4. Răspsl seismic al sistemelor c sigr grad de libertate diamică 4. Răspsl seismic al sistemelor c sigr grad de libertate diamică 4.1. Mişcarea seismică Reprezetarea cea mai zală a mişcării seismice î aplicaţiile igiereşti foloseşte variaţia î timp a acceleraţiei tereli ( t) şi se meşte accelerogramă. Dacă se cosc proprietăţile i sistem SGLD g (masa m, rigiditatea k şi coeficietl de amortizare c), precm şi cele ale mişcării seismice (îregistrarea acceleraţiei tereli ( t) ), se poate determia deplasarea relativă ( t ), viteza relativă ( t) şi acceleraţia g relativă ( t) a sistemli SGLD, rezolvâd ecaţia de mişcare: m + c + k = m g (4.1) Îregistrarea mişcării seismice se face c ajtorl accelerometrelor, fiecare îregistrare coţiâd trei compoete (doă orizotale şi a verticală). Î cele mai mlte cazri mişcarea seismică îregistrată c ajtorl accelerometrelor se prespe a fi idepedetă de răspsl strctrii. Această ipoteză este valabilă mai petr tereri rigide. Î cazl or tereri flexibile, mişcarea seismică poate fi afectată de iteracţiea tere-strctră. Di acelaşi motiv (elimiarea ifleţei strctrii aspra mişcării seismice), accelerometrele folosite petr îregistrarea şi caracterizarea mişcării seismice trebie să fie amplasate î câmp liber, la o distaţă rezoabilă de costrcţiile existete. Î Figra 4.1 st prezetate câteva accelerograme ale or eveimete seismice, la aceeaşi scară a timpli şi acceleraţiei. Se pot observa difereţe semificative ale amplitdiii, dratei şi aspectli geeral al accelerogramelor. El Cetro 1940, Imperial Valley, S00E Loma Prieta 1989, Corralitos, 090 Parkfield 1966, Cholame #2, 065 Erzica 1992, Meteorological Statio, FN Sa Ferado 1971, Pacoima Dam, N76W Northridge 1994, Sylmar, 360 Vracea 1977, INCERC, NS Wester Washigto 1949, Olympia, 086 Figra 4.1. Câteva accelerograme ale or ctremre (dpă Chopra, 2001). Accelerogramele st defiite de valori merice îregistrate la itervale de timp discrete. Î cele mai mlte cazri acest iterval este de 0.02 sa 0.01 secde. Î Figra 4.2 este prezetată accelerograma compoetei ord-sd a îregistrării seismice de la El Cetro, Califoria, obţită î timpl ctremrli Imperial Valley di 18 mai 1940. Variaţiile î timp a vitezei şi deplasării tereli a fost obţite pri itegrarea acceleraţiei. 49
Diamica Strctrilor şi Igierie Seismică. [v.2014] http://www.ct.pt.ro/sers/arelstrata/ Figra 4.2. Compoeta ord-sd a îregistrării seismice de la El Cetro, Califoria, obţită î timpl ctremrli Imperial Valley di 18 mai 1940 (Chopra, 2001). 4.2. Determiarea răspsli seismic Împărţid ecaţia (4.1) c m se obţie: + + = (4.2) 2 2ξω ω g De aici reiese că deplasarea i sistem SGLD sb acţiea mişcării seismice depide doar de plsaţia proprie de vibraţie ω (sa de perioada proprie de vibraţie T ) şi de fracţiea di amortizarea critică ξ, şi se t, T, ξ. Astfel, oricare doă sisteme SGLD c aceleaşi valori T şi ξ vor avea acelaşi poate scrie ( ) răsps î deplasare, chiar dacă acestea a mase şi rigidităţi diferite. Deoarece îregistrările seismice st defiite la itervale de timp discrete şi st foarte ereglate, acestea pot fi exprimate aalitic. De aceea, rezolvarea ecaţiei de mişcare se face pri metode merice (metoda difereţelor cetrale, metoda Newmark, etc.). Î Figra 4.3a este prezetat răspsl î deplasare a trei sisteme SGLD avâd aceeaşi amortizare dar perioade proprii de vibraţie diferite, sb acţiea mişcării El Cetro. Se poate observa că timpl ecesar efectării ei oscilaţii complete este apropiat de perioada proprie de vibraţie T. Acest feome este adevărat doar î cazl mişcărilor seismice c o badă largă de frecveţe. Di aceeaşi figră se poate observa creşterea deplasării de vârf odată c creşterea perioadei proprii de vibraţie. Î Figra 4.3b este prezetat răspsl î deplasare a trei sisteme SGLD avâd aceeaşi perioadă proprie de vibraţie, dar amortizări diferite, sb acţiea aceleiaşi îregistrări seismice. Deoarece cele trei sisteme a aceeaşi perioadă proprie de vibraţie, alra deformaţiilor este similară de la sistem la altl, valorile de vârf îregistrâd-se la aproximativ acelaşi perioade de timp. Pe de altă parte, valorile mai mari ale amortizării codc la deformaţii mai mici. 50
4. Răspsl seismic al sistemelor c sigr grad de libertate diamică Figra 4.3. Răspsl î deplasare al or sisteme SGLD sb acţiea mişcării El Cetro. 4.3. Spectre de răsps elastic Noţiea de spectr de răsps a fost itrodsă î 1932 de către M. A. Biot, aceasta fiid î zile oastre cocept cetral î igieria seismică. Spectrele de răsps reprezită o metodă coveabilă de sitetizare a răspsli seismic al or sisteme SGLD sb acţiea ei îregistrări seismice date. U spectr de răsps este reprezetarea valorilor de vârf ale răspsli seismic (î termei de deplasare, viteză, acceleraţie, etc.) al i sistem SGLD fcţie de perioada proprie de vibraţie T (fie plsaţia sa frecveţa de vibraţie proprie), petr o valoare fixă a fracţiii di amortizare critică ξ. Î domeil igieriei civile spectrele st costrite î geeral folosid perioada proprie de vibraţie ca şi abscisă, aceasta avâd o semificaţie ititivă. Spectrele de răsps elastic caracterizează sistemele SGLD elastice. Matematic, spectrele de răsps elastic ale deplasării, vitezei relative şi acceleraţiei totale se pot exprima, respectiv, pri: 4.3.1. Spectrl de răsps elastic al deplasării ( ξ ) ( ξ ) 0 T, = max t, T, (4.3) t ( ξ ) = ( ξ ) 0 T, max t, T, (4.4) t t ( ξ ) = ( ξ ) t 0 T, max t, T, (4.5) t Î Figra 4.4 este ilstrat modl de costrire a i spectr de răsps elastic al deplasării petr îregistrarea seismică El Cetro (Figra 4.4a). Deplasarea or sisteme SGLD elastice sb acţiea acestei mişcări seismice este prezetată î Figra 4.4b. Petr fiecare sistem, se determiă răspsl de vârf al deplasării D 0, care este reprezetat fcţie de perioada proprie de vibraţie corespzătoare î Figra 4.4c petr a obţie spectrl de răsps al deplasării. 51
Diamica Strctrilor şi Igierie Seismică. [v.2014] http://www.ct.pt.ro/sers/arelstrata/ Figra 4.4. Ilstrarea costririi i spectr de răsps al deplasării: îregistrarea seismică (a), deplasarea or sisteme SGLD c T diferite (b) şi spectrl de răsps al deplasării (c), Chopra, 2001. Spectrl de deplasare este foarte importat, deoarece pe baza deformaţiilor i sistem SGLD se pot determia efortrile idse î strctră (vezi secţiea 2.1.6). 4.3.2. Spectrl de răsps elastic al psedo-vitezei Psedo-viteza relativă spectrală, sa, mai simpl, psedo-viteza spectrală este otată c V şi este dată de expresia: 2π V = ωd = D (4.6) T de T reprezită perioada proprie de vibraţie a i sistem SGLD, iar D este deplasarea spectrală a acestia. Psedo-viteza V are ităţi de viteză, dar are prefixl "psedo" petr că este egală c viteza relativă maximă 0 a sistemli SGLD. Psedo-viteza V este î relaţie directă c valoarea de vârf a eergiei de deformaţie E S0, pri relaţia: 2 mv E S 0 = (4.7) 2 Această relaţie se poate obţie pe baza defiiţiei eergiei de deformaţie şi a relaţiei (4.6): E S 0 ( ω ) 2 k kd k V mv = = = = 2 2 2 2 2 2 2 0 Spectrl de psedo-viteză se poate obţie direct di spectrl de deplasare folosid relaţia (4.6). Î Figra 4.5b este prezetat spectrl de psedo-viteză petr îregistrarea El Cetro. 52
4. Răspsl seismic al sistemelor c sigr grad de libertate diamică 4.3.3. Spectrl de răsps elastic al psedo-acceleraţiei Coscâd deformaţia de vârf a i sistem SGLD, efortrile de vârf pot fi determiate pe baza coceptli de forţă statică echivaletă, disctate î secţiea 2.1.6: f = k (4.8) S 0 0 de k este rigiditatea sistemli SGLD. Porid de la defiiţia plsaţiei ( ω = k m 2 expresia mω obţiem: de 2 S 0 0 ) şi îlocid k c f = mω = ma (4.9) 2 2 2π A = ω0 = ω D = D T 2 (4.10) Mărimea A se meşte psedo-acceleraţie spectrală, are ităţi de acceleraţie, dar este diferită de acceleraţia t de vârf 0 a sistemli SGLD. Spectrl de psedo-acceleraţie se poate obţie direct di spectrl de deplasare folosid relaţia (4.10). Î Figra 4.5c este prezetat spectrl de psedo-acceleraţie petr îregistrarea El Cetro. Figra 4.5. Spectre de răsps petr îregistrarea El Cetro: spectrl de deplasare (a), spectrl de psedoviteză (b) şi spectrl de psedo-acceleraţie (c), Chopra, 2001. 53
Diamica Strctrilor şi Igierie Seismică. [v.2014] http://www.ct.pt.ro/sers/arelstrata/ 4.3.4. Spectrl combiat D-V-A Spectrele de deplasare, psedo-viteză şi psedo-acceleraţie reprezetă trei modalităţi diferite de prezetare a aceleiaşi iformaţii. Coscâd l di aceste spectre, celelalte doă se pot determia direct pe baza ecaţiilor (4.6) şi (4.10). Cele trei spectre st tile îsă, petr că fiecare are o semificaţie fizică distictă. Astfel, spectrl de deplasare idică deformaţia de vârf a sistemli SGLD, spectrl de psedo-viteză este î relaţie directă c valoarea de vârf a eergiei de deformaţie a sistemli SGLD, iar pe baza spectrli de psedo-acceleraţie se poate obţie forţa statică echivaletă care acţioează aspra i sistem SGLD sps acţiii seismice. Ecaţiile (4.6) şi (4.10) pot fi scrise sb rmătoarea formă: Aplicâd logaritml zecimal relaţiei ( 2 ) A T 2π = V = ω D sa A = V = D (4.11) ω 2π T T π A = V, aceasta poate fi scrisă sb forma lgt + lg A lg 2π = lgv. Reprezetată la scară logaritmică (c lgt pe abscisă şi lgv pe ordoată), ecaţia precedetă reprezită o dreaptă îcliată la +45 petr o valoare costată lg A lg 2π. Î mod similar, ecaţia ( 2π ) V = T D reprezetată pe o scară logaritmică reprezită o dreaptă îcliată la -45 petr o valoare costată lg D + lg 2π. Î Figra 4.6 este prezetat spectrl de răsps D-V-A combiat petr îregistrarea El Cetro şi o fracţie di amortizarea critică ξ=2%. Această reprezetare mai este cosctă sb demirea de grafic tripartit logaritmic şi a fost dezvoltată î 1960 de către Veletsos şi Newmark. Ditr- spectr de răsps combiat D-V-A se pot determia petr orice perioadă proprie de vibraţie T a i sistem SGLD: psedo-viteza spectrală V (de pe axa verticală), deplasarea de vârf D (de pe axa îcliată la +45 ) şi psedo-acceleraţia spectrală A (axa îcliată la -45 ). Spectrele de răsps pot fi calclate şi reprezetate petr câteva valori ale fracţiii di amortizarea critică, petr a acoperi o gamă largă de strctri igiereşti. Figra 4.6. Spectrl de răsps D-V-A combiat petr îregistrarea El Cetro, ξ = 2% (Chopra, 2001). 54
4. Răspsl seismic al sistemelor c sigr grad de libertate diamică 4.3.5. Spectre de viteză şi acceleraţie Spectrele de răsps elastic al vitezei şi acceleraţiei se pot obţie coform relaţiilor (4.4) şi (4.5). Stdierea acestor spectre prezită iteres practic, deoarece deplasările şi efortrile maxime di strctră pot fi determiate fără acestea. Î geeral spectrele de viteză şi de psedo-viteză st apropiate ca formă şi alră, valorile celor doă spectre fiid foarte apropiate petr amortizări mici î domeil de perioade medii. Spectrele de acceleraţie şi de psedo-acceleraţie st idetice î lipsa amortizării (ξ=0), dar diferă petr valori ale amortizării diferite de zero. Difereţa ditre cele doă spectre creşte c amortizarea şi este maximă î domeil perioadelor lgi. Psedo-acceleraţia este îtotdeaa mai mică decât acceleraţia spectrală. Acest fapt se poate demostra pe baza observaţiei că prodsl ma reprezită forţa elastică maximă t dezvoltată î sistem sb efectl acţiii seismice. Spre deosebire de aceasta, m 0 reprezită sma forţei elastice şi a celei de amortizare. 4.4. Caracteristicile spectrelor de răsps elastic Î Figra 4.7 st prezetate spectre de răsps petr îregistrarea El Cetro, ormalizate la valorile de vârf ale deplasării tereli, vitezei tereli şi acceleraţiei tereli. Î Figra 4.8 este prezetat spectrl de răsps ormalizat petr o fracţie di amortizarea critică ξ=5%, împreă c o idealizare a acestia (reprezetată c liie îtrerptă). Vom discta proprietăţile spectrli de răsps petr diferite domeii ale perioadei proprii de vibraţie, separate de valorile T a =0.035 sec, T b =0.125 sec, T c =0.5 sec, T d =3.0 sec, T e =10 sec, T f =15 sec. Figra 4.7. Spectre de răsps ormalizate petr îregistrarea El Cetro, petr trei valori ale fracţiii di amortizarea critică: ξ = 0, 2, 5 şi 10% (Chopra, 2001). 55
Diamica Strctrilor şi Igierie Seismică. [v.2014] http://www.ct.pt.ro/sers/arelstrata/ Figra 4.8. Spectr de răsps ormalizat petr îregistrarea El Cetro ξ = 5% (liie cotiă) şi reprezetarea idealizată (liie îtrerptă), Chopra, 2001. Petr strctri c perioada proprie de vibraţie mică (T <T a ), valoarea de vârf a psedo-acceleraţiei A este apropiată de acceleraţia de vârf a tereli, iar deplasarea spectrală D este mică. Iterpretarea fizică a acesti feome costă î faptl că sistem c perioada proprie de vibraţie mică este foarte rigid, sisteml deformâd-se foarte pţi, mişcarea acestia fiid î eseţă idetică c mişcarea tereli (vezi Figra 4.9a). Astfel, acceleraţia de vârf totală a acesti sistem este apropiată de acceleraţia de vârf a tereli. Petr strctri c perioada proprie de vibraţie mare (T >T f ), valoarea de vârf a deplasării D este apropiată de deplasarea de vârf a tereli, iar psedo-acceleraţia spectrală A este mică. Iterpretarea fizică a acesti feome costă î faptl că sistem c perioada proprie de vibraţie mare este foarte flexibil, terel deplasâd-se sb masa care rămâe fixă (vezi Figra 4.9b). Astfel, deformaţia de vârf a acesti sistem este apropiată de deplasarea de vârf a tereli. (a) (b) Figra 4.9. Deformaţia i sistem foarte rigid (a) şi a i sistem foarte flexibil (b). 56
4. Răspsl seismic al sistemelor c sigr grad de libertate diamică Petr strctri c perioada proprie de vibraţie mică, cprisă ître T a şi T c, psedo-acceleraţia spectrală A depăşeşte acceleraţia de vârf a tereli c valori care depid de T şi ξ. Pe porţiea ditre T b şi T c psedo-acceleraţia spectrală A poate fi cosiderată costată. Petr strctri c perioada proprie de vibraţie mare, cprisă ître T d şi T f, deplasarea spectrală D depăşeşte deplasarea de vârf a tereli c valori care depid de T şi ξ. Pe porţiea ditre T d şi T e deplasarea spectrală D poate fi cosiderată costată. Petr strctri c perioada proprie de vibraţie itermediară, cprisă ître T b şi T c, psedo-viteza spectrală V depăşeşte viteza de vârf a tereli c valori care depid de T şi ξ şi poate fi cosiderată costată. Pe baza observaţiilor aterioare, spectrl de răsps poate fi împărţit î trei domeii. Domeil de perioade lgi (T >T d ) se meşte domei de răsps sesibil la deplasare, răspsl strctrii î acest domei de perioade fiid î strâsă legătră c deplasarea tereli. Domeil de perioade scrte (T <T c ) se meşte domei de răsps sesibil la acceleraţie, răspsl strctrii î acest domei fiid corelat c acceleraţia tereli. Domeil de perioade itermediare, (T c <T <T d ) se meşte domei de răsps sesibil la viteză, răspsl strctrii î acest domei fiid cel mai bie corelat c viteza tereli. Aceste observaţii st evidete î cazl reprezetării tripartite a spectrelor de răsps, dar ar fi fost mai gre de evideţiat di reprezetarea idividală a celor trei spectre de răsps (D, V, A). Există mai mlte metode de determiare a perioadelor T a, T b, T c, T d, T e, T f. De otat faptl că valorile acestor perioade care stabilesc domeiile de deplasare costată, viteză costată şi acceleraţie costată st ice, şi pot varia cosiderabil de la o îregistrare seismică la alta. Acelaşi lcr este valabil şi petr factorii de amplificare a mişcării seismice D /, V /, A/. Amortizarea are ca efect redcerea deplasării, psedo-vitezei şi psedo-acceleraţiei spectrale (vezi Figra 4.7). Petr o amortizare egală c zero spectrl de răsps este marcat de variaţii brşte petr variaţii mici ale perioadei proprii de vibraţie a strctrii. Odată c creşterea amortizării, răspsl strctrii este mlt mai pţi sesibil la variaţia perioadei proprii de vibraţie a strctrii. Efectl amortizării este miim petr T 0 şi T, dar este importat petr T b < T < T d, efectl maxim fiid observat î domeil de viteză spectrală costată. 4.5. Spectre elastice de proiectare Spectrele de răsps determiate petr mişcări seismice care a avt loc î trect st, î geeral, folosite petr proiectarea costrcţiilor. Acest fapt are la bază câteva cosiderete. Î priml râd, spectrl de răsps al ei îregistrări idividale este extrem de accidetat, o variaţie mică a perioadei proprii de vibraţie a strctrii rezltâd î valori foarte diferite ale psedo-acceleraţiei şi, î coseciţă, a forţelor seismice de calcl. Î cel de-al doilea râd, spectrele de răsps îregistrate îtr- amplasamet dat variază cosiderabil de la ctremr de pămât la altl, dpă cm se poate observa di Figra 4.10. N î ltiml râd, există mlte teritorii petr care st dispoibile îregistrări seismice. De aceea, spectrele elastice de proiectare, pe baza cărora se determiă forţele seismice care acţioează aspra ei strctri, st alcătite di liii drepte sa di crbe etede. Spectrele elastice de proiectare trebie să fie reprezetative petr mişcările seismice îregistrate î amplasamet î timpl or eveimete seismice aterioare. Î cazl î care există îregistrări seismice aterioare, se pot folosi îregistrări existete petr alte amplasamete c codiţii similare. Factorii care trebie cosideraţi petr a obţie "codiţii similare" icld magitdiea ctremrli, distaţa de la falie la amplasamet, strctra geologică traversată de dele seismice şi codiţiile locale ale tereli di amplasamet. Spectrl elastic de proiectare se bazează pe aaliza statistică a i set de îregistrări seismice i t, căreia îi corespd valorile de reprezetative petr amplasamet dat. Îregistrarea i este otată c ( ) i i i vârf ale deplasării, vitezei şi acceleraţiei tereli,,. Fiecare accelerogramă este apoi ormalizată la valoarea de vârf a acceleraţiei tereli, petr a avea aceeaşi valoare de vârf a acceleraţiei tereli (pot fi folosite şi alte criterii de ormalizare). Dpă ce se calclează spectrele de răsps petr fiecare îregistrare seismică, petr fiecare valoare a perioadei proprii de vibraţie T vor exista valori ale 57 g
Diamica Strctrilor şi Igierie Seismică. [v.2014] http://www.ct.pt.ro/sers/arelstrata/ deplasării D i, psedo-vitezei V i şi psedo-acceleraţiei spectrale A i (i=1 ). O astfel de iterpretare a datelor petr =10 accelerograme este prezetată î Figra 4.11. Aaliza statistică oferă valoarea medie şi media pls o abatere stadard petr fiecare valoare a perioadei T. Spectrl obţit di valorile medii ale ordoatelor spectrale este mlt mai eted decât spectrele idividale. Aceeaşi coclzie este valabilă şi î cazl spectrli medi pls o abatere stadard. Î coseciţă, idealizarea acestor spectre pri liii drepte este mlt mai şoară decât cea a i sigr spectr. Figra 4.10. Spectre de răsps ormalizate ale psedo-acceleraţiei petr eveimete seismice (18 mai 1940, 9 febrarie 1956 şi 8 aprilie 1968) îregistrate î acelaşi amplasamet (El Cetro); ξ=2%, Chopra, 2001. Există procedri pri care se pot determia valorile perioadelor caracteristice T a, T b, T e şi T f, precm şi a factorilor de amplificare diamică petr psedo-acceleraţie α A = A, psedo-viteză α V = V şi deplasare α D = D g 0. Petr setl de accelerograme îregistrate î Califoria pe amplasamete c tere rigid, Newmark şi Hall a props rmătoarele valori costate ale perioadelor caracteristice: T a =1/33 sec, T b =1/8 sec, T e =10 sec, şi T f =33 sec. Perioadele T c şi T d se pot determia di itersecţia dreptelor de deplasare, psedo-viteză şi psedo-acceleraţie costată. Valorile factorilor de amplificare diamică petr spectrl medi al aceliaşi set de îregistrări a fost: α A = 2.12, α V = 1.65, α D = 1.39 (vezi Tabell 4.1). Tabell 4.1. Factori de amplificare diamică petr spectre elastice de proiectare (Chopra, 2001, pe baza Newmark şi Hall, 1982). amortizarea, valori medii valori medii pls o abatere stadard ξ (%) α A α V α D α A α V α D 1 3.21 2.31 1.82 4.38 3.38 2.73 2 2.74 2.03 1.63 3.66 2.92 2.42 5 2.12 1.65 1.39 2.71 2.30 2.01 10 1.64 1.37 1.20 1.99 1.84 1.69 20 1.17 1.08 1.01 1.26 1.37 1.38 58
4. Răspsl seismic al sistemelor c sigr grad de libertate diamică Figra 4.11. Media şi media pls o abatere stadard a spectrelor de răsps, c distribţiile probabilistice petr V la valori ale T =0.25, 1.0, 4 sec.; ξ=5% (Chopra, 2001, pe baza Newmark şi Hall, 1982). Procedra de costrire a i spectr de proiectare tripartit este exemplificată î Figra 4.12 şi costă di rmătoarele etape: se reprezită grafic cele trei liii pctate corespzătoare valorilor de vârf ale acceleraţiei tereli, vitezei tereli şi deplasării tereli. se obţi valorile factorilor de amplificare diamică α A, α V, α D di Tabell 4.1 petr amortizarea dată ξ se mltiplică acceleraţia de vârf a tereli c factorl de amplificare α A petr a obţie liia b-c reprezetâd domeil de psedo-acceleraţie spectrală costată se mltiplică viteza de vârf a tereli c factorl de amplificare α V petr a obţie liia c-d reprezetâd domeil de psedo-viteză spectrală costată se mltiplică deplasarea de vârf a tereli c factorl de amplificare α D petr a obţie liia d-e reprezetâd domeil de deplasare spectrală costată se trasează liiile A = petr perioade mai mici de T a şi D = petr perioade mai mari de T f se completează graficl c liiile de traziţie a-b şi e-f 59
Diamica Strctrilor şi Igierie Seismică. [v.2014] http://www.ct.pt.ro/sers/arelstrata/ Figra 4.12. Costrirea spectrli elastic de proiectare (Chopra, 2001). 4.6. Răspsl ielastic al sistemelor SGLD 4.6.1. Itrodcere Coform ormelor modere de proiectare seismică a costrcţiilor, majoritatea strctrilor st proiectate petr forţe seismice iferioare celor care ar asigra răsps elastic î timpl i ctremr major. Această abordare are la bază doă raţii: strctrile proiectate să răspdă î domeil elastic sb efectl acţiii seismice de proiectare st î geeral eecoomice î trect, strctrile proiectate petr forţe mai mici decât cele care ar fi asigrat răsps elastic, a spraveţit or ctremre majore f S f S f S a b c d f S a f S b m c d Figra 4.13. Relaţie tipică forţă-deplasare a ei strctri şi comportarea acesteia la diverse valori ale deplasării laterale. Astfel, majoritatea strctrilor vor sferi deformaţii ielastice sb acţiea i ctremr major. De aceea, este importată îţelegerea comportării seismice a sistemelor ielastice. Î geeral, o strctră va avea o comportare liiar-elastică la deplasări mici (Figra 4.13-a). Odată c creşterea deplasărilor, strctra va itra î crgere (Figra 4.13-b), iar relaţia forţă-deplasare va devia de la comportarea liiar-elastică, sferid o degradare progresivă a rigidităţii. Această comportare cotiă pâă la atigerea forţei maxime capabile a sistemli (Figra 4.13-c), dpă care forţa îcepe să scadă odată c creşterea lterioară a deplasărilor. Atci câd forţa îregistrează o redcere importată faţă de forţa maximă (Figra 4.13-d), se poate cosidera că 60
4. Răspsl seismic al sistemelor c sigr grad de libertate diamică strctra şi-a epizat capacitatea de deformare î domeil ielastic, ajgâd la cedare. Deplasarea corespzătoare cedării strctrii se meşte deplasarea maximă m. Î Figra 4.14a este reprezetată c liie pliă o relaţie forţă-deplasare tipică a ei strctri. Petr a simplifica relaţia forţă-deplasare reală, se adoptă adeseori o idealizare elasto-plastică a acesteia, reprezetată c liie îtrerptă î Figra 4.14a. U sistem elasto-plastic are o comportare liiar-elastică c rigiditatea k pâă la atigerea forţei de crgere f y la deplasarea de crgere y, dpă care strctra se deformează la o forţă costată f y (rigiditatea egală c zero). Există mai mlte metode de obţiere a crbei idealizate porid de la cea reală. Ua ditre aceste modalităţi se bazează pe egalarea ariilor sb crba reală şi cea idealizată. U sistem elasto-plastic acţioat de o mişcare seismică va avea o comportare ciclică, reprezetată schematic î Figra 4.14b. Petr a îţelege răspsl seismic al i sistem SGLD elasto-plastic, este tilă comparaţia acestia c răspsl i sistem corespzător elastic. Acest sistem are aceeaşi rigiditate iiţială c cea a sistemli elasto-plastic, precm şi aceeaşi amortizare şi masă (vezi Figra 4.15). Î coseciţă, cele doă sisteme vor avea aceeaşi perioadă proprie de vibraţie (doar petr deformaţii mici, perioada proprie de vibraţie a sistemli ielastic efiid defiită dpă crgere). f S f y k 1 real idealizat y (a) m Figra 4.14. Relaţia forţă-deplasare petr sistem ielastic: comportarea reală şi idealizarea acesteia (a); relaţia forţă-deplasare ciclică petr sistem elasto-plastic (b), Chopra, 2001. (b) Figra 4.15. U sistem elasto-plastic şi sisteml elastic corespzător (Chopra, 2001). Petr a caracterizarea răspsl ielastic pot fi itrodse doă oţii oi: factorl de redcere al forţei de crgere R y, şi factorl de dctilitate µ: 61
Diamica Strctrilor şi Igierie Seismică. [v.2014] http://www.ct.pt.ro/sers/arelstrata/ R f = 0 0 y f = y (4.12) y m µ = (4.13) de f 0 şi 0 st valorile de vârf ale forţei şi deplasării sistemli elastic corespzător. Mărimea f 0 poate fi iterpretată ca fiid valoarea miimă a forţei de crgere f y ecesară petr a asigra răsps elastic al i sistem SGLD. O valoare spraitară a factorli de redcere al forţei de crgere (R y > 1) implică prodcerea or deformaţii plastice î sisteml SGLD. Factorl de dctilitate µ este spraitar petr sisteme care a depăşit deplasarea de crgere şi reprezită o măsră adimesioală a gradli de deformare ielastică a sistemli. Ecaţia de mişcare petr sistem SGLD ielastic sb efectl mişcării seismice este: Împărţid ecaţia (4.14)c m obţiem: S y (, ) m + c + f = m (4.14) ( ) 2 2 y S, g g + ξω + ω f = (4.15) de f (, ) = f (, ) f. Ecaţia (4.15) demostrează că, petr o mişcare seismică ( t ) S S y dată, răspsl seismic al i sistem SGLD ielastic depide de plsaţia proprie de vibraţie ω, fracţiea di f,. amortizarea critică ξ, deplasarea de crgere y şi forma relaţiei forţă-deplasare ( ) 4.6.2. Efectl comportării elasto-plastice Î Figra 4.16 st prezetate patr sisteme SGLD c aceeaşi perioadă proprie de vibraţie (T = 0.5 sec), amortizare (ξ = 5%), dar c forţe de crgere diferite (R y = 1, 2, 4, 8), spse accelerogramei El Cetro. Priml ditre acestea (R y = 1.0) reprezită sistem liiar elastic, celelalte trei reprezetâd sisteme elastoplastice c forţe de crgere descrescătoare (R y = 2, 4, 8). Sisteml liiar elastic oscilează faţă de poziţia iiţială de echilibr, avâd o deplasare de vârf de 2.25 ţoli. Datorită amortizării, dpă îcetarea mişcării seismice oscilaţiile se amortizează, deformaţia permaetă fiid p = 0. Sistemele ielastice itră î crgere ca rmare a oscilaţiilor idse de mişcarea seismică. C cât forţa de crgere este mai mică, c atât sistemele itră î crgere mai des şi petr perioade mai lgi de timp. Datorită crgerii, sistemele ielastice st deplasate faţă de poziţia de echilibr iiţială, sisteml oscilâd faţă de o oă poziţie de echilibr. Datorită acesti feome, sistemele ielastice revi la poziţia iiţială dpă îcetarea oscilaţiilor, ci a o deformaţie permaetă p 0. Î geeral, această deformaţie permaetă este c atât mai mare, c cât forţa de crgere a sistemli este mai mică. Astfel, o strctră care a sferit deformaţii plastice î rma i ctremr de pămât ar ptea avea o poziţie deviată de la verticală dpă îcetarea mişcării seismice. Petr acest exempl cocret (accelerograma El Cetro şi sistem c T = 0.5 sec) deplasarea de vârf a sistemelor ielastice este mai mică decât deplasarea de vârf a sistemli elastic. Acest aspect are caracter geeral, deplasarea de vârf a sistemelor ielastice fiid afectată îtr-o mare măsră de perioada proprie de vibraţie T şi caracteristicile mişcării seismice, şi îtr-o mai mică măsră de amortizare. Factorl de dctilitate poate fi determiat folosid ecaţia (4.13). Petr sisteml c R y = 4, factorl de dctilitate este egal c 3.11 şi reprezită ceriţa de dctilitate impsă sistemli. Petr ca sistem ielastic să cedeze, ceriţa de dctilitate impsă de o mişcare seismică trebie să fie mai mică decât dctilitatea capabilă (care reprezită capacitatea i sistem de a se deforma î domeil ielastic fără o redcere semificativă a forţei). Această modalitate de verificare este fdametal diferită de cea folosită î cazl i sistem elastic, î cazl căria verificarea costă î îdepliirea codiţiei ca ceriţa de forţă impsă de mişcarea seismică să fie mai mică de forţa capabilă a sistemli. S g 62
4. Răspsl seismic al sistemelor c sigr grad de libertate diamică Figra 4.16. Răspsl seismic a patr sisteme SGLD c T =0.5 sec, ξ = 5% şi R y = 1, 2, 4, 8 sb acţiea îregistrării El Cetro (Chopra, 2001). 4.6.3. Relaţia ditre dctilitate µ şi factorl de redcere R y Raportl ditre deplasarea de vârf a sistemli ielastic şi cea a sistemli elastic corespzător m / 0 este exemplificat î Figra 4.17 petr patr sisteme SGLD c T = 0.5 sec, ξ=5% şi R y = 1, 2, 4, 8 sb acţiea îregistrării El Cetro. Pot fi evideţiate rmătoarele observaţii petr diverse perioade proprii de vibraţie: Petr sisteme foarte flexibile (T >T f ) deplasarea de vârf a sistemli ielastic m este idepedetă de R y şi este apropiată de deplasarea de vârf a sistemli elastic corespzător 0. Petr sisteme c perioade proprii de vibraţie î domeiile de sesibilitate la viteză şi deplasare (T >T c ) deplasarea de vârf a sistemli ielastic m variază fcţie de R y şi poate fi mai mică sa mai mare decât deplasarea de vârf a sistemli elastic corespzător 0. Petr sisteme c perioade proprii de vibraţie î domeil de sesibilitate la acceleraţie (T <T c ) deplasarea de vârf a sistemli ielastic m este apreciabil mai mare decât deplasarea de vârf a sistemli elastic corespzător 0, raportl m / 0 fiid mai mare petr valori mai mici ale R y. Pe baza observaţiilor aterioare, a fost propse diverse idealizări care să poată fi aplicate î practica cretă de proiectare. Astfel, petr sisteme SGLD ielastice avâd perioada proprie de vibraţie î domeil sesibil la viteză şi deplasare, se poate cosidera că deplasarea de vârf a sistemli ielastic este egală c deplasarea de vârf a sistemli elastic corespzător ( m / 0 = 1), pricipi cosct sb demirea de "deplasări egale", vezi (Figra 4.18a). Petr acest caz se poate arăta că R y = µ. Petr sisteme c perioada proprie de vibraţie î domeil de sesibilitate la acceleraţie, este acceptat pricipil "eergiilor egale", ceea ce implică egalitatea ditre aria de sb crba forţă deplasare a sistemli elastic c aria de sb crba forţă-deplasare a sistemli ielastic (Figra 4.18b), raportl m / 0 rezltâd spraitar. Î acest caz se poate arăta că R = 2µ 1. Petr sisteme c perioada proprie de vibraţie foarte mică (T <T a ) deformaţiile st foarte y mici, sisteml avâd o comportare î eseţă elastică, rezltâd R y = 1. Relaţia ditre factorl de redcere R y, perioada proprie de vibraţie T şi dctilitatea µ este exprimată sitetic î rmătoarea relaţie: 63
Diamica Strctrilor şi Igierie Seismică. [v.2014] 1 T < Ta R = 2µ 1 T < T < T µ T > Tc y b c' http://www.ct.pt.ro/sers/arelstrata/ (4.16) Figra 4.17. Raportl m / 0 petr patr sisteme SGLD c T =0.5 sec, ξ = 5% şi R y = 1, 2, 4, 8 sb acţiea îregistrării El Cetro (Chopra, 2001). Petr determiarea factorli de redcere R y ître T a şi T b, respectiv T c' şi T c se foloseşte iterpolarea liiară. Relaţia (4.16) este reprezetată grafic î Figra 4.19 şi exprimă valoarea factorli de redcere R y care poate fi folosit la proiectarea ei strctri c perioada proprie de vibraţie T şi care posedă o capacitate de dctilitate µ dată. Aceeaşi relaţie poate fi iterpretată şi ca ceriţa de dctilitate µ a i sistem c perioada proprie de vibraţie T caracterizată de factor de redcere R y dat. f S f S f 0 f 0 f y f y y =m (a) y m (b) Figra 4.18. Pricipil "deplasărilor egale" (a) şi cel al "eergiilor egale" (b) î relaţia ditre deplasarea de vârf a i sistem ielastic şi a sistemli elastic corespzător. 64
4. Răspsl seismic al sistemelor c sigr grad de libertate diamică Figra 4.19. Relaţia idealizată ître factorl de redcere R y şi dctilitate µ (Chopra, 2001). 65