ΑΣΚΗΣΗ : Εθύγραµµη κίνηση Σκοπός Σκοπός της άσκησης είναι να σνθέσετε µια εργασία πο περιλαµβάνει : α. µορφοποιηµένο κείµενο µε σχέσεις-εξισώσεις γ. πίνακα δεδοµένων και γραφική παράσταση δ. εικόνα και σχήµα Απαιτούµενο Λογισµικό Για την άσκηση θα χρησιµοποιήσετε : α. το πρόγραµµα word για τη σύνταξη της εργασίας σας β. το δικτακό τόπο http://zeus.physics.auth.gr/lab_hy γ. το πρόγραµµα VideoJavaLab για τις µετρήσεις σας δ. το πρόγραµµα paint για σύνθεση σχήµατος και επεξεργασία εικόνας ε. το πρόγραµµα dplot για σύνθεση και την επεξεργασία γραφικής παράστασης Μετρήσεις video α. από το δικτακό τόπο το µαθήµατος επιλέξτε το Lab β. ακολοθώντας τις οδηγίες κάνετε τις µετρήσεις για όλα τα στιγµιότπα της κίνησης γ. από τις γραφικές παραστάσεις επιλέξτε την παράσταση Χ-t δ. σηµειώστε το τετράδιό σας τον πίνακα τιµών Χ-t Μεταφορά εικόνας στο word α. αφού έχετε ολοκληρώσει τις µετρήσεις, επιλέξτε το ίχνη ώστε να εµφανιστούν την εικόνα το video τα ίχνη των µετρήσεών σας. β. στο πληκτρολόγιο πατήστε το πλήκτρο PrtScn Με τη διεργασία ατή αντιγράφοµε το περιεχόµενο της οθόνης µας ως εικόνα στο clipboard. γ. µεταφέρετε στο paint το περιεχόµενο το clipboard µε τη διαδικασία της επικόλλησης (paste) δ. αποκόψετε (cut) το κοµµάτι της εικόνας πο σας ενδιαφέρει και αναφέρεται στο video και επικολλήστε το στο word. ηµιοργία γραφικής παράστασης α. στο πρόγραµµα dplot εισάγετε τα δεδοµένα των µετρήσεων σας β. δηµιοργήστε τη γραφική παράσταση X-t γ. µορφοποιήστε τη γραφική παράσταση (σηµεία και όχι σνεχόµενη γραµµή) δ. µορφοποιήστε τος άξονες στη γραφική παράσταση ε. µεταφέρετε την γραφική παράσταση στο word. Επέκταση της άσκησης (εργασία για το σπίτι) α. για το θεωρητικό µέρος κάνετε επιλογή κειµένο και σχηµάτων από το πόδειγµα θεωρίας πο σας δίνεται. Το θεωρητικό µέρος καλύπτει περίπο 1 σελίδα β. για το πειραµατικό µέρος ακολοθήστε τις ποδείξεις πο σας δίνονται. γ. στο τέλος της άσκησης, εισάγετε τη βιβλιογραφία όπως φαίνεται στο πόδειγµα θεωρίας. δ. για τη µορφή της εργασίας σας, ακολοθήστε το πόδειγµα πο σας δίνεται. ε. εκτπώστε την εργασία σας για να την παραδώσετε στο επόµενο εργαστήριο. Υποδείξεις για το word Από το πρόγραµµα word θα χρειαστεί να γνωρίζετε : α. πως εισάγοµε και πως µορφοποιούµε κείµενο (περιθώρια, παράγραφοι, στοίχιση) β. πως εισάγοµε πίνακες, εξισώσεις, εικόνες και σχήµατα δ. πως εισάγοµε ποσέλιδo (footer) και κεφαλίδα (header) σε µια σελίδα ε. πως εισάγοµε αρίθµηση στις σελίδες όνοµα άσκηση 1
σειρές κενές σειρές κενές ΑΣΚΗΣΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ Όνοµα Περίληψη Στο τµήµα ατό γράφετε µια σύντοµη (3-4 σειρές) περίληψη της άσκησης. Η περίληψη γράφεται σε πλάγια γράµµατα 1 στιγµών. Έχει πλήρη στοίχιση και περιθώρια κατά 1 cm µεγαλύτερα από τα κανονικά περιθώρια της σελίδας Θεωρητικό µέρος Στο τµήµα ατό γράφετε σνοπτικά τη βασική θεωρία της άσκησης και παραθέτετε τα απαραίτητα σχήµατα και τις σχέσεις πο θα χρησιµοποιήσετε. Οι σχέσεις είναι αριθµηµένες, και κάθε φορά επεξηγείτε τα σύµβολα πο χρησιµοποιείτε. Το κείµενο έχει πλήρη στοίχιση και κανονικά γράµµατα 1 στιγµών. Σε κάθε παράγραφο το κείµενο ξεκινά.5cm εσωτερικά. Τα σχήµατα έχον λεζάντα, µε πλάγια γράµµατα 1 στιγµών. Τα σχήµατα και οι λεζάντες τος έχον κεντρική στοίχιση. Πειραµατικό µέρος Στο τµήµα ατό περιγράφετε σνοπτικά το πειραµατικό µέρος και τον τρόπο πο πήρατε τις µετρήσεις. Στο τµήµα ατό περιλαµβάνετε την εικόνα το πειράµατος και τος πίνακες µε τις πειραµατικές µετρήσεις. Το κείµενο έχει πλήρη στοίχιση και κανονικά γράµµατα 1 στιγµών. Σε κάθε παράγραφο το κείµενο ξεκινά.5cm εσωτερικά Επεξεργασία των µετρήσεων Στο τµήµα ατό περιγράφετε αναλτικά την επεξεργασία των µετρήσεων, και απαντάτε στα ερωτήµατα της κάθε άσκησης. Το κείµενο έχει πλήρη στοίχιση και κανονικά γράµµατα 1 στιγµών. Σε κάθε παράγραφο το κείµενο ξεκινά.5cm εσωτερικά όνοµα άσκηση
ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ Θεωρητικό Πλαίσιο Μέση Ταχύτητα (u µ ) Από την καθηµερινή µας εµπειρία γνωρίζοµε ότι η λέξη κίνηση περιγράφει τη σνεχή µεταβολή της θέσης ενός σώµατος. Σε αρκετές περιπτώσεις µπορούµε να θεωρήσοµε ότι ένα αντικείµενο πο κινείται µπορεί να θεωρηθεί ότι είναι ένα απλό σωµάτιο (µαθηµατικό λικό σηµείο χωρίς διαστάσεις, αλλά µε µάζα), ιδίως στις περιπτώσεις πο µελετούµε µόνο µεταφορική κίνηση. Η κίνηση ενός σώµατος είναι πλήρως γνωστή όταν η θέση το σώµατος στον χώρο είναι γνωστή για κάθε χρονική στιγµή. Θεωρήστε ένα σώµα πο κινείται από το σηµείο P 1 στο σηµείο P. Έστω ότι το σώµα βρίσκεται στο σηµείο P 1, το οποίο η θέση είναι x 1, τη χρονική στιγµή t 1, και στο σηµείο P, το οποίο η σντεταγµένη είναι x, την χρονική στιγµή t. Στο χρονικό διάστηµα t t 1, η µετατόπιση το σώµατος είναι xx -x 1. Η µέση ταχύτητα σώµατος u µ, ισούται µε τον λόγο της µετατόπισης, x, δια το αντίστοιχο χρονικού διαστήµατος : µ X X t t 1 1 X Παρατηρούµε ότι η µέση ταχύτητα u µ έχει διαστάσεις µήκος προς χρόνο ή m/s στο σύστηµα SI. Φαίνεται επίσης ότι η µέση ταχύτητα είναι ανεξάρτητη από τη διαδροµή το κινητού ανάµεσα στο P 1 και στο P. Ατό σµβαίνει διότι η µέση ταχύτητα είναι ανάλογη προς την µετατόπιση x, η οποία µε τη σειρά της εξαρτάται µόνο από τις αρχικές και τις τελικές σντεταγµένες το σώµατος. Έπεται λοιπόν ότι η µέση ταχύτητα ενός σώµατος πού επιστρέφει στο σηµείο από το οποίο ξεκίνησε είναι µηδέν, µια και η µετατόπιση της τροχιάς είναι µηδέν. εν πρέπει να σγχέετε τη µετατόπιση µε την απόσταση πο διήνσε το κινητό. Έτσι, η έννοια της µέσης ταχύτητας δεν µας δίνει λεπτοµέρειες για την κίνηση ανάµεσα στο P 1 και P. Τέλος, σηµειώστε το γεγονός ότι η µέση ταχύτητα σε µία διάσταση µπορεί να είναι θετική ή αρνητική, ανάλογα µε το πρόσηµο της µετατόπισης, αφού το χρονικό διάστηµα είναι πάντοτε θετικό. Εάν η σντεταγµένη το σώµατος αξάνεται σναρτήσει το χρόνο (δηλαδή x >x 1 ) τότε το x είναι θετικό και η u µ είναι θετική. Ατό αντιστοιχεί σε µια ταχύτητα στη θετική διεύθύνση το x. Ενώ εάν η τιµή της σντεταγµένης µειώνεται (x <x 1 ) τότε το x είναι αρνητικό, εποµένως η u µ είναι αρνητική (κίνηση προς την αρνητική διεύθνση το x).η µέση ταχύτητα φαίνεται γραφικά αν σχεδιάσοµε µία εθεία γραµµή ανάµεσα στα σηµεία P 1 και P το Σχήµατος 1. Ατή η γραµµή είναι η ποτείνοσα ενός ορθογωνίού τριγώνο µε πλερές το x και το. Η κλίση ατής της γραµµής είναι ο λόγος x/.εποµένως, βλέποµε ότι η µέση ταχύτητα ενός σώµατος κατά τη διάρκεια το χρονικού διαστήµατος πο αρχίζει τη στιγµή t 1 και τελειώνει τη στιγµή t ισούται µε την κλίση της εθείας γραµµής πο σνδέει την αρχή και το τέλος της διαδροµής στη γραφική παράσταση απόστασης-χρόνο. Στιγµιαία Ταχύτητα (u σ ) Ακόµη όµως κι όταν η ταχύτητα ενός σωµατίο αξάνει ή µειώνεται µπορούµε και πάλι να την ορίσοµε σε µια ορισµένη χρονική στιγµή ή σε ένα ορισµένο σηµείο της τροχιάς το σωµατίο. Η ταχύτητα ατή ονοµάζεται στιγµιαία ταχύτητα και πρέπει να οριστεί προσεκτικά. Για να βρούµε τη στιγµιαία ταχύτητα το σώµατος πο η τροχιά το φαίνεται στο Σχήµα, στο σηµείο Ρ 1, φανταζόµαστε πως λαµβάνοµε το δεύτερο σηµείο P όλο και πιο κοντά στο πρώτο σηµείο Ρ 1. Υπολογίζοµε δηλαδή τη µέση ταχύτητα για όλο και µικρότερες µετατοπίσεις και αντίστοιχα για όλο και όνοµα άσκηση 3
µικρότερα χρονικά διαστήµατα. Τόσο οι διαφορές x, όσο και οι µικραίνον πολύ αλλά ο λόγος τος δεν µικραίνει αναγκαστικά. X lim dx dt Η σνιστώσα της στιγµιαίας ταχύτητας u σ, ορίζεται ως η οριακή τιµή, προς την οποία πλησιάζει η διαδοχή των µέσων ταχτήτων, καθώς το χρονικό διάστηµα γίνεται πολύ µικρό και το σηµείο Ρ, όλο και πλησιάζει στο Ρ 1. Η ποσότητα είναι πάντα θετική και η u σ έχει το ίδιο αλγεβρικό ορόσηµο µε την x. Αν η θετική κατεύθνση τον άξονα x είναι προς τα δεξιά, όπως στο Σχήµα., θετική τιµή της u σ σηµαίνει κίνηση προς τα δεξιά ενώ αρνητική τιµή σηµαίνει κίνηση προς τα αριστερά. Αλλά ένα σώµα µπορεί να έχει θετική σντεταγµένη x και αρνητική ταχύτητα u σ ή το αντίστροφο. Η τιµή το xµας ποδεικνύει πο βρίσκεται το κινητό ενώ η τιµή της u σ προσδιορίζει πώς κινείται. Η στιγµιαία ταχύτητα, όπως και η µέση ταχύτητα είναι διανσµατική ποσότητα. Όταν χρησιµοποιούµε τον όρο ταχύτητα εννοούµε πάντα τη στιγµιαία ταχύτητα u σ κι όχι τη µέση ταχύτητα u µ εκτός αν σαφώς δηλώσοµε το αντίθετο. Καθώς το σηµείο P στο Σχήµα 1. πλησιάζει το Ρ 1, οριακά η κλίση της γραµµής p 1 p ισούται µε την κλίση της εφαπτοµένης της καµπύλης στο σηµείο P 1 (Σχήµα.) την οποία πολογίζοµε διαιρώντας ένα κάθετο διάστηµα (µε µονάδες απόστασης) µ' ένα οριζόντιο διάστηµα (µε µονάδες χρόνο). Στο διάγραµµα µιας σντεταγµένης σαν σνάρτησης τον χρόνο η στιγµιαία ταχύτητα σε κάθε σηµείο ισούται µε την κλίση της εφαπτοµένης της καµπύλης σ' εκείνο το σηµείο. Αν η εφαπτοµένη κοιτάζει πάνω, όταν προχωράµε δεξιά, η κλίση της είναι θετική, η ταχύτητα είναι θετική και η κίνηση γίνεται προς τη θετική κατεύθύνση x. Αν, αντίθετα, η εφαπτοµένη κοιτάζει κάτω, η ταχύτητα είναι αρνητική και η κίνηση γίνεται προς την αρνητική κατεύθνση x. Όταν η εφαπτοµένη είναι οριζόντια η κλίση και η ταχύτητα µηδενίζονται. Μέση και Στιγµιαία Επιτάχνση (γ µ ) & (γ σ ) Όταν η ταχύτητα κινούµενού σώµατος µεταβάλλεται µε το χρόνο, λέµε ότι το σώµα επιταχύνεται. Ακριβώς όπως η ταχύτητα περιγράφει το ρθµό µεταβολής της θέσης µε το χρόνο, έτσι και η επιτάχνση περιγράφει το ρθµό µεταβολής της ταχύτητας µε το χρόνο. Όπως η ταχύτητα, έτσι και η επιτάχνση είναι διανσµατικό µέγεθος. Ας µελετήσούµε και πάλι την κίνηση σωµατίο κατά µήκος το άξονα x. Υποθέστε πως τη χρονική στιγµή t 1, το σωµάτιο βρίσκεται στο σηµείο P 1 και έχει στιγµιαία ταχύτητα µε σνιστώσα x ίση µε u 1, ενώ την κατοπινή στιγµή t βρίσκεται στο σηµείο Ρ και η σνιστώσα της ταχύτητάς το είναι u. H µέση επιτάχνση γ µ το σωµατίο, καθώς ατό κινείται από το σηµείο P 1, στο Ρ, ορίζεται ως το & διανσµατικό µέγεθος το οποίο η σνιστώσα x είναι ο λόγος της µεταβολής της σνιστώσας x της ταχύτητας, uu -u 1, προς το χρονικό διάστηµα t -t 1 : Όταν η κίνηση γίνεται σε µια διάσταση θα αναφερόµαστε σνήθως στην γ µ σαν «µέση επιτάχνση» αντί σαν σνιστώσα x της µέσης επιτάχνσης. όνοµα άσκηση 4
d γ lim dt Για να ορίσοµε τη στιγµιαία επιτάχνση στο σηµείο P 1, παίρνοµε το δεύτερο σηµείο P στο Σχήµα 3, όλο και κοντύτερα στο πρώτο σηµείο Ρ,, ώστε να πολογίζοµε τη µέση επιτάχνση για όλο και µικρότερα χρονικά διαστήµατα. Η στιγµιαία επιτάχνση στο σηµείο P 1, είναι το όριο στο οποίο πλησιάζει η µέση επιτάχνση καθώς το χρονικό διάστηµα πλησιάζει το µηδέν. Στη γλώσσα τον απειροστικού λογισµού η στιγµιαία επιτάχνση είναι η παράγωγος της στιγµιαίας ταχύτητας: 1 γ µ t t1 Η στιγµιαία επιτάχνση παίζει κεντρικό ρόλο στος νόµος της µηχανικής. Από εδώ και πέρα όταν χρησιµοποιούµε τον όρο επιτάχνση θα εννοούµε πάντα τη στιγµιαία κι όχι τη µέση επιτάχνση. Η στιγµιαία επιτάχνση µπορεί να εκφραστεί και ως d γ dt d d dx d X γ dt dt dt dt δηλαδή ως τη δεύτερη παράγωγος το x ως προς t. Όταν µετράµε την ταχύτητα σε µέτρα και το χρόνο σε δετερόλεπτα, η επιτάχνση θα µετράται σε µέτρα ανά δετερόλεπτο ανά δετερόλεπτο ή (m/s)/s. Ατή τη µονάδα σνήθως τη σµβολίζούµε σαν m/s και την διαβάζούµε µέτρα ανά δετερόλεπτο τετράγωνο. Κίνηση µε σταθερή επιτάχνση γ Η απλούστερη επιταχνόµενη κίνηση είναι η εθύγραµµη κίνηση µε σταθερή επιτάχύνση. Στην περίπτωση ατή η ταχύτητα µεταβάλλεται µε τον ίδιο ρθµό κατά τη διάρκεια της κίνησης. Η κλίση το διαγράµµατος της ταχύτητας σαν σνάρτησης το χρόνο είναι σταθερή και η καµπύλη είναι εθεία γραµµή (Σχήµα 4). Σε ίσα χρονικά διαστήµατα η ταχύτητα µεταβάλλεται κατά ίσα ποσά. Στην περίπτωση ατή είναι εύκολο να εκφράσοµε τη θέση x και την ταχύτητα u σαν σναρτήσεις το χρόνο. Ας αρχίσοµε µε την ταχύτητα. Αν στη σχέση πο περιγράφει τη µέση επιτάχνση 1 γ µ t t1 θέσοµε στις αρχικές σνθήκες t 1 και u 1 u, ενώ στην τελική κατάσταση αντίστοιχα t t και u u θα έχοµε γ ή + γ t t όνοµα άσκηση 5
Η επιτάχνση γ είναι ο σταθερός ρθµός µεταβολής της ταχύτητας, δηλ. η µεταβολή της ταχύτητας ανά µονάδα χρόνο. Ο όρος γ. t είναι το γινόµενο της µεταβολής της ταχύτητας ανά µονάδα χρόνο γ, και το χρονικού διαστήµατος t. Ατός, εποµένως, ισούται µε τη σνολική µεταβολή της ταχύτητας από την αρχική χρονική στιγµή t ως την κατοπινή στιγµή t. Άρα, η ταχύτητα u σε οποιαδήποτε στιγµή t ισούται µε την αρχική ταχύτητα (για t) σν τη µεταβολή της, γ. t. Γραφικά µπορούµε να θεωρούµε το ύψος u το διαγράµµατος στο Σχήµα 4. κάθε χρονική στιγµή t σαν άθροισµα δύο τµηµάτων: ενός τµήµατος µε µήκος u, ίσο µε την αρχική ταχύτητα και ενός άλλο µε µήκος γ. t, ίσο µε τη µεταβολή της ταχύτητας κατά τη διάρκεια τον χρονικού διαστήµατος t. Για να πολογίσοµε στη σνέχεια την εξίσωση της θέσης, χρησιµοποιούµε δύο διαφορετικές εκφράσεις της µέσης ταχύτητας u µ κατά το χρονικό διάστηµα µεταξύ της στιγµής t και οποιασδήποτε κατοπινής στιγµής t. Όταν η επιτάχνση είναι σταθερή το διάγραµµα ταχύτητας-χρόνο αποτελεί εθεία γραµµή, όπως στο Σχήµα 4. και σνεπώς η ταχύτητα µεταβάλλεται µε σταθερό ρθµό. Σε ατή την ειδική περίπτωση, η µέση ταχύτητα για οποιοδήποτε χρονικό διάστηµα είναι απλώς o µέσος όρος των ταχτήτων στην αρχή και το τέλος το διαστήµατος ατού. Για το χρονικό διάστηµα από ως t έχοµε : + µ γ t και τατόχρονα uu +γ. t. Σνεπώς η µέση ταχύτητα προκύπτει + Αν θµηθούµε όµως πως µ X X t προκύπτει τελικά η εξίσωση της θέσης : X X γ t + t + Βιβλιογραφία HALLIDAY D. & RESNICK R. (1966) Physics, (µετ.: Πνεµαντικός Γ., Πεπονίδης Γ.), εκδ.: Πνεµατικός, Αθήνα. SERWAY R. A. (199) Physics for scientists & Engineers, (µετ.: Ρεσβάνης Ν. Κ.), εκδ.: Saunders College Publishing, Chicago. ΥOUNG H. D. (1994) University Physics, (µετ.: Αναστασάκης Ε., Βλασσόπολος Σ., ρης Ε.), εκδ.: Παπαζήσης, Αθήνα. µ όνοµα άσκηση 6
Πειραµατικό µέρος Στο πειραµατικό µέρος µετρήσαµε την κίνηση ενός ατοκινήτο όπως φαίνεται στην εικόνα 1. Οι µετρήσεις έγιναν µε το πρόγραµµα VideoJavaLab. Στην εικόνα 1 φαίνεται το κινητό και τα σηµεία των µετρήσεων (κοκίδες) Εικόνα 1 : πειραµατική διάταξη Οι πειραµατικές µετρήσεις παροσιάζονται στον πίνακα 1. Πίνακας 1 : πειραµατικές µετρήσεις t (s). X (m) Η γραφική παράσταση Χ-t παροσιάζεται παραπάνω. Από το διάγραµµα φαίνεται ότι η κίνηση πο εκτελεί το ατοκίνητο είναι διότι (σµπλήρωσέ το) Επεξεργασία των µετρήσεων (α) πολόγισε τη µέση ταχύτητα πο είχε το ατοκίνητο κατά τη διάρκεια της κίνησης (β) πολόγισε τη στιγµιαία ταχύτητα το ατοκινήτο τις χρονικές στιγµές t,.5, 1., 1.5s (γ) σχολίασε αν το ατοκίνητο κινείται γρήγορα ή αργά (πόδειξη: µετέτρεψε την ταχύτητα σε km/h). όνοµα άσκηση 7