2. STATICA FLUIDELOR 2.A. Presa hidraulică. Legea lui Arhimede Aplicația 2.1 Să se determine ce masă M poate fi ridicată cu o presă hidraulică având raportul razelor pistoanelor r 1 /r 2 = 1/20, ştiind că forța F aplicată pistonului mic este de 300 N. Cunoscând că asupra pistonului mic se efectuează n =100 apăsări a 20 cm (d 1 ), să se determine înălțimea maximă (H) de ridicare a masei M. F M H M n d 1 r 1 r 2 Figura 2.1 Funcționarea presei hidraulice Aplicând principiul lui Pascal, variația presiunii exercitată pe pistonul mic se transmite la pistonul mare, cu ajutorul căruia este ridicată masa M: (2.1.1) Volumul de fluid care coboară în brațul 1 al presei hidraulice este acelaşi cu volumul fluidului care urcă în brațul 2: (2.1.2) Înălțimea la care este ridicată masa M în brațul de rază r 2 al presei se calculează pe baza relației (2.1.2) exprimând secțiunile celor două brațe ale presei hidraulice în funcție de raze: Page 11
(2.1.3) Aplicația 2.2 Pentru a ridica un corp cu masa de 450 kg se foloseşte o presă hidraulică, având diametrele pistoanelor d 1 = 5 cm şi d 2 = 100 cm. Să se determine forța F aplicată pe pistonul mic al presei hidraulice. F M d 1 d 2 Figura 2.2 Funcționarea presei hidraulice Aplicând principiul lui Pascal, variația presiunii exercitată de forța F pe pistonul mic se transmite la pistonul mare, cu ajutorul căruia este ridicată masa M: (2.2.1) Aplicația 2.3 O presă hidraulică, având diametrele pistoanelor d 1 /d 2 = 1/25, trebuie să ridice o greutate de 5 10 5 N. tiind că se realizează 100 de apăsări şi la fiecare apăsare pistonul coboară cu h 1 = 10 cm. Să se determine: a) forța care acționează asupra pistonului mic; b) distanța maximă pe care se deplasează pistonul mare. Page 12
F M H M n h 1 d 1 d 2 Figura 2.3 Funcționarea presei hidraulice a) Aplicând principiul lui Pascal, variația presiunii exercitată de forța F pe pistonul mic se transmite la pistonul mare, cu ajutorul căruia este ridicată masa M: (2.3.1) b) Volumul de fluid care coboară în brațul 1 al presei hidraulice este acelaşi cu volumul fluidului care urcă în brațul 2: (2.3.2) Exprimând în relația (2.3.2) secțiunile celor două brațe ale presei hidraulice în funcție de diametre d 1, respectiv d 2 se obține distanța maximă H oe care se deplasează pistonul mare: (2.3.3) Page 13
Aplicația 2.4 Să se determine raportul dintre volumul vizibil (V V ) şi volumul scufundat (V S ) al unui iceberg, ştiind că ρ gheata = 0,985 10 3 kg/m 3 şi pentru apa oceanică ρ a = 1,08 10 3 kg/m 3. F A V v ρ a ρ gh G V s Figura 2.4 Plutirea corpurilor Din condiția de plutire a corpurilor aflate în fluide (legea lui Arhimede) se obține: (2.4.1) În relația (2.4.2) se exprimă raportul dintre volumul vizibil (V V ) şi volumul scufundat (V S ), obținându-se: (2.4.2) Page 14
2.B. Diagrame de presiuni. Forțe hidrostatice pe suprafețe plane Aplicația 2.5 Ambele fețe ale suprafeței de lungime L = 100 m sunt supuse solicitării a două lichide cu greutățile volumice = 9800 N/m 3 şi = 10780 N/m 3. Înălțimea coloanelor de lichid este acceaşi H = 30 m. Să se calculeze forța hidrostatică totale exercitată pe suprafața plană (intensitatea forței şi poziția punctului de aplicare). L F 1 H H/3 γ 1 γ 2 F F 2 Figura 2.5 Diagrame de presiune. Forța hidrostatică exercitată pe o suprafață plană de două coloane de lichide având aceeaşi înălțime Forțele hidrostatice F 1 şi F 2 exercitate pe suprafața peretelui de lungime L, de cele două coloane de fluid de înălțime H, având greutățile volumice γ 1, γ 2 sunt: (2.5.1) (2.5.2) Page 15
Forța hidrostatică totală exercitată de cele două fluide pe suprafața peretelui de lungime L este diferența modulelor forțelor hidrostatice exercitate de fiecare fluid (forțele hidrostatice F 1 şi F 2 au aceeaşi direcție dar sensuri opuse): (2.5.3) Față de planul de referință situat în baza coloanei de apă, poziția punctului de aplicație al celor două forțe de presiune F 1, respectiv F 2 este situat la distanțe egale (înălțimea coloanei celor două fluide fiind aceeaşi H): Atunci punctul de aplicație al forței hidrostatice totală este situat la distanța: (2.5.4) (2.5.5) Aplicația 2.6 Ambele fețe ale suprafeței de lungime L = 200 m sunt supuse solicitării a două lichide cu greutățile volumice = 1,6 tf/m 3 şi = 1 tf/m 3. Înălțimile coloanelor de apă sunt H 1 = 20 m şi H 2 = 15 m. Să se calculeze intensitatea forței hidrostatice totale exercitată pe suprafața plană şi poziția punctului de aplicare al acesteia. Forța hidrostatică exercitată de fluidul de greutate volumică γ 1 pe suprafața plană de lungime L este: (2.6.1) Forța hidrostatică exercitată de fluidul de greutate volumică γ 2 pe suprafața plană de lungime L este: (2.6.2) Page 16
L H 1 F F 1 γ 1 γ 2 F 2 H 2 γ 2 H 2 γ 2 H 2 γ 1 H 1 Figura 2.6 Diagrame de presiune. Forța hidrostatică exercitată pe o suprafață plană de două coloane de lichide având înălțimi diferite Forța hidrostatică totală exercitată de ambele fluide asupra suprafeței plane de lungime L este: (2.6.3). Poziția punctului de aplicație al forței de presiune F 1 față de planul de referință situat în baza coloanei de apă este: (2.6.4) Poziția punctului de aplicație al forței de presiune F 2 față de planul de referință situat în baza coloanei de apă este: (2.6.5) Poziția punctului de aplicație al forței de presiune total F față de planul de referință situat în baza coloanei de apă se obține din condiția de echilibru a momentelor forțelor de presiune: Page 17
(2.6.6) (2.6.7) Probleme propuse Statica fluidelor Problema 2.7 Să se determine presiunea la suprafața apei din rezervorul din figură ştiind că în tubul vertical apa se ridică până la nivelul h = 2,5 m, față de suprafața liberă din rezervor. Se dă densitatea apei la temperatura de 10 C ρ = 999,73 kg/m 3. h Figura 2.7 Presiunea hidrostatică a apei în rezervor Presiunea apei pe suprafața de separare apă/aer este: (2.7.1) Problema 2.8 Să se găsească diferența de presiune între punctele A şi B (din Figura 2.8.), care sunt situate la acelaşi nivel în doi cilindri plini cu apă, dacă diferența de nivel a mercurului Page 18
în manometrul diferențial este h = 15 cm. Se dau: greutatea specifică a mercurului este γ Hg = 133280 N/m 3, greutatea specifică a apei γ apa = 9800 N/m 3. SR p 1 p 2 h H A B Figura 2.8 Manometru diferențial Presiunea hidrostatică în ramura stângă a manometrului diferențial p 1 este: Presiunea hidrostatică în ramura dreaptă a manometrului diferențial p 2 este: Pe suprafața de referință (linia AB) se egalizează presiunile p 1 şi p 2 : Diferența de presiune între A şi B este: (2.8.1) (2.8.2) (2.8.3) (2.8.4) Problema 2.9 Să se determine înălțimea h până la care se ridică mercurul în tubul de sticlă din Figura 2.9, dacă presiunea absolută a aerului în rezervorul cu apă este p 1 = 0,15 atm, iar presiunea aerului din vasul care conține mercur este 775 mm col Hg. Se cunosc H = 1 m, ρ H2O = 1000 kg/m 3, ρ Hg = 13600 kg/m 3, g = 9,8 N/kg. Considerând suprafața de separare apă - mercur din tub ca suprafață de referință, egalitatea presiunilor conduce la: (2.9.1) Înălțimea h până la care se ridică mercurul în tubul de sticlă devine: Page 19
(2.9.2) aer H p 1 H 2 O aer Hg h Figura 2.9 Rezervor tub de sticlă Page 20