ΔΥΝΑΜΙΚΗ & ΕΛΕΓΧΟΣ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ ΧΕΙΜ5-6 ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΡΟΗΓΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ, ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ & ΡΟΜΠΟΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗ & ΕΛΕΓΧΟΣ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 3 ΕΛΕΓΧΟΣ ΘΕΣΗΣ ΣΕΡΒΟΜΗΧΑΝΙΣΜΟΥ Υπεύθυνος Μαθήµατος: Επικ. Καθ. Μ. Σφακιωτάκης ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΑΣΚΗΣΗΣ Η Άσκηση 3 πραγµατεύεται τη µελέτη και υλοποίηση στρατηγικών για τον έλεγχο θέσης του σερβοµηχανισµού που χρησιµοποιείται στο Εργαστήριο. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Το πρόβληµα του αυτόµατου ελέγχου της γωνιακής θέσης ενός σερβοµηχανισµού είναι από τα πλέον συνηθισµένα, και παρουσιάζεται σε ένα µεγάλο εύρος εφαρµογών, από τον έλεγχο κίνησης οχηµάτων µέχρι την οδήγηση ροµποτικών βραχιόνων. Το βασικό ζητούµενο από ένα σύστηµα ελέγχου θέσης σερβοµηχανισµού είναι η παρακολούθηση του σήµατος εισόδου (που προσδιορίζει την επιθυµητή θέση) µε ταχύτητα και ακρίβεια. Κατά τη σχεδίαση ενός συστήµατος ελέγχου σερβοµηχανισµού, θα πρέπει να ληφθούν υπόψη τα χαρακτηριστικά του συστήµατος, προκειµένου τόσο η στατική (η µόνιµη απόκριση) όσο και η δυναµική (η µεταβατική απόκριση) συµπεριφορά του συστήµατος να ικανοποιούν τις δοθείσες προδιαγραφές. Τα βασικά στατικά χαρακτηριστικά του σερβοµηχανισµού είναι το ποσοστό µόνιµου σφάλµατος (teady-tate error), η επαναληψιµότητα (reeatability) και η διακριτική ικανότητα (reolution). Το µόνιµο σφάλµα εξαρτάται, κατά κύριο λόγο, από την ακρίβεια των αισθητήρων που χρησιµοποιούνται για την ανατροφοδότηση της εξόδου στον ελεγκτή. Η συνάρτηση µεταφοράς ανοιχτού βρόχου του συστήµατος (µε έξοδο την γωνιακή θέση του φορτίου) είναι τύπου-, αφού περιλαµβάνει έναν πόλο στο =0. Κατά συνέπεια, για βηµατικής µορφής σήµα αναφοράς, το θεωρητικό σφάλµα µόνιµης κατάστασης για έλεγχο κλειστού βρόχου µέσω ενός απλού αναλογικού ελεγκτή, θα είναι µηδενικό. Στη πράξη όµως, η βηµατική απόκριση ενός τέτοιου συστήµατος ελέγχου θα παρουσιάζει σφάλµα µόνιµης κατάστασης, το οποίο οφείλεται στη στατική τριβή που εµφανίζουν τα µηχανικά µέρη που απαρτίζουν το σύστηµα. Συγκεκριµένα, απαιτείται µία ελάχιστη (µη-µηδενική) ροπή προκειµένου να υπερνικηθεί η στατική τριβή που αντιστέκεται στην κίνηση των οδοντωτών τροχών του συστήµατος µετάδοσης. Πρακτικά, το σύστηµα εµφανίζει µία «νεκρή ζώνη» (dead band ή dead zone), η οποία ορίζεται σαν την ελάχιστη τάση η οποία πρέπει να εφαρµοστεί στον κινητήρα, προκειµένου ο άξονας του φορτίου να τεθεί σε κίνηση. Ο σερβοµηχανισµός του Εργαστηριακού συστήµατος εµφανίζει νεκρή ζώνη ίση µε περίπου 0. Volt. Η αύξηση του αναλογικού κέρδους µειώνει το σφάλµα µόνιµης κατάστασης που οφείλεται στη στατική τριβή (πέρα από ένα σηµείο όµως, επιφέρει σηµαντική υπερύψωση στην µεταβατική απόκριση του συστήµατος). Χρησιµοποιώντας P-D έλεγχο, το µόνιµο σφάλµα µπορεί να περιοριστεί πιο αποτελεσµατικά, εφόσον ο D-όρος αυξάνει την απόσβεση του συστήµατος και επιτρέπει µεγαλύτερες τιµές για το

αναλογικό κέρδος. Η πλήρης εξάλειψη του µόνιµου σφάλµατος είναι εφικτή µε τη χρήση PI ή PID ελέγχου. Τα βασικά δυναµικά χαρακτηριστικά του σερβοµηχανισµού αφορούν στη σχετική ευστάθεια, στο συντελεστή απόσβεσης και στην ταχύτητα της µεταβατικής απόκρισης του συστήµατος. Οι σχετικές προδιαγραφές δίνονται συνήθως συναρτήσει του µέγιστου ποσοστού υπερύψωσης (για τον συντελεστή απόσβεσης) και της χρονικής σταθεράς, του χρόνου κορυφής ή του χρόνου αποκατάστασης (για την ταχύτητα της απόκρισης). Μία άλλη παράµετρος που επηρεάζει την µεταβατική απόκριση του συστήµατος, αφορά στην πεπερασµένη περιοχή γραµµικής λειτουργίας της βαθµίδας εξόδου που χρησιµοποιείται για την οδήγηση του σερβοκινητήρα. Για παράδειγµα, στο σύστηµα του Εργαστηρίου, η τάση εξόδου (που αντιστοιχεί στο σήµα ελέγχου του συστήµατος) περιορίζεται καταρχήν σε ±0V, που είναι και το εύρος του σήµατος το οποίο µπορεί να δώσει στην έξοδό της η κάρτα D/A µε την οποία είναι εξοπλισµένος ο υπολογιστής. Ανάλογα χαρακτηριστικά κόρου εµφανίζει και η ενισχυτική βαθµίδα η οποία παρέχει την απαραίτητη ισχύ προκειµένου το σήµα ελέγχου να µπορεί να οδηγήσει τον κινητήρα. Ο κορεσµός του σήµατος εξόδου γίνεται σηµαντικός όταν το σήµα ελέγχου το οποίο υπαγορεύει ο νόµος ελέγχου (κυρίως σε σχέση µε το συνολικό κέρδος ενίσχυσης που χρησιµοποιείται), υπερβαίνει το όριο κόρου της βαθµίδας εξόδου, οπότε έχουµε ψαλιδισµό και η συµπεριφορά διαφοροποιείται από αυτήν που προβλέπει η θεωρητική µελέτη (συνήθως η απόκριση του συστήµατος γίνεται πιο αργή). ΕΡΓΑΣΙΑ : Έλεγχος Θέσης µέσω P-Ελεγκτή: Θεωρητική Μελέτη H συνάρτηση µεταφοράς ενός συστήµατος DC κινητήρα - φορτίου, θεωρώντας ως είσοδο την τάση v m(t) που εφαρµόζεται στον κινητήρα, και ως έξοδο τη γωνιακή ταχύτητα περιστροφής ω(t) του φορτιού, είναι, κατά προσέγγιση, πρώτης τάξης, έχει δηλαδή τη µορφή : Ω() K = Vm( ) τ + Στις προηγούµενες εργαστηριακές ασκήσεις ταυτοποιήθηκαν πειραµατικά οι παράµετροι K και τ για τον µελετώµενο σερβοµηχανισµό SRV02 και σχεδιάστηκαν κατάλληλοι νόµοι για τον έλεγχο της γωνιακής ταχύτητας του φορτίου. Εδώ θα ασχοληθούµε µε τον έλεγχο θέσης του φορτίου. Θεωρώντας ως έξοδο τη γωνία περιστροφής θ() t, η συνάρτηση µεταφοράς και το αντίστοιχο διάγραµµα βαθµίδων του µελετώµενου συστήµατος θα είναι: Θ( ) K = Vm( ) ( τ + ) V () m K Ω() τ + Σχήµα : Διάγραµµα βαθµίδων για το γραµµικό µοντέλο του σερβοµηχανισµού Αρχικά, µελετάται η υλοποίηση ενός P-ελεγκτή για τον έλεγχο της γωνιακής θέσης του σερβοµηχανισµού. Το σχετικό διάγραµµα βαθµίδων φαίνεται στο παρακάτω σχήµα (όπου Θd( ) και η επιθυµητή και η πραγµατική γωνιακή θέση του φορτίου, αντίστοιχα): Θ () d U () K k ( τ + ) Σχήµα 2: P-έλεγχος της γωνιακής θέσης του σερβοµηχανισµού. 2

(α) Να υπολογιστεί αναλυτικά ότι η συνάρτηση µεταφοράς του Σχήµατος 2. Θd( ) (γ) (δ) Τι τύπου είναι το σύστηµα ανοιχτού βρόχου µε P-ελεγκτή; Ποιο είναι το θεωρητικά αναµενόµενο σφάλµα στη µόνιµη κατάσταση για βηµατική είσοδο αναφοράς του συστήµατος κλειστού βρόχου; Βάσει της συνάρτησης µεταφοράς που βρήκατε στο (α) ερώτηµα, να δοθούν αναλυτικές εκφράσεις για το συντελεστή απόσβεσης και την φυσική ιδιοσυχνότητα του συστήµατος κλειστού βρόχου. Να σχολιαστεί η επίδραση του k στα ω και ζ, εξηγώντας εάν είναι εφικτός ο ανεξάρτητος καθορισµός των χρησιµοποιείται P-ελεγκτής. n n ω και ζ του συστήµατος κλειστού βρόχου όταν Εάν υποτεθεί ότι δεν επιτρέπεται καθόλου υπερύψωση στη βηµατική απόκριση του σερβοµηχανισµού, να υπολογιστεί η τιµή του k µε την οποία επιτυγχάνεται η ταχύτερη δυνατή απόκριση του συστήµατος. Να επαληθευτούν οι υπολογισµοί σας από το διάγραµµα του γ.τ.ρ. του συστήµατος. (ε) Να προσδιοριστεί η τιµή του k προκειµένου η βηµατική απόκριση του συστήµατος κλειστού βρόχου να παρουσιάζει ποσοστό µέγιστης υπερύψωσης 5%. Ποιος είναι ο αναµενόµενος χρόνος κορυφής στην περίπτωση αυτή; Υπενθυµίζονται οι σχέσεις M πζ 2 ζ 2 = e και t π/ ( ωn ζ ) =. (στ) Με τη βοήθεια του Matlab, προκειµένου να επιβεβαιωθούν οι θεωρητικές προβλέψεις για τα ερωτήµατα (δ) και (ε), να δοθούν οι αντίστοιχες βηµατικές αποκρίσεις και να σχολιαστούν τα αποτελέσµατα. ΕΡΓΑΣΙΑ 2: Έλεγχος Θέσης µέσω P-Ελεγκτή: Πειραµατική Διερεύνηση Στο Εργαστήριο, υλοποιείται µέσω του WinCon o P-ελεγκτής για τον έλεγχο της γωνιακής θέσης του σερβοµηχανισµού, όπου η µέτρηση της γωνιακής θέσης του συστήµατος λαµβάνεται µέσω του encoder. Στη συνέχεια, υλοποιείται µέσω του WinCon o P-ελεγκτής για τον έλεγχο της γωνιακής θέσης του σερβοµηχανισµού, όπου η µέτρηση της γωνιακής θέσης του συστήµατος λαµβάνεται µέσω του encoder. Η επιθυµητή γωνιακή θέση ορίζεται ως θd( t ) = 0.5 rad ( 28.65 ). Στα ερωτήµατα που ακολουθούν, η αποτίµηση της πρακτικής απόδοσης του P-ελεγκτή θα γίνει µέσω του εικονικού µοντέλου του πραγµατικού σερβοµηχανισµού, το οποίο έχετε στη διάθεσή σας από τα συνοδευτικά αρχεία της ης Εργαστηριακής Άσκησης. (α) Χρησιµοποιώντας το µπλοκ µε το εικονικό µοντέλο του πραγµατικού σερβοµηχανισµού, να υλοποιηθεί το Simulink µοντέλο του παρακάτω σχήµατος, το οποίο επιτρέπει τη σύγκριση της θεωρητικής απόκρισης του γραµµικού µοντέλου, µε το πραγµατικό σύστηµα. Να τρέξετε το µοντέλο αυτό για χρόνο ec, και για τις ακόλουθες τιµές του αναλογικού κέρδους k : 4, 5, 30, 40. Για κάθε µία από τις περιπτώσεις αυτές να δοθεί ένα γράφηµα στο οποίο να φαίνεται η απόκριση της γωνιακής θέσης του «πραγµατικού» (εικονικού) συστήµατος µαζί µε αυτήν από το γραµµικό µοντέλο. Να δοθούν επίσης αντίστοιχα γραφήµατα για το σήµα ελέγχου. Εξετάζοντας τα αποτελέσµατα, να ερευνηθεί και να αιτιολογηθεί το εάν επαληθεύεται η θεωρητική πρόβλεψη για µηδενικό σφάλµα µόνιµης κατάστασης, αναλύοντας το ρόλο της 3

νεκρής ζώνης του µηχανισµού, σε συνδυασµό µε την παράµετρο k. Να αναλυθεί επίσης η τυχόν επίδραση του κορεσµού του σήµατος ελέγχου στην απόκριση του συστήµατος. Σχήµα 3: Simulink µοντέλο για τη σύγκριση του απλού γραµµικού µοντέλου µε το πραγµατικό σύστηµα. Να επαναληφθεί η παραπάνω µελέτη, αντικαθιστώντας τα µπλοκ µε το γραµµικό µοντέλο του συστήµατος µε αυτά που αντιστοιχούν στο εκτεταµένο (µη-γραµµικό) µοντέλο για το σερβοκινητήρα από την Εργαστηριακή Άσκηση, το οποίο περιλαµβάνει τη νεκρή ζώνη και τον κορεσµό του σήµατος ελέγχου. ΕΡΓΑΣΙΑ 3: Έλεγχος Θέσης µέσω P-D Ελεγκτή: Θεωρητική Μελέτη Η χρήση του P-ελεγκτή για τον έλεγχο θέσης του συστήµατος, όπως δείξαµε προηγουµένως, παρέχει περιορισµένες δυνατότητες καθορισµού των επιθυµητών χαρακτηριστικών για την µεταβατική απόκριση του συστήµατος κλειστού βρόχου. Επιπρόσθετα, το φαινόµενο της νεκρής ζώνης περιορίζει την ακρίβεια του ελέγχου, εισάγοντας σφάλµα µόνιµης κατάστασης. Τα προβλήµατα αυτά µπορούν να αντιµετωπιστούν µε την χρήση ενός P-D ελεγκτή, ο οποίος χρησιµοποιεί ανάδραση θέσης και ταχύτητας, όπως φαίνεται στο παρακάτω Σχήµα: Θ () d k U () K τ + Ω() k d Σχήµα 4: P-D έλεγχος θέσης σερβοµηχανισµού. Στην περίπτωση αυτή, το σήµα ελέγχου του συστήµατος είναι U () = k[ Θ () ] k Ω() d d 4

(α) Να βρεθεί η αναλυτική έκφραση για τη συνάρτηση µεταφοράς του Σχήµατος 4. Θd( ) (γ) (δ) Από τη συνάρτηση µεταφοράς που βρήκατε στο (α) ερώτηµα, να δοθούν αναλυτικές εκφράσεις για το συντελεστή απόσβεσης και την φυσική ιδιοσυχνότητα του συστήµατος κλειστού βρόχου. Να σχολιαστεί η επίδραση του k στα ω και ζ, εξηγώντας εάν είναι εφικτός ο ανεξάρτητος καθορισµός των χρησιµοποιείται P-D ελεγκτής. n n ω και ζ του συστήµατος κλειστού βρόχου όταν Με βάση τις εκφράσεις που βρήκατε στο ερώτηµα, να δοθούν οι σχέσεις υπολογισµού των παραµέτρων k και k d του ελεγκτή, όταν οι προδιαγραφές σχεδίασης υπαγορεύουν συγκεκριµένες τιµές για τα ω n και ζ. Ως εφαρµογή, να υπολογιστούν οι τιµές των k και k d προκειµένου το σύστηµα κλειστού βρόχου να παρουσιάζει ποσοστό µέγιστης υπερύψωσης 5% και χρόνο κορυφής t = 0.ec. Με τη βοήθεια του Matlab να δοθεί η βηµατική απόκριση του συστήµατος, προκειµένου να επιβεβαιωθούν οι θεωρητικές προβλέψεις για το παραπάνω ερώτηµα. ΕΡΓΑΣΙΑ 4: Έλεγχος Θέσης µέσω P-D Ελεγκτή: Πειραµατική Μελέτη Η υλοποίηση του P-D ελεγκτή µε βάση το Σχήµα 4 προϋποθέτει την ύπαρξη ενός αισθητηρίου για τη µέτρηση της γωνιακής ταχύτητας και ενός αισθητηρίου για τη µέτρηση της γωνιακής θέσης του σερβοµηχανισµού. Εάν το αισθητήριο ταχύτητας δεν είναι διαθέσιµο (ή εάν δεν είναι θεµιτή η χρήση του), η παραπάνω στρατηγική ελέγχου µπορεί να επιτευχθεί λαµβάνοντας µία εκτίµηση για τη γωνιακή ταχύτητα του συστήµατος, µέσω της διαφόρισης του σήµατος της γωνιακής θέσης. Δεδοµένου όµως ότι η διαφόριση ενισχύει σηµαντικά τις υψηλές συχνότητες, είναι σκόπιµη η εφαρµογή ενός χαµηλοπερατού φίλτρου στο σήµα µέτρησης της γωνιακής θέσης από τον encoder, το οποίο εµφανίζει υψηλές αρµονικές λόγω της διακριτής του µορφής. Η συχνότητα αποκοπής του χαµηλοπερατού φίλτρου είναι = 30 rad/ec: Ω () + Σχήµα 5: Εκτίµηση της γωνιακής ταχύτητας µέσω φιλτραρισµένης διαφόρισης του σήµατος του encoder. Εποµένως, το συνολικό διάγραµµα βαθµίδων του συστήµατος κλειστού βρόχου για την εναλλακτική αυτή υλοποίηση του P-D ελέγχου θέσης του σερβοµηχανισµού θα είναι: Θ () d k U () K ( τ + ) k d Ω () + Σχήµα 6: Πρακτική υλοποίηση του P-D ελέγχου θέσης του σερβοµηχανισµού Το παραπάνω διάγραµµα βαθµίδων υλοποιείται µέσω του WinCon για τον P-D έλεγχο θέσης της µελετώµενης πειραµατικής διάταξης, χρησιµοποιώντας την έξοδο του encoder για τον προσδιορισµό της γωνιακής θέσης και της γωνιακής ταχύτητας (µέσω φιλτραρισµένης 5

διαφόρισης) του άξονα του φορτίου. Με βάση τις τιµές που προσδιορίστηκαν στο ερώτηµα 3-(γ) για τα k και k d λαµβάνονται πειραµατικά δεδοµένα της βηµατικής απόκρισης του συστήµατος για θd( t ) = 0.5 rad. Στα ερωτήµατα που ακολουθούν, η αποτίµηση της πρακτικής απόδοσης του P-D ελεγκτή θα γίνει µέσω του εικονικού µοντέλου του πραγµατικού σερβοµηχανισµού, το οποίο έχετε στη διάθεσή σας από τα συνοδευτικά αρχεία της ης Εργαστηριακής Άσκησης. (α) (γ) Χρησιµοποιώντας το µπλοκ µε το εικονικό µοντέλο του πραγµατικού σερβοµηχανισµού, να υλοποιηθεί το Simulink µοντέλο για τη σύγκριση της θεωρητικής απόκρισης του γραµµικού µοντέλου, µε το πραγµατικό σύστηµα, εκτελώντας προσοµοιώσεις για τις τιµές των k και k d που υπολογίσατε για το ερώτηµα 3-(γ). Να δοθούν τα σχετικά γραφήµατα για την απόκριση της γωνιακής θέσης και του σήµατος ελέγχου, και να ερµηνευτούν τα αποτελέσµατα, σχολιάζοντας την επίδραση του φίλτρου διαφόρισης. Να επαναληφθεί η παραπάνω µελέτη και για το εκτεταµένο (µη-γραµµικό) µοντέλο του σερβοµηχανισµού. Να σχολιαστεί η απόκριση του P-D ελέγχου αναφορικά µε το µόνιµο σφάλµα του πραγµατικού συστήµατος. ΕΡΓΑΣΙΑ 5: Σχεδίαση PID Ελεγκτή Παρακολούθησης Τροχιάς Όπως κατέδειξε η προηγούµενη µελέτη, ο (σωστά σχεδιασµένος) P-D ελεγκτής παρέχει πολύ ικανοποιητική απόδοση, η οποία καλύπτει τις απαιτήσεις για τις περισσότερες πρακτικές εφαρµογές ελέγχου θέσης. Για εφαρµογές στις οποίες απαιτείται αυξηµένη ικανότητα παρακολούθησης µεταβαλλόµενων σηµάτων αναφοράς, είναι θεµιτή η αύξηση του τύπου του συστήµατος µε την προσθήκη ενός όρου ολοκλήρωσης στον ελεγκτή. Η προσέγγιση αυτή καθιστά όµως απαραίτητη την προσεκτική ρύθµιση των παραµέτρων του ελεγκτή προκειµένου να µην υπάρξει σηµαντική υποβάθµιση της µεταβατικής απόκρισης του συστήµατος. Στο πλαίσιο αυτό, στην παρούσα εργασία µελετάται η ρύθµιση ενός PID ελεγκτή, µε αντικειµενικό στόχο την αυξηµένη ικανότητα παρακολούθησης ενός τριγωνικού σήµατος αναφοράς για την επιθυµητή θέση του φορτίου. Η δοµή του PID ελεγκτή, µε χρήση φίλτρου εξοµάλυνσης για τον D-όρο, (αναφέρεται και ως PID-F ελεγκτής) εικονίζεται στο Σχήµα 7. k G () C Θ () d E () k i U () K ( τ + ) k d + Σχήµα 7: PΙD-F έλεγχος θέσης του σερβοµηχανισµού. Όπως γίνεται αντιληπτό, ο ελεγκτής αυτός εισάγει στον ευθύ κλάδο του βρόχου ελέγχου δύο πόλους (στις θέσεις = 0 και = ) και δύο µηδενικά (οι θέσεις των οποίων εξαρτώνται από 6

τις τιµές των κερδών k, k i και k d, καθώς επίσης και από την παράµετρο του φίλτρου εξοµάλυνσης). Ως εκ τούτου, η σχεδίαση του εν λόγω ελεγκτή µπορεί να µελετηθεί άµεσα µε τη µέθοδο του γεωµετρικού τόπου ριζών µέσω του εργαλείου rltool. Tο σήµα για την επιθυµητή θέση του σερβοµηχανισµού στη συγκεκριµένη εφαρµογή εικονίζεται στο Σχήµα 8. Πρόκειται για µια ασύµµετρη περιοδική τροχιά µε συνολικό χρόνο περιόδου T =.5 ec. Στην πρώτη φάση της κάθε περιόδου απαιτείται η γρήγορη µετάβαση του φορτίου από την αρχική θέση των 0 rad έως την τελική θέση των 3 rad σε χρόνο 0.4 ec, όπου και παραµένει για 0.2 ec. Στη δεύτερη φάση απαιτείται η επιστροφή του φορτίου στην αρχική θέση σε χρόνο 0.7 ec και η παραµονή του εκεί για 0.2 ec, οπότε και ξεκινάει η επόµενη περίοδος της κίνησης. 3 2.5 2 θ d [rad].5 0.5 0 0 0.4 0.6.3.5.9 2. 2.8 3 t [ec] Σχήµα 8: Το σήµα αναφοράς για την επιθυµητή θέση του σερβοµηχανισµού. (α) Να υπολογιστεί η αναλυτική έκφραση για τη συνολική συνάρτηση µεταφοράς G C () του PID-F ελεγκτή. Με τη βοήθεια του εργαλείου rltool, να ρυθµιστούν κατάλληλα οι παράµετροι του ελεγκτή, προκειµένου να επιτυγχάνεται καλή παρακολούθηση του σήµατος αναφοράς. Στη διαδικασία αυτή, η συχνότητα αποκοπής του φίλτρου διαφόρισης να τεθεί σταθερά ίση µε = 30 rad/ec. Βάσει της συζήτησης που προηγήθηκε, η σχεδίαση έγκειται κατ ουσίαν στην επιλογή της θέσης των δύο µηδενικών του ελεγκτή (καθώς οι θέσεις των δύο πόλων είναι δεδοµένες) και της κατάλληλης τιµής του συνολικού κέρδους προκειµένου οι πόλοι του συστήµατος κλειστού βρόχου να τεθούν σε θέσεις που εξασφαλίζουν ευστάθεια και καλή µεταβατική απόκριση. Διευκρινίζεται ότι, καθώς δεν υπάρχει η δυνατότητα άµεσης επισκόπησης στο περιβάλλον του rltool της απόκρισης του συστήµατος ελέγχου για το συγκεκριµένο σήµα αναφοράς, η σχεδίασή σας θα πρέπει να βασιστεί καταρχήν στα χαρακτηριστικά της βηµατικής απόκρισης του συστήµατος, επιδιώκοντας γρήγορο χρόνο αποκατάστασης και µικρό ποσοστό υπερύψωσης (σηµειώνεται ότι η παρουσία των δύο µηδενικών στον ελεγκτή δυσχεραίνει τη σχεδίαση καθώς προσδίδει στο σύστηµα αυξηµένη τάση για υπερύψωση). Στη συνέχεια, ο ελεγκτής που σχεδιάσατε θα πρέπει να εφαρµοστεί για τον έλεγχο του "πραγµατικού" εικονικού σερβοµηχανισµού σε περιβάλλον Simulink. Η ποσοτική αποτίµηση της αποτελεσµατικότητας του ελεγκτή θα πρέπει να γίνει µε τον υπολογισµό του ολοκληρώµατος της απόλυτης τιµής του σφάλµατος παρακολούθησης 7

(δείκτης ΙΑΕ, integral abolute error) για το χρονικό διάστηµα των δύο πρώτων περιόδων του σήµατος αναφοράς, βάσει της σχέσης: IAE = 2T e(t) dt = θ d (t) θ(t) dt t=0 Επιδίωξη της σχεδίασης του ελεγκτή είναι να επιτευχθεί ΙΑΕ < 0.05 rad (όσο µικρότερη η τιµή που θα επιτευχθεί, τόσο καλύτερα!). Επιπρόσθετα, η απόλυτη τιµή του σφάλµατος, καθόλη τη διάρκεια του µελετώµενου χρονικού διαστήµατος δεν θα πρέπει να υπερβαίνει τα 0.5 rad: 2T t=0 e(t) < 0.5 rad, t Σε περίπτωση µη πλήρωσης των παραπάνω προδιαγραφών, θα πρέπει να γίνει εκ νέου σχεδίαση στο rltool µέχρι να επιτευχθεί το ζητούµενο. (γ) Βάσει της αναλυτικής έκφρασης για τη συνάρτηση µεταφοράς του PID-F ελεγκτή που υπολογίσατε στο (α) ερώτηµα να δοθούν οι αριθµητικές τιµές των κερδών k, k i και k d του τελικού PID-F ελεγκτή που προέκυψε στο ερώτηµα από τη σχεδίαση µέσω του rltool. (δ) Να δοθούν συγκεντρωτικά γραφήµατα στα οποία να συγκρίνεται η απόκριση θέσης και το σήµα ελέγχου, για την παραπάνω είσοδο αναφοράς, του PID-F ελέγχου µε τον P-D ελεγκτή που σχεδιάσατε στην εργασία 4. Να γίνει επίσης σύγκριση του ITAE δείκτη για τους δύο ελεγκτές. Υπόδειξη #: Για την υλοποίηση του σήµατος αναφοράς σε περιβάλλον Simulink συστήνεται η χρήση του µπλόκ Reeating Sequence (βρίσκεται στην ενότητα Source της βασικής βιβλιοθήκης). Υπόδειξη #2: Για τoν υπολογισµό του δείκτη IAE να χρησιµοποιηθεί η συνάρτηση traz του Matlab (λεπτοµέρειες για τη χρήση της συνάρτησης παρέχονται δίνοντας την εντολή hel traz).. 8