόν βρίσκεται αό το ολοκλήρωµα: / / 9x 9x si( x) / 9x / E = cos( x) = cos( x) = = / 9 Το µέρος της εριοχής άνω της ευθείας y = ½ είναι / / Eανω = cos( x) = cos( x) = / και της εριοχής κάτω της ευθείας y = ½ είναι: / / 9x 9x Eκατω = = = = 9 9 / Αό αυτά ροκύτει E ανω =.8, και E κατω =. άρα E < E. (β) (8 µον.) (β) (8 µον.) Χρησιµοοιώντας αραγοντική ολοκλήρωση, υολογίστε τα ολοκληρώµατα a = x cos( x) για =,,,,., τα οοία χρησιµοοιούνται στο ανάτυγµα σε σειρά Fourier της εριοδικής µε ερίοδο συνάρτησης f ου ορίζεται στο διάστηµα x ως f ( x) = x. Παρατηρώντας ότι η συνάρτηση f(x) είναι άρτια να γραφεί η σειρά Fourier για τη συνάρτηση αυτή χρησιµοοιώντας τα a ου βρήκατε. xsi x cosx a = x cos( x) = (( ) + = ) για =,,,. και a = =. Η σειρά Fourier είναι: f ( x) = a + a cosx = + (( ) ) cos x. = = ανω κατω ------------------------------ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!--------------------------------- 6