ΠΜΣ στην Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινδύνου Πιστωτικός Κίνδυνος Διάλεξη 4: Υποδείγματα πιστωτικού κινδύνου The Merton's Structural Model Μιχάλης Ανθρωπέλος anthropel@unipigr http://webxrhunipigr/faculty/anthropelos Μιχάλης Ανθρωπέλος Το υπόδειγμα του Merton Credit Risk 1 / 11
Structural models Τα δομικά υποδείγματα (structural models) αναφέρονται στην κεφαλαιακή δομή μιας εταιρίας (firm's capital structure) και συνδέουν την αξία των περιουσιακών στοιχείων της με την αξία των υποχρεώσεων και του μετοχικού της κεφαλαίου, για να εξάγουν μια εκτίμηση για την πιθανότητα χρεοκοπίας Αξία Ενεργητικού = Αξία Υποχρεώσεων + Αξία Μετοχικού Κεφαλαίου Η ουσία αυτών των υποδειγμάτων έχει να κάνει με το γεγονός ότι οι μέτοχοι μιας ανώνυμης εταιρίας έχουν μόνο περιορισμένη ευθύνη Τα υποδείγματα αυτά βασίζονται στον "κανόνα" ότι η (ουσιαστική) χρεοκοπία συμβαίνει όταν η αξία των περιουσιακών στοιχείων είναι μικρότερη από την αξία των υποχρεώσεων Ο πρώτος που ανέπτυξε τέτοιου είδους υποδείγματα ήταν ο Robert Merton (1974), θέτοντας μια σειρά από υποθέσεις σχετικά με την στοχαστικότητα της της εξέλιξης της αξίας των περιουσιακών στοιχείων μιας εταιρίας αλλά και την μορφή των υποχρεώσεών της Μιχάλης Ανθρωπέλος Το υπόδειγμα του Merton Credit Risk 2 / 11
To υπόδειγμα του Merton Έστω T ο χρόνος μέχρι τον οποίο θέλουμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα αθέτησης Έστω ότι το χρέος της εταιρίας είναι ένα zero-coupon bond, και ονομαστική αξία ίση με D και με ωρίμανση στον χρόνο T Έστω ότι η στοχαστική διαδικασία (V t ) t [0,T] αναπαριστά την αξία των περιουσιακών στοιχείων μιας εταιρίας σε κάθε χρόνο t Η αξία των περιουσιακών στοιχείων είναι τυχαία στον χρόνο T και η βασική υπόθεση που κάνει το υπόδειγμα είναι ότι η αθέτηση θα συμβεί εάν στον χρόνο T έχουμε V T < D Οι πιθανές καταστάσεις στο χρόνο T περιγράφονται στον παρακάτω πίνακα Πιθανές καταστάσεις στο χρόνο T Μιχάλης Ανθρωπέλος Το υπόδειγμα του Merton Credit Risk 3 / 11
To υπόδειγμα του Merton Με βάση τα παραπάνω η αξία του χρέους της εταιρίας στον χρόνο T θα είναι B T = D max{0, D V T } Η σημαντική παρατήρηση είναι ότι το δεύτερο σκέλος της διαφοράς του δεξί μέρους είναι η απόδοση που έχει ένα Ευρωπαϊκού τύπου δικαίωμα πώλησης (put option) με τιμή άσκησης D και υποκείμενο τίτλο τα περιουσιακά στοιχεία της εταιρίας Από την άλλη μεριά, η αξία του μετοχικού κεφαλαίου μπορεί να γραφτεί ως E T = max{0, V T D} Η απόδοση δηλαδή ενός δικαιώματος αγοράς! Το επόμενο βήμα είναι να υποθέσουμε ότι η αξία των περιουσιακών στοιχείων ακολουθεί την γεωμετρική κίνηση Brown, δηλαδή: dv t = µv t dt + σv t dw t όπου µ είναι ο αναμενόμενος ρυθμός αύξησης των περιουσιακών στοιχείων (μείον τα μερίσματα που μοιράζονται στους μετόχους) και σ η μεταβλητότητα (volatility) των αποδόσεων των περιουσιακών στοιχείων Μιχάλης Ανθρωπέλος Το υπόδειγμα του Merton Credit Risk 4 / 11
Υπολογίζοντας την πιθανότητα αθέτησης Όταν μια στοχαστική διαδικασία (V t ) t [0,T], ακολουθεί γεωμετρική κίνηση Brown, τότε για κάθε t (0, T], η τυχαία μεταβλητή V ακολουθεί την λογαριθμοκανονική κατανομή Δηλαδή, ln(v t ) ακολουθεί κανονική κατανομή Πιο συγκεκριμένα, εάν γνωρίζαμε την αξία V 0 σήμερα τότε θα έχουμε ότι V t = V 0 e (µ σ2 /2)t+σW t, t [0, T] Η πιθανότητα αθέτησης στον χρόνο T, υπολογίζεται ως εξής: [ ] P[V T < D] = P V 0 e (µ σ2 /2)T+σW T < D = P [ (µ σ 2 /2)T + σw T < ln(d/v 0 ) ] [ = P W T < ln(d/v 0) (µ σ 2 ] /2)T σ ( ln(d/v0 ) (µ σ 2 ) /2)T = Φ σ, T όπου η συνάρτηση Φ είναι η αθροιστική συνάρτηση πιθανότητας της κανονικής κατανομής Ν(0,1) Μιχάλης Ανθρωπέλος Το υπόδειγμα του Merton Credit Risk 5 / 11
Υπολογίζοντας την πιθανότητα αθέτησης D είναι η ονομαστική αξία του χρέους, ενώ V 0 η τρέχουσα (αγοραστική) αξία των περιουσιακών στοιχείων της εταιρίας V 0 = E 0 + De rt (1) E 0 είναι η αγοραστική αξία του μετοχικού κεφαλαίου σήμερα Η ερώτηση εδώ είναι ποιο θα πρέπει να είναι το προεξοφλητικό επιτόκιο r; Εάν θέσουμε E 0 = Αξία του δικαιώματος αγοράς με τιμή άσκησης D, τότε E 0 = f(v 0 ), (2) όπου η συνάρτηση f δίνει την τιμή του δικαιώματος αγοράς (που προφανώς είναι συνάρτηση της τιμής V 0 ) Από την σχέση (2) θα εξάγαμε την τιμή V 0 και από την σχέση (1), το επιτόκιο r Ποια είναι όμως η συνάρτηση f; Με άλλα λόγια ποια είναι η αξία του δικαιώματος αγοράς των περιουσιακών στοιχείων στον χρόνο T, στην τιμή D; Μιχάλης Ανθρωπέλος Το υπόδειγμα του Merton Credit Risk 6 / 11
O τύπος Black-Scholes Ένας τρόπος τιμολόγησης του δικαιώματος αγοράς ενός υποκείμενου τίτλου (V t ) t [0,T], η αξία του οποίου ακολουθεί γεωμετρική κίνηση Brown, έχει δοθεί από τους M Black και Μ Scholes το 1973 O τύπος B-S είναι ο εξής E 0 = V 0 Φ(d 1 ) De rt Φ(d 2 ) (3) όπου και d 1 = ln( V 0 D ) + (r f + σ2 2 )T σ T d 2 = d 1 σ T με r f να είναι το risk-free επιτόκιο Δηλαδή, για την τιμή V 0 έχουμε την εξίσωση: V 0 = E 0 + De rft Φ(d 2 ) (4) Φ(d 1 ) Προσέξτε ότι η τιμή V 0 βρίσκεται στις παραμέτρους d 1 και d 2 Μιχάλης Ανθρωπέλος Το υπόδειγμα του Merton Credit Risk 7 / 11
Ένα αριθμητικό παράδειγμα Τα δεδομένα και οι παράμετροι Ẹ 0 = 28, 97, D = 75, r = 0, 05, σ = 0, 2, µ = 0, 1 και T = 1 Η λύση Με τα παραπάνω δεδομένα, λύνουμε την εξίσωση (4) και εξάγουμε την (αγοραστική) αξία V 0 Στην συγκεκριμένη περίπτωση V 0 = 100 (κάντε τις πράξεις και επαληθεύστε ότι η λύση της εξίσωσης (4) είναι όντως το 100) Επομένως, υπολογίζουμε ότι P(V T < D) = 0, 033, ενώ από την σχέση (1), έχουμε ότι r = 0, 0543 Στην ουσία η διαφορά r r f = 0, 43% είναι το credit spread, όπως αυτό υπολογίζεται/εκτιμάται από το υπόδειγμα Μιχάλης Ανθρωπέλος Το υπόδειγμα του Merton Credit Risk 8 / 11
Υπολογίζοντας την πιθανότητα αθέτησης Η κατάσταση μπορεί να απεικονιστεί γραφικά στο παρακάτω σχήμα: Μιχάλης Ανθρωπέλος Το υπόδειγμα του Merton Credit Risk 9 / 11
Οι βασικές υποθέσεις του υποδείγματος Η συνολική αξία της επιχείρησης ακολουθεί μια γεωμετρική κίνηση Brown Ποιες όμως θα είναι οι παράμετροι µ και σ; Οι υποχρεώσεις της επιχείρησης είναι της μορφής μιας zero-coupon ομολογίας Οι πληρωμές των τόκων δεν λαμβάνονται υπόψη για τον υπολογισμό της αδυναμίας πληρωμής Όλες οι υποχρεώσεις λήγουν την χρονική στιγμή T Τι γίνεται όμως όταν η λήξης των οφειλών είναι σε διάφορες χρονικές περιόδους; Η αθέτηση δεν μπορεί να συμβεί πριν την χρονική στιγμή T (λήξη του χρέους της εταιρίας) Ακόμα και αν η αξία των περιουσιακών στοιχείων της εταιρίας πέσει κάτω από την αξία του χρέους της σε κάποιο χρόνο t < T, δεν σημαίνει χρεοκοπία Το κόστος ρευστοποίησης και εκκαθάρισης της εταιρίας είναι μηδενικό Το υπόδειγμα δεν λαμβάνει υπόψη τα λειτουργικά κόστη αλλά ούτε διαφοροποιήσεις στην μορφή των δανειστών Μιχάλης Ανθρωπέλος Το υπόδειγμα του Merton Credit Risk 10 / 11
Σχετικά με την πρακτική εφαρμογή του υποδείγματος Παράμετροι Η πιο σημαντική εκτίμηση που πρέπει να γίνει για τους υπολογισμούς του υποδείγματος είναι η εκτίμηση των δύο παραμέτρων µ και σ Και οι δύο εκτιμήσεις είναι δύσκολες στην πράξη (κυρίως αυτή για τον αναμενόμενο ρυθμό ανάπτυξης µ) Ένας τρόπος για να γίνει η εκτίμηση της παραμέτρου µ είναι μέσα από άλλα υποδείγματα όπως το Capital Asset Pricing Model, όπου η απόδοση των περιουσιακών στοιχείων της εταιρίας θεωρείται (γραμμική) συνάρτηση της απόδοσης της αγοράς στην οποία ανήκει η εταιρία Για την εκτίμηση της μεταβλητότητας σ, μπορεί να χρησιμοποιηθεί η εκτίμηση για την μεταβλητότητα της αξίας των μετοχών της εταιρίας Για παράδειγμα, χρησιμοποιούνται εξισώσεις όπως η ακόλουθη: σ E E 0 σ =, Φ(d 1 ) V 0 όπου σ E είναι η μεταβλητότητα (volatility) των τιμών των μετοχών της εταιρίας Μιχάλης Ανθρωπέλος Το υπόδειγμα του Merton Credit Risk 11 / 11