Θεωρία Γραμμικού Προγραμματισμού Διάλεξη 11: 18.11.2014 Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφείς: Μανιάτης Σπυρίδων & Μυρισιώτης Δημήτριος 11.1 Περί lineality space Υπενθυμίζεται η έννοια του lineality space και παρατίθεται ένα παράδειγμα σχετικό με αυτόν τον χώρο. Ορισμός 11.1 Εστω πολύεδρο P = {x Ax b}. Ως lineality space του πολυέδρου P, ή lin(p ), ορίζεται η ποσότητα: Εναλλακτικά, κάποιος δύναται να γράψει rec(p ) rec(p ) = {y Ay = 0}. lin(p ) := rec(p ) rec(p ) = {y Ay = 0}. Ο συγκεκριμένος όρος, μέχρι στιγμής, δεν έχει αποδωθεί ικανοποιητικά στην Ελληνική. Οπότε, προς το παρόν, χρησιμοποιείται αυτούσια η έκφρασή του στην Αγγλική. Στην συνέχεια, παρατίθεται το Παράδειγμα 11.1 που διευκολύνει την κατανόηση του lineality space. Παράδειγμα 11.1 Εστω ημίχωρος P, με P = { x α T x β }. Στο Σχήμα 11.1, παρουσιάζεται η μορφή του P με τρόπο τέτοιο ώστε εξηγείται η φύση του χώρου lin(p ), ως χώρου που περιέχει τις κατευθύνσεις που δεν οδηγούν εκτός του πολυέδρου. 11.2 Υποδηλούμενες Ισότητες Ακολουθεί ο ορισμός των υποδηλούμενων ισοτήτων, που ανακύπτουν σε ένα σύστημα της μορφής Ax b. Επίσης, παρουσιάζονται κάποια βασικά αποτελέσματα σχετικά με τις ισότητες αυτές. Ορισμός 11.2 Εστω σύστημα ανισώσεων Ax b. Μία ανισότητα α T i x b i καλείται υποδηλούμενη ισότητα (implicit equality) αν Ax b = α T i x = b i. Εστω, τώρα, ένα πολύεδρο P = {x R n Ax b}. Από τον Ορισμό 11.2, συνεπάγεται ότι P = {x R n Ax b} { x R n α T i x = b i }. Επίσης, με βάση τον Ορισμό 11.2, κάποιος μπορεί να διαχωρίσει το σύστημα Ax b σε δύο υποσυστήματα: 11-1
Διάλεξη 11: 18.11.2014 11-2 y α α d lin(p ) O x d P α T x = β α T x = 0 Σχήμα 11.1: Οι χώροι P και lin(p ). Στο υποσύστημα A = x b =, που περιέχει τις υποδηλούμενες ισότητες του Ax b, και το υποσύστημα A + x b +, που περιέχει τις υπόλοιπες ανισότητες του Ax b. Τα αντίστοιχα σύνολα δεικτών είναι τα I = και I + και, αν A R m n, τότε Οπότε, σχετικά με το πολύεδρο P, έχουμε ότι I = I + = I = I + = {1,..., m}. P = { x R n A = x b =, A + x b +} = { x R n A = x = b =, A + x b +}. Η Πρόταση 11.1, που ακολουθεί, αιτιολογεί την ύπαρξη κάποιου x με ειδικές ιδιότητες σχετιζόμενες με την έννοια της υποδηλούμενης ισότητας. Πρόταση 11.1 Εστω πολύεδρο P. Αν P τότε ( x) [ A = x = b = & A + x < b +]. Απόδειξη: Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις, ανάλογα αν I + = ή I +. [I + = ] Στην περίπτωση αυτή το συμπέρασμα συνάγεται τετριμμένα, καθώς αν I + = κάθε ανισότητα είναι υποδηλούμενη ισότητα.
Διάλεξη 11: 18.11.2014 11-3 [I + ] Στην περίπτωση αυτή, έχουμε ότι ( i I + ) ( x i P ) [ α T i x i < b i ]. Οπότε, θέτουμε x = 1 I + x i, i I + και παρατηρούμε ότι το συγκεκριμένο x ικανοποιεί τις A = x = b = & A + x < b +. Ακολουθεί το Θεώρημα 11.1 που αποδεικνύει μερικές ενδιαφέρουσες ιδιότητες, για μη κενά πολύεδρα, βασιζόμενο στην έννοια των υποδηλούμενων ισοτήτων. Θεώρημα 11.1 Εστω πολύεδρο P, με και P. Τότε P = {x R n Ax b} (i) aff(p ) = {x R n A = x = b = } = {x R n A = x b = }, και (ii) dim(p ) = n rank(a = ). Απόδειξη: Αποδεικνύουμε χωριστά κάθε ιδιότητα του πολυέδρου P. (i) Αρκεί να δείξουμε ότι aff(p ) {x R n A = x = b = } {x R n A = x b = } aff(p ). Ισχύει ότι P {x R n A = x = b = } οπότε, aff(p ) {x R n A = x = b = }. Επίσης λαμβάνουμε τετριμμένα ότι {x R n A = x = b = } {x R n A = x b = }. Άρα, μέχρι στιγμής, έχουμε ότι aff(p ) {x R n A = x = b = } {x R n A = x b = }, οπότε, απομένει να αποδειχθεί το {x R n A = x b = } aff(p ). Προς αυτήν την κατεύθυνση, θεωρούμε ένα αυθαίρετο σημείο ˆx R n, με A =ˆx b =, και θα προσπαθήσουμε να δείξουμε ότι ˆx aff(p ). Παρατηρούμε ότι διαχωρίζονται δύο περιπτώσεις ανάλογα αν ˆx P ή ˆx P.
Διάλεξη 11: 18.11.2014 11-4 [ˆx P ] Εστω ότι ˆx P. Τότε ˆx aff(p ) και το ζητούμενο αποδείχθηκε. [ˆx P ] Εστω, τώρα, ότι ˆx P. Τότε, από την Πρόταση 11.1, υπάρχει κάποιο x τέτοιο ώστε A = x = b = & A + x < b +. (11.1) Στην συνέχεια, θεωρούμε ως S το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα σημεία ˆx και x. Παρατηρούμε ότι S {x R n A = x b = }. Θεωρούμε, επίσης, ένα σημείο x S τέτοιο ώστε βρίσκεται «αρκούντως κοντά» στο x (βλ. Σχήμα 11.2) ή, για κάποιο «μικρό» ε > 0, x := x + ε(ˆx x) = (1 ε) x + εˆx. ˆx S x x ˆx x O Σχήμα 11.2: Τα διανύσματα x, ˆx και x, και το ευθύγραμμο τμήμα S. Εχουμε ότι x, x S. Αν, επιπλέον, αποδείξουμε ότι x P μπορούμε να συνάγουμε ότι x, x aff(p ) (11.2) και, από την (11.2), ότι η ευθεία που φέρει το τμήμα S ανήκει στο aff(p ). Τελικά, επειδή ˆx S, λαμβάνουμε, επίσης, ότι ˆx aff(p ) και η απόδειξη του (i) ολοκληρώνεται. Ομως, η δική μας εργασία δεν τελείωσε απομένει να δείξουμε ότι, όντως, x P! Για να το δείξουμε αυτό, αρκεί να δείξουμε ότι (a) A = x b =, και, (b) A + x b +.
Διάλεξη 11: 18.11.2014 11-5 Με βάση την μορφή του x, όπου θ i = ε(ˆx i x i ), x 1 + θ 1 x x 2 + θ 2 =. x n + θ n και την (11.1), παρατηρούμε ότι για κατάλληλο ε η απόλυτη τιμή κάθε θ i είναι «αρκούντως μικρή». Συνεπώς ικανοποιούνται οι συνθήκες (a) και (b) και, άρα, λαμβάνουμε ότι x P. (ii) Ισχύει ότι και, από τον ορισμό της διάστασης, ότι Επίσης, aff(p ) = {x R n A = x = b = } dim(p ) = dim(aff(p )). dim(aff(p )) = dim ({x R n A = x = b = }) Γρ. Άλγ. = n rank(a = ). Το ζητούμενο συνάγεται συνδυάζοντας τις παρατιθέμενες εξισώσεις. Η απόδειξη είναι, πλέον, πλήρης.