FDMGEO4: Antros eilės kreivės I Kęstutis Karčiauskas Matematikos ir Informatikos fakultetas 1 Koordinačių sistemos transformacija Antrosios eilės kreivių lgtis prastinsime keisdami (transformuodami) koordinačių sistemą. Prisiminkime svarbiausius plokštumos stačiakampių koordinačių sistemų transformacijos momentus. Apibrėžimas 1 Koordinačių sistemos O ir O ra vienos orentacijos, jei posūkis nuo -ašies link -ašies ra tos pačios krpties kaip ir posūkis nuo -ašies link -ašies (žr. Pav. 1 (a)). Priešingu atveju (žr. Pav. 1 (b)), koordinačių sistemos O ir O ra priešingos orentacijos.. Taip pat svarbu nepamiršti, kad posūkio kampas ra orentuotas jo absoliutinė reikšmė imama su ženklu + arba. O O O O (a) (b) Pav. 1: Vienodai (a) ir skirtingai (b) orentuotos koordinačių sistemos. 1
α > 0 α < 0 Pav. 2: Orentuotas posūkio kampas. Apibrėžimas 2 Jei pradinės koordinačių sistemos O -ašies posūkis link naujos koordinačių sistemos O -ašies ra tos pačios krpties, kaip ir posūkis nuo -ašies link - ašies, tai posūkio kampas α ra teigiamas; priešingu atveju posūkio kampas ra neigiamas. (Žr. Pav. 2). Dėmesio: nustatant posūkio kampo ženklą, naujos koordinačių sistemos -ašies krptis nevaidina jokio vaidmens. Bendrąją koordinačių sistemos transformaciją (žr. Pav. 3) dažnai ra patogu suskaidti į du etapus koordinačių sistemos posūkį ir koordinačių sistemos lgiagretų postūmį (žr. Pav. 4). Dabar prisiminkime (sužinokime) koordinačių transformacijos formules. 1.1 Bendrosios koordinačių transformacijos formulės Tegul O ra pradinė koordinačių sistema, o O naujoji. Taško M koordinatės atžvilgiu pradinės sistemos ra (; ), atžvilgiu naujosios ( ; ). Įvedami duomens ra atžvilgiu pradinės koordinačių sistemos: naujosios koordinačių sistemos pradžia O ( 0 ; 0 ); α orentuotas kampas, kuriuo reikia pasukti -ašį kad gautume -ašį. Koordinačių sistemos O ir O ra vienos orentacijos = cos α sin α + 0 = sin α + cos α + 0. (1) 2
α O O Pav. 3: Bendroji koordinačių sistemos transformacija. Koordinačių sistemos O ir O ra priešingų orentacijų = cos α + sin α + 0 = sin α cos α + 0. (2) 1.2 Koordinačių sistemos posūkis Žiūrėk Pav. 4(a). Koordinačių sistemos ra vienos orentacijos, o jų pradžios sutampa (O = O ). Kadangi šiuo atveju 0 = 0, 0 = 0, formulės (1) supaprastėja iki = cos α sin α = sin α + cos α. (3) 1.3 Koordinačių sistemos lgiagretus postūmis Žiūrėk Pav. 4(b). Koordinačių sistemų ašs ra tų pačių krpčių (todėl sistemos ra vienos orentacijos). Kadangi šiuo atveju α = 0, formulės (1) supaprastėja iki 3
(a) (b) Pav. 4: Koordinačių sistemos posūkis (a) ir lgiagretus postūmis (b). = + 0 = + 0. (4) 1.4 Matricinė koordinačių transformacijos formulių išraiška Pažmėkime c 11 = cos α c 12 = sin α c 13 = 0 c 21 = sin α c 22 = ± cos α c 23 = 0 c 31 = 0 c 32 = 0 c 33 = 1 viršutinis ženklas naudojamas, jei sistemos ra vienos orentacijos formulė (1); apatinis ženklas naudojamas, jei sistemos priešingų orentacijų formulė (2). Pažmėkime X = 1, X = 1, C = c 11 c 12 c 13 c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. Įvedus šiuos žmenis formulės (1) ir (2) matricinėje formoje tampa vienodomis: X = CX (5) Matriciniai žmens įgalina panaudoti tiesinės algebros rezultatus ten, kur tiesioginiai aritmetiniai skaičiavimai tampa komplikuotais. Matricinė koordinačių transformacijų forma (5) plačiai vartojama kompiuterinėje grafikoje. 4
2 Bendroji antros eilės kreivės lgtis Tarkime ra fiksuota stačiakampė koordinačių sistema O. Bendroji antros eilės kreivės lgtis F (, ) = 0 šios sistemos atžvilgiu ra F (, ) = a 11 2 + 2a 12 + a 22 2 + 2a 13 + 2a 23 + a 33 = 0. (6) Remiantis bendrąja kreivės lgtimi sudaroma jos matrica A A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 apibrėžiant a 21 = a 12, a 31 = a 13, a 32 = a 23. Matrica A ra simetrinė, t.. A T = A. Panaudojus skriaus 1.4 žmenis gaunama matricinė antros eilės kreivės lgties forma, F (, ) = X T AX = 0. (7) Ši lgbė įrodoma elementariais skaičiavimais dauginant matricas. Panašaus sudėtingumo (tiksliau lengvumo) aritmetiniais veiksmais įrodoma, kad F (, ) = F 1 (, ) + F 2 (, ) + F 3 (, ), (8) kur F 1 (, ) = a 11 + a 12 + a 13 F 2 (, ) = a 21 + a 22 + a 23 F 3 (, ) = a 31 + a 32 + a 33. (9) Išraiška a 11 2 + 2a 12 + a 22 2 paprastai vadinama kvadratine kreivės lgties dalimi, 2a 13 + 2a 23 tiesine dalimi, o a 33 laisvuoju nariu. 2.1 Ršs tarp kreivės lgčių atžvilgiu skirtingų koordinačių sistemų Tarkime turime antros eilės kreivės lgtį atžvilgiu koordinačių sistemos O. Kreivės lgtį F (, ) = X T A X = 0 atžvilgiu naujos koordinačių sistemos O gauname iš (7), pasinaudoję koordinačių transformacijų formulėmis (5): F (, ) = (CX ) T A(CX ) = X T (C T AC)X = X T A X. 5
( ) Kadangi matricos A ir C T AC ra simetrinės (C T AC) T = C T A T C = C T AC, iš paskutinės lgbės seka A = C T AC (10) Koordinačių sistemos posūkis. Pritaikę formulę (10) koordinačių sistemos posūkiui gauname: 1. jei tiesinė lgties dalis buvo lgi 0, tai ir po posūkio ji išlieka lgi 0; 2. laisvasis nars nesikeičia, t.. a 33 = a 33. Lgiagretus postūmis. Pritaikę formulę (10) lgiagrečiam koordinačių sistemos postūmiui gauname: 1. kvadratinė lgties dalis nesikeičia, t.. a 11 = a 11, a 12 = a 12, a 22 = a 22 ; 2. tiesinės dalies kaita nusakoma formulėmis a 13 = F 1 ( 0, 0 ) = a 11 0 + a 12 0 + a 13 a 23 = F 2 ( 0, 0 ) = a 21 0 + a 22 0 + a 23. (11) 3. a 33 = F ( 0, 0 ). 3 Antros eilės kreivės lgties invariantai Efektviai prastinant antros eilės kreivės lgtį labai svarbūs ra lgties ortogonalūs invariantai. Apibrėžimas 3 Antros eilės kreivės lgties ortogonaliuoju invariantu vadinama nuo lgties koeficientų priklausanti funkcija g, kurios reikšmė nesikeičia, stačiakampę koordinačių sistema O pakeitus kita stačiakampe koordinačių sistema O, t.. g(a 11, a 12, a 22, a 13, a 23, a 33 ) = g(a 11, a 12, a 22, a 13, a 23, a 33). Teigins 1 Reiškiniai I 1 = a 11 + a 22, I 2 = a 11 a 12 a 21 a 22, I 3 = ra ortogonalūs antros eilės kreivės lgties invariantai. a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 (12) 6
Šis teigins įrodomas tiesinės algebros kurse. Beje, reiškinio I 3 = A invariantiškumas seka iš formulės (10): A = C T AC = A C 2 = A, nes C = ±1. 4 Charakteringoji lgtis Apibrėžimas 4 Antros eilės kreivės charakteringaja lgtimi vadinama antrojo laipsnio lgtis λ 2 I 1 λ + I 2 = 0. (13) Lengva patikrinti, kad charakteringąją lgtį galime užrašti matricinėje formoje λ 2 I 1 λ + I 2 = a 11 λ a 12 a 22 λ = 0. (14) Teigins 2 Charakteringoji lgtis visuomet turi realias šaknis. Įrodmas Skaičiuojame charakteringosios lgties diskriminantą D: a 21 D = I 2 1 4I 2 = (a 11 + a 22 ) 2 4(a 11 a 22 a 2 12) = (a 11 a 22 ) 2 + 4a 2 12 0. Taip pat gauname, kad charakteringoji lgtis turi kartotinę šaknį (D = 0), jei a 11 = a 22 ir a 12 = 0. Nesunkiai patikrinima (išskiriant lgtje pilnus kvadratus atžvilgiu ir ), kad šiuo atveju, jei kreivė turi realius taškus, lgtis apibrėžia apskritimą. Charakteringosios lgties šaknis žmime λ 1, λ 2. Kadangi jos visuomet realios, tai λ 2 I 1 λ + I 2 = (λ λ 1 )(λ λ 2 ), o pagal Vijeto teoremą I 1 = λ 1 + λ 2, I 2 = λ 1 λ 2. 7
5 Antros eilės kreivės centras Apibrėžimas 5 Antros eilės kreivės centru vadinamas taškas, kurio koordinatės (; ) tenkina lgčių sistem a F1 (, ) = a 11 0 + a 12 0 + a 13 = 0 F 2 (, ) = a 21 0 + a 22 0 + a 23 = 0. (15) Apibrėžimas 6 Antros eilės kreivė vadinama centrine, jei ji turi vienintelį centra. Priešingu atveju kreivė neturi centro arba turi jų be galo daug antros eilės kreivė vadinama necentrine. Sistema (15) turi vienintelį sprendinį, jei I 2 0. Todėl, jei I 2 0 kreivė ra centrinė, jei I 2 = 0 necentrinė. Teigins 3 Jei koordinačių sistemos pradžia sutampa su kreivės centru, tai kreivės lgties tiesinė dalis ra lgi nuliui. Įrodmas Iš centro apibrėžimo bei formulės (11) seka, kad perkėlus koordinačių sistemos pradžią į kreivės centrą, jos tiesinė dalis virsta nuliumi. Bet kuri kita koordinačių sistema su tuo pačiu centru gaunama iš šios (lgiagrečiai pastumtos) sistemos pasukant apie naują koordinačių pradžią. Iš skriaus 2.1 punkto 1 seka, kad tiesinė lgties dalis atžvilgiu pasuktos koordinačių sistemos lieka lgi nuliui. Remdamiesi šiuo teiginiu darome išvadą: jei koordinačių sistemos pradžia sutampa su kreivės centru, tai F (, ) = a 11 2 + 2a 12 + a 22 2 + a 33 = 0. Tokioje koordinačių sistemoje F ( ; ) = F (; ), todėl: kreivės centras ra kreivės simetrijos centras. 6 Kvadratinės lgties dalies prastinimas Šiame skriuje įrodsime, kad pasukus koordinačių sistemą galima panaikinti skirtingų kintamųjų sandaugą (a 12 = 0). Be to iš įrodmo išpešime papildomos naudingos informacijos. 8
Kadangi koordinačių transformacijai naudojame posūkį, tai cos α sin α 0 C = sin α cos α 0. 0 0 1 Pasinaudoję formule (10) gauname a 21 = sin α ( ) ( ) a 11 cos α + a 12 sin α + cos α a21 cos α + a }} 22 sin α. }} n 1 n 2 Sąlga, kad pranksta skirtingų kintamųjų sandauga, t.. a 12 = a 21 = 0, ra n 1 sin α + n 2 cos α = 0. Ši sąlga reiškia, kad vektorius (n 1 ; n 2 ) ra statmenas vektoriui ( sin α; cos α). Tai ekvivalentu salgai, kad vektorius (n 1 ; n 2 ) ra lgiagretus vektoriui (cos α; sin α), t.. toks skaičius λ, kad Šią sąlgą perrašome pavidale a11 cos α + a 12 sin α = λ cos α a 21 cos α + a 22 sin α = λ sin α. (a11 λ) cos α + a 12 sin α = 0 a 21 cos α + (a 22 λ) sin α = 0. Sistema (16) turi nenulinį spendinį (cos α, sin α), jei a 11 λ a 12 a 22 λ = 0. a 21 (16) Taigi λ ra charakteringosios lgties šaknis. Pažmėję šią šaknį λ 1 iš sąlgos (16) pirmosios lgbės gauname tan α = λ 1 a 11 a 12. (17) Primename vakarkščiams mokiniams, kad žinodami tangentą nesunkiai apskaičiuojame to paties kampo sinusą ir kosinusą: sin α = tan α 1 + tan 2 α, cos α = 1 1 + tan 2 α. (18) 9
Pasinaudoję formule (10) taip pat gauname a 11 = cos α ( ) ( ) a 11 cos α + a 12 sin α + sin α a21 cos α + a }} 22 sin α. }} n 1 n 2 Kadangi n 1 = λ 1 cos α, n 2 = λ 1 sin α, tai a 11 = λ 1 (cos 2 α + sin 2 α) = λ 1. Todėl charakteringoji lgtis, parašta matriciniame pavidale atžvilgiu naujos koordinačių sistemos, ra λ 1 λ 0 0 a 22 λ = (λ λ 1)(λ a 22) = 0. Iš šios lgbės gauname, kad a 22 ra kita charakteringosios lgties šaknis, t.. a 22 = λ 2. Tai ir viskas, ką reikėjo parodti šiame skriuje. Surinkime viščiukus į vieną vietą. Išvada 1 Tegul λ 1 ir λ 2 ra charakteringosios lgties šakns. Pasukus koordinačių sistema kampu α, kurio tan α = λ 1 a 11 a 12, kvadratinė lgties dalis atžvilgiu naujos koordinačių sistemos supaprastėja iki λ 1 2 +λ 2 2, t.. a 11 = λ 1, a 12 = 0, a 22 = λ 2. Posūkio kampo sinusas ir kosinusas apskaičiuojami naudojantis formulėmis (18). 10