Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 8: Τεχνικές ολοκλήρωσης Α Οµάδα. Υπολογίστε τα ακόλουθα ολοκληρώµατα : + + d, + + ( + 3)( ) d, 3 + 3 + 3 + + + d. Υπόδειξη. (α) Γράφουµε + + d και χρησιµοποιούµε την αντικατάσταση y +. (ϐ) Ανάλυση σε απλά κλάσµατα. Ζητάµε a, b, c R ώστε Ελέγξτε ότι a, b και c. + + ( + 3)( ) a + 3 + ( + ) + d b + c ( ). (γ) Παρατηρούµε ότι 3 + + + ( + )( + + ) και κάνουµε ανάλυση σε απλά κλάσµατα.. Υπολογίστε τα ακόλουθα ολοκληρώµατα : d +, d + 3, d, d + e. Υπόδειξη. (α) Παρατηρούµε ότι + ( + ) ( + + )( + ) και κάνουµε ανάλυση σε απλά κλάσµατα. (ϐ) Με την αντικατάσταση u 6 προκύπτει το ολοκλήρωµα 6u 5 u 3 + u du 6u 3 u + du το οποίο υπολογίζεται εύκολα (µπορείτε να κάνετε τη νέα αντικατάσταση y u + ). (γ) Με την αντικατάσταση u έχουµε d u du u +, οπότε προκύπτει το ολοκλήρωµα du u + arctan( ) + c. (δ) Με την αντικατάσταση u + e έχουµε du, το οποίο υπολογίζεται εύκολα µε ανάλυση σε απλά κλάσµατα. du u e d u +e u d, οπότε προκύπτει το ολοκλήρωµα 3. Υπολογίστε τα ακόλουθα ολοκληρώµατα : cos 3 d, cos sin 3 d, tan d, d cos, tan d.
Υπόδειξη. (α) Γράφουµε cos 3 d cos cos d ( sin )(sin ) d και ϑέτουµε u sin. (ϐ) Γράφουµε cos sin 3 d cos ( cos )( )(cos ) d και ϑέτουµε u cos. (γ) Γράφουµε (δ) Γράφουµε Επεται ότι tan d ( ) cos d tan + c. ( ) cos d (tan ) tan cos d cos tan cos d tan cos tan sin tan ( cos cos 3 d cos ) cos d tan cos cos d + cos d. 3 tan cos d cos + (ε) Με την αντικατάσταση u tan παίρνουµε οπότε ϑεωρούµε το du tan το οποίο υπολογίζεται µε ανάλυση σε απλά κλάσµατα. tan cos d cos + tan + c. cos d tan (tan + ) d u + u u u + du,. Χρησιµοποιώντας ολοκλήρωση κατά µέρη, δείξτε ότι : για κάθε n N, d ( + ) n+ n ( + ) n + n d n ( + ) n. d, Υπόδειξη. Γράφουµε I n d ( + ) n () ( + ) n d ( + ) n + n ( + ) n + n + ( d + ) n+ ( + ) n + n ( + ) n + ni n ni n+. ( d n + ) n ( d + ) n+ ( d + ) n+
Επεται ότι I n+ n ( + ) n + n n I n. 5. Υπολογίστε τα ακόλουθα ολοκληρώµατα : ( )( ) d, cos d, log( + ) d, + sin d, ( + )( + ) d, e sin d, d, cos 3 sin d, sin d log d + ( + )( ) d d ( + + ). Υπόδειξη. (α) Ανάλυση σε απλά κλάσµατα. (ϐ) Ανάλυση σε απλά κλάσµατα. (γ) Ολοκλήρωση κατά µέρη : log d ( ) log d log d log + c. (δ) Ολοκλήρωση κατά µέρη : cos d (sin ) d sin sin d sin + cos + c. (ε) Ολοκλήρωση κατά µέρη : I e sin d Επεται ότι (e ) sin d e sin e cos d (e ) cos d e sin e cos + e (cos ) d e sin d e (sin cos ) I. e sin e (sin cos ) e sin d e (sin cos ) (στ) Χρησιµοποιώντας την ταυτότητα sin cos() παίρνουµε sin d d cos() Για το δεύτερο ολοκλήρωµα, χρησιµοποιήστε την αντικατάσταση u και ολοκλήρωση κατά µέρη όπως στο (δ). + c. (Ϲ) Με ολοκλήρωση κατά µέρη παίρνουµε log( + ) d () log( + ) d log( + ) Κατόπιν, εφαρµόστε την αντικατάσταση u. d. ( + + ) d. 3
(η) Με την αντικατάσταση u ϐλέπουµε ότι d το οποίο υπολογίζεται µε ανάλυση σε απλά κλάσµατα. (ϑ) Ανάλυση σε απλά κλάσµατα. u du udu u, οπότε καταλήγουµε στο (ι) Θέτουµε y tan. Ελέγξτε ότι d +y dy και sin y +y. Αναγόµαστε έτσι στο ολοκλήρωµα arctan y + y + y dy arctan y ( + y) dy +y arctan y arctan y + y Το τελευταίο ολοκλήρωµα υπολογίζεται µε ανάλυση σε απλά κλάσµατα. (κ) Γράφουµε cos 3 sin sin d sin (sin ) d και κάνουµε την αντικατάσταση u sin. (λ) Αντικατάσταση y +. ( ) dy + y + ( + y )( + y) dy. 6. Υπολογίστε τα ολοκληρώµατα sin(log ) d, log( ) d. Υπόδειξη. (α) Αν ϑέσουµε u log, τότε d e u du και καταλήγουµε στο ολοκλήρωµα e u sin u du, το οποίο υπολογίζεται µε ολοκλήρωση κατά µέρη. (ϐ) Γράφουµε ( ) log( ) d log( ) d log( ) Το τελευταίο ολοκλήρωµα υπολογίζεται µε την αντικατάσταση u. d. 7. Υπολογίστε τα ολοκληρώµατα arctan ( + ) d, e ( + ) d. Υπόδειξη. (α) Γράφουµε arctan ( ) arctan d ( + ) d + arctan + + ( + ) d.
Για το τελευταίο ολοκλήρωµα χρησιµοποιούµε τον αναγωγικό τύπο της Άσκησης. (ϐ) Γράφουµε e ( ) ( + ) d e d + e + + + (e ) d e + + + ( + )e d e + + e + c. 8. Υπολογίστε τα ολοκληρώµατα e d, + e log(tan ) cos d. Υπόδειξη. (α) Με την αντικατάσταση u e αναγόµαστε στον υπολογισµό του ολοκληρώµατος ϱητής συνάρτησης. (ϐ) Με την αντικατάσταση u tan αναγόµαστε στον υπολογισµό του log u du u log u u + c. 9. Υπολογίστε τα ολοκληρώµατα 5 π cos d, ( ) log + d, π π π tan 3 cos 3 d tan d. Υπόδειξη. Υπολογίστε πρώτα τα αόριστα ολοκληρώµατα : (α) Γράφουµε (ϐ) Γράφουµε cos d tan και κάνουµε την αντικατάσταση u cos. tan d tan + log(cos ) + c. tan 3 ( cos cos 3 d ) sin cos 6 d (γ) Με την αντικατάσταση u + αναγόµαστε στον υπολογισµό του u log u du, το οποίο υπολογίζεται µε ολοκλήρωση κατά µέρη. (δ) Γράφουµε tan d Το πρώτο ολοκλήρωµα υπολογίστηκε στο (α). cos d d. 5
. Υπολογίστε τα ακόλουθα εµβαδά : (α) Του χωρίου που ϐρίσκεται στο πρώτο τεταρτηµόριο και ϕράσσεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f(), g() και από τον -άξονα. (ϐ) Του χωρίου που ϕράσσεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f() cos και g() sin στο διάστηµα [ π, 5π ]. Υπόδειξη. (α) Το εµβαδόν είναι ίσο µε Εξηγήστε γιατί και υπολογίστε το. (ϐ) Το εµβαδόν είναι ίσο µε Εξηγήστε γιατί και υπολογίστε το. d + ( + ) d. 5π/ π/ (sin cos ) d. Β Οµάδα. Υπολογίστε τα ολοκληρώµατα + sin cos d, ( + ) d, sin d, arctan d, ( + ) d, + d, d d. Υπόδειξη. (α) Θέτουµε y tan στο ολοκλήρωµα το οποίο υπολογίζεται µε ανάλυση σε απλά κλάσµατα. (ϐ) Γράφουµε. Ελέγξτε ότι d +y dy, cos y +y και sin y +y. Αναγόµαστε έτσι ( + y) y ( + y ) dy, sin d sin cos d και κάνοντας την αντικατάσταση u cos αναγόµαστε στο u du, το οποίο υπολογίζεται µε ανάλυση σε απλά κλάσµατα. (γ) Με την αντικατάσταση u + αναγόµαστε στον υπολογισµό του du u u + c. (δ) Με την αντικατάσταση sin u αναγόµαστε στον υπολογισµό του sin u du, το οποίο υπολογίστηκε στο (ϐ). (ε) Χρησιµοποιούµε τον αναγωγικό τύπο της Άσκησης. (στ) Με ολοκλήρωση κατά µέρη παίρνουµε arctan d arctan d + arctan + arctan + c. 6
Για την τελευταία ισότητα παρατηρήστε ότι + d + + d d + d. (Ϲ) Με την αντικατάσταση u + αναγόµαστε στον υπολογισµό του du u u + c. (η) Θέτουµε ( t). Ισοδύναµα, t + t. Τότε, d t t στον υπολογισµό του (t ) t 3 dt. dt και t t t, οπότε αναγόµαστε. Υπολογίστε το ολοκλήρωµα π Υπόδειξη. Με την αντικατάσταση y π παίρνουµε δηλαδή I π sin + cos d π π sin + cos d. (π y) sin y + cos y dy π π sin + cos d π π sin y + cos y dy. Το τελευταίο ολοκλήρωµα υπολογίζεται µε την αντικατάσταση u cos y. 3. Υπολογίστε το ολοκλήρωµα π sin sin + cos d. Υπόδειξη. Η αντικατάσταση y π δίνει (εξηγήστε γιατί) Αφού συµπεραίνουµε ότι π π sin sin + cos d π/ π sin sin + cos d + π cos y π/ cos y + sin y dy π cos sin + cos d sin sin + cos d π. sin y + cos dy I, y cos sin + cos d. sin + cos sin + cos d π,. Υπολογίστε το ολοκλήρωµα π log( + tan ) d. Υπόδειξη. Η αντικατάσταση y π δίνει I π/ log( + tan ) d π/ 7 log( + tan(π/ y)) dy.
Παρατηρήστε ότι άρα, Συνεπώς, Επεται ότι I π/ ( π ) tan y tan y + tan y, ( π ) + tan y + tan y. log( + tan ) d I π/ π/ π(log ) π(log ). 8 ( log + tan y ) dy (log log( + tan y)) dy I. 5. είξτε ότι το γενικευµένο ολοκλήρωµα p d δεν είναι πεπερασµένο για κανένα p R. Υπόδειξη. ιακρίνουµε τρείς περιπτώσεισ: αν p > τότε Αν p < τότε p d M p M p+ d +. M + M + p + p d δ + δ p δ p+ d +. δ + p + Τέλος, αν p τότε M p d M + d log M +. M + Σε κάθε περίπτωση, έπεται ότι το γενικευµένο ολοκλήρωµα p d απειρίζεται. 6. Υπολογίστε τα ακόλουθα γενικευµένα ολοκληρώµατα : e d, d, log d. Υπόδειξη. (α) Για κάθε M > έχουµε M e d e M e M. Επεται ότι e d M e M e d M M. 8
(ϐ) Για κάθε s (, ) έχουµε s d s arcsin arcsin s arcsin arcsin s. Επεται ότι Λόγω συµµετρίας, (γ) Για κάθε δ (, ) έχουµε Επεται ότι d s d arcsin s arcsin π s s. δ log d δ + d π. log d log δ δ δ log δ + δ. log d δ +( δ log δ + δ ). 7. είξτε ότι, για κάθε n N, e n d n! Υπόδειξη. Με επαγωγή : για n έχουµε Αν n N, τότε, για κάθε M > έχουµε M e n d Αφήνοντας το M ϐλέπουµε ότι I n M e d e. ( e ) n d e n M e n d n M + n e n d. e n d ni n. Αν λοιπόν υποθέσουµε ότι I n (n )!, τότε I n n (n )! n!. 8. Βρείτε τα όρια + 3 e 6 e t dt, 3 + e t sin t dt. Υπόδειξη. (α) Με την αντικατάσταση y 3 ϐλέπουµε ότι αρκεί να υπολογίσουµε το y y + ye y e t dt. Εφαρµόζουµε τον κανόνα του L Hospital: ( ) y et dt e y (e y /y) e y e y /y y 9
όταν y +. Άρα, + 3 e 6 e t dt. (α) Με την αντικατάσταση y ϐλέπουµε ότι αρκεί να υπολογίσουµε το y y + y e t sin t dt. Εφαρµόζουµε τον κανόνα του L Hospital: 3 ( y et sin t dt ) (y ) ey sin y y όταν y +. Άρα, + e t sin t dt.