ΑΣΚΗΣΗ 1 Για την ολοκλήρωση ενός έργου απαιτείται η εκτέλεση ενός αριθμού δραστηριοτήτων. Οι δραστηριότητες αυτές, οι διάρκειές τους και οι περιορισμοί που υπάρχουν για την εκτέλεσή τους δίνονται στον πίνακα που ακολουθεί: ΑΜΕΣΩΣ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΗ ΔΙΑΡΚΕΙΑ (εβδομάδες) A -- 6 B -- 2 C A 3 D B 2 E C 4 F D 1 G E,F 1 H G 6 I H 3 J H 1 K I,J 1 Ζητούνται: (α) Να διαμορφωθεί το δίκτυο του έργου. (β) Να βρεθούν οι νωρίτεροι και βραδύτεροι χρόνοι των δραστηριοτήτων, τα αντίστοιχα χρονικά τους περιθώρια, ο χρόνος ολοκλήρωσής του έργου και η κρίσιμη διαδρομή. ΑΣΚΗΣΗ 2 Για την ολοκλήρωση ενός έργου απαιτείται η εκτέλεση ενός αριθμού δραστηριοτήτων. Οι δραστηριότητες αυτές, οι εκτιμήσεις της αισιόδοξης, πιθανότερης και απαισιόδοξης διάρκειάς τους (σε μήνες), καθώς επίσης και οι περιορισμοί που υπάρχουν για την εκτέλεσή τους δίνονται στον πίνακα που ακολουθεί: ΑΜΕΣΩΣ ΠΡΟΗΓ. ΑΙΣΙΟΔΟΞΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΕΡΟΣ ΑΠΑΙΣΙΟΔΟΞΟΣ A -- 2 3 4 B -- 8 11 14 C -- 10 12 14 D A 5 7 9 E B 3 4 11 F C 7 10 19 G C 7 8 12 H D, E, F 4 7 10 Ζητούνται: (α) Να διαμορφωθεί το δίκτυο του έργου. (β) Να βρεθούν οι νωρίτεροι και βραδύτεροι χρόνοι των δραστηριοτήτων, τα αντίστοιχα χρονικά τους περιθώρια, ο αναμενόμενος χρόνος ολοκλήρωσής του έργου και η κρίσιμη διαδρομή. (γ) Ποια είναι η κατανομή του 1
χρόνου ολοκλήρωσης του έργου; (δ) Ποια είναι η πιθανότητα το έργο αυτό να ολοκληρωθεί σε 35 ή 27 μήνες; (ε) Ποια είναι η αναμενόμενη διάρκεια του έργου με πιθανότητα 80%, 95% και 99%; ΑΣΚΗΣΗ 3 Δίνεται το ακόλουθο δίκτυο αναπαράστασης ενός έργου: A 5 G 3 Start B 4 D 4 F 10 I 5 Finish C 8 E 12 H 0 (α) Παραθέστε πίνακα του οποίου γραμμές θα είναι οι εννέα (9) δραστηριότητες του έργου και στήλες ο ενωρίτερος χρόνος έναρξης, ο ενωρίτερος χρόνος λήξης, ο βραδύτερος χρόνος έναρξης και ο βραδύτερος χρόνος λήξης εκάστης εξ αυτών. Υποδείξτε την κρίσιμη διαδρομή και υπολογίστε τον (ελάχιστο) χρόνο ολοκλήρωσης του έργου. (β) Στη συνέχεια υποθέστε ότι ο χρόνος που υπολογίσατε προηγουμένως είναι ο αναμενόμενος χρόνος ολοκλήρωσης του έργου. Σε μια τέτοια περίπτωση, η πιθανότητα να τελειώσει το έργο σε λιγότερο από 25 εβδομάδες είναι μεγαλύτερη ή μικρότερη του 0.5; ΑΣΚΗΣΗ 4 Το ταξιδιωτικό πρακτορείο Universal Travel προσπαθεί να σχεδιάσει τη μετακόμιση των κεντρικών του γραφείων από την Αθήνα στην Κέρκυρα. Ο πίνακας που ακολουθεί περιέχει τις λεπτομέρειες των βημάτων που πρέπει να γίνουν (ο χρόνος είναι σε εβδομάδες). ΑΜΕΣΩΣ ΠΡΟΗΓ. ΔΙΑΡΚΕΙΑ A. Εύρεση χώρου νέων γραφείων --- 12 B. Ανακαίνιση νέων γραφείων A 10 C. Απόφαση για τα μέλη του προσωπικού που θα μετακινηθούν --- 2 D. Πρόσληψη νέου προσωπικού C 6 E. Πακετάρισμα στην Αθήνα A, C 2 F. Μεταφορά μηχανημάτων B 3 G. Μεταφορά αρχειακού υλικού B, E 2 H. Εγκατάσταση μηχανημάτων και αρχειακού υλικού στην Κέρκυρα F, G 4 I. Εγκαίνια νέων γραφείων στην Κέρκυρα D, H 6 2
1. Διαμορφώστε το δίκτυο αναπαράστασης του έργου. 2. Παραθέστε πίνακα του οποίου γραμμές θα είναι οι εννέα (9) δραστηριότητες του έργου και στήλες ο ενωρίτερος χρόνος έναρξης, ο ενωρίτερος χρόνος λήξης, ο βραδύτερος χρόνος έναρξης και ο βραδύτερος χρόνος λήξης εκάστης εξ αυτών. Υποδείξτε την κρίσιμη διαδρομή και υπολογίστε τον (ελάχιστο) χρόνο ολοκλήρωσης του έργου. 3. Υποθέστε ότι η Universal Travel θα πρέπει να πληρώσει 5000 για τα γραφεία σε Αθήνα και Κέρκυρα εάν η μετακόμιση δεν ολοκληρωθεί σε χρόνο μικρότερο των 35 εβδομάδων. Το πρακτορείο εξετάζει τις εξής δύο προτάσεις προκειμένου να μην χάσει την προθεσμία: a. Να καταβάλει 1000 προκειμένου να προσλάβει επιπλέον εργατικό δυναμικό που θα ασχοληθεί με τη μεταφορά του αρχειακού υλικού. Κάτι τέτοιο θα μειώσει τον αντίστοιχο χρόνο στο μισό. b. Να καταβάλει 1000 προκειμένου να προσλάβει επιπλέον εργατικό δυναμικό που θα ασχοληθεί με τη μεταφορά των μηχανημάτων. Κάτι τέτοιο θα μειώσει τον αντίστοιχο χρόνο κατά 1 εβδομάδα. Η Universal Travel μπορεί να επιλέξει μία μόνον από τις ανωτέρω προτάσεις ή και τις δύο. Τι θα τη συμβουλεύατε; 3
ΑΣΚΗΣΗ 1 A C E I 6 3 4 3 START G H K 1 6 1 FINISH B D F J 2 2 1 1 ΕΝΩΡΙΤΕΡΟΣ ΒΡΑΔΥΤΕΡΟΣ ΧΡΟΝΙΚΟ ΠΕΡΙΘΩΡΙΟ ΕΝΑΡΞΗΣ ΛΗΞΗΣ ΕΝΑΡΞΗΣ ΛΗΞΗΣ A 0 6 0 6 0 B 0 2 8 10 8 C 6 9 6 9 0 D 2 4 10 12 8 E 9 13 9 13 0 F 4 5 12 13 8 G 13 14 13 14 0 H 14 20 14 20 0 I 20 23 20 23 0 J 20 21 22 23 2 K 23 24 23 24 0 Κρίσιμη διαδρομή: A C E G H I K Χρόνος ολοκλήρωσης του έργου: 24 εβδομάδες 4
ΑΣΚΗΣΗ 2 ΑΙΣΙΟΔΟΞΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΕΡΟΣ ΑΠΑΙΣΙΟΔΟΞΟΣ ΑΝΑΜΕΝΟΜΕΝΗ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ A 2 3 4 3 0.11 B 8 11 14 11 1 C 10 12 14 12 0.44 D 5 7 9 7 0.44 E 3 4 11 5 1.78 F 7 10 19 11 4 G 7 8 12 8.5 0.69 H 4 7 10 7 1 A 0 3 D 3 10 3 13 16 9 16 23 START B 0 11 E 11 16 H 23 30 11 7 18 5 18 23 7 23 30 FINISH C 0 12 F 12 23 12 0 12 11 12 29 G 12 20.5 8.521.5 30 5
ΧΡΟΝΙΚΟ ΠΕΡΙΘΩΡΙΟ A 13 B 7 C 0 D 13 E 7 F 0 G 9.5 H 0 Κρίσιμη διαδρομή: C F H Αναμενόμενος χρόνος ολοκλήρωσης του έργου: 30 μήνες Η τ.μ. Χ = Χρόνος Ολοκλήρωσης του Έργου ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέση τιμή μ = μ C + μ F + μ H = 12 + 11 + 7 = 30 και διακύμανση σ 2 = σ 2 C + σ 2 F + σ 2 H = 0.44 + 4 + 1 = 5.44 = 2.33 2. X-30 35-30 Prob( X 35) = Prob = Prob( Z 2.14) = 0.9838, Prob( X 27) = 0.0985 2.33 2.33 X-30 a-30 a-30 Prob( X a) = 0.80 Prob = 0.80 = 0.85 a = 31.98 2.33 2.33 2.33 ( ) Prob X b = 0.95 b = 33.83 Prob( X c) = 0.99 c = 35.43 6
7
ΑΣΚΗΣΗ 3 ΑΜΕΣΩΣ ΠΡΟΗΓ. ΕΝΩΡΙΤΕΡΟΣ ΒΡΑΔΥΤΕΡΟΣ ΧΡΟΝΙΚΟ ΠΕΡΙΘΩΡΙΟ ΕΝΑΡΞΗΣ ΛΗΞΗΣ ΕΝΑΡΞΗΣ ΛΗΞΗΣ A -- 0 5 0 5 0 B -- 0 4 1 5 1 C -- 0 8 2 10 2 D Α, Β 5 9 5 9 0 E Β, C 8 20 10 22 2 F B, D 9 19 9 19 0 G A, F 19 22 19 22 0 H E, F 20 20 22 22 2 I F, G, H 22 27 22 27 0 Κρίσιμη διαδρομή: A D F G I, ή A D F I, ή A G I Χρόνος ολοκλήρωσης του έργου: 27 εβδομάδες. Στην περίπτωση που οι χρόνοι υλοποίησης κάθε δραστηριότητας ήταν αναμενόμενοι, η πιθανότητα να τελειώσει το έργο σε λιγότερο από 25 εβδομάδες είναι μικρότερη του 0.5, τιμή στην οποία αντιστοιχεί η μέση τιμή των 27 εβδομάδων. 8
ΑΣΚΗΣΗ 4 A B F H 12 10 3 4 START E G I 2 2 6 FINISH C D 2 6 ΕΝΩΡΙΤΕΡΟΣ ΒΡΑΔΥΤΕΡΟΣ ΧΡΟΝΙΚΟ ΠΕΡΙΘΩΡΙΟ ΕΝΑΡΞΗΣ ΛΗΞΗΣ ΕΝΑΡΞΗΣ ΛΗΞΗΣ A 0 12 0 12 0 B 12 22 12 22 0 C 0 2 19 21 19 D 2 8 23 29 21 E 12 14 21 23 9 F 22 25 22 25 0 G 22 24 23 25 1 H 25 29 25 29 0 I 29 35 29 35 0 Κρίσιμη διαδρομή: A B F H I Χρόνος ολοκλήρωσης του έργου: 35 εβδομάδες. 9
1η επιλογή (με κόστος 1000): ΟΧΙ, η G δεν είναι στο κρίσιμο μονοπάτι 2η επιλογή (με κόστος 1000): συνολική διάρκεια 34 εβδομάδες με κρίσιμη διαδρομή την A B F G H I ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΝΩΡΙΤΕΡΟΣ ΒΡΑΔΥΤΕΡΟΣ ΧΡΟΝΙΚΟ ΠΕΡΙΘΩΡΙΟ ΕΝΑΡΞΗΣ ΛΗΞΗΣ ΕΝΑΡΞΗΣ ΛΗΞΗΣ A 12 0 12 0 12 0 B 10 12 22 12 22 0 C 2 0 2 18 20 18 D 6 2 8 22 28 20 E 2 12 14 20 22 8 F 2 22 24 22 24 0 G 2 22 24 22 24 0 H 4 24 28 24 28 0 I 6 28 34 28 34 0 Επειδή η G είναι τώρα στο κρίσιμο μονοπάτι, έχει νόημα να διερευνήσουμε την 3η επιλογή (με κόστος 2000, ταυτόχρονα και οι δύο προτάσεις): συνολική διάρκεια 34 εβδομάδες με κρίσιμη διαδρομή την A B F H I ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΝΩΡΙΤΕΡΟΣ ΒΡΑΔΥΤΕΡΟΣ ΧΡΟΝΙΚΟ ΠΕΡΙΘΩΡΙΟ ΕΝΑΡΞΗΣ ΛΗΞΗΣ ΕΝΑΡΞΗΣ ΛΗΞΗΣ A 12 0 12 0 12 0 B 10 12 22 12 22 0 C 2 0 2 19 21 19 D 6 2 8 22 28 20 E 2 12 14 21 23 9 F 2 22 24 22 24 0 G 1 22 23 23 24 1 H 4 24 28 24 28 0 I 6 28 34 28 34 0 Συνεπώς, πιο συμφέρουσα είναι η 2η επιλογή. Η Universal Travel πρέπει να καταβάλει 1000 προκειμένου να προσλάβει επιπλέον εργατικό δυναμικό που θα ασχοληθεί με τη μεταφορά των μηχανημάτων. Υπάρχει κι άλλο μονοπάτι χωρίς την G, το A B F H I 10