P(A) Κλσικός Ορισός Πιθοτήτς Πλήθος Ευοϊκώ Περιπτώσεω Πλήθος Δυτώ Περιπτώσεω P(Ω) = Ρ() = 0 Γι κάθε εδεχόεο Α ισχύει: 0 Ρ(Α) Ν(Α) Ν(Ω) Κόες Λογισού τω Πιθοτήτω Γι συίστ / ξέ εδεχόε:. Ρ(ΑΒ) = Ρ(Α) + Ρ(Β) [Απλός προσθετικός όος] Γι οποιδήποτε εδεχόε: 2. Ρ(ΑΒ) = Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ(ΑΒ) [Προσθετικός όος] 3. Ρ(Α ) = Ρ(Α) 4. Α Α Β, τότε Ρ(Α) Ρ(Β). 5. Ρ(Α Β) = Ρ(Α) Ρ(ΑΒ) Ιδιότητες Δυάεω. = + 6. = 2. 7. 0 = 3. ( ) = 8. = 4. 9. 0 = 0 5. 0. =.
Τυτότητες. ( + ) 2 = 2 + 2 + 2 2. ( ) 2 = 2 2 + 2 3. ( + )( ) = 2 2 4. 3 + 3 = ( + )( 2 + 2 ) 5. 3 3 = ( )( 2 + + 2 ) 6. ( + ) 3 = 3 + 3 2 + 3 2 + 3 7. ( ) 3 = 3 3 2 + 3 2 3 8. ( + + γ) 2 = 2 + 2 + γ 2 + 2 + 2γ + 2γ Τυτότητες Euler 9. 3 + 3 + γ 3 3γ = ( + +γ) [( ) 2 + ( γ) 2 + (γ ) 2 ] 2 0. Α ++γ=0 ή ==γ 3 + 3 + γ 3 = 3γ Τυτότητες Νewton. (x + )(x + ) = x 2 + ( + )x + 2. (x + )(x + )(x + γ) = x 3 + ( + + γ) x 2 + ( + γ + γ) x + γ Μερικές κόη... :) 3. ( + + γ) 3 = 3 + 3 + γ 3 + 3( + ) + 3γ( + γ) + 3γ( + γ) + 6γ 4. = ( )( + 2 + 3 2 + + 2 + ) 5. + = ( + )( 2 + 3 2 2 + ) Μέθοδοι Πργοτοποίησης. Κοιός πράγοτς 2. Οδοποίηση (= κοιός πράγοτς σε οάδες) 3. Τυτότητ 4. Τριώυο 5. Διάσπση όρου 6. Προσθφίρεση όρου
Ιδιότητες Ισοτήτω. = + γ = + γ 2. + γ = + γ = [Ιδιότητ διγρφής πρόσθεσης] Γεικά: = + γ = + γ 3. = γ = γ 4. γ = γ κι γ 0 = [Ιδιότητ διγρφής πολλπλσισού] Γεικά: = γ = γ (γ 0) 5. Α γ δ + γ = + δ κι γ = δ 6. Α = κι = γ = γ [Μεττική ιδιότητ] 7. = 0 = 0 ή = 0 8. 0 0 κι 0 Ιδιότητες Αλογιώ. 2. 3. 4. 5. 6. γ δ = γ δ γ δ γ δ γ δ γ δ γ γ δ δ δ γ γ δ γ δ γ γ δ δ
Ιδιότητες Πράξεω ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ Ατιετθετική + = + = Προσετιριστική + ( + γ) = ( + ) + γ ( γ) = ( ) γ Επιεριστική ( + γ) = + γ ( γ) = γ Διπλή επιεριστική ( + ) (γ + δ) = γ + δ + γ + δ Ουδέτερο στοιχείο + 0 = = Απορροφητικό στοιχείο 0 = 0 Ατίθετοι + ( ) = 0 Ατίστροφοι = ( 0)
Διάτξη Πργτικώ Αριθώ. Κάθε θετικός ριθός είι εγλύτερος πό το ηδέ (> 0). 2. Κάθε ρητικός ριθός είι ικρότερος πό το ηδέ (< 0). 3. Κάθε θετικός ριθός είι εγλύτερος πό κάθε ρητικό. 4. Α > > 0 Α < < 0 5. Α > 0 κι > 0 τότε + > 0 Α < 0 κι < 0 τότε + < 0 6. Α, οόσηοι τότε > 0 κι > 0 Α, ετερόσηοι τότε < 0 κι < 0 7. Γι κάθε ριθό R ισχύει 2 0 Γι θετικούς ριθούς, κι θετικό κέριο ισχύει η ισοδυί: 8. > > 9. = = Ιδιότητες Αισοτήτω. Α > + γ > + γ 2. Α γ > 0 τότε > γ > γ Α γ < 0 τότε > γ < γ 3. Α > κι γ > δ + γ > + δ Α,, γ, δ > 0 τότε > κι γ > δ γ > δ 4. Α > κι > γ τότε > γ [Μεττική ιδιότητ] 5. Α, > 0 κι n*, τότε > > 6. Α, οόσηοι τότε > ΠΡΟΣΟΧΗ! Δε επιτρέπετι φιρέσουε ή διιρέσουε ισότητες, κτά έλη!
. 0 2. = 3. 2 = 2 4. ή Ιδιότητες Απόλυτω Τιώ 5. x = θ (θ 0) x = θ ή x = θ Γι θ < 0 η σχέση είι δύτη. 7. x = x = ή x = 8. x < θ (θ> 0) θ < x < θ (*) 9. x > θ (θ > 0) x < θ ή x > θ (*) (*) Οι ιδιότητες ισχύου κι γι ισοτικές σχέσεις ή. 0. =. 2. + + 3. d(, ) = [Απόστση 2 ριθώ]
2 Τετργωικές Ρίζες. x x, ε x, 0 [Ορισός] 2. Γι κάθε η ρητικό ριθό ( 0) ισχύει: 2 3. Γι κάθε πργτικό ριθό (R) ισχύει: 2 4. Από (2) κι (3), γι κάθε 0 ισχύει: 2 2 Γι κάθε, 0 ισχύει: 5. 6. Νιοστές Ρίζες. x x, ε x, 0 [Ορισός] 2. Γι κάθε η ρητικό ριθό ( 0) ισχύει: v 3. Γι κάθε πργτικό ριθό (R) ισχύει: 4. Από (2) κι (3), γι κάθε 0 ισχύει: v Γι κάθε, 0 ισχύει: 5. 6. ( 0) Α, 0 κι,, ρ n*, τότε: 7. 8. 9. 0. ρ ρ
Εξισώσεις ου Βθού. Γεικός τρόπος επίλυσης εξίσωσης ου θού ε έ άγωστο: x + = 0 x = Α 0 τότε η εξίσωση έχει οδική λύση τη: x Α = 0 κι = 0 τότε η εξίσωση είι όριστη / τυτότητ. Α = 0 κι 0 τότε η εξίσωση είι δύτη. 2. Πρκτικά ήτ επίλυσης εξίσωσης ου θού ε έ άγωστο: Βή : Βή 2 : Βή 3 : Βή 4 : Βή 5 : Απλοιφή προοστώ (ΕΚΠ). Απλοιφή πρεθέσεω. Χωρίζουε γωστούς πό γώστους. Αγωγή οοίω όρω. Διιρούε κι τ δύο έλη ε το συτελεστή του γώστου. Η Εξισώση x = Πλήθος λύσεω Λύσεις θετικός ( > 0) θετικός ( > 0) ρητικός ( < 0) ρητικός ( < 0) άρτιος 2 x = περιττός x = άρτιος 0 δύτη περιττός x =
Εξισώσεις 2 ου Βθού. Γεικός τρόπος επίλυσης εξίσωσης 2 ου θού ε έ άγωστο: x 2 + x + γ = 0 ( 0) Δ = 2 4γ [Δικρίουσ] Δικρίουσ Πλήθος ριζώ (R) Πρόσηο τριωύου Δ > 0 2 πργτικές κι άισες x, 2 = 2 Δ Δ = 0 διπλή x = 2 Δ < 0 0 πργτικές δύτη στο R 2. Τύποι Vieta S = x + x 2 = γ κι P = x x 2 = 3. Κτσκευή Εξίσωσης 2ου Βθού, ε τη οήθει τω S, P : x 2 Sx + P = 0 3. Πργοτοποίηση τριωύου x 2 + x + γ ( 0) : Δικρίουσ Ρίζες Πρόσηο τριωύου Δ > 0 ρ, ρ 2 x 2 + x + γ = (x ρ )(x ρ 2 ) Δ = 0 ρ [διπλή ρίζ] x 2 + x + γ = (x ρ) 2 Δ < 0 κί ρίζ πργτική Το τριώυο πρέει ως έχει.
Αισώσεις ου Βθού. Γεικός τρόπος επίλυσης εξίσωσης ου θού ε έ άγωστο: x + > 0 x > Α > 0 τότε η εξίσωση έχει λύση: x Α < 0 τότε η εξίσωση έχει λύση: x Α = 0 κι > 0 τότε η εξίσωση είι όριστη / τυτότητ. Α = 0 κι 0 τότε η εξίσωση είι δύτη. [Αλόγως σκεφτόστε x + < 0] 2. Πρκτικά ήτ επίλυσης ίσωσης ου θού ε έ άγωστο: Ακριώς τ ίδι ε τη τίστοιχη εξίσωση ου θού, προσέχοτς όως ήπως χρειστεί ' λλάξουε τη φορά της ίσωσης, στο 5 ο ή ο συτελεστής του γώστου είι ρητικός. Αισώσεις 2 ου Βθού ( Πρόσηο Τριωύου ) Δικρίουσ Πλήθος ριζώ (R) Πρόσηο τριωύου Δ > 0 2 Δ = 0 Ετερόσηο του ετός τω ριζώ. Οόσηο του εκτός τω ριζώ. Μηδέ στις ρίζες. Οόσηο του σε κάθε διάστη. Μηδέ στη ρίζ. Δ < 0 0 Οόσηο του, γι κάθε xr.
Αριθητική Πρόοδος. Διφορά ω = + 2. Νιοστός Όρος = + ( ) ω 3. Αριθητικός Μέσος Α,, γ διδοχικοί όροι ριθητικής προόδου : γ 2 4. Άθροισ πρώτω όρω S 2 ή 2 2 S ω. Λόγος λ = Γεωετρική Πρόοδος 2. Νιοστός Όρος = λ 3. Γεωετρικός Μέσος Α,, γ διδοχικοί όροι γεωετρικής προόδου : 2 = γ 4. Άθροισ πρώτω όρω S = λ λ