APEIROSTIKOS LOGISOS I ΟΛΟΗΜΕΡΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Λύσεις ασκήσεων φυλλαδίου. Άσκηση : Αποδείξτε με τον ορισμό ότι:. lim ( ) = +,. lim =,. lim ln( + ) = ln, + 4. lim + =. Λύση:. Θεωρούμε αυθαίρετο > 0 και θέλουμε να βρούμε κάποιον δ > 0 έτσι ώστε, αν είναι στο πεδίο ορισμού της y = ( ) και 0 < < δ, να συνεπάγεται ( ) >. Κατ αρχάς, παρατηρούμε ότι η σχέση 0 < < δ εξασφαλίζει ότι το είναι στο πεδίο ορισμού της y = ( ), οπότε, απλώς, θέλουμε να βρούμε κάποιον δ > 0 έτσι ώστε από την 0 < < δ να συνεπάγεται ( ) >. Διερευνούμε την ( ) > και βλέπουμε ότι είναι ισοδύναμη με την <. Άρα, είναι φανερό ότι, αν επιλέξουμε τον δ έτσι ώστε 0 < δ, τότε από την 0 < < δ συνεπάγεται η < η ( ) >. και από αυτήν συνεπάγεται. Θεωρούμε αυθαίρετο > 0 και θέλουμε να βρούμε κάποιον N > 0 έτσι ώστε, αν είναι στο πεδίο ορισμού της y = και < N, να συνεπάγεται <. Επειδή το πεδίο ορισμού της y = είναι ολόκληρο το R, θέλουμε, απλώς, να βρούμε κάποιον N > 0 έτσι ώστε από την < N να συνεπάγεται <. Βλέπουμε ότι η < είναι ισοδύναμη με την < =. Άρα, αν επιλέξουμε τον N έτσι ώστε N, τότε από την < N συνεπάγεται η < και από αυτήν συνεπάγεται η <.. Θεωρούμε αυθαίρετο ε > 0 και θέλουμε να βρούμε κάποιον δ > 0 έτσι ώστε, αν είναι στο πεδίο ορισμού της y = ln( + ) δηλαδή αν > και 0 < < δ να συνεπάγεται ln( + ) ln < ε. Βλέπουμε ότι (για > ) η ln( + ) ln < ε είναι ισοδύναμη με την ln ε < ln( + ) < ln + ε κι αυτή με την e ε < + < e ε κι αυτή με την e ε < < e ε. Παρατηρούμε ότι < e ε < < e ε, δηλαδή ο αριθμός δεν ανήκει στο διάστημα (e ε, e ε ) και μάλιστα βρίσκεται αριστερά του διαστήματος, ενώ ο αριθμός ανήκει στο διάστημα αυτό. Αν, λοιπόν, βρούμε κάποιον δ > 0 έτσι ώστε η ένωση διαστημάτων ( δ, ) (, + δ) να περιέχεται στο διάστημα (e ε, e ε ), τότε κάθε που ικανοποιεί την 0 < < δ θα ικανοποιεί και την > και την e ε < < e ε.
Επιλέγουμε, λοιπόν, τον δ > 0 έτσι ώστε να είναι το πολύ τόσος όση η απόσταση του από το κοντινότερο προς αυτόν άκρο του διαστήματος (e ε, e ε ). Δηλαδή, επιλέγουμε 0 < δ min{ (e ε ), (e ε ) } = min{ e ε, e ε } = e ε. (Για την τελευταία ισότητα αποδεικνύουμε με λίγες πράξεις ότι e ε e ε.) Ανακεφαλαιώνουμε: Επιλέγουμε κάποιον (οποιονδήποτε) δ ώστε 0 < δ e ε. Τότε από την 0 < < δ συνεπάγεται αφ ενός ότι > (οπότε ο είναι στο πεδίο ορισμού της y = ln(+) ) και αφ ετέρου ότι e ε < < e ε και από αυτήν συνεπάγεται ln( + ) ln < ε. 4. Θεωρούμε αυθαίρετο ε > 0 και θέλουμε να βρούμε κάποιον δ > 0 έτσι ώστε, αν είναι στο πεδίο ορισμού της y = + + δηλαδή αν και 0 < < δ να συνεπάγεται + + < ε. Πρώτη λύση (Σταλλόνε): Διερευνούμε την + + ότι είναι ισοδύναμη με την ε < + < +ε ανάλογα με το πρόσημο του ε. < ε και, κατ αρχάς, βλέπουμε. Τώρα διακρίνουμε περιπτώσεις Περίπτωση ε <. ε Τότε η < + < +ε είναι ισοδύναμη με την +ε < + < 6ε ε κι αυτή με την +ε < < +6ε ε. Παρατηρούμε ότι ο αριθμός δεν ανήκει στο διάστημα ( 6ε +ε, +6ε ε ) ενώ ο αριθμός ανήκει σ αυτό το διάστημα. Επομένως, επιλέγουμε έναν (οποιονδήποτε) δ > 0 το πολύ τόσο όση είναι η απόσταση του από το κοντυνότερο προς αυτόν άκρο του διαστήματος ( 6ε ). Δηλαδή, επιλέγουμε +ε, +6ε ε { 0 < δ min 6ε + ε, + 6ε } { 9ε ε = min + ε, 9ε } = 9ε ε + ε. Τότε, αν 0 < < δ συνεπάγεται αφ ενός ότι (οπότε ο ανήκει στο πεδίο ορισμού της y = + 6ε + ) και αφ ετέρου ότι +ε < < +6ε ε και από αυτήν συνεπάγεται ότι + + < ε. Περίπτωση ε =. ε Τότε η < + < +ε είναι ισοδύναμη με την 0 < + < κι αυτή με την + > κι αυτή με την >. Παρατηρούμε ότι ο αριθμός δεν ανήκει στο διάστημα (, + ) ενώ ο ανήκει στο διάστημα αυτό. Επομένως, επιλέγουμε έναν (οποιονδήποτε) δ > 0 το πολύ ίσο με την απόσταση του από το άκρο του διαστήματος, δηλαδή ( 0 < δ ) =. Τότε, αν 0 < < δ συνεπάγεται αφ ενός ότι (οπότε ο ανήκει στο πεδίο ορισμού της y = + + ) και αφ ετέρου ότι > και από αυτήν συνεπάγεται ότι + + < ε (με ε = ). Περίπτωση ε >. ε Τότε η < + < +ε είναι ισοδύναμη με είτε 6ε (0 <) +ε < + είτε + < ε (< 0), δηλαδή ισοδύναμη με είτε > +ε είτε < +6ε ε. Παρατηρούμε ότι ο αριθμός ανήκει στο διάστημα ( 6ε +ε, + ), οπότε
επικεντρωνόμαστε σ αυτό το διάστημα, και, επίσης, παρατηρούμε ότι ο αριθμός δεν ανήκει σ αυτό το διάστημα. Επομένως, επιλέγουμε έναν (οποιονδήποτε) δ > 0 το πολύ ίσο με την απόσταση του από το άκρο 6ε +ε αυτού του διαστήματος, δηλαδή 0 < δ 6ε + ε = 9ε + ε. Τότε, αν 0 < < δ συνεπάγεται αφ ενός ότι (οπότε ο ανήκει στο πεδίο ορισμού της y = + 6ε + ) και αφ ετέρου ότι > +ε και από αυτήν συνεπάγεται + + < ε. Ανακεφαλαιώνουμε: Επιλέγουμε κάποιον (οποιονδήποτε) δ ώστε 0 < δ Δηλαδή, σε κάθε περίπτωση επιλέγουμε 9ε +ε, αν 0 < ε <,, αν ε =, 9ε +ε, αν ε >. 0 < δ 9ε + ε. Τότε από την 0 < < δ συνεπάγεται αφ ενός ότι (οπότε ο είναι στο πεδίο ορισμού της y = + + + ) και αφ ετέρου ότι + < ε. Δεύτερη λύση (Οδυσσέας): Θέλοντας να αποφύγουμε το «κακό» σημείο στο οποίο ο λόγος + + απειρίζεται, αποφασίζουμε να επιλέξουμε κάποιον δ > 0 ο οποίος θα είναι μικρότερος από την απόσταση του αριθμού από το, δηλαδή δ <. Για παράδειγμα, αποφασίζουμε να επιλέξουμε δ > 0 έτσι ώστε δ. Η σχέση + + < ε είναι ισοδύναμη με την + < ε. Τώρα σκεφτόμαστε ότι οι που ικανοποιούν την 0 < < δ ικανοποιούν και την < (αφού δ ) και, επομένως, και την < < και, επομένως, και την < + και, επομένως, και την + <. Σκεφτόμαστε, επίσης, ότι (λόγω της τελευταίας ανισότητας) από την < ε συνεπάγεται η + < ε. Επομένως, αν βρούμε κάποιον δ έτσι ώστε από την 0 < < δ να συνεπάγεται η < ε, τότε (με τον ίδιο δ) από την 0 < < δ θα συνεπάγεται και η + < ε. Ομως, για να συνεπάγεται η < ε από την 0 < < δ, είναι φανερό ότι αρκεί να επιλέξουμε κάποιον (οποιονδήποτε) δ ώστε 0 < δ ε. Επειδή θέλουμε να είναι και δ, τελικά επιλέγουμε {, αν ε 0 < δ min{ε, } =, ε, αν 0 < ε <. Ανακεφαλαιώνουμε: Επιλέγουμε κάποιον (οποιονδήποτε) δ ώστε 0 < δ min{ε, }. Τότε από την 0 < < δ συνεπάγεται αφ ενός ότι < (αφού δ ) οπότε > (οπότε, δηλαδή ο είναι στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης)
οπότε + > και αφ ετέρου ότι < ε (αφού δ ε) και, επομένως, ότι + + < < ε και, επομένως, ότι + < ε. Άσκηση : Υπολογίστε με τον ορισμό τα πλευρικά όρια στο των παρακάτω συναρτήσεων και εξετάστε αν υπάρχουν τα όρια καθώς. {, αν >, f() =, αν <. g() = { +, αν >,, αν <. Λύση:. Αν το πλησιάζει το από δεξιά, καταλαβαίνουμε «διαισθητικά» ότι η παράσταση f() = πλησιάζει το. Θα αποδείξουμε, επομένως, ότι lim + f() =, δηλαδή ότι lim + ( ) =. Γι αυτό θεωρούμε αυθαίρετο ε > 0 και θα βρούμε κατάλληλο δ > 0 ώστε, αν το ανήκει στο πεδίο ορισμού της f και είναι 0 < < δ να συνεπάγεται ( ) < ε. Επειδή η σχέση 0 < < δ αποκλείει από μόνη της να ισχύει = (δηλαδή το να είναι το έξω από το πεδίο ορισμού της συνάρτησης), θέλουμε να βρούμε δ > 0 ώστε από την 0 < < δ να συνεπάγεται ( ) < ε. Τώρα, η ( ) < ε είναι ισοδύναμη με την < ε. Άρα επιλέγουμε έναν οποιονδήποτε δ ώστε 0 < δ ε και τότε: από την 0 < < δ συνεπάγεται < ε και από αυτήν συνεπάγεται ( ) < ε. Αν το πλησιάζει το από αριστερά, καταλαβαίνουμε ότι η παράσταση f() = τείνει στο, αφού ο αριθμητής είναι περίπου και ο παρονομαστής είναι πολύ μικρός και αρνητικός. Άρα, θα αποδείξουμε ότι lim f() =, δηλαδή ότι lim =. Γι αυτό θεωρούμε αυθαίρετο > 0 και θα βρούμε κατάλληλο δ > 0 ώστε, αν το ανήκει στο πεδίο ορισμού της f και είναι δ < < 0 να συνεπάγεται <. Επειδή, και πάλι, η σχέση δ < < 0 αποκλείει από μόνη της να ισχύει =, θέλουμε να βρούμε δ > 0 ώστε από την δ < < 0 να συνεπάγεται <. Τώρα, η < είναι ισοδύναμη (αφού < ) με την > +. Παρατηρούμε ότι ο αριθμός ανήκει στο διάστημα ( +, + ) και ότι θέλουμε να βρούμε δ > 0 ώστε το διάστημα ( δ, ) να περιέχεται στο διάστημα ( +, + ). Άρα επιλέγουμε έναν οποιονδήποτε δ ώστε 0 < δ + και τότε: από την δ < < 0 συνεπάγεται > + και από αυτήν συνεπάγεται <. Επειδή τα δυο πλευρικά όρια είναι διαφορετικά, το lim f() δεν υπάρχει.. Αν το πλησιάζει το από δεξιά, καταλαβαίνουμε ότι η παράσταση g() = + πλησιάζει το 5. Θα αποδείξουμε, επομένως, ότι lim + g() = 5, δηλαδή ότι lim + (+) = 5. Γι αυτό θεωρούμε αυθαίρετο ε > 0 και θα βρούμε κατάλληλο δ > 0 ώστε, αν το ανήκει στο πεδίο ορισμού της g και είναι 0 < < δ να συνεπάγεται ( + ) 5 < ε. Επειδή η σχέση 0 < < δ αποκλείει από μόνη της να ισχύει = (δηλαδή το να είναι το έξω από το πεδίο ορισμού της συνάρτησης), θέλουμε να βρούμε δ > 0 ώστε από την 0 < < δ να συνεπάγεται ( + ) 5 < ε. Τώρα, η ( + ) 5 < ε είναι ισοδύναμη με την < ε. Άρα επιλέγουμε έναν οποιονδήποτε δ ώστε 0 < δ ε και τότε: από την 0 < < δ συνεπάγεται < ε και από αυτήν συνεπάγεται ( + ) 5 < ε. 4
Αν το πλησιάζει το από αριστερά, καταλαβαίνουμε ότι η παράσταση g() = πλησιάζει το. Θα αποδείξουμε, επομένως, ότι lim g() =, δηλαδή ότι lim ( ) =. Θεωρούμε, επομένως, αυθαίρετο ε > 0 και θα βρούμε κατάλληλο δ > 0 ώστε, αν το ανήκει στο πεδίο ορισμού της g και είναι δ < < 0 να συνεπάγεται ( ) ( ) < ε. Επειδή η σχέση δ < < 0 αποκλείει από μόνη της να ισχύει =, θέλουμε να βρούμε δ > 0 ώστε από την δ < < 0 να συνεπάγεται ( ) ( ) < ε. Τώρα, η ( ) ( ) < ε είναι ισοδύναμη με την < ε. Άρα επιλέγουμε έναν οποιονδήποτε δ ώστε 0 < δ ε και τότε: από την δ < < 0 συνεπάγεται < ε και από αυτήν συνεπάγεται ( ) ( ) < ε. Επειδή τα δυο πλευρικά όρια είναι διαφορετικά, το lim g() δεν υπάρχει. Άσκηση : Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι ισοδύναμες με το ότι το όριο τής f() καθώς το τείνει στο ξ είναι l; Αιτιολογήστε πλήρως τίς απαντήσεις σας.. Για κάθε 0 < ε < υπάρχει δ > 0 τέτοιο ώστε για κάθε στο πεδίο ορισμού τής f, αν 0 < ξ < δ τότε f() l < ε.. Για κάθε ε > υπάρχει δ > 0 τέτοιο ώστε για κάθε στο πεδίο ορισμού τής f, αν 0 < ξ < δ τότε f() l < ε.. Για κάθε ε > 0 υπάρχει 0 < δ < τέτοιο ώστε για κάθε στο πεδίο ορισμού τής f, αν 0 < ξ < δ τότε f() l < ε. Λύση:. Πρέπει να δούμε αν είναι ισοδύναμη η πρόταση «για κάθε 0 < ε < υπάρχει δ > 0 τέτοιο ώστε για κάθε στο πεδίο ορισμού τής f, αν 0 < ξ < δ τότε f() l < ε» με το lim ξ f() = l, δηλαδή με την πρόταση «για κάθε ε > 0 υπάρχει δ > 0 τέτοιο ώστε για κάθε στο πεδίο ορισμού τής f, αν 0 < ξ < δ τότε f() l < ε». Ας υποθέσουμε ότι η δεύτερη πρόταση είναι αληθής. Δηλαδή ότι «για κάθε ε > 0 υπάρχει...». Αν θεωρήσουμε έναν αυθαίρετο ε που ικανοποιεί την 0 < ε <, τότε αυτός ο ε προφανώς ικανοποιεί και την ε > 0. Επομένως, για αυτόν τον (αυθαίρετο) ε θα υπάρχει.... Αποδείξαμε, λοιπόν, ότι «για κάθε 0 < ε < υπάρχει...». Άρα, αν η δεύτερη πρόταση είναι αληθής τότε και η πρώτη πρόταση είναι αληθής. Ας υποθέσουμε ότι η πρώτη πρόταση είναι αληθής. Δηλαδή ότι «για κάθε 0 < ε < υπάρχει...». Αν θεωρήσουμε έναν αυθαίρετο ε που ικανοποιεί την ε > 0, διακρίνουμε δυο περιπτώσεις. Πρώτη περίπτωση: Ισχύει 0 < ε <. Τότε για αυτόν τον ε θα υπάρχει.... Δεύτερη περίπτωση: Ισχύει ε. Σ αυτήν την περίπτωση παίρνουμε έναν δεύτερο ε ο οποίος να ικανοποιεί την 0 < ε <. Για παράδειγμα, παίρνουμε τον ε =. Σύμφωνα με την υπόθεσή μας, θα υπάρχει δ > 0 τέτοιο ώστε για κάθε 5
στο πεδίο ορισμού τής f, αν 0 < ξ < δ τότε f() l <. Επειδή, όμως, < ε, συμπεραίνουμε ότι υπάρχει δ > 0 τέτοιο ώστε για κάθε στο πεδίο ορισμού τής f, αν 0 < ξ < δ τότε f() l < ε. Άρα και γι αυτόν τον ε θα υπάρχει.... Συνδυάζοντας τις δυο περιπτώσεις, καταλήγουμε στο ότι «για κάθε ε > 0 υπάρχει...». Άρα, αν η πρώτη πρόταση είναι αληθής τότε και η δεύτερη πρόταση είναι αληθής. Άρα οι δυο προτάσεις είναι ισοδύναμες.. Πρέπει να δούμε αν είναι ισοδύναμη η πρόταση «για κάθε ε > υπάρχει δ > 0 τέτοιο ώστε για κάθε στο πεδίο ορισμού τής f, αν 0 < ξ < δ τότε f() l < ε» με το lim ξ f() = l, δηλαδή με την πρόταση «για κάθε ε > 0 υπάρχει δ > 0 τέτοιο ώστε για κάθε στο πεδίο ορισμού τής f, αν 0 < ξ < δ τότε f() l < ε». Ας υποθέσουμε ότι η δεύτερη πρόταση είναι αληθής. Δηλαδή ότι «για κάθε ε > 0 υπάρχει...». Αν θεωρήσουμε έναν αυθαίρετο ε που ικανοποιεί την ε >, τότε αυτός ο ε προφανώς ικανοποιεί και την ε > 0. Επομένως, για αυτόν τον (αυθαίρετο) ε θα υπάρχει.... Αποδείξαμε, λοιπόν, ότι «για κάθε ε > υπάρχει...». Άρα, αν η δεύτερη πρόταση είναι αληθής τότε και η πρώτη πρόταση είναι αληθής. Αν προσπαθήσουμε να αποδείξουμε ότι «αν η πρώτη πρόταση είναι αληθής τότε και η δεύτερη πρόταση είναι αληθής» δεν θα τα καταφέρουμε. Ο πιο σίγουρος τρόπος να δούμε ότι η πρώτη πρόταση δεν συνεπάγεται την δεύτερη πρόταση είναι με ένα «αντιπαράδειγμα». Θεωρούμε την συνάρτηση f() = {, αν > 0, =, αν < 0, τον αριθμό ξ = 0 και τον αριθμό l = 0. Θα δείξουμε ότι στην περίπτωση αυτή η πρώτη πρόταση είναι αληθής. Πράγματι, θεωρούμε έναν αυθαίρετο ε >. Παρατηρούμε ότι η σχέση f() 0 < ε ισχύει για κάθε 0, αφού είναι f() 0 = ± 0 = < ε. Άρα υπάρχει δ > 0 πάρτε για παράδειγμα τον δ = τέτοιο ώστε για κάθε στο πεδίο ορισμού τής f, αν 0 < 0 < δ = (δηλαδή, αν 0 < < ) τότε f() 0 < ε. Από την άλλη μεριά, η δεύτερη πρόταση δεν είναι αληθής. Πράγματι, το lim 0 f() = 0 δεν είναι σωστό, αφού (όπως έχουμε δει) το lim 0 f() δεν υπάρχει.. Πρέπει να δούμε αν είναι ισοδύναμη η πρόταση «για κάθε ε > 0 υπάρχει 0 < δ < τέτοιο ώστε για κάθε στο 6
πεδίο ορισμού τής f, αν 0 < ξ < δ τότε f() l < ε» με το lim ξ f() = l, δηλαδή με την πρόταση «για κάθε ε > 0 υπάρχει δ > 0 τέτοιο ώστε για κάθε στο πεδίο ορισμού τής f, αν 0 < ξ < δ τότε f() l < ε». Ας υποθέσουμε ότι η πρώτη πρόταση είναι αληθής. Δηλαδή ότι «για κάθε ε > 0 υπάρχει 0 < δ < τέτοιο ώστε...». Επειδή, όμως, κάθε δ που ικανοποιεί την 0 < δ < ικανοποιεί προφανώς και την δ > 0, συμπεραίνουμε αμέσως ότι «για κάθε ε > 0 υπάρχει δ > 0 τέτοιο ώστε...». Άρα, αν η πρώτη πρόταση είναι αληθής τότε και η δεύτερη πρόταση είναι αληθής. Ας υποθέσουμε ότι η δεύτερη πρόταση είναι αληθής. Δηλαδή ότι «για κάθε ε > 0 υπάρχει δ > 0 τέτοιο ώστε...». Ας θεωρήσουμε τώρα έναν αυθαίρετο ε > 0. Σύμφωνα με την υπόθεσή μας, υπάρχει κάποιο δ > 0 τέτοιο ώστε «για κάθε στο πεδίο ορισμού τής f, αν 0 < ξ < δ τότε f() l < ε». Διακρίνουμε δυο περιπτώσεις. Πρώτη περίπτωση: Ισχύει 0 < δ <. Τότε γι αυτόν τον ε > 0 υπάρχει 0 < δ < τέτοιο ώστε.... Δεύτερη περίπτωση: Ισχύει δ. Σ αυτήν την περίπτωση παίρνουμε ένα δεύτερο δ ο οποίος να ικανοποιεί την 0 < δ <. Για παράδειγμα, παίρνουμε το δ =. Τότε για κάθε στο πεδίο ορισμού τής f, αν 0 < ξ < δ = τότε 0 < ξ < δ (αφού < δ) οπότε (σύμφωνα με αυτό που ισχύει) f() l < ε. Άρα, γι αυτόν τον ε > 0 υπάρχει 0 < δ = < τέτοιο ώστε.... Συνδυάζοντας τις δυο περιπτώσεις, καταλήγουμε στο ότι «για κάθε ε > 0 υπάρχει 0 < δ < (το αρχικό δ στην πρώτη περίπτωση και το δ = στην δεύτερη περίπτωση) τέτοιο ώστε...». Άρα, αν η δεύτερη πρόταση είναι αληθής τότε και η πρώτη πρόταση είναι αληθής. Άρα οι δυο προτάσεις είναι ισοδύναμες. 7