Λυμένες ασκήσεις στροφορμής

Λυμένες ασκήσεις στροφορμής Θα υπολογίσουμε τη δράση των τελεστών κλίμακας J ± σε μια τυχαία ιδιοκατάσταση j, m των τελεστών J και Jˆ. Λύση Δείξαμε ότι η κατάσταση Jˆ± j, m είναι επίσης ιδιοκατάσταση των τελεστών J και Jˆ, με το ίδιο j και m ± αντίστοιχα, δηλαδή Jˆ j, m : j, m ±. Οι τελεστές J ± ± δεν είναι μοναδιακοί, αφού αν ήταν μοναδιακοί θα έπρεπε, εφόσον ο ένας είναι ερμιτιανός συζυγής του άλλου, ο μεταθέτης τους να είναι μηδέν. Όμως ο μεταθέτης τους δεν είναι μηδέν, όπως δείξαμε στην προηγούμενη ενότητα σχέση. Εφόσον οι τελεστές J ± δεν είναι μοναδιακοί, δεν διατηρούν, εν γένει, το μέτρο των καταστάσεων στις οποίες δρουν. Άρα οι ιδιοκαταστάσεις Jˆ j, m δεν είναι, εν γένει, ± κανονικοποιημένες, όπως υποθέτουμε χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι είναι οι ιδιοκαταστάσεις j, m. Έτσι, λοιπόν, μπορούμε να γράψουμε Jˆ- j, m C- j, m j, m - και Jˆ+ j, m C+ j, m j, m + Θα υπολογίσουμε τους συντελεστές C± j, m με την ελευθερία απροσδιοριστία μιας σταθερής φάσης, που είναι απόρροια της συμμετρίας φάσης των κβαντικών καταστάσεων. Από την έχουμε C- j, m Jˆ- j, m j, m, Jˆ Jˆ- j, m, Jˆ- j, m - Jˆ- j, m º j, m Jˆ- Jˆ- j, m Επειδή Jˆ- Jˆ+, παίρνουμε C- j, m j, m Jˆ+ Jˆ- j, m 3 Σημείωση Ο γενικός συμβολισμός...,... για το εσωτερικό γινόμενο βοηθάει να χειριστούμε μη ερμιτιανούς τελεστές. Όμως Jˆ Jˆ+ Jˆ- - Jˆ + Jˆ σχέση 9 της προηγούμενης ενότητας. Επομένως Jˆ+ Jˆ- Jˆ + Jˆ - Jˆ Αν αντικαταστήσουμε την στην 3, θα πάρουμε C- j, m j, m Jˆ + Jˆ - Jˆ j, m j, m Jˆ j, m + j, m Jˆ j, m - j, m Jˆ j, m j, m j, m } j j + + m - m j j + - m m - 6//7

Επομένως C- j, m j j + - m m - Παραλείποντας τη σταθερή φάση του C- j, m, παίρνουμε C- j, m j j + - m m - 5 Έτσι η γράφεται Jˆ- j, m j j + - m m - j, m - 6 Παρατηρήστε ότι για m - j, η 5 μάς δίνει C- j, - j j j + - - j - j - j j + - j j + C- j, - j 7 όπως αναμέναμε, αφού ο τελεστής J - πρέπει να «σκοτώνει» την ιδιοκατάσταση ελάχιστης ιδιοτιμής, j, - j. Με την ίδια λογική θα υπολογίσουμε τον συντελεστή C+ j, m. Από τη έχουμε C+ j, m Jˆ+ j, m Jˆ+ Jˆ } j, m, Jˆ Jˆ - + Jˆ+ j, m, Jˆ+ j, m j, m, Jˆ+ Jˆ+ j, m j, m º j, m Jˆ- Jˆ+ j, m C+ j, m j, m Jˆ- Jˆ+ j, m 8 Όμως Jˆ Jˆ- Jˆ+ + Jˆ + Jˆ σχέση 8 της προηγούμενης ενότητας. Επομένως Jˆ- Jˆ+ Jˆ - Jˆ - Jˆ 9 Αν αντικαταστήσουμε την 9 στην 8, θα πάρουμε C+ j, m j, m Jˆ - Jˆ - Jˆ j, m j j + - m - m j j + - m m + C+ j, m j j + - m m + Παραλείποντας πάλι τη σταθερή φάση, παίρνουμε C+ j, m j j + - m m + Έτσι η γράφεται Jˆ+ j, m j j + - m m + j, m + 6//7

Παρατηρήστε ότι για m j, η μάς δίνει C+ j, j j j + - j j + C+ j, j όπως αναμέναμε, αφού ο τελεστής J + πρέπει να «σκοτώνει» την ιδιοκατάσταση μέγιστης ιδιοτιμής, j, j. Θα υπολογίσουμε τη δράση των τελεστών Jˆ x και Jˆ στις ιδιοκαταστάσεις του τελεστή Jˆ. Με άλλα λόγια, θα υπολογίσουμε τις καταστάσεις Jˆx j, m και Jˆ j, m. Λύση Είναι Jˆ+ Jˆx + Jˆ Jˆ- Jˆx - Jˆ Από την, βλέπουμε ότι ο Jˆ x είναι το πραγματικό μέρος του J + και ο Jˆ είναι το φανταστικό μέρος του J +. Αν προσθέσουμε τις και κατά μέλη, παίρνουμε Jˆx Jˆ+ + Jˆ- 3 Αν αφαιρέσουμε τη από την, παίρνουμε ˆ Jˆ+ - Jˆ- Jˆ Þ Jˆ J + - Jˆ Jˆ Jˆ- - Jˆ+ Από τις 3 και μπορούμε, χρησιμοποιώντας τις σχέσεις 6 και της προηγούμενης άσκησης, να υπολογίσουμε τη δράση των τελεστών Jˆ x και Jˆ στις ιδιοκαταστάσεις του Jˆ. Έτσι, από την 3, θα έχουμε Jˆx j, m Jˆ+ + Jˆ- j, m Jˆ+ j, m + Jˆ- j, m j j + - m m + j, m + + j j + - m m - j, m - Jˆx j, m j j + - m m - j, m - + 3 j j + - m m + j, m + 5 6//7

Από την θα πάρουμε Jˆ j, m Jˆ- - Jˆ+ j, m Jˆ- j, m - Jˆ+ j, m j j + - m m - j, m - - j j + - m m + j, m + Jˆ j, m j j + - m m - j, m - - j j + - m m + j, m + 6 3 Θα υπολογίσουμε τις μέσες τιμές και τις αβεβαιότητες των Jˆ x και Jˆ σε μια τυχαία ιδιοκατάσταση j, m του Jˆ. Λύση Από τις σχέσεις 5 και 6 της προηγούμενης άσκησης, και το γεγονός ότι οι ιδιοκαταστάσεις j, m είναι ορθοκανονικές, παίρνουμε j, m Jˆx j, m και l, m Jˆ l, m Επομένως Jˆx Jˆ Ένας άλλος τρόπος για να καταλήξουμε στις και είναι χρησιμοποιώντας τη σχέση Jˆ+ Jˆx + Jˆ Πράγματι, παίρνοντας μέσες τιμές, θα έχουμε Jˆ+ Jˆ x + Jˆ Jˆx + Jˆ j,m Όμως Jˆ+ j, m Jˆ+ j, m και από τη σχέση της άσκησης, έχουμε j, m Jˆ+ j, m j, m j j + - m m + j, m + j j + - m m + j, m j, m + 3 Επομένως Jˆ+ 6//7

Άρα Jˆx + Jˆ j,m Οι τελεστές Jˆ x και Jˆ είναι ερμιτιανοί, επομένως έχουν πραγματικές ιδιοτιμές, άρα και πραγματικές μέσες τιμές. Έτσι, από την τελευταία εξίσωση θα πρέπει Jˆx και Jˆ Για να υπολογίσουμε τις αβεβαιότητες των Jˆ x και Jˆ στην τυχαία ιδιοκατάσταση j, m, χρειαζόμαστε τις μέσες τιμές των τετραγώνων τους, δηλαδή τα Jˆx Jˆ και. Είναι Jˆx j, m Jˆx Jˆx j, m Εφαρμόζουμε τη σχέση 5 της προηγούμενης άσκησης για να υπολογίσουμε την κατάσταση Jˆx j, m, και παίρνουμε Jˆx j, m j j + - m m - Jˆx j, m - + j j + - m m + Jˆx j, m + 3 Εφαρμόζουμε πάλι τη σχέση 5 της προηγούμενης άσκησης για να υπολογίσουμε τις επιμέρους καταστάσεις Jˆx j, m - και Jˆx j, m +. Είναι Jˆx j, m - j j + - m - m - j, m - + j j + - m - m j, m j j + - m + m j, m + j j + - m + m + j, m + 5 και Jˆx j, m + Από τις σχέσεις 3 5 βλέπουμε ότι η κατάσταση Jˆx j, m είναι γραμμικός συνδυασμός των ιδιοκαταστάσεων j, m -, j, m, και j, m +. Έτσι, η μέση τιμή Jˆx, δηλαδή το εσωτερικό γινόμενο της κατάστασης Jˆx j, m με την ιδιοκατάσταση j, m θα είναι ίσο με τον συντελεστή της ιδιοκατάστασης j, m στον ανάπτυγμα της κατάστασης Jˆ j, m. Όπως βλέπουμε από τις σχέσεις 3 5, ο x συντελεστής αυτός είναι ίσος με j j + - m m - δηλαδή είναι ίσος με j j + - m - m + 5 j j + - m m + j j + - m + m 6//7

j j + - m m - + j j + - m m + j j + - m j j + - m Επομένως Jˆx j j + - m 6 Παρατηρήστε ότι, επειδή m j, είναι j - m ³ Þ j + j - m ³ j Þ j j + - m ³ j j, με την ισότητα να ισχύει όταν m j Þ m ± j. Από την προηγούμενη ανισοϊσότητα βλέπουμε επίσης ότι Jˆ > όταν j ¹. Επομένως, από την 6 παίρνουμε Jˆx x ³ Έχοντας υπολογίσει τη μέση τιμή του Jˆ x και τη μέση τιμή του τετραγώνου του Jˆ x, μπορούμε να υπολογίσουμε την αβεβαιότητα του Jˆ, δηλαδή την αβεβαιότητα της x x -συνιστώσας της στροφορμής σε μια τυχαία ιδιοκατάσταση της -συνιστώσας της στροφορμής. Είναι DJˆx Jˆx - Jˆx j,m Αν αντικαταστήσουμε στην προηγούμενη σχέση την και την 6, παίρνουμε DJˆ x j j + - m 7 Για να υπολογίσουμε τη μέση τιμή του τετραγώνου του Jˆ, μπορούμε να κάνουμε ό,τι κάναμε για τον υπολογισμό της μέσης τιμής του τετραγώνου του Jˆ. Εδώ, θα x δείξουμε έναν διαφορετικό τρόπο υπολογισμού, χρησιμοποιώντας το αποτέλεσμα 6 και τη σχέση Jˆ+ Jˆx + Jˆ. Σημείωση Εν τω μεταξύ, η φυσική διαίσθησή μας, πρέπει να μας έχει ήδη πει ότι Jˆ Jˆx. Είναι Jˆ+ Jˆ x + Jˆ Jˆ x + Jˆ Jˆx + Jˆ x Jˆ + Jˆ Jˆx - Jˆ Jˆ x - Jˆ + Jˆx Jˆ + Jˆ Jˆ x Jˆ+ Jˆ x - Jˆ + Jˆx Jˆ + Jˆ Jˆ x 8 6 6//7

Εξάλλου, είναι Jˆ+ j, m : Jˆ+ j, m + : j, m +, δηλαδή Jˆ+ j, m : j, m +. Επομένως, Jˆ+ Jˆ+ j, m Jˆ+ j, m : j, m j, m +, δηλαδή 9 Αν πάρουμε μέσες τιμές στην 8, θα έχουμε Jˆ+ Jˆx Jˆ - Jˆ + Jˆx Jˆ + Jˆ Jˆx x - Jˆ + Jˆx Jˆ + Jˆ Jˆ x Jˆx - Jˆ j,m + Jˆ x Jˆ + Jˆ Jˆx Jˆ+ Jˆx - Jˆ + Jˆx Jˆ + Jˆ Jˆx Από τις 9 και, παίρνουμε Jˆx - Jˆ j,m + Jˆ x Jˆ + Jˆ Jˆx Οι τελεστές Jˆx, Jˆ, και Jˆx Jˆ + Jˆ Jˆ x είναι ερμιτιανοί, άρα έχουν πραγματικές ιδιοτιμές και πραγματικές μέσες τιμές. Οπότε, από την τελευταία εξίσωση παίρνουμε Jˆx - Jˆ Þ Jˆx j,m Jˆ j,m και Jˆx Jˆ + Jˆ Jˆx αυτό δεν τον χρειαζόμαστε εδώ Άρα, λοιπόν, Jˆ j j + - m και η αβεβαιότητα του Jˆ είναι DJˆ j j + - m 3 Το γινόμενο των αβεβαιοτήτων του Jˆ x και του Jˆ είναι DJˆ DJˆ x j j + - m Εφόσον j j + - m ³ j, από τη παίρνουμε DJˆx DJˆ ³ j, με το ίσον να ισχύει όταν m ± j. Παρατηρήστε ότι η αβεβαιότητα γίνεται μέγιστη όταν m, δηλαδή όταν μηδενιστεί η -συνιστώσα της στροφορμής του σωματίου. Η μέγιστη τιμή του γινομένου των αβεβαιοτήτων των συνιστωσών x και της στροφορμής είναι, από τη, 7 6//7

DJˆ DJˆ x max j, j j + 5 δηλαδή, είναι ίση με το μισό του τετραγώνου της στροφορμής του σωματίου. Αντίθετα, η αβεβαιότητα γίνεται ελάχιστη όταν m ± j, δηλαδή όταν το μέτρο της -συνιστώσας της στροφορμής του σωματίου γίνει μέγιστο. Η ελάχιστη τιμή του γινομένου των αβεβαιοτήτων των συνιστωσών x και της στροφορμής είναι, από τη, DJˆ DJˆ x mn j,± j j 6 Παρατηρήστε επίσης ότι όταν m ± j, το μέτρο της -συνιστώσας της στροφορμής είναι j. Το τετράγωνο της στροφορμής είναι j j +, επομένως το μέτρο της στροφορμής είναι j j + j + j > j, για j ¹. Με άλλα λόγια, όταν j ¹, δηλαδή όταν το σωμάτιο έχει στροφορμή, το μέτρο της είναι πάντα μεγαλύτερο από τη -συνιστώσα της, αντίθετα με ό,τι συμβαίνει στην κλασική μηχανική για την τροχιακή στροφορμή, όπου αν οι συνιστώσες x και είναι μηδέν, η -συνιστώσα της τροχιακής στροφορμής είναι ίση με την τροχιακή στροφορμή. Το γεγονός ότι στην κβαντική μηχανική η -συνιστώσα της στροφορμής είναι πάντα μικρότερη από το μέτρο της στροφορμής, οφείλεται στην αβεβαιότητα των συνιστωσών x και, η οποία είναι πάντα μεγαλύτερη του μηδενός, όπως βλέπουμε από τη 6, όταν j ¹, δηλαδή όταν το σωμάτιο έχει στροφορμή. Σημείωση Για δύο τυχαίους ερμιτιανούς τελεστές Aˆ, Bˆ, η γενικευμένη σχέση αβεβαιότητας γράφεται é ˆ ˆù DAˆ DBˆ ³ A, B û ë όπου η μέση τιμή λαμβάνεται σε μια τυχαία κατάσταση. Έτσι σε μια τυχαία ιδιοκατάσταση j, m του τελεστή Jˆ, θα έχουμε DJˆ DJˆ x ³ éˆ ˆ ù J x,j û ë j,m Όμως é Jˆx,Jˆ ù ë û Jˆ Jˆ m 3 m Επομένως é Jˆx,Jˆ ù ë û m Άρα DJˆ DJˆ x ³ m 7 Αν αντικαταστήσουμε τη στη 7, παίρνουμε m j j + - m ³ Þ j j + - m ³ m Þ Þ { j j + ³ m + m Þ j j + ³ m m + m m 8 6//7

Η τελευταία ανισότητα ισχύει αφού j ³ m. Επομένως, είμαστε εντάξει. Για την περίπτωση όπου l τροχιακή στροφορμή, θα υπολογίσουμε τους πίνακες που αναπαριστούν τους τελεστές Lˆx, Lˆ, Lˆ, Lˆ± στη βάση των ιδιοκαταστάσεων του Lˆ, και θα επαληθεύσουμε τη μεταθετική σχέση é Lˆx, Lˆ ù Lˆ. Ακολούθως θα υπολογίσουμε τις μέσες τιμές του Lˆx και του Lˆ ë û στην κατάσταση, m, και θα επιβεβαιώσουμε ότι είναι μηδέν. Λύση Για l, m -,,. Επομένως έχουμε τρεις ιδιοκαταστάσεις του Lˆ :,,,,, -. Αυτές οι ιδιοκαταστάσεις είναι τα διανύσματα βάσης του χώρου Hlbert των καταστάσεων της στροφορμής για l. Αυτή τη βάση θα χρησιμοποιήσουμε για να κατασκευάσουμε τους πίνακες που αναπαριστούν τους τελεστές Lˆx, Lˆ, Lˆ, Lˆ±. Σημειώνουμε ότι η σειρά των διανυσμάτων βάσης, δηλαδή ποιο βάζουμε πρώτο, ποιο δεύτερο, και ποιο τρίτο, έχει σημασία, αφού επηρεάζει την αναπαράσταση του κάθε τελεστή. Έτσι, θεωρούμε ότι το, είναι το πρώτο διάνυσμα, το, είναι το δεύτερο, και το, - είναι το τρίτο. Θα συμβολίσουμε με e το διάνυσμα,, με e το διάνυσμα,, και με e 3 το διάνυσμα, -. Γενικά, ο πίνακας A που παριστάνει τον τελεστή A στην ορθοκανονική βάση N {eˆn }n είναι ο N N πίνακας με στοιχεία Aj eˆ Aˆ eˆ j όπου, j,,..., N Έτσι, θα έχουμε L L Lˆ,, } eˆ Lˆ eˆ, Lˆ,,, 3 L L 3 Lˆ,, eˆ Lˆ eˆ, Lˆ, } Lˆ, - -, - eˆ Lˆ eˆ3, Lˆ, - } -,, - 3 L eˆ Lˆ eˆ, Lˆ,,, 3 L eˆ Lˆ eˆ, Lˆ,,, L 3 eˆ Lˆ eˆ3, Lˆ, - -,, - 3 9 6//7

L 3 eˆ3 Lˆ eˆ, - Lˆ,, -, 3 L 3 eˆ3 Lˆ eˆ, - Lˆ,, -, L 33 eˆ3 Lˆ eˆ3, - Lˆ, - -, -, - - 3 Επομένως L - Η βάση που χρησιμοποιούμε για να αναπαραστήσουμε τους τελεστές, δηλαδή τα διανύσματα,,,,, -, είναι οι ιδιοκαταστάσεις τους Lˆ, επομένως ο πίνακας L είναι διαγώνιος με στοιχεία τις αντίστοιχες ιδιοτιμές,, -. Στη συνέχεια, θα κατασκευάσουμε τους πίνακες L± και από αυτούς, χρησιμοποιώντας τις σχέσεις Lˆ± Lˆx ± Lˆ, θα βρούμε τους πίνακες Lx, L. Για να κατασκευάσουμε τους πίνακες L±, θα χρησιμοποιήσουμε τις γενικές σχέσεις Lˆ+ l, m l l + - m m + l, m + και Lˆ- l, m l l + - m m - l, m - που έχουμε αποδείξει στην άσκηση Στην περίπτωσή μας l, οπότε Lˆ+, m - m m +, m + 3 Lˆ-, m - m m -, m - Έτσι παίρνουμε Lˆ+, - - -,, Lˆ+, - *,, Lˆ+, Και Lˆ-, - Lˆ-,, - Lˆ-,, Οπότε 6//7

L+, Lˆ+, 3 L+, Lˆ+,,, L+ 3, Lˆ+, - :,, 3 :, L+, Lˆ+, L+, Lˆ+, 3 :, L+ 3, Lˆ+, -, L+ 3, - Lˆ+, L+ 3, - Lˆ+, 3, :, L+ 33, - Lˆ+, - 3 :, Έτσι, ο πίνακας L+ είναι L+ 5 Θα κατασκευάσουμε με τον ίδιο τρόπο και τον πίνακα L-, και στη συνέχεια θα επιβεβαιώσουμε ότι είναι ο ερμιτιανός συζυγής του πίνακα L+, δηλαδή του πίνακα 5. Είναι L-, Lˆ-, 3 :, L-, Lˆ-, 3 :,- L- 3, Lˆ-, - 3 L-, Lˆ-,, L-, Lˆ-, 3, :, - L- 3, Lˆ-, - 6//7

L- 3, - Lˆ-, 3 :, L- 3, - Lˆ-,, -, - L- 33, - Lˆ-, - Άρα L- 6 Παρατηρούμε ότι L+ T L Θα υπολογίσουμε τώρα τους πίνακες Lx, L. Από τις σχέσεις Lˆ± Lˆx ± Lˆ έχουμε ανατρέξτε στην άσκηση, σχέσεις 3 και : Lˆx Lˆ+ + Lˆ και Lˆ Lˆ- - Lˆ+ Επομένως Lx + Lx 7 και 6//7

L L- - L+ - - - - L - 8 Από την 7 βλέπουμε ότι ο πίνακας Lx είναι ερμιτιανός. Από την 8 παίρνουμε - L - - L -, οι πίνακες Lx, L είναι ερμιτιανοί, όπως πρέπει, αφού παριστάνουν παρατηρήσιμα μεγέθη. Θα χρησιμοποιήσουμε τώρα τους πίνακες, 7, και 8 για να επαληθεύσουμε ότι é Lˆx, Lˆ ù Lˆ. ë û Είναι - - Lx L - - - - - L Lx - Επομένως Lx L - L Lx - - - - - - L - 3 6//7

éë Lx, L ùû L Τέλος, θα υπολογίσουμε τις μέσες τιμές των Lx, L για m, δηλαδή στην ιδιοκατάσταση,. Η ιδιοκατάσταση, είναι το δεύτερο διάνυσμα βάσης, επομένως παριστάνεται από το διάνυσμα-στήλη. Έτσι, το αντίστοιχο bra, δηλαδή το bra,, παριστάνεται από το διάνυσμα-γραμμή. Άρα, η μέση τιμή του τελεστή Lˆx στην ιδιοκατάσταση,, δηλαδή το εσωτερικό γινόμενο, Lˆ,, είναι x Lx, Με το ίδιο σκεπτικό, L, - - - 5 Στην προηγούμενη άσκηση υπολογίσαμε ότι ο πίνακας Lx που παριστάνει τον τελεστή Lˆx για l είναι ο Lx. Θα υπολογίσουμε τις ιδιοτιμές του πίνακα Lx και θα επιβεβαιώσουμε ότι είναι επίσης m, με m -,,. Στη συνέχεια, θα υπολογίσουμε τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα. Λύση Από την εξίσωση ιδιοτιμών του πίνακα Lx, παίρνουμε -l x x l Þ -l x -l όπου l είναι η τυχαία ιδιοτιμή του Lx 6//7

x Για να είναι το διάνυσμα ιδιοδιάνυσμα, θα πρέπει να είναι γραμμικά x ανεξάρτητο, δηλαδή ¹. Έτσι, το ομογενές σύστημα πρέπει να έχει μη μηδενική λύση, οπότε θα πρέπει -l -l -l Þ -l -l -l Þ -l Þ -l l - l Þ l l + + l Þ Þ l -l + Þ l, - l + Þ l ±, οι ιδιοτιμές του Lx είναι οι -,,, όπως αναμέναμε. Θα υπολογίσουμε τώρα τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα Lx. Για l, από την παίρνουμε x x Þ Þ x + Þ Þ και x + Þ και - x x Επομένως, το μη κανονικοποιημένο ιδιοδιάνυσμα είναι. -x Ας το κανονικοποιήσουμε. x * x -x Þ x Þ x -x * 5 6//7

Λαμβάνοντας υπόψη τη συμμετρία φάσης των κβαντικών καταστάσεων, επιλέγουμε x. Επομένως το κανονικοποιημένο ιδιοδιάνυσμα είναι το, και - γράφουμε mx - όπου mx είναι η ιδιοκατάσταση του τελεστή Lˆx με m l. Βάζουμε βέλος αντί για ίσον επειδή το διάνυσμα-στήλη είναι - αναπαράσταση του αφηρημένου διανύσματος στη βάση των ιδιοκαταστάσεων του Lˆ. Με άλλα λόγια, το διάνυσμα είναι η αναπαράσταση της - ιδιοκατάστασης mx στη βάση των ιδιοκαταστάσεων του Lˆ με l. Με τον ίδιο τρόπο θα υπολογίσουμε και τα άλλα δύο ιδιοδιανύσματα του πίνακα Lx. Για l -, από την παίρνουμε x x Þ Þ ì x+ x+ x x + + + + Þ Þí + + î Þ ì ì ì xx Þ í- + + Þí + Þí + + î î î 6 x- ì x + Þí î + 6//7

Επομένως, το μη κανονικοποιημένο ιδιοδιάνυσμα είναι Η συνθήκη κανονικοποίησης μάς δίνει * * *. Þ + + Þ Þ Λαμβάνοντας υπόψη τη συμμετρία φάσης των κβαντικών καταστάσεων, επιλέγουμε -. Επομένως το κανονικοποιημένο ιδιοδιάνυσμα είναι το. Άρα - - mx - 3 - Για l, από την παίρνουμε 7 6//7

- - x x - - Þ Þ - - ì -x + -x + x x Þ -+ - + Þ Þí - î ì ì ì x x x ì x Þí -+ Þ í- + Þí - Þí î - - - î î î Επομένως, το μη κανονικοποιημένο ιδιοδιάνυσμα είναι. Όπως και προηγουμένως, εφαρμόζουμε τη συνθήκη κανονικοποίησης και επιλέγουμε πραγματική τιμή για το. Έτσι, καταλήγουμε mx Ας ελέγξουμε αν τα ιδιοδιανύσματα είναι ορθογώνια, όπως πρέπει, αφού αναπαριστούν τις ιδιοκαταστάσεις του ερμιτιανού τελεστή Lˆx. Είναι mx mx - - 8 6//7

- mx mx - - - + - mx - mx - - + - Τα τρία ιδιοδιανύσματα είναι ορθογώνια, και κανονικοποιημένα, επομένως αποτελούν και αυτά μια ορθοκανονική βάση, την οποία μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε για να αναπαραστήσουμε τους τελεστές και τις καταστάσεις της τροχιακής στροφορμής για l. 6 Αν ένα σωμάτιο βρίσκεται σε μια ιδιοκατάσταση του τελεστή Lˆx, ας πούμε στην ιδιοκατάσταση mx -, ποια είναι η πιθανότητα το σωμάτιο να έχει, αντίστοιχα, m -,, ; Με άλλα λόγια, ποια είναι η πιθανότητα η συνιστώσα της τροχιακής στροφορμής του σωματίου να είναι, αντίστοιχα, -,, ; Λύση Στην προηγούμενη άσκηση, βρήκαμε ότι στη βάση των ιδιοκαταστάσεων του Lˆ, η ιδιοκατάσταση του Lˆx με mx -, ας τη συμβολίσουμε mx -, παριστάνεται από - το διάνυσμα-στήλη. Είναι η σχέση 3 της προηγούμενης άσκησης. - Εφόσον - - + - - είναι 9 6//7

mx - - m + m - m - Από την συμπεραίνουμε ότι η πιθανότητα η -συνιστώσα της τροχιακής ή 5%, η πιθανότητα η -συνιστώσα της τροχιακής στροφορμής του σωματίου να είναι είναι ή 5%, και η πιθανότητα η -συνιστώσα της τροχιακής στροφορμής του στροφορμής του σωματίου να είναι - m - είναι - σωματίου να είναι m είναι ή 5%. Το άθροισμα των τριών πιθανοτήτων είναι ή %, όπως πρέπει. Ένας άλλος τρόπος για να υπολογίσουμε τις τρεις προηγούμενες πιθανότητες είναι ο εξής: Αν το σωμάτιο βρίσκεται στην κατάσταση mx -, η πιθανότητα η -συνιστώσα της τροχιακής στροφορμής του σωματίου να είναι - είναι m - mx -. Εφόσον - m - και mx -, θα έχουμε - - m - mx - - Άρα, η πιθανότητα είναι ή 5%. Σημείωση Όπως γνωρίζουμε από τη διανυσματική ανάλυση, το εσωτερικό γινόμενο δύο r r διανυσμάτων, x g, δεν εξαρτάται από το σύστημα συντεταγμένων που χρησιμοποιούμε για να το υπολογίσουμε. Μπορούμε να το υπολογίσουμε σε όποιο σύστημα συντεταγμένων μάς βολεύει, ή ακόμα και αφηρημένα, δηλαδή χωρίς να «καταφύγουμε» σε κάποιο σύστημα συντεταγμένων. Το ίδιο ισχύει και για τα εσωτερικά γινόμενα μεταξύ κβαντικών καταστάσεων, όπου τώρα το σύστημα συντεταγμένων είναι η βάση που χρησιμοποιούμε, στον χώρο των καταστάσεων, για να εκφράσουμε να αναπαραστήσουμε τις κβαντικές καταστάσεις ή και τους τελεστές που μας ενδιαφέρουν. Με τον ίδιο τρόπο, οι άλλες δύο πιθανότητες είναι 6//7

m mx - - ή 5% - και m mx - - ή 5% - 7 Ας υποθέσουμε τώρα ότι το σωμάτιο βρίσκεται σε μια ιδιοκατάσταση του Lˆ και θέλουμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα μια άλλη συνιστώσα της τροχιακής στροφορμής, δηλαδή ο τελεστής Lˆx ή ο τελεστής Lˆ, να έχει μια συγκεκριμένη τιμή. Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι το σωμάτιο βρίσκεται στην κατάσταση με m, δηλαδή στην κατάσταση,, την οποία εδώ θα συμβολίσουμε με m, και θέλουμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα η x συνιστώσα να έχει τιμή - και την πιθανότητα η -συνιστώσα να είναι μηδέν. Τι κάνουμε σε αυτήν την περίπτωση; Λύση Οι δύο πιθανότητες που θέλουμε να υπολογίσουμε είναι, αντίστοιχα, η mx - m και η m m. Στην προηγούμενη άσκηση, βρήκαμε ότι. Ξέρουμε ότι το εσωτερικό γινόμενο είναι αντισυμμετρικό ως * προς τα δύο ορίσματά του, δηλαδή a b b a. Επομένως, m mx - * mx - m m mx - Þ mx - m m mx - Άρα mx - m m mx - Για να υπολογίσουμε την πιθανότητα m m, χρησιμοποιούμε ξανά την αντισυμμετρική ιδιότητα του εσωτερικού γινομένου και παίρνουμε m m m m * 6//7

Για να υπολογίσουμε το εσωτερικό γινόμενο m m, θα γράψουμε την κατάσταση m στη βάση των ιδιοκαταστάσεων του Lˆ. Η κατάσταση m είναι ιδιοκατάσταση του Lˆ με ιδιοτιμή, δηλαδή Lˆ m Χρησιμοποιώντας την αναπαράσταση του τελεστή Lˆ στη βάση των ιδιοκαταστάσεων του Lˆ, η εξίσωση ιδιοτιμών γράφεται x L 3 - όπου L - ανατρέξτε στην άσκηση, σχέση 8 Επομένως, η 3 γράφεται - x ì - ì Þ x Þ í í î x î x x x Εφαρμόζοντας τη συνθήκη κανονικοποίησης, παίρνουμε x * x x Þ x Þ x x * Λαμβάνοντας υπόψη τη συμμετρία φάσης των κβαντικών καταστάσεων, επιλέγουμε x. Επομένως m Έτσι, το στοιχείο πίνακα, ή πλάτος πιθανότητας, m m είναι 6//7

m m Οπότε, από την παίρνουμε m m 5 Η πιθανότητα, λοιπόν, η -συνιστώσα της τροχιακής στροφορμής του σωματίου μας να είναι μηδέν, όταν το σωμάτιο βρίσκεται στην ιδιοκατάσταση, του Lˆ, είναι m m ή 5%. Η επόμενη άσκηση είναι γενίκευση των δύο προηγούμενων 8 Για την περίπτωση όπου l Γράψτε τους πίνακες Lx, L, L που αναπαριστούν τους τελεστές Lˆx, Lˆ, Lˆ στη βάση των κοινών ιδιοκαταστάσεων των τελεστών L και Lˆ. Βρείτε τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα των πινάκων Lx, L, L. Γράψτε το διάνυσμα-στήλη Y που αναπαριστά μια τυχαία κατάσταση της τροχιακής στροφορμής στη βάση των κοινών ιδιοκαταστάσεων των τελεστών L και Lˆ. cos j v Αν Y sn j, με j Î [, p, ελέγξτε αν το διάνυσμα Y είναι κανονικοποιημένο, και υπολογίστε α τις πιθανότητες η x -συνιστώσα της τροχιακής στροφορμής να είναι, αντίστοιχα, -,,. β τις πιθανότητες η -συνιστώσα της τροχιακής στροφορμής να είναι, αντίστοιχα, -,,. γ τις πιθανότητες η -συνιστώσα της τροχιακής στροφορμής να είναι, αντίστοιχα, -,,. δ τις μέσες τιμές των τριών συνιστωσών της τροχιακής στροφορμής, Lˆx, Lˆ, Lˆ. Λύση Για l, m -,,. Επομένως, οι κοινές ιδιοκαταστάσεις των τελεστών L και Lˆ είναι οι,,,,, -. Αυτή είναι η βάση της αναπαράστασης που θέλουμε να κατασκευάσουμε. Αν θεωρήσουμε, αυθαίρετα, την ιδιοκατάσταση, ως το ο διάνυσμα βάσης, την ιδιοκατάσταση, ως το ο διάνυσμα βάσης, και την ιδιοκατάσταση, - ως το 3ο διάνυσμα βάσης, τότε, όπως δείξαμε στην άσκηση, οι πίνακες Lx, L, L είναι οι 3 6//7

Lx - L - L 3 - Στην άσκηση 5 υπολογίσαμε τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα Lx. Βρήκαμε ότι οι ιδιοτιμές του είναι οι -,,, και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα είναι τα -, με ιδιοτιμή - -, με ιδιοτιμή -, με ιδιοτιμή Τα τρία αυτά διανύσματα-στήλες αναπαριστούν τις ιδιοκαταστάσεις του τελεστή Lˆx με ιδιοτιμές, αντίστοιχα, -,,. Συμβολίζουμε - mx - - 6//7

mx 5 - mx 6 Θα υπολογίσουμε τώρα τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα L. Η εξίσωση ιδιοτιμών του πίνακα L γράφεται -l Þ - x x - l Þ x -l 7 -l x x l Þ x Εφόσον το είναι ιδιοδιάνυσμα, πρέπει να είναι γραμμικά ανεξάρτητο, επομένως x πρέπει να είναι διάφορο από το μηδενικό διάνυσμα, δηλαδή ¹. Έτσι, το ομογενές σύστημα 7 πρέπει να έχει μη μηδενική λύση. Άρα, η ορίζουσα του συστήματος 7 πρέπει να είναι μηδέν, δηλαδή 5 6//7

-l - -l Þ -l l - -l + Þ -l Þ -l l - + l Þ l l + Þ Þ l - l Þ l, - l Þ l ± Επομένως, οι ιδιοτιμές του πίνακα L είναι -,,, ίδιες με τις ιδιοτιμές του πίνακα Lx. Ας βρούμε τώρα τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα. Για l -, το ομογενές σύστημα 7 γράφεται Þ ì Þí î x x Þ Þ ì x x x+ Þ í x+ Þ + + î ì x x ì x + Þ í- + - Þ í - î - î - Επομένως x Εφαρμόζοντας τη συνθήκη κανονικοποίησης, παίρνουμε 6 6//7

* * * + + Þ Επιλέγουμε, λαμβάνοντας υπόψη τη συμμετρία φάσης των κβαντικών καταστάσεων, Επομένως, το κανονικοποιημένο ιδιοδιάνυσμα είναι το. - Ας κάνουμε έναν έλεγχο. - - - - - - L - - - Το διάνυσμα είναι ιδιοδιάνυσμα του πίνακα L με ιδιοτιμή -, και - αναπαριστά την αντίστοιχη ιδιοκατάσταση του τελεστή Lˆ, δηλαδή 7 6//7

m - 8 - Με τον ίδιο τρόπο, υπολογίζουμε τα άλλα δύο κανονικοποιημένα ιδιοδιανύσματα του πίνακα L. Για l, το ομογενές σύστημα 7 γράφεται x - x Þ - Þ - ì Þ x - Þ í î x - Επομένως x x x Εφαρμόζοντας τη συνθήκη κανονικοποίησης, παίρνουμε x* x x* Þ x Þ x x Επιλέγουμε, λαμβάνοντας υπόψη τη συμμετρία φάσης των κβαντικών καταστάσεων, x Επομένως, το κανονικοποιημένο ιδιοδιάνυσμα του πίνακα L με ιδιοτιμή είναι το, όπως υπολογίσαμε και στην άσκηση 7. Άρα m 9 8 6//7

Για l, το ομογενές σύστημα 7 γράφεται - - x x - - Þ Þ - - ì ì -x x -x Þ x- Þ í x- Þí - + Þ - - î î ì x - ìx - Þí Þí î î Επομένως x Εφαρμόζοντας τη συνθήκη κανονικοποίησης, παίρνουμε * * * + + Þ Επιλέγουμε, λαμβάνοντας υπόψη τη συμμετρία φάσης των κβαντικών καταστάσεων, Άρα 9 6//7

- m Ας κάνουμε έναν έλεγχο. - - - - - - - L Ο πίνακας L είναι διαγώνιος, επομένως οι ιδιοτιμές του είναι τα - διαγώνια στοιχεία του, δηλαδή -,,. Τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα είναι τα, με ιδιοτιμή,, με ιδιοτιμή, και, με ιδιοτιμή -. Πράγματι, είναι - - 3 6//7

- - - Επομένως m m m - 3 όπου m º,, m º,, και m - º, - Παρατηρούμε ότι και οι τρεις πίνακες Lx, L, L, επομένως και οι τρεις αντίστοιχοι τελεστές Lˆ, Lˆ, Lˆ, έχουν τις ίδιες ιδιοτιμές, -,,. Οι ιδιοτιμές αυτές είναι οι x προβολές της τροχιακής στροφορμής στους αντίστοιχους άξονες, x,,, για l, δηλαδή όταν το τετράγωνο της στροφορμής είναι l l +, επομένως όταν το μέτρο της στροφορμής είναι. Οι ιδιοκαταστάσεις,,,,, -, που εδώ τις συμβολίζουμε, αντίστοιχα, m, m, m -, αποτελούν ορθοκανονική βάση στον χώρο των καταστάσεων χώρος Hlbert της στροφορμής με l. Έτσι, τα διανύσματα,,, που αναπαριστούν τις προηγούμενες ιδιοκαταστάσεις, αποτελούν ορθοκανονική βάση στον χώρο της αναπαράστασης, που είναι επίσης ένας χώρος Hlbert. Επομένως, μια τυχαία κατάσταση της στροφορμής με l θα αναπαρίσταται από ένα διάνυσμα, ας το συμβολίσουμε με Y, που είναι γραμμικός συνδυασμός των τριών διανυσμάτων,,. a Y a + b + c b c Θεωρώντας ότι η κατάσταση είναι κανονικοποιημένη, το διάνυσμα Y πρέπει να είναι κι αυτό κανονικοποιημένο, δηλαδή 3 6//7

Y Y a * b * a c b Þ a + b + c c * Επομένως a Y b c με a + b + c v Έστω cos j Y sn j 5 Τότε cos j Y Y cos j sn j sn j cos j + sn j Þ Y Y cos j Το διάνυσμα sn j είναι, επομένως, κανονικοποιημένο. α Τα πλάτη των πιθανοτήτων που θέλουμε να υπολογίσουμε γράφονται mx -, m x, mx Τα εσωτερικά γινόμενα είναι ανεξάρτητα από τη βάση που χρησιμοποιούμε για να εκφράσουμε να αναπαραστήσουμε τις εμπλεκόμενες καταστάσεις εν προκειμένω τις καταστάσεις, mx -, mx, mx. Θα επιλέξουμε ως βάση αναπαράστασης τις κοινές ιδιοκαταστάσεις των τελεστών L και Lˆ. Τότε, όπως δείξαμε - mx - - mx - 3 6//7

mx και cos j Y sn j Επομένως, θα έχουμε mx - cos j - sn j - cos j + sn j cos j mx - sn j cos j mx cos j sn j cos j + sn j Οι αντίστοιχες πιθανότητες είναι P mx - mx - - cos j + sn j cos j + sn j sn j cos j sn j + cos j sn j + sn j 3 P mx - sn j + sn j 6 Αυτή είναι η πιθανότητα η x -συνιστώσα της στροφορμής να είναι -. Παρόμοια, θα έχουμε P mx cos j 7 Αυτή είναι η πιθανότητα η x -συνιστώσα της στροφορμής να είναι. 33 6//7

P mx cos j + sn j cos j + sn j + sn j cos j sn j + cos j sn j + sn j + 3 P mx sn j + + sn j 8 Αυτή είναι η πιθανότητα η x -συνιστώσα της στροφορμής να είναι. Παρατηρήστε ότι sn j + sn j + cos j + + sn j + + sn j sn j + + cos j + P mx - + P mx + P mx P mx - + P mx + P mx 9 Το άθροισμα των τριών πιθανοτήτων είναι ίσο με, όπως πρέπει. Με τον ίδιο τρόπο θα υπολογίσουμε τις αντίστοιχες πιθανότητες για τις άλλες δύο συνιστώσες της στροφορμής. β Δείξαμε ότι m - - m - m Επομένως 3 6//7

m - cos j sn j cos j + sn j cos j m sn j cos j m cos j - sn j cos j + sn j Οι αντίστοιχες πιθανότητες είναι P m - - cos j + sn j sn j - cos j sn j + - cos j sn j + cos j sn j + cos j + sn j sn j + 3 P m - sn j + Αυτή είναι η πιθανότητα η -συνιστώσα της στροφορμής να είναι -. P m cos j Αυτή είναι η πιθανότητα η -συνιστώσα της στροφορμής να είναι. P m cos j + sn j sn j + cos j sn j + cos j sn j + cos j sn j + P m sn j + Αυτή είναι η πιθανότητα η -συνιστώσα της στροφορμής να είναι. Παρατηρήστε ότι sn j + + cos j + sn j + sn j + + cos j sn j + + cos j + P m - + P m + P m 35 6//7

P m - + P m + P m 3 γ Δείξαμε ότι m m m - Επομένως cos j m - sn j cos j m sn j sn j cos j m sn j cos j Οι αντίστοιχες πιθανότητες είναι P m - Αυτή είναι η πιθανότητα η -συνιστώσα της στροφορμής να είναι -, και, όπως βλέπουμε, είναι μηδέν. P m sn j 5 Αυτή είναι η πιθανότητα η -συνιστώσα της στροφορμής να είναι. P m cos j 6 Αυτή είναι η πιθανότητα η -συνιστώσα της στροφορμής να είναι. Παρατηρήστε ότι P m - + P m + P m 7 δ Η μέση τιμή του τελεστή Lˆx στην κατάσταση είναι, όπως ξέρουμε, Lˆx Lˆx. Μπορούμε να υπολογίσουμε τη μέση τιμή δηλαδή το εσωτερικό 36 6//7

γινόμενο σε όποια αναπαράσταση μάς βολεύει. Έτσι, επιλέγοντας την αναπαράσταση που ως βάση έχει τις κοινές ιδιοκαταστάσεις των τελεστών L και Lˆ, θα έχουμε Lˆx Lˆx cos j sn j cos j sn j 3 Lx cos j sn j sn j cos j sn j cos j + sn j cos j sn j sn j Lˆx sn j 8 Αντίστοιχα, η μέση τιμή του Lˆ στην κατάσταση είναι Lˆ Lˆ cos j sn j - cos j - sn j 3 L cos j sn j - sn j cos j - sn j cos j + sn j cos j sn j Lˆ 9 Σημείωση Η μέση τιμή Lˆ πρέπει να είναι πραγματική, διότι ο τελεστής Lˆ είναι ερμιτιανός, επομένως έχει πραγματικές ιδιοτιμές. Ωστόσο, ο πίνακας L έχει μόνο φανταστικά cos j στοιχεία, και μηδενικά, ενώ το διάνυσμα sn j, που αναπαριστά την κατάσταση, έχει πραγματικά στοιχεία. Επομένως, το εσωτερικό γινόμενο Lˆ, δηλαδή η μέση τιμή Lˆ θα είναι φανταστικός αριθμός ή μηδέν. Επειδή δεν μπορεί να είναι φανταστικός αριθμός, είναι μηδέν. Με την ίδια λογική 37 6//7

cos j ˆ ˆ L L cos j sn j sn j - 3 L cos j sn j cos j cos j Lˆ cos j 3 Ας δούμε τι μάς δίνουν οι μέσες τιμές 8 3 στην περίπτωση που το διάνυσμα cos j sn j είναι ιδιοδιάνυσμα του L, δηλαδή όταν η κατάσταση είναι cos j ˆ ιδιοκατάσταση του τελεστή L. Αν το sn j είναι ιδιοδιάνυσμα του L, τότε cos j cos j p sn j ή sn j, δηλαδή j ή j θυμηθείτε ότι j Î [, p. Για j, Lˆ και Lˆ, και Lˆ. Σε αυτήν την περίπτωση, η x κατάσταση είναι η ιδιοκατάσταση m, επομένως Lˆ, ενώ Lˆx Lˆ, διότι όπως έχουμε δείξει στην άσκηση 3, οι μέσες τιμές των τελεστών Lˆx και Lˆ είναι μηδέν στις ιδιοκαταστάσεις του Lˆ. p sn p και Lˆ, και Lˆ. Σε αυτήν την περίπτωση,, Lˆx η κατάσταση είναι η ιδιοκατάσταση m, επομένως Lˆ, ενώ Για j Lˆx Lˆ αφού είμαστε σε ιδιοκατάσταση του Lˆ. στην ιδιοκατάσταση m μηδενίζονται και οι τρεις μέσες τιμές. Σπύρος Κωνσταντογιάννης Φυσικός, M.Sc. skonstan@otmal.com 38 6//7