ΤΣΙΜΙΣΚΗ & ΚΑΡΟΛΟΥ ΝΤΗΛ ΓΩΝΙΑ THΛ : 7077 594 ΑΡΤΑΚΗΣ Κ. ΤΟΥΜΠΑ THΛ : 99 9494 www.syghrono.gr ΕΠΩΝΥΜΟ:........................ ΟΝΟΜΑ:........................... ΤΜΗΜΑ:........................... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:..................... Α Βαθ. Β Βαθ. Μ.Ο. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -0-07 Ενδεικτικές Λύσεις ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία A. Θεωρία Α. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ). α) Σ β) Λ γ) Λ δ) Λ ε) Σ ΘΕΜΑ Β Β. Δίνονται οι εξισώσεις ( ) ( ) ( ) λ λ x λ λ y λ 0 + + + + = και ( ) ( ) λx + λ y + λ + 4 = 0 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 8 ΣΕΛΙΔΕΣ
α. Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε η ( ) να παριστάνει ευθεία Το τριώνυμο Α = λ + λ έχει Δ = 9 και ρίζες λ = ± = ή λ = Το τριώνυμο Β = λ λ + έχει Δ = και ρίζες Για να είναι η εξίσωση ( ευθεία θα πρέπει λ λ = ± = ή λ = β. Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε η ( ) να παριστάνει ευθεία παράλληλη στον άξονα x'x Για να είναι η ευθεία ( παράλληλη στον άξονα x'x πρέπει Α = 0 λ = γ. Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε η ( ) να παριστάνει ευθεία η οποία να διέρχεται από την αρχή των αξόνων λ = = = λ = Γ 0 λ 0 ή Για να διέρχεται η ευθεία ( από την αρχή των αξόνων πρέπει λ = δ. Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε οι ( ) και ( ) να παριστάνουν παράλληλες ευθείες Έστω διάνυσμα α = ( λ λ+, λ λ+ ) το οποίο είναι παράλληλο στην ευθεία ( και διάνυσμα β = ( λ, λ) το οποίο είναι παράλληλο στην ευθεία () για να είναι οι ευθείες παράλληλες πρέπει ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 8 ΣΕΛΙΔΕΣ
d d d d λ λ + λ λ+ α //β det ( α,β) = 0 = 0 λ λ ( ) ( ) ( ) ( ) λ λ + λ λ λ+ λ = 0 λ + λ + λ = 0 0 λ = (απορρίπτεται) ή λ + λ+ = 0 η οποία έχει Δ = 9 και ρίζες λ = ± = ή λ = ε. Για λ = να βρεθεί η εξίσωση της μεσοπαράλληλης των ( ) και ( ) Όταν λ = έχουμε τις ευθείες ( ε : x + 6y = 0 x + y = 0 και ( ) ε : x + y + = 0 Ένα τυχαίο σημείο Α της ( ε είναι το σημείο Α ( 0,0 ) Ένα τυχαίο σημείο Β της ( ε ) : για x = 0 υπολογίζουμε y = άρα Β ( 0, xa + xb ya + yb Το μέσο του ΑΒ είναι το σημείο Μ, δηλαδή το σημείο Μ 0,. Αν η ζητούμενη μεσοπαράλληλος είναι η ευθεία ( ε ) : x + y + κ = 0 θα πρέπει να την επαληθεύει το σημείο Μ, άρα 0+ + κ = 0 κ = Και η ζητούμενη ευθεία είναι η ( ) ε : x + y + = 0 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 8 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΘΕΜΑ Γ Γ. Δίνονται οι ευθείες ( ε :y= μ x 6 και ( ) ( ) οποίες είναι κάθετες μεταξύ τους α. Να αποδείξετε ότι μ = ε : 4y = μ 4 x + 6 οι Έστω διάνυσμα α = (, μ ) και διάνυσμα β = ( 4,4 μ) το οποίο είναι παράλληλο στην ευθεία ( το οποίο είναι παράλληλο στην ευθεία () αφού οι ευθείες είναι κάθετες θα είναι α β α β = 0 4 4μ + μ = 0 μ = 0 μ = Άρα οι ευθείες έχουν εξισώσεις: ( ε :y= x 6 ε : 4y = x + 6 y = x + 4 ( ) ( ) β. Να βρείτε το σημείο τομής Α των ευθειών ( ε, ( ε ) Για να βρούμε το σημείο τομής των ευθειών επιλύουμε το σύστημα που σχηματίζεται από τις εξισώσεις των ευθειών: y = x 6 y = x + 4, σημείο τομής τους είναι το Γ ( 4, ) x 6 = x + 4 5x = 0 x = 4 τότε y = 8 6 = άρα το γ. Δίνεται επίσης η ευθεία ( ) ( ) σημείο A ( 4, ). Τότε: i. Να αποδείξετε ότι κ = 6 ε :y= κ 7 x+ κ η οποία διέρχεται από το ΤΕΛΟΣ 4 ΗΣ ΑΠΟ 8 ΣΕΛΙΔΕΣ
Το σημείο Α επαληθεύει την εξίσωση της ευθείας ( ε ) άρα = ( κ 7) 4 + κ 0 = 5κ κ = 6 ii. Να βρείτε την γωνία που σχηματίζει η ευθεία ( ε ) με τον άξονα x'x Η ευθεία ( ε ) έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = άρα, αν ω η γωνία που σχηματίζει με τον άξονα x'x θα είναι εφω = και ο ˆω = 5 Γ. Δίνεται η ευθεία ( ε ) :y= x+ και το σημείο Α (, ). Να βρεθεί ευθεία ( ζ ) που διέρχεται από το σημείο Α και σχηματίζει με την ευθεία ( ε ) οξεία γωνία ίση με π 6 Το διάνυσμα α = (, ) α = + = είναι παράλληλο στην ευθεία (ε) και έχει μέτρο Οι ευθείες που διέρχονται από το σημείο Α είναι οι ευθείες y = λ ( x ) και η κατακόρυφη x = Εξετάζουμε αν η κατακόρυφη ( ζ ) :x= αποτελεί λύση του προβλήματος Το διάνυσμα β = ( 0, β = 0+ = είναι παράλληλο στην ευθεία (ζ) και έχει μέτρο Υπολογίζουμε το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων α β = ( 0+ ( ( ) = α β Το συνημίτονο της γωνίας των ευθειών (ε) και (ζ) είναι συνφ = = άρα η α β γωνία είναι π 6 και η κατακόρυφη x =, αποτελεί λύση του προβλήματος ΤΕΛΟΣ 5 ΗΣ ΑΠΟ 8 ΣΕΛΙΔΕΣ
Τώρα θα αναζητήσουμε από τις ευθείες ( ζ ) : y = λ ( x ) λx y + λ = 0 αν υπάρχει ευθεία που να ικανοποιεί το πρόβλημα. β =, λ είναι παράλληλο στην ευθεία (ζ) και έχει μέτρο Το διάνυσμα ( ) β = + λ Υπολογίζουμε το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων α β = + λ = + λ ( ) ( ) ( ) ( ) Εφόσον η γωνία είναι π 6 θα ισχύει π α β + λ συν = = 6 α β λ + Η εξίσωση για να έχει νόημα, θα πρέπει + λ > 0 λ > + λ = + = + + λ λ λ λ + = λ + λ + λ = λ = δεκτή Και η ευθεία ( ) υψώνουμε στο τετράγωνο ζ γίνεται x y + = 0 x y + = 0 ΘΕΜΑ Δ Δ. Η ευθεία ( ε διέρχεται από το σημείο Κ (, ) και τέμνει τους άξονες x'x και y'y στα σημεία Α και Β αντίστοιχα, ώστε το σημείο Κ να είναι το μέσο του ΑΒ. Επιπλέον δίνονται τα σημεία Γ ( 5, και Δ ( μ 7,5 4μ) Δ είναι σημείο της ευθείας ( ε. Τότε: α. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της ευθείας ( ε είναι y = x + 6 ώστε το Εφόσον η ευθεία τέμνει τους άξονες δεν είναι ούτε κατακόρυφη ούτε οριζόντια Αναζητούμε την ευθεία y = λ ( x + με λ 0 Για να βρούμε σε ποιο σημείο τέμνει τον άξονα x'x θέτουμε y = 0 και έχουμε λ = λ ( x + x = άρα λ λ Α,0 λ ΤΕΛΟΣ 6 ΗΣ ΑΠΟ 8 ΣΕΛΙΔΕΣ
Για να βρούμε σε ποιο σημείο τέμνει τον άξονα y'y θέτουμε x = 0 και έχουμε = = + άρα B ( 0,l + ) y λ y λ λ + 0 λ = Και θα πρέπει να ισχύουν και λ = 0 + λ+ = Έτσι έχουμε την ευθεία ( ε : ( ) y = x + y = x + 6 β. Να αποδείξετε ότι μ = Το σημείο Δ επαληθεύει την εξίσωση της ( ε άρα 5 4μ = ( μ 7) + 6 0μ = 0 μ = γ. Να αποδείξετε ότι η μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος ΓΔ είναι η ευθεία ( ε ) : x y + = 0 Το σημείο Δ είναι το σημείο Δ (, ) 4 λγδ = = = 5 ( ) Η μεσοκάθετος θα έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = Το μέσο του ΓΔ είναι το σημείο 5 Μ, δηλαδή Μ ( 4, Και η εξίσωση της μεσοκαθέτου θα είναι y + = ( x + 4) y + = x + 4 x y + = 0 ΤΕΛΟΣ 7 ΗΣ ΑΠΟ 8 ΣΕΛΙΔΕΣ
δ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ Οι κορυφές του τριγώνου είναι τα σημεία Α (,0), Β ( 0,6 ), Γ ( 5, ΑΒ = (,6), ΑΓ (, 6 =, det AB, AΓ = = + 8 = 0 Και ( ) 0 ΑΒΓ = det AB,AΓ = = 0 τ.μ. ε. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Β από την ευθεία ( ε ) Η απόσταση του Β ( 0,6 ) από την ( ) 0 + 0 d B,ε = = = 5 + 4 5 Είναι ( ) ε : x y + = 0 ΤΕΛΟΣ 8 ΗΣ ΑΠΟ 8 ΣΕΛΙΔΕΣ