ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ Θ.Μ.Τ. ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Ενότητα 19 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ Θ.Μ.Τ. ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1). Να βρεθεί η συνάρτηση f όταν: i) A, f ()=3 5 f(0)=1, ii) A=, f ()=συν-ημ f(π)=, Ασκήσεις για λύση - iii) A=, f ()=4e 6 f '(0)=f(0)=1, 1 iv) A=, f ()=- f(-1)=f(1)=. ). Δίνεται η f : f '()=f(-) για κάθε. Να αποδείξετε ότι: i) f '(-)=f(),, ii) η συνάρτηση g( ) f ( ) f ( ),, είναι σταθερή. 3). Δίνεται η συνάρτηση f : με την ιδιότητα f '( ) 3 f ( ) για κάθε. f(0)=3, να βρεθεί ο τύπος της f. 4). Αν για τη συνάρτηση f είναι f '( 1) 3 1 για κάθε 1 και f (1) 1, να αποδείξετε ότι f (0) 1. 5). Δίνεται η συνάρτηση f : 0, για την οποία ισχύει f (1) e (f '()-f())=f() για κάθε 0. i) Να βρείτε το f(0). ii) Να ' f ( ) f ( ) αποδείξετε ότι για κάθε > 0. iii) Να βρείτε τον τύπο της f. 6). Έστω f : παραγωγίσιμη στο 0 συνάρτηση με f (0)=f (0) και f ( y) f ( ) f ( y) για κάθε, y. i) Να αποδείξετε ότι η f παραγωγίζεται σε ολόκληρο το. ii) Να βρεθεί ο τύπος της f. 7). Δίνεται η συνάρτηση f : f(0)=, η οποία για κάθε ικανοποιεί τη σχέση ( ( ) f e )( f '( ) e ) 0. i) Να αποδείξετε ότι ( f ( ) e ) 1. ii) Να αποδείξετε ότι η h( ) f ( ) e διατηρεί σταθερό θετικό πρόσημο στο. ii) Να βρεθεί ο τύπος της f. 8). Έστω συνάρτηση f : για την οποία ισχύει f ''( 1) 1 6 για κάθε. A Cf έχει στο σημείο Μ(1,f (1)) εφαπτομένη με εξίσωση y 3, να βρεθεί ο τύπος της f. 9). Η κλίση της παραγωγίσιμης συνάρτησης f : στο τυχαίο σημείο Μ (, f ( )) είναι ίση με το διπλάσιο της τιμής της f στο. Αν f(0) = 1, να βρεθεί ο τύπος της f. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : για την οποία ισχύει f '( ) 0 για κάθε. f(-1)=5, να βρεθεί ο τύπος της f. 154

Ενότητα 19 10). Να βρεθεί η συνάρτηση f : A όταν: i) A, f '''()=4+1 f ''(0)=f '(0)=f(0)=6, 1 ii) A=, f '()=4(-1)e f(1)=, 1 iii) A=, f '()=ημ3+συν f(0)= -, 3 1 iv) A = (0, + ), f '()=e f(1)=e. 3 3 11). Αν για τη συνάρτηση f : ισχύει f '( ) 1 για κάθε και το σημείο Μ(1, 3) ανήκει στη C f, να βρεθεί ο τύπος της f. 1). Μια συνάρτηση f : είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και ισχύουν f(0) = f (0) = 0 και ( f ( ) f '( )) f '( ) f ''( ) για κάθε. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g( ) f ( ) ( f '( )) e είναι σταθερή στο και στη συνέχεια να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f. 13). Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση 1 3 f : (0, ) f(1)= f '()=-f ( ) για κάθε > 0. Να βρείτε: 1 i) την παράγωγο της συνάρτησης g( ), f ( ) ii) τον τύπο της συνάρτησης f. 14). Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης f :, η οποία είναι παραγωγίσιμη στο 0 0, f '(0)= και για κάθε, y ικανοποιεί τη σχέση f ( y) f ( ) f ( y). 15). Μια συνάρτηση f : είναι παραγωγίσιμη, f(0) = f (0) = και για κάθε, y ισχύει f ( y) f ( y) f ( ). Να αποδείξετε i) f '( ) f ( ) για καθε, ότι: ii) f ( ) e,. 16). Να βρεθεί η παραγωγίσιμη συνάρτηση f :, f(0)=1, f '(0)=1 και για κάθε, y ισχύει f ( y) f ( y) f ( ). 17). Δίνεται η συνάρτηση f :, η οποία είναι παραγωγίσιμη στο και ικανοποιεί τις σχέσεις f ( y) f ( ) f ( y) y για κάθε, y και f (0) f '(0) 1. Να αποδείξετε ότι: i) f ( h) f ( ) f ( )( f ( h) 1) h ii) f '( ) f ( ) iii) ( 1) e e ' iv) f ( ) e 1, 18). Να βρεθεί η παραγωγίσιμη συνάρτηση f() f : (1, ), ln 0 για κάθε > 1 και η εφαπτομένη της C f f '() στο σημείο Μ( e, f ( e )) είναι κάθετη στην ευθεία ε : y = 000. 19). Αν οι συναρτήσεις f, g : είναι δύο φορές παραγωγίσιμες στο με f()+f ''()=g()+g ''() και οι γραφικές παραστάσεις των f και g έχουν σε 155

Ενότητα 19 κοινό τους σημείο κοινή εφαπτομένη, να αποδείξετε ότι f ( ) g( ) για κάθε. 0). Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f, g : f(0)=g(0)=, f '()=3g() g'()=3f() για κάθε. h(0=f()+g() ()=f()-g(), να αποδείξετε ότι: i) h'( ) 3 h( ) '()=-3 (),, 3 ii) h( ) 4 e ()=0,, 3 3 iii)f()=e g()=e,. 1). Μια δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f : έχει τις ιδιότητες f ''( ) f ( ) για κάθε f(0)=f '(0)=1. Να αποδείξετε ότι: i) f '( ) f ( ) e, ii)f()=e, Ερωτήσεις Ασκήσεις κατανόησης Ερωτήσεις σύντομης απάντησης Να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις: i) Έστω μια συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα Δ. Τι πρέπει να ισχύει ακόμα, ώστε η f να είναι σταθερή στο Δ; ii) Δύο συναρτήσεις f και g είναι συνεχείς σε ένα διάστημα Δ. Ποια συνθήκη πρέπει ακόμα να ικανοποιούν, ώστε να είναι f g c στο Δ; iii) Δύο συναρτήσεις f και g έχουν ίσες παραγωγούς σε ένα διάστημα Δ. Τι συμπεραίνετε για τις f και g; iv) Η συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα σύνολο Α και f ()=0 για κάθε εσωτερικό σημείο του A. Τι συμπεραίνετε για την f; v) Για μια συνάρτηση f είναι f '( ) f ( ) για κάθε, όπου Δ είναι ένα διάστημα. Τι συμπεραίνετε για την f; vi) Αν f () = 0 για κάθε, τι συμπεραίνετε για την f; vii) Μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο και ισχύει f () = 0 για κάθε \ 1. Είναι η f σταθερή; Ασκήσεις συμπλήρωσης κενού Να συμπληρώσετε τα κενά με λέξεις ή μαθηματικά σύμβολα, ώστε να προκύψουν αληθείς μαθηματικές προτάσεις. i) Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι.. στο Δ και. για κάθε. Σημείο του Δ, τότε η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ. Η παραπάνω πρόταση ισχύει μόνο όταν το Δ είναι. και όχι τυχαίο.. ii) Έστω f και g δύο συναρτήσεις ορισμένες σε ένα διάστημα Δ. Αν οι f και g είναι.. στο Δ.. για κάθε.. σημείο του του Δ, τότε υπάρχει. τέτοια, ώστε για κάθε να ισχύει Οι f και g διαφέρουν δηλαδή κατά μια σταθερά και όχι τυχαίο σύνολο. 156

Ενότητα 19 iii) Έστω f συνάρτηση παραγωγίσιμη στο με f '( ) f ( ) για κάθε. Ο τύπος της f είναι τότε f () =., όπου c είναι μια σταθερά. iv) Αν f '( ) 0 για κάθε, τότε f () = για. και f() =. για.. v) Αν η κλίση της f σε κάθε σημείο είναι ίση με f() και η C διέρχεται από το σημείο Α (0, 1), τότε f () = για κάθε f. Ασκήσεις πολλαπλής επιλογής 1. Αν f συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα Δ με f '( ) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε: A. f ( ) 0, B. f()=1, Γ. f()<0,. f()>0, E. f()=c,. Αν f και g συνεχείς συναρτήσεις σε ένα διάστημα Δ με f '( ) g '( ) για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε: A. f()=g(), B. f()<g(),. f()>g(),. f()=g()+c Ε. τίποτα από τα παραπάνω 3. Αν f παραγωγίσιμη συνάρτηση με f '( ) f ( ) για κάθε, τότε: A. f()=0, B. f()=1,. f()=c,. f()=e, E. f()=ce, 1 4. Αν f '( ) για κάθε 0, τότε: A. f()=ln B. f()=ln c ln( ), < 0 ln c1, <0. f ( ). f()= ln, > 0 ln c, >0 E. f()=ln 5. Aν f συνεχής συνάρτηση στο με f '( ) 0 για κάθε, τότε: A. f()=c, B. f()=e, c1, <0 c, 0. f ( ) c, =0 c c. f()= c c c, >0 1 1 1 c, >0 E. f()=ce, 6. Έστω οι συναρτήσεις f, g : f '()=g() g '()=-f() για κάθε. A h()=f ( ) g ( ),, τότε: A. h()=0 B. h()=c. h()=ce. h'()=h() E. h()=f()g() 157

Ενότητα 19 Άσκηση αντιστοίχισης Να αντιστοιχίσετε τις προτάσεις των στηλών Α και Β. ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β Η συνάρτηση f Η συνάρτηση f 1. f '()=συν α) f()=e β) f()=g()+ c,. f '()=0, γ) f()== συν δ) f()=ημ+c 3. f '()=g'()+, ε) f()=ce 4. f '()=f() f(0)= στ) Η f ειναι σταθερη. Ερωτήσεις τύπου << Σωστό ή Λάθος >> Να εξετάσετε ποιοι από τους παρακάτω ισχυρισμούς είναι σωστοί (Σ) και ποιοι λανθασμένοι (Λ). i) Αν f () = 0 για κάθε, τότε η f είναι σταθερή στο Δ. a,, f ( ) c,,. ii) Αν f () = 0 για κάθε τότε iii) Αν f ()=0 για κάθε, διάστημα Δ =a,, τότε η f είναι σταθερή στο Δ. και η f είναι ορισμένη στο iv) Αν f '( ) g '( ) για κάθε εσωτερικό σημείο του διαστήματος Δ στο οποίο οι συναρτήσεις f και g είναι συνεχείς, τότε f g c, όπου c σταθερά. v) Αν f '( ) 0 για κάθε, τότε η f είναι σταθερή συνάρτηση στο. vi) Αν f '( ) για κάθε 1, τότε f ( ) c για κάθε 1. vii) Αν f '( ) f ( ) για κάθε, όπου Δ είναι ένα διάστημα, τότε υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε f ( ) ce,. 158

Ενότητα 19 Τεστ Θέμα 1 ο Η συνάρτηση f : είναι παραγωγίσιμη και ισχύει f '( ) e για κάθε. f(0)=3, να βρεθεί η τιμή f( 3 ). Θέμα ο Η συνάρτηση f : (0, ) είναι παραγωγίσιμη στο 0 1 f '(1)=1 f(y) =f(y)+yf() για κάθε, y>0. Να αποδείξετε ότι: f() i) f '()=1+ για καθε >0 ii) f()=ln, >0. Η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : ( 1) f ''( ) 4 f '( ) f ( ) 0 Θέμα 3 ο ικανοποιεί τη σχέση για κάθε i) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g( ) f ( ) ( 1) f '( ),, είναι σταθερή. ii) Αν η κλίση της C f στο σημείο Μ (1, ) είναι ίση με, να βρεθεί ο τύπος της f. Θέμα 4 ο Να βρεθεί η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : ( ) '( ) f f e για κάθε., αν f (0) 0 και 159

Ενότητα 0 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΥΡΕΣΗ ΠΛΗΘΟΥΣ ΡΙΖΩΝ ΕΞΙΣΩΣΗΣ Ασκήσεις για λύση 1). Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις συναρτήσεις: 3 3 i) f()= 3 1 ii) f()= 1 3 iii) f()=ln-+1 iv) f()=e ). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). Να μελετήσετε ως προς τη 1 μονοτονία τις συναρτήσεις: i ) f ii) f ' 3). Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις συναρτήσεις: 3 i) f()=5-1+9 ii) g()= 1 1 iii) h()=+1+ iv) φ()= +1 3 4). Να βρεθούν τα διαστήματα μονοτονίας των +ln i) f()= ii) g()=+ln( 1) -ln συναρτήσεων: iii) h()= (ln 3) (ln ) 1 iv) φ()=1-συν- 3, 0, 5). Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα 0,6 και η γραφική παράσταση της συνάρτησης f έχει τη μορφή του διπλανού σχήματος, να βρεθούν τα διαστήματα μονοτονίας της f. 6). Να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης 3 3 1 3 7). Δίνονται οι συναρτήσεις : 3 3 i) f()= 3 1 ii) g()= 6 3 Να μελετήσετε τις f και g ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών των εξισώσεων f 0 και g() = 0. 160

Ενότητα 0 8). Δίνεται η συνάρτηση f ( ), 0,. Να αποδείξετε ότι: π i) ημ-συν>0 για καθε 0,, ii) η f είναι γνησίως φθίνουσα. 9). Δίνεται η συνάρτηση f ( ) 3, 0, i) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία. ii) Να αποδείξετε ότι 3, 0,. 3 10). Δίνεται η συνάρτηση f ( ) 3( 1) 6(1 ) 1, λ. Να βρεθούν οι τιμές του λ, ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως αύξουσα. 11). Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f ( ) e 1 και g( ) έχουν ένα ακριβώς κοινό σημείο και κοινή εφαπτομένη στο σημείο αυτό. 1). Αν 0 < α < β, να αποδείξετε ότι ln ln ln. 13). Δίνεται η συνάρτηση f ( ) a, 0 < α < 1. i) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία. 4 ii) Να λύσετε την εξίσωση a ( 4) ( ). 14). Να λυθούν οι εξισώσεις: 4 5 3 i) 1 4 4 0 ii) 0 10 10 3 iii) e iv) ln(+1)=- 3 15). Αν η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα a, και ισχύουν f ( a) f ( ) 0 f ''() < 0 για κάθε a, ότι f () > 0 για κάθε a,. 16). Να μελετηθούν ως προς τη μονοτονία οι συναρτήσεις: + i) f()=+ +1 ii) f()= ( 6) ln 1 11 iii) f()=(+3) +3 ( ) 9 3 1-1 iv) f()= e 17). Να μελετηθούν ως προς τη μονοτονία οι συναρτήσεις: i) f()=(ln-1)( ) ( ) 5 ii) f ( ) e e( 1) e 18). Να βρεθούν οι τιμές του α, ώστε: i) η συνάρτηση, να αποδείξετε 3 f ( ) a 6 5 να είναι γνησίως αύξουσα στο. 3 ii) η συνάρτηση g( ) ( ) 3 9 4 να είναι γνησίως φθίνουσα στο. 161

Ενότητα 0 19). Να μελετηθούν ως προς τη μονοτονία οι συναρτήσεις: 4 i) f()=ln ii) g()=ln+ 0). Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα,7 με παράγωγο της οποίας η γραφική παράσταση C, f ' φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Να βρεθούν τα διαστήματα μονοτονίας της f. 1 3 4 5 6 7 1). Δίνεται η συνάρτηση f ( ) ln( 1), > -1. 1 i) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία την f και την f. ii) Να λύσετε την εξίσωση f () = 0. 4 3 ). Δίνεται η συνάρτηση f ( ) 3 4 1 4. i) Να βρεθούν τα διαστήματα μονοτονίας της f. ii) Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση f () = 0 έχει τέσσερις ακριβώς πραγματικές ρίζες, δύο αρνητικές και δύο θετικές. 3). Να βρείτε για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού α το πλήθος 3 των πραγματικών ριζών της εξίσωσης a 9 a 0. 4). Να λυθούν οι εξισώσεις: i) e 1 ii)e 1 ln( 1) 5). Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας των συναρτήσεων: ln ln i) f ( ) ii)f()= ln 1-6). Δίνονται οι συναρτήσεις f, g : f '()=g'()+(e 1) για κάθε. Να αποδείξετε ότι: i) η συνάρτηση h( ) f ( ) g( ),, είναι γνησίως αύξουσα, ii) αν f (0) g(0), τότε f ( ) g( ) για κάθε > 0. 1 7). Να αποδειχθεί ότι ( ) e 1 για κάθε. 8). Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα a, και f ''() > 0 για κάθε a,, τότε να αποδείξετε ότι f ( ) f ( a) f '( a)( a) για κάθε a,. 9). Να λυθούν οι εξισώσεις: i)3 4 5 ii)5 1 13 iii )3 43 36 iv)5 5 4 56 0 16

Ενότητα 0 3 30). Να αποδείξετε ότι e 1 για κάθε. 6 4 31). Να λυθεί η εξίσωση, > 0. 3 3). Να αποδειχθεί ότι 6 ln 3 6 1 για κάθε > 1. 3 3 33). Να λυθεί η ανίσωση (3 4 ) 5 5 3 4. 34). Δίνεται η συνάρτηση f ( ) ln( ) ln( ), 0,. i) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία. ii) Να λύσετε την εξίσωση ln( ) ln( ), (0,π).,, δύο φορές 35). Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα παραγωγίσιμη στο (α, β) και f ''( ) 0 για κάθε ( a, ). Να αποδείξετε ότι η f ( ) f ( a) συνάρτηση g( ) είναι γνησίως αύξουσα στο (α, β). a a a 36). Να αποδείξετε ότι για κάθε α, β > 0 ισχύει ln( a ) ( a ) ln. 37). Να αποδείξετε ότι για κάθε > 0 ισχύει: 3 i) e 1 ii) ln(+1)<- 3 5 3 4 iii) 0 10 10 iv) 4-1 4 38). Να αποδείξετε ότι για κάθε α, β > 0 με α > β ισχύει: a i) ln ii) ln a a ln 39). Δίνεται η συνάρτηση f ( ), >0. i) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία. e ii) Να αποδειχθεί ότι e. e iii) Να αποδειχθεί ότι e για κάθε > 0. iv) Να αποδειχθεί ότι α α+1 > (α + 1) α για κάθε α e. 40). Όταν η παράμετρος α διατρέχει το σύνολο, να βρεθεί το πλήθος των πραγματικών ριζών των εξισώσεων: 3 4 3 i) 15 4 a 0 ii) 3 4a a 0 41). Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία τις συναρτήσεις: 3 ) f()= 9 1 16, <1 i 3 7 84 0, 1 1( ) e, 0 ii) g( ) 3 9 1 4, >0 4). Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f, g : f '( ) g '( ) e για κάθε. Αν f(0) = g(0), να αποδείξετε ότι: i) οι C f και C g έχουν ακριβώς ένα κοινό σημείο, ii) οι C f και C g έχουν κοινή εφαπτομένη στο κοινό τους σημείο. 163

Ενότητα 0 43). Αν η συνάρτηση f : είναι παραγωγίσιμη με f(0) = 0 και η f είναι f ( ) γνησίως φθίνουσα, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g( ), >0, είναι γνησίως φθίνουσα. 44). Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων 3 3 f ( ) (6ln 1) και g()= 6 1 έχουν ένα μόνο κοινό σημείο. 0,1 με 45). Αν η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα f ''( ) 0 για κάθε 0,1 και f(0)=f(1)=0, για κάθε 0,1. να αποδείξετε ότι είναι f() < 0 a 46). Αν > 0 και α > 1, να λυθεί η εξίσωση a. 47). Να λυθεί η εξίσωση (1 )( 7) 6 6 (1 ln ), >0. 48). Να λυθεί η εξίσωση e ( 1 ln( 1)) 1. 49). Μια συνάρτηση f είναι τρεις φορές παραγωγίσιμη με f (1) f '(1) f ''(1) 0 και f '''()>0 για κάθε. i) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία. ii) Να αποδείξετε ότι οι εξισώσεις f '( ) 0 f()=0 έχουν μοναδική ρίζα. 50). Να βρεθούν οι τιμές του λ, ώστε η 3 συνάρτηση f ( ) ( 1) 9( ) 6( ) 1 να είναι γνησίως φθίνουσα. 51). Να λυθούν οι εξισώσεις: 3 i) 3 4 9 ii) 6 ln 3 6 1 5). Να λυθεί η εξίσωση e e 1 e e. ln( 1) 53). Δίνεται η συνάρτηση f ( ), >. ln i) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία. ii) Να αποδείξετε ότι ln( 1) ln( 1) ln, >. 54). Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί α και β με β 0. Να αποδειχθεί ότι a e a a. 55). Η συνάρτηση f : (0, ) είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και ικανοποιεί τη σχέση f ( f '( )) f ( ) 0 για κάθε > 0.Αν f(1) = 0, να αποδειχθεί ότι: i) f '( f '( )) για κάθε 0 ii) f()=ln, >0 56). Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : για την οποία ισχύουν f() f ( ) 1 e 1 f ( ) για κάθε. i) Να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή. ii) Να βρεθεί ο τύπος της f. 57). Να μελετηθούν ως προς τη μονοτονία οι συναρτήσεις: i) f ( ) ii)g()= ln( 1) e 1 164

Ενότητα 0 58). Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις, 0 -, -1< 0 f ( ) e 1 g()= ln(+1) 1, =0 1, =0 είναι γνησίως μονότονες. Ερωτήσεις Ασκήσεις κατανόησης Ερωτήσεις σύντομης απάντησης Να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις: i) Έστω f συνεχής συνάρτηση στο διάστημα Δ. Τι απαιτείται επιπλέον, ώστε η f να είναι γνησίως αύξουσα στο Δ; ii) Έστω f () < 0 για κάθε εσωτερικό σημείο ενός διαστήματος Δ, στο οποίο η f είναι συνεχής. Τι συμπεραίνετε για τη μονοτονία της f; iii) Έστω ότι η f είναι γνησίως αύξουσα και παραγωγίσιμη συνάρτηση στο. Τι συμπεραίνετε για την f ; iv) Ένας μαθητής βρήκε ότι f ()>0 για κάθε και συμπέρανε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. Είναι σωστός ο ισχυρισμός του; v) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση f ( ) ln, >0. vi) Αν α < 0, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f ( ) a είναι γνησίως φθίνουσα στο. Ασκήσεις συμπλήρωσης κενού Να συμπληρώσετε τα κενά με λέξεις ή μαθηματικά σύμβολα, ώστε να προκύψουν αληθείς μαθηματικές προτάσεις. i) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν.. σε κάθε σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν f () < 0 σε κάθε. σημείο του Δ, τότε η f είναι.. στο Δ. Τα παραπάνω συμπεράσματα δεν ισχύουν αν το Δ δεν είναι.., αλλά είναι τυχαίο, όπως για παράδειγμα ένωση διαστημάτων. ii) Η συνάρτηση f ( ) e είναι γνησίως. στο, διότι f '( )... f '()=... για κάθε. 3 iii) Η συνάρτηση f ( ) 3 1 είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα. και, ενώ είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα. iv) Αν η f είναι γνησίως φθίνουσα και παραγωγίσιμη στο διάστημα Δ, τότε για την παράγωγο f της f ισχύει ότι f ()=. για κάθε. Ασκήσεις πολλαπλής επιλογής 1. Αν f () > 0 για κάθε εσωτερικό σημείο ενός διαστήματος Δ, στο οποίο η f είναι συνεχής, τότε: Α. η f είναι σταθερή στο Δ. Β. f() =e, Δ. Γ. η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. 165

Ενότητα 0 Δ. η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ. Ε. η f είναι μονότονη στο Δ, αλλά όχι γνησίως μονότονη. Έστω f συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα Δ και f '( ) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ. Τότε η f είναι: Α. αύξουσα στο Δ Β. γνησίως φθίνουσα στο Δ Γ. σταθερή στο Δ Δ. άρτια στο Δ Ε. αρνητική στο Δ 3. Αν f ()>0 για κάθε 0, τότε: Α. η f είναι σταθερή Β. f() > 0 για κάθε 0 Γ. η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ. η f είναι γνησίως αύξουσα στο Ε. η f είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα (, 0) (0,+ ) 3 9 4. Η συνάρτηση f ( ) : 1 Α. είναι γνησίως αύξουσα Β. είναι γνησίως αύξουσα κατά διαστήματα Γ. είναι άρτια Δ. δεν έχει ρίζες Ε. πληρεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο διάστημα 1,1 5. Αν f '( ) 0 για κάθε Δ, όπου Δ είναι διάστημα, τότε: Α. η f είναι φθίνουσα Β. η εξίσωση f () = 0 έχει θετική ρίζα Γ. η C f τέμνει τον άξονα το πολύ μία φορά Δ. η εξίσωση f () = 0 είναι αδύνατη Ε. η εξίσωση f () = 0 έχει μία ακριβώς ρίζα 3 6. Αν η συνάρτηση f ( ) 4 6a 10 είναι γνησίως φθίνουσα μόνο στο διάστημα 0,3, τότε: Α. α = 1 Β. α < 0 Γ. α = 0 Δ. α = 5 Ε. α = 3 7. Η εξίσωση f () = 0, όπου f ( ) e 1 ln( 1) έχει μόνο μία ρίζα, τη = 0, διότι: Α. f (0) = 0 B. η f είναι γνησίως φθίνουσα Γ. η f είναι γνησίως αύξουσα Δ. η f είναι συνεχής και έχει σύνολο τιμών το Ε. f (0) = 0 και η f είναι γνησίως αύξουσα 3 8. Αν η συνάρτηση f ( ) a 3 1 είναι γνησίως αύξουσα στο, τότε: Α. α > 0 Β. α < 0 Γ. α = 1 Δ. α > 3 Ε. α 3 Ερωτήσεις τύπου «Σωστό η Λάθος» Να εξετάσετε ποιοι από τους παρακάτω ισχυρισμούς είναι σωστοί (Σ) και ποιοι λανθασμένοι (Λ). i) Αν f () > 0 για κάθε Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ. a, και f () < 0 για κάθε ii) Αν η f είναι συνεχής στο διάστημα a,, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο a,. 166

Ενότητα 0 iii) Για να είναι η f γνησίως μονότονη στο διάστημα a, αρκεί η f να διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (α, β), χωρίς να μας ενδιαφέρει ούτε η ύπαρξη παραγώγου στα α και β ούτε και το πρόσημο της, αν ορίζεται. iv) Αν f () > 0 για κάθε A, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α. v) Αν f () < 0 για κάθε σημείο του διαστήματος Δ, τότε η εξίσωση f() = 0 έχει το πολύ μία ρίζα στο Δ. vi) Αν f () > 0 για κάθε, τότε η f είναι 1 1. vii) Αν f () 0 για κάθε και η f είναι συνεχής στο, τότε η f είναι γνησίως μονότονη. viii) Αν f '( ) 0 για κάθε, τότε α < β f ( a) f ( ). i) Η εξίσωση e 1 έχει μοναδική ρίζα τη = 0. ) Αν η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (, a, γνησίως αύξουσα στο διάστημα a, f( )=0, τότε η = α είναι η μοναδική ρίζα της εξίσωσης f() = 0 και το 0 είναι το ελάχιστο της f. Τεστ 1 Θέμα 1 0 Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία της συνάρτησης: 3 1 3 4 i) f()= ii) g()= 1 3 Θέμα 0 Να λύσετε την εξίσωση e 1 0. Δίνεται η συνάρτηση αύξουσα στο, Να αποδείξετε ότι e Θέμα 3 0 3 a a f ( ) 3, όπου α. Αν η f είναι γνησίως 3 0,8. να αποδείξετε ότι α Θέμα 4 0 1 0 για κάθε 0. 167

Ενότητα 0 Δίνεται η συνάρτηση Τεστ Θέμα 1 0 3 f ( ) 3 6 6. i) Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία. ii) Να λυθεί η εξίσωση f() = 6. Θέμα 0 3 Δίνεται η συνάρτηση f ( ) ( 1) 3( a 1) 6 1,. Να βρεθούν οι τιμές του α, ώστε η f να είναι γνησίως αύξουσα. Θέμα 3 0 3 Να αποδειχθεί ότι για κάθε > 0 ισχύει 6 ln 6 3 3 1. Τεστ 3 Θέμα 1 0 Δίνεται η συνάρτηση ( ) f e e. i) Nα μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία. ii) Να αποδείξετε ότι η f έχει ελάχιστο. Θέμα 0 Δίνεται η συνάρτηση f ( ) e e e. i) Να βρεθούν τα διαστήματα μονοτονίας της f. ii) Να βρεθεί το σύνολο τιμών της f. Θέμα 3 0 Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί α και β με α > 0. Να αποδειχθεί ότι 1 ln a a e a 168