Η ομάδα Galois τής F(t)/F και το Υπόσωμα σταθερών Στοιχείων τής F(t)/F

Η ομάδα Galois τής F(t)/F και το Υπόσωμα σταθερών Στοιχείων τής F(t)/F Νίκος Μαρμαρίδης 23 Ιανουαρίου 2017 Π Έστω ότι F είναι ένα σώμα, ότι F [t] είναι ο πολυωνυμικός δακτύλιος στη μεταβλητή t και ότι F (t) είναι το σώμα των ρητών συναρτήσεων στη μεταβλητή t. Θα αποδείξουμε ότι η ομάδα Galois Gal F (F (t)) τής επέκτασης F(t)/F αποτελείται ακριβώς από τις απεικονίσεις σ : F (t) F (t), f(t) σ ( ) f(t) := f(σ(t)) g(σ(t)), όπου σ(t) = at+b ct+d με a, b, c, d F και ad bc 0. Κατόπιν, θα αποδείξουμε ότι στην περίπτωση που το σώμα F είναι χαρακτηριστικής μηδέν, τότε το υπόσωμα F (t) Gal F (F (t)) των σταθερών στοιχείων τής Gal F (F (t)) ισούται με F. 1 Προαπαιτούμενα Για την κατανόηση των επόμενων είναι απαραίτητη μια στοιχειώδης γνώση τής Θεωρίας Galois. Στο τέλος τής παρούσας σημείωσης παραθέτουμε σχετική βιβλιογραφία. 1.1 Το Σώμα Κλασμάτων Έστω D μια ακέραια περιοχή και Q το σώμα κλασμάτων της. Θα παριστάνουμε τα στοιχεία τού Q ως «κλάσματα» a b, όπου a, b D, b 0. Έστω ι : D Q η κανονική εμφύτευση ι : D Q, a ι(a) := a 1 Ως γνωστόν, το σώμα κλασμάτων Q τής D χαρακτηρίζεται από την εξής καθολική ιδιότητα: Αν K είναι ένα σώμα και αν ϕ : D K είναι ένας ομομορφισμός δακτυλίων1, τότε υπάρχει ένας μοναδικός ομομορφισμός ψ : Q K, ο οποίος συμπληρώνει το διάγραμμα 1Δεχόμαστε ότι οι όλοι οι θεωρούμενοι δακτύλιοι R διαθέτουν μοναδιαίο στοιχείο 1 R και ότι όλοι οι ομομορφισμοί δακτυλίων ϕ : R S απεικονίζουν το 1 R στο 1 S. 1

D K ϕ ι Q στο μεταθετικό διάγραμμα D ι Q K ϕ ψ Ο μοναδικός ομομορφισμός ψ : Q K ορίζεται ως ψ( a b ) := ϕ(a)ϕ(b) 1. 1.2 Το Λήμμα Gauss Έστω ότι D είναι μια περιοχή μονοσήμαντης παραγοντοποίησης και ότι Q είναι το αντίστοιχο σώμα κλασμάτων της. Το επόμενο αποτελεί γενίκευση τού γνωστού Λήμματος Gauss, βλ. [12], το οποίο ισχύει για D = Z και Q = Q. Θεώρημα 1.2.1: Το Λήμμα Gauss Έστω f(x) ένα πολυώνυμο τού D[x]. Αν το f(x) παραγοντοποιείται σε ένα γινόμενο δύο μη σταθερών πολυωνύμων τού Q[x], τότε παραγοντοποιείται σε ένα γινόμενο δύο μη σταθερών πολυωνύμων τού D[x]. Για μια απόδειξη βλ. [6] και [9]. 2 Η Ομάδα Gal F (E) Όταν E είναι ένα σώμα και F είναι ένα υπόσωμά του, τότε ονομάζουμε το E μια επέκταση τού σώματος F και συνήθως αυτό το δηλώνουμε γράφοντας E/F. Συχνά επίσης γράφουμε F E, για να δηλώσουμε ότι το F είναι ένα υπόσωμα τού E. Θεωρούμε την ομάδα Aut(E) = {σ : E E σ αυτομορφισμός2 τού E} των αυτομορφισμών τού σώματος E και κατόπιν σχηματίζουμε το υποσύνολο: Gal F (E) := {σ Aut(E) σ(a) = a, a F } Με άλλα λόγια το G F (E) αποτελείται από τους αυτομορφισμούς τού E που διατηρούν σταθερό κάθε στοιχείο τού υποσώματος F. 2δλδ. ομομορφισμός, «1 1» και «επί» Ν. Μ 2

Είναι εύκολη η διαπίστωση ότι το G F (E) είναι μια υποομάδα τής Aut(E), η οποία ονομάζεται η ομάδα Galois τής επέκτασης E/F. Μπορούμε να εκτελέσουμε και την αντίστροφη διαδικασία. Θεωρούμε μια υποομάδα H τής ομάδας Aut(E) και σχηματίζουμε το σύνολο E H := {α E h(α) = α, h H} Είναι επίσης εύκολη η διαπίστωση ότι το E H είναι ένα υπόσωμα τού E, το οποίο ονομάζεται το υπόσωμα των σταθερών στοιχείων τής H. Είναι φανερό ότι για οποιαδήποτε επέκταση σωμάτων E/F ισχύει F E G F (E), χωρίς ωστόσο να ισχύει απαραίτητα η ισότητα F = E G F (E). Για παράδειγμα, η ομάδα Galois G Q (Q( 3 2)) τής επέκτασης Q( 3 2)/Q ισούται με την τετριμμένη ομάδα G = {Id Q( 3 2)) } και ως εκ τούτου, το σώμα σταθερών στοιχείων Q( 3 2) G ισούται με το Q( 3 2). Στην περίπτωση που ισχύει η ισότητα F = E G F (E), τότε λέμε ότι η επέκταση E/F ικανοποιεί τη τη συνθήκη Galois. 2.1 Η Ομάδα G F (F(t)) Έστω F (t) το σώμα κλασμάτων (ρητών συναρτήσεων) τού πολυωνυμικού δακτυλίου F [t], όπου F είναι ένα σώμα. Θα προσδιορίσουμε την ομάδα Galois G F (F (t)) τής επέκτασης F (t)/f. Έστω y = u(t) v(t) οποιοδήποτε στοιχείο από το σύνολο F (t)\f. Χωρίς περιορισμό τής γενικότητας, μπορούμε να δεχθούμε ότι τα u(t) και v(t) είναι σχετικώς πρώτα πολυώνυμα τού k[t]. Θεωρούμε την αλυσίδα σωμάτων F < F (y) F (t) Έστω m = max{ u(t), v(t)} ο μέγιστος των βαθμών των u και v. Πρόταση 2.1.1: Η Επέκταση F (t)/f (y), y / F, είναι πεπερασμένη Ο βαθμός [F (t) : F (y)] ισούται με m και το y είναι υπερβατικό υπεράνω τού F. Απόδειξη. Έστω το πολυώνυμο p(x) = yv(x) u(x) τού πολυωνυμικού δακτυλίου F (y)[x]. Είναι p(t) = yv(t) u(t) = 0. Ισχυριζόμαστε ότι το p(x) είναι 0. Αν ήταν το p(x) = 0, τότε θα ήταν yv(x) = u(x). Αφού v(x) = i v ix i 0, v i F, i, υπάρχει κάποιο v j 0. Έστω ότι u(x) = s u sx s 0, u s F, s. Τότε η ισότητα yv(x) = u(x) θα έδινε yv j = u j και ως εκ τούτου θα ήταν y = u j vj 1 F, το οποίο αντίκειται στην υπόθεση ότι y / F. Ως εκ τούτου, p(x) 0. Παρατηρούμε ότι p = m 1, αφού διαφορετικά δεν μπορεί να ισχύει ότι p(t) = 0. 3 Ν. Μ

Επομένως, η F (t)/f (y) είναι μια αλγεβρική επέκταση βαθμού m. Επιπλέον το y είναι υπερβατικό υπεράνω τού F, αφού διαφορετικά το t θα ήταν αλγεβρικό υπεράνω τού F, το οποίο είναι άτοπο. Ισχυριζόμαστε ότι το p(x) είναι ένα ανάγωγο πολυώνυμο τού F (y)[x]. Σύμφωνα με το Λήμμα Gauss, βλ. Θεώρημα 1.2.1 για D = F [y] και Q = F (y), αρκεί να δείξουμε ότι το p(x) δεν παραγοντοποιείται στον F [y][x] ως γινόμενο δύο πολυώνυμων που και τα δυο τους έχουν βαθμό3 < m. Έστω ότι p(x) = r(x)q(x), r(x), q(x) F [y][x] = F [y, X], ( ). Επειδή ο βαθμός τού p(x) ως προς y ισούται με 1 ή το r(x) ή το q(x) ανήκει στον πολυωνυμικό δακτύλιο F [X] F [y, X]. Χωρίς περιορισμό τής γενικότητας μπορούμε να υποθέσουμε ότι το r(x) ανήκει στον F [X]. Τότε για το q(x) F [y, X], έχουμε q(x) = q 1 (X) + yq 2 (X), q 1 (X), q 2 (X) F [X], διότι ο βαθμός τού p(x) ως πολυώνυμο τού y ισούται με 1. Έτσι προκύπτει: p(x) =yv(x) u(x) = r(x)q(x) = r(x)(q 1 (X) + yq 2 (X)) = r(x)q 1 (X) + yr(x)q 2 (X) και συνεπώς yv(x) = yr(x)q 2 (X), u(x) = r(x)q 1 (X). Επομένως, το r(x) είναι ένας κοινός διαιρέτης των u(x) και v(x) στον πολυωνυμικό δακτύλιο F [X]. Αλλά από την υπόθεση τα πολυώνυμα u(x) και v(x) είναι σχετικώς πρώτα και ως εκ τούτου, το r(x) είναι ένα αντιστρέψιμο στοιχείο τού F [X], δηλαδή είναι r(x) = 0. Έτσι από την ( ) προκύπτει ότι p(x) = q(x) και ότι το p(x) είναι ένα ανάγωγο πολυώνυμο τού F (y)[x]. Άρα, το ελάχιστο πολυώνυμο τού t υπεράνω τού F (y) είναι τής μορφής λp(x), λ F (y) και [F (t) : F (y)] = m. Θα υπολογίσουμε τώρα την ομάδα Galois G F (F (t)) τής επέκτασης F (t)/f. Κατ αρχάς παρατηρούμε ότι αν ένας αυτομορφισμός σ τού F (t) ανήκει στην ομάδα Galois G F (F (t)), τότε ο σ προσδιορίζεται πλήρως από την τιμή σ(t). Κατ αρχάς για μια πολυωνυμική έκφραση f(t) = n i=0 a it i F [t], a i F, i είναι n n σ(f(t)) = σ( a i t i ) = a i σ(t) i = f(σ(t)) i=0 και για μια ρητή έκφραση f(t) είναι ( ) f(t) σ = σ(f(t) 1 ) = σ(f(t))σ( 1 ) = σ(f(t))σ() 1 = f(σ(t))g(σ(t)) 1 = f(σ(t)) g(σ(t)) Επομένως, κάθε στοιχείο σ G F (F (t)) προσδιορίζεται πλήρως από την τιμή σ(t) Συμβολίζουμε με L το εξής υποσύνολο τού σώματος F (t): { } at + b L := ad cb 0 ct + d 3 ως προς X i=0 Ν. Μ 4

Θεώρημα 2.1.2: Χαρακτηρισμός των Στοιχείων τής G F (F (t)) Η αντιστοιχία χ : G F (F (t)) L, σ χ(σ) := σ(t) είναι μια αμφιρριπτική («1 1» και «επί») απεικόνιση. Απόδειξη. Κατ αρχάς θα δείξουμε ότι η χ είναι όντως μια απεικόνιση, δηλαδή ότι η εικόνα σ(t) ανήκει στο L. Έστω ότι σ(t) = f(t) F (t). Παρατηρούμε ότι σ(f (t)) = F (σ(t)) και επειδή ο σ είναι ένας αυτομορφισμός, έχουμε F (σ(t)) = F (t). Ως εκ τούτου, το σ(t) δεν είναι στοιχείο τού F και τώρα μπορούμε να υποθέσουμε χωρίς περιορισμό τής γενικότητας ότι τα πολυώνυμα f(t) και τού F [t] είναι σχετικώς πρώτα. Από την Πρόταση 2.1.1, γνωρίζουμε ότι [F (t) : F (σ(t))] = [ F (t) : F ( )] f(t) = m = max{ f(t), } και αφού F (σ(t)) = F (t), διαπιστώνουμε ότι m = 1 και ότι ως εκ τούτου, τα πολυώνυμα f(t) και είναι τής μορφής f(t) = at+b, = ct+d. Αφού σ(t) = f(t) κ, κ F, συμπεραίνουμε ότι τα στοιχεία f(t) = at + b, = ct + d τού F διανυσματικού χώρου είναι ( F γραμμικώς ) ανεξάρτητα. Αυτό συμβαίνει ακριβώς a b τότε όταν ο πίνακας M = είναι αντιστρέψιμος, το οποίο ισχύει ακριβώς c d τότε όταν η ορίζουσα det M = ad cb είναι 0. Συνεπώς, το σ(t) ανήκει στο L και η αντιστοιχία χ είναι μια καλά ορισμένη απεικόνιση. Σύμφωνα με αυτά που είπαμε πριν από τη διατύπωση τού θεωρήματος, η χ είναι μια ενριπτική («1 1») απεικόνιση, αφού από σ(t) = χ(σ) = χ(τ) = τ(t), σ, τ G F (E), έπεται ότι σ = τ. Υπολείπεται η απόδειξη ότι η χ είναι μια επιρριπτική («επί») απεικόνιση. Για κάθε u(t) L, θεωρούμε τον ομομορφισμό εκτίμησης ev u(t) : F [t] F (t), p(t) ev u(t) (p(t)) := p(u(t)) Επειδή το F (t) είναι το σώμα κλασμάτων τού πολυωνυμικού δακτυλίου F [t] και σύμφωνα με όσα είπαμε στην Ενότητα 1.1, υπάρχει ένας (μοναδικός) ομομορφισμός σωμάτων ψ : F (t) F (t), ο οποίος συμπληρώνει το διάγραμμα F [t] ι F (t) F (t) ev u(t) στο μεταθετικό διάγραμμα 5 Ν. Μ

F [t] ι F (t) F (t) ev u(t) ψ (Σημειώστε ότι ταυτίζουμε τον δακτύλιο F [t] με την εικόνα του ι(f [t]), δηλαδή ταυτίζουμε τα στοιχεία p(t) F [t] με τα στοιχεία p(t) 1 F (t) και ότι ως εκ τούτου, ο μονομορφισμός ι : F [t] F (t), p(t) p(t) 1 αποτελεί την κανονική εμφύτευση.) Ο ψ είναι μονομορφισμός, αφού πρόκειται για ομομορφισμό σωμάτων. Για κάθε κ F, είναι ψ(κ) = ψ ι(κ) = ev u(t) (κ) = κ. Με άλλα λόγια ο ψ διατηρεί τα στοιχεία τού F σταθερά. Επομένως, ψ(f (t)) = F (ψ(t)) = F (u(t)). Tώρα είναι [F (t) : F (u(t))] = 1, διότι το u(t) ανήκει στο σύνολο L και γι αυτό F (t) = F (u(t)). Συνεπώς, ο μονομορφισμός ψ είναι επιμορφισμός και έτσι τελικά προκύπτει ότι ο ψ ανήκει στην ομάδα Galois G F (F (t)). Επιπλέον, είναι ψ(t) = ψ ι(t) = ev u(t) (t) = u(t). Άρα, για κάθε u(t) L υπάρχει ψ G F (F (t)) με χ(ψ) = ψ(t) = u(t) και η χ : G F (F (t)) L είναι μια επιρριπτική απεικόνιση. 2.2 Η Επέκταση F (t)/f με charf = 0 ικανοποιεί τη Συνθήκη Galois Θεώρημα 2.2.1: charf = 0, F (t) G F (F (t)) = F Αν charf = 0, τότε το σώμα σταθερών στοιχείων τής ομάδας Galois G F (F (t)) τής επέκτασης F (t)/f ισούται με F. Απόδειξη. Όταν H είναι μια υποομάδα τής G F (F (t)), τότε F (t) G F (F (t)) F (t) H. Συνεπώς για να αποδείξουμε τον ισχυρισμό το θεωρήματος, αρκεί να βρούμε μια υποομάδα τής G F (F (t)) με F H = F. Θεωρούμε τη ρητή συνάρτηση u(t) = t+1 F F (t), η οποία προφανώς ανήκει στο σύνολο L που ορίσαμε στην προηγούμενη ενότητα. Από το Θεώρημα 2.1.2, γνωρίζουμε ότι υπάρχει σ G F (F (t)) με σ(t) = t+1 F. Σχηματίζουμε την κυκλική υποομάδα σ τής G F (F (t)). Θα δείξουμε ότι F σ = F. Όταν f(t) F σ, τότε n N, είναι f(t) = σn ( ) f(t) = f(σn (t)) g(σ n (t)) = f(t + n1 F ) g(t + n1 F ), (*) Αφού 0, το σύνολο των θέσεων μηδενισμού τού g είναι πεπερασμένο. Επειδή το F είναι ένα άπειρο σώμα χαρακτηριστικής 0, υπάρχει κάποιο ρ1 F F, ρ N με g(ρ1 F ) 0. Θεωρούμε το σύνολο M = {m N g(ρ1 F + m1 F ) = 0}. Το M είναι πεπερασμένο και το σύνολο {ρ1 F + n1 F n N \ M} Ν. Μ 6

είναι άπειρο, διότι η απεικόνιση N\M F, n F, ρ1 F +n1 F είναι «1 1», αφού το F είναι ένα σώμα με charf = 0. Λόγω τής (*), έχουμε: f(ρ1 F ) g(ρ1 F ) = f(ρ1 F + n1 F ) g(ρ1 F + n1 F ), n N \ M Ή ισοδύναμα f(ρ1 F )g(ρ1 F + n1 F ) g(ρ1 F )f(ρ1 F + n1 F ) = 0, n N \ M Ως εκ τούτου, το πολυώνυμο p(t) = f(ρ1 F )g(ρ1 F + t) g(ρ1 F )f(ρ1 F + t) ισούται με το μηδενικό πολυώνυμο, αφού κάθε στοιχείο τού F τής μορφής n1 F n N\M είναι θέση μηδενισμού του. Άρα, f(ρ1 F )g(ρ1 F +t) = g(ρ1 F )f(ρ1 F +t) ή ισοδύναμα f(ρ1 F ) g(ρ1 F ) = f(ρ1 F +t) g(ρ1 F +t). Αλλά, f(ρ1 F ) g(ρ1 F ) = f(ρ1 F + t) g(ρ1 F + t) = f(σρ (t)) g(σ ρ (t)) = σρ ( ) f(t) = f(t) Συνεπώς, όταν f(t) F (t) σ, τότε f(t) F, δηλαδή F (t) σ = F και ως εκ τούτου, F (t) G F (F (t)) = F. Πόρισμα 2.2.2: Μια επέκταση που ικανοποιεί τη Συνθήκη Galois χωρίς να είναι αλγεβρική Η επέκταση F (t)/f με charf = 0 ικανοποιεί τη συνθήκη Galois, αλλά δεν αλγεβρική. Απόδειξη. Ως γνωστόν, η F (t)/f είναι μια υπερβατική επέκταση και από το προηγούμενο θεώρημα διαπιστώσαμε ότι ικανοποιεί τη συνθήκη Galois. Το παραπάνω πόρισμα έχει τη σημασία του, αφού η θεωρία Galois αναπτύσσεται κυρίως για επεκτάσεις E/F που ικανοποιούν τη συνθήκη Galois και έχουν βαθμό [E : F ] < ή γενικότερα είναι αλγεβρικές. Είναι πολύ φυσικό λοιπόν να αναρωτηθεί κανείς για το αν υπάρχουν μη αλγεβρικές επεκτάσεις, οι οποίες να ικανοποιούν τη συνθήκη Galois. Σύμφωνα με το παραπάνω πόρισμα, μια ακριβώς τέτοια περίπτωση είναι η επέκταση F (t)/f με charf = 0. Αναφορές [1] E. Artin. Galois Theory. Notre Dame Mathematical Lectures, Number 2, Dover Publications, ed. 0002-Revised, 1997 7 Ν. Μ

[2] A. Baker. An Introduction to Galois Theory, January 23, 2013 http://www.maths.gla.ac.uk/ ajb/dvi-ps/galois.pdf [3] E. Conrad. Expository Papers http://www.math.uconn.edu/ kconrad/blurbs/ [4] D. S. Dummit and R. M. Foote. Abstract algebra. Wiley, Hoboken, NJ, 3rd ed edition, 2004. [5] M. Holz. Repetitorium Algebra. Binomi, 2010. Μετάφραση: Ν. Μαρμαρίδης. Εκδόσεις Συμμετρία, 2015. [6] T. W. Hungerford. Abstract algebra: an introduction. Springer (Graduate Texts in Mathematics 73), 1974. [7] N. Jacobson. Basic Algebra I. W.H. Freemann and Company, 1985. [8] C. Karpfinger and E. Meyberg. Algebra: Gruppen - Ringe - Körper. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, 2009. [9] J. S. Milne. Fileds and Galois theory, August 31, 2015 http://www.jmilne.org/math/coursenotes/ft.pdf [10] P. Morandi. Field and Galois theory (Graduate Texts in Mathematics, 167) Springer-Verlag, New York, 1996. [11] D. Winter. The stucture of fields, GTM volume 16. Springer-Verlag, New York, 1974. [12] J. J. Rotman. Galois Theory, Universitext. Springer-Verlag, New York, 1998. Μετάφραση: Ν. Μαρμαρίδης Θεωρία Galois, Πανεπιστημιακά Μαθηματικά Κείμενα 1. Leaderbooks, 2000. Ν. Μ 8