3. Lokalna optimizacija

Σχετικά έγγραφα
Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1

Diferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci

KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK

Tretja vaja iz matematike 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1

1. Optimizacijske naloge

1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja

matrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):

IZPIT IZ ANALIZE II Maribor,

Definicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1

V tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant.

Kotne in krožne funkcije

Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba.

Funkcije več spremenljivk

Gimnazija Krˇsko. vektorji - naloge

Splošno o interpolaciji

Kontrolne karte uporabljamo za sprotno spremljanje kakovosti izdelka, ki ga izdelujemo v proizvodnem procesu.

Podobnost matrik. Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik

1. izpit iz Diskretnih struktur UNI Ljubljana, 17. januar 2006

Kotni funkciji sinus in kosinus

SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK

Na pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12

Booleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke

PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST

Izpeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega

Numerično reševanje. diferencialnih enačb II

NEPARAMETRIČNI TESTI. pregledovanje tabel hi-kvadrat test. as. dr. Nino RODE

Integralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d)

13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa

*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center

Poliedri Ines Pogačar 27. oktober 2009

8. Diskretni LTI sistemi

Matematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta

Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev

Osnove matematične analize 2016/17

Spoznajmo sedaj definicijo in nekaj osnovnih primerov zaporedij števil.

1. Trikotniki hitrosti

Reševanje sistema linearnih

Dodatna poglavja iz linearne algebre za 1. letnik finančne matematike na FMF. Primož Moravec

Teorija grafov in topologija poliedrov

Algebraične strukture

Domače naloge za 2. kolokvij iz ANALIZE 2b VEKTORSKA ANALIZA

Matematika I (VS) Univerza v Ljubljani, FE. Melita Hajdinjak 2013/14. Pregled elementarnih funkcij. Potenčna funkcija. Korenska funkcija.

Linearne preslikave. Poglavje VII. 1 Definicija linearne preslikave in osnovne lastnosti

Frekvenčna analiza neperiodičnih signalov. Analiza signalov prof. France Mihelič

Vaje iz MATEMATIKE 8. Odvod funkcije., pravimo, da je funkcija f odvedljiva v točki x 0 z odvodom. f (x f(x 0 + h) f(x 0 ) 0 ) := lim

cot x ni def. 3 1 KOTNE FUNKCIJE POLJUBNO VELIKEGA KOTA (A) Merske enote stopinja [ ] radian [rad] 1. Izrazi kot v radianih.

IZVODI ZADACI (I deo)

II. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ

VEKTORJI. Operacije z vektorji

Vektorski prostori s skalarnim produktom

Funkcije dveh in več spremenljivk

TRANZITIVNI GRAFI. Katarina Jan ar. oktober 2008

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA. Polona Oblak

MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

1 Fibonaccijeva stevila

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA SANDRA BOLTA LASTNE VREDNOSTI GRAFA DIPLOMSKO DELO

(Ne)rešljiva Rubikova kocka in grupe

Navadne diferencialne enačbe

Transformator. Delovanje transformatorja I. Delovanje transformatorja II

Analiza I. (študijsko gradivo) Matija Cencelj

vezani ekstremi funkcij

Matematika 2. Diferencialne enačbe drugega reda

Matematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

DISKRETNA FOURIERJEVA TRANSFORMACIJA

Iterativno reševanje sistemov linearnih enačb. Numerične metode, sistemi linearnih enačb. Numerične metode FE, 2. december 2013

Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D R priredi neko število f (x) R.

Matematika. Funkcije in enačbe

Tema 1 Osnove navadnih diferencialnih enačb (NDE)

Matematika. BF Lesarstvo. Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 2010/2011

Matematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta

FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 22. junij Navodila

Lastne vrednosti in lastni vektorji

Inverzni problem lastnih vrednosti evklidsko razdaljnih matrik

Matematika vaja. Matematika FE, Ljubljana, Slovenija Fakulteta za Elektrotehniko 1000 Ljubljana, Tržaška 25, Slovenija

Matematika 1. Jaka Cimprič

Realne funkcije. Elementarne funkcije. Polinomi in racionalne funkcije. Eksponentna funkcija a x : R R + FKKT Matematika 1

Obvestila. Matematično programiranje z aplikacijami. Pregled predmeta Matematično programiranje z aplikacijami. Vaje: Nadaljujemo z začinjeno pizzo.

Kombinatorika. rekurzivnih enačb in rodovne funkcije. FMF Matematika Finančna matematika. Vladimir Batagelj. Ljubljana, april

Matematično modeliranje. Simpleksna metoda.

1. UREJENE OBLIKE KVADRATNE FUNKCIJE

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Kvadratne forme. Poglavje XI. 1 Definicija in osnovne lastnosti

Uporabna matematika za naravoslovce

diferencialne enačbe - nadaljevanje

Osnovne lastnosti odvoda

SEMINARSKA NALOGA Funkciji sin(x) in cos(x)

Navadne diferencialne enačbe

Matrike. Poglavje II. Matrika je pravokotna tabela realnih števil. Na primer: , , , 0 1

1 Seštevanje vektorjev in množenje s skalarjem

Kanonična oblika linearnega programa. Simpleksna metoda. Bazne rešitve kanoničnega linearnega programa.

Transcript:

Optimizacijske metode 3. Lokalna optimizacija Vladimir Batagelj FMF, matematika na vrhu različica: 11. marec 2014 / 18 : 11

V. Batagelj: Optimizacijske metode / 3. Lokalna optimizacija 1 Kazalo 1 Globalni in lokalni minimumi.................. 1 7 Lokalna optimizacija....................... 7 14 Primer: problem uravnotežanja turbin.............. 14

V. Batagelj: Optimizacijske metode / 3. Lokalna optimizacija 1 Globalni in lokalni minimumi Pogosto lahko v dani množici Ω definiramo relacijo sosednosti rešitev S Ω Ω, za katero zahtevamo le refleksivnost. Okolice. Kadar je Ω = R n, za dani ε > 0, običajno definiramo relacijo S(ε) s predpisom: xs(ε)y d(x, y) ε kjer je d izbrana razdalja. Množica S(ε, x) sosedov točke x je tedaj običajna ε okolica točke x. Velja: ε < η S(ε) S(η)

V. Batagelj: Optimizacijske metode / 3. Lokalna optimizacija 2 Lokalne transformacije V diskretnih optimizacijskih nalogah običajno definiramo sosednost z lokalnimi transformacijami, ki prevedejo eno rešitev v drugo. Dvojiški vektorji. V množici IB n dvojiških vektorjev dolžine n navadno definiramo lokalno transformacijo s spremembo vrednosti na i-tem mestu: x i = 1 x i. Trgovski potnik. Pri problemu trgovskega potnika se najpogosteje uporabljajo sosednosti r-opt, pri katerih so sosednje rešitve določene tako, da iz tekočega cikla odstranimo r povezav in jih nadomestimo z novimi, ki zopet sestavljajo cikel.

V. Batagelj: Optimizacijske metode / 3. Lokalna optimizacija 3... Lokalne transformacije Na slikah sta prikazani sosednosti 2-OPT in 3-OPT. Lin je s poskusi pokazal, da je sosednost 3-OPT veliko boljša kot sosednost 2-OPT, učinek sosednosti višjih redov pa ne upravičuje povečane porabe časa.

V. Batagelj: Optimizacijske metode / 3. Lokalna optimizacija 4... Lokalne transformacije Permutacije. V primeru, ko je Ω = S n (permutacije n elementov), pa lahko postavimo: πsσ π = σ p, q : σ = (pq)π Vpeta drevesa. Vpeto drevo izberemo tetivo, vključimo jo v novo drevo, iz pripadajočega cikla pa izločimo neko povezavo.

V. Batagelj: Optimizacijske metode / 3. Lokalna optimizacija 5 Lokalni minimumi Element x Φ je lokalni minumum glede na S natanko takrat, ko je x Min(Φ S(x), P ); ali drugače povedano, ko y Φ S(x) : P (x) P (y) Množico vseh lokalnih minimumov naloge (Φ, P, Min) glede na sosednost S označimo LocMin(Φ, P, S). Zato, da bi poudarili razliko, pravimo elementom množice Min(Φ, P ) tudi globalni minimumi. Očitno je vsak globalni minimum tudi lokalni.

V. Batagelj: Optimizacijske metode / 3. Lokalna optimizacija 6... Lokalni minimumi Poleg tega velja še: IZREK 1 Za vsako sosednost S je LocMin(Φ, P, Φ Φ) = Min(Φ, P ) LocMin(Φ, P, S) in, če je Q S, tudi LocMin(Φ, P, S) LocMin(Φ, P, Q) Trditev je posledica lastnosti Ψ Φ x Ψ Min(Φ, P ) x Min(Ψ, P )

V. Batagelj: Optimizacijske metode / 3. Lokalna optimizacija 7 Lokalna optimizacija Relacija sosednosti nam ponuja za reševanje optimizacijskih nalog naslednji postopek lokalne optimizacije: izberi x Φ ; while y S(x) Φ : P (y) < P (x) do x := y; Če se postopek izteče v končno korakih, konča v lokalnem minimumu. V postopku lahko relacijo sosednosti tudi spreminjamo npr. zmanjšujemo ε.

V. Batagelj: Optimizacijske metode / 3. Lokalna optimizacija 8 Postopek lokalne optimizacije Pri razdelavi postopka lokalne optimizacije za dani optimizacijski problem moramo poiskati odgovore na naslednja vprašanja: a. določitev sosednosti S Ω Ω. Kot vemo, čim bogatejša je sosednost, tem verjetneje so lokalni minimumi tudi globalni. Po drugi strani pa pregledovanje obsežne soseščine zahteva precej časa. Pri izbiri sosednosti zato poskušamo uravnotežiti obe nasprotujoči si želji. b. izbira začetne rešitve. Lokalnim minimumom se poskušamo izogniti tako, da postopek lokalne optimizacije večkrat ponovimo pri različnih (naključnih) začetnih rešitvah in si zapomnimo najboljšo dobljeno rešitev. Izdelava poštenega generatorja naključnih dopustnih rešitev je lahko včasih sama zase zahtevna naloga.

V. Batagelj: Optimizacijske metode / 3. Lokalna optimizacija 9... Postopek lokalne optimizacije Pri večjem številu ponovitev se pokaže kot zelo dober prikaz zgradbe prostora rešitev (glede na izbrano sosednost) tabela desetih trenutno najboljših dobljenih rešitev. Zaželjeno je tudi, da lahko postopku lokalne optimizacije kot začetno rešitev podtaknemo rešitev, ki si jo izmisli uporabnik, ali rešitev, ki jo dobimo s kakim približnim postopkom. c. dokaz ustavljivosti postopka. Zaporedje vrednosti rešitev, ki nastopijo pri lokalni optimizaciji, je padajoče. če pokažemo še, da je navzdol omejeno in se vsakič spremeni vsaj za δ > 0, se postopek po končno korakih izteče. Na končni množici Φ je to vselej res.

V. Batagelj: Optimizacijske metode / 3. Lokalna optimizacija 10... Postopek lokalne optimizacije d. izbira naslednje rešitve. Pri končnih soseščinah običajno uporabljamo kar pregled vseh sosedov. Včasih pa lahko za določitev ustrezne rešitveuporabimo lastnosti kriterijske funkcije in omejitev (npr. gradientni postopek). Pogosto obstaja v soseščini več rešitev z manjšo vrednostjo. V teh primerih najpogosteje izberemo ali prvo tako rešitev, ki jo najdemo; ali pa rešitev, ki najbolj zmanjša vrednost kriterijske funkcije (najhitrejši spust). Poskusi kažejo, da glede končnih rezultatov ni značilnih razlik med obema pristopoma. Prvi porabi manj časa pri pregledovanju okolice, pa zato naredi več korakov...

V. Batagelj: Optimizacijske metode / 3. Lokalna optimizacija 11... Postopek lokalne optimizacije e. učinkovito preverjanje pogoja P (y) < P (x). Pogosto je kriterijska funkcija P sestavljena iz prispevkov posameznih sestavin rešitve. Zato se izkaže, da se splača pogoj P (y) < P (x) nadomestiti z enakovrednim pogojem P (x) P (y) > 0 ali P (x)/p (y) > 1 ali kakim drugim, ker je izraz, ki nastopa v tem pogoju precej enostavnejši kot sama kriterijska funkcija prispevki sestavin, ki pri lokalni transformaciji ne sodelujejo, se pokrajšajo.

V. Batagelj: Optimizacijske metode / 3. Lokalna optimizacija 12... Postopek lokalne optimizacije f. lokalna optimalnost rešitev. Lokalna optimizacija nam v splošnem ne zagotavlja, da bomo dobili globalni minimum. V naslednjem razdelku bomo zvedeli, da je za konveksne naloge postopek lokalne optimizacije točen dobljeni lokalni minimum je vselej globalni. V splošnem se moramo zadovoljiti z ugotovitvijo, da če je postopek generiranja naključnih začetnih rešitev vsaj nekoliko pošten (ustvari lahko vsako dopustno rešitev, čeprav ne nujno z enako verjetnostjo), s številom ponovitev postopka lokalne optimizacije narašča tudi verjetnost, da bo dobljeni najboljši lokalni minimum tudi globalni. V poglavju o diskretni optimizaciji si bomo ogledali nekatere poskuse izpopolnitve postopka lokalne optimizacije: postopke ohlajanja (simulated annealing) in postopke prepovedanih smeri (tabu search).

V. Batagelj: Optimizacijske metode / 3. Lokalna optimizacija 13... Postopek lokalne optimizacije g. povezanost sosednosti S. Pri navadni lokalni optimizaciji je povezanost grafa (Ω, S) le lepotnega pomena, pri izpopolnjenih postopkih pa postane zelo zaželjena. h. preverjanje postopka. Ko postopek sprogramiramo, se postavi vprašanje, kako preveriti njegovo pravilnost in kakovost. Zato je potrebno pripraviti zbirko nalog z znanimi rešitvami. Vir takih nalog so lahko tudi teoretični rezultati o problemu.

V. Batagelj: Optimizacijske metode / 3. Lokalna optimizacija 14 Primer: problem uravnotežanja turbin Pri izdelavi turbin lahko mase posameznih lopatic nihajo tudi za do pet odstotkov okrog povprečne vrednosti. Običajno turbino sestavlja 14 do 18 lopatic. Pri nameščanju lopatic na os namestimo težišča lopatic v isti ravnini enakomerno po krožnici. Lopatice želimo namestiti v takem vrstnem redu, da bo težišče turbine čim bliže osi vrtenja. Veternica v letalskem motorju Rolls Royce RB211-535C

V. Batagelj: Optimizacijske metode / 3. Lokalna optimizacija 15... Problem uravnotežanja turbin Označimo z n število lopatic, z m 1, m 2,..., m n mase lopatic in z M = mi skupno maso lopatic. Razmestitev lopatic okrog osi opišemo s permutacijo σ na p-to mesto postavimo lopatico σ(p). Naj bo še ϕ i = (i 1) 2π n, i = 1, 2,..., n kot, ki pripada i-temu mestu in r polmer krožnice. Tedaj je za razmestitev σ težišče ( x σ, ȳ σ ) določeno z izrazoma: x σ = r n m σ(i) cos ϕ i ȳ σ = r n m σ(i) sin ϕ i M M i=1 odmik d(σ) težišča od osi vrtenja pa z; d(σ) = x 2 σ + ȳ 2 σ i=1 Nalogo uravnotežanja turbine lahko torej izrazimo kot optimizacijsko nalogo (S n, d(σ), min).

V. Batagelj: Optimizacijske metode / 3. Lokalna optimizacija 16... Problem uravnotežanja turbin Krajši razmislek nam pove, da lahko pri razmeščanju eno maso pribijemo na izbrano mesto enakovrednost rešitev glede na zasuk. Poleg tega tudi zrcalni permutaciji določata enakovredni rešitvi. Torej bi morali pri polnem preboru rešitev pregledati 1 2 (n 1)! permutacij. Recimo, da program pri polnem preboru (na super-računalniku) pregleda milijon rešitev na sekundo. Tedaj bi pri n = 14 tekel 8.6 ur; pri n = 18 pa že 49401 ure oziroma 5.6 let. 1 n (n 1)! 2 10 181440 11 1814400 12 19958400 13 239500800 14 3113510400 15 43589145600 16 653837184000 17 10461394944000 18 177843714048000 20 60822550204416000 25 310224200866619719680000 30 4420880996869850977271808000000

V. Batagelj: Optimizacijske metode / 3. Lokalna optimizacija 17... Problem uravnotežanja turbin Če dobimo (a) razmestitev η iz razmestitve σ tako, da v njej premenjamo masi na p-tem in q-tem mestu (transpozicija), sta koordinati novega težišča ( x η, ȳ η ) takole povezani (e) s težiščem razmestitve σ: x η = x σ r M (m σ(p) m σ(q) )(cos ϕ p cos ϕ q ) ȳ η = ȳ σ r M (m σ(p) m σ(q) )(sin ϕ p sin ϕ q ) Za izbiro (b) začetne razmestitve uporabimo kar naslednji postopek za mešanje, ki je popolnoma pošten for i := n downto 2 do begin j := 1 + trunc(i random); t := σ[i]; σ[i] := σ[j]; σ[j] := t; end; Za prvo permutacijo lahko postavimo kar σ[i] = i, i = 1,..., n. Ker je vsaka permutacija produkt transpozicij, (g) je graf sosednosti povezan.

V. Batagelj: Optimizacijske metode / 3. Lokalna optimizacija 18... Problem uravnotežanja turbin k max := (n 1)(n 2)/2; k := k max ; določi naključno začetno razmestitev σ; izračunaj x, ȳ, d 2 ; search : loop for p := 2 to n 1 do for q := p + 1 to n do x := x r M (m σ(p) m σ(q) )(cos ϕ p cos ϕ q ); ỹ := ȳ r M (m σ(p) m σ(q) )(sin ϕ p sin ϕ q ); d 2 := x 2 + ỹ 2 endif endfor endfor endloop if d 2 < d 2 then x := x; ȳ := ỹ; d 2 := d 2 ; k := k max ; t := σ(p); σ(p) := σ(q); σ(q) := t; else k := k 1; if k 0 exit search

V. Batagelj: Optimizacijske metode / 3. Lokalna optimizacija 19... Problem uravnotežanja turbin V postopku smo se odločili (d) za premik v prvo boljšo rešitev. Pri preverjanju posopka (h) pride prav naslednji izrek o celoštevilskem problemu uravnotežanja turbin, pri katerem je m i = i: Celoštevilski problem uravnotežanja turbin ima uravnoteženo rešitev d(σ) = 0 natanko takrat, ko n ni potenca nekega praštevila, n p k, k > 0. Na sliki je prikazana uravnotežena rešitev za n = 14.

V. Batagelj: Optimizacijske metode / 3. Lokalna optimizacija 20... Problem uravnotežanja turbin 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

V. Batagelj: Optimizacijske metode / 3. Lokalna optimizacija 21... Problem uravnotežanja turbin Sled lokalne optimizacije za σ a σ a = ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 4 9 7 6 3 10 8 5 2 ) p q x y d 189.07613 30.50180 191.52060 2 3 143.62158 2.52286 143.64374 2 7 114.20278 18.85115 115.74818 3 4 80.49184 18.85115 82.66983 4 5 62.31002 32.06101 70.07458 4 9 51.07304 2.52286 51.13531 5 10 7.76456 45.27088 45.93192 6 7 13.06995 18.85115 22.93882 6 8 0.50662 1.55921 1.63945 σ a = ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 10 7 5 2 8 3 9 6 4 )

V. Batagelj: Optimizacijske metode / 3. Lokalna optimizacija 22... Problem uravnotežanja turbin Sled lokalne optimizacije za σ b σ b = ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6 5 7 3 1 10 9 8 4 2 ) p q x y d 116.85547 88.01890 146.29603 2 3 98.67365 101.22876 141.36390 2 6 0.00000 69.16775 69.16775 3 6 47.60062 34.58387 58.83760 3 8 58.83760 0.00000 58.83760 4 5 40.65578 13.20986 42.74802 4 10 20.32789 14.76908 25.12665 2 7 9.09091 6.60493 11.23698 4 5 0.00000 0.00000 0.00000 σ b = ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6 9 8 3 2 5 10 7 4 1 )