Στατιστική Συμπερασματολογία Διαφάνειες 5 ου κεφαλαίου Ελεγχοσυναρτήσεις για τις Παραμέτρους της Κανονικής Κατανομής Σταύρος Χατζόπουλος 08/05/207, 5/05/207
Εισαγωγή Στις παραγράφους που ακολουθούν παρουσιάζονται οι έλεγχοι υποθέσεων γιατημέσητιμήενόςδείγματοςπουακολουθείκανονικήκατανομή, όταν η διασπορά είναι γνωστή ή άγνωστη, για τη διασπορά ενός δείγματος που ακολουθεί κανονική κατανομή, ότανημέσητιμήείναιγνωστήήάγνωστη, για τις μέσες τιμές και τις διασπορές δύο ανεξαρτήτων δειγμάτων που προέρχονται από κανονική κατανομή, για τη σύγκριση των μέσων τιμών δύο εξαρτημένων δειγμάτων που προέρχονται από κανονική κατανομή. 2
Υποθέσεις για τη μέση τιμή της κανονικής κατανομής Θεώρημα 5.. Έστω X,,, τ.δ. από την κανονική κατανομή,, όπου γνωστό, 0. Να αποδειχθεί ότι οι ελεγχοσυναρτήσεις για τις παρακάτω υποθέσεις δίνονται από τις σχέσεις (5.3), (5.4) και (5.5).. Η :, Η : x, αν 0, αλλού (5.3) 2. Η :, Η : 3. Η :, Η : x, αν 0, αλλού (5.4) x, αν 0, αλλού (5.5) 3
Υποθέσεις για τη μέση τιμή της κανονικής κατανομής Απόδειξη. :, :. Ω, ω, δηλαδή ένα και μόνο σημείο. Η πιθανοφάνεια είναι: x ; ; exp 2 2 ln 2 ln 2 2 ln ln 0 0... 0 4
Υποθέσεις για τη μέση τιμή της κανονικής κατανομής Ω Ω 2 2 exp exp 2 2 exp 2 2lnλ exp 2 Η ελεγχοσυνάρτηση του λόγου πιθανοφανειών είναι x, αν 0, αλλού, 5
Υποθέσεις για τη μέση τιμή της κανονικής κατανομής όπου η σταθερά υπολογίζεται από τη σχέση: a X P ap Σύμφωνα με το θεώρημα.0 ανητ.μ. ακολουθεί την κατανομή,, τότε η τ.μ. ακολουθεί την κατανομή,. Επιπλέον, όταν η μηδενική υπόθεση Η : είναι αληθής, τότε, και η τ.μ. 0,. 6
Υποθέσεις για τη μέση τιμή της κανονικής κατανομής P a Φ Φ a, 2Φ 2a φ x, αν 0, αλλού 7
Υποθέσεις για τη μέση τιμή της κανονικής κατανομής Απόδειξη 2. :, :, σύμφωνα με το παράδειγμα 3.4 ηκανονικήκατανομή, έχει την ιδιότητα του Μ.Λ.Π. ως προς τη συνάρτηση x και η Ο.Ι.Ε. για τον έλεγχο των παραπάνω υποθέσεων είναι: x, αν 0, αν Η σταθερά υπολογίζεται από τη σχέση: a Χ P P a, x, αν 0, αλλού 8
Υποθέσεις για τη μέση τιμή της κανονικής κατανομής Απόδειξη 3. :, :. Με παρόμοιο τρόπο αποδεικνύεται ότι η Ο.Ι.Ε. ελεγχοσυνάρτηση είναι: x, αν. 0, αλλού Απορριπτική περιοχή Στατιστικό x x x x x x x Πίνακας 5. Έλεγχοι υποθέσεων για τη μέση τιμή της κανονικής κατανομής, όταν η διασπορά είναι γνωστή. 9
Υποθέσεις για τη μέση τιμή της κανονικής κατανομής Η ισχύς του δίπλευρου έλεγχου των υποθέσεων Η :, Η :, όταν η διασπορά είναι γνωστή, δίνεται από τη σχέση: γp γp γφ γφ γφ για P και Φ Φ Φ.,, Φ Φ, Φ Φ,, 0
Υποθέσεις για τη μέση τιμή της κανονικής κατανομής γ2φ P Προφανώς ισχύει ότι: P P P με συνέπεια γ aκαι ο έλεγχος να είναι αμερόληπτος.,.
Υποθέσεις για τη μέση τιμή της κανονικής κατανομής Θεώρημα 5.2. Έστω X,,, τ.δ. από την κανονική κατανομή,, όπου αγνωστό, 0. Να αποδειχθεί ότι οι ελεγχοσυναρτήσεις για τις παρακάτω υποθέσεις δίνονται από τις σχέσεις (5.4), (5.5) και (5.6).. Η :, Η : x, αν 0, αλλού ; (5.4) 2. Η :, Η : 3. Η :, Η : x, αν 0, αλλού ; (5.5) x, αν 0, αλλού ; (5.6) 2
Σύγκριση μέσων τιμών δύο κανονικών κατανομών Θεώρημα 5.3. Έστωσαν δύο πληθυσμοί από κανονική κατανομή, ο από την κατανομή, και ο από την κατανομή,, με, άγνωστα. Από τους δύο πληθυσμούς λαμβάνονται δύο ανεξάρτητα δείγματα μεγέθους και αντίστοιχα. Να αποδειχθεί ότι η ελεγχοσυνάρτηση για τον έλεγχο υποθέσεων δίνεται από τη σχέση Η :, Η : x,x, αν ; 0, αλλού 3
Σύγκριση μέσων τιμών δύο κανονικών κατανομών Απόδειξη. ΟπαραμετρικόςχώροςΩ είναι τετραδιάστατος,,,. Ο υπόχωρος είναι τριδιάστατος, διότι χρειάζονται μόνο τρεις τιμές, για να προσδιοριστεί η από κοινού κατανομή, κάτω από τη μηδενική υπόθεση Η :. Έστω,,, και,,,. x,x ;,,, 2 2 exp 2 2 Η πιθανοφάνεια γίνεται μέγιστη, όταν,,. 4
Σύγκριση μέσων τιμών δύο κανονικών κατανομών Ω 2 2 exp 2 Αν και επιχειρηθεί να μεγιστοποιηθεί η πιθανοφάνεια ως προς, και, τότε θα βρεθεί ότι η εκτίμηση του δίνεται ως ρίζα μιας τριτοβάθμιας εξίσωσης. Ο λόγος είναι μία περίπλοκη συνάρτηση με συνέπεια να είναι αρκετά δύσκολος ο υπολογισμός της κατανομής του, καθώς εξαρτάται και από το λόγο των διασπορών. Η εύρεση μιας κρίσιμης περιοχής 0 με δοσμένη πιθανότητα σφάλματος τύπου Ι ίση με a είναι δύσκολη, διότι ο λόγος των διασπορών είναι συνήθως άγνωστος. Η κρίσιμη περιοχή υπολογίζεται χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι η ποσότητα 2log ακολουθεί με καλή προσέγγιση την κατανομή. Έστω ότι οι διασπορές είναι ίσες. Σε αυτή την περίπτωση ο παραμετρικός χώρος Ω έχει διάσταση τρία, με συνιστώσες,,, ενώ ο για τη μηδενική υπόθεση Η : έχει διάσταση δύο με συνιστώσες,. Εύκολα αποδεικνύεται ότι οι Ε.Μ.Π. των, και είναι: 5
Σύγκριση μέσων τιμών δύο κανονικών κατανομών,, Ω 2 exp 2 Για τον, αντίστοιχα, προκύπτει:,, 6
Σύγκριση μέσων τιμών δύο κανονικών κατανομών 2 exp 2 Οι τ.μ. και είναι ανεξάρτητες και ακολουθούν κανονικές κατανομές, διότι:, και,, σύμφωνα με το θεώρημα.0. Απότοθεώρημα.3 προκύπτει ότι:,. 7
Σύγκριση μέσων τιμών δύο κανονικών κατανομών Όταν η μηδενική υπόθεση Η :, ισχύει τότε: 0,. Οι ποσότητες:,, είναι ανεξάρτητες και έχουν κατανομές με και β.ε. αντίστοιχα, σύμφωνα με το θεώρημα.2. Από το θεώρημα.8 το άθροισμα τους, έστω, θα ακολουθεί την κατανομή με 2β.ε. 0, 2 θα ακολουθεί την κατανομή με 2β.ε., σύμφωνα με το θεώρημα.2 2 8
Σύγκριση μέσων τιμών δύο κανονικών κατανομών 2 και η κατανομή του προσδιορίζεται από την κατανομή. Έστω: 2. Τελικά η ελεγχοσυνάρτηση έχει τη μορφή: x,x, αν ;. 0, αλλού 9
Σύγκριση μέσων τιμών δύο κανονικών κατανομών Απορριπτική περιοχή Στατιστικό x x,x ; x,x, x x,x ; 2 x x,x ; ή 2 Πίνακας 5.3 Έλεγχοι υποθέσεων για μέσες τιμές δύο κανονικών κατανομών με διασπορές άγνωστες και ίσες. 20
Σύγκριση μέσων τιμών δύο κανονικών κατανομών Θεώρημα 5.4. Έστωσαν δύο πληθυσμοί από κανονική κατανομή, ο από την κατανομή, και ο από την κατανομή,, με, άγνωστα και άνισα. Από τους δύο πληθυσμούς λαμβάνονται δύο ανεξάρτητα δείγματα μεγέθους και, αντίστοιχα. Να αποδειχθεί ότι η ελεγχοσυνάρτηση για τον έλεγχο υποθέσεων Η :, Η : δίνεται από τη σχέση x,x, αν 0, αλλού 2 ; 2
Σύγκριση μέσων τιμών δύο κανονικών κατανομών Απορριπτική περιοχή Στατιστικό x,x x,x ; x,x x,x x,x ; x,x x,x ; ν 2, ή ν 2, αν, Πίνακας 5.4 Έλεγχοι υποθέσεων για μέσες τιμές δύο κανονικών κατανομών με διασπορές άγνωστες και άνισες. 22
Σύγκριση μέσων τιμών δύο κανονικών κατανομών Θεώρημα 5.5. Έστω X,,, τ.δ. από κατανομή, και X,,, τ.δ. από κατανομή,, με, γνωστά. Να αποδειχθεί ότι η ελεγχοσυνάρτηση για τον έλεγχο υποθέσεων δίνεται από τη σχέση Η :, Η : x,x, αν 0, αλλού 23
Σύγκριση μέσων τιμών δύο κανονικών κατανομών Απόδειξη. Ο έλεγχος θα γίνει με τη βοήθεια του γενικευμένου λόγου πιθανοφανειών. Από το θεώρημα 5.3 είναι γνωστό ότι η πιθανοφάνεια γίνεται μέγιστη, όταν, καιισχύειότι: Ω 2 2 exp 2 2 Κάτω από τη μηδενική υπόθεση Η : η πιθανοφάνεια γίνεται: 2 2 exp ln 2 ln 2 2 ln 2 2 2 2 2 24
Σύγκριση μέσων τιμών δύο κανονικών κατανομών ln ln 0. 0, Άρα ο Ε.Μ.Π. της παραμέτρου είναι Ω 2 2 2 2 exp exp. 2 2 2 2 25
Σύγκριση μέσων τιμών δύο κανονικών κατανομών exp 2 2 2 2 Προφανώς: 2 2 2 2 2 2 2 2 26
Σύγκριση μέσων τιμών δύο κανονικών κατανομών exp 2 H μηδενική υπόθεση απορρίπτεται, όταν, δηλαδή: exp 2 Σύμφωνα με το θεώρημα.3 η τ.μ. exp 2 ακολουθεί την κανονική 0, κατανομή. Συνεπώς, η μηδενική υπόθεση απορρίπτεται, όταν: 27
Σύγκριση μέσων τιμών δύο κανονικών κατανομών όπου η σταθερά υπολογίζεται από τη σχέση: a X,X P ap a, Φ Φ a 2Φ 2a Άρα η ελεγχοσυνάρτηση μπορεί να γραφεί ως:. x,x, αν 0, αλλού 28
Σύγκριση μέσων τιμών δύο κανονικών κατανομών Απορριπτική περιοχή Στατιστικό x,x x,x x,x x,x x,x x,x x,x Πίνακας 5.5 Έλεγχοι υποθέσεων για μέσες τιμές δύο κανονικών κατανομών με διασπορές γνωστές. 29
Έλεγχος Μέσων Τιμών δύο Εξαρτημένων Δειγμάτων Θεώρημα 5.6. Έστωσαν και οι παρατηρήσεις στο άτομο,,2,,. Οι παρατηρήσεις και δεν είναι ανεξάρτητες, ενώ τα ζεύγη, και,,,2,, είναι ανεξάρτητα και έστω ότι ακολουθούν διδιάστατη κανονική κατανομή. Έστω, επίσης ότι η μέση τιμή των είναι και των είναι. Να γίνει ο έλεγχος υποθέσεων Η :, Η :. Απόδειξη. Από την εκφώνηση του θεωρήματος προκύπτει ότι οι τ.μ.,,2,, είναι ανεξάρτητες και ακολουθούν κανονική κατανομή. Η πλήρης απόδειξη του θεωρήματος είναι εκτός αντικειμένου του παρόντος βιβλίου και για το λόγο αυτό παραλείπεται. ΟέλεγχοςτηςμηδενικήςυπόθεσηςΗ : με εναλλακτική Η : βασίζεται στο στατιστικό: 30
Έλεγχος Μέσων Τιμών δύο Εξαρτημένων Δειγμάτων Var και η απορριπτική περιοχή της μηδενικής υπόθεσης είναι:,, Var ; Απορριπτική περιοχή Στατιστικό ; ; Var ; Πίνακας 5.6 Έλεγχοι υποθέσεων για τις μέσες τιμές δύο κανονικών κατανομών με διασπορές γνωστές, όταν τα δείγματα είναι εξαρτημένα. 3
Έλεγχοι για τη διασπορά κανονικής κατανομής Θεώρημα 5.7. Δίνεται τ.δ. που ακολουθεί την κανονική κατανομή,, με : γνωστό. Σε σ.σ. a να αποδειχθεί ότι οι ελεγχοσυναρτήσεις για τις παρακάτω υποθέσεις δίνονται από τις σχέσεις:. Η :, Η :, x, αν 0, αλλού ; ; 5.30 2. Η :, Η : x, αν 0, αλλού ; 5.3 3. Η :, Η : x, αν 0, αλλού ; 5.32 32
Έλεγχοι για τη διασπορά κανονικής κατανομής Απόδειξη. Για την απόδειξη θα χρησιμοποιηθεί το κριτήριο του γενικευμένου λόγου πιθανοφανειών. Η πιθανοφάνεια είναι: x ; Ω 2 2 exp exp 2 2 όπου είναι ο Ε.Μ.Π. της παραμέτρου. Από το θεώρημα 5.2 ισχύει: 2 exp. 2 33
Έλεγχοι για τη διασπορά κανονικής κατανομής Ο λόγος των πιθανοφανειών γίνεται: Ω 2 2 exp exp 2 2. Για προκύπτει ότι: exp 2 2 exp. 2 2 34
Έλεγχοι για τη διασπορά κανονικής κατανομής H μηδενική υπόθεση απορρίπτεται, όταν, δηλαδή: 2 ln exp 2 2 exp 2 2 Η συνάρτηση ln, 0, παρουσιάζει μέγιστο για και στρέφει τα κοίλα κάτω, διότι: 0, 0. 35
Έλεγχοι για τη διασπορά κανονικής κατανομής Σχήμα 5.5 Γραφική παράσταση συνάρτησης f(w) της περίπτωσης του θεωρήματος 5.7. Η μηδενική υπόθεση απορρίπτεται, όταν:,, 36
Έλεγχοι για τη διασπορά κανονικής κατανομής Οι σταθερές και ικανοποιούν τις σχέσεις: P ln ln P a. Όταν ισχύει η μηδενική υπόθεση Η :, η τ.μ. ακολουθεί την κατανομή. P P ; x, αν, ; ; a 2, η ; 0, αλλού 37
Έλεγχοι για τη διασπορά κανονικής κατανομής Απόδειξη 2. Για τον έλεγχο των υποθέσεων :, : θα χρησιμοποιηθεί το θεώρημα 3.. Απότοπαράδειγμα.6 προκύπτει ότι η κανονική κατανομή, ανήκει στην Ε.Ο.Κ. με. Προφανώς, ησυνάρτηση είναι αύξουσα συνάρτηση του. Άρα σύμφωνα με το πόρισμα 3., ηπιθανοφάνειαx ; έχει την ιδιότητα του Μ.Λ.Π. ως προς τη συνάρτηση x και η Ο.Ι.Ε. είναι: x, αν 0, αλλού 38
Έλεγχοι για τη διασπορά κανονικής κατανομής Ησταθερά υπολογίζεται από τη σχέση: a Χ P P x, αν 0, αλλού ; ; Απόδειξη 3. Ακολουθώντας την ίδια διαδικασία, αποδεικνύεται ότι η Ο.Ι.Ε. για τον έλεγχο των υποθέσεων :, :, δίνεται από τη σχέση: x, αν ; 0, αλλού 39
Έλεγχοι για τη διασπορά κανονικής κατανομής Απορριπτική περιοχή Στατιστικό x x ; x x x ; x x ; η x ; Πίνακας 5.9 Έλεγχοι υποθέσεων για τη διασπορά της κανονικής κατανομής όταν η μέση τιμή είναι γνωστή. 40
Έλεγχοι για τη διασπορά κανονικής κατανομής Θεώρημα 5.8. Δίνεται τ.δ. που ακολουθεί την κανονική κατανομή,, με : άγνωστο. Σε σ.σ. a να κατασκευαστούν οι ελεγχοσυναρτήσεις για τις παρακάτω υποθέσεις υποθέσεις:. Η : σ σ, Η : σ σ, 2. Η : σ σ, Η : σ σ, 3. Η : σ σ, Η : σ σ. Απόδειξη. Η απόδειξη θα γίνει μόνο για την πρώτη περίπτωση. Για την απόδειξη των άλλων περιπτώσεων ακολουθείται η ίδια διαδικασία των περιπτώσεων 2 και 3 του θεωρήματος 5.7. Για να πραγματοποιηθεί ο έλεγχος, αρκεί να μεγιστοποιηθεί η ποσότητα: 2 exp 2 μέσα στα σύνολα Ω, :,,, : 4
Έλεγχοι για τη διασπορά κανονικής κατανομής Από το θεώρημα 5.2, Ω exp Ο έλεγχος μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας ως κριτήριο την ίδια τη μεταβλητή. Όπως φαίνεται στο σχήμα 5.6, η κρίσιμη περιοχή για το είναι της μορφής 0και αντιστοιχεί σ ένα ζεύγος διαστημάτων 0και, όπου 2 2 exp 2 τα και είναι δύο σημεία με ίσες τεταγμένες 42
Έλεγχοι για τη διασπορά κανονικής κατανομής x, αν 0, αλλού ; ; Αν η εναλλακτική υπόθεση είναι η ή οι αντίστοιχες κρίσιμες περιοχές, με μέγεθος σφάλματος τύπου Ι ίσο με a, είναι ; και ;. Απορριπτική περιοχή Στατιστικό x x ; x x ; x x x x ; x ; Πίνακας 5.0 Έλεγχοι υποθέσεων για τη διασπορά της κανονικής κατανομής, όταν η μέση τιμή είναι άγνωστη. 43
Έλεγχοι για τη διασπορά κανονικής κατανομής Η ισχύς του δίπλευρου έλεγχου των υποθέσεων Η :, Η :, όταν η μέση τιμή είναι άγνωστη, δίνεται από τη σχέση: γp η, γp ; ; ; ;. Για ; και ; προκύπτει ότι: γp P Αν, τότε, όπως φαίνεται στο σχήμα 5.7, 44
Έλεγχοι για τη διασπορά κανονικής κατανομής Αν, τότε, όπως φαίνεται στο σχήμα 5.7 Αν, τότε, όπως φαίνεται στο σχήμα 5.8 ισχύει ότι γa ισχύει ότι γa. Σχήμα 5.7 Σχήμα 5.8 Επομένως, ο έλεγχος είναι αμερόληπτος. 45
Σύγκριση διασπορών δύο κανονικών κατανομών Θεώρημα 5.9. Έστω X,,, τ.δ. από κατανομή, και X,,, από κατανομή,, με, άγνωστα. Να κατασκευαστεί ελεγχοσυνάρτηση για τον έλεγχο υποθέσεων οι υποθέσεις Η :, Η :. Απόδειξη. Από το θεώρημα 5.3 προκύπτει ότι: Ω 2 2 exp. 2 2 46
Σύγκριση διασπορών δύο κανονικών κατανομών Ω 2 2 2 2 exp 2 exp Ω 2 2 2 2 2 2 exp 2 exp 2 exp 2 2 2 47
Σύγκριση διασπορών δύο κανονικών κατανομών Για 48
Σύγκριση διασπορών δύο κανονικών κατανομών H μηδενική υπόθεση απορρίπτεται, όταν ln ln Αποδεικνύεται ότι η συνάρτηση ln ln, 0, παρουσιάζει μέγιστο για και στρέφει τα κοίλα κάτω, διότι: 0 Η μηδενική υπόθεση απορρίπτεται, όταν,. Οι τιμές των κρίσιμων σημείων και υπολογίζονται από τη σχέση 0 a X,X Η P Η P Η 49
Σύγκριση διασπορών δύο κανονικών κατανομών Αρκεί να βρεθεί η κατανομή του στατιστικού. Από το θεώρημα.2 είναι γνωστό ότι η τ.μ. ακολουθεί την κατανομή. Απότοθεώρημα.4 κάτω από την υπόθεση Η :, ισχύει ότι:, ap Η P Η P P, ap P. 50
Σύγκριση διασπορών δύο κανονικών κατανομών Tα κρίσιμα σημεία και υπολογίζονται από τις σχέσεις: P,; P, a 2,;. x,x, αν,; η,; 0, αλλού Με ανάλογο τρόπο υπολογίζονται οι ελεγχοσυναρτήσεις για τους ελέγχους των μονόπλευρων υποθέσεων. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνονται οι απορριπτικές περιοχές όλων των ελέγχων υποθέσεων για τις διασπορές δύο κανονικών κατανομών, όταν οι μέσες τιμές είναι άγνωστες. 5
Σύγκριση διασπορών δύο κανονικών κατανομών Απορριπτική περιοχή Στατιστικό x,x x,x,; x x,x x,x,; x,x : x,x,; η x,x,;,x Πίνακας 5. Έλεγχοι υποθέσεων για τις διασπορές δύο κανονικών κατανομών, όταν οι μέσες τιμές τους είναι άγνωστες. 52
Σύγκριση διασπορών δύο κανονικών κατανομών Θεώρημα 5.0. Έστωσαν δύο πληθυσμοί από κανονική κατανομή, ο από την κατανομή, και ο από την κατανομή,, με και γνωστά. Από τους δύο πληθυσμούς λαμβάνονται δύο δείγματα, μεγέθους και, αντίστοιχα. Να κατασκευαστεί ελεγχοσυνάρτηση για τον έλεγχο υποθέσεων Η :, Η :. Απόδειξη. Ω,,,,, 53
Σύγκριση διασπορών δύο κανονικών κατανομών Ητ.μ. ακολουθεί την κατανομή με και βαθμούς ελευθερίας, όταν η μηδενική υπόθεση είναι αληθής. 54
Σύγκριση διασπορών δύο κανονικών κατανομών x,x, 0, ύ,;,; Ανηεναλλακτικήυπόθεσηείναι ή, τότε η κρίσιμη περιοχή είναι ένα μόνο από αυτά τα δύο διαστήματα. Απορριπτική περιοχή Στατιστικό x,x x,x,; x,x x,x,; x,x : x,x,; x,x,; x,x Πίνακας 5.2 Έλεγχοι υποθέσεων για τις διασπορές δύο κανονικών κατανομών, όταν οι μέσες τιμές τους είναι γνωστές. 55