ΘΕΜΑ 1 κανονική κατανομή Υποθέτουμε ότι τα εβδομαδιαία έσοδα μιας επιχείρησης ακολουθούν την κανονική κατανομή με μέση τιμή 1000 και τυπική απόκλιση 15. α. Ποια η πιθανότητα i. η επιχείρηση να έχει έσοδα λιγότερα από 800 ; ii. τα έσοδα να υπερβαίνουν τα 150 ; iii. τα έσοδα να κυμαίνονται από 900 έως 1100 ; β. Έστω ότι το ενδεχόμενο οι εβδομαδιαίες οφειλές της επιχείρησης προς πιστωτές ξεπερνούν το μέσο έσοδο είναι ανεξάρτητο από τα έσοδα και έχει πιθανότητα 0,0 να συμβεί. Ποια είναι η πιθανότητα σε μια τυχαία επιλέγμενη εβδομάδα οι οφειλές να ξεπερνούν το μέσο έσοδο και τα έσοδα να μην το ξεπερνούν. ΛΥΣΗ ( ) Γνωρίζουμε ότι 1000, ( 15) X N. X - 1000 =. 15 Συνεπώς, Z N( 0, 1) i. Ζητάμε την πιθανότητα X 800 P X 800 P 800 1000 PZ 15 P Z 1,60 0,0548. ii. Ζητάμε την πιθανότητα P X X 150 150 P 150 1000 PZ 15 P Z 1 P Z 10,977 0,08.
iii. Ζητάμε την πιθανότητα 900 X 1100 P900 X 1100 P 900 1000 1100 100 P Z 15 15 P 0,8 Z 0,8 1 P Z 0,8 1 *0, 119 0,576. ΘΕΜΑ διωνυμική κατανομή Οι υποψήφιοι για τη λήψη διπλώματος μιας ξένης γλώσσας διαγωνίζονται σε ένα τεστ που περιλαμβάνει 5 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής καθεμία από τις οποίες έχει 4 δυνατές απαντήσεις.. Θεωρούνται επιτυχόντες αν απαντήσουν σωστά σε τουλάχιστον 13 ερωτήσεις. α. Έστω Χ η τυχαία μεταβλητή που εκφράζει το πλήθος των σωστών απαντήσεων ενός διαγωνιζομένου. Ποιος είναι ο αναμενόμενος αριθμός των σωστών απαντήσεων όταν ο διαγωνιζόμενος απαντά τυχαία σε όλες τις ερωτήσεις και ποια η τυπική τους απόκλιση; β..υπολογίστε την πιθανότητα ένας διαγωνιζόμενος που απάντησε τυχαία στις ερωτήσεις του διαγωνίσματος να είναι επιτυχών. ΛΥΣΗ Εφόσον ο διαγωνιζόμενος απαντάει με τυχαίο τρόπο η πιθανότητα να απαντήσει σωστά σε ένα ερώτημα είναι p=0,5. Η τυχαία μεταβλητή Χ που εκφράζει το πλήθος των σωστών απαντήσεων ακολουθεί τη διωνυμική κατανομή, δηλαδή: X ~ B (5,0, 5). Χρησιμοποιούμε τους τύπους E( X ) = np και Var ( X ) = np( 1- p). Ο αναμενόμενος αριθμός σωστών απαντήσεων είναι ίσος με np 5*0,5 6,5 6 E X και η διακύμανση Var X np(1 p) 5*0,5*0,75 4,69 5.
Ζητάμε την πιθανότητα P X 13.. P X 13 1 P( X 13) 1 P( X 1) 1 0,997 0, 013. ΑΣΚΗΣΗ 3 Μια εταιρεία ταχυμεταφορών διατηρεί μια αποθήκη εισερχομένων. Τα δέματα φθάνουν με βάση τη διαδικασία Poisson με μέσο ρυθμό 40 δέματα ανά ώρα. Ένας υπάλληλος χρειάζεται κατά μέσο όρο λεπτά για την εξυπηρέτηση ενός δέματος (δηλαδή για την ταξινόμηση του δέματος και την κατάλληλη προώθησή του) ενώ ο χρόνος εξυπηρέτησης ακολουθεί εκθετική κατανομή. Κάθε υπάλληλος αμείβεται με 6 ευρώ ανά ώρα. Η εταιρεία εκτιμά ότι η παραμονή ενός δέματος στην αναμονή ή στην εξυπηρέτηση κοστίζει 0,5 ευρώ ανά λεπτό. Ερώτημα Α Η διοίκηση της επιχείρησης επιθυμεί να προσδιορίσει τον αριθμό των υπαλλήλων που πρέπει να διαθέτει έτσι ώστε να ελαχιστοποιείται το συνολικό λειτουργικό κόστος (μισθολογικό + αναμονής και εξυπηρέτησης δέματος) της αποθήκης ανά λεπτό. ( μονάδες) Ερώτημα Β Αφού καταλήξει στον βέλτιστο αριθμό υπαλλήλων θέλει να προσδιορίσει τα παρακάτω μέτρα απόδοσης για την αποθήκη: 1. Βαθμός απασχόλησης του συστήματος εξυπηρέτησης.. Μέσος αριθμός δεμάτων σε αναμονή. 3. Μέσος αριθμός δεμάτων σε αναμονή και σε εξυπηρέτηση. 4. Μέσος χρόνος παραμονής ενός δέματος στην ουρά. 5. Μέσος χρόνος παραμονής ενός δέματος μέχρι και την ολοκλήρωση της ταξινόμησής του. 6. Την πιθανότητα ένα δέμα που φθάνει να ταξινομηθεί άμεσα; (8 μονάδες) Υπόδειξη: Για να απαντήσετε στα ερωτήματα είναι απολύτως απαραίτητο να χρησιμοποιήσετε ως στοιχειώδη μονάδα μέτρησης του χρόνου το ένα λεπτό. Στους υπολογισμούς σας, είτε να διατηρείτε κλασματικούς αριθμούς, είτε να διατηρείτε τουλάχιστον τέσσερα (4) δεκαδικά ψηφία. Κάθε τύπο που χρησιμοποιείτε να τον παραθέσετε με σαφήνεια και στη συνέχεια να αντικαθιστάτε στους τύπους τις αριθμητικές τιμές ώστε να κάνετε τους υπολογισμούς.
Λύση Ερώτημα Α Θα εξετάσουμε διαδοχικά το λειτουργικό κόστος με έναν, δύο ή περισσότερους υπάλληλους. Επειδή η καμπύλη του συνολικού κόστους είναι κυρτή με ένα ελάχιστο, θα σταματήσουμε όταν παρουσιαστεί αλλαγή στη μονοτονία της (από φθίνουσα γίνει αύξουσα). Όλοι οι υπολογισμοί μας, σύμφωνα με την υπόδειξη, θα πραγματοποιηθούν με βάση το ένα λεπτό της ώρας,. Α1) Σύστημα Μ/Μ/1. Με έναν υπάλληλο έχουμε σύστημα αναμονής Μ/Μ/1 με ρυθμό εισόδου λ=40 δέματα ανά ώρα, δηλαδή, λ = /3 δέματα ανά λεπτό και ρυθμό εξυπηρέτησης μ=30 δέματα ανά ώρα, δηλαδή, μ=1/ δέματα ανά λεπτό. Επομένως, λ/μ = (/3)/(1/)=4/3 > 1 άρα δεν έχουμε κατάσταση ισορροπίας. Επομένως η περίπτωση s=1 δεν εξετάζεται. Α) Σύστημα Μ/Μ/. Με δύο υπαλλήλους έχουμε σύστημα αναμονής Μ/Μ/ με ρυθμό εισόδου λ=/3 δέματα ανά λεπτό και ρυθμό εξυπηρέτησης, για κάθε υπάλληλο, μ=1/ δέματα ανά λεπτό. Επομένως, λ/sμ =(/3)/[*(1/)]= /3 < 1, άρα έχουμε κατάσταση ισορροπίας. Επομένως η περίπτωση s= εξετάζεται. Υπολογίζουμε πρώτα την πιθανότητα Ρ 0. Βάσει της σχέσης για s= και επειδή λ/μ = (/3)/(1/) = 4/3, έχουμε : 1 P0 1 = s n s ( / ) ( / ) s n0 n! s! s 1 1 P0 0 1 4 / 3 4 / 3 4 / 3 1 5 0! 1!! 1 3 (δηλαδή P 0 = 0%) Οπότε το μέσο πλήθος δεμάτων σε αναμονή είναι: L q ( s ) ( s 1)!( s ) P, που δίνει 0 L q 1 ( 1)!( ) 3 (4 / 3) 3 1 16 1 5 15 = 1,067 δέματα. Το μέσο πλήθος δεμάτων στο σύστημα προκύπτει από τη σχέση 16 16 4 36 L L q = 3 =,4 δέματα. 15 1 15 3 15 Συνεπώς, το συνολικό κόστος για το σενάριο Μ/Μ/ ανέρχεται σε: TC s= = c w L+c s s=0,5,4+0,1 = 1,+0,= 1,4 ευρώ/λεπτό. (Σημείωση: c s = 6 ευρώ ανά ώρα, δηλαδή c s = 0,1 ευρώ ανά λεπτό). Α3) Σύστημα Μ/Μ/3. Με τρεις υπαλλήλους έχουμε σύστημα αναμονής Μ/Μ/3 με ρυθμό εισόδου λ=/3 δέματα ανά λεπτό και ρυθμό εξυπηρέτησης, για κάθε υπάλληλο, μ=1/ δέματα ανά λεπτό. Επομένως, λ/sμ =(/3)/[3*(1/)]= 4/9 < 1, άρα έχουμε κατάσταση ισορροπίας. Επομένως η περίπτωση s=3 εξετάζεται.
Υπολογίζουμε την πιθανότητα Ρ 0 θέτοντας s=3 και λ/μ = (/3)/(1/) = 4/3 : P 0 s 1 n0 ( / ) n! n 1 ( / ) s! s = s s 1 45 P0 =5,437% 3 0 1 177 4 4 / 3 4 / 3 3 1 (4 / 3) 3 0! 1!! 3! 3 1 3 Οπότε το μέσο πλήθος δεμάτων σε αναμονή είναι: L q ( s ) ( s 1)!( s ) δέματα P 0 που δίνει L q 3 (4 / 3) 1 3 45 18 0,1446 1 (3 1)!(3 ) 177 885 3 Το μέσο μέσο πλήθος δεμάτων στο σύστημα προκύπτει από τη σχέση 18 4 1308 L L q = 1,478 δέματα 885 3 885 Το συνολικό κόστος για το σενάριο Μ/Μ/3 ανέρχεται σε: TC s=3 = c w L+c s s=0,5 1,478+0,1 3= 0,739+0,3=1,039 ευρώ/λεπτό. Α4) Σύστημα Μ/Μ/4. Με τέσσερις υπαλλήλους έχουμε σύστημα αναμονής Μ/Μ/4 με ρυθμό εισόδου λ=/3 δέματα ανά λεπτό και ρυθμό εξυπηρέτησης, για κάθε υπάλληλο, μ=1/ δέματα ανά λεπτό. Επομένως, λ/sμ =(/3)/[4*(1/)]= 1/3 < 1, έχουμε κατάσταση ισορροπίας και η περίπτωση s=4 εξετάζεται. Για s=4 (και λ/μ = 4/3), έχουμε : P 0 s 1 n0 ( / ) n! n 1 ( / ) s! s =. = 81/309 = 6,136% s s Έτσι, το μέσο πλήθος δεμάτων σε αναμονή είναι: Lq 4 (4/3) 1 3 P 0 (8/81) (81/309) = 8/309 = 0,059 δέματα (4 1)!(4 1 ) 3 που δίνει L L q = 0,059+4/3= 1,359 δέματα Τελικά, το συνολικό κόστος για το σενάριο Μ/Μ/4 ανέρχεται σε: TC s=4 = c w L+c s s=0,5 1,359+0,1 4=0,6796+0,4=1,0796 ευρώ/λεπτό.
Έχουμε λοιπόν τον ακόλουθο πίνακα υπολογισμών: Σύστημα Μέσο πλήθος δεμάτων (L) Μέσο κόστος ανά λεπτό Μ/Μ/1 - - Μ/Μ/,4 1,4 Μ/Μ/3 1,478 1,039 Μ/Μ/4 1,359 1,0796 Βλέπουμε λοιπόν, ότι ενώ για s= και s=3 έχουμε μείωση του συνολικού κόστους, για s=4 το κόστος αρχίζει να αυξάνει, κάτι που τεκμηριώνει το γεγονός ότι το βέλτιστο πλήθος υπαλλήλων είναι s=3 άτομα (αφού η συνάρτηση συνολικού κόστους είναι, ως γνωστό, κυρτή και έχει ένα ελάχιστο). Ερώτημα Β Για s=3 λοιπόν έχουμε τους ακόλουθους υπολογισμούς (μερικοί έχουν ήδη πραγματοποιηθεί): 1. Βαθμός απασχόλησης του συστήματος εξυπηρέτησης (έχει υπολογιστεί ήδη): λ/(s μ) = (/3)/(3 (1/)) = 4/9 = 44,44%. Μέσος αριθμός δεμάτων σε αναμονή (έχει υπολογιστεί ήδη): L q = 0,1446 δέματα 3. Μέσος αριθμός δεμάτων σε αναμονή και σε εξυπηρέτηση (έχει υπολογιστεί ήδη): L = 1,478 δέματα 4. Μέσος χρόνος παραμονής ενός δέματος στην ουρά: W q = L q /λ = 0,1446/(/3) = 0,169 λεπτά 5. Μέσος χρόνος παραμονής ενός δέματος μέχρι και την ολοκλήρωση της ταξινόμησής του: W=L/λ = W q + 1/μ = (1,478)/(/3) = 0,169 + 1/(1/) =,169 λεπτά 6. Ποια η πιθανότητα ένα δέμα που φθάνει να ταξινομηθεί άμεσα; Η ζητούμενη πιθανότητα είναι ίση με P 0 + P 1 + P δηλαδή από τον τύπο P n n 1 P0, n! n 1 P, ns 0 s! s n s n s έχουμε: P 1 = (1/1!) (4/3) 1 *0,5437 = 33,89 % και P = (1/!) (4/3) *0,5437 =,60 % οπότε είναι : P 0 + P 1 + P = 0,5437 + 0,3389 + 0,60 = 81,91% Εναλλακτικά, μπορούμε να υπολογίσουμε τη ζητούμενη από την πιθανότητα 1 P w 1 s όπου Pw P0 s! s s.
Έχουμε δηλαδή: 1-81,91% 1-0,1809 =
ΑΣΚΗΣΗ 4 Δύο μεγάλες εταιρείες εμφιάλωσης Α και Β, εμπορεύονται δύο αναψυκτικά τύπου cola, τα οποία καλύπτουν το σύνολο της αγοράς των αναψυκτικών αυτού του τύπου. Για να αυξήσουν το μερίδιο αγοράς τους, οι δύο εταιρείες πρόκειται να κάνουν συγκεκριμένες προωθητικές ενέργειες σε έναν μεγάλο Δήμο της χώρας, στον οποίο η συνολική αξία των εβδομαδιαίων πωλήσεων των αναψυκτικών τύπου cola ανέρχεται σε 50 χιλιάδες ευρώ. Οι προωθητικές αυτές ενέργειες περιλαμβάνουν διαγωνισμούς και προσφορές σε τρία συγκεκριμένα κατάλληλα σημεία πωλήσεων, Σ1, Σ και Σ3 που έχουν εντοπίσει τα τμήματα Μάρκετινγκ των δύο εταιρειών. Λόγω περιορισμένου προϋπολογισμού, κάθε εταιρεία μπορεί να επιλέξει ένα σημείο για τις προωθητικές της ενέργειες, χωρίς να γνωρίζει ποιο σημείο θα επιλέξει η ανταγωνίστριά της. Η αποτελεσματικότητα των προωθητικών ενεργειών κάθε εταιρείας εξαρτάται από το σημείο πώλησης που θα επιλέξει τόσο η ίδια όσο και η ανταγωνίστριά της. Η εκτιμώμενη αξία (σε χιλιάδες ευρώ) των εβδομαδιαίων πωλήσεων της εταιρείας Α, για κάθε συνδυασμό σημείων πωλήσεων που επιλέγουν οι δύο εταιρείες, δίνεται στον παρακάτω πίνακα: Εταιρεία Α Εταιρεία Β Β-Σ1 Β-Σ Β-Σ3 Α-Σ1 190 70 70 Α-Σ 330 00 0 Α-Σ3 310 30 80 Ερώτημα 1 Χωρίς να διαγράψετε τις υποδεέστερες στρατηγικές, εφαρμόστε το κριτήριο minimax στον πίνακα πληρωμών, για να διαπιστώσετε την ύπαρξη ή όχι σημείου ισορροπίας. (5 μονάδες ) Ερώτημα Να εφαρμόσετε την κατάλληλη μεθοδολογία προκειμένου να προσδιορίσετε την άριστη στρατηγική για κάθε επιχείρηση καθώς και την αναμενόμενη αξία πωλήσεων της εταιρείας Α. Να διατυπώσετε τα αποτελέσματά σας με σαφήνεια, αποδίδοντας και το κατάλληλο φυσικό νόημα. Ποια εταιρεία φαίνεται να είναι μακροπρόθεσμα πιο ωφελημένη ; (15 μονάδες)
Λύση Ερώτημα 1 Εφόσον η συνολική αξία των πωλήσεων είναι σταθερή, πρόκειται για ένα παίγνιο δύο παικτών σταθερού αθροίσματος. Όπως βλέπουμε στον παρακάτω πίνακα, η maximin τιμή της εταιρείας Α είναι ίση με 30 (τομή των στρατηγικών Σ3 της Α και Σ της Β) και η minimax τιμή της Β είναι ίση με 70 (τομή των στρατηγικών Σ1 της Α και Σ της Β). Επομένως, η εφαρμογή του κριτηρίου minimax απευθείας στον πίνακα πληρωμών της εταιρείας Α χωρίς διαγραφή των υποδεέστερων στρατηγικών, δεν προσδιορίζει αμιγείς στρατηγικές, γεγονός που σημαίνει ότι δεν υπάρχει σημείο ισορροπίας. Β-Σ1 Β-Σ Β-Σ3 Row Min Maximin Α-Σ1 190 70 70 190 Α-Σ 330 00 0 00 Α-Σ3 310 30 80 30 30 Col Max 330 70 80 Minimax 70 30 70 30<V<70 Ερώτημα Αφού δεν υπάρχει κοινό σημείο ισορροπίας (δηλαδή δεν υπάρχουν αντίστοιχες αμιγείς στρατηγικές που θα μπορούσαν να ισορροπήσουν οι δύο παίκτες) θα προχωρήσουμε στον εντοπισμό μεικτών στρατηγικών. Αρχικά, παρατηρούμε ότι η στρατηγική Σ3 του παίκτη Β (Β- Σ3) διαγράφεται ως υποδεέστερη της στρατηγικής Β-Σ, οπότε ο πίνακας πληρωμών μειώνεται στον ακόλουθο πίνακα διάστασης 3, όπου δεν υπάρχουν άλλες υποδεέστερες στρατηγικές. Β-Σ1 y Β-Σ 1-y Α-Σ1 x1 190 70 Α-Σ x 330 00 Α-Σ3 x3 310 30 Στη συνέχεια, εφαρμόζουμε τη γραφική μέθοδο επίλυσης. Έστω y η πιθανότητα η εταιρεία Β να ακολουθήσει τη στρατηγική της Β-Σ1, οπότε (1-y) είναι η πιθανότητα να ακολουθήσει τη Β-Σ. Για την εταιρεία Α έστω x1 η πιθανότητα να ακολουθήσει τη στρατηγική Α-Σ1, x να εφαρμόσει την Α-Σ και x3 να εφαρμόσει την Α-Σ3. Προφανώς ισχύει x1+x+x3 =1. Για την εταιρεία με δύο στρατηγικές (δηλαδή τη Β) έχουμε τις ακόλουθες σχέσεις για τις αναμενόμενες πληρωμές: V(Β, Α-Σ1) = 190y + 70(1-y) = 70 80y, V(B, Α-Σ) = 330y + 00(1-y) = 00 + 130y και V(B, A-Σ3) = 310y + 30(1-y) = 30 + 80y. Σύρουμε δύο κατακόρυφους άξονες με ίδια κλίμακα μέτρησης που απέχουν μεταξύ τους μία μονάδα και οι οποίοι αντιπροσωπεύουν την αξία για την εταιρεία Β (το κόστος για τη Β μια και ο πίνακας αναφέρεται στον παίκτη Α). Ο οριζόντιος άξονας παριστάνει τις τιμές της πιθανότητας y. Μετά φέρουμε τα ευθύγραμμα τμήματα που παριστάνουν τις «πληρωμές»
στην εταιρεία Β (δηλαδή τα V(Β, Α-Σi), i=1,,3)) ανάλογα με τη στρατηγική που εφαρμόζει η Α και την πιθανότητα εφαρμογής από την εταιρεία Β είτε της Β-Σ1 είτε της Β-Σ. Για να χαράξουμε τα τρία αυτά ευθύγραμμα τμήματα αρκεί να συνδέσουμε τις αντίστοιχες τιμές των δύο αξόνων από τον πίνακα πληρωμών δηλαδή για να χαράξουμε την ευθεία που αντιστοιχεί στο V(Β, Α-Σ1) συνδέουμε το 70 με το 190, για το V(Β, Α-Σ) συνδέουμε το 00 με το 330 και για την ευθεία V(Β, Α-Σ3) συνδέουμε το 30 με το 310.
Η εταιρεία Β επιλέγει minmax στρατηγική, δηλαδή επιλέγει το ελάχιστο από τα μέγιστα (τα χειρότερα για τη Β είναι τα μέγιστα οπότε επιλέγει το καλύτερο από τα χειρότερα). Επομένως, θα ακολουθήσει την τεθλασμένη γραμμή που βρίσκεται στην ανώτερη περιοχή του σχήματος και η οποία παρουσιάζεται με έντονες κόκκινες γραμμές. Επάνω σ αυτήν, θα επιλέξει το χαμηλότερο σημείο Κ. Ως εκ τούτου, η στρατηγική Α-Σ από την πλευρά της εταιρείας Α απορρίπτεται αφού δεν συμμετέχει στον καθορισμό του minmax σημείου Κ και το πρόβλημα γίνεται πρόβλημα διάστασης με τον ακόλουθο πίνακα πληρωμών, στον οποίο αντικαταστήσαμε τις πιθανότητες x1 και x3 με x και 1-x αντίστοιχα: Β-Σ1 y Β-Σ 1-y Α-Σ1 x 190 70 Α-Σ3 1-x 310 30 Στη συνέχεια επιλύουμε το παίγνιο ως πρόβλημα διάστασης : Εξισώνουμε τις V(Β, Α-Σ1) και V(Β, Α-Σ3) και έχουμε 70 80y = 30 + 80y που δίνει y=1/4 και 1-y=3/4 Η τιμή του παιγνίου βρίσκεται με αντικατάσταση των πιθανοτήτων σε οποιοδήποτε από τα V(Β, Α-Σ1) ή V(Β, Α-Σ3), δηλαδή είναι V = 70 80(1/4) = 30 + 80(1/4)=50 (αξία του παιγνίου δηλαδή πληρωμή για τον Α). Για την εταιρεία Α έχουμε ότι V(Α,Β-Σ1) = V(Α,Β-Σ) δηλαδή 190x + 310(1-x) = 70x +30(1-x) απ όπου προκύπτει ότι x = 1/ και 1-x = 1/. Αν αντικαταστήσουμε τις πιθανότητες αυτές είτε στο V(Α,Β-Σ1) είτε στο V(Α,Β-Σ) προκύπτει ότι V(Α,Β-Σ1) = V(Α,Β- Σ)=50, δηλαδή η αξία του παιγνίου που υπολογίσαμε νωρίτερα. Συνοψίζοντας, το αποτέλεσμα είναι το εξής: Μεικτή στρατηγική για την εταιρεία Α: (1/, 0, 1/) Μεικτή στρατηγική για την εταιρεία Β: (1/4, 3/4, 0)
Τιμή του παιγνίου V = 50 Το φυσικό νόημα της τιμής του παιγνίου είναι ότι, εφόσον επαναληφθεί πολλές φορές η διαδικασία με τους ίδιους όρους, η αναμενόμενη αξία των πωλήσεων της εταιρείας Α ανέρχεται σε 50 χιλιάδες ευρώ, ενώ για την εταιρεία Β θα είναι 50 50 = 70 χιλιάδες ευρώ (αφού είναι παιγνίδι σταθερού αθροίσματος με συνολικό άθροισμα 50 χιλιάδες ευρώ). Επομένως, από την όλη διαδικασία φαίνεται να είναι κερδισμένη η εταιρεία Β. ΘΕΜΑ 5 Ένας ασφαλιστής συνεργάζεται με κάποια αντιπροσωπεία αυτοκινήτων. Ο ασφαλιστής έχει ασφαλίσει 15 αυτοκίνητα της αντιπροσωπείας τα οποία έχουν το ίδιο έτος κατασκευής και προέρχονται από την ίδια κατασκευάστρια εταιρεία. Από παλιότερα δεδομένα που έχει συλλέξει η εταιρεία, έχει εκτιμηθεί ότι κάθε αυτοκίνητο με αυτά τα χαρακτηριστικά έχει πιθανότητα 5% να παρουσιάσει βλάβη σε ένα έτος. α. Ποια η πιθανότητα σε ένα έτος: i. να παρουσιάσουν βλάβη αυτοκίνητα; ii. να μην παρουσιάσει βλάβη κανένα από τα 15 αυτοκίνητα; iii. να παρουσιάσουν βλάβη τουλάχιστον αυτοκίνητα; β. Αν κάθε αυτοκίνητο που παρουσιάζει βλάβη μέσα στο έτος λαμβάνει αποζημίωση 500 ευρώ, ποιο είναι το συνολικό ποσό που αναμένεται να πληρώσει η ασφαλιστική εταιρεία; Ποια είναι η τυπική απόκλιση για τη συνολική αποζημίωση που θα πληρώσει η εταιρεία; Λ Υ Σ Η Έστω Χ ο αριθμός των αυτοκινήτων που παρουσιάζει βλάβη μέσα στο έτος. Τότε η τ.μ. Χ θα ακολουθεί τη διωνυμική κατανομή με n=15 και p=0,05, δηλ. X B( n, p ). Άρα: 15 P X x x x x 15x ( ) (0,05) (1 0,05), 0,1,...,15
Και οι ζητούμενες πιθανότητες θα είναι i. 15 PX ( ) (0, 05) (1 0, 05) 15 15 0, 05 0,95 13 1050,005 0,51=0,13 15 0 150 15 ii. PX ( 0) (0, 05) (1 0, 05) (0,95) 0, 46 0 iii. P( X ) 1 P( X 0) P( X 1) 15 15 1 (0,05) (1 0,05) (0,05) (1 0,05) 0 1 10, 46 0,37 0,17 0 150 1 151 Η συνολική αποζημίωση που θα πληρώσει η εταιρεία μετά το ένα έτος δίνεται από την τ.μ. Y 500X. Άρα ισχύει: E( Y) 500 E( X ) και κατανομή γνωρίζουμε ότι Var Y ( ) 500 Var( X). Για τη διωνυμική E( X ) np 150,05 0,75 και Var( X ) np(1 p) 150,05 0,95 0,71. Έτσι, έχουμε: EY ( ) 500 0,75 375 ευρώ, Var( Y) 500 0,71 177500 και Var( Y) 177500 41,31 ευρώ. Y