qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Transcript

1 qwφιertyuiopasdfghjklzερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzcvbn mqwertyuiopasdfghjklzcvbnφγιmλι ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj klzcvλοπbnαmqwertyuiopasdfghjklz Τάξη : Γ Λυκείου ΦΥΛΛΑΔΙΟ 7 : Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης cvbnmσγqwφertyuioσδφpγρaηsόρ ωυdfghjργklαzcvbnβφδγωmζqwert 39ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ λκοθξyuiύασφdfghjklzcvbnmqwerty uiopaβsdfghjklzcεrυtγyεuνiιoαpasdf ghjklzcηvbnασφδmqwertασδyuiopa sdfασδφγθμκcvυξσφbnmσφγqwθeξ τσδφrtyuφγςοιopaασδφsdfghjklzcv ασδφbnγμ,mqwertyuiopasdfgασργκο ϊτbnmqwertyσδφγuiopasσδφγdfghjk lzσδδγσφγcvbnmqwertyuioβκσλπp asdfghjklzcvbnmqwertyuiopasdγαε ορlzcvbnmqwertyuiopasdfghjkαεργ αεργαγρqwertyuiopasdfghjklzασδφ mοιηξηωχψφσuioψασεφγvbnmqwer tyuiopasdfghjklzcvbnmqwertyuiopσ

2 ln. α) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης f( ). β) Να δείξετε ότι για κάθε > ισχύει η σχέση ln. α. Έστω g()= α lnα + α, χ και f()=, 0, α>0, α lnα = 0 α) Να μελετήσετε την μονοτονία της g και να βρείτε το πρόσημο του g() για κάθε β) Να βρείτε την παράγωγο της f για κάθε 0 γ) Να μελετήσετε την μονοτονία της f. 3. Έστω f : R R, δύο φορές παραγωγίσιμη στο R με f ()<0 για κάθε R και f () lim α) Να βρείτε τις τιμές f(0) και f (0) β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία. 4. Έστω f παραγωγίσιμη συνάρτηση στο πεδίο ορισμού της [0,]. Αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο Α(0,) και f () για κάθε [0,], να αποδείξετε ότι : α) η συνάρτηση g() f () είναι γνησίως αύξουσα στο [0,] β) g() 0 για κάθε [0,] 5. Να δείξετε ότι : α) ln ln, <α<β β) ( ), (0,). γ), 0 0 δ), Δίνεται η συνάρτηση με τύπο f( ), α,β > 0 και α<β. α) Να μελετήσετε τη μονοτονία της f. β) Να βρείτε τις τιμές του αριθμού λ που ικανοποιούν τη σχέση ( 9 7 ) 7 [ 3 7 ( ) 7 ].

3 7. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β], δύο φορές παραγωγίσιμη στο (α,β) και f(α)=f(β), να αποδείξετε ότι, αν f ()<0 για κάθε (α,β), τότε f()>f(α) για κάθε (α,β). 8. Δίνεται η συνάρτηση g παραγωγίσιμη στο [α,β] τέτοια ώστε g () g() ln κάθε [α,β]. Να δείξετε ότι g(α) > g(β) α-β. 9. Δίνεται η συνάρτηση f, δύο φορές παραγωγίσιμη στο [,8] με f ()>0 για κάθε f (8) f () 8f () f (8) [,8]. Να δείξετε ότι f () για κάθε (,8). για 0. Να δείξετε ότι η εξίσωση e έχει μία μόνο ρίζα στο (-,0).. Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η εξίσωση έχει μία τουλάχιστον ρίζα. 8. Δίνεται η συνάρτηση f : R * R με f()= ln. α) Να δείξετε ότι ln για κάθε >0 β)να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. γ) Να βρείτε το πλήθος των διαφορετικών ριζών της εξίσωσης f()=α για όλες τις διαφορετικές τιμές του α. 3. Να λύσετε τις εξισώσεις : α) β) 4 3 γ) ln( ) δ) e e Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων 3 f () 3 (ln ) και g() 5. Για ποια τιμή της παραμέτρου λ με λ>0, το μέγιστο της f () γίνεται e ελάχιστο.. Δίνεται η συνάρτηση f, δύο φορές παραγωγίσιμη στο [α,β] η οποία δεν παρουσιάζει ολικά ακρότατα στα α, β. Να αποδείξετε ότι υπάρχει 0 (α,β) τέτοιο ώστε f (0)=0. 7. Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R με f () γνησίως αύξουσα στο R. Να δείξετε ότι f()<f(-)+f(+) για κάθε R. 8. Έστω f:r R, παραγωγίσιμη στο R με f συνεχή στο R και ισχύει f()+f( ) =0 για κάθε R και f () 0 για κάθε R. α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως μονότονη στο R β) Να δείξετε ότι η εξίσωση f()=0 έχει μοναδική ρίζα στο R 3

4 f () γ) Έστω η συνάρτηση g(). Να δείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής f () παράστασης Cg της g στο σημείο που αυτή τέμνει τον άξονα, σχηματίζει με αυτόν γωνία Έστω f : (0,+ ) R παραγωγίσιμη με f()=0 και f () f () >0. α) Να βρείτε τον τύπο της f β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία. e γ) Να δείξετε ότι e δ) Να λύσετε την ανίσωση Έστω f () α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f γ) Να δείξετε ότι η εξίσωση f()=0 έχει μοναδική ρίζα στο R. για κάθε. Έστω f : [,5] R, δύο φορές παραγωγίσιμη στο [,5] με f ()>0 για κάθε [,5] και f() = f(4) = 0. Να δείξετε ότι : α) Υπάρχει μοναδικό 0 (0,5) τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης Cf της f στο σημείο A 0,f ( 0 ) να είναι παράλληλη στον άξονα. β) Η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο 0 γ) Η εξίσωση ( 3)f () 5 0 έχει μία τουλάχιστον λύση στο (,5).. Έστω f : [0,+ ) R, παραγωγίσιμη στο [0,+ ) με f(0)=0 και <f ()<+ για κάθε >0 α) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις συναρτήσεις g() = f(), h() = f(), f() στο [0,+ ) β) Να βρείτε τα όρια lim f () f (), lim 4 γ) Να δείξετε ότι υπάρχει ξ (,) τέτοιο ώστε 3 f ( ). 3. Έστω f : R R, παραγωγίσιμη στο R με f() < f () < f(3) για κάθε R. α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R β) Να δείξετε ότι η εξίσωση f()=0 έχει ακριβώς μία ρίζα στο (,) γ) Να δείξετε ότι υπάρχουν, (,3) με < τέτοια ώστε f (3) f (). f ( ) f ( ) δ) Να βρείτε το lim f (). 4

5 f () 4. Έστω f : R R, παραγωγίσιμη στο R με f () για κάθε R και f(0)=. f () α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση g(), R είναι σταθερή β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f 5. Αν - ln για κάθε > 0. Να δείξετε ότι α=.. Δίνεται η συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R με e f () για κάθε R και f()=. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης Cf της f στο σημείο Α(, ). 7. Δίνεται η συνάρτηση () e -- ln( ) f, > -. α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο [0,+ ) και γνησίως φθίνουσα στο (-,0]. β) Να βρείτε τα ακρότατα της f. γ) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα. δ) Να δείξετε ότι ln( ) e για κάθε >-. ε) Αν ισχύει ln( ), για κάθε >-, να δείξετε ότι α = e. 8. Έστω f : R R, παραγωγίσιμη στο R με f()=4 και () 8 f για κάθε R. α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης Cf της f στο σημείο Α(,f()). f () β) Να βρείτε το όριο lim π γ) Να δείξετε ότι η εξίσωση f ( ) έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο [-4,]. f () 9. Έστω f : R R, παραγωγίσιμη στο R με f(0)=ln9 και f () 4( )e για κάθε R. α) Να βρείτε τον τύπο της f β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα γ) Να βρείτε τους αριθμούς, y R για τους οποίους ισχύει η σχέση f (ye y) f (3y 4) Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z - i, w i ώστε z w z w. α) Να βρείτε τον αριθμό α β) Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του Im(zw) με R και α>0 τέτοιοι 5

6 3. Έστω f : R R, φορές παραγωγίσιμη στο R με f() 3 για κάθε R και 4 3 f (5) f () 0 για κάθε R. Αν επιπλέον ισχύει ότι lim, να λύσετε την εξίσωση f () f () f (3) 3. Έστω f : R R, παραγωγίσιμη στο R τέτοια ώστε f () για κάθε R. α) Να δείξετε ότι f()=+f(3) β) Να δείξετε ότι η εξίσωση f () έχει τουλάχιστον τρεις διαφορετικές πραγματικές ρίζες. 33. Έστω f : [e,e ] R, δύο φορές παραγωγίσιμη τέτοια ώστε f(3)<f(e)<f(e )<f(7). Να δείξετε ότι : α) η εξίσωση f () 0 έχει δύο τουλάχιστον λύσεις στο (e,e ) β) η εξίσωση f () f () 0 έχει μία τουλάχιστον λύση στο (e,e ) 34. Έστω f()= 4 + λ, λ R. α) Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στα σημεία,, 3 R με < < 3. Να δείξετε ότι η ευθεία ΑΒ είναι κάθετη στην ευθεία ΒΓ όπου Α(, f()), B(,f()), Γ(3,f(3)). β) Αν 0<λ<, να δείξετε ότι η εξίσωση f()=0 έχει ακριβώς μία λύση στο (0,).