BUJAR MAMUDI LËNDA : MATEMATIKË KLASA : VIII TEMA : I NGJASHMËRIA PYETJE PRAKTIKE PËR TESTIN EKSTERN [i] Raporti ndërmjet dy segmenteve. 1. Kush është antari i parë për raportin e dhënë 16 Zgjidhje : 16 8?. Kush është antari i dytë për raportin e dhënë 16 : 8? Zgjidhje : 3. Kush është vlera e raportit 16 Zgjidhje : 8 8? 4. Cakto antarin e panjohur te raporti x : 7 nëse vlerën e ka 3? Zgjidhje : x : 7 3 x 3 7 x 1 kujdes rendin 5. Cakto antarin e panjohur te raporti 18 : y nëse vlerën e ka 3? Zgjidhje : 18 : y 3 18 y 3 1 3 y 18 1 y 18 : 3 y 6 kujdes rendin 6. Cakto raportin e segmenteve AB : CD nëse AB 6 cm dhe CD cm? Zgjidhje : AB : CD 6 : raporti ka vlerë 3 7. Cakto raportin e segmenteve CD Zgjidhje : CD AB 6 AB nëse AB 6 dhe CD cm? raporti ka vlerë 6 ose 1 3 8. Çka ndodh me raportin e segmenteve a : b ku a 18 cm dhe b 6 cm nëse të dy antarët shumëzohen me numrin e njëjtë 5? Zgjidhje : a : b 18 : 6 a b 18 ka vlerë 3 6 a 5 b 5 18 5 6 5 90 30 ka përsëri vlerë 3 9. Çka ndodh me raportin e segmenteve a : b ku a 18 cm dhe b 6 cm nëse të dy antarët pjestohen me numrin e njëjtë 3? thjeshtim me
VIII TEMA 1.nb Zgjidhje : a : b 18 : 6 a b 18 ka vlerë 3 6 a : 3 b : 3 18 : 3 6 : 3 6 ka përsëri vlerë 3 10. Cili është raporti i anasjelltë i raportit të dhënë 4 : 5? Zgjidhje : 5 : 4 11. Nëse a 4, b 5, c 7, shkruaj raportin e vazhduar a : b : c. Zgjidhje : a : b : c 4 : 5 : 7 1. Nga raporti i vazhduar x : y : z : 3 : 5 shkruaj raportet individuale. Zgjidhje : x : y : z : 3 : 5 x y 3 z 5 13. Shprehe raportin a ndaj b në formë më të thjeshtë nëse a 7 cm dhe b 35 cm. Zgjidhje : a b 7 35 1 5 ka thjeshtim me 7 14. Cilat nga raportet e dhëna janë të barabarta? 6 80, 150 : 00,, 0.18 : 0.4 8 60 Zgjidhje : 6 8 3 4, 150 00 15 0 3 4, 80 60 8 6 4 3, 0.18 0.4 18 të barabarta janë raporti i parë, i dytë dhe i katërt 15. Raportet e dhëna shkruaji me antarë numra të plotë. 0.35 : 0.7, Zgjidhje : 0.35 0.7 3.5 7 35 70, 3 5 5 : 4 3 5 3 4 6 0 3 10, : 5. 13 5 : 5. 1 13 5 : 5 10 13 5 10 5 1 1 4 1 16. Është dhënë segmenti AB 4 cm, dhe në të është zgjedhur pika C ashtu që AC 18 cm. Cakto raportin AC : CB? 4 3 4 Zgjidhje : AB 4, AC 18 atëherë CB 6. 5 : 4 3, 3 5 : 5. AC : CB 18 : 6 raporti ka vlerë 3 17. Cakto raportin e brinjës dhe perimetrit te trekëndëshi barabrinjës, peskëndëshi i rregullt, gjashtëkëndëshi brinjëshëm? Zgjidhje : shumëkëndëshi i rregullt ose brinjënjëshëm barabrinjës i ka të gjitha brinjët e njëjta a brinja perimetri P 3 a P 5 a P 6 a a 3 a 1 3 brinja perimetri a 5 a 1 5 brinja perimetri a 6 a 1 6
[ii] Segmentet proporcionale. VIII TEMA 1.nb 3 1. Për përpjestimin e dhënë a : b c : d Zgjidhje : b dhe c. Për përpjestimin e dhënë a : b c : d Zgjidhje : a dhe d cilët janë antarë të brendshëm? cilët janë antarë të jashtëm? 3. Për përpjestimin 1 : 8 6 : 4 si është prodhimi i antarëve të jashtëm dhe prodhimi i antarëve të brendshëm? Zgjidhje : prodhimi i antarëve të jashtëm 1 4 48 prodhimi i antarëve të brendshëm 8 6 48 dmth janë të barabartë 4. A mund të formohet përpjestim për katër segmente a 40 cm, b 7 cm, c 35 cm, d 8 cm. Zgjidhje : 40 : 8 5; 35 : 7 5 atëherë 40 : 8 35 : 7 dmth a d c b 5. Cakto proporcionalen e katërt gjeometrike nëse dihet se a : b c : x dhe a 6, b 8, c 1. Zgjidhje : a : b c : x 6 : 8 1 : x 6 x 1 8 6 x 96 x 96 6 16 6. Cakto proporcionalen e katërt gjeometrike nëse dihet se a : x b : c dhe a 6, b 8, c 1. Zgjidhje : a : x b : c 6 : x 8 : 1 6 1 x 8 7 x 8 7 8 x 9 x 7. Cakto mesin gjeometrik për numrat 4 dhe 9. Zgjidhje : 4 x x 9 x x 4 9 x 36 x 36 x 6 8. Cakto antarin e panjohur te përpjestimi 10 : a 15 : 6. Zgjidhje : 10 : a 15 : 6 10 6 a 15 60 a 15 60 15 a 4 a 9. Cakto mesin gjeometrik të segmenteve a cm dhe b 8 cm.
4 VIII TEMA 1.nb Zgjidhje : x x 8 x x 8 x 16 x 16 x 4 10. Cili numër duhet të qëndrojë në vend të shkronjës a? 5 a 8 Zgjidhje : 5 a 8 a 5 8 a 40 a 40 a 0 11. Cakto x dhe y. Zgjidhje : x x x 4 y 5 3 4 y 5 3 4 3 5 3 x 3 4 y 5 3 x 1 y 15 x 1 y 15 x 6 y 7.5 y [iii] Ndarja e segmenteve në pjesë të barabarta. 1. Në sa pjesë është ndarë segmenti AB dhe si janë këto pjesë njëra me tjetrën? Zgjidhje : në 5 pjesë të barabarta. Në çfarë raporti pika M e ndan segmentin AB? Zgjidhje : AM 3, MB atëherë AM MB 3 3. Në çfarë raporti pika M e ndan segmentin AB?
VIII TEMA 1.nb 5 Zgjidhje : AM 3, MB 4 atëherë AM MB 3 4 4. Formo proporcion me pjesët e ndara të segmenteve të dhëna. Zgjidhje : PH, HQ 6, RK 3, KS 1, 6 : 3, 3 : 1 3 dmth 6 3 1 5. Pika M e ndan segmentin AB në raport AM : MB : 3. Cakto vlerën e raportit AM : AB dhe AB : MB. Zgjidhje : HQ PH RK KS AM : AB : 3 AB : MB 3 : 3 AM : AB : 5 AB : MB 5 : 3 [iv] Teorema e Talesit për segmentet proporcionale. 1. Nëse AC me BD, dhe OA 4 cm, AB 5 cm, OC 8 cm, cakto gjatësinë e CD. Zgjidhje : maja kulmi është pika O, çdo lëvizje tek ana e majtë duhet të jetë e njëjtë me anën e djathtë OA AB OC CD 4 5 8 CD 4 CD 5 8 4 CD 40 CD 40 4 CD 10. Për cilët prej këtyre gjatësive sipas vizatimit do të jetë MN PQ?
6 VIII TEMA 1.nb a RM 10, RP 1, RN 15, RQ 18; b RP 14, MP 4, RQ 1, NQ 6; c RM 6, RP 8, RN 9, RQ 14. Zgjidhje : maja kulmi është pika R, çdo lëvizje tek ana e majtë duhet të jetë e njëjtë me anën e djathtë a b c RM RP RN RQ 10 1 15 18 10 18 1 15 180 180 atëherë MN PQ RP MP RQ NQ 14 4 1 6 14 6 1 4 84 84 atëherë MN PQ RM RP RN RQ 6 8 9 14 14 6 9 8 84 7 atëherë MN nuk është paralel me PQ 3. Nëse dihet se PQ BC, për vizatimin e dhënë plotëso : a AP : AB : ; c : AQ : QC; b AP : PB : ; d AC : AQ :. Zgjidhje : maja kulmi është pika A, çdo lëvizje tek ana e majtë duhet të jetë e njëjtë me anën e djathtë a AP : AB AQ : AC b AP : PB AQ : QC c AP : PB AQ : QC c AC : AQ AB : AP 4. Për segmentet e shënuara a do të jetë BC DE?
Zgjidhje : maja kulmi është pika A, çdo lëvizje tek ana e majtë duhet të jetë e njëjtë me anën e djathtë AB BD AC CE 0 16 35 8 0 8 16 35 560 560 atëherë BC DE VIII TEMA 1.nb 7 [v] Detyra me zbatimin e teoremës së Talesit. 1. Për vizatimin e dhënë nëse MN BC, AM 1, AB 18. Cakto raportin BC : MN. Zgjidhje : maja kulmi është pika A, çdo lëvizje për trekëndëshin e vogël AMN duhet të jetë enjëjtë për trekëndëshin e madh ABC AM AB AN AC MN BC 1 18 MN BC. Për vizatimin e dhënë nëse MN BC, AB 15, BC 10. Cakto MN nëse M është mesi i AB. atëherë BC : MN 18 : 1 Zgjidhje : maja kulmi është pika A, çdo lëvizje për trekëndëshin e vogël AMN duhet të jetë enjëjtë për trekëndëshin e madh ABC AM AB AN AC MN BC atëherë AM 7.5 dhe MB 7.5 7.5 15 MN 10 15 MN 7.5 10 15 MN 75 MN 75 : 15 MN 5 M është mesi i AB, 3. Për vizatimin e dhënë nëse drejtëzat që presin drejtëzën p dhe q janë paralele dhe a 3, b 5, x 9 dhe b' 7. Cakto gjatësinë e segmentit a' dhe y. Zgjidhje : çdo lëvizje për anën e majtë, të jetë e njëjtë me anën e djathtë
8 VIII TEMA 1.nb 3 5 9 y a b x y a' b' 3 5 9 y a' 7 3 5 a' 7 3 y 5 9 5 a' 3 7 3 y 45 5 a' 1 y 45 a' 1 3 5 y 15 a' 4. 4. Për vizatimin e dhënë nëse MN AB, dhe AD 18 cm, BC 4 cm, DM 3 cm. Cakto BN dhe NC. Zgjidhje : çdo lëvizje për anën e majtë, të jetë e njëjtë me anën e djathtë DM DA CN CB 3 18 x 4 18 x 3 4 18 x 7 x 7 : 18 x 4 nëse CN 4 cm atëherë BN 0 cm 5. Për vizatimin e dhënë nëse MN AB. Cakto NB dhe AB. Zgjidhje : maja kulmi është pika C, çdo lëvizje për trekëndëshin e vogël CMN duhet të jetë e njëjtë për trekëndëshin e madh CAB CM MA CN NB CM MN CA AB 6 3 NB 6. Për trapezin ABCD cakto SD. NB 3 6 NB 18 6 4 AB 8 4 AB NB 9. AB 4 8 AB 3 AB 16 Zgjidhje : maja kulmi është pika S, çdo lëvizje për trekëndëshin e vogël SDC duhet të jetë e njëjtë për trekëndëshin e madh SAB
SD SA DC AB x x 7 5 1 1 x 5 x 7 1 x 5 x 35 1 x 5 x 35 7 x 35 x 35 : 7 x 5 VIII TEMA 1.nb 9 7. Cakto lartësinë e drurit nëse hija e tijë BC 0 metra, kurse hija e shkopit CQ 1 metër dhe shkopi është i gjatë PQ 1.4 metra. Zgjidhje : maja kulmi është pika C, çdo lëvizje për trekëndëshin e vogël CQP duhet të jetë e njëjtë për trekëndëshin e madh CBA CQ CB PQ BA 1 0 1.4 AB 1 AB 0 1.4 AB 8 metra 8. Per trapezin e dhene cakto AD dhe BC. Zgjidhje : çdo lëvizje për anën e majtë, të jetë e njëjtë me anën e djathtë DP PM CQ QN PM MA QN NB 6 PM 8 6 4.5 3 6 NB 8 PM 6 6 PM 36 9. Cakto x dhe y nga vizatimi i dhënë. 8 PM 4.5 4.5 NB 6 3 NB 18 : 4.5 NB 4 Zgjidhje : maja kulmi është pika C, çdo lëvizje për trekëndëshin e vogël duhet të jetë e njëjtë për trekëndëshin e madh CAB CD CB FD AB k k k k x 15 k 3 k x 15 1 3 x 15 3 x 1 15 x 15 3 x 5
10 VIII TEMA 1.nb CE CB GE AB k k k k k y 15 k 3 k y 15 3 y 15 3 y 15 y 30 3 y 10 [vi] Figurat e ngjajshme. Trekëndëshat e ngjajshëm. 1. Çka kanë të njëjtë dhe çka kanë të ndryshme dy figura të ngjajshme? Zgjidhje : formë të njëjtë, kurse madhësinë mund ta kenë të njëjtë ose të ndryshme.. A janë përherë të ngjajshëm dy katrorë? Zgjidhje : Po Sepse këndet i kanë nga 90 o, kurse brinjët janë proporcionale. 3. A janë përherë të ngjajshëm dy drejtkëndësha? Zgjidhje : Jo Edhe pse këndet i kanë nga 90 o, brinjët nuk janë përherë proporcionale. 4. A janë përherë të ngjajshëm dy trekëndësha barabrinjës? Zgjidhje : Po Sepse këndet i kanë nga 60 o, kurse brinjët janë proporcionale. 5. A janë përherë të ngjajshëm dy vija rrethore? Zgjidhje : Po Sepse kanë formën e njëjtë, rrezet janë proporcionale. 6. A janë përherë të ngjajshëm dy shumëkëndësha të rregullt të llojit të njëjtë? Zgjidhje : Po Sepse këndet e brendshme i kanë të njëjta puthitshme, brinjët janë proporcionale. 7. Nëse distanca prej Kumanove deri në Shkup në hartën me përpjestim 1 : 1 000 000 është 4 cm, sa do të jetë distanca në hartë tjetër me përpjestim 1 : 500 000? Zgjidhje : Harta e parë është zvogëluar 1 miljon here, kurse harta e dytë vetëm pesqind mijë. Objektet Distanca në hartën e parë është herë më e vogël se objektet distanca në hartën e dytë. Atëherë distanca në hartën e dytë është 8 cm. 8. Kur janë dy trekëndësha të ngjajshëm? Sa kushte mjafton të plotësohen? Zgjidhje : Një nga këto dy kushte duhet të plotësohen a këndet të jenë të puthitshme të njëjta b brinjët të jenë proporcionale 9. Çfar tregon koeficienti i njajshmërisë? Kur është më i madh se 1, më i vogël se 1, dhe saktësisht 1? Zgjidhje : k AB A 1 B 1 BC B 1 C 1 AC A 1 C 1, k tregon shkallën e ngjajshmërisë nëse k 1, trekëndëshi i parë ABC është më i madhë se i dyti A 1 B 1 C 1 P ABC P A 1 B 1 C 1 nëse k 1, të dy trekëndëshat kanë madhësi të njëjtë janë të puthitshëm ABC A 1 B 1 C 1 nëse k 1, trekëndëshi i parë ABC është më i vogël se i dyti A 1 B 1 C 1 P ABC P A 1 B 1 C 1 10. Nëse e dinë se ABC MNP. Shkruaji brinjët përgjegjëse. Shkruaj këndet përgjegjëse.
Zgjidhje : gjithmonë duke rrespektuar rendin, dy të parët, dy të fundit, i pari dhe i fundit k AB MN BC NP AC MP ABC MNP, BCA NPM, dhe CAB PMN VIII TEMA 1.nb 11 11. Nëse e dinë se ABC MNP. Cakto x dhe y. Zgjidhje : Nga fjalia e parë ABC MNP mund ti shkruajmë brinjët përgjegjëse k AB MN BC NP AC MP k 4 y 3 x 6 k 6 1 3 dmth trekëndëshi i dytë është 3 herë më i madh se i pari k 4 y k 3 x 1 3 4 y 1 3 3 x 1 y 3 4 1 x 3 3 y 1 x 9 1. Nëse e dinë se ABC PQR. Cakto x dhe y. Zgjidhje : Nga fjalia e parë ABC PQR mund ti shkruajmë brinjët përgjegjëse k AB PQ BC QR AC PR k 6 y x 10 1 15 k 1 15 4 5 dmth trekëndëshi i dytë është 1.5 herë më i madh se i pari k 6 y k x 10 4 5 6 4 y 5 x 10 4 y 5 6 5 x 4 10 y 30 x 40 4 5 y 7.5 x 8
1 VIII TEMA 1.nb 13. Prej ABC A 1 B 1 C 1, a vijon se ABC A 1 B 1 C 1? Zgjidhje : Po Sepse dy trekëndësha të puthitshëm kanë edhe këndet edhe brinjët e puthitshme. 14. Prej ABC A 1 B 1 C 1, a vijon se ABC A 1 B 1 C 1? Zgjidhje : Jo përherë Tek trekëndëshat e ngjajshëm edhe pse këndet janë të puthitshme, brinjët nuk janë. Vetëm atëherë kur k 1, sepse në këtë rast edhe brinjët janë të puthitshëm. [vii] Kriteri i parë për trekëndëshat e ngjajshëm. 1. Çka thotë kriteri i parë K K për ngjajshmërinë e trekëndëshave? Zgjidhje : Për dy trekëndësha nëse dy palë këndesh janë të puthitshme atëherë ato dy trekëndësha janë të ngjajshëm pa pasur nevojë të kontrollojmë çiftin e tretë të këndeve.. Vërteto se këto dy trekëndësha janë të ngjajshëm. Si e ka emrin kjo figurë? Zgjidhje : Figura quhet flutur me krahë jo paralel sepse AB dhe DE nuk janë paralele 1. BAC EDC është e dhënë 30 o. BCA ECD sepse janë kënde vertikal Atëherë sipas kriterit Kënd Kënd K K ACB DCE kujdes rendi është i rëndësishëm 3. Nëse MN AB. Vërteto se këto dy trekëndësha janë të ngjajshëm. Si e ka emrin kjo figurë? Zgjidhje : Figura quhet trekëndësh i prerë me dy drejtëza paralele 1. CAB CMN sepse janë kënde përgjegjëse. CBA CNM sepse janë kënde përgjegjëse Atëherë sipas kriterit Kënd Kënd K K ABC MNC kujdes rendi është i rëndësishëm 4. Nëse MN AB dhe PN AC. Cakto cilët trekëndësha janë të ngjajshëm.
Zgjidhje : Kemi dy llojë trekëndësha të ngjajshëm të llojit "trekëndësh i prerë me dy drejtëza paralele" VIII TEMA 1.nb 13 1. CAB CMN. BCA BNP 5. Vërteto se këto trekëndësha kënddrejt janë të ngjajshëm. Zgjidhje : 1. CBA RQP e dhënë kënd i drejtë 90 o. BAC QPR e dhënë Atëherë sipas kriterit Kënd Kënd K K BAC QPR kujdes rendi është i rëndësishëm 6. Dy trekëndëshat e dhënë janë barakrahës me baza AB dhe PQ, këndet tek maja janë të njëjtë Α 80 o.vërteto se janë të ngjajshëm. Zgjidhje : Këndet sipër bazës te trekëndëshi barakrahës janë të barabartë. 1. CAB RPQ 50 o, kënde sipër bazë të trekëndëshit barakrahës. CBA RQP 50 o, kënde sipër bazë të trekëndëshit barakrahës Atëherë sipas kriterit Kënd Kënd K K ABC PQR kujdes rendi është i rëndësishëm prova 80 o 50 o 50 o 180 o 7. Vërteto se këto dy trekëndësha janë të ngjajshëm. Si e ka emrin kjo figurë?
14 VIII TEMA 1.nb Zgjidhje : Figura quhet flutur me krahë paralel sepse AC DB 1. MAC MBD është e dhënë, kënd i drejtë 90 o. AMC BMD sepse janë kënde vertikal Atëherë sipas kriterit Kënd Kënd K K AMC BMD kujdes rendi është i rëndësishëm 8. Është dhënë ABC me brinjë AB 0, BC 1 dhe CA 16. Nëpër pikën M që shtrihet në brinjën BC është tërhequr drejtëza paralele me AB dhe e prenë AC në pikën N. Cakto MN, në qoftë se CM 3. Zgjidhje : Mundohu të vizatosh figurën CM CB NM AB 3 1 NM 0 1 NM 3 0 NM 60 1 NM 5 9. Te trapezi ABCD, me baza AB dhe CD diagonalet AC dhe BD priten në pikën S. Cakto CD, në qoftë se AB 1, AS 6 dhe SC 3. Zgjidhje : Mundohu të vizatosh figurën AB DC, atëherë është dhënë flutura me krahë paralele ABS CDS rendi është i rëndësishëm k AB CD BS DS AS CS k 1 x 6 atëherë k 6 dmth trekëndëshi ABS është tre herë më i madhë se trekëndëshi CSD 3 3 k 1 x 1 1 x x 1 1 x 1 x 6 [viii] Kriteri i dytë dhe i tretë për trekëndëshat e ngjajshëm. 1. Çka thotë kriteri i dytë Brinjë Kënd Brinjë B K B për ngjajshmërinë e trekëndëshave? Zgjidhje : Nëse te dy trekëndësha dy palë brinjësh janë proporcionale dhe këndet midis tyre janë të puthitshme atëherë ato dy trekëndësha janë të ngjajshëm.
. Provo a janë të ngjajshëm trekëndëshat ABC dhe A 1 B 1 C 1 nëse : a BC 0, AC, C 50 o ; B 1 C 1 30, A 1 C 1 33, C 1 50 o. b BC 5, AC 70, C 70 o ; B 1 C 1 50, A 1 C 1 139, C 1 70 o. VIII TEMA 1.nb 15 Zgjidhje : kontrollo nëse brinjët janë proporcionale dhe këndet janë të puthitshme BC AC a 1. B 1 C 1 A 1 C 1 0 30 33 0 33 30 660 660 Po janë proporcionale. C C 1 sipas kriterit Brinjë Kënd Brinjë B K BABC A 1 B 1 C 1 a 1. BC B 1 C 1 AC A 1 C 1 5 70 50 139 5 139 50 70 3475 3500 Jo nuk janë proporcionale. C C 1 atëherë ABC nuk është i ngjajshëm me A 1 B 1 C 1 3. Çka thotë kriteri i tretë Brinjë Brinjë Brinjë B B B për ngjajshmërinë e trekëndëshave? Zgjidhje : Nëse te dy trekëndësha tre palë brinjësh janë proporcionale atëherë ato dy trekëndësha janë të ngjajshëm. 4. A janë të ngjajshëm trekëndëshat me brinjë : a 3, 4, 5 dhe 6, 8, 10; b 15, 9, 1 dhe 4, 3, 5; c,, 3 dhe 6, 6, 8; d ; 3; 4 dhe 3; 6; 4.5 Zgjidhje : Rradhiti brinjët prej te më i vogli tek më i madhi dhe formo raport a 3 6 4 8 5 10 k prej ku rrjedh se k 1 dmth PO janë të ngjajshëm b 9 3 1 4 15 5 3 6 4 8 4 8 5 10 3 8 6 4 4 34 4 10 8 5 40 40 k prej ku rrjedh se k 3 dmth PO janë të ngjajshëm 9 3 1 9 4 3 1 36 36 4 1 4 15 1 5 4 15 60 60 5 c 6 6 3 8 k Nuk janë të ngjajshëm sepse nuk janë proporcional d 3 3 6 6 6 3 8 8 6 3 16 18 4.5 4 6 k prej ku rrjedh se k 3 dmth PO janë të ngjajshëm.
16 VIII TEMA 1.nb 3 3 4.5 3 4.5 4 6 4.5 3 3 9 9 5. Vërteto se trekëndëshat e dhënë janë të ngjajshëm. 4 4.5 3 6 18 18 Zgjidhje : figura e dhënë është flutur, mirpo nuk e dim a është me krah paralel apo jo mirpo e dimë se 1. BCA ECD sepse janë kënde vertikal mundohemi të formojmë proporcion me brinjët tjera. 4 6 6 9 4 9 6 6 36 36 PO brinjët janë proporcionale BC DC AC EC k ku k dmth trekëndëshi i dytë DCE është 1.5 herë me i madhë se i pari BCA 3 Atëherë sipas kriterit Brinjë Kënd Brinjë B K B BCA DCE kujdes rendi është i rëndësishëm 6. Brinjët e një trekëndëshi janë 6, 5 dhe 4. Brinja më e madhe e trekëndëshit tjetër, i ngjashëm me trekëndëshin e dhënë është 9. Cakto perimetrin e trekëndëshit tjetër. Zgjidhje : përdorim indicin e tretë B B B, krijojmë raport të brinjëve sipas madhësisë prej te më i vogli deri tek më i madhi k 4 x 5 y 6 9 atëherë k 6 9 3 dmth trekëndëshi i dytë është 1.5 herë me i madh se i pari k 4 x k 5 y 3 4 x 3 5 y x 3 4 y 3 5 x 1 y 15 x 6 y 7.5 caktojmë perimetrin e trekëndëshit të dytë P 6 7.5 9 P.5 7. A janë të ngjashëm dy trekëndësha, në qoftë se dy kënde të njërit trekëndësh janë nga 60 o dhe 70 o, kurse dy kënde të trekëndëshit tjetër janë nga 50 o dhe 60 o. Zgjidhje : Shohim trekëndëshin e parë : 60 o 70 o 130 o këndi i tretë është 180 o 130 o 50 o trekëndëshi i dytë : 50 o 60 o 110 o, këndi i tretë është 180 o 110 o 70 o Si përfundim këto dy trekëndësha i kanë këndet e puthitshme 50 o, 60 o, 70 o dhe janë të ngjajshëm.
8. A është ABC MNR nëse : BAC 50 o, AB 4 cm, AC 6 cm; NMR 50 o, MN 30 cm, MR 45 cm. Zgjidhje : VIII TEMA 1.nb 17 1. BAC NMR e dhënë 4. 30 6 4 45 6 30 180 180 PO Janë proporcionale. 45 AB MN AC MR k ku k dmth trekëndëshi i dytë NMR është 7.5 herë me i madh se i pari 15 Atëherë sipas kriterit Brinjë Kënd Brinjë B K B BAC NMR kujdes rendi është i rëndësishëm 9. Provo nëse ABC A 1 B 1 C 1 nëse : a 15, 17, 4 dhe 4.5; 5.1; 7.; b ; 8.; 0 dhe 55; 0.5; 50. Zgjidhje : përdorim indicin e tretë Brinjë Brinjë Brinjë B B B dhe formojmë raporte sipas madhësisë a 15 4.5 17 5.1 4 7. 15 4.5 17 5.1 17 5.1 4 7. 15 5.1 4.5 17 17 7. 5.1 4 76.5 76.5 1.4 1.4 PO Janë të ngjajshëm. 8. b 0.5 0 50 55 8. 0.5 0 0 50 50 55 8. 50 0 0.5 0 55 50 410 410 1100 1100 PO Janë të ngjajshëm. 10. Brinjët e ABC janë : a 6 cm, b 4 cm dhe c 3 cm. Cakto perimetrin e A 1 B 1 C 1 që është i ngjashëm me ABC, kurse brinja e tij më e vogël është 6 cm. Zgjidhje : përdorim indicin e tretë B B B, krijojmë raport të brinjëve sipas madhësisë prej te më i vogli deri tek më i madhi k 3 6 4 x 6 y atëherë k 3 6 1 dmth trekëndëshi i dytë është herë me i madh se i pari k 4 x k 6 y 1 4 x 1 6 y 1 x 4 1 y 6 x 8 y 1 caktojmë perimetrin e trekëndëshit të dytë P 6 8 1 P 6
18 VIII TEMA 1.nb [ix] Raporti i perimetrave dhe syprinave të trekëndëshave të ngjajshëm. 1. Njehëso perimetrin e trekëndëshit me brinjë a 15 cm, b 9 cm dhe c 8 cm. Zgjidhje : P 15 9 8 P 3. Njehëso syprinën e trekëndëshit me brinjë a 10 cm dhe lartësi përkatëse h a 6 cm. Zgjidhje : S a h a S 10 6 S 60 S 30 cm 3. Si është lidhja midis perimetrave të dy trekëndëshave të ngjajshëm me koeficientin e ngjajshmërisë? Zgjidhje : k P ABC P A1 B 1 C 1 ose a a 1 b b 1 c c 1 k P ABC P A1 B 1 C 1 4. Brinjët e trekëndëshit ABC janë a 6 cm, b 8 cm dhe c 1 cm. Cakto perimetrin e trekëndëshit A 1 B 1 C 1 që është i ngjajshëm me të parin dhe tek i cili brinja më e vogël është a 1 Zgjidhje : caktojmë perimetrin e trekëndëshit të parë P ABC 6 8 1 6 cm caktojmë koeficientin e ngjajshmërisë k 3 cm. k a b c a 1 b 1 c 1 k 6 3 8 1 dmth k 6 b 1 c 1 3 1 zbatojmë lidhjen midis perimetrit dhe k k P ABC P A1 B 1 C 1 1 6 P A1 B 1 C 1 P A1 B 1 C 1 1 6 P A1 B 1 C 1 6 13 cm P A1 B 1 C 1 5. Brinjët e trekëndëshit ABC janë a 6 cm, b 15 cm dhe c 18 cm. Cakto perimetrin e trekëndëshit A 1 B 1 C 1 të ngjajshëm me të parin nëse k 1 3 Zgjidhje : caktojmë perimetrin e trekëndëshit të parë P ABC 6 15 18 39 cm zbatojmë lidhjen midis perimetrit dhe k k P ABC P A1 B 1 C 1 1 3 39 P A1 B 1 C 1 1 P A1 B 1 C 1 3 39 P A1 B 1 C 1 117 cm
6. Si është lidhja midi lartësive, përgjysmoreve të këndit, dhe medianave te dy trekëndëshave të ngjajshëm. VIII TEMA 1.nb 19 Zgjidhje : k h h 1 V V 1 m m 1 ku h lartësia, V përgjysmore e këndit, m mediana ose k a a 1 b b 1 c c 1 a b c a 1 b 1 c 1 P ABC P A1 B 1 C 1 7. Perimetrat e dy trekëndëshave të ngjajshëm janë 16 cm dhe 4 cm, kurse njëra lartësi e trekëndëshit të parë është 9 cm. Cakto lartësinë përgjegjëse të trekëndëshit të dytë. h h 1 V V 1 m m 1 Zgjidhje : Nga perimetrat caktojmë koeficientin e ngjajshmërisë k k P ABC P A1 B 1 C 1 k 16 4 3 zbatojmë lidhjen midis k dhe lartësive k h h 1 3 9 h 1 h 1 3 9 h 1 7 13.5 cm h 1 8. Si është lidhja midis syprinave të dy trekëndëshave të ngjajshëm me koeficientin e ngjajshmërisë? Zgjidhje : k S ABC S A1 B 1 C 1 ose a a 1 b b 1 c c 1 k S ABC S A1 B 1 C 1 9. Syprinat e dy trekëndëshave të ngjajshëm ABC dhe A 1 B 1 C 1 janë 49 cm dhe 36 cm, kurse një brinjë e trekëndëshit të parë është a 7 cm. Cakto brinjën përgjegjëse të trekëndëshit tjetër. Cakto lartësitë përgjegjëse h dhe h 1.
0 VIII TEMA 1.nb Zgjidhje : cakto lartësinë h për trekëndëshin e parë S a h 49 7 h 7 h 49 h 98 7 h 14 cakto koeficientin e ngjajshmërisë k nga lidhja e syprinave k S ABC S A1 B 1 C 1 k 49 36 k 49 36 k 7 6 përdore koeficientin e ngjajshmërisë k të caktosh brinjën përgjegjëse k a a 1 7 6 7 a 1 a 1 6 përdore koeficientin e ngjajshmërisë k të caktosh lartësinë përgjegjëse k h h 1 7 6 14 h 1 7 h 1 6 14 h 1 84 7 h 1 1 cm 10. Brinjët e trekëndëshit ABC janë a 8, b 6 dhe c 4. Perimetri i trekëndëshit tjetër 1 B 1 C 1 i cili është i ngjajshëm me të parin është 45 cm. Cakto brinjët e trekëndëshit të parë.
Zgjidhje : caktojmë perimetrin e trekëndëshit të parë P ABC 8 6 4 P ABC 18 cm caktojmë koeficientin e ngjajshmërisë k nga lidhja e perimetrave k P ABC P A1 B 1 C 1 k 18 45 5 caktojmë brinjët tjera nga lidhja e k me brinjët VIII TEMA 1.nb 1 k a a 1 b b 1 c c 1 5 8 a 1 6 b 1 4 c 1 5 8 a 1 5 6 b 1 5 4 c 1 a 1 5 8 b 1 5 6 c 1 4 5 a 1 40 b 1 30 c 1 0 a 1 0 cm b 1 15 cm c 1 10 cm 11. Ara në formë të trekëndëshit është vizatuar në raport 1 : 00. Cili është raporti ndërmjet syprinës së trekëndëshit nga vizatimi dhe syprinës së arës. 1 Zgjidhje : e dimë se k 00 zbatojmë lidhjen midis koeficientit të ngjajshmërisë k dhe syprinave 1 00 k S ABC S A1 B 1 C 1 S ABC S A1 B 1 C 1 1 40 000 S ABC S A1 B 1 C 1 1. Syprinat e dy trekëndëshave të ngjashëm janë në raport 9 : 5. Cakto koeficientin e ngjashmërisë të atyre trekëndshave. Zgjidhje : e dimë se S ABC S A1 B 1 C 1 9 5 zbatojmë lidhjen mdis koeficientit të ngjajshmërisë k dhe syprinave k S ABC S A1 B 1 C 1 k 9 5 k 9 5 k 3 5
VIII TEMA 1.nb [x] Ngjajshmëria te trekëndëshi kënddrejt. 1. Për trekëndëshin kënddrejt të dhënë me lartësi të lëshuar nga këndi i drejtë trego kush është projeksioni i katetit x, kush është projeksioni i katetit y. Zgjidhje : projeksion i katetit x është n projeksion i katetit y është m. Për trekëndëshin kënddrejt të dhënë me lartësi të lëshuar nga këndi i drejtë trego kush është projeksioni i katetit a, kush është projeksioni i katetit b. Zgjidhje : projeksion i katetit a është p projeksion i katetit b është q 3. Çka thonë teoremat e Euklidit për trekëndëshin këndrejtë tek i cili janë dhënë projeksionet e kateteve p dhe q në hipotenuzë? Zgjidhje : Lartësia është mesi gjeometrik i projeksioneve të kateteve p dhe h p q ose h p q h Kateti është mesi gjeometrik i projeksionit të tijë me hipotenuzën. a a p c ose p c a b q c ose b q c b 4. Te ABC kënddrejt me katete a 1 dhe b 5 dhe hipotenuzë c 13, cakto proeksionet e kateteve a dhe b mbi hipotenuzë c. Zgjidhje : zbatojmë teoremat e Euklidit a p c b q c 1 p 13 5 q 13 1 p 13 5 q 13 144 p 13 5 q 13 144 13 p 5 13 q 5. Cakto projeksionin p, në qoftë se projeksioni q 4 dhe hipotenuza është h 6. Zgjidhje : zbatojmë teoremat e Euklidit h p q 6 p 4 6 p 4 36 p 4 36 4 p 9 p
6. Në qoftë se hipotenuza c 1 dhe projeksioni p 3, sa është kateti a? Zgjidhje : zbatojmë teoremat e Euklidit a p c a 3 1 a 36 a 6 VIII TEMA 1.nb 3 7. Në qoftë se kateti b 13, sa është prodhimi i hipotenuzës c me katetin q? Zgjidhje : zbatojmë teoremat e Euklidit b q c 13 q c 13 q c 169 q c 8. Në qoftë se projeksioni q dhe projeksioni p 8, sa është lartësia h? Zgjidhje : zbatojmë teoremat e Euklidit h p q h 8 h 16 h 4 9. Në bazë të vizatimit plotëso antarët që mungojnë : a m n b c d x x m n x y m n m n y y Zgjidhje : m është projeksion i katetit y n është projeksion i katetit x m n është hipotenuza z është lartësia zbatojmë teoremat e Euklidit a m n nga shumëzimi i kryqëzuar, mesi gjeometrik i projeksioneve m dhe n është lartësia z m z z z m n n b x x nga shumëzimi i kryqëzuar, m n mesi gjeometrik i katetit x është prodhimi i hipotenuzës m n dhe projeksionit n
4 VIII TEMA 1.nb d n x x m n m n y y x n m n nga shumëzimi i kryqëzuar, mesi gjeometrik i katetit y është prodhimi i hipotenuzës m n dhe projeksionit m m n y y m y m m n c x y m n shumëzojmë formulat për x dhe y nga detyrat b dhe d x y n m n m m n x y n m m n x y m n n m nga detyra a e dimë se z m n atëherë x y m n z 10. Nëse këndi AMB është i drejtë njehëso syprinën e pjesës së hijëzuar nëse CM 9 cm dhe DM 16 Zgjidhje : tërheqim lartësinë e trekëndëshit ABM deri tek pika H AH DM 16 BH CM 16 zbatojmë teoremat e Euklidit të gjejmë lartësinë MH AH është projeksion i katetit AM BH është projeksion i katetit BM h 16 9 h 4 3 h 1 caktojmë syprinën e trekëndëshit ABM S ABM AB h 5 1 S ABM S ABM 300 S ABM 150 cm caktojmë katetitin BM me teoremën e Euklidit BM 9 9 16 BM 9 5 BM 3 5 BM 15
zbatojmë teoremën e Pitagorës te trekëndëshibmc të gjejmë katetin BC BM CM BC 15 9 BC 5 81 BC 5 81 BC 144 BC 1 BC VIII TEMA 1.nb 5 caktojmë syprinën e drejtëkëndëshit ABCD S ABCD AB BC S ABCD 5 1 S ABCD 300 cm syprina e pjesës së hijëzuar është dallimi midis syprinës së drejtëkëndëshit ABCD dhe trekëndëshit ABM S ABCD S ABM 300 150 150 cm [xi] Teorema e Pitagorës. 1. Si thotë teorema e Pitagorës? Zgjidhje : Syprina e katrorit të ndërtuar mbi hipotenuzën e trekëndëshit kënddrejtë është e barabartë me shumën e syprinave të katrorëve të ndërtuara mbi katete. S c S a S b ose c a b. Cakto hipotenuzën c të trekëndëshit kënddrejt me katete a 15 dhe b 0. Zgjidhje : zbato teoremën e Pitagorës c a b c 15 0 c 5 400 c 65 c 5 3. Për trekëndëshin kënddrejt nëse hipotenuza është c 9 dhe njëri katet është a 0 cm. Cakto katetin tjetër. Zgjidhje : zbato teoremën e Pitagorës c a b 9 0 b 841 400 b 841 400 b 441 b 1 b 4. Provo nëse trekëndëshi i dhënë është i drejtë : a a 7, b 4, c 5; b a 8, b 10, c 15. Zgjidhje : zbato teoremën e Pitagorës a c a b 5 7 4 65 49 576 65 65 PO është kënddrejt
6 VIII TEMA 1.nb b c a b 15 8 10 5 64 100 5 164 JO Nuk është kënddrejt 5. Cakto diagonalen e drejtëkëndëshit me brinjë a 6 dm dhe b 11 cm. Zgjidhje : diagonalja drejtëkëndëshin e ndan në dy trekëndësha kënddrejt zbatojmë teoremën e pitagorës d a b d 60 11 d 3600 11 d 371 d 61 cm 6. Njehëso lartësinë e trekëndëshit barakrahës me bazë a 18 cm, dhe krah b 41 cm. Zgjidhje : lartësia bazën a e ndan në dy pjesë të barabarta nga 9 cm, lartësia trekëndëshin ABC e ndan në dy trekëndësha kënddrejt me hipotenuzë krahun b zbatojmë teoremën e Pitagorës b h a 41 h 18 1681 h 9 1681 81 h 1600 h 40 h [xii] Detyra me zbatimin e teoremës së Pitagorës. 1. Njehëso lartësinë e trapezit barakrahës me baza a 16 cm, b 30 cm, dhe me krah c 5 cm.
Zgjidhje : lartësitë e trapezit formojnë dy trekëndësha kënddrejt të puthitshëm me hipotenuzë krahun c kateti i këtyre trekëndëshave këndrejt është gjysma e ndryshimit të bazave a dhe b zbatojmë teoremën e pitagorës c h 5 h 65 h 65 49 h 576 h 4 h a b 30 16 14 VIII TEMA 1.nb 7. Cakto perimetrin e rombit me diagonale AC 70 dhe BD 4. Zgjidhje : diagonalet në pikëprerjen e tyre formojnë kënd të drejtë, dmth katër trekëndësha kënddrejt të puthitshëm me hipotenuzë brinjën a të rombit diagonalet gjithashtu përgjysmohet në pikëprerjen e tyre zbatojmë teoremën e pitagorës a d 1 70 a a 35 1 d a 15 144 a 1369 a 37 4 caktojmë perimetrin e rombit P 4 a P 4 37 P 148 cm 3. Shkalla me gjatësi 7.4 metra është mbështetur në murë ashtu që skaji i poshtëm i shkallës është larguar prej muri.4 metra. Cakto gjatësinë e shkallës. Zgjidhje : shkalla me murin formon trekëndësh kënddrejt me hipotenuzë gjatësinë e shkallës 7.4 x.4 54.76 x 5.76 54.76 5.76 x 49 x 7 x
8 VIII TEMA 1.nb [xiii] Popullimi. Mostra 1. Në një fabrikë çokollatash ka të punësuar një degustator. Detyra e tij është ti provon çokollatat dhe ta vlerëson kualitetin e tyre. Çka është popullimi? Çka është mostra? Zgjidhje : popullimi në këtë rast janë krejtë çokollatat e fabrikës mostra është pjesa e zgjedhur e çokollatave. Pse është më mirë të merret mostër e jo krejt popullimi në hulumtimet e dhëna : a kualiteti i lëngjeve në ndonjë ndërrmarje b numri mesatar i librave të lexuara nga çdo banor i republikës së Maqedonise c emisioni më i shikuar në qytetin e Strugës Zgjidhje : në të tre rastet nëse si popullat merren krejt elementet krejt lëngjet, banorët e R.M, banorët e Strugës do të kushtojë shumë koh, mjete finansiare, dhe resurse njerzore për kryerjen e hulumtimit. 3. Si duhet të zgjidhet mostra për një hulumtim. Zgjidhje : në mënyrë të rastësishme, ashtu që çdo element i popullimit të ketë shansa të njëjta për të qënë pjesë e mostrës.
BUJAR MAMUDI LËNDA : MATEMATIKË KLASA : VIII TEMA : II BARAZIMI, JOBARAZIMI, FUNKSIONI PYETJE PRAKTIKE PËR TESTIN EKSTERN [i] Barazia, barazimi, identiteti. 1. Çka është dallimi midis barazisë dhe barazimit? Përgjigje : Barazi fitohet kur shprehje numerike lidhuren me shenjën " ". shprehja 1 shprehja 5 3 4 6 7 Barazim është thjesht barazi me ndryshore. x 4 3. Shkruaj barazi me shprehjen 4 x 4 x në anën e majtë dhe shprehjen x 6 në anën e djathtë. Përgjigje : 4 x 4 x x 6 3. Shkruaj saktësishtë barazi ku ana e majtë është shprehja 3 7. Përgjigje : 3 7 3 7 3 14 3 7 17 4. Çka quhet identitet? Përgjigje : Barazimi që është i saktë për çdo vlerë të bashkësisë së përkufizimit D. 5. Provo a është identitet barazimi i dhënë 3 x 3 x 6 Përgjigje : krejmë shumëzimin tek ana e majtë vetinë distributive 3 x 3 x 6 3 x 3 3 x 6 3 x 6 3 x 6 0 0 ana e majtë dhe e djathtë është shprehja e njëjtë, për çdo vlerë që merr ndryshorja x, përher vlera e shprehjeve tek të dy anët do të jetë e njëjtë dmth ky barazim është identitet 6. Cakto nëse barazimi i dhënë është identitet : a x 5 5 x x 1 c x 3 x 1 bx 1x 1 Përgjigje : a x 5 5 x PO ana e majtë është e njëjtë me anën e djathtë 0 0 bx 1x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 1 x 1 x x x 1 x 1 x 1 x 1 0 0 kryejmë shumëzimin tek ana e majtë PO ana e majtë është e njëjtë me anën e djathtë c x 3 x 1 x x 1 3 x 7. Çka quhet barazim kundërthënës ose i pamundshëm? JO ana e majtë ndryshon nga ana e djathtë
VIII TEMA.nb Përgjigje : Barazimi që nuk kalon në barazi të sakt për asnjë vlerë të bashkësisë të përkufizimit D. 8. Cakto cili prej këtyre barazimeve është kundërthënës : a x 1 x b 3 x 5 x c x 1 x 1 Përgjigje : a x 1 x x x 1 x 3 JO b 3 x 5 x x x 5 3 0 PO sepse nuk është e saktë c x 1 x 1 x x 1 1 0 0 1 PO sepse nuk është e saktë 9. Shprehe vetinë komutative e shumës si barazim. Përgjigje : nëse antarëve ua ndrrojmë vendet, rezultati nuk ndryshon x 5 5 x 10. Shprehe vetinë asociative të shumës si barazim. Përgjigje : nëse antarët i grupojmë, rezultati nuk ndryshon x 5 x 5 11. Shprehe vetinë distributive si barazim. Përgjigje : shumëzuesin përpara kllapave mund ta shpërndajmë brenda kllapave x 5 x 5 [ii] Llojet e barazimeve. 1. Si dallohen barazimet sipas llojit të panjohurave? Përgjigje : Barazime me një llojë të panjohur P.SH. x 3 5 x Barazime me dy llojë të panjohura P.SH. x 3 y 5 y x Barazime me tre llojë të panjohura P.SH. x 3 y 5 z x. Si dallohen barazimet sipas shkallës të panjohurës? Përgjigje : Barazime të shkallës së parë linear P.SH. 4 x 8 Barazime të shkallës së dytë katror P.SH. 4 x 8 ose xy 8 Barazime të shkallës së tretë kubik P.SH. 4 x 3 8 ose x z 8 ose xyz 8 3. I cilit llojë është barazimi 5 x xy x 3 Përgjigje : është barazim me dy ndryshore i shkallës së dytë katror 4. I cilit llojë është barazimi 3 x 5 x Përgjigje : është barazim me një ndryshore i shkallës së parë linear [iii] Zgjidhja e barazimit. Barazimet ekuivalente. 1. Cakto të gjitha zgjidhjet e barazimit 1 x x 3 nëse x 3, 5, 7
Përgjigje : provojmë secilën nga vlerat e x x 3 1 x x 3 1 3 3 3 1 6 0 6 0 JO VIII TEMA.nb 3 x 5 1 x x 3 1 5 5 3 1 10 PO x 7 1 x x 3 1 7 7 3 1 14 4 4 JO. Cakto të gjitha zgjidhjet e barazimit x 6 5 x nëse x 0, 1,, 3 Përgjigje : provojmë secilën nga vlerat e x x 0 x 6 5 x 0 6 5 0 6 0 JO x 1 x 6 5 x 1 6 5 1 1 6 5 7 5 JO x x 6 5 x 6 5 4 6 10 10 10 PO x 3 x 6 5 x 3 6 5 3 9 6 15 15 15 PO 3. Çka quhen barazime ekuivalente? Përgjigje : Dy ose më shumë barazime që kanë bashkësinë e zgjedhjeve të njëjtë quhen ekuivalente. 4. Cilët prej këtyre barazimeve : a x 1 3 x 1 3 x 1 me barazimin 3 x 4 x. b x 5 Përgjigje : Caktojmë bashkësinë e zgjedhjeve për barazimin 3 x 4 x 3 x 4 x 4 x 3 x x Caktojmë bashkësinë e zgjidhjeve për barazimet tjera
4 VIII TEMA.nb a x 1 3 x 1 1 1 3 x x x PO është ekuivalent se kanë bashkësinë e zgjidhjen e njëjtë b x 5 3 x 1 5 1 3 x x 4 x 4 x x PO është ekuivalent se kanë bashkësinë e zgjidhjen e njëjtë 5. Për cilën vlerë të parametrit a, numri 3 është zgjidhje e barazimit Përgjigje : E dimë se zgjidhja është 3 dmth x 3 x 1 a 3 1 a 6 1 a 5 a x 1 a [iv] Teoremat për barazimet ekuivalente. - 1 1. Çka thotë Teorema 1 për barazimet ekuivalente? Përgjigje : Nëse tek dy anët a barazimit shtojmë numrin shprehjen e njëjtë, vlera e barazimit nuk ndryshon.. Çka thotë Rrejdhimi 1 nga Teorema 1 për barazimet ekuivalente? Përgjigje : Nëse një antar kalon tek ana tjetër e barazimit, ndryshon shenjë. 3. Çka thotë Rrejdhimi nga Teorema 1 për barazimet ekuivalente? Përgjigje : Nëse tek dy anët a barazimit ka antarë të njëjtë, ato mund ti thjeshtojmë. 4. Zgjidhe barazimin 7 x 3 5 x 5 x 3 duke zbatuar teoremën 1 dhe rrejdhimet e saja Përgjigje : 7 x 3 5 x 5 x 3 Rr tek dy anët ka 3 ato i thjeshtojmë 7 x 5 x 5 x Rr1 ndryshoren x e hedhim tek ana e majtë 7 x 5 x x 5 10 x 5 pjestojmë të dy anët me 10 x 5 10 1 5. Zgjidhe barazimin 3 x x 4 x duke zbatuar teoremën 1 dhe rrejdhimet e saja Përgjigje : 3 x x 4 x Rr tek dy anët ka ato i thjeshtojmë 3 x x 4 x Rr tek dy anët ka ndryshore x ato i thjeshtojmë 3 x 4 pjestojmë të dy anët me 3 x 4 3 6. Zgjidhe barazimin 3 7 x 8 x Përgjigje : 3 7 x 8 x Rr1 ndryshoret 8 x i hedhim tek ana e majtë 3 7 x 8 x Rr1 numrin 3 e hedhim tek ana e djathtë 7 x 8 x 3 x 1
[v] Teoremat për barazimet ekuivalente. - VIII TEMA.nb 5 1. Çka thotë Teorema për barazimet ekuivalente? Përgjigje : Nëse barazimi nga të dy anët shumëzohet ose pjestohet me numër shprehje të njëjtë, vlera nuk i ndryshon.. Çka thotë Rrejdhimi 1 nga Teorema për barazimet ekuivalente? Përgjigje : Nëse barazimi shumëzohet me numrin 1, fitohet barazimi i kundërt shenja të kundërta, vlera nuk i ndryshon. 3. Çka thotë Rrejdhimi nga Teorema për barazimet ekuivalente? Përgjigje : Nëse barazimi ka thyesa, atëherë lirohemi prej tyre duke shumëzuar me SH.V.P. 4. Zgjidhe barazimin 5 x 3 3 x 1 e emëruesave. Përgjigje : 5 x 3 3 x 1 hedhim numrin 3 tek ana e djathtë 5 x 3 x 1 3 hedhim ndrshoren 3 x tek ana e majtë 5 x 3 x 1 3 x T pjestojmë të dy anët me x x 1 5. Zgjidhe barazimin x 6 Përgjigje : 3 x 1 4 3 x 1 4 x 3 x 3 x 6 Rr shumëzojmë të dy anët me SHVP 4, 3, 6 1 1 3 x 1 1 x 1 x kryejmë thjeshtimet 4 3 6 3 3 x 1 4 x x zbatojmë vetitë distributive 9 x 3 4 x 8 x 4 5 x 11 x 4 hedhim numrin 11 tek ana e djathtë 5 x x 4 11 hedhim ndryshoren x tek ana e majtë 5 x x 4 11 3 x 15 pjestojmë të dy anët me 3 x 15 3 x 5 6. Zgjidhe barazimin x 1 x 5 x 3 10
6 VIII TEMA.nb x 3 10 Përgjigje : x 1 x 5 Rr shumëzojmë të dy anët me SHVP, 5, 10 10 10 x 1 10 x 10 x 3 kryejmë thjeshtimet 5 10 5 x 1 x 1 x 3 zbatojmë vetitë distributive 5 x 5 x 4 x 3 7 x 9 x 3 hedhim numrin 9 tek ana e djathtë 7 x x 3 9 hedhim ndryshoren x tek ana e majtë 7 x x 3 9 6 x 6 pjestojmë të dy anët me 6 x 6 6 x 1 [vi] Forma e përgjithshme e barazimit linear me një të panjohur. 1. Si është forma e përgjithshme e barazimit linear me një të panjohur? Përgjigje : ax b 0. Kush është koeficienti dhe kush është antari i lirë tek barazimi ax b 0? Përgjigje : koeficient është a, antari i lirë është b 3. Kush është koeficienti dhe kush është antari i lirë tek barazimi 5 x 7 0? Përgjigje : koeficient është 5, antari i lirë është 7 4. Kush është koeficienti dhe kush është antari i lirë tek barazimi 4 x 5 x 1? Përgjigje : barazimin duhet ta shëndrrojmë në formë të përgjitshme 4 x 5 x 1 i hedhim antarët x dhe 1 tek ana e majtë 4 x 5 x 1 0 x 4 0 koeficient është, antari i lirë është 4 5. Kush është koeficienti dhe kush është antari i lirë tek barazimi x 3 x 1? Përgjigje : barazimin duhet ta shëndrrojmë në formë të përgjitshme x 3 x 1 i hedhim antarët x dhe 1 tek ana e majtë x 3 x 1 0 x 0 koeficient është 1, antari i lirë është 6. Si nvaret zgjidhja e barazimit linear ax b 0 me koeficientin dhe antarin e lirë? Përgjigje : a nëse a 0, atëherë barazimi ka 1 zgjidhje dhe ajo është x b x 4 0 x b a 4 b nëse a 0 dhe b 0, atëhere barazimi nuk ka zgjidhje c nëse a 0 dhe b 0, atëherë barazimi ka pafund zgjedhje 7. Zgjidhe barazimin 5 x 1 x x 4 x a
Përgjigje : 5 x 1 x x 4 x 4 x 1 4 x hedhim antarët 4 dhe x tek ana e majtë 4 x 1 4 x 0 5 x 5 0 a 0, atëhere ka një zgjidhje x b x 5 5 x 5 5 x 1 VIII TEMA.nb 7 a 8. Cili prej këtyre barazimeve është i pamundshëm : a 3 x 0 b 5 x 1 c 0 x 4? Përgjigje : barazimi i pamundshëm nuk ka zgjidhje, atëherë kur a 0 dhe b 0 a 3 x 0 a 3 b 0 ka vetëm një zgjidhje x b x 0 3 0 b 5 x 1 hedhim antarin 1 në anën e majtë 5 x 1 0 a 5 b 1 ka vetëm një zgjidhje x b x 1 5 a a c 0 x 4 hedhim numrin 4 tek ana e majtë 0 x 4 0 a 0 b 4 ska zgjidhje [vii] Zbatimi i barazimit linear me një të panjohur. 1. Nëna dhe djali së bashku kanë 3 vjet.nëna është për 0 vjet më e vjetër se djali. Sa vjet ka nëna, dhe sa djali? Përgjigje : Vitet e nënës le të shprehen me x, vitet e djalit le të shprehen me y x y 3 vitet e nënës vitet e djalit 3 x 0 y nëna 0 vitet e djalit 0 y y 3 zëvëndësojmë x tek rreshti i parë 0 y 3 hedhim 0 tek ana e djathtë y 3 0 y 1 pjestojmë dy anët me y 1 6 dmth djali ka 6 vjetë atëhere x 0 y x 0 6 x 6 nëna ka 6 vjetë. Nëna tani ka 36 vjet, kurse vajza e saj 10 vjet.pas sa vjet nëna do të jetë tre herë më e vjetër se vajza?
8 VIII TEMA.nb Përgjigje : koha e njëjtë kalon edhe për nënën edhe për vajzën dmth 36 x 10 x vitet e nënës koha që kalon vitet e vajzës koha që kalon 36 x 3 10 x nëna 3 sa vitet e vajzës 36 x 30 3 x hedhim 3 x tek ana e majtë 36 x 3 x 30 hedhim 36 tek ana e djathtë x 3 x 30 36 x 6 pjestojmë të dy anët me x 6 3 Prova : 36 3 3 10 3 39 3 13 39 39 3. Në provimin kontrollues me shkrim arsimtari u ka dhënë nxënësve 15 detyra. Për çdo detyrë të zgjidhur saktë nxënësi ka fituar 5 pikë, kurse për detyrën e zgjidhur gabimisht ka humbur pikë. Sa detyra ka zgjidhur nxënësi i cili në fund ka fituar 54 pikë? Përgjigje : Gjithësej 15 detyra 54 pikë Detyra të zgjedhura sakt : x Detyra të zgjedhura gabim : 15 x gjitë detyrat detyrat e zgjedhura sakt detyrat gabim 5 x 15 x 54 detyrat e sakta vlersohen 5 pikë, detyrat gabim ndëshkohen pikë 5 x 30 x 54 7 x 30 54 7 x 54 30 7 x 84 x 84 7 x 1 dmth 1 detyra janë sakt atëherë 15 1 3 detyra gabim Prova : 5 1 3 54 60 6 54 54 54 4. Në një shitore ka automobila dhe motoçikleta. Ato gjithsej kanë 74 rrota. Sa automjete janë automobila, kurse sa motoçikleta?
Përgjigje : Gjithësej automjete 74 rrota Automobila : x Motoçikleta : x VIII TEMA.nb 9 4 x x 74 automobili ka 4 rrota, motoçikleta ka rrota 4 x 44 x 74 x 44 74 x 74 44 x 30 x 30 x 15 dmth 15 automobila dhe 15 7 motoçikleta Prova 4 15 7 74 60 14 74 74 74 5. Shuma e dy numrave është 180. Numri i parë është për 36 më i vogël se i dyti. Cilët janë ato numra? Përgjigje : x y 180 numri i parë x, numri i dytë y x 36 y numri i dytë y 36 x x x 36 180 zëvëndësojmë y tek rreshti i parë x 36 180 x 180 36 x 144 x 144 x 7 atëherë y 7 36 108 6. Mentori ka 5 monedha prej dhe 5 denarë ose gjithsej 80 denarë.sa monedha janë prej denarë dhe sa prej 5 denarë? Përgjigje : Gjithsej 5 monedha 80 denar Monedha denarë : x Monedha 5 denarë : 5 x x 5 5 x 80 x 15 5 x 80 3 x 15 80 3 x 80 15 3 x 45 x 45 15 dmth 15 monedha nga denarë dhe 5 15 10 monedha nga 5 denarë 3 Prova : 15 5 10 80 30 50 80 80 80 7. Në një kafaz ka lepuj dhe fazanë. Ato së bashku kanë 35 koka dhe 94 këmbë. Sa janë gjithsej lepuj dhe fazanë?
10 VIII TEMA.nb Përgjigje : Gjithsej 35 koka 94 këmbë Lepuj : x Fazan : 35 x 4 x 35 x 94 4 x 70 x 94 x 70 94 x 94 70 x 4 x 1 dmth 1 lepuj dhe 35 1 3 fazanë Prova : 4 1 3 94 48 46 94 94 94 8. Një pishinë mbushet prej dy gypave. Nga gypi i parë pishina mbushet për 4 orë, kurse nga i dyti për 6 orë. Për sa orë do të mbushet pishina e zbrazët, në qoftë se në të njëkohësisht hapen të dy gypat? Përgjigje : 1 4 x 1 6 x 1 1 1 4 x 1 1 6 x 1 1 3 x x 1 5 x 1 x 1 5 5 orë 60 minuta orë 4 minuta 5 [viii] Koncepti për jobarazi. Jobarazim. 1. Çka është dallimi midis jobarazisë dhe jobarazimit? Përgjigje : Jobarazi formohet kur dy shprehje lidhen me shenjat " ", " ", " ", ose " " P.SH 5 4 3 7 Jobarazim është thjesht jobarazi me ndryshore 5 x 3 x 7. Si dallohen jobarazimet? Përgjigje : sipas shkallës dhe numrit të ndryshoreve 3. I cilit llojë është jobarazimi 5 x x 4 Përgjigje : jobarazim linear shkalla parë me një ndryshore 4. I cilit llojë është jobarazimi x y 5 x Përgjigje : jobarazim kubik shkalla 3 me dy lloje të ndryshoreve 5. I cilit llojë është jobarazimi x x 6 Përgjigje : jobarazim katror shkalla me një ndryshore 6. Për cilën vlerë të x, 0, është e saktë jobarazimi x x x 5 Përgjigje : Provojmë secilat nga vlerat e x x x x x 5 5 4 4 3 8 3 JO
x 0 x x x 5 0 0 0 5 0 0 5 0 5 PO VIII TEMA.nb 11 x x x x 5 5 4 4 7 0 7 PO [ix] Zgjidhja e jobarazimit. Intervalet. 1. Për cilën vlerë të x, 1, 0, 1, është e saktë jobarazimi 3 x 1 x 1 Përgjigje : Provojmë secilat nga vlerat e x x 3 x 1 x 1 3 1 1 6 1 3 5 3 JO x 1 3 x 1 x 1 3 1 1 1 1 3 1 JO x 0 3 x 1 x 1 3 0 1 0 1 0 1 1 1 1 PO x 1 3 x 1 x 1 3 1 1 1 1 3 1 0 4 0 PO x 3 x 1 x 1 3 1 1 6 1 1 7 1 PO. Si shënohet intervali i hapur për zgjidhjen e jobarazimit? Përgjigje : a, b, 11.000... 001, 3, 4, 5,..., 8, 9, 10, 10.9999.. 3. Si shënohet intervali i mbyllur për zgjidhjen e jobarazimit? Përgjigje : a, b, 11, 3, 4... 10, 11
1 VIII TEMA.nb 4. Paraqite intervalin e zgjidhjes të jobarazimit Përgjigje : Intervali, 3 x 3 5. Paraqite intervalin e zgjidhjes të jobarazimit Përgjigje : Intervali, 3 x 3 6. Paraqite intervalin e zgjidhjes të jobarazimit Përgjigje : Intervali 1, x 1 7. Paraqite intervalin e zgjidhjes të jobarazimit Përgjigje : Intervali 1, x 1 8. Cili prej këtyre jobarazimeve nuk ka zgjidhje : a x 0 b 0 x c 0 x 1 d x 5 Përgjigje : a x 0 ka zgjidhje, ato janë krejt numrat pozitiv racional Q b 0 x 0 PO Zgjidhje janë krejt numrat real R c 0 x 1 0 1 JO Ska zgjidhje d x 5 ka zgjidhje, krejt numrat negativ racional më të vegjël se 5 [x] Teoremat për jobarazimet ekuivalente. 1. Çka thotë Teorema 3 për jobarazimet ekuivalente? Përgjigje : Nëse të dy anët e jobarazimit pjestohen me numër negativ, atëherë ndryshohet shenja e krahasimit. P.SH. x 8 pjestojmë të dy anët me numrin negativ x 8 ndërrojmë shenjën e krahasimit x 4. Zgjidhe jobarazimin 3 x 1 x 1
Përgjigje : 3 x 1 x 1 hedhim numrin 1 tek ana e djathtë 3 x x 1 1 hedhim ndryshoren x tek ana e majtë 3 x x 1 1 x Zgjidhja është intervali, VIII TEMA.nb 13 3. Zgjidhe jobarazimin 3 x 5 4 x 3 Përgjigje : 3 x 5 4 x 3 hedhim 5 tek ana e djathtë 3 x 4 x 3 5 hedhim 4 x tek ana e majtë 3 x 4 x 3 5 1 x pjestojmë të dy anët me numër negativ 1 x 1 x Zgjidhja është intervali, 4. Zgjidhe jobarazimin Përgjigje : 3 x 6 x 1 3 3 x 6 3 x 6 x 1 6 3 6 1 1 3 x x 1 6 3 x x 6 3 x x 8 3 x x 8 3 x x 8 x 10 6 x 1 3 1 1 shumëzojmë me SHVP 6, 3 6 Zgjidhje është intervali, 10 5. Zgjidhe jobarazimin x 1 x 3 1 Përgjigje : x 1 x 1 shumëzojmë me SHVP, 3 6 3 6 x 6 1 6 x 3 6 1 3 x 6 x 6 3 x x 6 6 3 x x 6 6 x 1 Zgjidhje është intervali, 1
14 VIII TEMA.nb [xi] Zgjidhja e jobarazimeve lineare me një të panjohur. 1. Zgjidhe jobarazimin 4 x 3 x 1 Përgjigje : 4 x 3 x 1 hedhim 3 tek ana e djathtë 4 x x 1 3 hedhim x tek ana e majtë 4 x x 1 3 x 4 pjestojmë dy anët me numër x 4 x Zgjidhje është intervali,. Zgjidhe jobarazimin 3 x 1 9 8 x Përgjigje : 3 x 1 9 8 x lirohemi prej kllapave 6 x 3 9 8 x hedhim 8 x tek ana e majtë 6 x 3 8 x 9 hedhim 3 tek ana e djathë 6 x 8 x 9 3 x 6 pjestojm me numër negativ, ndrrohet shenja e krahasimit x 6 x 3 Zgjidhje është intervali 3, 3. Zgjidhe jobarazimin x 1 1 3 x 1 6 Përgjigje : x 1 1 x 1 3 6 shumëzojmë të dy anët me SHVP 3,, 6 6 6 x 1 6 1 x 1 6 3 6 kryejmë thjeshtimet x 1 3 1 1 x 1 4 x 3 x 1 4 x 5 x 1 hedhim 5 tek ana e djathtë 4 x x 1 5 hedhim x tek ana e majtë 4 x x 1 5 3 x 6 pjestojmë të dy anët me 3 x 6 3 x Zgjidhje është intervali, 4. Për cila vlera të x shprehja x 4 është pozitive?
Përgjigje : Të jetë pozitive do të thotë të jet më e madhë se zero 0 shprehja 0 x 4 0 x 4 VIII TEMA.nb 15 x 4 x Zgjidhje është intervali, 5. Për cila vlera të x shprehja 9 x x 3 4 është negative? Përgjigje : Të jetë negative do të thotë të jet më e vogël se zero 0 shprehja 0 9 x x 3 4 0 shumëzojmë të dy anët me SHVP, 4 4 4 9 x 4 x 3 4 4 0 krejmë thjeshtimet 9 x 1 x 3 0 18 x 1 x 3 0 15 3 x 0 hedhim 15 tek ana e djathtë 3 x 15 pjestojmë të dy anët me numër negativ 3, ndrrohet ana e shenjës të krahasimit x 15 3 x 5 Zgjidhje është intervali 5, [xii] Zgjidhja e sistemit të jobarazimeve lineare me një të panjohur. 1. Formo sistem me jobarazimin 3 x 1 x 1 dhe 4 x 1 3 x. 3 x 1 x 1 Përgjigje : 4 x 1 3 x. Zgjidhe sistemin e jobarazimeve nga detyra 1 3 x 1 x 1 Përgjigje : 4 x 1 3 x 3 x x 1 1 4 x 3 x 1 x x 3 Zgjidhje është intervali, 3
16 VIII TEMA.nb 3. Zgjidhe sistemin e jobarazimeve Përgjigje : x 1 3 3 x 1 4 1 x 1 6 1 x x 1 3 3 x 1 4 1 x 1 6 1 x shumëzojmë të dy anët me SHVP 3, 6 6 shumëzojmë të dy anët me SHVP 4, 4 6 x 1 3 4 3 x 1 4 6 1 6 x 1 6 4 1 4 x x 1 6 1 x 1 1 3 x 1 4 x 4 x 6 x 1 3 x 1 4 x 4 x 4 x 1 3 x 3 x 4 x x 1 4 3 x x 3 3 x 3 x 3 x 1 x 3 Sistemi nuk ka zgjidhje 4. Zgjidhe sistemin e jobarazimeve x 3 x x 1 4 1 0 1
Përgjigje : x 3 x x 1 4 1 0 1 VIII TEMA.nb 17 3 x 3 1 3 0 3 4 x x 1 4 4 1 4 1 x 3 0 x 1 x 1 4 x 3 0 x x 1 4 x 1 0 3 x 1 4 x 1 3 x 4 1 x 1 3 x 3 x 1 x 1 Sistemi nuk ka zgjidhje 3 x x 5 5. Zgjidhe sistemin e jobarazimeve x x 3 3 x x 5 Përgjigje : x x 3 3 x x 5 x x 3 x 3 1 x 1 x 3 x 1 Zgjidhje është intervali, 3 [xiii] Funksioni linear. 1. Cili përpjestim është dhënë me formulën y x
18 VIII TEMA.nb Përgjigje : y x nëse x 1 y 1 nëse x y 4 dmth nëse rritet x prej 1 në rritet edhe y prej në 4 atëherë ky është përpjestim proporcion i drejtë. Cili përpjestim është dhënë me formulën y 1 x Përgjigje : y x nëse x 1 y 1 1 1 nëse x y 1 0.5 dmth nëse rritet x prej 1 në atëherë y zvogëlohet prej 1 në 0.5 atëherë ky është përpjestim proporcion i zhdrejtë jo i drejtë 3. Shkuraj formën e përgjithshme të funksionit linear. Si quhen antarët e funksionit linear Përgjigje : f x kx n ose f x ax b x quhet argument antari përpara argumentit k ose a quhet koeficient antari i lirë ësht n ose b 4. Shkruaj funksion për të cilin koeficienti është 7 kurse antari i lirë është 3 Përgjigje : f x kx n f x 7 x 3 5. Për funksionin f x x cakto : a f b f 0 c f Përgjigje : a f x x f gjithandej ku ka x shkruajmë f f 4 b f x x f 0 gjithandej ku ka x shkruajmë 0 f 0 0 f 0 c f x x f gjithandej ku ka x shkruajmë f f 0 6. Cakto zeron e funksionit y 3 x 6 Përgjigje : zero e funksionit do të thotë funksioni 0 y 0 y 3 x 6 0 3 x 6 3 x 6 x dmth kur x funksioni ka vlerë zero 7. Cakto zeron e funksionit f x 5 x 3
Përgjigje : zero e funksionit do të thotë funksioni 0 f x 0 f x 5 x 3 0 5 x 3 3 5 x 3 5 x dmth kur x 3 funksioni ka vlerë zero 5 8. Zero e funksionit y kx n është x, kurse n 3. Cakto koeficientin përpara argumentit. Përgjigje : zero e funksionit do të thotë funksioni 0 y 0, x, n 3 y kx n 0 k 3 3 k 3 k 1.5 k VIII TEMA.nb 19 [xiv] Paraqitja grafike e funksionit linear. 1. Si quhet boshti Ox për sistemin kënddrejt kordinativ? Përgjigje : Abshisa. Si quhet boshti Oy për sistemin kënddrejt kordinativ? Përgjigje : Ordinata 3. Paraqiti në sistem kënddrejt koordinativ pikat A, 3, B, 3, C, 1, D, 3 dhe trego në cilin kuadrant gjenden. Përgjigje : 4. Paraqite grafikisht funksionin y x Përgjigje : zgjedhim disa numra për x x 0 x 1 y x y x y 0 y 1 y 0 y pika A 0, 0 pika B 1,
0 VIII TEMA.nb 5. A shtrihet pika A 1, 3 në grafin e funksionit f x 3 x Përgjigje : kordinatat e pikës A 1, 3 janë x 1, y 3 i provojmë kta numra tek funksioni f x 3 x y 3 x 3 3 1 3 3 PO 6. A shtrihet pika B, 6 në grafin e funksionit f x 3 x Përgjigje : kordinatat e pikës B, 6 janë x, y 6 i provojmë kta numra tek funksioni f x 3 x y 3 x 6 3 6 6 JO 7. Si janë funksionet e grafeve y x 5 dhe y x Përgjigje : kta dy funksione e kanë koeficientin e njëjtë k, atëherë janë paralele 8. Si janë funksionet e grafeve y x 5 dhe y x Përgjigje : kta dy funksione e kanë koeficientin e njëjtë k 1, atëherë janë paralele 9. Si janë funksionet e grafeve y 3 x 1 dhe y 3 x Përgjigje : kta dy funksione e kanë koeficientin e njëjtë k 3, atëherë janë paralele 10. Ku e pret boshtin Oy ordinatën funksioni y 4 x 5 Përgjigje : funksioni linear ordinatën e pret tek antari i lirë 5 dmth pika 0, 5
VIII TEMA.nb 1 11. Ku e pret boshtin Oy ordinatën funksioni y 7 x 1 Përgjigje : funksioni linear ordinatën e pret tek antari i lirë 1 dmth pika 0, 1 1. Ku e pret boshtin Oy ordinatën funksioni y 5 x Përgjigje : funksioni linear ordinatën e pret tek antari i lirë, tek ky funksion antari i lirë është n 0, dmth pika 0, 0 13. Për cilën vlerë të x pika A x, i takon grafikut të funksionit y 3 x 1 Përgjigje : kordinatat e pikës A x, janë x x, y i provojmë kta numra tek funksioni y 3 x 1 3 x 1 1 3 x 3 3 x 3 3 x 1 x 14. Paraqite grafikisht funksionin y 3 x Përgjigje : zgjedhim disa numra për x x 0 x 1 y 3 x y 3 x y 3 0 y 3 1 y 0 y 3 y y 1 pika A 0, pika B 1, 1
VIII TEMA.nb 15. Te funksioni y kx cakto k ashtu që pika A 1, 0 ti takon grafikut të tijë. Përgjigje : kordinatat e pikës A 1, 0 janë x 1, y 0 i provojmë kta numra tek funksioni y kx 0 k 1 k [xv] Pozita reciproke e grafikëve të disa funksioneve linear. 1. Si janë grafet e tre funksioneve : y x, y x 3, y x 1 Përgjigje : kta tre funksione kanë koeficientin e njëjtë k dmth grafet e tyre janë paralele. Si janë grafet e tre funksioneve : y x 3, y x 3, y x 3 Përgjigje : kta tre funksione kanë antarin e lirë të njëjtë n 3, dmth të gjithë kta grafe e presin ordinatën tek pika 0, 3
VIII TEMA.nb 3 3. Paraqiti grafikisht funksionet y 3, y dhe y 1 Përgjigje : kto tre funksione kanë vetëm antarë të lirë grafet e këtyre funksioneve janë paralele me boshtin Ox abshisën [xvi] Vijimi i funksionit linear. 1. Paraqite me tabelë funksionin y 4 x 1 për x 0, 1,, 3 Përgjigje : Krijojmë tabelë me dy rreshta, i pari për vlerat e x, i dyti për vlerat e y x 0 1 3 y 4 x 1 zëvëndësojmë vlerat e x tek funksioni x 0 x 1 x x 3 y 4 x 1 y 4 x 1 y 4 x 1 y 4 x 1 y 4 0 1 y 4 1 1 y 4 1 y 4 3 1 y 0 1 y 4 1 y 8 1 y 1 1 y 1 y 3 y 7 y 11 x 0 1 3 y 4 x 1 1 3 7 11. Tek detyra 1 a është funksioni y 4 x 1 rritës apo zvogëlues? Përgjigje : Rritës sepse koeficienti k 4 është numër pozitiv
4 VIII TEMA.nb 3. Paraqite me tabelë funksionin y x 1 për x 1, 0, 1, Përgjigje : Krijojmë tabelë me dy rreshta, i pari për vlerat e x, i dyti për vlerat e y x 1 0 1 y x 1 zëvëndësojmë vlerat e x tek funksioni x 1 x 0 x 1 x y x 1 y x 1 y x 1 y x 1 y 1 1 y 0 1 y 1 1 y 1 y 1 y 0 1 y 1 y 4 1 y 3 y 1 y 1 y 3 x 1 0 1 y x 1 3 1 1 3 4. Tek detyra 3 a është funksioni y x 1 rritës apo zvogëlues? Përgjigje : Zvogëlues sepse koeficienti k është numër negativ
VIII TEMA.nb 5 [xvii] Zgjedhja grafike e barazimeve lineare me një të panjohur. 1. Paraqite grafikisht funksionin y 3 x 6 Përgjigje : zgjedhim disa numra për x x 0 x 1 y 3 x 6 y 3 x 6 y 3 0 6 y 3 1 6 y 0 6 y 3 6 y 6 y 3 pika A 0, 6 pika B 1, 3. Zgjidhe grafikisht barazimin x 0
6 VIII TEMA.nb Përgjigje : barazimin e shkuajmë si funksion f x x funksionin e fituar e paraqesim grafikisht x 0 x 1 y x y x y 0 y 1 y y 3 pika A 0, pika B 1, 3 zgjidhja është pikprerja e grafit me abshisën, dmth pika M, 0 ku x dhe y 0 Prova : x 0 0 0 0 3. Zgjidhe grafikisht barazimin x 3 x 3 Përgjigje : Prej barazimit shkruajmë dy funksione, i pari për anën e majtë y x 3, i dyti për anën e djathtë y x 3 i paraqesim grafikisht të dy funksionet x 0 x 1 x 0 x 1 y x 3 y x 3 y x 3 y x 3 y 0 3 y 1 3 y 0 3 y 1 3 y 3 y 3 y 3 y pika A 0, 3 y 1 pika C 0, 3 pika D 1, pika B 1, 1
VIII TEMA.nb 7 Zgjidhje është pikprerja e grafeve të dy funksioneve, dmth pika M, 1 ku x dhe y 1 Prova : x 3 x 3 3 3 4 3 1 1 1 4. Zgjidhe grafikisht barazimin x 1 x 3 Përgjigje : Prej barazimit shkruajmë dy funksione, i pari për anën e majtë y x 1, i dyti për anën e djathtë y x 3 kto dy funksione e kanë koeficientin e njëktë k, dmth grafet e tyre janë paralele nuk priten asnjëherë si rezultat barazimi nuk ka zgjedhje 5. Zgjidhe grafikisht barazimin x 1 x 1 Përgjigje : Prej barazimit shkruajmë dy funksione, i pari për anën e majtë y x 1, i dyti për anën e djathtë y x 1 kto dy funksione janë të njëjta, dmth grafet e tyre do të jenë drejtëza të puthitshme, si rezultat ky barazim ka pafund zgjidhje
8 VIII TEMA.nb [xviii] Ngjarjet e rastit. Probabiliteti i ngjarjes. 1. Një ekip futbolli luan ndeshje. Cilët janë rezultatet e mundshme në fund të lojës? Përgjigje : fitore, barazi, ose humbje. Një qese përmban karamele me ngjyrë kë kuqe, të kaltër, dhe kafe. Nëse zgjedhim një prej tyre çfarë ngyre mund të jetë? Përgjigje : ngjyrë kuqe, kaltër ose kafe? 3. Nëse hedhim një zar në formë të kubit me anë të numëruara, çfar mund të jetë faqja e sipërme? Përgjigje : 1,, 3, 4, 5 ose 6. 4. Nëse hedhim një monedhë me dy anë numër, fytyrë, çfarë mund të jetë faqja e sipërme? Përgjigje : numër ose fytrë 5. Nëse një monedhë fer hidhet në ajr, sa është probabiliteti i ngjarjes A "rezultati të jetë faqja me numër". Përgjigje : monedha është fer atëherë secila anë ka 50 50 shans dmth probabiliteti i ngjarjes A është 0.5 p A 0.5 6. Sa është probabiliteti i ngjarjes B "më datë 9.3.013 njeriu do të ecë në yllin tonë Diellin" Përgjigje : kjo ngjarje nuk ka shansë të ndodhë dmth 0 probabiliteti i ngjarjes B është 0 p B 0 7. Sa është probabiliteti i ngjarjes C "muaji janar ka 31 ditë" Përgjigje : kjo ngjarje është e vërtet për çdo vit dmth 100 probabiliteti i ngjarjes C është 1 p C 1 8. Për lojën e dhënë sa është probabiliteti A "shigjeta të bie në ngjyrën e kuqe"
Përgjigje : Ngjyra e kuqe është gjysma e rrethit, dmth shansa që të bie në ngjyrën e kuqe është 50 p A 0.5 VIII TEMA.nb 9 Ngjyra e verdh dhe e kaltërt janë 1 4 e rrethit, dmth shansa që të bie në këto ngjyra është 5 p B 0.5 dhe p C 0.5 9. Nëse hedhim zar në formë të kubit, sa është shansa për rastin A "rezultati të jetë numri 4" Përgjigje : zari në form kubi ka 6 faqe, numri 4 është vetëm njëri prej tyre dmth shansa që të bie ai numër është 1 6 ose 16, 67 p A 0.1667 10. Nëse hedhim zar në formë të kubit, sa është shansa për rastin A "rezultati të jetë numri çift" Përgjigje : zari në form kubi ka 6 faqe, numra çift janë tre prej tyre, 4, dhe 6 dmth shansa që të bie numër çift janë 3 6 ose 50 p A 0.5 11. Shprehe tabelën për sa e mundëshme është të ndodh një rast për probabilitetin e saj të dhënë : Përgjigje :
BUJAR MAMUDI LËNDA : MATEMATIKË KLASA : VIII TEMA : III SISTEMI I BARAZIMEVE LINEARE PYETJE PRAKTIKE PËR TESTIN EKSTERN [i] Barazimi linear me dy të panjohura. 1. Provo se çifti i rënditur x, y 4, 6 është zgjidhje e barazimit x 1 3 y 10 Zgjidhje : Tek çifit i rradhitur duket qartë se x 4 dhe y 6, zëvëndësojmë këto numra x 1 3 y 10 4 1 3 6 10 8 6 3 10 8 10 10 10 PO. Çifit i rradhitur 1, 6 a është zgjidhje e barazimit Zgjidhje : Tek çifti i rradhitur 1, 6 antari i parë x 1, antari i dytë y 6, zëvëndësojmë këto numra 3 x y 3 3 1 6 3 3 6 3 3 3 PO 3 x y 3 3. Cakto komponentën e panjohur te çifti i rradhitur, që të jetë zgjidhje e barazimit y x Zgjidhje : Tek çifti i rradhitur, antari i parë x?, antari i dytë y=-, zëvëndësojmë këto numra y x x pjestojmë të dy anët me x 1 x 4. Cakto komponentën e panjohur te çifti i rradhitur 6, që të jetë zgjidhje e barazimit 1 x y 7
VIII TEMA 3.nb Zgjidhje : Tek çifti i rradhitur, antari i parë x 6, antari i dytë y?, zëvëndësojmë këto numra 1 x y 7 1 6 y 7 6 y 7 3 y 7 hedhim 3 tek ana e djathtë y 7 3 y 10 pjestojmë të dy anët me y 10 y 5 [ii] Barazimet lineare ekuivalente me dy të panjohura. 1. Cakto bashkësinë e zgjidhjeve të barazimit y 3 x 5 Zgjidhje : Le të themi se x k, ku kε y 3 x 5 y 3 k 5 Zgjidhja e barazimit është çifti i rradhitur x, y k, 3 k 5. Cakto bashkësinë e zgjidhjeve të barazimit x 1 3 x y Zgjidhje : Le të themi se x k, ku kε x 1 3 x y k 1 3 k y hedhim 3 k tek ana e majtë k 1 3 k y 1 k y shkruajmë barazimin e kundërt shenja të kundërta 1 k y Zgjidhja e barazimit është çifti i rradhitur x, y k, 1 k 3. Cakto bashkësinë e zgjidhjeve të barazimit x y 1 Zgjidhje : Le të themi se x k, ku kε x y 1 k y 1 hedhim k tek ana e djathtë y 1 k Zgjidhja e barazimit është çifti i rradhitur x, y k, 1 k 4. Cakto bashkësinë e zgjidhjeve të barazimit 3 x y 1 Zgjidhje : Le të themi se x k, ku kε 3 x y 1 3 k y 1 hedhim 3 k tek ana e djathtë y 1 3 k shkruajmë barazimin e kundërt shenja të kundërta y 1 3 k Zgjidhja e barazimit është çifti i rradhitur x, y k, 1 3 k 5. Provo se barazimi x y 6 është ekuivalent me barazimin y 3 x
Zgjidhje : Fillojmë me barazimin e parë x y 6 hedhim x tek ana e djathtë y 6 x pjestojmë të dy anët me y 6 x VIII TEMA 3.nb 3 y 6 x y 3 x barazimi i fituar është ekuivalent me barazimin e dytë 6. Cakto bashkësinë e zgjidhjeve të barazimit 3 x y x 4 y 1 Zgjidhje : Le të themi se x k, ku kε 3 x y x 4 y 1 3 k y k 4 y 1 grumbullojmë ndryshoret y tek ana e majtë 3 k y 4 y k 1 hedhim 3 k tek ana e djathtë y 4 y k 1 3 k 6 y 1 k pjestojmë të dy anët me 6 y 1 k 6 Zgjidhja e barazimit është çifti i rradhitur x, y k, 1 k 6 7. Barazimin e dhënë sille në formë ax by c duke shfrytëzuar teoremat dhe rrjedhimet : x 3 y 4 x y 3 x x 3 y Zgjidhje : x y x shumëzojmë të dy anët me SHVP 4, 3 1 4 3 1 x 3 y 1 x y 1 1 x kryejmë thjeshtimet 4 3 3 x 3 y 4 x y 4 1 x 3 x 9 y 4 x 4 y 4 1 x 1 x 5 y 4 1 x hedhim 1 x tek ana e majtë 1 x 5 y 1 x 4 13 x 5 y 4 [iii] Sistemi i dy barazimeve lineare me dy të panjohura. 1. Edona dhe Mentori kanë nga një akuarium me peshq. Shuma e numrit të peshqëve në dy akuariumet është 10. Ndryshimi i numrit të peshqëve në dy akuariumet është 4. Sa peshq ka pasur secili prej tyre?
4 VIII TEMA 3.nb Zgjidhje : Formojmë sistem me dy ekuacione barazime, x peshqit e Edonës, y peshqit e Mentorit x y 10 x y 4 shuma e numrit të peshqëve është 10 E zgjedhim sistemin me metodën e zëvëndësimit ndryshimi i numrit të peshqëve është 4 x y 10 x 4 y barazimi i dytë, hedhim y tek ana e djathtë 4 y y 10 x 4 y zëvëndësojmë x tek barazimi i parë, gjejmë y 4 y 10 x 4 y y 10 4 x 4 y y 6 x 4 y y 3 x 4 y gjetëm y 3, e zëvëndësojmë tek rreshti i dytë y 3 x 4 3 y 3 x 7 Zgjidhje e sistemit është x, y 3, 7. Provo nëse çifti i rradhitur x, y, 1 është zgjidhje e sistemit 3 x y 4 x y 3 Zgjidhje : Nga çifit i rradhitur e dimë se antari i parë x, antari i dytë y 1, zëvëndësojmë këto numra tek sistemi 3 x y 4 x y 3 3 1 4 1 3 6 4 1 3 4 4 3 3 PO 3. Provo nëse çifti i rradhitur x, y, 3 është zgjidhje e sistemit x 3 y 3 x 5 y 1 Zgjidhje : Nga çifit i rradhitur e dimë se antari i parë x, antari i dytë y 3, zëvëndësojmë këto numra tek sistemi
x 3 y 3 x 5 y 1 VIII TEMA 3.nb 5 3 3 3 5 3 1 4 9 3 15 1 13 3 13 1 4. Zgjidhe sistemin : JO x y 6 y y 5 Zgjidhje : nga rreshti i dytë e dimë se y 5, zëvëndësojmë tek rreshti i parë x y 6 y y 5 x 5 6 5 y 5 x 10 6 10 y 5 x 10 16 y 5 x 16 10 y 5 x 6 y 5 x 3 y 5 5. Zgjidhe sistemin : Zgjidhje e sistemit është x, y 3, 5 x 7 y 1 3 x 3 x Zgjidhje : nga rreshti i parë e dimë se x 7, zëvëndësojmë tek rreshti i dytë
6 VIII TEMA 3.nb x 7 y 1 3 x 3 x x 7 y 1 3 7 3 7 x 7 y 1 3 5 x 7 y 3 15 x 7 y 15 3 x 7 y 8 x 7 y 4 Zgjidhje e sistemit është x, y 7, 4 [iv] Zgjedhja grafike e sistemit të barazimeve me dy të panjohura. 1. Zgjidhe grafikisht sistemin : x y 5 3 x y 3 Zgjidhje : fillojmë me barazimin e parë x y 5, zgjedhim dy numra për x x 0 x 1 x y 5 x y 5 0 y 5 1 y 5 y 5 y 5 1 pika A 0, 5 y 4 pika B 1, 4 vazhdojmë me barazimin e dytë 3 x y 3, zgjedhum dy numra për x x 0 x 1 3 x y 3 3 x y 3 3 0 y 3 3 1 y 3 0 y 3 3 y 3 y 3 y 3 3 y 3 y 0 pika C 0, 3 pika D 1, 0 paraqesim këto dy barazime në rrafsh kënddrejt koordinativ
VIII TEMA 3.nb 7 Zgjidhja e sistemit është pikprerja e grafeve M, 3 dmth x dhe y 3. Zgjidhe grafikisht sistemin : x y 5 x y 1 Zgjidhje : fillojmë me barazimin e parë x y 5, x 0 x 1 x y 5 x y 5 0 y 5 1 y 5 y 5 y 5 1 zgjedhim dy numra për x y 5 y 4 y.5 y 4 pika A 0,.5 y pika B 1, vazhdojmë me barazimin e dytë x y 1, zgjedhum dy numra për x x 0 x 1 x y 1 x y 1 0 y 1 1 y 1 y 1 y 1 1 y 1 y pika C 0, 1 y pika D 1, paraqesim këto dy barazime në rrafsh kënddrejt koordinativ
8 VIII TEMA 3.nb Zgjidhja e sistemit është pikprerja e grafeve M 1, dmth x 1 dhe y 3. Zgjidhe grafikisht sistemin : y x x Zgjidhje : fillojmë me barazimin e parë y x, x 0 x 1 y x y x y 0 y 1 pika A 0, 0 pika C 1, 1 zgjedhim dy numra për x barazimi i dytë x, është drejtëz paralele me ordinatën që kalon tek pika paraqesim këto dy barazime në rrafsh kënddrejt koordinativ Zgjidhja e sistemit është pikprerja e grafeve M, dmth x dhe y 4. Në cilin rast zgjidhja grafike e sistemit të barazimeve lineare me dy të panjohura nuk ka zgjidhje? Zgjidhje : kur grafet e dy barazimeve nuk priten, dmth janë paralele, P.SH.
VIII TEMA 3.nb 9 5. Në cilin rast zgjidhja grafike e sistemit të barazimeve lineare me dy të panjohura ka pafund zgjidhje? Zgjidhje : kur grafet e dy barazimeve puthiten [v] Metoda e zëvëndësimit. 3 x y 13 1. Zgjidhe sistemin : y 5 Zgjidhje : nga rreshti i dytë e dimë se y 5, zëvëndësojmë tek rreshti i parë 3 x y 13 y 5 3 x 5 13 y 5 3 x 10 13 y 5 3 x 13 10 y 5 3 x 3 y 5 x 3 3 y 5 x 1 y 5. Zgjidhe sistemin : Zgjidhje e sistemit është x, y 1, 5 y x 5 5 x y 4
10 VIII TEMA 3.nb Zgjidhje : nga rreshti i parë e dimë se y x 5, zëvëndësojmë tek rreshti i dytë y x 5 5 x y 4 y x 5 5 x x 5 4 y x 5 5 x x 10 4 y x 5 5 x x 4 10 y x 5 7 x 14 y x 5 x 14 7 y x 5 nga rreshti i dytë e dimë se x, x zëvëndësojmë tek rreshti i parë y 5 x y 3 x Zgjidhje e sistemit është x, y, 3 3. Zgjidhe sistemin : x y 3 x y 9
VIII TEMA 3.nb 11 Zgjidhje : nga rreshti i parë zgjedhim ndryshoren x, ndryshoren y e hedhim tek ana e djathtë, pastaj zëvëndësojmë tek rreshti i dytë x y 3 x y 9 x y 3 x y 9 x y 3 y y 9 x y 6 3 y y 9 x y 3 y y 9 6 x y y 3 x 3 y 3 x 5 y 3 Zgjidhje e sistemit është x, y 5, 3 4. Zgjidhe sistemin : x y 3 6 x y 4 1
1 VIII TEMA 3.nb Zgjidhje : Lirohemi prej thyesave duke shumëzuar me SHVP e emëruesave x y 3 6 x y 4 1 6 x 6 y 3 6 6 4 x 4 y 4 4 1 3 x y 36 x y 4 tek rreshti i dytë y hedhim tek ana e djathë, kurse 4 tek ana e majtë 3 x y 36 x 4 y 3 x y 36 x 4 y zëvëndësojmë y x 4 tek rreshti i parë 3 x x 4 36 x 4 y 3 x 4 x 8 36 x 4 y 3 x 4 x 36 8 x 4 y 7 x 8 x 4 y x 8 7 x 4 y x 4 x 4 y zëvëndësojmë x 4 tek rreshti i dytë x 4 4 4 y x 4 8 4 y x 4 1 y Zgjidhje e sistemit është x, y 4, 1 [vi] Metoda e koeficientëve të kundërt. 1. Zgjidhe sistemin : 5 x y 5 7 x y 31
VIII TEMA 3.nb 13 Zgjidhje : Tek dy barazimet koeficientët përpara y janë të kundërt, caktojmë shumën e dy barazimeve 5 x y 5 7 x y 31 5 x 7 x y y 5 31 5 x y 5 1 x 36 5 x y 5 x 36 1 5 x y 5 x 3 5 x y 5 zëvëndësojmë x 3 në barazimin e dytë x 3 5 3 y 5 x 3 15 y 5 x 3 y 5 15 x 3 y 10 x 3 y 10 x 3 y 5 Zgjidhje e sistemit është x, y 3, 5. Zgjidhe sistemin : 5 x y 3 x y 3 Zgjidhje : barazimin e dytë e shumëzojmë me ashtu që koeficientët përpara y të jenë të kundërt 5 x y 3 x y 3 5 x y 3 x y 3 5 x y 3 x y 6 5 x y y y 3 6 x y 3 caktojmë shumën e dy barazimeve për barazim të dytë e zgjedh x y 3 pasi që është më i lehti 3 x 3 x y 3 x 3 3 x y 3 x 1 x y 3 zëvëndësojmë x 1 tek rreshti i dytë
14 VIII TEMA 3.nb x 1 1 y 3 x 1 y 3 1 x 1 y 4 3. Zgjidhe sistemin : 7 x y 3 3 x 8 y 43 Zgjidhje e sistemit është x, y 1, 4 Zgjidhje : SHVP 7, 3 1, SHVP, 8 8 dmth është më lehtë të punojmë me koeficientët e ndryshores y, barazimin e parë e shumëzojmë me 4 7 x y 3 3 x 8 y 43 4 7 x 4 y 4 3 3 x 8 y 43 8 x 8 y 1 3 x 8 y 43 caktojmë shumën e dy rreshtave 8 x 3 x 8 y 8 x 1 43 7 x y 3 për barazim të dytë e zgjedh 7 x y 3 sepse është më i lehti 31 x 31 7 x y 3 x 31 31 7 x y 3 x 1 7 x y 3 x 1 7 1 y 3 x 1 7 y 3 x 1 y 3 7 x 1 y 10 x 1 y 10 x 1 y 5 4. Zgjidhe sistemin : m 7 n 9 3 m n 5 zëvëndësojmë x 1 në barazimin e dytë Zgjidhje e sistemit është x, y 1, 5 Zgjidhje : SHVP, 3 6, SHVP 7, 14 dmth është më lehtë të punojmë me koeficientët e ndryshores m barazimin e parë e shumëzojmë me 3 barazimin e dytë e shumëzojmë me m 7 n 9 3 m n 5 3 m 3 7 n 3 9 3 m n 5 6 m 1 n 7 6 m 4 n 10 caktojmë shumën e dy barazimeve 6 m 6 m 1 n 4 n 7 10 m n 5 për barazim të dytë zgjedhim 3 m n 5 sepse është më i lehti
VIII TEMA 3.nb 15 17 n 17 m n 5 n 17 17 m n 5 n 1 m n 5 zëvëndësojmë n 1 në barazimin e dytë n 1 m 1 5 n 1 m 5 n 1 m 5 n 1 m 3 5. Zgjidhe sistemin : Zgjidhje e sistemit është m, n 3, 1 x y 3 7 x 3 y 4 1 Zgjidhje : Lirohemi prej thyesave duke shumëzuar me SHVP e emëruesave x y 3 7 x 3 y 4 1 6 x 6 y 3 6 7 1 x 3 1 y 4 1 1 3 x y 4 4 x 3 y 1 3 x y 4 SHVP 3, 8 4, 8 x 3 y 1 SHVP, 3 6, dmth është më lehtë të punojmë me koeficientët e ndryshores y 3 3 x 3 y 3 4 8 x 3 y 1 barazimin e parë e shumëzojmë me 3, barazimin e dytë me 9 x 6 y 16 16 x 6 y 4 9 x 16 x 6 y 6 y 16 4 3 x y 4 4 sepse është më i lehti caktojmë shumën e dy barazimeve për rresht të dytë zgjedhim barazimin 3 x y 5 x 150 3 x y 4 x 150 5 3 x y 4 x 6 3 x y 4 zëvëndësojmë x 6 tek barazimi i dytë x 6 3 6 y 4 x 6 18 y 4 x 6 y 4 18 x 6 y 4
16 VIII TEMA 3.nb x 6 y 4 x 6 y 1 Zgjidhje e sistemit është x, y 6, 1 [vii] Zbatimi i sistemit të barazimeve lineare me dy të panjohura. 1. Jetoni ka 17 monedha me vlerë të përgjithshme 67 denarë. Monedhat janë denarshe, dhe 5 denarshe. Sa monedha denarshe dhe sa monedha 5 denarshe ka Jetoni? Zgjidhje : E panjohur është numri i monedhave denarëshe x, numri i monedhave 5 denarëshe y gjithsej janë 17 monedha dmth x y 17 gjithësej monedhat kanë vlerë 67 denarë dmth x 5 y 67 formojmë sistem me këto dy barazime x y 17 x 5 y 67 x 17 y x 5 y 67 e zgjedhim me metodën e zëvëndësimit, hedhim y tek ana e djathtë x 17 y 17 y 5 y 67 x 17 y 34 y 5 y 67 x 17 y y 5 y 67 34 x 17 y 3 y 33 x 17 y y 33 3 x 17 y y 11 x 17 11 y 11 x 6 y 11 Prova : dmth 6 monedha denarëshe dhe 11 monedha 5 denarëshe 6 5 11 1 55 67 denarë. Në dy rafte ka 14 libra.në raftin e parë ka pasur 3 herë më shumë libra se sa në të dytin. Nga sa libra ka pasur në çdo raft? Zgjidhje : E panjohur numri i librave në raftin e I x, numri i librave në raftin e II y në dy rafte ka 14 libra, dmth x y 14 rafti i parë ka 3 herë më shumë libra se i dyti dmth x 3 y formojmë sistem me këto dy barazime x y 14 x 3 y 3 y y 14 x 3 y 4 y 14 x 3 y y 14 4 x 3 y e zgjedhim me metodën e zëvëndësimit
y 31 x 3 y y 31 x 3 31 y 31 x 93 dmth 93 libra ka rafti i parë, kurse 31 libra ka rafti i dytë Prova : 93 31 14 dhe 93 3 31 3. Sa litra ujë dhe sa litra shpirto prej 90 duhet të përzihen që të fitohen 60 litra prej 75 shpirto? Zgjidhje : E panjohur litra ujë x, litra shpirto y uji i pastër nuk përmban shpirto alkohol dmth ka 0 atëherë x 0 y 90 x y 75 mirpo e dimë se gjithsej do të keim 60 litra të përzierjes atëherë x y 60 formojmë sistem me këto dy barazime x y 60 x 0 y 90 x y 75 x 0 100 x y 60 y 90 100 zëvëndësomë x y 60 tek barazimi i i dytë 60 75 100 x y 60 x 0 y 90 60 75 x y 60 90 y 4500 x y 60 y 4500 90 x y 60 y 50 x 50 60 y 50 x 60 50 y 50 x 10 y 50 Prova : 10 0 50 90 60 75 0 45 45 45 45 thjeshtojmë numrat 100 në të dy anët zëvëndësojmë y 50 në barazimin e parë dmth 10 litra ujë 50 litra shpirto alkohol 4. Janë dhënë dy tretje të thartirave K1 dhe K. Tretësi K1 është 36, kurse tretësi K është 96. Nga sa litra duhet të meren prej çdo tretësi, që të fitohen 10 litra tretje prej 80? Zgjidhje : E panjohur litra të acidit K1 x, litra të acidit K y acidi K1 ka përqëndrim 36, acidi K ka përqëndrim 96, kurse tretësira duhet të ket përqëndrim 80 dmth x 36 y 96 x y 80 gjthashtu e dimë se gjithej trësira do të ketë 10 litra, dmth x y 10 formojmë sistem me këto dy barazime VIII TEMA 3.nb 17 x y 10 x 36 y 96 x y 80 zëvëndësojmë x y 10 në barazimin e dytë
18 VIII TEMA 3.nb x 36 100 x y 10 y 96 100 x y 80 100 x y 10 x 36 y 96 10 80 x y 10 36 x 96 y 9600 shumëzojmë barazimin e parë me 36 36 x 36 y 36 10 36 x 96 y 9600 36 x 36 y 430 36 x 96 y 9600 36 x 36 x 36 y 96 y 430 9600 x y 10 10 sepse është më i lehti 60 y 580 x y 10 y 580 60 x y 10 y 88 x y 10 y 88 x 88 10 y 88 x 10 88 y 88 x 3 Prova : thjeshtojmë numrat 100 në të dy anët e zgjedhim me metodën e koeficientëve të kundrët, caktojmë shumën e dy barazimeve si barazim të dytë zgjedhim x y zëvëndësojmë y 88 tek barazimi i dytë dmth 3 litra prej acidit K1 3 36 88 96 10 80 11.5 84.48 96 96 96 dhe 88 litra prej acidit K 5. Cakto dy numra shuma e të cilëve është 100, kurse raporti i tyre është 4 dmth Zgjidhje : E panjohur numri I x, numri II y shuma e numrave është 100, dmth x y 100 raporti i numrave është 4, x y 4 x y 100 x 4 y x y 100 y x y 4 y formojmë sistem me këto dy barazime shumëzojmë barazimin e dytë me y x y 100 x 4 y 4 y y 100 x 4 y 5 y 100 x 4 y y 100 5 x 4 y zëvëndësojmë x 4 y në rreshtin e parë
6. y 0 x 4 y y 0 x 4 0 y 0 x 80 Prova : 80 0 100 dhe zëvëndësojmë y 0 tek barazimi i dytë dmth numri i parë është 80, numri i dytë është 0 80 0 4 Shuma e dy numrave është 7, kurse ndryshimi i tyre është. Cilët janë ato numra? Zgjidhje : E panjohur numri I x, numri II y shuma e numrave është 7 dmth x y 7 ndryshimi i numrave është dmth x y formojmë sistem me këto dy barazime x y 7 zgjedhim me metodën e koeficientëve të kundërt x y x x y y 7 x y x 74 x y x 74 x y x 37 x y x 37 37 y x 37 y 37 x 37 y 35 x 37 y 35 x 37 y 35 zëvëndësojmë x 37 në barazimin e dytë dmth numri i parë është 37 kurse numri i dytë është 35 Prova : 37 35 7 dhe 37 35 7. Në një paralele gjithsej ka 8 nxënës. Numri i djemve është për 4 më i madh se numri i vajzave. Sa nxënës në paralele kanë qenë djem dhe sa vajza? Zgjidhje : E panjohur numri i djemve x, numri i vajzave y paralelja gjithsej ka 8 nxënës dmth x y 8 numri i djemve është për 4 më i madh se numri i vajzave dmth x 4 y formojmë sistem me këto dy barazime x y 8 x 4 y 4 y y 8 x 4 y 4 y y 8 x 4 y y y 8 4 x 4 y y 4 x 4 y zëvëndësojmë x 4 y në barazimin e parë VIII TEMA 3.nb 19 y 4 x 4 y
0 VIII TEMA 3.nb y 1 x 4 y y 1 x 4 1 y 1 x 16 zëvëndësojmë y 1 në barazimin e dytë dmth paralelja paska 16 djem dhe 1 vajza Prova : 16 1 8 dhe 16 4 1 [viii] Zgjedhja e problemeve me parimin e Dirihles 1. Si thotë principi i Johan Dirihles? Zgjidhje : Nëse në n kuti psh 5 kuti duhet të rradhiten më shumë se n sende psh 6 sende, atëherë gjithmon do të egzistojë një kuti e cila do të ketë më shumë se një send.. Si njihet ndryshe principi i Johan Dirihles? Zgjidhje : Njihet me emrin "principi i vrimave të pëllumbave". Principi thotë, nëse kemi n vrima 9 vrima dhe m pëllumba 10 pëllumba, ku m n, atëherë patjetër në njërën nga kto vrima do të ketë më tepër se një pëllumb. 3. Për se përdoret principi i Johan Dirihles? Zgjidhje : Principi i Johan Dirihles është shum i thjeshtë për tu zbatuar në probleme nga jeta e përditshme, përdoret për nxjerrjen e konkluzioneve përfundimeve të sigurta në detyra me numërim, ose për demonstrimin e disa rezultateve të çuditshme të papritura. 4. Nëse një paralele ka 40 nxënës, a mund të përfundojmë se tek kjo paralele ka me siguri nxënës që kanë emër me shkronjë të parë të njëjtë. Zgjidhje : Alfabeti i gjuhës tonë ka 36 shkronja, mendojmë se çdo njëra prej këtyra shkronjave është një vrimë. Atëhere i kemi 36 vrima dhe 40 nxënës pëllumba :, prej principit të Dirihles mund të përfundojmë se patjetër në njërën nga këto shkronja do të ketë më tepër se një nxënës që i fillon emri me shkronjën e njëjtë. 5. Nëse një paralele ka 30 nxënës, a mund të përfundojmë se tek kjo paralele ka me siguri nxënës që kanë emër me shkronjë të parë të njëjtë. Zgjidhje : Kemi 36 shkronja vrima dhe 30 nxënës pëllumba, nuk mund të dalim në përfundim se me siguri do të ketë dy nxënës me emër me shkronjë të parë të njëjtë. 6. Në shkollën tonë ka gjithsej 350 nxënës, a mund të përfundojmë me siguri se te shkolla jonë ka së paku dy nxënës me ditlindje në ditën e njëjtë. Zgjidhje : Viti i ka 365 ditë, mendojmë për çdo ditë të vitit si një vrimë Atëherë i kemi 365 ditë vrima dhe 350 nxënës pëllumba, nuk mund të dalim në përfundim se me siguri do të ketë dy nxënës me ditlindje në ditën e njëjtë. 7. Sa nxënës më së paku duhet të ketë shkolla jonë që të përfundojmë me siguri që ka më së paku dy nxënës me ditlindje në ditën e njëjtë.
Zgjidhje : Viti i ka 365 ditë, dmth kemi 365 vrima, VIII TEMA 3.nb 1 që të zbatojmë principin e Johan Dirihles na duhen më së paku 365 1 nxënës, dmth 366 nxënës 8. Në një paralele ka 37 nxënës. Vërteto se ka një muaj në vit në të cilin janë lindur më së paku se 4 nxënës nga paralelja. Zgjidhje : Viti ka 1 muaj, dmth kemi gjithsej 1 vrima. Nëse i shpërndajmë 37 nxënës pëllumba në 1 muaj vrima 37 1 3 mund të kemi më së paku 3 nxënës në 11 muaj, 37 3 1 37 36 1 kurse në njërin nga muajt mund të kemi 3 1 4 nxënës atëherë sipas principit të Drihles mund të përfundojmë me siguri se patjetër do të ketë në një muaj në vit në të cilin janë lindur më së paku se 4 nxënës nga paralelja. 9. Në një shkollë ka 100 nxënës. Vërteto se më së paku 4 nxënës nga ajo shkollë festojnë ditëlindjen në të njejtën ditë. Zgjidhje : Viti ka 365 ditë, dmth 365 vrima. Nëse i shpërndajmë 100 nxënës pëllumba në 365 ditë vrima 100 365 3 mund të kemi më së paku 3 nxënës në 60 ditë, 100 3 365 100 1095 105 kurse në njërën nga këto 105 ditë do të ketë 3 1 nxënës me ditlindje në atë ditë të njëjtë atëherë mund të përfundojmë me siguri se për këto 100 nxënës do të ketë më së paku 4 nxënës nga kjo shkollë që festojnë ditlindjen në ditën e njëjtë. 10. Nëse qyteti i Londrës ka mbi 1 000 000 banorë, dhe nëse një njeri i zakonshëm rritur ka 150 000 fije flokë. Vërteto se në këtë qytet ka më së paku njerëz me numër të njëjtë të fijeve të flokëve. Zgjidhje : Njeriu i zakonshëm ka 150 000 fije flokë vrima, DHE asnjë njeri me probleme nuk ka më tepër se 1 000 000 fije flokë, atëherë banorët e Londrës janë mbi 1 000 000 pëllumba, sipas principit të Johan Dirihles mund të përfundojmë se do të ketë patjetër më së paku njerëz që kanë numër të njëjtë fije flokësh.
BUJAR MAMUDI LËNDA : MATEMATIKË KLASA : VIII TEMA : IV TRUPAT GJEOMETRIK PYETJE PRAKTIKE PËR TESTIN EKSTERN [i] Pika, drejtëza dhe rrafshi. 1. Çka quhet Planimetri? Përgjigje : Planimetri është pjesë e gjeometrisë që studjon figurat D në rrafsh.. Çka quhet Stereometri? Përgjigje : Stereometri është pjesë e gjeometrisë që studjon figurat 3 D në hapësirë. 3. Çka quhet Aksiom? Si njihet ndryshe? Përgjigje : Aksioma janë pohime themelore që ska nevojë të vërtetohen. Ndryshe njihen me emrin Lemma. P.SH. Në një pikë kalojnë pafund drejtëza. 4. Çka është dallimi midis Aksiomës dhe Teoremës? Përgjigje : Aksioma nuk ka nevojë të vërtetohet, kurse teorema duhet patjetër të vërtetohet me ndihmën e aksiomave. 5. Cilët janë figurat themelore gjeometrike? Përgjigje : Pika, Drejtëza dhe Rrafshi 6. Si thotë Aksioma e parë për pikën dhe rrafshin? Përgjigje : Në rrafsh mund të shtrihen shumë pika, por ka edhe pika që nuk shtrihen në rrafsh. 7. Çka është dhënë në figurën e mëposhtme? Përgjigje : Është e dhënë një rrafsh me emrin, dhe 5 pika ku pika M nuk shtrihet në rrafsh dmth M dhe pikat A, B, C, D shtrihen në atë rrafsh dmth A, B, C, D 8. Si thotë Aksioma e dytë për pikën dhe rrafshin? Përgjigje : Tre pika jokolineare përcaktojnë saktësishtë një rrafsh. 9. Si thotë Aksioma e tretë për pikën dhe rrafshin? Përgjigje : Nëse dy pika shtrihen në një rrafsh, atëherë këto dy pika përcaktojnë saktësisht një drejtëz, edhe kjo drejtëz do të shtrihet në atë rrafsh. 10. Sa pozita reciproke mund të ketë drejtëza a dhe rrafshi? Përgjigje : Tre pozita reciproke :
VIII TEMA 4.nb a drejtëza a paralel me rrafshin ose a b drejtëza a e pret rrafshin saktësisht në një pikë P ose a P c drejtëza a shtrihet në rrafshin ose a a 11. Cilët drejtëza janë koplanare? Përgjigje : Dy ose më shumë drejtëza që shtrihen në rrafshin e njëjtë quhen koplanare. 1. Për kuboidin e mëposhtëm rrafshi përcaktohet me pikat A, B, dhe C. a cilët tehe janë paralele me rrafshin b cilët tehe e depërtojnë rrafshin c cilët tehe shtrihen në rrafshin Përgjigje : Rrafshi që përcaktohet me pikat A, B, dhe C është hijëzuar me ngjyrë të kuqe. a paralel me rrafshin janë tehet KL, LM, MN, dhe NK b rrafshin sigma e depërtojnë presin tehet KA në pikëne A, LB në pikën B, MC në pikën C, dhe ND në pikën D c Në rrafshin shtrihen tehet AB, BC, CD dhe DA 13. Diagonalja AC e bazës së kubit të mëposhtëm nuk ka pika të përbashkëta vetëm me një faqe të kubit. Cila është ajo faqe?
VIII TEMA 4.nb 3 Përgjigje : Diagonalja AC është paraqitur me ngjyrë të kuqe tek vizatimi i dytë, AC shtrihet në rrafshin ABCD, kjo diagonale nuk ka të përbashkët me rrafshin A 1 B 1 C 1 D 1 sepse ky rrafsh është paralel me të parin. [ii] Dy drejtëza. 1. Sa pozita reciproke mund të kenë dy drejtëza? Përgjigje : Katër pozita reciproke : a drejtëza a paralele me drejtëzën b ose a b b drejtëza a pritet me drejtëzën b saktësishtë në një pikë P ose a b P c drejtëza a puthitet me drejtëzën b a b d drejtëza a është e shmangëshme me drejtëzën c, pasi që nuk shtrihen në rrafsh të njëjtë dhe nuk priten.. Sa rrafshe përcaktojnë tehet anësore të një kuboidi? Përgjigje : rrafshe për baza 4 rrafshe anësore 6 rrafshe faqe 3. Cilët pohime janë të sakta për figurën e mëposhtëme? Përgjigje : a drejtëzat b dhe m janë paralele b drejtëza p dhe d janë shmangëse c drejtëza a dhe d priten d drejtëza b dhe p janë shmangëse JO PO PO JO 4. Tre drejtëza paralele a shtrihen gjithmonë në rrafshin e njëjtë?
4 VIII TEMA 4.nb Përgjigje : JO Sepse për shembull drejtëza AA 1, BB 1, CC 1 janë paralele mirpo nuk shtrihen në rrafshin e njëjtë 5. Tre drejtë za të ndryshme në hapësirë kalojnë nëpër të njëjtën pikë. Sa rrafshe mund të përcaktojnë këto drejtëza? Përgjigje : Nëse tre drejtëzat janë koplanare, atëherë përcaktojnë vetëm një rrafsh : tre drejtëza me ngjyrë të kuqe priten në pikën A. Nëse tre drejtëzat nuk janë koplanare, atëherë përcaktojnë tre rrafsh : tre drejtëza me ngjyrë të kuqe priten në pikën A. 6. Sa rrafshe përcaktojnë katër pika jo koplanare? Përgjigje : Tre pika jokolineare përcaktojnë saktësishtë një rrafsh, atëherë nëse kemi 4 pika jo koplanare A, B, C dhe D nga këto katër pika formojmë kombinime duke përdorur 3 prej tyre ABC, ABD, BCD, dhe ACD dmth 4 rrafshe 7. Sa rrafshe mund të kalojnë nëpër dy drejtëza në hapësirë? Përgjigje : Nëse janë paralele një rrafsh, nëse priten një rrafsh, nëse shmangen asnjë rrafsh.
[iii] Dy rrafshe. VIII TEMA 4.nb 5 1. Sa pozita reciproke mund të kenë dy rrafshe? Përgjigje : Tre pozita reciproke : a rrafshi paralele me rrafshin ose b rrafshi pritet me rrafshin saktësishtë në një drejtëz AB ose drejtëza AB c rrafshi puthitet rrafshin. Si thotë aksioma e katërt për dy rrafshe? Përgjigje : Nëse dy rrafshe kanë një pikë të përbashkët, atëherë ato dy rrafshe kanë një drejtëz zë përbashkët që kalon nëpër atë pikë. 3. Çfarë këndi formon dyshemeja dhe njëri nga faqet e murit të klasës? Përgjigje : Nëse muri është i drejtë atëherë ato formojnë kënd të drejtë
6 VIII TEMA 4.nb 4. Çfarë këndi formojnë dy faqe fqinjë të mureve të klasës? Përgjigje : Nëse muri është i drejtë atëherë ato formojnë kënd të drejtë 5. Çfarë këndi formojnë tavani dhe dyshemeja e klasës? Përgjigje : Tavani dhe dyshemeja janë paralele dmth nuk priten, nuk formojnë kënd. 6. Për dy rrafshe paralele 1, nëse një drejtëz a e pret rrafshin 1, çka mund të themi për drejtëzën a dhe rrafshin? Përgjigje : Drejtëta a do ta presë edhe rrafshin e dytë 7. Për dy rrafshe paralele 1, nëse një drejtëz a është paralel me rrafshin 1, çka mund të themi për drejtëzën a dhe rrafshin?
VIII TEMA 4.nb 7 Përgjigje : Drejtëta a do të jetë paralel edhe me rrafshin e dytë 8. Për dy rrafshe paralele 1, nëse një rrafsh tjetër 3 e pret rrafshin 1, çka mund të themi për rrafshin 3 dhe rrafshin? Përgjigje : Rrafshi 3 do ta presë edhe rrafshin e dytë 9. Çfarë këndi formojnë baza e kubit dhe një faqe anësore e sajë? Përgjigje : Kënd të drejtë 90 o 10. Për cilat dy rrafshe thuhet se janë të drejtë, pingul, ortogonal? Përgjigje : Për ato rrafshe që formojnë kënd të drejtë 90 o 11. Sa drejtëza pingule mund të tërhiqen prej pikës së dhëne A dhe një rrafshi? Përgjigje : Vetëm një, dhe kjo drejtëz formon largesën e pikës A deri tek rrafshi 1. Çfarë pozite reciproke mund të kenë dy rrafshe 1 i përcaktuar me pikat A, B, D, dhe rrafshi i përcaktuar me pikat A, B, C? Përgjigje : kto dy rrafshe kanë drejtëzën AB të përbashkët, vetëm pika D dhe C ndryshojnë, atëherë
8 VIII TEMA 4.nb nëse pikat D dhe C janë koplanare, këto dy rrafshe puthiten nëse pikat D dhe C nuk janë koplanare, këto dy rrafshe priten në drejtëzën AB [iv] Projektimi paralel dhe ortogonal. 1. Çka quhet projektim paralel? Përgjigje : Pasqyrimi i një pike hapsinore A në një pikë A' që shtrihet rrafshin e dhënë për drejtimin e dhënë projektues s quhet projetim paralel.. Cakto projektimin paralel për pikat e dhëna A, B, C nëse pika A, kurse drejtëta BC me drejtëzën projektuese s Përgjigje : Pasi që pika A shtrihet në rrafshin edhe pasqyra e saj A' do të shtrihet në pikën e njëjtë A Pikat B dhe C do të pasqyrohen në pikën e njëjtë C' në rrafshin pasi që drejtëza BC është paralel me drejtëzën projektuese s. 3. Çka është pasqyra e një segmenti AB nëse është paralel me drejtëzën projektuese s? Përgjigje : Pasqyra e segmentit AB do të jetë vetëm një pikë. 4. Çka është pasqyra e një segmenti AB nëse nuk është paralel me drejtëzën projektuese s?
Përgjigje : Pasqyra e segmentit AB do të jetë një segment tjetër A' B' me gjatësi të barabartë ose më të vogël se originali. 5. Çka quhet projektim ortogonal? Përgjigje : Projektimi paralel tek i cili drejtëza projektuese është pingule formon kënd të drejtë me rrafshin quhet projektim ortogonal. VIII TEMA 4.nb 9 6. Tek vizatimi i mëposhtëm kush është projeksioni ortogonal i drejtëzës a? Përgjigje : Pika P shtrihet në rrafshin atëherë pasqyra P' do të shtrihet në pikën e njëjtë P. Është e dhënë se projeksioni i pikës A është pika A' atëherë projekstioni i drejtëzës a është ajo drejtëz që shtrihet në rrafshin dhe kalon nëpër dy pikat A' dhe P 7. Si mund të jetë pasqyra e trekëndëshit ABC gjatë projeksionit ortogonal? Përgjigje : në përgjithësi, pasqyra e trekëndëshit ABC është trekëndësh A' B' C' Mirpo nëse faqja e trekëndëshit është pingule me rrafshin projektues atëherë pasqyra e trekëndëshit ABC do të jetë një segment AB 8. Pika M nuk shtrihet në drejtëzën a. A mundet projeksioni M ' të shtrihet në drejtëzën a'? Përgjigje : Vetëm nëse pika M dhe drejtëza a janë paralele me drejtëzën projektuese s. 9. Nëse pikat ', B' dhe C' janë kolineare, a do të thotë kjo që edhe pikat origjinale A, B, dhe C duhet patjetër të jenë kolineare?
10 VIII TEMA 4.nb Përgjigje : JO Prej tek detyra 7 vizatimi, duket qart që pikat ', B' dhe C' janë kolineare, mirpo origjinalët A, B, dhe C janë kulmet e një trekëndëshi dmth nuk janë kolineare. 10. Drejtëzat a dhe b priten. Si mund të jenë projeksionet e tyre? Përgjigje : Mund të jenë përsëri dy drejtëza a' dhe b' që priten në një pikë OSE mund të jenë vetëm një drejtëz c' [v] Paraqitja e trupave gjeometrik me vizatim. 1. Vizato : a kub, b kuboid c cilindërt d kon e top Përgjigje :. Prej çfarë prespektive e shohim kuboidin e mëposhtëm? Përgjigje : Prej lartë nga e djathta 3. Prej çfarë kënd vështrimi e shohim kuboidin e mëposhtëm? Përgjigje : Prej lartë nga e majta 4. Prej çfarë prespektive e shohim kubin e mëposhtëm? Përgjigje : Prej lartë nga e djathta 5. Prej çfarë kënd vështrimi e shohim kubin e mëposhtëm? Përgjigje : Prej lartë nga e majta
6. Prej çfarë prespektive e shohim kubin e mëposhtëm? VIII TEMA 4.nb 11 Përgjigje : Prej poshtë nga e djathta 7. Prej çfarë kënd vështrimi e shohim kubin e mëposhtëm? Përgjigje : Prej poshtë nga e majta [vi] Prizmi, llojet e prizmave, prerjet diagonale. 1. Çka quhet prizëm? Përgjigje : Figura gjeometrike që ka për baza dy shumëkëndësha të puthitshëm që janë paralele, dhe për sipërfaqe anësore ka paralelogram quhet prizëm. Cilët janë elementet themlore të prizmit? Përgjigje : Kulmet, tehet tehet e bazës dhe anësore, faqet dy baza dhe faqe anësore. 3. Vizato një prizëm trekëndor dhe trego sa kulme, tehe dhe baza përmban. Përgjigje : 6 kulme, 6 tehe të dy bazave 3 tehe anësore 9 tehe, baza 3 faqe anësore 5 faqe 4. Vizato një prizëm katërkëndor dhe trego sa kulme, tehe dhe baza përmban. Përgjigje : 8 kulme, 8 tehe të dy bazave 4 tehe anësore 1 tehe, baza 4 faqe anësore 6 faqe 5. Vizato një prizëm peskëndor dhe trego sa kulme, tehe dhe baza përmban.
1 VIII TEMA 4.nb Përgjigje : 10 kulme, 10 tehe të dy bazave 5 tehe anësore 15 tehe, baza 5 faqe anësore 7 faqe 6. Vizato një prizëm gjashtëkëndor dhe trego sa kulme, tehe dhe baza përmban. Përgjigje : 1 kulme, 1 tehe të dy bazave 6 tehe anësore 18 tehe, baza 6 faqe anësore 8 faqe 7. Sa kulme, tehe dhe baza përmban prizmi njëzetë e dy këndor? Përgjigje : 44 kulme 3 66 tehe baza tehe anësore 4 faqe 8. Sa kulme, tehe dhe baza përmban prizmi tridhjetë e katër këndorë? Përgjigje : 34 68 kulme 3 34 10 tehe baza 34 tehe anësore 36 faqe 9. Çka është dallimi midis prizmit të drejtë dhe të pjerrët? Përgjigje : Tek prizmi i drejtë tehu anësor dhe baza formojnë kënd të drejtë, kurse tek prizmi i pjerrët nuk formojnë kënd të drejtë. 10. Çka është prizëm i rregullt? Përgjigje : Prizmi i drejtë i cili për bazë ka shumëkëndësh të rregullt brinjë dhe kënde të barabarta quhet prizëm i rregullt. 11. Çka quhet paralelopiped? Përgjigje : Prizmi katërkëndor quhet paralelopiped. 1. Çka fitohet nëse prej një kulmi të prizmit katërkëndor tërhiqen të gjitha prerjet diagonale?
Përgjigje : Prej një kulmi mund të tërhiqet vetëm një prerje diagonale, si rezultat fitohen dy prizma trekëndorë. 13. Çka fitohet nëse prej një kulmi të prizmit peskëndërë tërhiqen të gjitha prerjet diagonale? VIII TEMA 4.nb 13 Përgjigje : Prej një kulmi mund të tërhiqen dy prerje diagonale, si rezultat fitohen tre prizma trekëndorë. 14. Çka fitohet nëse prej një kulmi të prizmit gjashtëkëndor tërhiqen të gjitha prerjet diagonale? Përgjigje : Prej një kulmi mund të tërhiqen tre prerje diagonale, si rezultat fitohen katër prizma trekëndorë. 15. Çka fitohet nëse prej një kulmi të prizmit njëzet e dy këndor tërhiqen të gjitha prerjet diagonale? Përgjigje : 3 19 prej një kulmi mund të tërhiqen 19 prerje diagonale 19 1 0 do të fitohen 0 prizma trekëndorë 16. A ekziston prizëm me : a 4 faqe b 8 faqe c 13 faqe Përgjigje : a 4 faqe JO sepse prizmi më i thjeshtë trekëndorë ka 5 faqe b 8 faqe baza 6 faqe anësore dmth ky prizëm është gjashtëkëndor PO c 13 faqe baza 11 faqe anësore dmth ky prizëm është njëmbëdhjetëkëndor PO [vii] Paralelopipedi. Rrjeti dhe syprina e prizmit. 1. Si është lidhja midis faqeve të përballta të paralelopipedit? Përgjigje : Paralelopipedi ka tre palë të faqeve të përballta që janë paralele dhe të puthitshme.
14 VIII TEMA 4.nb. Si është lidhja midis diagonaleve hapsinore të kuboidit dhe kubit? Përgjigje : Diagonalet hapsinore të kubit dhe kuboidit përgjysmohen në pikprerjen e tyre. 3. Cakto diagonalen hapsinore të kuboidit me përmasa 3 m, 4 m dhe 1 m. Përgjigje : Diagonalja hapsinore është hipotenuza e trekëndëshit këndrejtë me katete lartësinë c dhe diagonalen e bazës ABCD Zbatojmë teoremën e Pitagorës herë : d a b c d 3 4 1 d 9 16 144 d 169 d 13 4. Vizato rrjetën e kuboidit me përmasa 5 cm, cm dhe 3 cm. Përgjigje : 5. Vizato rrjetën e prizmit të rregullt trekëndorë me lartësi 6 cm dhe teh të bazës 3 cm Përgjigje :
VIII TEMA 4.nb 15 6. Cila nga figurat e mëposhtme nuk mund të jetë rrejta e kubit? Përgjigje : Nën b sepse të dy bazat janë tek ana e djathtë 7. Si thotë formula e përgjithshme për syprinën e prizmit Përgjigje : Prizmi ka dy baza dhe mbështjellës anësorë atëherë S S B S M ku S B është syprina e bazës, kurse S M është syprina e mbështjellësit. 8. Njehëso syprinën e prizmit të rregullt trekëndorë me lartësi 6 cm dhe teh të bazës 3 cm Përgjigje : Ky prizëm ka dy trekëndësha barabrinjës për baza me teh 3 cm dhe 3 drejtkëndësha anësorë me përmasa 3 cm dhe 6 cm S S B S M Syprina e trekëndëshit barabrinjës S B a 3 4 S B 3 3 4 S B 9 1.73 4 S B 3.897 cm S M 3 a H S M 3 3 6 S M 54 cm S S B S M S 3.897 54 S 61.794 cm 9. Njehëso syprinën e prizmit të drejtë trekëndorë me tehe të bazës a 6 cm, b 5 cm, c 9 cm dhe lartësi H 35 cm. Përgjigje : S S B S M
16 VIII TEMA 4.nb Syprina e trekëndëshit brinjëndryshëm Formula e Heronit : a b c s S M a H b H c H 6 5 9 s S M a b c H s 60 S M 6 5 9 35 s 30 S M 60 35 S B s s a s b s c S M 100 cm S B 30 30 6 30 5 30 9 S B 30 4 5 1 S B 3600 S B 60 cm S S B S M S 60 100 S 10 100 S 0 cm 10. Njehëso syprinën e prizmit të rregullt gjashtëkëndor me lartësi 7 cm dhe teh të bazës 5 cm Përgjigje : S S B S M Syprina e gjashtëkëndëshit të rregullt S B 6 a 3 4 Syprina e tre drejtëkëndëshave me lartësi të njëjtë por me baza të ndryshme Syprina e gjashtë drejtkëndëshave të puthitshëm S M 6 a H S B 3 5 3 S M 6 5 7 S B 1.5 5 1.73 S M 10 cm S B 64.95 cm S S B S M S 64.95 10 S 339.9 cm 11. Njehëso tehun e kubit me syprinë S 61.44 cm Përgjigje : Kubi ka 6 faqe të puthitshme secila me sipërfaqe a S 6 a 61.44 6 a 61.44 a 6 10.4 a 10.4 a 3. a 1. Njehëso syprinën e kubit me teh 5 cm.
Përgjigje : Kubi ka 6 faqe të puthitshme secila me sipërfaqe a S 6 a S 6 5 S 6 5 S 150 cm VIII TEMA 4.nb 17 13. Njehëso syprinën e kuboidit me përmasa 5 cm, cm, dhe 3 cm. Përgjigje : Kuboidi ka tre palë të faqeve të puthitshme të gjitha drejtëkëndësha S a b b c a c S a b b c a c S 5 3 5 3 S 10 6 15 S 31 S 6 cm 14. Njehëso diagonalen hapsionre të kubit me teh 5 cm. Përgjigje : d a b c në kët rast kubi i ka të gjitha tehet e barabarta d a a a d 3 a nxjerrim a përpara rrënjës katrore d a 3 d 5 3 d 5 1.73 d 8.66 cm 15. Njehso syprinën e prizmit të rregullt katërkëndor me tehun e bazës 5 cm dhe lartësi 10 cm. Përgjigje : S S B S M Syprina e katërkëndëshit të rregullt katrorit Syprina e katër drejtkëndëshave të puthitshëm S B a S M 4 a H S B 5 S M 4 5 10 S B 5 S M 00 S S B S M S 5 00 S 50 cm 16. Njehso lartësinë e prizmit të rregullt katërkëndor në qoftë se syprina e sipërfaqes anësore është M 160 cm kurse syprina e prizmit është S 10 cm. Përgjigje : S S B S M 10 S B 160 10 160 S B 50 S B 50 S B 5 S B Prizmi i rregullt katërkëndor e ka bazën katror dmth
18 VIII TEMA 4.nb S B a 5 a 5 a 5 a Mbështjellës të këtij prizmi janë 4 drejtkëndësha të puthitshëm S M 4 a H 160 4 5 H 160 0 H 160 0 H 8 cm H 17. Sa herë do të zmadhohet syprina e një kubi, në qoftë se tehu i tij zmadhohet tre herë? Përgjigje : Syprina e kubit njehësohet S 6 a nëse tehu zmadhohet 3 herë S 6 3 a S 6 9 a S 54 a Caktojmë raportin 54 a 6 a 6 dmth syprina zmadhohet 9 herë [viii] Vëllimi i poliedrit. Vëllimi i kubit dhe kuboidit. 1. Çka quhet poliedër? Përgjigje : Trupi gjeometrik tehor që përbëhet prej shumëkëndëshave quhet poliedër. P.SH. Kubi, Kuboidi, Prizmi, Piramida etj.. Çka është dallimi midis trupit tehor dhe të lakuar? Përgjigje : Nga vetë emri, trupi i lakuar përmban sipërfaqe rrethore koni, clindri, piramida, kurse trupi tehor përbëhet vetëm prej shumëkëndëshave. 3. Çka mund të themi për dy trupa të puthitshëm? Përgjigje : Kanë formë dhe përmasa të njëjta, si rezultat kanë syprinë dhe vëllim të njëjtë. 4. Cila është njësia themelore për vëllimin? A mund vëllimi të jetë zero ose numër negativ? Përgjigje : Njësia themelore për vëllimin është m 3, vëllimi është përher numër pozitiv 5. Caktë vëllimin e kubit me teh 4 cm. Përgjigje : V a 3 V 4 3 V 64 cm 3 6. Caktë vëllimin e kuboidit me përmasa 5 cm, cm, dhe 3 cm. Përgjigje : V a b c V 5 3 V 30 cm 3
VIII TEMA 4.nb 19 7. Njehëso vëllimin e kubit me syprinë 54 cm Përgjigje : Caktojmë brinjën e kubit S 6 a 54 6 a 54 6 a 9 a 9 a 3 a Caktojmë vëllimin V a 3 V 3 3 V 7 cm 3 8. Përmasat e një kuboidi janë 16 cm, 4 dm, 1 m. Cakto tehun e kubit që ka vëllim të njëjtë me kuboidin. Përgjigje : Shëndrrojmë njësitë në m 16 cm 0.16 m 4 dm 0.4 m Caktojmë vëllimin e kuboidit V a b c V 0.16 0.4 1 V 0.064 m 3 Caktojmë tehun e kubit V a 3 0.064 a 3 0.064 1 3 a 0.4 m a 9. Një kuboid e ka bazën katror me brinjë 4 cm, dhe syprinë anësore M 11 cm. Njehëso vëllimin e këtij kuboidi. Përgjigje : Sipërfaqja anësore është 4 drejtkëndësha të puthitshëm S M 4 a H 1 4 4 H 11 16 H 7 H Caktojmë vëllimin e kuboidit V a a H V 4 4 7 V 11 cm 3 10. Baza e një kuboidi ka përmasa 6 cm dhe 8 cm, kurse diagonalja hapsinore e kuboidit është 6 cm. Cakto vëllimin e kubit Përgjigje : a 6 cm, b 8 cm, c? d = 6cm
0 VIII TEMA 4.nb Caktojmë brinjën c d a b c d a b c 6 6 8 c 676 36 64 c 676 100 c 676 100 c 576 c 576 c 4 c Caktojmë vëllimin e kuboidit V a b c V 6 8 4 V 115 cm 3 11. Vëllimi i një kubi është i barabartë me vëllimin e kuboidit me përmasa 8 cm, 4 cm, cm. Cakto syprinën e kubit. Përgjigje : Caktojmë vëllimin e kuboidit V a b c V 8 4 V 64 cm 3 Caktojmë brinjën e kubit V a 3 64 a 3 64 1 3 a 4 a Caktojmë syprinën e kubit S 6 a S 6 4 S 6 16 S 96 cm 1. Sa litra ujë nxen një kubë me teh 5 cm. Përgjigje : I kthejmë njësitë në dm, 5 cm.5 dm Caktojmë vëllimin e kubit V a 3 V.5 3 V 15.65 dm 3 Nga lënda e fizikës e dimë se 1 dm 3 1 l dmth ky kub nxen 15.65 litra. 13. Sa litra ujë nxen një kuboid me përmasa m, 3 m, dhe 5 m.
VIII TEMA 4.nb 1 Përgjigje : I kthejmë njësitë në dm : m 0 dm, 3 m 30 dm, 5 m 50 dm Caktojmë vëllimin e kuboidit V a b c V 0 30 50 V 30 000 dm 3 Nga lënda e fizikës e dimë se 1 dm 3 1 l dmth ky kuboid nxen 30 000 litra. 14. Sa litra ujë nxen një kuboid me përmasa a b 30 cm dhe lartësi H 40 cm. Përgjigje : I kthejmë njësitë në dm : a b 30 cm 3 dm dhe H 40 cm 4 dm Caktojmë vëllimin e kuboidit V a b c V 3 3 4 V 36 dm 3 Nga lënda e fizikës e dimë se 1 dm 3 1 l dmth ky kuboid nxen 36 litra. [ix] Vëllimi i prizmit të rregullt. 1. Si është formula e përgjitshme për njehësimin e vëllimit të prizmit të drejtë? Përgjigje : V S B H ku S B është syprina e bazës dhe H është lartësia. Cakto vëllimin e prizmit trekëndor me bazë trekëndësh kënddrejt me tehe 6 cm, 8 cm, 10 cm dhe lartësi H 15 cm. Përgjigje : Prizmi i dhënë është trekëndor me bazë trekëndësh kënddrejt ku brinja më e gjatë hipotenuza c 10 cm, kurse dy katetet tjera janë a 6 cm dhe b 8 cm. Caktojmë syprinën e bazës trekëndëshit kënddrejt S B a h S B a b S B 6 8 S B 4 cm Caktojmë vëllimin e prizmit V S B H V 4 15 V 360 cm 3 3. Cakto vëllimin e prizmit trekëndor me tehe të bazës a 13 cm, b 14 cm, c 15 cm, dhe lartësi H 0 cm.
VIII TEMA 4.nb Përgjigje : Prizmi i dhënë trekëndor ka për bazë trekëndësh brinjëndryshëm, përdorim formulën e Heronit a b c s 13 14 15 s s 4 s 1 S B S B s s a s b s c 1 1 13 1 14 1 15 S B 1 8 7 6 S B 7056 S B 84 cm Caktojmë vëllimin e prizmit V S B H V 84 0 V 1680 cm 3 4. Njehso vëllimin e prizmit të rregullt trekëndor me teh 6 cm dhe lartësi H 8 cm. Përgjigje : Prizmi i rregullt trekëndor ka bazë trekëndësht barabrinjës, caktojmë syprinën e këtij S B a 3 4 S B 6 3 4 S B 36 3 4 S B 9 3 cm Caktojmë vëllimin e prizmit V S B H V 9 3 8 V 7 3 cm 3 ose V 7 1.73 V 14.704 cm 3 5. Njehso vëllimin e prizmit të rregullt gjashtëkëndor me teh të bazës 10 cm dhe lartësi H 60 cm. Sa litra ujë nxen ky prizëm.
Përgjigje : Shëndrrojmë njësitë në dm : a 10 cm 1 dm, H 60 cm 6 cm Prizmi i rregullt gjashtëkëndor ka bazë gjashtkëndësh, caktojmë syprinën e bazës S B 6 a 3 4 S B 3 a 3 S B 3 1 3 S B 3 1 3 S B 1.5 3 dm Caktojmë vëllimin e prizmit V S B H V 1.5 3 6 V 9 3 dm 3 ose V 15.588 dm 3 dmth ky prizëm nxen V 15.588 litra ujë 6. Njehso vëllimin e prizmit të rregullt katërkëndor me teh të bazës 5 cm dhe lartësi H 9 cm. Sa litra ujë nxen ky prizëm. Përgjigje : I kthejmë njësitë në dm : a 5 cm 0.5 dm H 9 cm 0.9 dm Prizmi i rregullt katërkëndor bazën e ka katror, caktojmë syprinën S B a S B 0.5 S B 0.5 dm Caktojmë vëllimin e prizmit V S B H V 0.5 0.9 V 0.5 dm 3 dmth ky prizëm nxën V 0.5 litra 5 mililitra VIII TEMA 4.nb 3 7. Njehso vëllimin e prizmit të rregullt gjashtëkëndor me perimetrin e bazës 4 cm dhe lartësi 10 cm.
4 VIII TEMA 4.nb Përgjigje : Caktojmë brinjën e bazës nga perimetri P 6 a 4 6 a 4 6 a 4 a Caktojmë syprinën e bazës gjashtëkëndëshi i rregullt S B 6 a 3 4 S B 3 a 3 S B 3 4 3 S B 3 16 3 S B 3 8 3 S B 4 3 cm Caktojmë vëllimin e prizmit V S B H V 4 3 10 V 40 3 cm 3 ose V 415.69 cm 3 8. Rombi me diagonale 4 cm dhe 10 cm është baza e një prizmi të drejtë me lartësi 0 cm.njehso vëllimin dhe syprinën e prizmit. Përgjigje : Caktojmë syprinën e bazës rombit S B d 1 d 4 10 S B S B 10 cm Caktojmë vëllimin V S B H V 10 0 V 400 cm 3 9. Prizmi i rregullt katërkëndor e ka syprinën S 448 dm dhe sipërfaqen e syprinën anësore M 30 dm. Njehso vëllimin e prizmit.
Përgjigje : Caktojmë syprinën e bazës S S B S M 448 S B 30 448 30 S B 18 S B Prizmi i rregullt katërkëndor bazën e ka katror, caktojmë tehun e batës S B a 18 a 18 a 11.3137 a Sipërfaqja anësore e këtij prizmi janë 4 drejtkëndësha të puthitshëm, caktojmë lartësinë S M 4 a H 30 4 11.3137 H 30 45.548 H 30 45.548 H 7.071 H Caktojmë vëllimin e prizmit V S B H V 18 7.071 V 905.088 cm 3 VIII TEMA 4.nb 5 10. Sa është i lartë prizmi i rregullt gjashtëkëndor me tehun e bazës a 6 cm dhe vëllim V 160 cm 3? Përgjigje : Caktojmë syprinën e bazës gjashtëkëndësh i rregullt S B 6 a 3 4 S B 3 a 3 S B 3 6 3 S B 3 36 3 S B 3 18 3 S B 54 3 cm Caktojmë vëllimin e prizmit V S B H 160 54 3 H 160 54 3 H 160 93.5307 H 13.47 H
6 VIII TEMA 4.nb [x] Piramida, syprina e piramidës. 1. Çka quhet piramidë? Përgjigje : Piramida është trup gjeometrik tehorë që për bazë ka një shumëkëndësh kurse për sipërfaqe anësore ka trekëndësha.. Cilët janë elementet themelore të piramidës? Përgjigje : Kulmet, Tehet, Faqet 3. Sa kulme, tehe dhe faqe ka piramida trekëndore? Përgjigje : 4 kulme, 6 tehe, 4 faqe 4. Sa kulme, tehe dhe faqe ka piramida katërkëndore? Përgjigje : 5 kulme, 8 tehe, 5 faqe 5. Sa kulme, tehe dhe faqe ka piramida gjashtëkëndore? Përgjigje : 7 kulme, 1 tehe, 7 faqe 6. Sa kulme, tehe dhe faqe ka piramida njëzet e tre këndore? Përgjigje : 3 1 4 kulme dhe faqe 3 46 tehe 7. Sa kulme, tehe dhe faqe ka piramida tridhjetë e gjashtë këndore? Përgjigje : 36 1 37 kulme dhe faqe 36 7 tehe 8. I cilit lloj është piramida që ka 6 kulme? Përgjigje : Piramida peskëndore 5 1 6 9. I cilit lloj është piramida që ka 10 tehe? Përgjigje : Piramida peskëndore 5 10 tehe 10. Njehëso apotemën e piramidës të rregullt me teh të bazës a 14 cm dhe teh anësor s 5 cm Përgjigje : Apotema dhe tehu i bazës formojnë kënd të drejtë, zbatojmë teoremën e Pitagorës s h a 5 h 14 65 h 7 65 h 49 65 49 h 576 h 576 h 4 h
11. Vizato rrjetën e piramidës së rregullt trekëndore, katërkëndore, peskëndore dhe gjashtkëndore me teh të bazës 5 cm dhe teh s 10 cm Përgjigje : VIII TEMA 4.nb 7 1. Njehso syprinën e piramidës së rregullt katërkëndore me tehun e bazës 14 cm dhe tehun anësor s 5 cm. Përgjigje : S S B S M ku S B është syprina e bazës, dhe S M është syprina e mbështjellësit Caktojmë syprinën e bazës katror S B a S B 14 S B 196 cm Caktojmë apotemën nga baza dhe tehu anësor me teoremën e pitagorës s h a 5 h 14 65 h 49 h 65 49 h 576 h 4 Caktojmë syprinën e mbështjellësit 4 trekëndësha me baz a dhe apotem h S M 4 a h S M 14 4 S M 67 cm Zëvëndësojmë S S B S M S 196 67 S 868 cm 13. Njehso syprinën e piramidës së rregullt katërkëndore me tehun e bazës a 10 cm dhe lartësi H 1 cm.
8 VIII TEMA 4.nb Përgjigje : S S B S M ku S B është syprina e bazës, dhe S M është syprina e mbështjellësit Caktojmë syprinën e bazës katror S B a S B 10 S B 100 cm Caktojmë apotemën duke zbatuar teoremën e pitagorës h H a h 1 10 h 144 5 h 169 h 13 Caktojmë syprinën e mbështjellësit katër trekëndësha S M 4 a h S M 10 13 S M 60 cm Zëvëndësojmë S S B S M S 100 60 S 360 cm 14. Njehso syprinën e tetraedrit të rregullt me teha a 1 cm Përgjigje : Tetraedri i rregullt ka katër faqe të puthitshme S 4 S B Baza e tetraedrit të rregullt është trekëndësh barabrinjës S B a 3 4 Zëvëndësojmë S 4 S B S 4 a 3 S a 3 4 S 1 3 S 144 3 cm 15. Njehso syprinën e piramidës së rregullt katërkëndore me tehun e bazës a 17 cm dhe apotemën h 15 cm.
VIII TEMA 4.nb 9 Përgjigje : S S B S M Caktojmë syprinën e bazës katror S B a S B 17 S B 89 cm Caktojmë syprinën e mbështjellësit katër trekëndësha S M 4 a h S M 17 15 S M 510 cm Zëvëndësojmë S S B S M S 89 510 S 799 cm 16. Njehso syprinën e bazës së piramidës së rregullt katërkëndore me lartësi H 6 dm dhe apotemën h 6.5 dm. Përgjigje : Caktojmë tehun e bazës së piramidës duke zbatuar teoremën e Pitagorës h H a 6.5 6 a 4.5 36 a a 4.5 36 a 6.5 a.5 a.5 a 5 dm Caktojmë syprinën e bazës katror S B a S B 5 S B 5 dm 17. Njehso syprinën e piramidës së rregullt trekëndore me tehun e bazës 6 cm dhe tehun anësor 10 cm.
30 VIII TEMA 4.nb Përgjigje : S S B S M Caktojmë syprinën e bazës trekëndësh barabrinjës S B a 3 4 S B 6 3 4 S B 36 3 4 S B 9 3 cm Caktojmë apotemën nga baza dhe tehu anësore me teoremën e Pitagorës s h a 10 h 6 100 h 9 h 100 9 h 91 h 9.54 Caktojmë syprinën e mbështjellësit tre trekëndësha S M 3 a h S M 3 6 9.54 S M 85.86 cm Zëvëndësojmë S S B S M S 9 3 85.86 S 101.448 cm 18. Njehso syprinën e piramidës së rregullt gjashtëkëndore me tehun e bazës 10 cm dhe apotema 13 cm.
VIII TEMA 4.nb 31 Përgjigje : S S B S M Caktojmë syprinën e bazës gjashtëkëndësh i rregullt S B 6 a 3 4 S B 3 10 3 S B 1.5 100 3 S B 150 3 cm Caktojmë syprinën e mbështjellësit gjashtë trekëndësha S M 6 a h S M 3 10 13 S M 390 cm Zëvëndësojmë S S B S M S 150 3 390 S 649.808 cm 19. Piramida e rregullt katërkëndore me tehun e bazës a 8 cm e ka syprinën 144 cm.njehso lartësinë H të piramidës.
3 VIII TEMA 4.nb Përgjigje : S S B S M Caktojmë syprinën e bazës katror S B a S B 8 S B 64 cm Zëvëndësojmë S S B S M 144 64 S M S M 144 64 S M 80 cm Caktojmë apotemën nga syprina e mbështjellësit katër trekëndësha S M 4 a h 80 8 h h 80 16 h 5 cm Caktojmë lartësinë H me teoremën e Pitagorës h H a 5 H 8 5 H 16 H 5 16 H 9 H 3 cm [xi] Vëllimi i piramidës. 1. Njehso vëllimin e piramidës së rregullt katërkëndore me tehun e bazës a 1 cm dhe lartësi H 0 cm. Përgjigje : V 1 3 S B H Caktojmë syprinën e bazës katror S B a S B 1 S B 144 cm Zëvëndësojmë V 1 3 S B H V 1 144 0 3 V 960 cm 3
. Piramida e Keopsit në Egjypt e ka lartësinë 149 m dhe bazën katror me brinjë 3 m.njehso vëllimin e tijë. VIII TEMA 4.nb 33 Përgjigje : V 1 3 S B H Caktojmë syprinën e bazës katror S B a S B 3 S B 53 84 cm Zëvëndësojmë V 1 3 S B H V 1 53 84 149 3 V 673 58.66 m 3 3. Njehso vëllimin e piramidës me lartësi H 1 cm dhe bazë drejtkëndësh me përmasa a 3 cm dhe b 10 cm. Përgjigje : V 1 3 S B H Caktojmë syprinën e bazës drejtkëndësh S B a b S B 3 10 S B 30 cm Zëvëndësojmë V 1 3 S B H V 1 30 1 3 V 180 cm 3 4. Njehso vëllimin e piramidës së rregullt trekëndore me tehun e bazës 5 cm dhe lartësi 9 cm. Përgjigje : V 1 3 S B H Caktojmë syprinën e bazës trekëndësh barabrinjës S B a 3 4 S B 5 3 4 S B 5 3 4 S B 10.85 cm Zëvëndësojmë V 1 3 S B H V 1 3 10.85 9 V 3.475 cm 3
34 VIII TEMA 4.nb 5. Piramida e rregullt katërkëndore e ka lartësinë 1 cm dhe diagonalen e bazës 8 cm.sa është vëllimi i piramidës? Përgjigje : V 1 3 S B H Caktojmë syprinën e bazës katror d a a d a 8 a 64 a a 64 a 36 S B a S B 36 cm Zëvëndësojmë V 1 3 S B H V 1 36 1 3 V 144 cm 3 6. Një piramidë e rregullt katërkëndore e ka tehun e bazës a 8 cm dhe vëllimin V 576 cm 3. Njehso lartësin e piramidës. Përgjigje : V 1 3 S B H Caktojmë syprinën e bazës katror S B a S B 8 S B 64 cm Zëvëndësojmë V 1 3 S B H 576 1 3 64 H 576 3 64 H 576 3 H 64 7 H 7. Piramida e rregullt katërkëndore e ka bazën B 144 cm dhe lartësi H 40 cm.njehso vëllimin e piramidës.
VIII TEMA 4.nb 35 Përgjigje : V 1 3 S B H Zëvëndësojmë V 1 3 S B H V 1 144 40 3 V 190 cm 3 [xii] Cilindri, syprina dhe vëllimi. 1. Çka është prerja boshtore e cilindrit? Përgjigje : Prerja e cilindrit me një rrafsh i cili kalon nëpër boshtin e cilindrit OO 1 gjatë së cilës fitohet drejtkëndësh quhet prerje boshtore e cilindrit.. Çka është dallimi midis cilindrit të rëndomtë dhe atijë barabrinjës. Përgjigje : Tek cilindri i rëndomtë prerja boshtore është drejtkëndësh, kurse tek cilindri barabrinjës prerja boshtore është katror. 3. Cakto syprinën e prerjes boshtore të cilindrit të rëndomtë me R 5 cm dhe lartësi H 7 cm Përgjigje : Gjërësia është R dmth 5 10 cm Lartësia është H dmth 7 cm S gjërësi lartësi S R H S 5 7 S 70 cm 4. Cakto syprinën e prerjes boshtore të cilindrit barabrinjës me rreze 3 cm. Përgjigje : Prerja boshtore është katror Gjërësia është R dmth 3 6 cm S R S 3 S 6 S 36 cm 5. Prerja boshtore e një cilindri barabrinjës e ka syprinën 100 cm.njehso rrezen dhe lartësinë e cilindrit.
36 VIII TEMA 4.nb Përgjigje : Prerja boshtore është katror Gjërësia është R S R 100 R 100 R 10 R 10 R 5 R H R 10 cm 6. Vizato rrjën e cilindrit të rëndomtë me rreze R 3 cm dhe lartësi H 7 cm, dhe cilindër barabrinjës me rreze R 3 cm. Përgjigje : 7. Shkruaj formulën e përgjithshme për syprinëne cilindrit. Përgjigje : Cilindri ka dy baza dhe një mbështjellës S S B S M Baza është rreth me rreze R S B Π R Mbështjellësi është drejtkëndësh me gjërësi ΠR dhe lartësi H S M Π R H Zëvëndësojmë S S B S M S Π R Π R H S Π R R H 8. Njehso syprinën e cilindrit me rreze R 8 cm dhe lartësi H.5 dm. Përgjigje : Shëndrrojmë lartësinë në centimetra H.5 dm 5 cm Zëvëndësojmë S Π R R H S Π 8 8 5 S Π 16 33 S 58 Π cm 9. Njehso syprinën e cilindrit barabrinjës me rreze R 3 cm.
VIII TEMA 4.nb 37 Përgjigje : Tek cilindri barabrinjës H R 3 6 cm Zëvëndësojmë S Π R R H S Π 3 3 6 S Π 6 9 S 54 Π cm 10. Shkruaj formulën e përgjithshme për vëllimin e cilindrit. Përgjigje : Njëlloj si tek prizmi V S B H në rastin tonë baza është rreth S B ΠR Zëvëndësojmë V Π R H 11. Njehso vëllimin e cilindrit me rreze R 10 cm dhe lartësi H 15 cm. Përgjigje : Zëvëndësojmë V Π R H V Π 10 15 V Π 100 15 V 1500 Π cm 3 1. Njehso vëllimin e cilindrit barabrinjës me rreze R 3 cm. Përgjigje : Tek cilindri barabrinjës H R 3 6 cm Zëvëndësojmë V Π 3 6 V Π 9 6 V 54 Π cm 3 13. Njehso S dhe V të cilindrit me lartësi H 15 cm dhe rreze R 1. dm Përgjigje : Shëndrrojmë në centimetra R 1. dm 1 cm Zëvëndësojmë S Π R R H S Π 1 1 15 S Π 4 7 S 648 Π cm Zëvëndësojmë V Π R H V Π 1 15 V Π 144 15 V 160 Π cm 3 14. Cilindri barabrinjës e ka syprinën 1350 Π cm. Cakto vëllimin e tij.
38 VIII TEMA 4.nb Përgjigje : Tek cilindri barabrinjës H R Zëvëndësojmë S Π R R H S Π R R R S Π R 3 R S Π 3 R S 6 Π R 1350 Π 6 Π R thjeshtojmë Π nga të dy anët 1350 6 R 1350 R 6 5 R 5 R 15 R H R 15 30 Zëvëndësojmë V Π R H V Π 30 15 V Π 900 15 V 13 500 Π cm 3 15. Diagonalet e prerjes boshtore të një cilindri, që është i lartë 8 cm, është i barabartë me 10 cm.njehso S dhe V të cilindrit.
VIII TEMA 4.nb 39 Përgjigje : Prerja boshtore është drejtkëndësh me diagonale d 10 cm dhe lartësi H 8 cm. Zbatojmë teoremën e pitagorës d R H 10 R 8 100 R 64 100 64 R 36 R 36 R 6 R 6 R 3 R Zëvëndësojmë S Π R R H S Π 3 3 8 S Π 6 11 S 66 Π cm Zëvëndësojmë V Π R H V Π 3 8 V Π 9 8 V 7 Π cm 3 16. Cakto lartësinë e cilindrit, rrezja e të cilit është 5 cm, kurse vëllimi është V 1570 cm Përgjigje : Zëvëndësojmë V Π R H 1570 3.14 5 H 1570 3.14 5 H 1570 78.5 H 1570 78.5 H 0 H [xiii] Koni, syprina dhe vëllimi. 1. Çka është koni?
40 VIII TEMA 4.nb Përgjigje : Koni është trup gjeometrik rrotullues që fitohet nga një vijë e drejtë që kalon tek çdo pikë e vijës rrethore bazës dhe që kalon nëpër një pikë tjetër hapsinore S.. Cilët janë elementet e konit? Përgjigje : Vija rrethore është baza, kurse sipërfaqja konike është mbështjellësi segmenti SO është boshti i konit lartësia segmenti ST s është teh anësor i mbështjellësit gjeneratris 3. Tek koni i drejtë, si është lidhja midis boshtit H, rrezes R dhe tehut të mbështjellësit s? Përgjigje : boshti dhe rrezja formojnë kënd të drejtë, përdorim teoremën e Pitagorës s H R 4. Njehëso lartësinë H të konit me teh anësorë s 5 cm dhe rreze të bazës R 7 cm Përgjigje : Zëvëndësojmë s H R 5 H 7 65 H 49 H 65 49 H 576 H 4 cm 5. Çka është prerja boshtore e konit?
Përgjigje : Prerja e konit me rrafsh i cili kalon nëpër boshtin e konit SO quhet prerje boshtore. Si rezultat fitohet trekëndësh barakrahës. 6. Çka është dallimi midis konit të rëndomtë dhe atijë barabrinjës? Përgjigje : Tek koni barabrinjës prerja boshtore është trekëndësh barabrinjës tehu anësorë është sa diametri i rrethi VIII TEMA 4.nb 41 s R 7. Njehëso syprinën e prerjes boshtore të konit barabrinjës me rreze R 10 cm. Përgjigje : Prerja boshtore e konit barabrinjës është trekëndësh barabrinjës, s R s 10 s 0 cm Caktojmë syprinën S a 3 4 S 0 3 4 S 400 3 4 S 100 3 cm 8. Vizato rrjetën e konit të rëndomtë m rreze R 3 cm dhe teh anësor s 5 cm, dhe rrjetën e konit barabrinjës me rreze R 3 cm. Përgjigje :
4 VIII TEMA 4.nb 9. Vizato rrjetën e konit të rëndomtë m rreze R 5 cm dhe lartësi H 1 cm. Përgjigje : Caktojmë gjatësinë e tehut anësorë s s H R s 5 1 s 5 144 s 169 s 13 cm 10. Shkruaj formulën e përgjithshme për syprinën e konit. Përgjigje : S S B S M S Π R Π R s S Π R R s 11. Cakto syprinën e konit me rreze 5 cm dhe lartësi 1.5 dm.
VIII TEMA 4.nb 43 Përgjigje : caktojmë gjatësinë e tehut anësor s H R s 5 15 s 5 5 s 50 s 5 10 s 5 10 cm ose s 15.8114 cm caktojmë syprinën S Π R R s S 3.14 5 5 15.8114 S 36.73898 cm 1. Cakto syprinën e konit barabrinjës me rreze 6 cm. Përgjigje : s R 6 1 cm Zëvëndësojmë S Π R R s S Π 6 6 1 S Π 6 18 S 108 Π cm Përgjigje : V 1 3 S B H V 1 3 Π R H 14. Cakto vëllimin e konit me rreze 10 cm dhe lartësi 3 dm. Përgjigje : Zëvëndësojmë V 1 3 Π R H V 1 3 Π 10 30 V 10 Π 100 V 1000 Π cm 3 15. Cakto vëllimin e konit barabrinjës me rreze 6 cm.
44 VIII TEMA 4.nb Përgjigje : s R 6 1 cm caktojmë lartësinë s H R 1 H 6 H 144 36 H 108 H 36 3 H 6 3 Zëvëndësojmë V 1 3 Π R H V 1 3 Π 6 6 3 V Π 36 3 V 7 3 Π cm 3 ose V 391.781 cm 3 16. Njehëso diametrin e bazës të konit të mëposhtëm. Përgjigje : Α 360o R s 10 o 360o R 15 10 o 4 o R 10 o 4 o R 5 R d R 5 10 17. Vëllimi i konit me lartësi H 0 cm, është 1500 Π cm 3. Njehso syprinën e konit.
VIII TEMA 4.nb 45 Përgjigje : Zëvëndësojmë V 1 3 Π R H 1500 Π 1 3 Π R 0 thjeshtojmë Π 1500 1 3 R 0 1500 3 R 0 4500 R 0 4500 R 0 5 R 15 R Caktojmë gjatësinë e tehut të mbështjellësit s H R s 15 0 s 5 400 s 65 s 5 Caktojmë syprinën S Π R R s S Π 0 0 5 S 900 Π cm [xiv] Topi, syprina dhe vëllimi. 1. Çka është sferë? Çka është top? Përgjigje : Bashkësia e të gjitha pikave në hapësirë që janë njëllojë të larguara prej një pike të dhënë O formon një sipërfaqe që quhet sferë. Sfera dhe zona e brendshme e sajë formojnë trup gjoemetrik rrotullues që quhet top. Topi fitohet me rrotullimin e një qarku reth diametrit të tijë.. Cilët janë elementet e topit? Përgjigje : Qëndra është pika O, dhe rreze është çdo segment që fillon tek qëndra O dhe mbaron tek ndonjë pikë e sferës p.sh. OA, OB, OC 3. Çka fitohet nëse topin e presim me rrafsh?
46 VIII TEMA 4.nb Përgjigje : Prerja e topit me rrafsh i është rreth, mirpo nëse rrafshi kalon në qëndrën O fitohet rrethi i madh. 4. Shkruaj formulën e përgjithshme për syprinën e topit. Përgjigje : S 4 Π R 5. Shkruaj formulën e përgjithshme për vëllimin e topit. Përgjigje : V 1 3 Π R3 6. Njehëso syprinën dhe vëllimin e topit me rreze 5 cm. Përgjigje : Zëvëndësojmë S 4 Π R S 4 Π 5 S 4 Π 5 S 100 Π cm Zëvëndësojmë V 1 3 Π R3 V 1 3 Π 53 V 1 3 Π 15 V 41.667 Π cm 3 7. Njehëso syprinën dhe vëllimin e topit nëse dihet se qarku i tijë më i madhë ka syprinë S 86 cm.
Përgjigje : Caktojmë rrezen S Π R 86 3.14 R 86 3.14 R 900 R 900 R 30 R Zëvëndësojmë S 4 Π R S 4 Π 30 S 4 Π 900 S 3600 Π cm Zëvëndësojmë VIII TEMA 4.nb 47 V 1 3 Π R3 V 1 3 Π 303 V 1 Π 7 000 3 V 9000 Π cm 3 8. Njehso syprinën S dhe vëllimin V e topit, në qoftë se diametri i tij është 1 cm Përgjigje : d R 1 R R 1 : R 6 cm Zëvëndësojmë S 4 Π R S 4 Π 6 S 4 Π 36 S 144 Π cm Zëvëndësojmë V 1 3 Π R3 V 1 3 Π 63 V 1 3 Π 16 V 7 Π cm 3 9. Njehëso syprinën dhe vëllimin e topit nëse dihet se rrethi i tijë më i madhë ka syprinë S 314 cm.
48 VIII TEMA 4.nb Përgjigje : Caktojmë rrezen S Π R 314 3.14 R 314 3.14 R 100 R 100 R 10 R Zëvëndësojmë S 4 Π R S 4 Π 10 S 4 Π 100 S 400 Π cm Zëvëndësojmë V 1 3 Π R3 V 1 3 Π 103 V 1 3 Π 1000 V 333.33 Π cm 3 [xv] Gjasa(Probabiliteti). 1. Sa është gjasa që shigjeta të bie në numrin 4 për lojën e mëposhtme? Përgjigje : Rrotulla ka gjitshej 6 fusha, numri 4 është vetëm njëra prej tyre p A 1 6 0.1667 16.67. Sa është gjasa që shigjeta të bie në numrin ose 3 për lojën tek detyra 1? Përgjigje : Rrotulla ka 6 fusha, ose 3 janë dy fusha p A 6 0.3333 33.33 3. Sa është gjasa që shigjeta të bie në numrin 1, ose 5 për lojën tek detyra 1? Përgjigje : Rrotulla ka 6 fusha, 1, ose 5 janë tre fusha p A 3 6 0.5 50 4. Sa është gjasa që shigjeta të bie në numrin 7 për lojën tek detyra 1?
VIII TEMA 4.nb 49 Përgjigje : Rrotulla ka 6 fusha, mirpo asnjë fushë nuk është me numër 7 p A 0 6 0 dmth kjo ngjarje është e pamundhsme 5. Janë dhën 10 letra me shkronjat e mëposhtme : Nëse Liridoni tërhqe njërën prej tyre pa shikuar, sa është gjasa që letra të jetë : a shkronja M, b shkronja A, c shkronja T ose K Përgjigje : a gjithsej 10 letra, kurse vetëm prej tyre janë M p A 0. 0 10 b gjithsej 10 letra, kurse vetëm 3 prej tyre janë A p A 3 0.3 30 10 c gjithsej 10 letra, kurse T ose K janë 3 prej tyre p A 3 0.3 30 10 6. Për lojën e dhënë sa është gjasa që shigjeta të bie në : a 5 ose 6, b numër çift, c numër tek, d numër më të madh se 7 Përgjigje : a loja ka 10 fusha, 5 ose 6 janë vetëm prej tyre p A 0. 0 10 b loja ka 10 fusha, çift janë 5 prej tyre, 4, 6, 8, 10 p A 5 0.5 50 10 c loja ka 10 fusha, tek janë 5 prej tyre 1, 3, 5, 7, 9 p A 5 0.5 50 10 d loja ka 10 fusha, më të mëdha se 7 janë 3 prej tyre 8, 9, 10 p A 3 0.3 30 10 7. Nëse hidhet zar me numra prej 1 deri 6, sa është gjasa për rastin : a numër prej 1 deri 6, b numri 7, c numër tek d numri 3 ose 4, e numri 3 dhe 4, Përgjigje : a zari gjithsej ka 6 faqe, 1 deri 6 janë 6 prej tyre p A 6 6 1 100 kjo ngjarje ndodh përher