Analiza I. (študijsko gradivo) Matija Cencelj

Analiza I (študijsko gradivo) Matija Cencelj 2. maj 2007

2

Kazalo 1 Uvod 5 1.1 Izjave............................... 5 1.2 Množice.............................. 7 1.3 Relacije.............................. 10 1.4 Funkcije.............................. 11 2 Števila 15 2.1 Polje realnih števil........................ 15 2.2 Urejenost............................. 17 2.3 Supremum............................. 19 2.4 Naravna števila.......................... 21 2.5 Številska premica, intervali, okolice............... 26 2.6 Gostost Q v R........................... 30 2.7 Decimalni zapis.......................... 31 2.8 Kompleksna števila........................ 32 3 Številska zaporedja in vrste 41 3.1 Zaporedja............................. 41 3.2 Podzaporedje........................... 43 3.3 Stekališče............................. 44 3.4 Limita............................... 45 3.5 Računske lastnosti limite..................... 51 3.6 Potence in koreni......................... 53 3.7 Število e.............................. 60 3.8 Logaritmi............................. 62 3.9 Vrste................................ 63 3.10 Računanje z vrstami....................... 73 4 Topologija R 75 4.1 Odprte in zaprte množice..................... 75 4.2 Cantorjeva množica........................ 81 4.3 Kompaktne množice....................... 83 4.4 Povezane množice......................... 87 5 Limita funkcije in zveznost 89 5.1 Realne funkcije ene realne spremenljivke............ 89 5.2 Limita funkcije.......................... 91 5.3 Zveznost.............................. 98 5.4 Lastnosti zveznih funkcij..................... 100 3

4 KAZALO 5.5 Zvezne funkcije na kompaktnih množicah............ 102 5.6 Enakomerna zveznost....................... 103 5.7 Izrek o vmesni vrednosti..................... 104 5.8 Primeri zveznih funkcij...................... 106 6 Diferencialni račun 111 6.1 Odvod............................... 111 6.2 Pravila za odvajanje....................... 115 6.3 Odvod inverzne funkcije..................... 118 6.4 Diferencial............................. 120 6.5 Višji odvodi in diferenciali.................... 121 6.6 Lastnosti odvedljivih funkcij................... 121 6.7 Izrek o povprečni vrednosti.................... 123 6.8 Ekstremi funkcij.......................... 126 6.9 L Hospitalovi pravili....................... 131 7 Funkcijske vrste 135 7.1 Metrični prostori......................... 136 7.2 Enakomerna konvergenca..................... 139 7.3 Enakomerna konvergenca in odvod............... 142 7.4 Funkcijske vrste.......................... 144 7.5 Potenčne vrste.......................... 147 7.6 Taylorjeva vrsta.......................... 152 8 Nedoločeni integral 161 8.1 Definicija............................. 161 8.2 Uvedba nove spremenljivke.................... 164 8.3 Integracija po delih........................ 167 8.4 Integracija racionalnih funkcij.................. 171 8.4.1 Integracija osnovnih tipov................ 172 8.4.2 Delni ulomki....................... 173 8.4.3 Primeri.......................... 173 8.5 Integrali nekaterih iracionalnih funkcij............. 175 8.6 Integrali nekaterih kotnih funkcij................ 178 9 Riemannov integral 181 9.1 Definicija Riemannovega integrala................ 181 9.2 Integrabilnost........................... 183 9.3 Lastnosti določenega integrala.................. 188 9.4 Osnovni izrek diferencialnega in integralskega računa..... 192 9.5 Izrek o povprečni vrednosti.................... 194 9.6 Računanje določenega integrala................. 194 9.7 Numerična integracija...................... 196 9.8 Posplošeni integrali........................ 198

Poglavje 1 Uvod 1.1 Izjave Matematika dokazuje svoje trditve po zakonih logike. Tu ne moremo kaj dosti reči o logiki, omenimo le osnovne operacije med izjavami. Izjava nam tu pomeni kakršnokoli trditev, za katero velja natanko ena od možnosti: da je pravilna, ali, da je nepravilna. Za vsak slučaj povejmo, da je zelo veliko stavkov iz vsakdanjega življenja preveč dvoumnih, da bi jih lahko imeli za izjave v našem smislu. Za primer si oglejmo naslednji stavek. Modrost in vzgojo zaničuje bedak. Tu imamo gotovo tri različne možnosti. 1. Stavek se nanaša na nekega konkretnega bedaka (kar pa bi bilo jasno šele iz morebitnega konteksta). 2. Sporočilo tega stavka je: "Kdor zaničuje modrost in vzgojo, je bedak." 3. Sporočilo tega stavka je: "Kdor je bedak, zaničuje modrost in vzgojo." Druga in tretja možnost sta vsekakor po pomenu precej različni. Recimo, da poznamo Janeza, ki zaničuje tako modrost, kot tudi vzgojo, Jožeta, ki zaničuje modrost, ne pa vzgoje, Petra, ki zaničuje vzgojo, ne pa modrosti in Pavla, ki ne zaničuje niti modrosti niti vzgoje. Druga možnost (ki je nedvoumna izjava) pove, da je Janez bedak, o ostalih pa ne reče nič, tretja možnost (ki je tudi nedvoumna izjava) pa pove, da Jože, Peter in Pavel gotovo niso bedaki, o Janezu pa ne pove nič. Izjave lahko zanikamo ali sestavljamo, osnovni načini takih dejavnosti (ki jim rečemo tudi operacije z izjavami) so: 1. Negacija. Če je P neka izjava, je negacija te izjave, "ne P ", izjava P, ki je pravilna natanko tedaj, ko izjave P ni pravilna. Če povemo to bolj na široko: če je P pravilna, je P nepravilna, če pa je P nepravilna, je izjava P pravilna. 5

6 POGLAVJE 1. UVOD 2. Konjunkcija. Naj bosta P in Q izjavi. Konjunkcija izjav P in Q je izjava P Q (rečemo "P in Q"), ki je pravilna natanko tedaj, ko sta pravilni obe izjavi P in Q. 3. Disjunkcija. Naj bosta P in Q izjavi. Disjunkcija izjav P in Q je izjava P Q (rečemo "P ali Q"), ki je pravilna natanko tedaj, ko je pravilna vsaj ena od izjav P, Q. Tu opozorimo na to, da v običajnem jeziku včasih uporabimo besedo "ali"izključevalno, to je eno ali drugo, ne pa oboje. V logiki in matematiki razumemo "ali"bolj široko: eno ali drugo ali oboje. 4. Implikacija. Naj bosta P in Q izjavi. Implikacija P Q (rečemo "iz P sledi Q") je izjava, ki je nepravilna le v primeru, da je P pravilna, izjava Q pa nepravilna. Tudi tu opozorimo na eventualen dvom, kaj reči o pravilnosti implikacije P Q v primeru, ko P ni pravilna. Če želimo implikacijo razumeti kako drugače, se da o tem gotovo veliko govoriti, v izjavnem računu pa o tem ne more biti nobenega dvoma: implikacijo kot operacijo med izjavami definiramo tako, da je tudi v omenjenem primeru pravilna. 5. Ekvivalenca. Naj bosta P in Q izjavi. Ekvivalenca P Q (rečemo "P velja natanko tedaj, ko Q") je izjava, ki je pravilna natanko tedaj, ko sta obe izjavi P in Q hkrati pravilni ali pa obe hkrati nepravilni. Za vajo dokažimo naslednjo trditev, ki jo bomo marsikdaj uporabili pri dokazovanju. Trditev 1.1.1 Za poljubni izjavi P in Q velja (P Q) ( Q P ). Dokaz: Pravilnost zgornje ekvivalence bomo dokazali tako, da bomo pokazali ujemanje pravilnosti izjav na levi oziroma desni strani ekvivalence pri vseh možnih (ne-)pravilnostih osnovnih izjav P in Q. Pravilnost izjave bomo označili z 1, nepravilnost pa z 0. P Q P Q Q P 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 Res se pravilnost omenjenih izjav ujema, trditev je dokazana. Vaja: Preverite, da so za poljubne izjave P, Q in R naslednje ekvivalence pravilne.

1.2. MNOŽICE 7 P Q P Q (1.1) P Q P Q (1.2) P (Q R) (P Q) (P R) (1.3) P (Q R) (P Q) (P R) (1.4) Te ekvivalence bomo v nadaljevanju večkrat uporabili v dokazih. (Tako kot v šoli pri računanju tudi tu uporabimo oklepaje za oznako vrstnega reda operacij, pri tem pa je dogovorjena taka prioriteta: kjer ni oklepajev, so najprej opravljene konjunkcije, nato disjunkcije, nato implikacije in nazadnje ekvivalence.) Vaje: 1. Kaj so negacije naslednjih izjav? (a) Moja usta govore resnico. (b) Janez zaničuje modrost in vzgojo. (c) Nič ni novega pod soncem. (d) Kdor koplje jamo, pade vanjo. 2. Kaj, če sploh kaj, pove izjava: "Kdor koplje jamo, pade vanjo."o: (a) ljudjeh, ki padejo v jamo, (b) ljudeh, ki ne padejo v jamo, (c) ljudeh, ki kopljejo jamo, (d) ljudeh, ki ne kopljejo jame? Tu opozorimo na negacije, ki jih v slovenskem jeziku pogosto naredimo formalno dvakrat. Če na vprašanje: "Govorite kašen tuj jezik?"dobimo odgovor, "Ne govorim nobenega tujega jezika.", vemo, da to pomeni, da vprašani govori kvečjemu svoj materni jezik, čeprav sta v stavku formalno dve negaciji. Tu gre za dve slovnični negaciji, ki pa tvorita le eno logično negacijo. 1.2 Množice Recimo, da pojem množice dobro obvladamo. Ponovimo le nekatere stvari, na katere se bomo še sklicevali in se domenimo za simbole.

8 POGLAVJE 1. UVOD Množica je določena s svojimi elementi (člani). To pomeni, da je množica A dobro definirana, če za vsako reč x velja natanko ena od naslednjih dveh možnosti x je element množice A, kar zapišemo s simboli takole x A, x ni element množice A, kar zapišemo tako x A, in dve množici sta enaki, če vsebujeta iste elemente. Definicija 1.2.1 Naj bosta A in B dani množici. Če za vsak x A velja x B, rečemo, da je množica A podmnožica množice B, kar zapišemo (ali včasih B A oz. B A). A B ali A B Simbol je popolnoma nedvoumen, simbol pa nekateri matematiki uporabljajo le za prave podmnožice (za njih je torej A A napačna trditev). Za nas bosta oba simbola imela enak pomen. Največkrat bomo množice definirali kot podmnožice tistih elementov x že znanih množic, ki imajo neko lastnost L(x). Kot primer zapišimo množico pozitivnih realnih števil takole: R + = {x R; x > 0}. Prazna množica, to je množica brez elementov, je podmnožica vsake množice. Vsaka množica A je tudi sama svoja podmnožica (A A). Množici in A sta nepravi podmnožici množice A, vse druge njene podmnožice pa imenujemo prave. Če je A B in B A, potem sta ti dve množici enaki, A = B. Enakost dveh množic A in B zato lahko pokažemo tako, da pokažemo A B in B A. Definicija 1.2.2 Naj bosta A in B dani množici. Množica, katere elementi so natanko vsi elementi množice A in vsi elementi množice B, se imenuje unija množic A in B in jo označimo z A B. S simboli to lahko zapišemo takole: x A B (x A) (x B). Množica, katere elementi so vsi elementi, ki so skupni množicama A in B, se imenuje presek množic A in B in se označi z A B. S simboli to lahko zapišemo takole: x A B (x A) (x B).

1.2. MNOŽICE 9 Množica, katere elementi so vsi tisti elementi množice A, ki niso elementi množice B, se imenuje razlika množic A in B in jo označimo z A B ali A \ B. A \ B = {x A; x B} Za vajo dokažimo trditev. Trditev 1.2.1 Naj bodo A, B in C poljubne množice. Tedaj velja enakost množic A (B C) = (A B) (A C). Dokaz: Naj bo torej x A (B C). Po definicijah preseka in unije to pomeni (x A) (x B C) (x A) (x B x C). Po logični ekvivalenci (1.3) iz razdelka o izjavah pa velja (x A) (x B x C) (x A x B) (x A x C). Po definicijah preseka in unije pa je zadnja trditev ekvivalentna trditvi Pokazali smo torej x (A B) (A C). x A (B C) x (A B) (A C), kar pa pomeni, da sta ti množici res enaki. Vaja: Dokažite še naslednjo enakost množic A (B C) = (A B) (A C). Če množici nimata skupnih elementov, t. j. njun presek je prazen, rečemo, da sta si tuji ali disjunktni. Za več množic rečemo, da so si paroma tuje, če je presek poljubnih dveh izmed njih prazen. Včasih bomo izbrali kakšno množico U (za univerzum) in obravnavali njene podmnožice. Če je A neka podmnožica množice U, imenujemo razliko množic U \ A tudi komplement množice A (v U), ki ga označimo s CA ali A C. Definicija 1.2.3 Naj bosta A in B dani množici. Množici vseh urejenih parov (x, y), kjer je x A in y B, rečemo kartezijski produkt množic A in B in jo zaznamujemo s simbolom A B. Pozor: če je A B, je A B B A. Množica ima lahko končno ali neskončno mnogo elementov. V prvem primeru rečemo, da je množica končna, v drugem pa, da je neskončna.

10 POGLAVJE 1. UVOD 1.3 Relacije Navedimo še definicijo relacije. To nam sicer ni tuj pojem, že v osnovni šoli smo spoznali nekatere matematične relacije, npr. "večji ali enak", "deljiv z", "vzporeden", in podobno. Formalno pa relacijo lahko definiramo takole. Definicija 1.3.1 Poljubni podmnožici R v A A rečemo tudi relacija v množici A. Če je (x, y) R, rečemo, da je element x v relaciji z elementom y, kar včasih označimo tudi z xry. Definicija 1.3.2 Relacija R v množici A je refleksivna, če velja xrx za vsak x A; simetrična, če velja xry yrx; tranzitivna, če velja xry yrz xrz; ekvivalenčna, če je refleksivna, simetrična in tranzitivna. Primeri: 1. V množici premic v ravnini naj bo relacija R vzporednost, tj. za premici p in q naj velja prq natanko tedaj, ko sta p in q vzporedni premici. Očitno je R refleksivna, simetrična in tranzitivna, torej tudi ekvivalenčna relacija. 2. Naj bo v množici premic v ravnini relacija P pravokotnost, tj. za premici p in q naj velja xp y natanko tedaj, ko sta p in q pravokotni premici. Relacija P ni refleksivna, je simetrična in ni tranzitivna. 3. Naj bo n neko naravno število. V množici Z celih števil naj bo relacija n dana tako: a n b a b = kn, kjer je tudi k celo število. Očitno je tudi n ekvivalenčna relacija. Ekvivalenčna relacija nam razdeli množico na paroma tuje podmnožice, ki jim rečemo ekvivalenčni razredi. Ekvivalenčni razred elementa x v množici A glede na ekvivalenčno relacijo je [x] = [x] = {y A; x y}. Očitno je res vsak element x v nekem ekvivalenčnem razredu, hitro tudi vidimo, da so si različni ekvivalenčni razredi res paroma tuji: z [x] [y] x z z y x y [x] = [y]. Množico ekvivalenčnih razredov v množici A glede na ekvivalenčno relacijo označimo z A/.

1.4. FUNKCIJE 11 1.4 Funkcije Definicije 1.4.1 Preslikava (ali funkcija, ali transformacija) f iz množice A v množico B je predpis, ki vsakemu elementu x A priredi natanko en element množice y = f(x) B. Preslikave bomo pogosto pisali takole: f : A B ali A f B, njihove učinke na elementih pa takole: x y. Množici A rečemo domena ali definicijsko območje funkcije f, množici B pa rečemo kodomena funkcije f. Elementom x A bomo rekli originali (za preslikavo f), elementom f(x) B pa njihove slike pri preslikavi f. Tisti podmnožici množice B, ki vsebuje ravno vse slike elementov iz A, rečemo zaloga vrednosti preslikave f. Če je C A, rečemo množici f(c) = {b B; c C : b = f(c)} slika (ali f-slika) množice C. Če je D B, rečemo množici f 1 (D) = {a A; f(a) D} rečemo praslika (ali f-praslika) množice D. Preslikavi, ki preslika poljubna dva različna elementa v različna elementa, rečemo injektivna preslikava ali injekcija. Preslikavi f : A B, za katero je zaloga vrednosti kar cela množica B, rečemo surjektivna preslikava ali surjekcija. Preslikavi, ki je injektivna in surjektivna, rečemo bijektivna preslikava ali bijekcija. Primeri: Najpreprostejša preslikava A A je gotovo identiteta id A = 1 A, ki slika takole: x x za vsak x A. Naj bo A B. Tedaj obstaja preslikava A B, a a, ki ji rečemo inkluzija. Naj bo f : A B neka funkcija in C A. Tedaj rečemo preslikavi g : C B, g(x) = f(x) za vsak x C, restrikcija ali zožitev preslikave f na C in označimo z f C. Naj bo v množici A dana ekvivalenčna relacija. Tedaj obstaja surjektivna preslikava A A/, x [x].

12 POGLAVJE 1. UVOD Naj bo A množica vseh ljudi. Tedaj obstaja funkcija A A, ki vsakemu človeku priredi njegovo mater. Definicija 1.4.1 Poljubni funkciji rečemo tudi operacija na množici A. A A A Najpreprostejši primer take operacije je seštevanje naravnih števil, poznamo pa tudi množenje naravnih (in drugih) števil. Včasih taki operaciji rečemo tudi notranja operacija, da jo razlikujemo od drugačnih operacij. Vsi smo se že srečali z množenjem vektorjev s skalarji, ta operacija pa ni notranja. Nekatere preslikave lahko sestavljamo. Definicija 1.4.2 Če imamo preslikavi f : A B in g : B C, rečemo preslikavi gf = g f : A C, ki slika x g(f(x)) za vsak x A, kompozitum preslikav f in g. Pozor: tudi če je A = B = C, ni rečeno, da je fg = gf. Primer: Imejmo preslikavi f : R R, f(x) = x 2, in g : R R, g(x) = x+1. Tedaj je gf : R R, gf(x) = x 2 +1, in fg : R R, fg(x) = x 2 +2x+1. Definicija 1.4.3 Če za preslikavo f : A B obstaja taka preslikava g : B A, da velja gf = id A in fg = id B, rečemo, da je obrnljiva in da je preslikava g inverzna preslikava ali inverz k preslikavi f in označimo z g = f 1. Vaja: Dokažite, da je funkcija obrnljiva natanko tedaj, ko je bijektivna. Namig: upoštevajte, da je identiteta bijektivna in premislite, v katerem primeru je kompozitum surjektiven in v katerem injektiven. Včasih bomo označili množico vseh funkcij iz množice A v množico B s simbolom B A. Če je A končna množica in obstaja neka bijekcija f : A B, je tudi B končna in ima isto število elementov kot A. Zato tudi za neskončne množice

1.4. FUNKCIJE 13 včasih rečemo, da imajo enako mnogo elementov, če obstajajo med njimi bijekcije. Nasploh pa bomo v takem primeru za (še posebej za neskončne) množice raje rekli, da so ekvipolentne ali da imajo isto moč. Posebno vlogo ima množica N naravnih števil. Za vsako množico, ki ima isto moč kot N rečemo, da je števno neskončna. Za neskončno množico, ki nima iste moči kot N, pa rečemo, da je neštevna. Imejmo neko množico množic A. Ponavadi bomo v takem primeru zaradi lepšega raje rekli, da je A družina množic. Denimo, da obstaja neka množica J in neka bijekcija J A, j A j A. V takem primeru bomo rekli, da je J indeksna množica družine A in da je A indeksirana z množico J. Unijo družine A definiramo takole: x A = j J A j k J : x A k. Presek družine A pa definiramo tako: x A = j J A j k J : x A k. Trditev 1.4.1 Naj bo A = {A i ; i J} družina podmnožic neke množice M. Tedaj veljata naslednja De Morganova zakona. i J A C i = ( i J A i ) C, i J A C i = ( i J A i ) C Dokaz: Vaja!

14 POGLAVJE 1. UVOD

Poglavje 2 Števila Že iz šole kolikor toliko poznamo realna števila. Množico realnih števil bomo označevali s simbolom R. V tem poglavju bomo ponovili glavne lastnosti množice R. Tiste lastnosti, ki to množico natanko določajo imenujemo aksiome množice R. 2.1 Polje realnih števil Najprej naštejmo aksiome računskih operacij v R. A1 V množici R imamo dve temeljni računski operaciji: seštevanje in množenje. Za seštevanje velja: A2 Asociativnost. Za poljubna realna števila a, b, c velja: a + (b + c) = (a + b) + c A3 Komutativnost. Za poljubni realni števili a in b velja: a + b = b + a A4 Obstaja nevtralni element 0, to je tak element, da velja za poljubno realno število a + 0 = a. A5 Za poljubni element a R obstaja tak element x = a R, da velja a + ( a) = 0. Množici G skupaj z operacijo, za katero veljajo vse zgoraj naštete lastnosti, rečemo Abelova grupa. Množica R je torej za seštevanje Abelova grupa, označimo jo z (R, +). Za množenje realnih števil (ki ga pišemo s piko, pogosto pa med simboli, ne pa med številkami, piko tudi spustimo) tudi veljata zakona asociativnosti in komutativnosti, to je, za poljubna števila a, b, c R velja 15

16 POGLAVJE 2. ŠTEVILA A6 A7 in a(bc) = (ab)c ab = ba. A8 Tudi za množenje obstaja nevtralni element 1 (rečemo mu tudi enota), da velja za poljuben a R: 1.a = a. A9 Za vsako realno število a, razen za 0, obstaja tudi inverz y = a 1 za množenje, rečemo mu tudi obratna vrednost, da velja aa 1 = 1. A10 Operaciji + in povezuje zakon distributivnosti: za poljubna realna števila a, b, c velja: (a + b)c = ac + bc. Vsaki množici z dvema operacijama, za katere veljajo vse zgoraj naštete lastnosti, rečemo komutativni obseg ali polje. Torej je (R, +, ) polje. Oglejmo si nekaj pomembnih lastnosti polj: Trditev 2.1.1 V polju lahko krajšamo, t. j. in če je c 0, iz a + c = b + c sledi a = b iz ac = bc sledi a = b. Dokaz: V prvem primeru v enačbi prištejemo c na obeh straneh in upoštevamo asociativnost seštevanja, v drugem primeru pa enačbo pomnožimo s c 1 na obeh straneh in upoštevamo asociativnost množenja. Pravila krajšanja nam omogočajo, da znamo enolično rešiti enačbi a + x = b in cy = d, kjer so a, b, c in d dani elementi obsega, c 0, x in y pa sta neznaki. Številu b + ( a) rečemo razlika števil b in a in ga pišemo b a; številu dc 1 pa rečemo kvocient števil d in c in ga pišemo tudi d c. Oglejmo si nekaj posledic zgornje trditve. Med drugim smo dolžni opravičiti oznaki a in a 1, če bi namreč inverzi ne bili natanko določeni, takih oznak pravzaprav ne bi smeli uporabiti.

2.2. UREJENOST 17 Trditev 2.1.2 V poljubnem polju velja: 1. inverza sta enolično določena: za poljuben a iz polja obstaja natanko določen a in če je a 0, obstaja tudi natanko en a 1 ; 2. za poljuben element a je a 0 = 0; 3. če ima polje več kot en sam element, potem je 0 1; 4. za poljuben element a v polju je a = ( 1) a. Dokaz: Za prvo ugotovitev naj bosta x in y inverza elementa a za seštevanje, elementa u in v pa inverza elementa a za množenje (slednje ob predpostavki a 0). Iz enakosti a + x = a + y = 0, au = av = 1 dobimo x = y in u = v s krajšanjem. Tudi drugo lastnost dobimo s krajšanjem a.0 = a.(0 + 0) = a.0 + a.0 = 0 za vsak element a iz polja. Za dokaz tretje trditve recimo, pokažimo, da nas predpostavka 0 = 1 v polju z neničelnim elementom a pripelje do protislovja. Za a 0 dobimo iz 0 = 1 enakost a = a.1 = a.0 = 0, to pa je v protislovju z a 0. Torej mora v takem polju biti 0 1. Za četrto lastnost ugotovimo enakosti ( 1) a + a = ( 1) a + 1 a = ( 1 + 1) a = 0 a = 0. 2.2 Urejenost A11 Realna števila so urejena po velikosti: za poljubni realni števili a in b velja natanko ena od naslednjih treh možnosti a > b ali a < b ali a = b. A12 Iz a < b in b < c sledi a < c. Številom, ki so večja od 0, rečemo pozitivna števila, številom, ki so manjša od 0, pa rečemo negativna števila. Urejenost realnih števil je usklajena z računskima operacijama. poljubna realna števila a, b, c velja: Za A13 a > b a + c > b + c

18 POGLAVJE 2. ŠTEVILA A14 a > b, c > 0 ac > bc. Zgornji aksiom nam pove tudi to, da je produkt dveh pozitivnih števil pozitivno število. Trditev 2.2.1 Za realna števila a, b in c velja: a > b, c < 0 ac < bc. Dokaz: Iz c < 0 dobimo s prištetjem c na obeh straneh neenakost 0 < c. Če neenakost a > b množimo z c, dobimo ac = a( c) > b( c) = bc. Potem, ko prištejemo na obeh straneh ac + bc, dobimo želeno neenačbo. Med drugim nam zgornja trditev pove, da je produkt pozitivnega in negativnega števila negativno število. V dokazu pa smo tudi spoznali, da sta si nasprotni števili nasprotno predznačeni. Recimo to bolj natančno: če je število c pozitivno, je c negativno in obratno, če je c negativno število, je c pozitivno. Naj bo c pozitivno število, tedaj iz enakosti 1.c = c in zgornjih premislekov sledi, da je 1 pozitivno število. Zapišimo to ugotovitev bolj formalno. Trditev 2.2.2 Za poljubno realno število a velja ekvivalenca V R velja 0 < 1. a > 0 a < 0. Trditev 2.2.3 Iz 0 < a < b sledi 0 < b 1 < a 1. Dokaz: Ker velja aa 1 = 1, je poleg a tudi a 1 pozitivno število, podobno velja za b. Iz a < b sledi torej 1 < b/a in 1/b < 1/a. Vaja: Dokažite, da sta si dve realni števili različni natanko tedaj, ko je njuna razlika različna od 0. Pokažimo še eno pomembno lastnost realnih števil: Trditev 2.2.4 Med različnima realnima številoma obstaja vsaj še eno realno število.

2.3. SUPREMUM 19 Dokaz: Iz a > b sledi a + b > 2b in 2a > a + b. Zadnji dve neenačbi množimo z 1, ki je pozitivno število, in dobimo: 2 a > b a > a + b 2 > b. Zaradi te lastnosti rečemo, da je množica R povsod gosta. 2.3 Supremum Definicija 2.3.1 Naj bo A neka neprazna množica realnih števil. Če obstaja tako realno število G, da velja x G za vsak x A, rečemo, da je število G zgornja meja množice A in da je množica A navzgor omejena. Če obstaja tako realno število p, da velja x p za vsak x A, rečemo, da je število p spodnja meja za A in da je A navzdol omejena. Če ima neprazna množica realnih števil zgornjo in spodnjo mejo, rečemo, da je omejena. Če je G zgornja meja množice A, je seveda vsako večje število tudi zgornja meja za A. Ali pa obstaja najmanjša zgornja meja za A? V množici realnih števil je odgovor pozitiven. A15 Vsaka neprazna navzgor omejena množica v R ima najmanjšo zgornjo mejo, ki ji pravimo tudi natančna zgornja meja ali supremum. Za vsak slučaj povejmo definicijo supremuma še bolj eksplicitno. Število s je supremum množice A R (to bomo pisali s = sup A), če je s zgornja meja množice A in če prav nobeno manjše število od s ni zgornja meja množice A. Izrek 2.3.1 Vsaka neprazna navzdol omejena množica realnih števil ima največjo spodnjo mejo, ki ji rečemo tudi natančna spodnja meja ali infimum. Dokaz: Naj bo N neprazna navzdol omejena podmnožica v R. Naj bo M množica vseh spodnjih mej množice N. Ker je N navzdol omejena, M ni prazna. Prav gotovo pa je M omejena navzgor, saj je poljuben element iz N zgornja meja za M. Po zgornjem aksiomu ima M natančno zgornjo mejo s. Pokažimo, da je tudi s spodnja meja za N. Denimo, da bi obstajal tak x N, da je x < s. Tedaj bi noben r R z lastnostjo x < r s ne bil

20 POGLAVJE 2. ŠTEVILA spodnja meja za N, torej r M, to pa je v protislovju s predpostavko, da je s supremum množice M. Torej s je spodnja meja za N. Pokažimo še, da je s tudi največja spodnja meja za N. Denimo, da bi tudi y > s bila spodnja meja za N. To bi pomenilo, da je y M, to pa je spet v protislovju s predpostavko, da je s = sup M zgornja meja za M. Torej je res sup M = inf N. Primer: Naj bo množica A = {1/n; n N}. Kaj je v tem primeru sup A in kaj inf A? Precej očitno je, da je sup A = 1. Zaenkrat nam intuicija pove, da je inf A = 0, kmalu pa bomo znali to tudi povsem strogo dokazati. Zaradi eksistence supremumov in infimumov rečemo, da je R poln obseg. Primer: Naj bo A R neka navzgor omejena množica in naj bo c R. Definirajmo c + A = {c + a; a A}, ca = {ca; a A}. Dokažimo, da velja sup(c+a) = c+sup A in, če je c > 0, velja tudi sup(ca) = c sup A. Če je M zgornja meja za A, tj. M a, a A je zaradi monotonosti seštevanja (aksiom A13) tudi c + M c + a, a A, torej je c + M zgornja meja za c + A. Odtod sledi, da je c + sup A zgornja meja za c + A, torej c + sup A sup(c + A). Pa recimo, da bi veljalo sup(c + A) < c + sup A. Tedaj je razlika c + sup A sup(c + A) = ε > 0. Po definiciji sup A obstaja neki a A, za katerega velja Tedaj zaradi monotonosti velja a > sup A ε. sup(c + A) = c + sup A ε < c + a c + sup A, to pa je v očitnem protislovju s tem, da je sup(c + A) zgornja meja za c + A. Dokažimo še sup(ca) = c sup A. Če je M zgornja meja za A, je zaradi monotonosti množenja (aksiom A14) in c > 0 tudi cm zgornja meja za ca.

2.4. NARAVNA ŠTEVILA 21 Torej velja c sup A sup(ca). Pa recimo, da bi veljalo c sup A > sup(ca) in c sup A sup(ca) = ε > 0. Tedaj obstaja tak a A, da velja Zaradi c > 0 odtod dobimo kar pa je spet protislovje. a > sup A ε c. ca > c sup A ε = sup(ca), Kaj pa lahko rečemo o sup(ca), če je c < 0? Vaje: 1. Določite supremum in infimum množice {n N; 3n < 7}. 2. Naj bosta A in B neprazni navzgor omejeni množici realnih števil, za kateri velja A B. Dokažite, da velja sup A sup B. 3. Naj bo a A zgornja meja množice A. Dokažite, da je a = sup A. 4. Ali velja: (a) če je a M za vsak a A, je sup A M; (b) če je a < M za vsak a A, je sup A < M; (c) če sta A in B taki neprazni omejeni množici v R, da velja a b za poljubna a A in b B, velja sup A sup B; (d) če sta A in B taki neprazni omejeni množici v R, da velja a < b za poljubna a A in b B, velja sup A < sup B; (e) za poljubni neprazni navzgor omejeni množici velja sup(a + B) = sup A + sup B; (f) če je sup A < sup B, obstaja neki element b B, ki je zgornja meja množice A; (g) če je sup A sup B, obstaja neki element b B, ki je zgornja meja množice A. 2.4 Naravna števila Oglejmo si še nekaj posebnih podmnožic v R. S seštevanjem enote dobimo naravna števila: 1 1 + 1 = 2 1 + 1 + 1 = 3 Množico naravnih števil bomo označili z N.

22 POGLAVJE 2. ŠTEVILA Zelo pomembna je naslednja lastnost naravnih števil. Popolna indukcija. Če je M taka množica naravnih števil, da velja potem je M = N. 1 M in n M n + 1 M, Primeri: 1. Dokažimo, da za vsako naravno število n velja neenakost 2 n > n. Za n = 1 ta neenakost očitno velja. Iz 2 n > n pa sledi za poljubno število n. 2 n+1 = 2 2 n > 2n = n + n n + 1 2. Dokažimo, da za vsako realno število x > 1, x 0, in za vsako naravno število n, večje od 1, velja Bernoullijeva neenakost Za n = 2 neenakost velja, saj je (1 + x) n > 1 + nx. (1 + x) 2 = 1 + 2x + x 2 > 1 + 2x. Ugotoviti moramo še, da velja neenakost tudi za n = k + 1, če velja za n = k. Naj bo torej (1 + x) k > 1 + kx. Pomnožimo to neenačbo z 1 + x > 0. Dobimo (1 + x) k+1 > (1 + kx)(1 + x) = 1 + (k + 1)x + kx 2 > > 1 + (k + 1)x. S popolno indukcijo smo Bernoullijevo neenakost res dokazali. 3. Definirajmo si še nekaj simbolov. Za naravno število n naj bo n! = 1 2 3 (n 1)n, posebej pa definiramo še 0! = 1. Za nenegativni celi števili n in k, n k, definiramo binomski simbol ( ) n n! (n k + 1) (n 1)n = =. k (n k)!k! k! Dokažimo, da za vsako naravno število n in poljubni realni števili a in b velja (a+b) n = ( ) n a n + 0 ( n 1 ) a n 1 b+ ( n 2 ) a n 2 b 2 + + ( ) n k=n b n = n k=0 ( ) n a n k b k. k

2.4. NARAVNA ŠTEVILA 23 Tej trditvi se reče tudi binomski izrek. Brez težav ugotovimo, da ta trditev velja za n = 1 za poljubni števili a in b. Preden se lotimo indukcijskega koraka, naredimo še naslednji pomožni račun za n k 0. ( ) ( ) n n (n k + 1) (n 1)n (n k)(n k + 1) (n 1)n + = + k k + 1 k! (k + 1)! ( (n k + 1) (n 1)n = 1 + n k ) k! k + 1 (n k + 1) (n 1)n(n + 1) = (k + 1)! ( ) n + 1 = k + 1 Predpostavimo, da velja trditev binomskega izreka za naravno število n in jo dokažimo še za n + 1. (a + b) n+1 = (a + b) n (a + b) [( ) ( n n = a n + 0 1 = = ( ) n a n+1 + 0 ) a n 1 b + + [( ) n + 0 ( ) ( n + 1 n + 1 a n+1 + 0 1 ( ) n ab n 1 + n 1 ( )] n a n b + + 1 + + ) a n b + + ( ] n )b n (a + b) n [( ) ( )] n n + a n k b k+1 + k k + 1 [( ) n + n 1 ( )] n ab n + n ( ) n + 1 a n k b k+1 + + k + 1 ( n + 1 + n Naslednjemu izreku rečemo tudi Arhimedov izrek. ) ab n + ( ) n + 1 b n+1 n + 1 Izrek 2.4.1 Za vsako realno število r obstaja tako naravno število n, da je r < n. ( ) n b n+1 n Dokaz: Recimo, da izrek ne velja. To pomeni, da je množica M = {x R; n N : x < n} v R navzgor omejena. Ker velja N M, množica M tudi ni prazna. Po aksiomu torej obstaja natančna zgornja meja sup M R. To pa pomeni, da je realno število sup M 1/2 manjše od nekega elementa M (in je po definiciji M tudi samo v M) in velja sup M 1/2 < n sup M < sup M + 1/2 < n + 1.

24 POGLAVJE 2. ŠTEVILA To pa je v protislovju s predpostavko, da je sup M natančna zgornja meja za M. Posledica 2.4.1 Za poljubno pozitivno realno število ε obstaja tako naravno število n, da za vsako večje naravno število m velja 1 m < ε. Dokaz: Naj bo ε > 0. Tedaj po Arhimedovem izreku obstaja tako naravno število n, da je 1/ε < n in zato za vsak tak m N, da je n < m velja tudi 1/ε < m odtod pa sledi ε > 1/m. Primer: Naj bo množica A = {1/n; n N}. Ugotovili smo že, da je sup A = 1, da je inf A = 0, pa še nismo znali dokazati. Pokažimo to zdaj, ko že poznamo Arhimedov izrek. Ker so vsi elementi v A pozitivna števila, je očitno inf A 0. Po zgornji posledici Arhimedovega izreka pa inf A ne more biti pozitivno število, torej inf A = 0. Vaja: Določite supremum in infimum množic A = {n/(3n 4); n N}, B = {n/(m + n); m, n N} in C = {m/n; m, n N, m + n < 10}. Za računanje pa naravna števila niso tako pripravna, v splošnem jih ne moremo odštevati. Če pa vsem naravnim številom dodamo še vsa njihova nasprotna števila in število 0, dobimo cela števila. Množico celih števil bomo označili z Z. Ta množica ni obseg, je pa kolobar. Kolobar se loči od obsega po tem, da v njem ne zahtevamo obstoja inverzov za množenje. Prej smo omenili, da je množica R povsod gosta, t.j. da med poljubnima realnima številoma obstaja vsaj še eno. To pa ne velja ne za N ne za Z. Med celima številoma a in a + 1 ni nobenega, ki bi bil v Z. V Z sicer že lahko odštevamo, ne moremo pa še deliti. Če k Z dodamo še vse obrate neničelnih celih števil in vse produkte celih števil in recipročnih vrednosti, dobimo ulomke ali racionalna števila. Množico racionalnih števil zaznamujemo s Q, ta množica je za seštevanje in množenje že obseg. Za razliko od R pa Q ni poln obseg. Primer: Naj bo množica A = {r Q; r 2 < 2} množica vseh tistih ulomkov, katerih kvadrati so manjši od 2. Naj bosta x in y poljubni pozitivni realni števili. Če neenakost x > y pomnožimo enkrat

2.4. NARAVNA ŠTEVILA 25 z x in drugič z y, dobimo x 2 > xy > y 2. Če pa zadnji dve neenakosti delimo z x oziroma y, dobimo spet x > y. Velja torej naslednja ekvivalenca. x > y x 2 > y 2 (2.1) Z drugimi besedami: na množici pozitivnih realnih števil je kvadratna funkcija strogo naraščajoča. Odtod sledi, da je množica A navzgor omejena, vsi njeni elementi morajo biti očitno manjši od 2. Seveda je A tudi neprazna, saj vsebuje vsaj število 1. Torej obstaja v R število s = sup A. Pokažimo, da je s 2 = 2. Vemo, da je 2 > s > 1. Za vsako naravno število n velja tudi (1/n) 2 1 < 2 in zato 1/n < s. Odtod, skupaj z (2.1) dobimo neenakosti ( s 1 n) 2 2 ( s + 1 ) 2 n s 2 2 s n + 1 n 2 2 s 2 + 2 s n + 1 n 2 s 2 2s n < 2 < s2 + 3s n. Zadnjo neenakost smo dobili s pomočjo neenakosti 1/n 2 < s/n. Odtod pa dobimo s 2 2 < 1 in 1 2s n n < s2 2. 3s Iz Posledice (2.4.1) sledi, da je s 2 2 2s 0 s2 2 3s ker pa je s > 0, je to mogoče le, če je s 2 = 2. Zdaj pa pokažimo, da s ni racionalno število. To bo hkrati pokazalo, da za razliko od polja R za polje Q ne velja aksiom o eksistenci supremuma za vsako navzgor omejeno neprazno podmnožico., Recimo, da je s = a b, kjer je a b okrajšani ulomek. Torej je a sodo število a = 2c. a 2 b 2 = 2 a2 = 2b 2 a 2 = 4c 2 = 2b 2 2c 2 = b 2 Torej je tudi b sodo število. To pa je v nasprotju s predpostavko, da je ulomek a že okrajšan. Tako smo pokazali, da ni takega racionalnega števila, b katerega kvadrat je enak 2. Odtod sledi, da obstajajo realna števila, ki niso racionalna. Rečemo jim iracionalna števila. Izkaže se, da je iracionalnih števil več kot racionalnih: medtem ko obstaja bijekcija iz N v Q, pa ne obstaja nobena bijekcija iz N v R.

26 POGLAVJE 2. ŠTEVILA 2.5 Številska premica, intervali, okolice Če narišemo premico, se odločimo za izhodišče (točko 0) in enoto (točko 1), imamo med točkami na premici in realnimi števili točno določeno bijektivno korespondenco: za vsako realno število obstaja natanko ena točka na premici in za vsako točko na premici natanko eno realno število. Pri tem za števili a < b velja, da je točka, ki ustreza številu a, levo od točke, ki ustreza številu b (če smo 1 postavili desno od 0, sicer pa velja ravno obratno). V tej luči bomo pogosto na množico realnih števil R gledali tudi z geometrijskimi očmi. V takem primeru bomo včasih govorili o prostoru R, namesto realno število pa bomo včasih rekli tudi točka v R. 3 4 0 1 2 Slika 2.1: Številska premica Definicija 2.5.1 Poljubnemu realnemu številu x priredimo njegovo absolutno vrednost x R s predpisom { x če je x 0 x = x če je x < 0. Absolutna vrednost ima tudi geometrijski pomen: x je razdalja točke x do točke 0 na številski premici; b a pa razdalja med točkama a in b na številski premici. Oglejmo si nekaj lastnosti absolutne vrednosti. Trditev 2.5.1 Za poljubni realni števili a in b velja 1. trikotniška neenakost 2. 3. 4. a + b a + b a + b a b ab = a b a = a b b, b 0. Dokaz: Iz definicije vidimo, da veljata za vsak a R neenakosti a a in a a.

2.5. ŠTEVILSKA PREMICA, INTERVALI, OKOLICE 27 V primeru, da je a + b 0, dobimo trikotniško neenakost kot vsoto takih neenakosti (tj. kot zgoraj levo) za a in b: a + b = a + b a + b. V primeru, da je a + b < 0 pa iz podobne vsote neenakosti kot zgoraj desno: a + b = (a + b) a + b. V trikotniški neenakosti enačaj velja, če sta števili istega znaka ali pa je vsaj eno enako 0. Sicer velja neenačaj. Za drugo neenakost si oglejmo naslednji račun. Odtod pa sledi a = (a + b) + ( b) a + b + b = a + b + b a + b a b Ostali trditvi preverimo za vse možne primere predznakov a in b. Z indukcijo brez težav dokažemo, da nasploh velja za poljubna realna števila a 1, a 2,..., a n velja a 1 + a 2 +... + a n a 1 + a 2 +... + a n a 1 a 2... a n = a 1 a 2... a n. Naj bosta a in b poljubni taki realni števili, da velja a < b. Tedaj imenujemo množico [a, b] = {x R; a x b} zaprti interval od a do b, množico pa odprti interval od a do b. Množici (a, b) = {x R; a < x < b} [a, b) = {x R; a x < b} in (a, b] = {x R; a < x b} pa imenujemo polodprta intervala. V vseh štirih primerih rečemo številu b zgornje, številu a pa spodnje krajišče intervala. Številu b a pa rečemo dolžina intervala. Včasih rečemo tudi množici {a} zaprti interval [a, a], tak interval ima seveda dolžino 0, odprti interval pa ima vedno pozitivno dolžino. Ker smo vzeli za a in b realni števili, so zgornji štirje intervali končni ali omejeni intervali. Obstajajo pa tudi neskončni ali neomejeni intervali. To so množice [a, ) = {x R; x a} (, b] = {x R; x b} (a, ) = {x R; x > a} (, b) = {x R; x < b} (, ) = R,

28 POGLAVJE 2. ŠTEVILA kjer sta a in b poljubni realni števili. Včasih se piše v teh intervalih namesto tudi in namesto tudi. Tudi intervalom oblike [a, ) ali (, b] bomo rekli zaprti intervali, intervalom oblike (a, ) ali (, b) pa odprti intervali. Vaja: Dokažite, da je vsaka množica I, za katero velja implikacija (a < c < b) (a, b I) = c I neki interval. Definicija 2.5.2 Naj bo neko ε pozitivno realno število in a R. Tedaj intervalu (a ε, a + ε), v katerem so natanko tiste točke x, za katere velja a x < ε, tj. tiste točke x, ki so od a oddaljene za manj kot ε, rečemo tudi ε-okolica točke a. Definicija 2.5.3 Naj bo x R, A R in naj obstaja tak ε > 0, da velja (x ε, x + ε) A. Tedaj rečemo, da je množica A okolica točke x. Vsaka točka x odprtega intervala (a, b) ima pozitivno razdaljo do obeh krajišč tega intervala. Če definiramo ε = min{ a x, b x }, interval (a, b) vsebuje ε-okolico točke x. To pomeni, da je vsak odprti interval okolica vsake svoje točke. Očitno pa zaprti interval ni okolica svojih krajišč. Pri tem velja opozoriti, da okolica tu ne pomeni, da je ta množica blizu točke, ampak, da jo nekako na debelo obkoli z obeh strani. Očitno velja tudi naslednja lastnost: če je A okolica točke x, je tudi vsaka množica B, za katero velja A B, okolica točke x. Protiprimer: Množica U = R \ {1/n; n N} ni okolica točke 0 v R, saj ne vsebuje prav nobenega odprtega intervala okoli točke 0. Dokažimo še naslednjo pomembno posledico polnosti polja R. Izrek 2.5.1 (Lastnost vloženih intervalov) Za vsak n N naj bo I n = [a n, b n ] zaprti interval in naj bodo ti intervali vloženi eden v drugega, tj. velja I 1 I 2 I 3 I n. Tedaj presek te družine intervalov ni prazen, tj. n=1 I n.

2.5. ŠTEVILSKA PREMICA, INTERVALI, OKOLICE 29 Dokaz: Oglejmo si množico A = {a n ; n N} levih krajišč intervalov. Ker so intervali {I n } vloženi eden v drugega, je b 1 zgornja meja za vsak I n in s tem tudi za A. Torej obstaja s = sup A R. Ker je s zgornja meja za A, velja a n s. Zaradi vloženosti intervalov pa velja pa tudi a m a n b n b m za n > m. Torej je celo vsak b n zgornja meja za A in zato tudi s b n za vsak n N. Torej smo pokazali, da velja a n s b n n N, to pa pomeni s n=1 I n. Primeri: 1. Družina vloženih zaprtih intervalov I n = [ 1/n, 1/n], n N zadošča vsem pogojem izreka, zato ima neprazen presek. Brez težave se prepričamo, da je presek te družine intervalov množica {0}. 2. Družina vloženih odprtih intervalov I n = ( 1/n, 1/n), n N sicer ni taka, kot jo omenja izrek, a ima kljub temu neprazni presek množico {0}. 3. Družina vloženih zaprtih intervalov I n = [n, ) ni taka, kot jo zahteva izrek in iz Arhimedovega izreka takoj sledi, da je presek te družine prazen. Vaja: Poiščite neskončno množico vloženih odprtih intervalov, katerih presek je prazen.

30 POGLAVJE 2. ŠTEVILA 2.6 Gostost Q v R Naslednja trditev nam pove, da je v vsaki okolici vsakega realnega števila tudi neko racionalno število. Zato rečemo, da je množica Q gosta v R. Izrek 2.6.1 Vsak odprti interval vsebuje kako racionalno število. Dokaz: Imejmo interval (a, b). Najprej privzemimo, da je 0 a < b. Naj bo n tako naravno število, da velja 1 n < b a. (2.2) Ideja dokaza je v tem, da gremo iz točke 0 s koraki velikosti 1/n v pozitivni smeri. Zaradi zgornje lastnosti s takimi koraki ne moremo preskočiti intervala (a, b). Naj bo m tako naravno število, da velja m 1 na < m. Iz druge neenakosti takoj sledi, da je a < m n. Oglejmo si še prvo neenakost m 1 na. Iz 2.2 sledi, da je a < b 1/n in tako dobimo m na + 1 < n(b 1/n) + 1 = nb, torej m n < b in smo pokazali, da je m/n (a, b). V primeru, da velja a < b 0, z zgornjim dokazom dobimo za števili c = b in d = a racionalno število q, da je c < q < d. Tedaj za racionalno število q velja q (a, b). Če pa velja a < 0 < b, pa je ima racionalno število 0 iskano lastnost. Tudi iracionalna števila so gosta v R. Trditev 2.6.1 Vsak odprti interval vsebuje kako iracionalno število. Dokaz: Najprej pokažimo, da je vsota racionalnega in iracionalnega števila iracionalno število. Pa denimo, da ne bi bilo tako, tj. da imamo racionalni števili p in q in iracionalno število z, da velja p + z = q. V tem primeru velja z = q + ( p), to pa ni mogoče, saj je Q polje in je zato tudi p + ( q) v Q.

2.7. DECIMALNI ZAPIS 31 Po izreku 2.6.1 obstaja racionalno število q, da velja a 2 < q < b 2. Tedaj pa velja tudi a < q + 2 < b. Po zgornjem premisleku je q + 2 iracionalno število. Primer: Množica točk A = { ( 1)n n ; n N} ni okolica točke 0, saj so v vsaki ε-okolici, ε > 0, točke 0 tudi iracionalna števila, torej taka, ki niso elementi množice A. 2.7 Decimalni zapis Realna števila je mogoče izraziti v decimalni obliki: Naj bo x poljubno pozitivno realno število. Če je x celo število, smo z njim zadovoljni, saj je že v decimalni obliki. Če pa x ni celo število, obstaja tako (nenegativno) celo število C, da velja C < x < C + 1. Zdaj si pogledamo števila oblike C + n za n {0,..., 9}. Če je x enak 10 enemu izmed njih, recimo številu C + c 1, je decimalni zapis za x kar C, c 10 1. Sicer pa obstaja tak c 1 {0,..., 9}, da velja ali drugače zapisano C + c 1 10 < x < C + c 1 + 1, 10 C, c 1 < x < C, c 1 + 1 10. Zdaj si pogledamo števila oblike C, c 1 + n za n {0,..., 9}. Če je x enak 100 kateremu izmed teh števil, smo končali, sicer pa je eno izmed teh števil, označimo ga z C, c 1 + c 2 tako, da velja 100 C, c 1 c 2 < x < C, c 1 c 2 + 1 100. Ta postopek nadaljujemo, včasih se ustavi, včasih pa ne. Na ta način priredimo številu x natanko določen končen ali pa neskončen decimalni zapis x = C, c 1 c 2 c 3...

32 POGLAVJE 2. ŠTEVILA in dve različni števili imata različna decimalna zapisa. Tudi vsakemu decimalnemu zapisu pripada natanko določeno realno število. Dvema različnima decimalnima zapisoma pripadata različni realni števili, le zapisoma oblike C, c 1... c n 9999... in C, c 1... (c n + n + 1) pripada isto realno (pravzaprav celo racionalno) število. Izkaže se, da ulomkom pripadajo ali končni decimalni zapisi ali pa neskončni in od nekje naprej periodični decimalni zapisi. Iracionalna števila so pa ravno tista, ki imajo neskončne in neperiodične decimalne zapise. Kaj pa, če je x negativno realno število? V tem primeru je x pozitivno, njegov zapis dobimo po gornjem postopku in velja x = C, c 1 c 2.... Primer: Določimo nekaj decimalk za iracionalno število 2. Ker je 1 2 = 1 in 2 2 = 4, je 1 < 2 < 2. S poskušanjem ugotovimo, da je 1, 4 2 = 1, 96 in 1, 5 2 = 2, 25. Torej 1, 4 < 2 < 1, 5. Ker je 1, 41 2 = 1, 9881 in 1, 42 2 = 2, 0164, je 1, 41 < 2 < 1, 42 in tako naprej brez konca in kraja. 2.8 Kompleksna števila V realnih številih ne moremo rešiti nekaterih enačb, na primer: x 2 = 1. Podobno kot smo naravnim številom dodali negativna števila ali pa celim številom ulomke, lahko formalno dodamo množici R neki element i za katerega naj velja i 2 = 1 in dopolnimo množico R {i} do polja, ki ga označimo s C in mu rečemo polje kompleksnih števil. Izkaže se, da v tako dobljeni množici ni rešljiva le zgornja enačba, ampak kar vse polinomske enačbe. Da bo C polje, mora gotovo vsebovati vse produkte ai, kjer je a poljubno realno število in tudi vse vsote a + bi, kjer sta a in b poljubni realni števili. Pokažimo, da je to že dovolj, t. j. da je polje. C = {a + bi; a, b R}

2.8. KOMPLEKSNA ŠTEVILA 33 Seštevamo kar takole: Množimo pa tako: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi 2 = (ac bd) + (ad + bc)i. Z drugimi besedami, s kompleksnimi števili računamo tako kot z binomi, le da upoštevamo, da je Preverimo, da veljajo i 2 = 1 i 3 = i i 4 = 1. asociativnost: za poljubna kompleksna števila a + bi, c + di, e + fi velja (a + bi) + ((c + di) + (e + fi)) = (a + c + e) + (b + d + f)i = ((a + bi) + (c + di)) + (e + fi) (a + bi)((c + di)(e + fi)) = (ace adf bcf bde) + (acf + ade + bce bdf)i = ((a + bi)(c + di))(e + fi) komutativnost: za poljubni kompleksni števili a + bi, c + di velja (a + bi) + (c + di) = (c + di) + (a + bi) (a + bi)(c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i = (c + di)(a + bi) distributivnost: za poljubna kompleksna števila a + bi, c + di, e + fi velja (a + bi)((c + di) + (e + fi)) = a(c + e) b(d + f) + (a(d + f) + b(d + f))i = (a + bi)(c + di) + (a + bi)(e + fi). Nevtralna elementa sta 0 + 0i in 1 + 0i. Elementu a + bi je nasprotni element kar a bi. Pokažimo, da ima vsako neničelno število a + bi tudi svoje obratno število: (a + bi)(a bi) = (a 2 + b 2 ) + 0i, zato (a + bi) 1 = a bi a 2 + b 2.

34 POGLAVJE 2. ŠTEVILA Definicija 2.8.1 Za kompleksno število z = a + bi rečemo, da je a njegova realna kompo- nenta, b pa njegova imaginarna komponenta. Za število z = a bi rečemo, da je konjugirano številu z. Številu 1 + 0i rečemo tudi realna enota, številu 1.i = i pa včasih rečemo imaginarna enota. Tu moramo opozoriti na različni pomen pojma enote. Število 1 je enota za množenje v C, hkrati številu 1 ustrezna točka na realni osi kompleksne ravnine ponazarja enoto dolžine; podobno točka, ki ustreza številu i ponazarja enoto dolžine, zato ima izraz imaginarna enota smisel, nikakor pa število i ni enota za množenjev C. Ker s kompleksnimi števili, katerih imaginarna komponenta je 0, računamo prav tako kot z realnimi števili, si lahko mislimo, da je množica realnih števil kar množica kompleksnih števil z imaginarno komponento 0. Podobno rečemo, da so naravna števila podmnožica celih števil, ta podmnožica ulomkov in ta spet podmnožica realnih števil. Naštejmo nekaj očitnih lasnosti konjugacije elementa z = a + bi: 1. z = z 2. z = z z R 3. z + z = 2a R 4. z z = 2bi ir 5. z z = a 2 + b 2 0 in z z = 0 z = 0 6. Re(z) = a = z+ z in Im(z) = b = z z 2 2i 7. za poljubna z 1, z 2 C velja z 1 + z 2 = z 1 + z 2 8. za poljubna z 1, z 2 C velja z 1 z 2 = z 1 z 2 9. za poljubna z 1, z 2 C, z 2 0, velja z 1 z 2 = z 1 z 2 z 2 z 2 in ( z 1 z 2 ) = z 1 z 2 Trditev 2.8.1 Če ima polinomska enačba z realnimi koeficienti a 0 + a 1 x + + a n x n = 0 kompleksno rešitev z, je tudi njena konjugirana vrednost z rešitev iste enačbe.

2.8. KOMPLEKSNA ŠTEVILA 35 Dokaz: Če velja a 0 + a 1 z + + a n z n = 0, velja ta enakost tudi, če obe strani konjugiramo. V tem primeru pa dobimo a 0 + a 1 z + + a n z n = 0, to pa pomeni, da je tudi z rešitev naše enačbe. Kvadratni koren iz produkta konjugirano kompleksnih števil z z = (a + bi)(a bi) = a2 + b 2 imenujemo absolutna vrednost kompleksnega števila z = a + bi (in seveda tudi z = a bi). Brez težav se prepričamo, da tudi za kompleksna števila z 1, z 2,..., z n veljajo naslednje relacije: Trditev 2.8.2 za poljubna kompleksna števila z 1,..., z n velja: z 1 + z 2 +... + z n z 1 + z 2 +... + z n z 1 z 2... z n = z 1 z 2... z n in za poljubni kompleksni števili z 1 in z 2 0 velja z 1 = z 1 z 2. z 2 Dokaz: Najprej se prepričamo, da za z = a + bi velja z + z = 2a 2 a 2 + b 2 = 2 z, kar bomo uporabili v dokazu za vsoto za z = z 1 z 2. Dokažimo prvo neenakost za dve števili z 1 in z 2 : z 1 + z 2 = (z 1 + z 2 )(z 1 + z 2 ) = (z 1 + z 2 )( z 1 + z 2 ) = z 1 z 1 + (z 1 z 2 + z 2 z 1 ) + z 2 z 2 z 1 2 + 2 z 1 z 2 + z 2 2 = ( z 1 + z 2 ) 2 = z 1 + z 2 Da taka neenakost velja za poljubna števila z 1,..., z n, lahko dokažemo s popolno indukcijo za vajo. Za produkt je dokaz še lažji: z 1 z 2 = (z 1 z 2 )(z 1 z 2 ) = (z 1 z 1 )(z 2 z 2 ) = z 1 z 2

36 POGLAVJE 2. ŠTEVILA Definicija 2.8.2 Za množico M C rečemo, da je omejena, če je množica { z ; z M} omejena v R. Podobno kot v R definiramo okolice tudi v C. Definicija 2.8.3 Naj bo ε > 0 in a C. Tedaj množici {z C; a z < ε} rečemo ε-okolica točke a. Za poljubno množico V C, ki vsebuje vsaj eno ε-okolico točke a, pa rečemo, da je okolica točke a. Realna števila smo upodobili na številski premici. Ker pa je vsako kompleksno število določeno z dvema realnima številoma (z realno in imaginarno komponento), nas ne preseneča dejstvo, da množica C ustreza ravno točkam v ravnini. Slika 2.2: Kompleksna ravnina Na ravnini izberemo neko premico, imenujmo jo kar R, saj bo predstavljala realno os, na njej izberemo izhodišče 0 in enoto 1; v točki 0 narišemo pravokotnico na R, to bo naša imaginarna os. Na njej odmerimo enoto i tako, da bo najkrajši premik od 1 do i v smeri nasprotni urnemu kazalcu. Tako kot vsakemu realnemu številu a ustreza natanko ena točka na realni osi, tudi vsakemu številu bi ustreza neka neka točka na imaginarni osi. In kot vsaki točki na realni osi ustreza neko realno število, tudi vsaki točki na imaginarni osi ustreza neko število bi. In katera točka ustreza številu a + bi? To točko dobimo tako, da v točki a na realni osi potegnemo vzporednico imaginarni osi in skozi točko bi potegnemo vzporednico realni osi. Kjer se ti dve vzporednici sekata, tam je točka, ki ustreza številu a + bi. Z obratnim postopkom vidimo, da tudi vsaki točki na ravnini ustreza natanko določeno kompleksno število.

2.8. KOMPLEKSNA ŠTEVILA 37 Ravnina z izbrano realno in imaginarno osjo in enotama na njih se imenuje kompleksna ravnina. Sliki konjugiranih kompleksnih števil sta simetrični glede na realno os. Absolutna vrednost števila pa pomeni razdaljo njegove slike od izhodišča, včasih jo označimo z r. Kot, ki ga s pozitivno smerjo realne osi oklepa usmerjena daljica od 0 do slike danega kompleksnega števila A se imenuje argument kompleksnega števila in ga včasih označimo z φ. S slike neposredno razberemo, da je a = r cos φ in b = r sin φ; zato je A = a + bi = r(cos φ + i sin φ). To je trigonometrijski zapis kompleksnega števila. Množica vseh točk v kompleksni ravnini, katerih absolutna vrednost je manjša od r je tedaj krog s središčem v 0 in polmerom r. ε-okolica točke 0 je torej kar krog s središčem v 0 in polmerom ε. Množica M C pa je omejena natanko tedaj, ko je vsebovana v nekem krogu s središčem v 0. Kako izgleda seštevanje dveh kompleksnih števil na komplekni ravnini? Seštevata se njuni koordinati. Slika 2.3: Seštevanje kompleksnih števil Odtod vidimo še tole pomembno dejstvo. Medtem ko je ε-okolica točke v R interval dolžine 2ε, je ε-okolica točke v C krog s polmerom ε okrog te točke. Poglejmo si zdaj, kako si predočimo množenje. Imejmo kompleksni števili A 1 in A 2, ki imata absolutno vrednost 1, tako da je Potem je A 1 = cos ϕ 1 + i sin ϕ 1 in A 2 = cos ϕ 2 + i sin ϕ 2. A 1 A 2 = (cos ϕ 1 cos ϕ 2 sin ϕ 1 sin ϕ 2 ) + i(sin ϕ 1 cos ϕ 2 + cos ϕ 1 sin ϕ 2 ).