επιπεδη τριγωνομετρια

ειεδη τριγωνομετρια ο μερος Ш τακης τσακαλακος

... Θυμηθηκα τα αλια. Μια ροσεγγιση σε θεματα Τριγωνομετριας, σαφως ε ηρεασμενος α'τους Δασκαλους μου (Συρο Κανελλο -Παναγιωτη Μαγειρα). Πιστευω να ειναι χρησιμα...

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Δ ι α ν υ σ μ α τ α ο ρ ι σ μ ο ς Δ ι α ν υ σ μ α λεμε το τμημα ΟΑ μιας ευθειας (ε), ου εχει αρχη το Ο και ερας (τελος) το Α. Συμβολιζεται: Μ η δ ε ν ι κ ο Δ ι α ν υ σ μ α Ειναι το διανυσμα του οοιου η αρχ η και το τελος συμιτουν. Συμβολιζεται 0 η. Η εικονα του ειναι ενα σημειο του ειεδου. Μ ε τ ρ ο Δ ι α ν υ σ μ α τ ο ς ΑΒ Λεγεται το μηκος του ευθ. τμη ματος ΑΒ. Συμβολιζεται ΑΒ και ροφανως ειναι ΑΒ 0. Ισχυει = 0. Το διανυσμα οριζεται ληρως αν ειναι γνωστα: ο φ ο ρ ε α ς (η ευθεια, ανω στην οοια βρισκεται το διανυσμα και οριζει τη διευθυνση του) η φ ο ρ α (η εννοια της κινηση; α'το Ο ρος το Α) τ ο μ ε τ ρ ο (ο αριθμος ου εκφραζει το μηκος του ευθυγραμμου τμηματος ΟΑ) ΣΧΟΛΙΟ Διανυσματα ου εχουν φορεις αραλληλους, εχουν την ιδια διευ - θυνση Ο φορεας και η φορα, λεγονται με μια λεξη: κ α τ ε υ θ υ ν σ η Μ ο ν α δ ι α ι ο δ ι α ν υ σ μ α ειναι το διανυσμα ου εχει μετρο ισο με τη μοναδα και φορα θετικη. Ο μ ο ρ ρ ο α δ ι α ν υ σ μ α τ α λεμε δυο η ερισσοτερα διανυσματα ου εχουν τον ιδιο φορεα και την ιδια φορα. Α ν τ ι ρ ρ ο α δ ι α ν υ σ μ α τ α λεμε δυο η ερισσοτερα διανυσματα ου εχουν τον ιδιο φορεα και την Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 3

αντιθετη φορα. Ι σ α δ ι α ν υ σ μ α τ α λεμε δυο η ερισσοτερα διανυσματα ου ειναι ομορροα και εχουν ισα μετρα. Α ν τ ι θ ε τ α δ ι α ν υ σ μ α τ α λεμε δυο διανυσματα ου ειναι αντιρροα και εχουν ισα μετρα. Γ ω ν ι α Δ ι α ν υ σ μ α τ ω ν Λεγεται η θετικη και κυρτη γωνια ου σχηματιζουν δυο διανυσματα με κοινη αρχη. Συμβολιζουμε με (a, b) η (b, a) με 0 0 θ 80 0 Τα ομορροα διανυσματα σχηματιζουν γωνια 0 0 Τα αντιροα διανυσματα σχηματιζουν γωνια 80 0 Αν θ = 90 0 τα διανυσματα λεγονται καθετα η ορθογων ια Το μηδενικο διανυσμα (0 0 θ 80 0 ) με καθε αλλο διανυσμα. 0 σχηματιζει οοιαδηοτε γωνια θ Π ρ ο σ α ν α τ ο λ ι σ μ ε ν η ε υ θ ε ι α λεμε καθε ευθεια για την οοια εχει ορισθει θετικη (αρνητικη) φορα. Α ξ ο ν α ς Ειναι μια ευθεια x'x στην οοια εχει ορισθει ενα σημειο Ο για αρχη και ενα μοναδιαιο διανυσμα ΟΑ = i στη διευθυνση της ημιευθειας Οx. Θετικος ημιαξονας ειναι η ημιευθεια Οx, ενω αρνητικος η ημιευθεια Οx'. Για καθε σημειο Μ του αξονα υαρχει μοναδικο x, τετοιο ωστε ΟΜ= x. i Αντιστροφα, για καθε x, υαρχει στον αξονα σημειο Μ, τετοιο ωστε ΟΜ= x. i Οx λεγεται τ ε τ μ η μ ε ν η του σημειου Μ. Κ α ρ τ ε σ ι α ν ο Ε ι ε δ ο Ειναι δυο καθετοι αξονες x'x, y'y με κοινη αρχη Ο στους οοιους ε- χουν οριστει τα μοναδιαια διανυσματα a και b. Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 4

Ο x'x ειναι ο αξονας των τετμημενων, ενω ο y'y ο αξονας των τεταγμενων. Το συστημα των δυο αξονων λεγεται και Καρτεσιανο ειεδο. Καθε σημειο Μ του ειεδου αντιστοιχιζεται σ'ενα ζευγος (x,y) ραγματικων αριθμων ου λεγονται σ υ ν τ ε τ α γ μ ε ν ε ς του σημειου Μ. Το x ειναι η τ ε τ μ η μ ε ν η του σημειου Μ, ενω το y ειναι η τ ε τ α γ μ ε ν η του σημειου Μ. Το σημειο Μ συμβολιζεται: Μ(x,y) η (x,y). Αντιστροφα, καθε ζευγος (x,y) ραγματικων αριθμων αντιστοιχιζεται σ'ενα σημειο Μ του ειεδου. ΚΥΚΛΟΣ Π ρ ο σ α ν α τ ο λ ι σ μ ε ν ο ς κ υ κ λ ο ς Ειναι ο κυκλος στον οοιον εχει ειλεγει η θετικη (σχημα) η η αρνη - τικη φορα. Π ρ ο σ α ν α τ ο λ ι σ μ ε ν ο τ ο ξ ο Θεωρουμε το ροσανατολισμενο κυ - κλο (C) και δυο σημεια του Α και Μ. Το τμημα του κυκλου ΑΜ αοτελει τοξο του κυκλου (Γεωμετρια) και συμβολιζεται. Το αραανω τοξο λεγεται ροσα - νατολισμενο αν ειναι γνωστα: η αρχη του (εδω το Α) το ερας του (εδω το Μ) η φορα του (εδω θετικη) το ληθος των εριφε ρειων ου εριεχει (κ R, R ακτινα κυκλου, R μηκος κυκλου, κ ) Μ ο ν α δ ι α ι ο τ ο ξ ο ειναι το τοξο ενος ροσανατολισμενου κυκλου ( C) ου θεωρειται ως μοναδα (αυθαιρετα) ειναι θετικο Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 5

Μ ε τ ρ ο ρ ο σ α ν α τ ο λ ι σ μ ε ν ο υ τ ο ξ ο υ Μετρο ροσανατολισμενου τοξου, με μοναδιαιο τοξο λεμε το μετρο του τοξου (αο Γεωμετρια) με το ροσημο "+" η " -" αν αυτο ειναι θετικο η αρνητικο, αντιστοιχα. ΣΧΟΛΙΟ Η αντιστοιχη του ροσανατολισμενου τοξου εικεντρη γωνια ω, θεωρειται και αυτη ροσανατολισμενη και το μετρο της ειναι ισο με το μετρο του αντιστοιχου τοξου. ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΟΞΩΝ - ΓΩΝΙΩΝ Μ ο ν α δ ε ς μ ε τ ρ η σ η ς γ ω ν ι ω ν - τ ο ξ ω ν Μ ο ι ρ α : Ειναι το 360 τοξου ισου με κυκλο. Συμβολιζεται με ( 0 ), δηλαδη, μ μοιρες = μ 0 Υοδιαιρεσεις: λετο ('), δευτερολετο ('') Ισχυει: 0 =60' =60 60'' Α κ τ ι ν ι ο : Ειναι τοξο κυκλου με μηκος ισο με την ακτινα του κυκλου. Συμβολιζεται με rad, δηλαδη, a ακτινια = α rad Β α θ μ ο ς : Ειναι το τοξου ισου με κυκλο. 400 Συμβολιζεται με ( g ), δηλαδη, β βαθμοι = β g Υοδιαιρεσεις: δεκατο, εκατοστο, χιλιοστο Αν μ, α, β ειναι τα μετρα του (ιδιου) τοξου σε μοιρες, ακτινια, βαθμους αντιστοιχα, ροκυτει η ισοτητα Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 6

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ O ρ ι σ μ ο ς Ειναι ο κυκλος ου ειναι ροσανατολισμενος θετικα (αντιθετα της φορας των δεικτων του ρολογιου) η ακτινα του θεωρειται μο - ναδα μηκους εχει οριστει σημειο του (Α) (σημειο τομης του κυκλου και του θετικου ημιαξονα Οχ του ορθοκανονικου συ - στηματος αξονων Ox, Oy (Ο το κεντρο του κυκλου)) ως αρχη τω ν τοξων. ΣΧΟΛΙΟ Το διανυσμα με μετρο οσο το μηκος της ακτινας και αρχη το κεντρο Ο (μοναδιαιο), αναφε - ρεται ως δ ι α ν υ σ μ α τ ι κ η α κ τ ι ν α του τριγωνομετρικου κυκλου. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 7

ΗΜΙΤΟΝΟ O ρ ι σ μ ο ς Ημιτονο του τοξου ΑΜ ή της αντιστοιχης εικεντρης γωνιας ω, λεγεται η αλγεβρικη ροβολη της τελικης διανυσματικης ακτινας ΟΜ ανω στον αξονα Oy (αξονας των ημιτονων). Στο σχημα : ημω=(οκ) ΣΧΟΛΙΟ Στον ορισμο αναφερεται η λεξη "τελικης" γιατι η διανυσματικη ακτινα (κατα συνεεια και το ημιτονο) δεν μεταβαλλεται, αν το αντιστοιχο τοξο αυξηθει ή ελαττωθει κατα ακεραιο ληθος εριφερειων. Εναλλακτικα, θα μορουσαμε να ορισουμε σαν ημ ιτονο του τοξου ΑΜ την τεταγμενη του σημειου Μ στο ορθοκανονικο συστημα αξονων Oχ, Oy. Το ημιτονο ειναι θετικο στο ο και ο τεταρτημοριο και αρνητικο στο 3ο και 4ο τεταρτημοριο. H συναρτηση f(x)=ημχ Πεδιο ορισμου: Α= Συνολο τιμων: f(α)=[-,] Περιοδος: Τ= Συμμετρια: Εχει κεντρο συμμετριας το σημειο Ο(0,0) (εριττη) Μονοτονια - ακροτατα: η f ειναι γνησιως αυξουσα στα δια- στηματα 3 0,,, η f ειναι γνησιως φθινουσα στο διαστημα η f αρουσιαζει 3, μεγιστο στη θεση ελαχιστο στη θεση με τιμη και 3 χ= με τιμη -. Γραφημα: Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 8

ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟ O ρ ι σ μ ο ς Συνημιτονο του τοξου ΑΜ ή της αντιστοιχης εικεντρης γωνιας ω, λεγεται η αλγεβρικη ροβολη της τελικης διανυσματικης ακτινα ς ΟΜ ανω στον αξονα Oχ (αξονας των συνημιτονων). Στο σχημα : συνω=(ολ) ΣΧΟΛΙΟ Εναλλακτικα, θα μορουσαμε να ορισουμε σαν συνημιτονο του τοξου ΑΜ την τετμημενη του σημειου Μ στο ορθοκανονικο συστημα αξονων Oχ, Oy. το συνημιτονο τοξου ΑΜ δεν μεταβαλλεται, αν το ΑΜ αυξηθει ή ελαττωθει κατα ακεραιο ληθος εριφερειων. Το συνημιτονο ειναι θετικο στο ο και 4ο τεταρτημοριο και αρνητικο στο ο και 3ο τεταρτημοριο. H συναρτηση f(x)=συνχ Πεδιο ορισμου: Α= Συνολο τιμων: f(α)=[-,] Περιοδος: Τ= Συμμετρια: Εχει αξονα συμμετριας τον αξονα y'y (αρτια) Μονοτονια - ακροτατα: η f ειναι γνησιως φθινουσα στο δια - στημα [ 0, ] γνησιως αυξουσα στο δια- στημα [,] Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 9

η f αρουσιαζει ελαχιστο στη θεση χ= με τιμη - και μεγιστο στη θεση χ=0, χ= με τιμη. Γραφημα: Συμφωνα με τα αραανω ΣΥΝΕΠΕΙΑ Για το ημιτονο και συνημιτονο, οοιουδηοτε τοξου, ισχυει ή και ή ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ O ρ ι σ μ ο ς Εφατομενη του τοξου ΑΜ ή της αντιστοιχης εικεντρης γωνιας ω, λεγεται η αλγεβρικη τιμη του διανυσματος, ου εχει αρχη την αρχη των τοξων Α και ερας το σημειο τομης της τελικης διανυσματικης ακτινας ΟΜ με τον αξονα των εφατομενων. Στο σχημα : εφω=(αγ) ΣΧΟΛΙΟ Εναλλακτικα, θα μορουσαμε να ορισουμε σαν εφατομενη του τοξου ΑΜ το ηλικο της τεταγμενης ρος την τετμημενη του σημειου Μ στο ορθοκανονικο συστημα αξονων Oχ, Oy. η εφατομενη τοξου ΑΜ δεν μεταβαλλεται, αν το ΑΜ αυξηθει ή ελαττωθει κατα ακεραιο ληθος εριφερειων. Η εφατομενη ειναι θετικη στο ο και 3ο τεταρτημοριο και αρνητικη στο ο και 4ο τεταρτημοριο. Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 0

H συναρτηση f(x)=εφχ Πεδιο ορισμου: Α={χ / Συνολο τιμων: f(α)= Περιοδος: Τ= Συμμετρια: χ κ +, κ Εχει κεντρο συμμετριας το σημειο Ο(0,0) (εριττη) Μονοτονια: η f ειναι γνησιως αυξουσα για καθε Ασυμτωτες: οι κατακορυφες ευθειες Γραφημα : } χ κ +, κ χ κ +, κ Σχεση μεταξυ των ημχ, συνχ και εφχ Θεωρουμε το τριγωνομετρικο κυκλο, το τοξο ΑΜ (και τη γωνια ω) και την εφατομενη του τοξ ου ΑΜ. Αο την ομοιοτητα των τριγωνων ΟΑΓ και ΟΛΜ ροκυτει: (ΑΓ) (ΟΑ) = (ΛΜ) (ΟΛ) ή ή () Ομως, οι αριθμοι ημω, συνω και εφω ειναι θετικοι στο ο τεταρτημοριο οι δυο ειναι αρνητικοι και ο ενας ειναι θετικος στα αλλα τρια τεταρτημορια Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08

Eτσι, για καθε ω κ +, κ, η () δινει η ΒΑΣΙΚΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ, για καθε ΣΥΝΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ O ρ ι σ μ ο ς Συνεφατομενη του τοξου ΑΜ ή της αντιστοιχης εικεντρης γωνιας ω, λεγεται η αλγεβρικη τιμη του διανυσματος, ου εχει αρχη το ερας του ρωτου τεταρτημοριου Β και ερας το σημειο τομης της τελικης διανυσματικης ακτινας ΟΜ με τον αξονα των συνεφατομενων. Στο σχημα : σφω=(βδ) ΣΧΟΛΙΟ Εναλλακτικα, θα μορουσαμε να ορισουμε σαν συνεφατομενη του τοξου ΑΜ το ηλικο της τετμημενης ρος την τεταγμενη του σημειου Μ στο ορθοκανονικο συστημα αξονων Oχ, Oy. η συνεφατομενη τοξου ΑΜ δεν μεταβαλλεται, αν το ΑΜ αυξηθει ή ελαττωθει κατα ακεραιο ληθος εριφερειων. Η συνεφατομενη ειναι θετικη στο ο και 3ο τεταρτημοριο και αρνη - τικη στο ο και 4ο τεταρτημοριο. Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08

H συναρτηση f(x)=σφχ Πεδιο ορισμου: Α={χ / χ κ, κ } Συνολο τιμων: f(α)= Περιοδος: Τ= Συμμετρια: Εχει κεντρο συμμετριας το σημειο Ο(0,0) (εριττη) Μονοτονια: η f ειναι γνησιως αυξουσα για καθε χ κ, κ Ασυμτωτες: οι κατακορυφες ευθειες χ κ, κ Γραφημα : Σχεση μεταξυ των ημχ, συνχ και σφχ Θεωρουμε το τριγωνομετρικο κυκλο,το τοξο ΑΜ (και τη γωνια ω) και την συνεφατομενη του τοξου ΑΜ. Αο την ομοιοτητα των τριγωνων ΟΑΓ και ΟΛΜ ροκυτει: (ΒΔ) (ΟΒ) = (ΚΜ) (ΟΚ) ή ή () Ομως, οι αριθμοι ημω, συνω και εφω ειναι θετικοι στο ο τεταρτημοριο οι δυο ειναι αρνητικοι και ο ενας ειναι θετικος στα αλλα τρια τεταρτημορια Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 3

Ετσι, για καθε ω κ, κ, η () δινει η ΒΑΣΙΚΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ, για καθε ΣΥΝΕΠΕΙΑ Αφου ημω εφω= συνω, για καθε ω κ +, κ συνω σφω= ημω, για καθε ω κ, κ και 3η ΒΑΣΙΚΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ, για καθε ΣΧΟΛΙΟ Η συναρτηση f(x)=ρ ημ(ω χ)+μ (g(x)=ρ συν(ω χ)+μ) με ρ,ω>0 εχει εριοδο: Τ= ω ελαχιστη τιμη -ρ+μ και μεγιστη τιμη ρ+ μ Η συναρτηση f(x)=εφ(ω χ) (g(x)=σφ(ω χ)) με ω 0 εχει εριοδο: Τ= ω Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 4

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΟΞΕΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ Θεωρουμε οξεια γωνια χ Oy=ω και τα σημεια Α, Α,..., Α της λευρας Οχ, α'τα οοια φερ - νουμε καθετες ου τεμνουν τη λευρα της Oy στα σημεια Β, Β,..., Β αντιστοιχα (σχημα). ν Αο τη Γεωμετρια ισχυουν: Α Β Α Β ΑΒ... ΟΒ ΟΒ ΟΒ ν ν ΟΑ ΟΑ ΟΑ... ΟΒ ΟΒ ΟΒ ν Α Β Α Β ΑΒ... ΟΑ ΟΑ ΟΑ ν ν Ειναι φανερο οτι οι λογοι τητοι της θεσης του σημειου ν ν ν ν Α Β ΟΑ Α Β,, ΟΒ ΟΒ ΟΑ Α αραμενουν σταθεροι, ανεξαρ - Αν ομως αρουμε οξεια γωνια xoy=φ ω, οι νεοι λογοι αραμε - νουν σταθεροι, αλλα δεν ειναι ισοι με τους ροηγουμενους. Δηλαδη οι αραανω λογοι εξαρτωνται μονο αο τη γωνια. Στο ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ ο ρι- ζουμε: ημβ= αεναντι λευρα ΑΓ υοτεινουσα ΒΓ, β ημω= α ροσκειμενη λευρα ΑΒ συνβ=, υοτεινουσα ΒΓ γ συνω= α εφβ= αεναντι λευρα ΑΓ ροσκειμενη λευρα ΑΒ, β εφω= γ σφβ= ροσκειμενη λευρα ΑΒ αεναντι λευρα ΑΓ, γ εφω= β Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 5

ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Θεωρουμε το τριγωνομετρικο κυκλο, και το τοξο ΑΜ (γωνια ω). Συμφωνα με τους ορισμους ημιτονου και συνημιτονου ημω=(οκ) συνω=(ολ) Ισχυει: OK O O O OK O (OK) +(OΛ) = Ετσι, εκτος α'τις τρεις αραανω βασικες τριγωνομετρικες ταυτοτητες εχουμε και 4η ΒΑΣΙΚΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ, για καθε ΣΧΟΛΙΟ Χρησιμη ειναι η αραλλαγη της αραανω ταυτοτητας: ημ ω=-συν ω ή συν ω=-ημ ω 5η ΒΑΣΙΚΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ και, με Α ο δ ε ι ξ η Διαιρουμε τα δυο μελη της ταυτοτητας και ροκυτει: ημ ω+συν ω= με ημ ω συν ω + = εφ ω+= συν ω= συν ω συν ω συν ω συν ω εφ ω Θετουμε στη ταυτοτητα και ροκυτει: ημ ω+συν ω= οου συν ω= συν ω 0 εφ ω Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 6

ημ ω+ = ημ ω= - ημ ω= εφ ω εφ ω εφ ω εφ ω εφ ω ημ ω= Α λ λ ι ω ς εφ ω ημ ω συν ω+ημ ω εφ ω= + = = συν ω= συν ω συν ω συν ω εφ ω συν ω ημ ω+συν ω σφ ω= + = = ημ ω= ημ ω ημ ω ημ ω σφ ω εφ ω εφ ω εφ ω ημ ω= ημ ω= ημ ω= εφ ω εφ ω ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ ΚΑΙ... ΧΡΗΣΙΜΟ Δίνονται οι συναρτήσεις f(χ)=ημχ και g(χ)=συνχ, για κάθε χ και α) f(χ) + g(χ)= 0 ` ημχ + συνχ=0 ` ημχ =- συνχ () β) f(χ) - g(χ)= 0 ` ημχ - συνχ=0 ` ημχ = συνχ () και στις δύο εριτωσεις, ισχύει ημχ 0 και συνχ 0 Πραγματι Αν συνχ=0, τ οτε αο την () η () εχουμε και ημχ=0, ατοο αφου ημ χ + συν χ=`0=, ου δεν ισχυει Δηλαδ η, δεν υαρχει γωνια φ ωστε τα ημφ και συνφ να μηδεν ιζουν ταυτοχρονα. Στο σχημα (σε μια εριοδο) βλεουμε οτι τα γραφ ηματα των f, g δεν τ ε- μνονται οτε ανω στον αξονα x'x Ετσι, η () δ ινει : εφχ = -`... και η () δινει: εφχ = `... Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 7

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΒΑΣΙΚΩΝ ΓΩΝΙΩΝ ΣΧΟΛΙΟ η αραανω τετραδες (μαυρα) αντιστοιχουν σε (ημ, συν, εφ, σφ) το "ΔΟ" σημαινει "δεν οριζεται" αν θεωρηθει δυσκολη η αομνημονευση των αραανω, ααραιτητο ειναι να γνωριζουμε τις τετραδες του ου τεταρτημοριου (και μετα την εομενη ενοτητα "αναγωγη στο ο τεταρτημοριο" μετατρεουμε...) Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 8

ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ Η γωνια ω ειναι οξεια τοξο: -ω ημ -ω = συνω συν -ω = ημω εφ -ω = σφω σφ -ω = εφω τοξο: +ω ημ +ω = συνω συν +ω =-ημω εφ +ω =-σφω σφ +ω =-εφω τοξο: -ω ημ(-ω)=ημω συν(-ω)=-συνω εφ(-ω)=-εφω σφ(-ω)=-σφω Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 9

τοξο: +ω ημ(+ω)=-ημω συν(+ω)=-συνω εφ(+ω)=εφω σφ(+ω)=σφω τοξο: 3 -ω 3 ημ -ω =-συνω 3 συν -ω =-ημω 3 εφ -ω = σφω 3 σφ -ω = εφω τοξο: 3 + ω 3 ημ +ω =-συνω 3 συν +ω = ημω 3 εφ +ω =-σφω 3 σφ +ω =-εφω Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 0

τοξο: -ω ημ(-ω)=-ημω συν(-ω)=συνω εφ(-ω)=-εφω σφ(-ω)=-σφω τοξο: -ω ημ(-ω)=-ημω συν(-ω)=συνω εφ(-ω)=-εφω σφ(-ω)=-σφω Μια... διαφορετικη αρουσιαση, ιο συγκεντρωτικη. Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08

Ο αραανω ινακας μορει να αντικατασταθει με τον αρακατω μνημονικο κανονα: Για γωνια 0<ω< Ο τριγωνομετρικος αριθμος γωνιας -ω, (+ω), (-ω), (+ω), (-ω) (ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ σε κλασμα το ) αραμενει ιδιος με γωνια ω (το ημ αραμενει ημ, το συν αραμενει συν, η εφ..., η σφ...) αιρνει το ροσημο (+) η (-) αν ειναι θετικος η αρνητικος αντιστοιχα στο τεταρτημοριο ου ανηκει η αρχικη γωνια του. α ρ α δ ε ι γ μ α ημ(-ω)=ημω (αραμενει ημ και "+" αφου ημ θετικος στο ΙΙ τεταρτημοριο) συν(+ω)=-συνω (αραμενει συν και " -" αφου συν αρνητικος στο ΙΙΙ τεταρτημοριο),, 3 -ω, 3 +ω (ΕΙΝΑΙ σε κλασμα το ) αλλαζει (το ημ γινεται συν, το συν γινεται ημ, η εφ γινεται σφ, η σφ γινεται εφ) με γωνια ω αιρνει το ροσημο (+) η ( -) αν ειναι θετικος η αρνητικος αντιστοιχα στο τεταρτημοριο ου ανηκ ει η αρχικη γωνια του. α ρ α δ ε ι γ μ α συν =-ημω (γινεται ημ και " -" αφου συν αρνητικος στο ΙΙ τεταρτημοριο) εφ 3 -ω =σφω (γινεται σφ και "+" αφου εφ θετ ικη στο ΙΙΙ τεταρτημοριο) ΣΧΟΛΙΟ Ισχυουν για κ : ημ(κ + α) = ημα συν(κ + α) = συνα εφ(κ + α) = εφα σφ(κ + α) = σφα Αν η γωνια δεν εχει μια α τις ιο ανω μορφες, την τροοοιουμε καταλληλα ωστε να αοκτησει μια α αυτες τις μορφες. Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08

ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ... ΧΩΡΙΣ ΛΟΓΙΑ Σ'ενα τριγωνο ΑΒΓ, η γωνια Α ειναι 3χ μοιρων, η γωνια Β ειναι χ βαθ - μων και η γωνια Γ ειναι ακτινιω ν. Να υολογισετε τις γω νιες του τριγωνου σε μοιρες. Εχουμε 80α μ= μ α β = = 80 00 80β 9β μ= μ= 00 0 Ετσι χ βαθμοι= 9χ 0 χ 300 ακτινια = Ομως μοιρες ~Β= 80 3 χ 300 5 9χ 0 μοιρες 3 5 μοιρες ~Γ= 3χ 9χ Α+Β+Γ=80 0 ~ 3χ 80... 40 5 0 Συνεως Α=3 40=0 0 Β= 9 40 0 =36 0 Γ= 3 40 5 =40 0 0 3χ 5 μοιρες Αν η ελαχιστη θετικη γωνια ΑΟΜ ροσανατολισμε νου κυκλου (οου Α αρχη των τοξων) ειναι ω=30 μοιρες, να βρεθει η γωνια ΑΟΜ ου εριεχεται μεταξυ 700 και 800 μοιρων. Αν θεωρησουμε φ τη ζητουμενη γωνια, τοτε εχουμε φ=κ+30 (ή φ=360κ+30), κ Συμφωνα με τα δοσμενα 700<φ<800~700<360κ+30<800~670<360κ<770~ 670 770 ή κ= 360 360 Για κ=: φ=360+30=390 αορριτεται (φ<700) Για κ=: φ=70+30=750 δεκτη (αφου 700<φ<800) Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 3

Το ρολοι δειχνει ακριβως (ωροδεικτης και λετοδεικτης συμι - τουν). Τι ωρα θα συμεσουν ξανα οι δεικτες για δευτερη φορα; Σε μια ωρα ο ωροδεικτης διανυει τοξο 6 ακτινια ο λετοδεικτης διανυει τοξο ακτινια Ετσι, αν μετα t ωρες θα συμεσουν οι δυο δεικτες, ισχυει κ t- t= κ t- t= κ t= κ t= 6 6 6, κ φυσικος Οι δυο δεικτες θα συμεσουν για δευτερη φορα αν κ=, δηλαδη μετα αο χρονο 4 t= ωρες Τοτε το ρολοι θα δειχνει και 0 λετα και 55 δευτερο λετα. Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 4

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ - ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤ Α ΕΥΡΕΣΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΓΝΩΣΤΟ ημχ ή συνχ) Βρισκουμε το συνx (ημx) α τη σχεση : ημ x + συν x = η. Μια α τις ιο ανω τιμες του συνx (ημ x) ειναι δεκτη, αναλογα με το ου οριζεται το x, δηλαδη ου ειναι θετικο η αρνητικο το συνx (ημ x) Βρισκουμε την εφx α τη σχεση :. Βρισκουμε την σφx α τη σχεση :. Ειναι 3 9 9 ημ x+συν x= - +συν x= +συν x= συν x= - 5 5 5 6 6 συν x= συνx=± 5 5 3 - ημx = = 5 3 εφx = συνx 4-5 4 3 < x < συνx < 0 4 συνx=- 5 4 σφx= = = εφx 3 3 4 Π α ρ α τ η ρ η σ η Τη σφx μορουμε να την υολογισουμε αντιστρεφοντας την εφx. Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 5

ΕΥΡΕΣΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΓΝΩΣΤΗ εφχ) Βρισκουμε την σφx α τη σχεση :. Βρισκουμε το συνx α τη σχεση : ) Μια α τις ιο ανω τιμες του συνx ειναι δεκτη, αναλογα με το ου οριζεται το x ( δηλαδη ου ειναι θετικο η αρνητικο το συνx ). Βρισκουμε τ ο ημx α τη σχεση : ημ x + συν x = η. Ειναι. 3 3 σφx= = =- = - 3 εφx 3 3-3 3 3 +εφ x 3 4 3 + + 4 4 + - 9 3 3 3 συν x= = = = = = συνx=± 3 συνx=± < x < συνx < 0 συνx=- 3 ημx 3 3 3 εφx= ημx= εφx συνx ημx=- - ημx= συνx 3 6 ημx= Ειναι 3 3 σφx= = =- = - 3 εφx 3 3-3 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 6

3 3 +εφ x 3 4 3 + + 4 4 + - 9 3 3 3 συν x= = = = = = συνx=± 3 συνx=± < x < συνx < 0 συνx=- 3 ημx 3 3 3 εφx= ημx= εφx συνx ημx=- - ημx= συνx 3 6 ημx= Ετσι 3 3 4-3 - + ημx- 3 συνx Α= = = = = εφx σφx 3 3 - (- 3) 3 3 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 7

ΕΥΡΕΣΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΓΝΩΣΤΗ σφχ) Βρισκουμε την εφx α τη σχε ση :. Βρισκουμε το συνx α τη σχεση : ) Μια α τις ιο ανω τιμες του συνx ειναι δεκτη, αναλογα με το ου οριζεται το x ( δηλαδη ου ειναι θετικο η αρνητικο το συνx ). Βρισκουμε τ ο ημx α τη σχεση : ημ x + συν x = η. Ειναι 5 5 5 εφx= = = = σφx 5 5 5 5 5 εφx= 0 < x < 4 συν x= = = = συνx=± συνx > 0 +εφ x 5 9 + 9 3 4 4 συνx= + 3 ημx 5 εφx= ημx= εφx συνx= συνx 3 5 ημx= 3 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 8

ΑΠΟΔΕΙΚΤΙΚΕΣ (ΩΣ ΠΡΟΣ ΜΙΑ ΓΩΝΙΑ) Ειτε ξεκινωντας α τη ρος αοδειξη ισοτητα και με ραξεις (χρησιμοοιωντας και ιδιοτητες των τριγωνομετρικων αριθμων), καταληγουμε σε αληθη ισοτητα. Ειτε ξεκινωντας α το ιο ' ολυλοκο μελος της ρος αοδειξη ισοτητας και με ραξεις (χρησιμοοιωντας και ιδιοτητες των τρι - γωνομετρικων αριθμων), καταληγουμε στο αλλο μελος. Να αοδειξετε οτι συνx συνx + = συνx + = - ημx + ημx συνx - ημx + ημx συνx ου ισχυει +ημx+-ημx συνx = (- ημx)(+ ημx) συνx συνx = - ημ x συνx συν x= -ημ x ημ x+συν x= Α λ λ ι ω ς συνx συνx + = συνx + -ημx +ημx -ημx +ημx +ημx+-ημx = συνx (-ημx)(+ημx) = συνx -ημ x = συνx = συνx x Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 9

ΑΠΟΔΕΙΚΤΙΚΕΣ (ΩΣ ΠΡΟΣ ΔΥΟ ΓΩΝΙΕΣ) Μετασχηματιζουμε τους τριγωνομετρικους αριθμους στο ''ολυλοκο μελος ου δεν αναφερονται στ ο αλλο μελος. Να αοδειξετε οτι εφα+σφβ = εφβ+σφα εφα+ εφβ εφα εφβ+ εφβ εφα εφβ+ εφβ+ εφα εφα εφα εφβ ΜΕΓΙΣΤΟ ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ Α τη σχεση -ºημαº η -ºσυναº με καταλληλες ραξεις κατασκευαζουμε τη αρασταση, της οοι ας το μεγιστο-ελαχιστο ζητουμε στο μεσαιο μελος. Ευκολα ρσδιοριζεται το μεγιστο η ελαχιστο. Ειναι + - ημα - ημα - + ημα + - Α 3 Αρα, Α =- και Α = 3 min max.(-) + 3 - συνα - συνα - - συνα 3-3- συνα 3 + 3-συνα 4 αντιστροφη 4 3- συνα Αρα, Β = και Β = min max 3- συνα 4 4 3- συνα Β Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 30

ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ (ΓΩΝΙΕΣ ΜΙΚΡΟΤΕΡΕΣ 360 0 ) Μετατρεουμε τη γωνια του τριγωνομετρικου αριθμου σε αθροισμα η διαφορα της μορφης : ±θ (360±θ), ±θ (80±θ), ±θ (90±θ), ±θ (70±θ) Μετασχηματιζουμε το δοσμενο τριγωνομετρικο αριθμο σε τριγω - νομετρικο αριθμο γωνιας θ, συμφωνα με τον ινακα στη θεωρια. Να αλοοιησετε την αρασταση Να υολογισετε το τριγωνομετρικο αριθμο συν35 0. Ειναι συν(70 0 +α)= ημα 0 (70 :"αλλαζει" και συν θετικο στο 4ο τεταρτημοριο) συν(80 0 +α)=- συνα 0 (80 : "δεν αλλαζει" και συν αρνητικο στο 3ο τετα ρτημοριο) ημ(360 0 -α)=- ημα 0 (360 : "δεν αλλαζει" και ημ αρνητικο στο 4ο τεταρτημοριο) ημ(90 0 +α)= συνα 0 (90 : "αλλαζει" και ημ θετικο στο ο τεταρτη μοριο) Ετσι 0 0 συν(70 + α) συν(80 + α) ημα (- συνα) = = = 0 0 ημ(360 - α) ημ(90 +α) - ημα συνα Ειναι συν35-0 0 0 0 =συν(90 + 45 )=- ημ45 = η 0 0 0 0 συν35 = συν(80-45 )=- συν45 = - Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 3

ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ (ΓΩΝΙΕΣ ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΕΣ 360 0 ) Μετατρεουμε τη γωνια του τριγωνομετρικου αριθμου σε αθροισμα η διαφορα της μορφης : κ ±θ (κ 360±θ), ± θ (λ 4 90±θ), οου θ<360 0. Διαγραφουμε τα : κ, κ 360,, λ 4 90 (εαναληψη του τριγωνομετρικου κυκλου). Λυνουμε οως στη ροηγουμενη εριτωση. Ειναι 0 0 συν(007+ 30 )= συν( 003 + + 30 ) εφ + = εφ 5 4 + + 4 4 0 0 0 ημ640 = ημ( 7 360 + 0 ) Ετσι 0 0 0 συν(007+ 30 )= συν( 003+ + 30 )= συν(+ 30 ) ΙΙΙ 0 = - συν30 =- συν < 0 3 εφ + = εφ 0+ + = εφ 5 4 + + = εφ + 4 4 4 4 ΙΙ = - σφ =- 4 εφ < 0 0 0 0 0 0 0 ημ640 = ημ( 7360 + 0 )= ημ0 = ημ(90 + 30 ) 3 ΙΙ 0 = συν30 = ημ > 0 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 3

ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ (ΜΟΡΦΗ ΣΕΙΡΑΣ) Μετασχηματιζουμε τη αρασταση σε αρασταση ζευγαριων τριγω - νομετρικων αριθμων ου οι γωνιες τους εχουν αθροισμα 90 0 η 80 0 η 360 0 Σε καθε ζευγαρι, αντικαθιστουμε την ι δ ι α γωνια σαν διαφορα της αλλης αο το 90 0 η 80 0 η 360 0 Χρησιμοοιουμε ιδιοτητες τριγωνομετρικων αριθμων και αοδει - κνυουμε. Α 0 0 0 = εφ εφ... εφ89 = 0 0 0 0 0 0 0 =(εφ εφ89 ) (εφ εφ88 )... (εφ44 εφ46 ) εφ45 = 44 ζευγη 0 0 0 0 0 0 =[εφ εφ(90 - )] [εφ εφ(90 - )]... 0 0 0 [εφ44 εφ(90-44 )] 44 οροι 0 εφ(90 - α) = σφα 0 εφ45 = εφασφα= 0 0 0 0 0 0 0 =(εφ σφ ) (εφ σφ )... (εφ44 σφ44 ) εφ45 = =... = 0 εφ45 = ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ (ΓΩΝΙΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ή ΓΝΩΣΤΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΓΩΝΙΩΝ) Στο γνωστο αθροισμα γωνιων, μεταφερουμε μια γωνια στο μελος με τον αριθμητικο ορο. Θεωρουμε τα δυο μελη της ισοτητας ου ροεκυψε, σαν δυο ισες γωνιες και αιρνουμε τους τριγωνομετρικους αριθμους τους, ανα - λογα με το ζητουμενο. Μετασχηματιζουμε την ισοτητα ου ροκυτει, συμφωνα με τα ροηγουμενα. Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 33

Ειναι Α Β Γ Α Γ Β Α+Γ Β Α+Β+Γ= + + = + = - ημ = ημ - ημ - α = συνα Α+Γ Β ημ = συν () Οοτε () ημ α + συν α = Β Α+Γ Β Β ημ +ημ =ημ +συν = ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗΣ ΑΝΙΣΟΤΙΚΗΣ ΣΧΕΣΗΣ Με μετασχηματισμους στη δοσμενη τριγων ομετρικη ανισοτητα καταληγουμε σε ροφανες. Ειναι ημα εφα> (- συνα) ημα ημα > - συνα συνα ημ α > -συνα 0 < α < συνα > 0 συνα ημ α> συνα- συν α - συν α> συνα- συν α +συν α-συνα> 0 (-συνα) > 0 ου αληθευει αφου συνα< (α 0). Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 34

ΓΙΑ ΠΡΟΠΟΝΗΣΗ 0. Να υολογισετε σε μοιρες, βαθμους και ακτινια, τη γωνια ου σχηματιζουν οι δεικτες ενος ρολογιου, οταν αυτο δειχνει δωδεκα και τε - ταρτο ακριβως. 0. Αν 5 7 Α= 3ημω+4συνω ημω- 4συνω να υολογιστει η τιμη της αραστασης: 03. Να βρεθει μια γωνια, αν ειναι γνωστο οτι η διαφορα των μετρων της σε μοιρες και βαθμους ειναι ιση με το μετρο της σε ακτινια διαιρεμενο με. 04. 3 3 Αν ημx=- και < x<, τοτε να υολογισετε τη τιμη της αρα- 5 ημx+συνx στασης: Α= εφx-σφx 05. Αν 3 συνx=- και <x<, τοτε να υολογ ισετε τους αλλους τριγω- 5 νομετρικους αριθμους. 06, 3 Αν σφx= 3 και <x<, τοτε να υολογ ισετε τη τιμη της αραστασης : x x x x 07. x- Αν x>, 0< α< και ημα=, τοτε να δειξετε οτι: x εφα= x- Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 35

08. Αν x, x ειναι ριζες της εξισωσης (-συνα)x -(-συν α)x-ημ α-συνα+= 0, α κ να δειξετε οτι: x + x +x x = 09. Aν ημx+3συνx= 3, τοτε να δειξετε οτι: (3ημx-συνx) = 0. Να δειξετε οτι για οοιαδηοτε γωνια α, ισχυει: -σφ α -= ημ α +σφ α. Να αοδειξετε οτι: 5 ημ50 + εφ συν330 6 5 3 σφ +ημ 4 6 0 0 =. 4x- Αν x>, 0< α< και συνα=, τοτε να δειξετε οτι: 4 4x σφα= 4x- 3x- 3x- Αν x>, 0< α<, 0< β<, ημα= και εφβ=, 3 3x τοτε να δειξετε οτι: α= β 3, Αν x, x ειναι ριζες της ε ξισωσης: (+ημα)x -(+ημ α)x+(-ημα)ημα= 0, με ημα - να δειξετε οτι: x + x +x x = Αν εφ x= +εφ y, τοτε να δειξετε οτι: συν y= συν x Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 36

4. Aν 3ημx+5συνx= 5, τοτε να δειξετε οτι: (3συνx-5ημx) = 9 Aν συνx-ημx= ημx, τοτε να δειξετε οτι: συνx+ημx= συνx 5. Να δειξετε οτι για οοιαδηοτε γωνια α, ισχυει: -εφ α = -ημ α +εφ α (+ημα+συνα) συν α (+εφ α)+ημ α (+σφ α)= ημ α - = συνα +συνα ημ α +σφα= +συνα = (+συνα)(+ημα) ημα 6. Να βρειτε τη μεγιστη και ελαχιστη τιμη των αραστασεων: Α= 3+συνα Β= Γ= 4+5συν α 7-3συνα 7. Να αοδειξετε οτι: 0 0 0 εφ εφ4... εφ88 = 0 0 4 εφ5 +συν690 εφ 6 0 0 = εφ405 + ημ570 Δινονται οι αραστασεις: ημ(- x) εφ(5+x) συν +x σφ(-x) Α= 5 5 συν(3-x) εφ +x ημ -x 3 ημ(-x) συν(+x) σφ -x Β= 5 3 συν +x συν +x ημ(+x) 3 Να αοδειξετε οτι Α= Β. Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 37

8. Να αοδειχτει οτι: 0 0 ημ(90 + ω)ημω+ συν(90 + ω)συνω= 0 0 0 σφ(90 + ω)εφω+ σφ(90 - ω)εφω= 0 0 0 0 συνω+ημ(70 +ω)-ημ(70 -ω)+συν(80 +ω)= 0 0 0 0 σφω+εφ(80 +ω)+εφ(90 +ω)+εφ(360 -ω)= 0 0 0 0 0 ημ50 συν40 - συν300 ημ0 = 0 0 0 σφ5 εφ35 -σφ3 0 0 5 εφ5 = 0 9. Να γράψετε σε αλούστερη μορφή τις αραστάσεις: εφ(+x) συν(-x) ημ(9+x) Α= 7 3 σφ x - συν(x - )συν - x 5 7 9 συν +α ημ +α συν -α Β= 5 7 εφ +α ημ -α εφ 3+α ημ(-x) εφ(5+ x) συν + x σφ(- χ) 5 5 συν(3-x) εφ +x ημ -x 3 ημ(- x) συν(+x) σφ - x 5 3 συν +x συν +x ημ +x 0. Να αοδειξετε οτι σε καθε τριγωνο ΑΒΓ ισχυει: ημa= ημ(b+γ) ημ A+συν (B+Γ)=. Να αοδειξετε οτι σε καθε κυρτο τετραλευρο ΑΒΓΔ ισχυει: A+Β Γ+Δ A+Γ Β+Δ A+Δ Β+Γ ημ = ημ εφ =- εφ συν =- συν Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 38

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x)=ρημ(ωχ)+μ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x)=ρ ημχ, ρ>0... οως η f(χ)=ημχ με Περιοδο : Τ= Ακροτατα η f αρουσιαζει μεγιστο στο ελαχιστο στο με τιμη ρ και 3 χ= με τιμη -ρ Συνολο τιμων f(α)=[-ρ,ρ] ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x)=ημ(ωχ), ω 0... οως η f(χ)=ημχ με Περιοδο : Τ= Ακροτατα ω η f αρουσιαζει μεγιστο στο χ= ω με τιμη και ελαχιστο στο 3 χ= ω με τιμη - Συνολο τιμων f(α)=[-,] ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x)=ημ(χ+α)... οως η f(χ)=ημχ με Περιοδο : Τ= Ακροτατα η f αρουσιαζει μεγιστο στο ελαχιστο στο με τιμη 3 χ= με τιμη - Συνολο τιμων f(α)=[-,] Μια μετατοιση του γραφηματος της f(χ)=ημχ κατα α, δεξια αν α<0 η αριστερα αν α>0 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 39

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x)=ημχ+μ... οως η f(χ)=ημχ με Περιοδο : Τ= Ακροτατα η f αρουσιαζει μεγιστο στο ελαχιστο στο με τιμη μ+ 3 χ= με τιμη μ- Συνολο τιμων f(α)=[μ-,μ+] Μια μετατοιση του γραφηματος της f(χ)=ημχ κατα μ, κατω αν μ<0 η ανω αν μ>0 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x)=ρ ημ(ωχ), ω 0... οως η f(χ)=ημχ με Περιοδο : Τ= Ακροτατα ω η f αρουσιαζει μεγιστο στο χ= ω με τιμη ρ και ελαχιστο στο 3 χ= ω με τιμη -ρ Συνολο τιμων f(α)=[-ρ,ρ] ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x)= ρ ημ(ωχ)+μ, ω 0... οως η f(χ)=ημχ με Περιοδο : Τ= Ακροτατα ω η f αρουσιαζει μεγιστο στο χ= ω με τιμη μ+ρ ελαχιστο στο 3 χ= ω με τιμη μ-ρ Συνολο τιμων f(α)=[μ-ρ,μ+ρ] Μια μετατοιση του γραφηματο ς της f(χ)=ρ ημ(ωχ) κατα μ, κατω αν μ<0 η ανω αν μ>0 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 40

... με αναλογο τροο και ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x)=ρσυν(ωχ)+μ, ω 0... οως η f(χ)=συνχ με Περιοδο : Τ= ω Ακροτατα η f αρουσιαζει ελαχιστο στο χ= με τιμη μ-ρ μεγιστο στα χ=0, 3 χ= ω με τιμη μ+ρ Συνολο τιμων f(α)=[μ-ρ,μ+ρ] Μια μετατοιση του γραφηματος της f(χ)=ρ συν(ωχ) κατα μ, κατω αν μ<0 η ανω αν μ>0 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x)=ρεφ(ωχ)+μ, ω 0... οως η f(χ)=εφχ με Περιοδο : Τ= Ακροτατα ω η f δεν αρουσιαζει ακροτατα Συνολο τιμων f(α)= Μια μετατοιση του γραφηματος της f(χ)=ρ συν(ωχ) κατα μ, κατω αν μ<0 η ανω αν μ>0 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x)=ρ ημ(ωχ+α), ω 0... γινεται f(x) α ω, ω 0 Μια μετατοιση του γραφηματος της α f(χ)=ρ ημ(ωχ) κατα, δεξια αν α<0 ω η αριστερα αν α>0... και αει... λεγοντας! Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 4

ΣΧΟΛΙΟ Στο τριγωνομετρικο κυκλο, θεωρουμε σημειο M(x,x ) τετοιο ωστε MOx Τοτε ( ) x x x ημχ+x συνχ=συναημχ+ ημασυνχ= ημ(χ+α) x x Δηλαδη, μορουμε να μελετησουμε τη συναρτηση f(x)=ημ(χ+α) αντι τ ης συνα ρτ ησης f(x) x ημχ+x συνχ με x,x 0 Το αραανω ισχυει για οοιοδηοτε Μ ου βρισκεται ανω στο φορεα της τελικης διανυσματικης ακτινας. Για το τυχαιο Μ(κ,λ) τοτε ρ=(ομ)= κ +λ,ημα=, συνα= και θα ισχυει κ ημχ+λ συνχ=ρ ημ(χ+α) Συνεως Αν κ,λ 0 και χ τοτε οου, και α με Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 4

ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ... Πεδιο ορισμου: Α= Η συναρτηση f γραφεται: f(x)= 3ημ x- 8 αρτηση g(χ)=3ημχ. ου ροκύτει α'τη συν - Το γραφημα της f ροκυτει αο μετατοιση του γραφηματος της g αν το τελευταιο μετατοιστει κατα Για τη g(χ)=3ημχ Συνολο τιμων: g(α)=(-ρ,ρ)=[-3,3] Περιοδος: Τ= = Ακροτατα: η g αρουσιαζει 8 μοναδες δεξια και μοναδα κατω. μεγιστο στη θεση με τιμη 3 και ελαχιστο στη θεση 3 χ= 4 με τιμη -3 4 Για τη f(x)= 3ημ x- 8 Συνολο τιμων: f(α)=(-ρ-,ρ-)=[-4,] Περιοδος: Τ= Ακροτατα: η f ειναι 3 μεγιστο στη θεση με τιμη και 4 8 8 3 7 ελαχιστο στη θεση χ= με τιμη -4. 4 8 8 Το ζητουμενο γ ραφημα φαινεται διλα Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 43

Να ροσδιοριστει ο τυος της συναρτησης ου το γραφημα της φαινεται στο διλανο σχημα αν ειναι της μορφης: f(x)=ρημ(ωχ+α)+μ Ειναι (-ρ+μ, ρ+μ)=(-3,3) ετσι f(x)=3ημ(ωχ+α) -ρ+μ 3(+) μ 0 μ 0 ρ+μ 3 ρ+μ 3 ρ 3 ομως f(x)=3ημ(ωχ+α)= 3ημ(ω(χ+ )) αρατηρουμε οτι το γραφημα της f ειναι μετατοισμενο κατα (α<0) ενω η εριοδος της f ειναι Τ= ετσι Τ Τελικα, 4 0 4 4 f(x)= 3ημ χ- 5 4-4 4 4 4 δεξια Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 44

0. Να βρεθει η εριοδος και τα ακροτατα των αρακατω συναρτησεων και να γινουν τα αντιστοιχα γραφηματα: f(x)= ημχ g(x)= συν3x h(x)= 3συν χ+ 4 χ h(x)= ημ - 4 0. Να ροσδιορισετε τους τυου των συναρτησεων ου τα γραφηματα τους φαινονται αρακ ατω 03. Να βρεθει η εριοδος, η μεγιστη και ελαχιστη τιμη των συναρτησεων: χ f(x)= 4ημ x g(x)= - 6 h(x)= ημ(- χ) φ(x)= 3ημ(4χ) Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 45

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚOI ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΓΩΝΙΩΝ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ -ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΓΩΝΙΩΝ Θεωρουμε τις γωνιες α και β ου οι τελικες τους λευρες τεμνουν τον τριγωνομετρικο κυκλο στα ση- μεια Μ, Μ Προφανως Μ ΟΜ αντιστοιχα (σχημα ) συνεταγμενες του Μ τετμημενη : συνα τεταγμενη : ημα συνεταγμενες του τετμημενη : συνβ τεταγμενη : ημβ Ετσι εχουμε: Μ (Μ Μ ) (ημα- ημβ) +(συνα- συνβ) ημ α+ ημ β- ημαημβ + συν α+ συν β- συνασυνβ - (ημαημβ +συνασυνβ) ( ) Θεωρουμε τη γωνια α-β ου η τελικη της λευρα τεμνει τον τριγωνομετρικο κυκλο στ ο σημειο Μ (σχημα ). Εχουμε εριστρεψει τους αξονες του σχηματος δε - ξιοστροφα, οοτε τ ο σημειο Μ συμιτ ει με την αρχη των τοξων (Α) ενω το Μ συμιτει με τ ο ση- μεια Μ και ροκυτει το σχημα. συνεταγμενες του Μ τετμημενη : συν(α-β) τεταγμενη : ημ(α-β) συνεταγμενες του Α τετμημενη : τεταγμενη : 0 Ετσι εχουμε: (ΑΜ) =(συν(α- β)- ) +(ημ(α- β)- 0) συν (α- β) +-συν(α-β)+ ημ (α-β) -συν(α-β) () Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 46

Ειναι Μ ΟΜ (Μ Μ ) (ΑΜ) Συνεως - (ημαημβ + συνασυνβ) - συν(α- β) συν(α-β)=ημαημβ+συνασυνβ Η αραανω ισοτητα ισχυει για οοιεσδηοτε γωνιες α και β (θετικες η αρνητικες με οοιοδηοτε μετρο), συνεως αν αντικαταστησουμε τη γωνια β με τη γωνια -β στη αραανω ισοτητα, ροκυτει συν(α-(-β))=συνασυν(-β)+ημαημ(-β) και αφου συν(-β)=συνβ, ημ(-β)=-ημβ ΗΜΙΤΟΝΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ -ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΓΩΝΙΩΝ Ειναι ημ(α+β) ημω=συν -ω = συν -(α+β) συν -α -β) = συν -α συνβ+ημ -α ημβ συν(α-β)=συνασυνβ+ημαημβ Συνεως ημω=συν -ω = ημασυνβ+συναημβ και αν θεσουμε οου β το -β ημ(α +(-β)) = ημασυν(-β) +συναημ(-β) ημ(α- β) = ημασυνβ +συνα(-ημβ) Συνεως ημ(-ω)=-ημω συν(-ω)=συνω Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 47

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ -ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΓΩΝΙΩΝ Με τη ρουοθεση συνα 0, συνβ 0, συν(α+β) 0 (για να οριζονται οι εφα, εφβ και εφ(α+β)) εχουμε εφ(α+β) ημω εφω= συνω ημ(α+β) = συν(α+β) ημασυνβ+συναημβ συνασυνβ- ημαημβ διαιρουμε με συνασυνβ 0 ημα συνβ συνα ημβ + συνα συνβ συνα συνβ συνα συνβ ημα ημβ - συνα συνβ συνα συνβ εφα+εφβ -εφαεφβ Συνεως και αν θεσουμε οου β το -β εφ(-ω)=-εφω εφα +εφ(-β) εφα- εφβ εφ(α+(-β))= εφ(α-β)= - εφαεφ(-β) - εφα(-εφβ) Συνεως ΣΥΝΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ -ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΓΩΝΙΩΝ Με τη ρουοθεση ημα 0, ημβ 0, ημ(α+β) 0 (για να οριζονται οι σφα, σφβ και σφ(α+β)) εχουμε σφ(α+β) -εφαεφβ = = εφ(α+β) εφα+εφβ εφωσφω= εφωσφω= - σφασφβ + σφα σφβ σφασφβσφασφβ σφβ+σφα σφασφβ σφασφβ- σφβ+σφα Συνεως Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 48

και αν θεσουμε οου β το -β σφασφ - -σφασφ σφ(α+(-β))= σφ(α-β)= σφα +σφ(-β) σφα- σφβ Συνεως σφ(-ω)=-σφω (-β) β- ΣΧΟΛΙΟ Με τους αραανω τυους αθροισματος διαφορας και αφου ειναι γνω - στοι οι τριγωνομετρικοι α ριθμοι των γωνιων 30 0, 45 0, 60 0, 90 0 μορουμε να υολογισουμε ευκολα τριγωνομετρικους αριθμους γωνιων ου ειναι αθροισμα ή διαφορα δυο γωνιων αο τις αραανω. Παραδειγμα, ευκολα υολογιζουμε τους τριγωνομετρικους αριθμους της γωνιας 75 0, αφου 75=45+30 κ αι... Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 49

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚOI ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΙΠΛΑΣΙΟΥ ΤΟΞΟΥ ΗΜΙΤΟΝΟ ΔΙΠΛΑΣΙΟΥ ΤΟΞΟΥ (ΓΩΝΙΑΣ α) Ισχυει ημ(α+β)=ημασυνβ+συναημβ και αν θεσουμε οου β το α ημ(α+α)=ημασυνα+συναημα ημα=ημασυνα Συνεως ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟ ΔΙΠΛΑΣΙΟΥ ΤΟΞΟΥ (ΓΩΝΙΑΣ α) Ισχυει συν(α+β)=συνασυνβ-ημαημβ και αν θεσουμε οου β το α συν(α+α)= συνασυνα-ημαημα συνα= συν α-ημ α ημ α=-συν α συνα = συν α-(- συν α) = συν α- + συν α= συν α- συνα = συν α-= (-ημ α)-= -ημ α-= - ημ α Συνεως συν α=-ημ α ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΔΙΠΛΑΣΙΟΥ ΤΟΞΟΥ (ΓΩΝΙΑΣ α) Ισχυει εφ(α+β)= εφα+εφβ - εφαεφβ και αν θεσουμε οου β το α εφ(α+α)= Συνεως εφα +εφα φα= εφα - εφαεφα - εφ α Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 50

ΣΥΝΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΔΙΠΛΑΣΙΟΥ ΤΟΞΟΥ (ΓΩΝΙΑΣ α) Ισχυει σφ(α+β)= σφασφβ- σφα+σφβ και αν θεσουμε οου β το α σφ(α+α)= Συνεως σφασφα- σφ α- σφα+σφα σφα= σφα ΣΧΟΛΙΟ Αν στους τυους του συνα θεσουμε οου α το ροκυτουν οι τυοι υοδιλασιασμου τοξου (γωνιας α α α συν = -ημ ημ συνεως ) α α α συν = συν συν συνεως α α α εφ και σφ α συνεως Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 5

Οι τριγωνομετρικοι αριθμοι του διλασιου τοξου α εκφραζονται σε συναρτηση με την εφα Πραγματι ημασυνα ημασυνα ημα= ημασυνα= = = συνεως εφα +εφ α ημ α+συν α συν α ημασυνα συν α ημ α συν α + συν α συν α συν α- ημ α συν α συνα= συν α- ημ α= = συνεως ημ α+συν α συν α συν α ημ α συν α + ημ α συν α συν α συν α -ε φα +ε φα ειναι εφα εφα= -εφ α συνεως Αν στους τυους του αθροισματος εχουμε για γωνιες τις α, α θα ροκυψουν οι τριγωνομετρικοι αριθμοι του τριλασιου τοξου Ετσι Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 5

ημ3α=ημ(α+α) = ημασυνα + συναημα = ημασυν α +(- ημ α)ημα = ημα(- ημ α) +(- ημ α)ημα 3 3 = ημα-ημ α+ημα-ημ α = 3ημα- 4ημ 3 α συν3α=συν(α+α) = συνασυνα- ημαημα =(συν α- )συνα- ημασυναημα =(συν α- )συνα- ημ ασυνα =(συν α-)συνα-(-συν α)συνα 3 3 = συν α-συνα-συνα+ συν α 3 = 4συν α- 3συνα Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 53

0. Να υολογιστουν οι αραστασεις: Α= συν75 +σφ05 0 0 Β= ημ συν +ημ συν 7 7 Γ= συν80 συν70 - ημ80 ημ70 0 0 0 0 0. Να αοδειξετε οτι: εφ 4α-εφ α =εφ5α εφ3α -εφ 4α εφ α εφ5α- εφ8α- εφ7α= εφ5α εφ8α εφ7α - = σφ4α εφ3α+εφα σφ3α+σφα συνα+ημα εφ( +α)= 4 συνα- ημα ημ α- ημ β εφ(α+β)= ημα συνα-ημβ συνβ 03. Να αλοοιηθουν οι αραστασεις: Α= συν5xσυν4x+ημ5xημ4x Β= ημxσυν -x +ημ -x συνx 4 4 Γ= συν -x +συν +x 3 3 04. Να δειξετε οτι: Αν συν(α-β)= ημα ημβ, τοτε: ημ (α+β)= συν α+συν β Αν ημα- ημβ= κ- λ και συνα+συνβ= κ+λ, τοτε: συν(α+β)= κ +λ - 05. Σε καθε τριγωνο ΑΒΓ να δειξετε οτι: ημα ημ(β-γ)+ημβ ημ(γ-α)+ημγ ημ(β-α)= 0 συνγ συν(α-β)-συνα συν(γ-β)= ημβ ημ(α-γ) Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 54

06. 0 Να δειξετε οτι το τριγωνο ΑΒΓ ειναι ορθογωνιο (Α= 90 ), αν: συνα+συν(β+γ)-συνβ συνγ +σφβ= 0 ημα+ημ(β-γ) 07. Να αοδειξετε οτι: Αν α+β+γ=, τοτε: σφα+σφβ+σφγ= σφα σφβ σφγ Αν α+β+γ=, τοτε: εφα εφβ+εφβ εφγ+εφγ εφα= Αν α+β=, τοτε: (+εφα) (+εφβ)= 4 Αν α-β=, τοτε: (σφα- 3) (σφβ+ 3)=- 4 6 Αν α+β+γ=, τοτε: σφα σφβ+σφβ σφγ+σφγ σφα= Αν α+β+γ=, τοτε: εφα+εφβ+εφγ= εφα εφβ εφγ 08. Να αοδειχτει οτι: -συνα+ημα =εφα +συνα+ημα +ημα + εφα = συνα - εφα +εφα εφα= συνα εφ -α = - ημα 4 + ημα +ημα σφ -α = 4 συνα 09. Να αοδειξετε οτι: σφα= σφ α- σφα εφα+σφα= ημα Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 55

0. Να αοδειξετε οτι: εφ = -ημα 4 +ημα +εφα+εφα= συνα. Αν γνωριζουμε οτι εφ 3, υολογισετε τους τριγωνομετρικους αριθμους ημα, συνα, εφα, σφα, υολογισετε τον τριγωνομετρικο αριθμο εφ. Να αοδειχτει οτι υαρχουν κ, λ τετοιοι ωστε να ισχυει: σφα+λσφα για καθε τιμη του του τοξου α. 3. α β γ Αν α+β+γ= και σφ, σφ, σφ ειναι διαδοχικοι οροι αριθμητικης α γ ροοδου, να αοδειξετε οτι: σφ σφ = 3 4. Να αοδειξετε οτι το τριγωνο ΑΒΓ ειναι ισοσκελες (ΑΒ= ΑΓ) αν για τις γωνιες Β και Γ ισχυει: Β 3 Γ Γ 3 Β ημ συν = ημ συν Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 56

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Στο διλανο σχημα βλεουμε τους τριγωνομετρικους αριθμους της γωνιας ω. Για το ημιτονο, αρατηρουμε οτι οι γωνιες ου δινουν το ημω ειναι οι κ+ω και (κ+) -ω, Ετσι εχουμε την ισοδυναμια ημx= ημθ x= κ+θ, κ x=(κ+ )- θ Για το συνημιτονο, αρατηρουμε οτι οι γωνιες ου δινουν το συνω ειναι οι κ+ω και κ -ω, Ετσι εχουμε την ισοδυναμια συνx= συνθ x= κ+θ, κ x= κ-θ Για την εφατομενη, αρατηρουμε οτι οι γωνιες ου δινουν την εφω ειναι οι κ+ω και (κ+)-ω, δηλαδη ειναι οι γωνιες κ+ω. Ετσι εχουμε την ισοδυναμια εφx= εφθ ΣΧΟΛΙΟ x=κ+θ, κ Προκειμενου να λυσουμε μια εξισωση της μορφης ημχ=α, συνχ=β, εφχ=γ και να χρησιμοοιησουμε τιας αραανω ισοδυναμιες,ας εχουμε υοψιν τα οι α, β, γ ειναι ημ, συν, εφ καοιας γνωστης γωνιας, αντιστοιχα. ρεει α [-,] και β [-,] γιατι σε διαφορετικη εριτωση η εξισω - ση ειναι αδυνατη. Γραφικα, για τη λυση των αραανω εξισωσεων, αναζητουμε τις τε - τμημενες των κοινων σημειων των ευθειων y=α, y=β, y=γ και των γραφηματων ημ. συν, εφ αντιστοιχα. Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 57

Προκειμενου να λυσουμε μια εξισωση της μορφης σφχ=δ, δ με την ισοδυναμη της εφx= δ 0, λυνου- Γνωστες ισοδυναμιες (σχημα) με κ κ 0 ή χ= κ (κ+) 0 ή χ= κ κ 0 ή χ= κ (κ+) κ+ κ κ 4 κ- χ=(κ+) κ 4 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 58

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ - ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤ Α ΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ: ΜΟΡΦΗ ημχ=α ή συνχ=β ή εφχ=γ Φερνουμε την εξισωση σε μορφη : ημx = α, συνx = β, εφx = γ. Μετασχηματιζουμε τα α, β, γ με -ºα,β,γº, σε ημιτονο, συνημιτονο, εφατομενη γνωστων γωνιων (θ) αντιστοιχα. Βρισκουμε το x α τις σχεσεις : Π α ρ α τ η ρ η σ η Αν η εξισωση ειναι δευτεροβαθμια ως ρος εναν α τους αραανω τριγωνομετρικους αριθμους, τοτε ειτε αραγοντοοιουμε το τριωνυμο και εχουμε ενα γινομενο βασικων τριγωνομετρικων εξισωσεων ισο με το μηδεν ειτε αντικαθιστουμε τον τριγωνομετρικο αριθμο με y, βρισκουμε τις ριζες της δευτεροβαθμιας και ροκυτουν δυο εξισω σεις της αραανω μορφης. Ειναι συν x+ = συν x+ = 4 4 συν x+ = συν 4 3 x+ = κ+ 4 3, κ x+ = κ- 4 3 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 59

x= κ+ - x= κ+ 3 4, κ, κ 7 x= κ- - x= κ- 3 4 3 ημ x- =- 3 ημ x- =- 4 4 4 ημ x- = ημ 4 3 4 x- = κ+ 4 3, κ 4 x- = κ+- 4 3 4 x= κ+ + 3 4, κ 4 x= κ+- + 3 4 9 x= κ+, κ x= κ- εφ x-(+ 3)εφx+ 3 = 0 εφ x- εφx- 3εφx+ 3 = 0 εφx(εφx- )- 3(εφx- )= 0 (εφx- )(εφx- 3)= 0 εφx-= 0 εφx- 3 = 0 εφx= εφx= 3 εφx= εφ 4 εφx= εφ 3 x=κ+ 4, κ x=κ+ 3 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 60

ΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ: ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Μετατρεουμε την εξισωση στον ιδιο τριγωνομετρικο αριθμο, με - τασχηματιζοντας τον αλλο συμφωνα με : Τους τυους συμληρωματικων γωνιων (χ ημ x = συν(90 0 -x)). Τις σχεσεις : εφx σφx = ημ x + συν x = Συνεχιζουμε οως στη ροηγουμενη εριτωση. Ειναι συν x+ = ημ συν x+ = συν - 4 3 4 3 συν x+ = συν 4 6 x+ = κ+ 4 6, κ x+ = κ- 4 6 x= κ+ - 6 4, κ x= κ- - 6 4 x=κ- 4 5 x=κ- 4 εφx εφx= εφx= εφx εφx= σφx εφx= εφ -x x= κ+ -x, κ Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 6

3x= κ+, κ κ x= +, κ 3 6 (ημx- συνx) = - ημ x ημ x- ημxσυνx+ συν x= - ημ x -ημxσυνx= -ημ x ημ x- ημxσυνx= 0 ημx(ημx- συνx)= 0 ημx= 0 ημx-συνx= 0 ημx= ημ0 συνx= ημx ημx= ημ0 συνx= συν -x x= κ η x= κ+, κ x= κ+ -x η x= κ- +x η η, κ x= κ x= κ+ x= κ+ 4 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 6

ΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ: ΣΥΓΚΕΚΡΙΜΕΝΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ ΓΩΝΙΩΝ Λυνουμε συμφωνα με τα ροηγουμενα Προσδιοριζουμε τον κ, α τη διλη ανισοτητα με ακρα μελη, τα ακρα του δοσμενου διαστηματος και μεσαιο μελος τη γενικη λυση της ε - ξισωσης (εριεχει τον κ). Ειναι. 3 3 3 3 3εφ 4x- =- 3 εφ 4x- =- εφ 4x- =- 3 3 3 3 ( 3) 3 3 εφ 4x- =- εφ 4x- =- 3 εφ 4x- = εφ 3 3 3 3 3 4x- = κ+,κ 4x= κ+ +, κ 4x= κ+, κ 3 3 3 3 κ x= +, κ 4 4 Ομως 3 κ 3 κ 3 x< + < - + - < - 4 4 4 4 4 4 4 κ κ 5 < κ< 5 κ< 5 κ=,,3,4 4 4 4 Για κ= x= + = 4 4 3 Για κ= x= + = 4 4 4 3 Για κ= 3 x= + = 4 4 το συνολο λυσεων ειναι: 3 5,,,. 4 4 4 5 Για κ= 4 x= + = 4 4 4 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 63

ΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ: ΜΟΡΦΗ κημχ+λσυνχ=μ, κ,λ,μ Αντικαθιστουμε τα ημχ, συνχ συμφωνα με τους τυους και και ροκυτει δευτεροβαθμια εξισωση ως ρος δηλαδη Ειναι (+ 3)ημχ+(- 3)συνχ= + 3 χ χ εφ - εφ (+ 3) +(- 3) = + 3 χ χ +εφ + εφ χ χ χ (+ 3)εφ +(- 3)(- εφ )=(+ 3) + εφ χ χ χ (+ 3)εφ + - 3-(- 3)εφ = + 3 +(+ 3)εφ χ εφ (+ 3)εφ + 3 0 χ Vieta εφ (+ 3)εφ + 3 0 χ χ χ χ εφ ή εφ 3 χ χ χ εφ εφ χ= κ+, κ 4 4 χ χ χ 3 εφ 3 εφ χ= κ+, κ 3 ΣΧΟΛΙΟ Η αραανω μεθοδος αντιμετωιζεται και με βοηθητικη γωνια. Διαιρουμε με κ, θετουμε εφθ= () και μετα αο ραξεις ροκυτει η εξισωση: ημ(χ+θ)= συν θ (υολογιζουμε ρωτα το θ αο ()) και... Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 64

ΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ: ΜΟΡΦΗ f(ημχ, ημχ,...συνχ, συνχ,...)=0 Αντικαθιστουμε τα ημχ,... συνχ,... συμφωνα με τους τ υους διλασιου, τριλασιου,... τοξου, και ροκυτει εξισωση ως ρος ημχ, συνχ. Στη συνεχεια λυνουμε κατα τα γνωστα Ειναι y = ημ χ 3 4 ημχ ημ3χ= ημχ (3ημχ-4ημ χ)= 8ημ χ-6ημ χ+= 0 36 3 4 0 8y 6y 0 y Για y= : ημ χ= ημχ=- ημχ= 6 3 3 8 6 8 3 8 4 5 χ= κ+ 5 4 ημχ= ημ 4 5 χ= κ+- 4 ημχ= ημ 4 χ= κ+ 4 χ= κ+- 4 χ= κ- 4 3 χ= κ+ 4 Για y= : 4 ημ χ= 4 χ= κ- 6 ημχ=- ημχ= ημ 6 χ= κ++ 6 χ= κ+ 6 ημχ= ημχ= ημ 6 χ= κ+- 6 7 χ= κ+ 6 5 χ= κ+ 6 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 65

ΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ: ΜΟΡΦΗ αημχ+βσυνχ=0 α,β 0 Ειναι ημχ 0 και συνχ 0 (δες σελ. 7) οοτε διαιρουμε την εξισω ση με συνχ, και ροκυτει η εξισωση Στη συνεχεια λυνουμε κατα τα γνωστα Ειναι συνχ 0 ημχ συνχ 3ημχ- 3 συνχ= 0 3-3 = 0 συνχ συνχ 3εφχ- 3 = 0 εφχ= 3 3 εφχ = εφ 6 χ = κ+, κ 6 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 66

0. Να λυθουν οι εξισωσεις: 4x- 3 0 3 x 3 0 (3 x 3)( x 3)( x ) 0 ( x )( x ) 0 ημ x- 3ημx=- ημx = εφx+εφ +x =- 4 εφ x+ = εφ x- 3 4 0. Να λυθουν οι εξισωσεις: x 3 x 3x x 0 x x 4 x x 3 x 3 3ημx= συν x- 3 03. Να λυθουν οι εξισωσεις στα αντιστοιχα διαστηματα : ημ x- =- στο (0,) 3 x+ στο, 6 εφ x- =εφ x+ στο (0,) 3 6 ημ = στο (0, 4 ) 4 3 στο 0, 3 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 67

04. Να λυθουν οι εξισωσεις: ημx 3 x x 3 x ημx x x x 05. Να λυθουν οι εξισωσεις: χ συνx= ημ συνx= 3 ημ3χ=8ημ χ εφ3χ=ημ6χ ημ3χ=3συνχ+ συν3χ 06. Να λυθουν οι εξισωσεις: ημx+ συνx= συνχ- 3 ημχ= 0 ημx+ συνx=0 ημx+ συνx=0 ημ x- = 3συν x- 3 3 ημx+ συνx=0 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 68

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 08 69

τακης τσακαλακος 08