4.1 ΕΝΝΟΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ -ΒΑΘΜΟΣ-ΙΣΟΤΗΤΑ-ΡΙΖΕΣ. ΛΥΣΗ 1 2 =κ κ κ 1+43κ κ = =0

4.1 ΕΝΝΟΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ -ΒΑΘΜΟΣ-ΙΣΟΤΗΤΑ-ΡΙΖΕΣ 4.1.1 Να δειχθεί ότι για κάθε κ R το πολυώνυμο P (x) = (κ - 1) x 5 + (3κ 2 + 2) x 3 + κx δεν έχει ρίζα το 1. 2 1 2 =κ 11 2 +3κ + 2 1 + 2 1 2 =0 κ 1+43κ + 2+16κ =0 12 +17+8=0 που είναι αδύνατο γιατί το τριώνυμο δέν έχει ρίζες 4.1.2Έστω P(x) = x + x 3. Να βρεθεί το κ R ώστε να ισχύει: P(1 κ) = 3. P(1 κ) = 1 κ + 1 κ 3 = 3 1 2κ + κ + 1 κ 3 = 3 κ 3κ 1 = 3 κ 3κ 4 = 0 κ = 4 ή κ = 1 4.1.3 Να βρεθούν οι τιμές του λ R ώστε το πολυώνυμο P(x)=(λ 2 +λ-6)x 3 +(λ 2-4)x+3λ-1 να είναι σταθερό. P(x) = (λ +λ 6)x + (λ 4)x + 3λ 1 Για να είναι σταθερό το πολυώνυμο πρέπει όλοι οι συντελεστές του να κάνουν 0. Δηλαδή: λ +λ 6=0 1 λ 4=0 λ=2 ή λ= 2 Η (1) ισχύει για λ = 2 αλλά όχι για λ = 2, οπότε λ = 2

4.1.4 Να βρεθεί η τιμή του λ R για την οποία το πολυώνυμο: P (x) = (λ + 2) x 3 - (λ 2 + λ - 2) x + λ 2-4 να είναι το μηδενικό πολυώνυμο. Για να είναι το μηδενικό πολυώνυμο πρέπει όλοι οι συντελεστές και ο σταθερός όρος να κάνουν 0. λ+2=0 λ= 2 λ +λ 2=0 λ= 2 ή λ=1 λ 4=0 λ= 2 ή λ=2 Άρα λ = 2 4.1.5 Να βρείτε το α R ώστε το πολυώνυμο P (x) = 9x 3-3x 2 + 8x - 27 να παίρνει τη μορφή α (x 3 + x) - 3x 2 + (x - 3) (x 2 + 3x + 9). P(x) = 9x 3x + 8x 27 Q(x) = α(x + x) 3x + (x 3) (x + 3x + 9) = αx + αx 3x + x + 3x + 9x 3x 9x 27 = x (α + 1) 3x + αx 27 Επειδή P(x) = Q(x) θα πρέπει οι συντελεστές των ομοιοβάθμιων όρων να είναι ίσοι δηλαδή: α+1=9 α =8 3= 3 α=8 27= 27 Άρα α = 8.

4.1.6 Να βρεθεί για τις διάφορες τιμές του λ ο βαθμός του πολυωνύμου: P(x)=(λ 3 -λ)x 3 -(λ 2 +λ)x+λ+1. P(x) = (λ λ)x (λ + λ)x + λ + 1 α) Αν λ λ 0 λ(λ 1) 0 λ 0 και λ ±1 τότε degp(x) = 3 β) λ = 0 P(x) = 1 degp(x) = 0 γ) λ = 1 P(x) = 2x + 2 degp(x) = 1 δ) λ = 1 P(x) = 0 Δεν έχει βαθμό 4.2ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 4.2.1Να γίνει η διαίρεση (6χ 3-19χ 2 +20χ-10):(3χ 2-5χ+6) i) Το 3x γίνεται 6x αν πολ/στεί με το 2x οπότε 3x 2x = 6x, 5x 2x = 10x, 6 2x = 12x ii) Το 3x γίνεται 9x αν πολ/στεί με το 3 οπότε 3x ( 3) = 9x, 5x ( 3) = 15x, 6 ( 3) = 18

iii) Ο βαθμός του 3x + 8 είναι 1 δηλαδή μικρότερος από το βαθμό του 3x 5x + 6 που είναι 2. Άρα η διαίρεση τελείωσε και Δ(x) = δ(x) π(x) + υ(x) 6x 19x + 20x 10 = (3x 5x + 6)(2x 3) + ( 3x + 8) 4.2.2 Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η διαίρεση (2λ 2 χ 2-3χ+5λ 2 ):(χ+1) να δίνει υπόλοιπο 10 Αφού το υπόλοιπο της διαίρεσης με το x + 1 είναι το P( 1) P( 1) = 10 2λ + 3 + 5λ = 10 7λ = 7 λ = 1 λ = ± 1 4.2.3 Να βρεθούν τα κ και λ ώστε το πολυώνυμο Ρ(χ)= χ 3 - λχ 2 +κχ+2 διαιρούμενο με χ-2 και χ+3 να δίνει αντίστοιχα υπόλοιπα 8 και 52 P(2) = 8 8 4λ + 2κ + 2 = 8 4λ + 2κ + 2 = 0 2λ + κ + 1 = 0 P( 3) = 52 27 9λ 3κ + 2 = 52 9λ 3κ + 27 = 0 3λ κ + 9 = 0 2λ+κ = 1 3 % 9λ 3κ= 27 % 6λ+3κ= 3 9λ 3κ= 27 15λ = 30 λ = 2 και άρα κ = 3

4.2.4Το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου P(x) δια του x 4 3 2 + x 3x 5x 2 είναι 2x 5x + 7x 3 3 2. Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης P(x):(x-2) P(x) : x & + x 3x 5x 2 U = 2x 5x + 7x 3 Έστω η ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ του P(x) με το x & + x 3x 5x 2. P(x) = (x & + x 3x 5x 2) π(x) + 2x 5x + 7x 3 P(2) = (16 + 8 12 10 2) π(2) + 16 20 + 14 3 P(2) = 0 π(2) + 7 P(2) = 7 4.2.5 Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου P(x) δια του x+3 είναι 8 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) δια του x+1 είναι 12, να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) δια του (x+1)(x+3). Αφού η διαίρεση P(x) : (x +3) έχει U = 8 P( 3) = 8 και P(x) : (x + 1) έχει U = 12 P( 1) = 12 P(x) : (x + 3)(x + 1) U = ; Έστω τώρα η ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ διαίρεση του P(x) με το (x + 3)(x + 1). P(x) = (x + 3)(x + 1) π(x) + αx + β (1) *++, 8= 3α+β 1 ' *++, ()-. / α = 2 β =14 12= α+β 1 ' () 4.2.6 Να αποδείξετε ότι αν το πολυώνυμο Ρ (x) έχει παράγοντα το x - 5, τότε το πολυώνυμο P (2x - 3) έχει παράγοντα το x - 4.

Αν το P(x) έχει παράγοντα το x 5 P(5) = 0.Για να έχει το P(2x 3) παράγοντα το x 4 πρέπει P(2 4 3) = 0 P(5) = 0 που ισχύει. 4.2.7 Δείξτε ότι το πολυώνυμο P(x)=x v+1 -(v+1)x+v,v Ν * διαιρείται με το (x-1) 2. Για να δείξω ότι το P(x) = x ν0- (ν + 1)x + ν διαιρείται με το x 1 = (x 1)( x 1) πρέπει να δείξω ότι το P(x) διαιρείται με το x 1 και ότι το πηλίκο αυτής της διαίρεσης διαιρείται ξανά με το x 1, δηλαδή ότι P(1) = 0 και Π(1) = 0. α) P(1) = 1 ν 1 + ν = 0 β)για να βρω τώρα το πηλίκο: P(x) = x ν0- (ν + 1)x + ν = x ν0- νx x + ν = x(x ν 1) ν(x 1) = x(x 1) (x ν)- + x ν) + x ν) + + x + 1) ν(x 1) = (x 1) [x(x ν)- + x ν) + x ν) + + x + 1) ν] π(x) = x ν + x ν)- + x ν) + + x + x + 1 Άρα π(1) = 1 + 1 + 1 + + 1 + 1 ν = ν ν = 0 4.2.8Αν το P(x) = αx ν)- βx ν + 1 έχει παράγοντα x 1 να δείξετε ότι το Q(x) όπου Q(x) = (ν+1)αx ν + νβx ν)- έχει παράγοντα το x 1. Αφού έχει παράγοντα το x 1 = (x 1) (x 1) Ρ(1) = 0 α + β + 1 = 0 β = α 1 (1)

P(x) = αx ν)- βx ν + 1 P(x) = αx ν)- αx ν x ν + 1 = αx ν (x 1) (x ν 1) = αx ν (x 1) (x 1) (x ν)- + x ν) + x ν) + + x + 1) = (x 1)( αx ν x ν)- x ν) x ν) x 1) Άρα το π(x) = αx ν x ν)- x ν) x ν) x 1 Άρα και Π(1) = 0 α 1 1 1 1 = 0 α ν = 0 α = ν (2) (1) *, β = ν 1 Για να έχει το Q(x) παράγοντα το x 1 αρκεί Q(1) = 0. Q(1) = (ν + 1)α + νβ = (ν + 1) ν + ν ( ν 1) = ν + ν ν ν = 0 4.2.9 Αν το πολυώνυμο P (x) = (ν + 1) x ν - νx ν+1 + α διαιρείται με το x - 1, τότε αποδείξτε ότι διαιρείται και με το (x - 1) 2. Αφού P(x) = (ν + 1)x ν νx ν0- + α διαιρείται με x 1 P(1) = 0 P(1) = ν + 1 ν + α = 0 α = 1 Τώρα P(x) = (ν + 1)x ν νx ν0-1 = νx ν + x ν νx ν0-1 = νx ν (1 x) + (x ν 1) = νx ν (1 x) + (x 1) (x ν)- + x ν) + x ν) + + x + 1) = νx ν (x 1) + (x 1) (x ν)- + x ν) + x ν) + + x + 1) = (x 1) ( νx ν + x ν)- + x ν) + x ν) + + x + 1) π(x) = νx ν + x ν)- + x ν) + x ν) + + x + 1

Όμως π(1) = ν + 1 + 1 + + 1 + 1 = ν + ν = 0 το 1 είναι διπλή ρίζα το P(x) διαιρείται με x 1 4.3ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ-ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ 4.3.1 Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: α) x & 5x + 5x 1 = 0 x & 1 5x + 5x = 0 (x 1)( x + 1) 5x(x 1) = 0 (x 1) (x + 1 5x) = 0 (x 1) (x + 1) (x 5x + 1) = 0 x 1 = 0 x = 1 ή x + 1 = 0 x = 1 ή x 5x + 1 = 0 Δ = 25 4 = 21 x -, = ± & β) 3x + 10x + 2x 3 = 0 Οι πιθανές του ακέραιες ρίζες είναι οι διαιρέσεις του σταθερού όρου δηλαδή το ±1 και το ±3.Οπότε: 3 10 2 3 ρ = -3 9 3 3 3 1 1 0 3x + 10x + 2x 3 = (x + 3)(3x + x 1) 3x + x 1 = 0 Δ = 1 + 12 = 13 x -, = )-± - kαι x + 3 = 0 x = 3 ια) x +3x 2 3 9x +3x 2 + 8 = 0 θέτω x +3x 2 = y οπότε y 9y + 8 = 0 που έχει ρίζες το y = 8 και y = 1

Άρα x +3x 2 = 8 x +3x 2 = 2 x +3x 4 = 0, Δ = 25 x -, = )± = % 4 1 ή x +3x 2 = 1 x +3x 2 = 1 x +3x 3 = 0, Δ = 21 x -, = )± - 4.3.2 Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 2συν 4 x - 5συν 3 x + 5συνx - 2 = 0 β) x + 5x + 10 = 8 γ) x - 2 = x + 1 δ) x 4-4x 3 + 6x 2-4x + 1 = 0 α) 2συν & x 5συν x + 5συνx 2 = 0 Έστω συνx = y. 2y & 5y + 5y 2 = 0 2 5 0 5 2 ρ = 1 2 3 3 2 2 3 3 2 0 2 3 3 2 ρ=2 4 2 2 2 1 1 0 2y + y 1 = 0 Δ = 9, y -, = )-± & y - = 1 και y = -

Άρα: i) συνx = 1 συνx = συν0 x = 2κπ ii) συνx = 2 Άτοπο γιατί 1 συνx 1 iii) συνx = 1 συνx = συν0 συνx = συν(π 0) x = 2κπ ± π iv) συνx = - συνx = συνπ x = 2κπ ± π β)x + 5x+10 = 8 (1) 5x + 10 0 5x 10 x 2 5x+10 = 8 x 5x+10 = 88 x9 5x + 10 = 64 16x + x 64 16x + x 5x 10 = 0 x 21x + 54 = 0 Δ = 225 x -, = -±- = % 18 2 3 2 H (1) για x = 18 γίνεται 18 + 5 18+10 = 8 18 + 10 = 28 ΑΔΥΝΑΤΗ Η (1) για x = 3 γίνεται 3 + 5 3+10 = 8 8 = 8 ΙΣΧΥΕΙ γ) x 2 = x+1 (1) x 0, x + 1 0 x 1 8 x 29 = x + 1 x 4 x + 4 = x + 1 4 x = 3 x = &

x = : : 0, H (1) για x = δίνει ; : 2 = ; : +2 2 = -3-3 -3-3 & ;&- -3 Άτοπο δ)η εξίσωση x & 4x + 6x 4x + 1 = 0, λόγω συμμετρίας των συντελεστών της λέγεται αντίστροφη και λύνεται ως εξής: Διαιρούμε όλους τους όρους της εξίσωσης με x που είναι ο μεσαίος όρος, και ο οποίος δε μηδενίζεται αφού το x = 0 δεν είναι λύση της εξίσωσης. Έχουμε λοιπόν: '< &'> ' = + 3'= &' ' = ' = ' = + - ' = = 0 x 4x + 6 & ' + - ' = = 0 x + - ' = 4(x + - ' ) + 6 = 0 Θέτουμε x + - = y οπότε?x + - ' ' @ = y x + 2x - + - = ' ' = y x + 2 + - = ' = y x + - = ' = y 2 Άρα η εξίσωση γίνεται: y 2 4y + 6 = 0 y 4y + 4 = 0 y 2 = 0 y = 2 x + - = 2 ' x + 1 = 2x x 2x + 1 = 0 x 1 = 0 x = 1 4.3.3Να λυθούν οι ανισώσεις: α) 2 x x + 1-2 4 x - 1 2 x - 1 β) x 3 + 2x - 4 x - 2 < 1 4 2 γ) x 5x + 4< 0 δ) x - 1 x + 5

α) '= '0- & ')- ' = )- Περιορισμοί x 1 και x 1 '= '0- & ')- ')- A '0- A B = < '0- ')- '= ')-)&'0-) ')-'0- '> )' = )&')3 ')-'0-0 ')-'0- ')-'0-0 0 Παραγοντοποιούμε τον αριθμητή με τη βοήθεια του HORNER. 1 1 4 6 ρ = 3 3 6 6 1 2 2 0 (x 3)(x +2x+2) ')' = 0'0 '0-')- 0 x 3 = 0 x = 3 x +2x+2 = 0 ΑΔΥΝΑΤΗ x + 1 = 0 x = 1 x 1 = 0 x = 1 Άρα x (, 1) (1, 3].

β) '> 0')& < 1 Περιορισμοί: x 2 ') B> D=BE< ') F) ') < 0 '> 0') < 0 ')-'= 0'0 < 0 ') ') 1 0 1 2 ρ = 1 1 1 2 1 1 2 0 x +x+2 Άρα x +2x 2 = (x 1) (x +x + 2) x 1 = 0 x = 1, x +x + 2 = 0 Δ = 1 8 < 0, x 2 = 0 x = 2 Άρα x (1, 2) γ)x & 5x + 4 < 0 Θέτω x = y y 5y + 4 < 0 Δ = 25 16 = 9, y -, = ± y -= 4 και y = 1 και άρα 1 < y < 4 1 < x < 4 Οπότε 1 < x 1 x < 0 (1 x)(1 + x) < 0

x (, 1) (1, + ) x < 4 x 4 < 0 (x 2)(x + 2) < 0 x ( 2, 2) Άρα x ( 2, 1) (1, 2) δ)x 1 x+5 Πρέπει x+5 0 x 5 Τώρα αν το x 1 < 0 x < 1 η ανίσωση είναι αδύνατη γιατί ο x 1 που είναι αρνητικός δεν μπορεί να είναι ο μεγαλύτερος ή ίσος της ρίζας που είναι θετική ή μηδέν. Αν το x 1 0 x 1 τότε υψώνοντας τα δύο μέλη της ανίσωσης που είναι θετικά ή μηδέν έχουμε: 8x 19 x+5 x 2x + 1 x + 5 x 3x 4 0 Δ = 9 + 16 = 25, x -, = ± x -= 4 και x = 1 Οπότε:

Άρα x (, 1] [4, + ) Όμως πρέπει x 1 και x 5 δηλαδή και άρα x [4, + ) 4.3.4 Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση 3λχ 4 +(3λ-1)χ 3 - (λ+3)χ 2 +(λ+5)χ+3= 0 για κανένα λ δεν μπορεί να γίνει διτετράγωνη. Για να είναι η εξίσωση διτετράγωνη πρέπει οι συντελεστές του x και του x να είναι ταυτόχρονα μηδέν δηλαδή 3λ 1 = 0 και λ + 5 = 0 λ = - και λ = 5 που είναι άτοπο. Άρα η εξίσωση δεν μπορεί να είναι διτετράγωνη για καμία τιμή του λ R.