Η ενέργεια ενός παλμού. Στην προηγούμενη ανάρτηση «Η ενέργεια και η ισχύς σε ένα αρμονικό κύμα.» ασχηθήκαμε με το τι σμβαίνει με την ενέργεια κατά την διάδοση ενός αρμονικού κύματος σε μια χορδή. ς δούμε τώρα τι διαφορετικό έχομε, αν κατά μήκος μιας τεντωμένης χορδής, η οποία τείνεται με δύναμη F, διαδίδεται ένας τριγωνικό παλμός με ταχύτητα λ F =. μ Για εκία στις πράξεις, έστω ότι ο παλμός είναι ατός y (m) 0, το διπλανού σχήματος, ο οποίος διαδίδεται προς τα δεξιά με ταχύτητα =m/s, ενώ η γραμμική πκνότητα + της χορδής είναι ίση με μ=5kg/m, πράγμα πο σημαίνει ότι η τάση της χορδής είναι F=μ =0,Ν. Για να μελετήσομε την διάδοσή το, παίρνομε ως αρχή το άξονα το σημείο Ο, όπο βρίσκεται η κορφή το παλμού, τη στιγμή t=0. Τη στιγμή ατή η εξίσωση f(x) πο περιγράφει τον παλμό μας είναι: 0,-0,x (S.Ι.) με 0 x 0,+0,x (S.Ι.) με - x < 0 Με βάση όσα αναφέρονται στην ανάρτηση: Μια εναλλακτική θεμελίωση των κμάτων Στην περίπτωσή μας δηλαδή θα έχομε: 0,-0,(x-t)=0,-0,x+0,t με t x +t (S.Ι.) 0,+0,(x-t) = 0,+0,x-0,t με -+t x < t (S.Ι.) Η παραπάνω κλαδική σνάρτηση, είναι η «εξίσωση το παλμού». Έτσι για παράδειγμα, αν στην παραπάνω εξίσωση θέσομε t=s, θα πάρομε το αντίστοιχο στιγμιότπο ό- πο: www.ylikonet.gr
0,-0,x+0, =0,5-0,x με 4 x 5 (S.Ι.) 0,+0,x-0, =-0,3+0,x με 3 x < 4 (S.Ι.) Και με μορφή: y 0, ( m) 3 4 5 ς πάρομε τώρα ένα στοιχειώδες τμήμα της χορδής ds το οποίο προέκψε από επιμήκνση το αντίστοιχο στοιχειώδος τμήματος της χορδής. Το τμήμα ατό έχει μάζα dm=μ και ταχύτητα στη διεύθνση y (ταχύτητα ταλάντωσης): u = = + 0,m/ s αν πρόκειται για το δεξιό τμήμα το ϑ t παλμού και u= = 0,m/ sαν πρόκειται για το αριστερό το τμήμα. Πράγμα πο σημαίνει ότι όλα τα σημεία ϑ t κάθε κλάδο έχον την ίδια ταχύτητα, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Σνεπώς κάθε στοιχειώδες τμήμα της χορδής έχει κινητική ενέργεια: dk = dm u = µ u = µ () u r u r Είτε κινείται προς τα πάνω είτε προς τα κάτω, ενώ σνικά ο παλμός «μεταφέρει» κινητική ενέργεια: K = µ = 4µ = 0 Επιστρέφομε στο στοιχειώδες τμήμα ds (με πράσινο χρώμα στο σχήμα), πο τείνεται στα άκρα το από δνάμεις μέτρο F. Για το μήκος το έχομε: ds = () + () οπότε το τμήμα ατό έχει ποστεί μια επιμήκνση δ l=ds ή δ l= ds = () + () = + ν τώρα <<, πράγμα πο πρακτικά σημαίνει ότι έχομε μια μικρή παραμόρφωση της χορδής, μπορούμε να πάρομε με χρήση σειράς Taylor: F r ds F r www.ylikonet.gr
+ + Οπότε δ l= Η δναμική ενέργεια το στοιχειώδος ατού τμήματος, ισούται με το έργο μιας εξωτερικής δύναμης F, αντίθετης της F, την οποία ασκούμε προκειμένο να επιμηκύνομε το παραπάνω τμήμα κατά d l. Έχομε δηλαδή: l = Fδl= µ = ( α ) du = F δ µ λλά αν μιλάμε για το δεξιό τμήμα το παλμού = 0,, ενώ για το αριστερό = + 0,, οπότε: du = µ 0, = µ () Ενώ η σνική δναμική ενέργεια το παλμού θα είναι: Σμπέρασμα: U = µ = 4µ = 0 πό τις σχέσεις () και () προκύπτει ότι κάθε στοιχειώδες τμήμα της χορδής έχει κάθε χρονική στιγμή Κινητική ενέργεια ίση με τη Δναμική! Το ίδιο σμπέρασμα είχε προκύψεις και στην περίπτωση το αρμονικού κύματος, στην προηγούμενη ανάρτηση, πράγμα όχι βέβαια τχαίο! ς πάρομε τον τχαίο παλμό με εξίσωση f(x-t) θέτοντας h=x-t παίρνομε για την ταχύτητα ταλάντωσης: h) ϑh h) u= = u= ϑt dh ϑt dh h) ϑh h) = = ϑx dh ϑx dh u= (3) ϑx Οπότε αν επιστρέψομε στη σχέση () για την κινητική ενέργεια παίρνομε: με βάση τη σχέση ( α ). dk = dm u = µ = µ = du (4) ϑx ϑx www.ylikonet.gr 3
ς σημειωθεί ότι η (3) προέκψε ανεξάρτητα της μορφής της παραμόρφωσης πο διαδίδεται πάνω στη χορδή, πο σημαίνει ότι ισχύει σε ΟΛ τα κύματα. Πράγμα πο σνεπάγεται ότι το ίδιο ισχύει και για την (4), αλλά και για την σνική κινητική ενός οποιοδήποτε τμήματος της χορδής, αφού Κ =U. Έτσι για τον σγκεκριμένο παλμό μπορούμε να μιλήσομε για την ική ενέργεια πο μεταφέρεται και η οποία θα είναι: Ε = Κ + U = Κ = U = 4 0 Εφαρμογή Έχομε την παραπάνω χορδή σε ηρεμία. Με κατάλληλο μηχανισμό εκτρέπομε μια περιοχή της μήκος m δη- y ( m) 0, μιοργώντας ένα ισοσκελές τρίγωνο ύψος 0,m. i) Πόση ενέργεια δαπανήσαμε για την παραμόρφωση + της χορδής; ii) ν κάποια στιγμή αποσύρομε το μηχανισμό απελεθερώνοντας τη χορδή τι θα σμβεί; πάντηση: i) Η ενέργεια πο προσφέραμε μέσω έργο για την παραμόρφωση της χορδής, είναι ίση με τη δναμική ενέργεια λόγω παραμόρφωσής της. λλά τότε με βάση τα παραπάνω είναι ίση με: U = µ = 4µ = 0 ii) Μόλις αφήσομε ελεύθερη τη χορδή θα δημιοργηθούν δύο παλμοί, απύτως όμοιοι, πο ένας θα διαδίδεται προς τα δεξιά και ο άλλος προς τα αριστερά, όπως στο σχήμα, με την ίδια ταχύτητα και το ίδιο «μήκος κύματος» λ=m: Όμως η σνική ενέργεια πο θα μεταφέρον, είναι ίση με την ενέργεια πο είχαμε δώσει στην χορδή για την αρχική της παραμόρφωση με μέγιστη τιμή το 0,m. λλά τότε κάθε παλμός θα μεταφέρει σνικά ε- νέργεια Ε = ½ U,αρχ =0-3. Η ενέργεια ατή θα είναι: Ε =U =Κ ς ξαναγρίσομε στην ενέργεια το παλμού πο βρήκαμε παραπάνω: Ε=U= µ 0 www.ylikonet.gr 4
Όπο = ± = λ ±, οπότε η ική ενέργεια γράφεται: Ε = = µ µ 0 Έτσι τώρα αντίστοιχα θα έχομε: Ε = µ Όμως Ε = ¼ Ε, από όπο: µ = µ = = 5m 4 dmargaris@gmail.com www.ylikonet.gr 5