ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Η

ΜΑΘΗΜΑ.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Η έοι του τοικού κρόττου Προσδιορισµός τω τοικώ κρόττω Θεώρηµ Frmat Θεωρί Σχόλι Μέθοδοι Ασκήσεις Frmat Αισώσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Μι συάρτηση µε εδίο ορισµού Α, θ λέµε ότι ρουσιάζει στο µέγιστο, ότ υάρχει δ >, τέτοιο ώστε () ( ) γι κάθε Α ( δ, + δ) Α τοικό. Ορισµός Μι συάρτηση µε εδίο ορισµού Α, θ λέµε ότι ρουσιάζει στο ελάχιστο, ότ υάρχει δ >, τέτοιο ώστε () ( ) γι κάθε Α ( δ, + δ) Α τοικό. Πρτήρηση Στο τοικό κρόττο συάρτησης λειτουργού δύο ριθµοί : ) ο, ου κθορίζει τη θέση του τ. κρόττου (ως ρος το ριστερά δεξιά) β) ο ( ), ου κθορίζει το όσο άω ή κάτω συµβίει το τ. κρόττο. 4. Θεώρηµ Frmat Έστω συάρτηση ορισµέη σ έ διάστηµ κι εσωτερικό σηµείο του. Α η ρουσιάζει τοικό κρόττο στο κι είι ργωγίσιµη σ υτό, τότε ( ) =

ΣΧΟΛΙΑ - ΜΕΘΟ ΟΙ. Το Θ. Frmat γρφικά Συµέρσµ : η εφτοµέη της C στο σηµείο Κ(, ( )) είι y K. Σηµτική συέει του Θ. Frmat Αό ισότητ συµερίει ισότητ. O. Πρτήρηση Μι συάρτηση µορεί ρουσιάζει τοικό κρόττο σε κάοι θέση, χωρίς είι ργωγίσιµη στο. y O 4. Το θεώρηµ της σελίδς 6 του σχ. βιβλίου γρφικά ργωγίσιµη στο (, ) (, β) κι συεχής στο () + () ց ր τ. ελάχιστο β () + () ր ց τ. µέγιστο β 5. Πιθά κρόττ σε διάστηµ : ) τ εσωτερικά σηµεί του, στ οοί η ράγωγος είι µηδέ β) τ εσωτερικά σηµεί του, στ οοί η συάρτηση δε ργωγίζετι γ) τ άκρ του, εφ όσο βέβι ήκου στο εδίο ορισµού.

6. Γι βρούµε τ τοικά κρόττ : ) ιθά κρόττ β) µοοτοί γ) ίκ µετβολώ 7. Μέθοδος Γι οδείξουµε ότι µι ργωγίσιµη συάρτηση σε διάστηµ δε έχει κρόττ, άµε µε άτοο κι. Frmat.

4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Θεωρούµε τη συάρτηση () = + β + γ +, όου, β, γ R. Ν υολογίσετε τ, β, γ ώστε η ρουσιάζει τοικά κρόττ στ = κι =, κι η εφτοµέη της C στο σηµείο (, ()) έχει συτελεστή διεύθυσης λ =. D = R κι ργωγίσιµη, σ ολυωυµική. () = + β + γ Τοικό κρόττο στο = () = (ό Frmat) + β + γ = + 4β + γ = () Τοικό κρόττο στο = () = (ό Frmat) λ =. () = + β + γ = + β + γ = () + β + γ = 7 + 6β + γ = () Λύουµε το σύστηµ τω (), (), () κι βρίσκουµε =, β = 5, γ = 6 Οότε () = + 5 6 + Ελέγχουµε η () = + 5 6 + ου βρήκµε, ικοοιεί τις ροϋοθέσεις του ροβλήµτος. Είι () = 6 + 6 = 6( 5 + 6) Πρόσηµο της, µοοτοί κι κρόττ της + () + () ց ր ց τ. ελ. τ. µέγ

5. Ν οδείξετε ότι η συάρτηση () = κρόττο γι κάθε R. D = R κι ργωγίσιµη, σ ολυωυµική. () = + ( ) + ( + ) = 4( ) 4. ( + ) = 4( 4 + 4) 4( + 6) = 4( 4 + 4 + 6) = 4( ) = 4( + + ) Α η είχε κρόττο στη θέση + ( ) + ( + ) δε έχει δ = 4 = 6 = 5 < ( ) =, ου είι άτοο ό τη (). Άρ το τριώυµο + + είι οµόσηµο του, δηλδή θετικό γι κάθε R, άρ < άρ το τριώυµο ()δε έχει ρίζες, δηλδή () γι κάθε R. (), κτά το Θεώρηµ Frmat θ ήτ

6. Έστω η συάρτηση () = µ µε µ >. i) Ν µελετήσετε τη ως ρος τη µοοτοί κι τ κρόττ. ii) Γι οι τιµή του µ το ελάχιστο της ίρει τη µέγιστη τιµή του; i) D = R κι ργωγίσιµη στο R. () = ( µ ) () = µ (µ) = µ µ () = µ µ = µ = µ ln µ = ln µ µ = lnµ = () >... > lnµ µ lnµ µ µ lnµ µ + () + () ց ελάχιστο ր ii) lnµ µ = lnµ µ µ + lnµ µ = = = = ln µ + lnµ µ lnµ + lnµ µ µ + lnµ µ µ + lnµ µ = + lnµ µ Θεωρούµε τη συάρτηση g(µ) = + lnµ µε µ >, της οοίς ζητάµε το µ µέγιστο. µ lnµ (+ ln µ ) µ (+ ln µ ) µ lnµ g (µ) = = = µ µ µ lnµ g (µ) > > lnµ < µ < µ

7 Πρόσηµο της g κι µοοτοί της g µ + g (µ) + g (µ) ր ց µέγιστο γι µ = 4. Α < κι γι κάθε R ισχύει Γι κάθε R ισχύει + () +, οδείξετε ότι =. Αό ισότητ σε ισότητ, υοψιζόµστε Frmat Θεωρούµε τη συάρτηση () = () =, R = = Η () γίετι () () γι κάθε R. Άρ, η ρουσιάζει κρόττο (ελάχιστο) στη θέση =. Κτά Frmat () = Αλλά () = ( ) = ln, οότε () = = ln ln = Θέτουµε κτάλληλη τιµή στο, ώστε ροκύψει το ο µέλος της () ln =

8 5. Α < κι γι κάθε > ισχύει Γι κάθε > ισχύει (), οδείξετε ότι =. Αό ισότητ σε ισότητ, υοψιζόµστε Frmat Θεωρούµε τη συάρτηση () = Η () γίετι () =, > = () () γι κάθε (, + ) Άρ, η ρουσιάζει κρόττο (ελάχιστο) στη θέση =. Θέτουµε κτάλληλη τιµή στο, ώστε ροκύψει το ο µέλος της () Κτά Frmat () = Αλλά () = ( ) = ln, οότε () = = = ln ln ln = ln =

9 6. Α (, ) κι γι κάθε R ισχύει ( 4ηµ ) + ( συ), ροσδιορίσετε το. Γι κάθε R ισχύει ( 4ηµ ) + ( συ) ( ) 4ηµ + ( Θεωρούµε τη συάρτηση () = ( ) () = ( ) 4ηµ + ( ) συ = + = ) συ () 4ηµ + ( συ ), R. Η () γίετι () () γι κάθε R. Άρ, η ρουσιάζει κρόττο (ελάχιστο) στη θέση =. Κτά Frmat () = Αλλά () = ( 4ηµ) ln(4ηµ) + ( συ) ln(συ), οότε () = ( ) 4ηµ ln(4ηµ) + ( ) συ ln(συ) = ln(4ηµ) + ln(συ) = = ln(4ηµ συ) = ln(4ηµ συ) 4ηµ συ = ηµ = Αό ισότητ σε ισότητ, υοψιζόµστε Frmat Θέτουµε κτάλληλη τιµή στο, ώστε ροκύψει το ο µέλος της () ηµ = = κ + ή = κ + 5 6 6 = κ + ή = κ + 5, κ Z = ή = 5, φού ( )

7. Οι, β, γ είι στθεροί ργµτικοί ριθµοί κι γι κάθε R ισχύει ηµ ηµβ + ηµγ. Ν οδείξετε ότι = β + γ. Γι κάθε R ισχύει ηµ ηµβ + ηµγ ηµ ηµβ ηµγ Θεωρούµε τη συάρτηση () = ηµ ηµβ ηµγ, R () = ηµ ηµ ηµ = () Η () γίετι () () γι κάθε R. Άρ, η ρουσιάζει κρόττο (µέγιστο) στη θέση =. Κτά Frmat () = Αλλά () = (ηµ ηµβ ηµγ) = συ βσυβ γσυγ οότε Αό ισότητ σε ισότητ, υοψιζόµστε Frmat () = συ βσυ γσυ = β γ = β + γ 8. Α > κι γι κάθε > ισχύει ln +, ροσδιορίσετε το. Γι κάθε > ισχύει ln + ln + () Θεωρούµε τη συάρτηση () = ln +, > () = ln + = Η () γίετι () () γι κάθε > Άρ, η ρουσιάζει κρόττο (ελάχιστο) στη θέση =. Κτά Frmat () = Αλλά () = (ln + ) = ln + οότε () = ln + = + = Αό ισότητ σε ισότητ, υοψιζόµστε Frmat

9. Α,,..., κάθε R ισχύει... =. είι θετικοί ριθµοί κι διφορετικοί του κι γι + Γι κάθε R ισχύει +... + + Θεωρούµε τη συάρτηση () = () =, όου N, οδείξετε ότι +... + + + Αό ισότητ σε ισότητ, υοψιζόµστε Frmat () +... + +... +, = + +... + = Η () γίετι () () γι κάθε R Άρ, η ρουσιάζει κρόττο (ελάχιστο) στη θέση =. Κτά Frmat () = R Αλλά () = ( + οότε () = = ln + ln + +... + ) ln +... + ln +... + = ln + ln +... + ln = ln(...... = ) ln ln. Α η συάρτηση είι ργωγίσιµη στο R κι γι κάθε R ισχύει () + + ηµ, οδείξετε ότι () =. Γι κάθε R ισχύει () + Θεωρούµε τη συάρτηση Η () γίετι () + + ηµ ηµ () g() = () + ηµ g() = () + ηµ g() = g() g(), γι κάθε R Άρ, η g ρουσιάζει κρόττο (µέγιστο) στη θέση =. Κτά Frmat g () = Αλλά g () = ( () + ηµ ) = () + () συ Αό ισότητ σε ισότητ, υοψιζόµστε Frmat οότε g () = () + () συ = () + = () ργωγίσιµη στο R Θέτουµε κτάλληλη τιµή στο, ώστε ροκύψει το ο µέλος της ()

. Έστω ργωγίσιµη συάρτηση ώστε γι κάθε (, + ) ισχύει () ln + + κι () = +. Ν οδείξετε ότι () = + Γι κάθε (, + ) ισχύει () Θεωρούµε τη συάρτηση Η () γίετι ln + () ln + () g() = () ln, (, + ) g() = () ln g() = + g() = g() g(), γι κάθε (, + ) Άρ, η g ρουσιάζει κρόττο (µέγιστο) στη θέση Κτά Frmat g () = Αλλά g () = (() = () ln ) =., οότε g () = () = () + 4 = () () = + Θέτουµε = φού γωρίζουµε τη τιµή ()

. Η συάρτηση είι ργωγίσιµη στο διάστηµ (, + ) µε ( ) () ηµ συ + γι κάθε >. Ν οδείξετε ότι ( ) Γι κάθε > είι () ηµ () ηµ συ + συ () Θεωρούµε τη συάρτηση g() = () ηµ συ, > g ( ) = ( ) ηµ συ g ( ) = + g ( ) = Η () γίετι g() g ( ), γι κάθε > Άρ, η g ρουσιάζει κρόττο (ελάχιστο) στη θέση = = g = (() ηµ συ ) Κτά Frmat g ( ) Αλλά ( ) = () συ + συ ηµ συ + συ ηµ = οότε g ( ) = ( ) = ( ) + ( ) = + κι = Θέτουµε = φού γωρίζουµε τη τιµή ( )

4. Η συάρτηση είι ργωγίσιµη στο R µε () > κι () + () ( + ) + ηµ γι κάθε R. Α, εί λέο, η είι συεχής στο R, οδείξετε ότι σε κάοιο διάστηµ ου εριέχει το, η είι γησίως ύξουσ. Γι κάθε R είι Θεωρούµε τη συάρτηση () + () ( + ) + ηµ () + () ( + ) ηµ () Βοηθητική συάρτηση g() = () + () ( + ) ηµ, R g() = () + () ( + ) ηµ g() = Η () γίετι g() g(), γι κάθε R. Άρ, η g ρουσιάζει κρόττο (µέγιστο) στη θέση =. Κτά Frmat g ( ) =. Αλλά g ( ) = (() + () ( + ) ηµ ) = () + () ( + ) ηµ συ οότε g ( ) = () + () ( + ) = () () () = () > συεχής στο R συεχής κι στο = lim () = () > () > κοτά στο = () > στο (, ) (, β) κι εειδή () >, θ είι () > στο (, β) Άρ γησίως ύξουσ στο διάστηµ (, β), το οοίο εριέχει το.

5 4. Έστω ργωγίσιµη συάρτηση : R R τέτοι, ώστε [() ] + = + () γι κάθε R. Ν οδείξετε ότι η δε έχει τοικό κρόττο. Έστω ότι η έχει τοικό κρόττο στη θέση Αό Frmat θ είι ( ) = (). Στις ρήσεις ειχειρούµε «άτοο γωγή» Η υόθεση [() ] + [[() ] + = + () ] = [ + ()] () () + = + (() + ()) () () + = () + () γι = ίρουµε ( ) ( ) + = ( ) + ( ) ( ) + = ( ) + = ( ) () () Η υόθεση [() ] + = + () γι = δίει [( ) ] + = + ( ) () + = + = + = ου είι άτοο.

6 5. Έστω ργωγίσιµη συάρτηση : R R τέτοι, ώστε [()] + = () γι κάθε R. Α το () είι τοικό κρόττο της, οδείξετε ότι =. Αό Frmat θ είι () = () Η υόθεση [() ] + [[() ] + = () ] = [() ] [() ] () + = (() + ()) [() ] () + = () + () γι = ίρουµε [() ] () + = () + () () [() ] + = () + = () () Η υόθεση [() ] + [() ] + = () = () γι = δίει () 6 + = 6 + = 6 + = ( ) = = = =

7 6. ίετι σηµείο Κ(, β) κι συάρτηση ργωγίσιµη στο οιχτό διάστηµ µε () γι κάθε. Α η όστση (ΚΜ) του Κ ό το τυχίο σηµείο Μ της C έχει ελάχιστο (ΚΜ ), όου Μ C, οδείξετε ότι η ευθεί ΚΜ είι κάθετη στη εφτοµέη ε της C στο σηµείο Μ. Έστω Μ(, ()) το τυχίο σηµείο της (ΚΜ ) = ( ) + (() β ). Θεωρούµε τη συάρτηση C. γ M ε Μ g() = ( ) + (() β ),, η οοί είι ργωγίσιµη στο κι O K ρουσιάζει ελάχιστο g( ) = (ΚΜ ). Αό το Θ. Frmat θ έχουµε g ( ) =. Αλλά g () = ( ) + (() β) () g ( ) = ( ) + (( ) β) ( ) = ( ) + (( ) β) ( ) = ( ) + (( ) β) ( ) () Αρκεί οδείξουµε ότι λε λ ΚΜ = ( ) ( ) β = ( )(( ) β) = ( ) ( ) + ( ) (( ) β) = ου ισχύει ό τη ()

8 7. Έστω η συάρτηση () = κι η διχοτόµος (δ) της ρώτης τρίτης γωίς τω ξόω. Ν βρείτε εκείο το σηµείο της C το οοίο έχει τη µικρότερη όστση ό τη ευθεί (δ) κι όση είι υτή η όστση. Έστω Μ(, ) το τυχίο σηµείο της (ΜΚ) η όστσή του ό τη (δ). C κι Η εξίσωση της (δ) είι y = + y =. Άρ (MK) = + + = Αζητάµε το ελάχιστο της οσότητς y M O M K k (δ) Θεωρούµε τη συάρτηση g() = g () = = g () =, R = = Πρόσηµο της g, µοοτοί της g κι κρόττ + g () + g () ց ր ολ. ελάχ Πρέει λλγούµε ό το όλυτο Άρ g () g () = = > Έτσι, ζητάµε το ελάχιστο της g() = =., το οοίο βρήκµε ίσο κι συµβίει γι =.Άρ το ζητούµεο σηµείο της C είι το Μ (, ) = Μ (, ) κι η όστσή του ό τη (δ) είι ( Μ K ) = = =

9 8. Ν ροσδιορίσετε ορθογώιο ρλληλόγρµµο του οοίου οι δύο κορυφές ήκου στο άξο κι οι άλλες δύο στη γρφική ράστση της συάρτησης () = + 9, έτσι ώστε το εµβδό του είι µέγιστο. Έστω ΑΒΓ το τυχίο ορθογώιο κι (ΟΑ) =. Οι ρίζες της εξίσωσης () = είι κι 9. Άρ (ΟΣ) = 9 Α = C y = + 9 Γ y Γ = y = + 9 Γ C y Γ = ( Γ ) + 9 = Γ Γ + 9 Γ = 9 Γ 9 ( Γ )( Γ + ) = 9( Γ ) y Ο Α Β Γ Σ Γ + = 9 Γ = 9 = Β (ΑΒ) = (ΟΒ) (ΟΑ) = 9 = 9 (ΑΒΓ ) = (ΑΒ) (Α ) = (9 )( + 9) = 9 + 8 + 8 = 7 + 8 Θεωρούµε τη συάρτηση g() = 7 + 8, <.< 9 g () = 6 54 + 8 g () = ( 8 + 7) Πρόσηµο της g κι µοοτοί της g Εοµέως, το ορθογώιο έχει το µέγιστο εµβδό ότ η κορυφή Α έχει τετµηµέη 9 9 g () + g () ր ց µέγιστο 9

9. Γι κάθε κι y οδείξετε ότι 8 5 y + 6 y + y. Έστω y τυχίο. Θεωρούµε τη συάρτηση () = 8 5y + 6 y + y, () = 4 y + 6 y = 6(4 5y + y ) Ότ έχουµε δύο µετβλητές, θεωρούµε τη µί σ εξάρτητη µετβλητή = ( 5y ) 4 4 y = 5 y 6 y = 9 y Ρίζες της : = 5y± y 8 = y ή y 4 Πρόσηµο της κι µοοτοί της y y + 4 () + + () y ր ց ր τ. µέγ τ. ελ () = 8 5 + 6 + y = y (y) = 8 y 5 y y + 6y y + y = 8 y 5 y + 6 y + y =. Αό το ίκ συµερίουµε ότι ελ =, άρ ()

. Γι κάθε > οδείξετε ότι Αρκεί οδείξουµε 4 Θεωρούµε τη συάρτηση () = () = 4 = > 4 >, γι κάθε > 4, Μέθοδος : Γι έχουµε το ρόσηµο της φθάουµε στη () = () = = = = ln ln = ln ln = ln Πρόσηµο της κι µοοτοί της ln + () + () ց ր ελάχιστο ( ln) = = ln ln ( ln) + ln = + ln = ln > Αό το ίκ συµερίουµε ότι () > ( ln) = ln > Άρ γησίως ύξουσ στο [, + ) Γι κάθε > () >() = 4 = >

. Γι τη ργωγίσιµη συάρτηση : [, + ) R δίετι ότι () = κι () > () γι κάθε [, + ). Ν οδείξετε ότι () γι κάθε [, + ). Γι κάθε [, + ) είι () >() () () > Ν θυµόµστε υτή τη εέργει () () > () + ()( ) > Άρ, η συάρτηση h() = () (() ) > είι γησίως ύξουσ στο [, + ). h h() h() () () () () ()

. Η συάρτηση είι ργωγίσιµη στο R κι ισχύει () = ln () γι κάθε R. Α η ρουσιάζει τοικό κρόττο στη θέση =, βρείτε τη. Γι κάθε R είι () = ln () () () () (() () Γι = η () () = ln () + ln () = + () ( ) = ) = = = + c () Εειδή η ρουσιάζει τοικό κρόττο στη θέση είι () = Η υόθεση () = ln. () γι = () Η () γίετι () = ln () = ln () ln () = () = + c () = + c () ln ln = + c ln = c () = + ln =, ό το Θ. Frmat θ () = ( + ln )