Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις Άσκηση 1 Σκοπεύετε να διοργανώσετε ένα πάρτι για τους συμφοιτητές σας κάτω από τους πιο κάτω περιορισμούς. Π1. Η Μαίρη δεν μπορεί να έρθει. Π2. Ο Ηλίας και η Αντιγόνη είτε θα έρθουν μαζί είτε καθόλου. Π3. Αν έρθει ο Ηλίας τότε θα έρθει και ο Παναγιώτης, αλλά αν έρθει ο Παναγιώτης δεν θα έρθει η Ελίνα. Π4. Απαραίτητη προϋπόθεση για να έρθει η Αγγέλα είναι, αν δεν έρθει ο Κώστας και η Μαίρη, να έρθει η Σάρα. Π5. Η Σάρα και ο Κώστας θα έρθουν στο πάρτι αν και μόνο αν δεν έρθει ο Χρίστος αλλά αν δεν έρθει ο Κώστας, τότε ο Χρίστος θα έρθει μόνο αν έρθει η Σάρα. Π6. Αν έρθει η Ελίνα δεν θα έρθει η Αντιγόνη. Επιπρόσθετα, θεωρήστε τα πιο κάτω σενάρια Σ1. Στο πάρτι δεν θα έρθει κανένας. Σ2. Στο πάρτι θα έρθει μόνο ο Ηλίας και η Αντιγόνη Σ3. Στο πάρτι θα έρθουν μόνο η Σάρα, ο Κώστας και η Ελίνα. Μεταφράστε όλες τις προτάσεις στον προτασιακό λογισμό και για κάθε μια από τις προτάσεις Σ1 Σ3 ελέγξτε κατά πόσο το σχετικό σενάριο είναι επιτρεπτό σύμφωνα με τους περιορισμούς Π1 Π5 χρησιμοποιώντας πίνακες αλήθειας. [ Προσοχή: Δεν είναι απαραίτητο να κατασκευάσετε πλήρως τους πίνακες αλήθειας. ] Μ: Θα έρθει η Μαίρη Η: Θα έρθει ο Ηλίας Σ: Θα έρθει η Σάρα Αν: Θα έρθει η Αντιγόνη Ε: Θα έρθει η Ελίνα Χ: Θα έρθει ο Χρίστος Π: Θα έρθει ο Παναγιώτης Κ: Θα έρθει ο Κώστας Αγ: Θα έρθει η Αγγέλα Χρησιμοποιώντας αυτές τις ατομικές προτάσεις οι προτάσεις Π1 Π6 και Σ1 Σ3, μεταφράζονται ως εξής: Π1. Μ Π2. (Αν Η) (Αν Η) Π3. (Η Π) (Π Ε) Π4. (Αγ Κ Μ) Σ Π5. [(Σ Κ) Χ] [(Χ Κ) Σ] Π6. Ε Αν Σ1. Μ Η Αν Π Ε Κ Σ Αγ Χ Σ2. Μ Η Αν Π Ε Κ Σ Αγ Χ Σ3. Μ Η Αν Π Ε Κ Σ Αγ Χ Ας θεωρήσουμε το σενάριο 1. Σε αυτή την περίπτωση ισχύει [[Μ]] = [[Η]]= [[Αν]] = [[Π]] = [[Κ]] = [[Ε]] = [[Χ]] = [[Σ]] = [[Αγ]] = F Στη συγκεκριμένη γραμμή των πινάκων αληθείας των προτάσεων παρατηρούμε ότι είναι όλες αληθείς εκτός από την Π5, συνεπώς το σενάριο δεν είναι συμβατό με τους περιορισμούς του προβλήματος: Σειρά Προβλημάτων 1 Χειμερινό Εξάμηνο 2017 Σελίδα 1
[[Π1]] = [[Μ]] = F = T [[Π2]] = [[(Αν Η) (Αν Η)]] = (F F) (F F) = T [[Π3]] = [[(Η Π) (Π Ε)]] = (F F) (F F) = T [[Π4]] = [[(Αγ Κ Μ) Σ]] = (F F F) F = T [[Π5]] = [[[(Σ Κ) Χ] [(Χ Κ) Σ]]] = [(F F) F] [(F F) F] = F [[Π6]] = [[Ε Αν]] = F F = T Ας θεωρήσουμε το σενάριο 2. Σε αυτή την περίπτωση ισχύει [[Μ]] = [[Π]] = [[Κ]] = [[Ε]] = [[Χ]] = [[Μ]] = [[Αγ]] = F, [[Η]] = [[Αν]] = Τ Στη συγκεκριμένη γραμμή των πινάκων αληθείας των προτάσεων παρατηρούμε ότι είναι όλες αληθείς εκτός από τις Π3 και Π5, συνεπώς το σενάριο δεν είναι συμβατό με τους περιορισμούς του προβλήματος: [[Π1]] = [[Μ]] = F = T [[Π2]] = [[(Αν Η) (Αν Η)]] = (Τ Τ) (Τ Τ) = T [[Π3]] = [[(Η Π) (Π Ε)]] = (Τ F) (F F) = F [[Π4]] = [[(Αγ Κ Μ) Σ]] = (F F F) F = T [[Π5]] = [[[(Σ Κ) Χ] [(Χ Κ) Σ]]] = [(F F) F] [(F F) F] = F [[Π6]] = [[Ε Αν]] = F Τ = T Ας θεωρήσουμε το σενάριο 3. Σε αυτή την περίπτωση ισχύει [[Μ]] = [[Π]] = [[Αν]] = [[Χ]] = [[Μ]] = [[Αγ]] = F, [[Σ]]=[[Κ]] = [[Ε]] = Τ Στη συγκεκριμένη γραμμή των πινάκων αληθείας των προτάσεων παρατηρούμε ότι είναι όλες αληθείς, συνεπώς το σενάριο είναι συμβατό με τους περιορισμούς του προβλήματος: [[Π1]] = [[Μ]] = F = T [[Π2]] = [[(Αν Η) (Αν Η)]] = (F F) (F F) = T [[Π3]] = [[(Η Π) (Π Ε)]] = (F F) (F T) = T [[Π4]] = [[(Αγ Κ Μ) Σ]] = (F T F) T = T [[Π5]] = [[[(Σ Κ) Χ] [(Χ Κ) Σ]]] = [(T T) F] [(F T) T] = T [[Π6]] = [[Ε Αν]] = T F = T Άσκηση 2 Να αποδείξετε τα πιο κάτω λογικά επακόλουθα. (α) p q, (r q) (s p), s t, t s t (β) (p q) r [(p q) p] [(p q) r] (γ) (p q) (p q) (p q) (p q) (δ) p (q r) q (p r) (ε) q p, p q, q p p q Σειρά Προβλημάτων 1 Χειμερινό Εξάμηνο 2017 Σελίδα 2
(α) p q, (r q) (s p), s t, t s t 1. p q προϋπόθεση 2. (r q) (s p) προϋπόθεση 3. s t προϋπόθεση 4. t s προϋπόθεση 5. t προσωρινή υπόθεση 6. s ΜP 4, 5 7. q e 2 1 8. r q i 2 7 9. s p MP 2, 8 10. p MP 9, 6 11. p e 1 1 12. e 10, 11 13. t i 5 12 (β) (p q) r [(p q) p] [(p q) r] 1. (p q) r προϋπόθεση 2. (p q) p προσωρινή υπόθεση 3. p q προσωρινή υπόθεση 4. p MP 2, 3 5. q MP 3, 4 6. p q i 4,5 7. r MP 1, 6 8. (p q) r i 3 7 9. [(p q) p] [(p q) r] i 2 8 (γ) (p q) (p q) (p q) (p q) 1. (p q) (p q) προϋπόθεση 2. p q προσωρινή υπόθεση 3. p προσωρινή υπόθεση q προσωρινή υπόθεση 4. q προσωρινή υπόθεση p προσωρινή υπόθεση 5. p q i 2 4 p q i 1 4 6. p q MP 1, 5 p q MP 1, 5 7. p e 1 6 q e 2 6 8. e 3, 7 e 3, 7 9. q i 4 8 p i 4 8 10. p q i 3,9 p q i 3,9 11. p q e 2, 3 10 12. (p q) (p q) i 2 11 Σειρά Προβλημάτων 1 Χειμερινό Εξάμηνο 2017 Σελίδα 3
(δ) p (q r) q (p r) 1. p (q r) προϋπόθεση 2. q προσωρινή υπόθεση 3. p p LEM 4. p πρ. υπ. p προσωρινή υπόθεση 5. p r i 1 4 q r MP 1, 4 6. q πρ. υπ. r πρ. υπ 7. e 6, 1 p r i 2 4 8. p r e 7 9 p r e 5, 6 8 10. p r e 3, 4 9 11. q (p r) MP 2 10 (ε) q p, p q, q p p q 1. q p προϋπόθεση 2. p q προϋπόθεση 3. q p προϋπόθεση 4. p p LEM 5. p προσωρινή υπόθεση p προσωρινή υπόθεση 6. p i 5 q MP 2, 5 7. q MT 1, 6 p q i 5, 6 8. q e 7 9. p MP 3, 8 10. q MP 2, 9 11. p q i 9, 10 12 p q e 4, 2 11 Άσκηση 3 Θεωρήστε τον τριαδικό τελεστή ifelse(p,q,r) ο οποίος ορίζεται ως ifelse(p,q,r) (p q) (p r). Διαισθητικά, ο τελεστής αυτός παίρνει την τιμή True αν ισχύει ένα από τα (i) το p είναι αληθές και το q είναι αληθές (ii) το p είναι ψευδές και το r είναι αληθές. Να προτείνετε κανόνες εισαγωγής και απαλοιφής του τελεστή αυτού και να τους χρησιμοποιήσετε για να αποδείξετε το πιο κάτω επακόλουθο. s, q, ifelse(p, q r, s r) r Κανόνας εισαγωγής: Σειρά Προβλημάτων 1 Χειμερινό Εξάμηνο 2017 Σελίδα 4
Κανόνες εξαγωγής:,,, ifelse e 1,, ifelse i,,, ifelse e 3 Ακολουθεί η απόδειξη του ζητούμενου επακόλουθου:,,,,,, ifelse e 2 ifelse e 4 1. s προϋπόθεση 2. q προϋπόθεση 3. ifelse(p, q r, s r) προϋπόθεση 4. q r προσωρινή υπόθεση 5. q e 4 6. e 2,5 7. (q r) i 4 6 8. p ifelse e 3 3,7 9. s r ifelse e 2 3,8 10. s προσωρινή υπόθεση r προσωρινή υπόθεση 11. e 1,10 12. r e 11 13. r e 9, 10 12 Άσκηση 4 Έστω μια πρόταση φ η οποία περιέχει τους λογικούς τελεστές και. Έστω φ* η πρόταση που προκύπτει αν αντικαταστήσουμε κάθε τελεστή από τον τελεστή και αντίστροφα, και κάθε ατομική πρόταση από την άρνηση της ατομικής πρότασης. Να αποδείξετε ότι η πρόταση φ* είναι σημασιολογικά ισοδύναμη με την πρόταση φ. [ Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε επαγωγή στη δομής της πρότασης φ. ] Βάση της επαγωγής: n = 0 Αν η φ δεν περιέχει κανένα τελεστή τότε είναι μία ατομική πρόταση. Δηλαδή, φ = p και φ* = p. Παρατηρούμε ότι φ = p = φ* επομένως φ φ* που είναι το ζητούμενο. Υπόθεση της επαγωγής: Έστω ότι το ζητούμενο ισχύει για κάθε n < k, δηλαδή, φ φ* για κάθε πρόταση φ με λιγότερους από k τελεστές. Σειρά Προβλημάτων 1 Χειμερινό Εξάμηνο 2017 Σελίδα 5
Βήμα της επαγωγής: Θα αποδείξουμε το ζητούμενο για n = k. Έστω πρόταση φ με k τελεστές. H πρόταση μπορεί να έχει μία από τρεις μορφές που τις θεωρούμε πιο κάτω ξεχωριστά: φ = ψ. Σε τέτοια περίπτωση φ* = (ψ)* (ψ*). Από την υπόθεση της επαγωγής και αφού η πρόταση ψ περιέχει λιγότερους από k τελεστές, ψ* ψ. Επομένως ισχύει ότι: φ*= (ψ)* (ψ*) ( ψ) φ φ = φ 1φ 2. Σε τέτοια περίπτωση φ* = φ 1* φ 2*, και φ = (φ 1 φ 2). Από την υπόθεση της επαγωγής και αφού οι προτάσεις φ 1 και φ 2 περιέχουν λιγότερους από k τελεστές, φ 1* φ 1 και φ 2* φ 2. Για να ισχύει φ* φ πρέπει οι προτάσεις φ 1*φ 2* και (φ 1φ 2) να είναι αληθείς ακριβώς στις ίδιες γραμμές του πίνακα αλήθειας τους. Ο πιο κάτω πίνακας επιδεικνύει αυτό το γεγονός. φ 1 φ 2 φ 1* φ 2* φ = (φ 1φ 2) φ* = φ 1* φ 2* T T F F F F T F F T F F F T T F F F F F T T T T φ = φ 1φ 2. Σε τέτοια περίπτωση φ* = φ 1*φ 2*, και φ =(φ 1φ 2). Από την υπόθεση της επαγωγής και αφού οι προτάσεις φ 1 και φ 2 περιέχουν λιγότερους από k τελεστές, φ 1* φ 1 και φ 2* φ 2. Για να ισχύει φ* φ πρέπει οι προτάσεις (φ 1φ 2 ) και φ 1*φ 2* να είναι αληθείς ακριβώς στις ίδιες γραμμές του πίνακα αλήθειας τους. Ο πιο κάτω πίνακας επιδεικνύει αυτό το γεγονός. φ 1 φ 2 φ 1* φ 2* φ = (φ 1φ 2) φ* = φ 1*φ 2* T T F F F F T F F T T T F T T F T T F F T T T T Αυτό ολοκληρώνει την απόδειξη του βήματος της επαγωγής και το ζητούμενο έπεται. Άσκηση 5 Να μετατρέψετε κάθε μια από τις προτάσεις σε CNF και στη συνέχεια να αποφασίσετε κατά πόσο είναι έγκυρη. (α) Α Β Α Β (β) Α Β Α Β (γ) Α Α Β (δ) Α Α Β (ε) [ ( Α Β) ( Β Α) (Α Β) ] (Β Α) Σειρά Προβλημάτων 1 Χειμερινό Εξάμηνο 2017 Σελίδα 6
(α) (Α Β) (Α Β) = (A B) (A B) Impl_free = A B (A B) NNF = A B A B NNF Παρατηρούμε ότι η πρόταση είναι έγκυρη αφού η διάζευξη περιέχει αντίθετους όρους. (β) (Α Β) (Α Β) = (A B) (A B) Impl_free = (A B) (A B) NNF = (A (A B)) (Β (A B)) CNF_rec = (A A) (Α B) (Β A) (ΒB) CNF_rec Παρατηρούμε ότι η πρόταση δεν είναι έγκυρη αφού υπάρχουν διαζεύξεις οι οποίες δεν περιέχουν αντίθετους όρους. (γ) Α (Α Β) = Α (A B) Impl_free = Α (A B) NNF Παρατηρούμε ότι η πρόταση δεν είναι έγκυρη αφού καμία διάζευξη δεν περιέχει αντίθετους όρους. (δ) Α (Α Β) = Α (A B) Impl_free = Α A B NNF Παρατηρούμε ότι η πρόταση δεν είναι έγκυρη αφού η διάζευξη δεν περιέχει αντίθετους όρους. (ε) [ ( Α Β) (Β Α) (Α Β) ] (Β Α) = [(Α Β) (Β Α) (Α Β) ] (Β Α) Impl_free = [(Α Β) (Β Α) (Α Β) ] (Β Α) Impl_free = (Α Β) (Β Α) (Α Β) (Β Α) NNF = (Α Β) (Β Α) (Α Β) (Β Α) NNF = (Α Β) (Β Α) (Α Β) (Β Α) NNF = (Α (Β Α) (Α Β) (Β Α)) CNF_rec (Β (Β Α) (Α Β) (Β Α)) = ((A B (Α Β) (Β Α)) (Α Α (Α Β) (Β Α)) (Β Β (Α Β) (Β Α)) (Β Α (Α Β) (Β Α)) CNF_rec = (A B A (Β A )) (A B B (Β A )) (Α Α Α (Β Α)) (Α Α Β (Β Α)) (Β Β Α (Β Α)) (Β Β Β (Β Α)) (Β Α Α (Β Α)) (Β Α Β (Β Α)) CNF_rec = (A B A Β ) (A B A A ) (A B B Β ) (A B B A ) (Α Α Α Β) (Α Α Α Α) (Α Α Β Β) (Α Α Β Α) (Β Β Α Β) (Β Β A Α) (Β Β B Β) (Β Β B Α) (Β Α Α Β) (Β Α Α Α)) (Β Α Β Β ) (Β Α Β Α) CNF_rec Παρατηρούμε ότι η πρόταση είναι έγκυρη αφού όλες διαζεύξεις περιέχουν αντίθετους όρους. Σειρά Προβλημάτων 1 Χειμερινό Εξάμηνο 2017 Σελίδα 7