Δείξτε ότι οι ιδιοκαταστάσεις της ενέργειας του ελεύθερου κβαντικού Jˆ Jˆ Jˆ περιστροφέα με Χαμιλτονιανή Hˆ = x y z και ολική στροφορμή j = x y z είναι οι ιδιοκαταστάσεις των τριών συνιστωσών της στροφορομής του, δηλαδή των τελεστών Jˆ x,jˆ y, Jˆ z, με ιδιοτιμή. Τι συμβαίνει όταν x = y ; Εξηγήστε. Λύση Για j =, οι πίνακες που αναπαριστούν τους τελεστές Jˆ x,jˆ y, Jˆ z στη διατεταγμένη r βάση {,,,,, - } των ιδιοκαταστάσεων των τελεστών Jˆ και Jˆ z είναι æ ö æ - ö æ ö h ih Jx =, Jy = -, J z = h - Το ιδιοδιάνυσμα ιδιοτιμής του πίνακα J x προκύπτει από την εξίσωση æ xö æ öæ x ö æ y ö h Jx y = Þ y = Þ x z = z y z Επομένως y = x z = Þ z = -x, x Î æ x ö æö Έτσι, το μη κανονικοποιημένο ιδιοδιάνυσμα είναι το = x. -x - Με κανονικοποίηση παίρνουμε æö = x ( -) = x ( ( -)( -) ) = x - x =Þ x = Λαμβάνοντας υπόψη τη συμμετρία φάσης των κβαντικών καταστάσεων, επιλέγουμε x= Έτσι, το κανονικοποιημένο ιδιοδιάνυσμα ιδιοτιμής του πίνακα J x είναι το
æö - Το ιδιοδιάνυσμα αυτό αναπαριστά, στη βάση {,,,,, - }, την ιδιοκατάσταση ιδιοτιμής του τελεστή Jˆ x. Όμως ææö æ öö æö = - - æö Το διάνυσμα αναπαριστά το ο διάνυσμα της βάσης, δηλαδή την κατάσταση æö,, ενώ το διάνυσμα αναπαριστά το 3ο διάνυσμα της βάσης, δηλαδή την κατάσταση, -. ææö æöö Επομένως, το διάνυσμα - αναπαριστά την κατάσταση (, -, - ) Αυτή είναι η ιδιοκατάσταση ιδιοτιμής του τελεστή Jˆ x. Με το ίδιο σκεπτικό, το ιδιοδιάνυσμα ιδιοτιμής του πίνακα J y προκύπτει από την εξίσωση æ xö æ - öæ x ö æ -y ö ih Jy y = Þ - y = Þ x - z = z y z Επομένως -y = x-z = y = y = z = x, xî
æxö æö Έτσι, το μη κανονικοποιημένο ιδιοδιάνυσμα είναι το = x. x Όπως και πριν, με κανονικοποίηση παίρνουμε, αν παραλείψουμε τη σταθερή φάση που δεν επηρεάζει τη φυσική, x= æö Έτσι, το κανονικοποιημένο ιδιοδιάνυσμα ιδιοτιμής του πίνακα J y είναι το, ææö æöö που γράφεται, επομένως αναπαριστά την κατάσταση (,, - ) Αυτή είναι η ιδιοκατάσταση ιδιοτιμής του τελεστή Jˆ y. Η ιδιοκατάσταση ιδιοτιμής του τελεστή Jˆ είναι η κατάσταση z,, που είναι το ο διάνυσμα της διατεταγμένης βάσης μας, επομένως αναπαρίσταται από æö το διάνυσμα. Δείξαμε στην προηγούμενη ανάρτηση ότι όταν j =, η Χαμιλτονιανή Jˆx Jˆ y Jˆ ˆ H= z αναπαρίσταται από τον πίνακα x y z æ x y z h H= x y x y ö x y z x y Αν δράσουμε με τον πίνακα της Χαμιλτονιανής στο ιδιοδιάνυσμα ιδιοτιμής του πίνακα J x, θα πάρουμε
æ ö x y z x y æö æ ö h = H = x y - x y z x y æ ö æ ö z y z æö y æ ö h h h = = = z - y æ ö - - - y z y z æö æö h æ ö H = y z - - æö Επομένως, το διάνυσμα είναι ιδιοδιάνυσμα του πίνακα της Χαμιλτονιανής - h æ ö του περιστροφέα μας, με ιδιοτιμή. y z Άρα, η κατάσταση (, -, - ), δηλαδή η ιδιοκατάσταση ιδιοτιμής του h æ ö τελεστή Jˆ x, είναι ιδιοκατάσταση ενέργειας του περιστροφέα μας. y z Με το ίδιο σκεπτικό, αν δράσουμε με τον πίνακα της Χαμιλτονιανής στο ιδιοδιάνυσμα ιδιοτιμής του πίνακα J y, θα πάρουμε
æ x y z æö h H = x y x y æ ö x z h æ ö æ ö h = = x z x z ö æ ö = x y z x y æö æö h æ ö H = x z æö Επομένως, το διάνυσμα είναι ιδιοδιάνυσμα του πίνακα της Χαμιλτονιανής h æ ö του περιστροφέα μας, με ιδιοτιμή. x z (,, - ), δηλαδή η ιδιοκατάσταση ιδιοτιμής του h æ ö ˆ τελεστή J y, είναι ιδιοκατάσταση ενέργειας του περιστροφέα μας. x z Άρα, η κατάσταση æö Τέλος, αν δράσουμε με τον πίνακα της Χαμιλτονιανής στο διάνυσμα, που αναπαριστά την κατάσταση,, δηλαδή την ιδιοκατάσταση ιδιοτιμής του τελεστή Jˆ, θα πάρουμε z
æ x y z æö h H = x y æö h æ ö = x y x y ö æ ö æ ö h = = x y x y z x y æö æö h æ ö H = x y æö Επομένως, το διάνυσμα είναι ιδιοδιάνυσμα του πίνακα της Χαμιλτονιανής του h æ ö περιστροφέα μας, με ιδιοτιμή. x y Άρα, η κατάσταση,, δηλαδή η ιδιοκατάσταση ιδιοτιμής του τελεστή Jˆ z, είναι h æ ö του περιστροφέα μας. x y Όπως είδαμε στην ανάρτηση με τίτλο «Ο κβαντικός περιστροφέας Γενικά», όταν ο περιστροφέας είναι συμμετρικός ως προς τους άξονες x και y, δηλαδή όταν x = y, η ιδιοκατάσταση ενέργειας rˆ æ ö ˆ Χαμιλτονιανή του περιστροφέα γράφεται Hˆ = J - J z, και τότε οι x z x r ιδιοκαταστάσεις της είναι οι κοινές ιδιοκαταστάσεις των τελεστών Jˆ και Jˆ z, δηλαδή οι καταστάσεις j, m που, για j =, είναι οι καταστάσεις, -,,,,. Είδαμε επίσης ότι η ενέργεια της ιδιοκατάστασης j, m είναι h æ j ( j ) - m m ö, που σημαίνει ότι οι καταστάσεις j, m και j, - m x z είναι εκφυλισμένες. Στην περίπτωσή μας, όπου j =, οι καταστάσεις, και, - έχουν την ίδια ενέργεια, επομένως κάθε κατάσταση που ανήκει στον υπόχωρο που παράγουν οι δύο αυτές καταστάσεις είναι επίσης ιδιοκατάσταση της Χαμιλτονιανής, με την ίδια ενέργεια, αφού αν a, b, - ένας τυχαίος γραμμικός συνδυασμός των δύο καταστάσεων, τότε E j,m =
Hˆ ( a, b, - ) = a Hˆ, b Hˆ, - = ae, be,, - = 3 44 3 E, ={E,-, = E, ( a, b, - ) E,, E,-,- Hˆ ( a, b, - ) = E, ( a, b, - ) Η κατάσταση a, b, - είναι, επομένως, ιδιοκατάσταση της Χαμιλτονιανής, με ενέργεια την κοινή ενέργεια των δύο εκφυλισμένων καταστάσεων. Έτσι, οι καταστάσεις (, -, - ) και (,, - ) είναι πάλι ιδιοκαταστάσεις της Χαμιλτονιανής, όπως φυσικά και η,. Επομένως, σε κάθε περίπτωση, δηλαδή και όταν x ¹ y και όταν x = y, οι καταστάσεις (, -, - ), (,, - ),,, δηλαδή οι ιδιοκαταστάσεις των τελεστών Jˆ x,jˆ y, Jˆ z, με ιδιοτιμή, είναι οι ιδιοκαταστάσεις της ενέργειας του περιστροφέα όταν j =. Όταν x = y, οι ιδιοκαταστάσεις (, -, - ) και (,, - ) είναι εκφυλισμένες, και τότε οι καταστάσεις, και, - είναι ιδιοκαταστάσεις της ενέργειας του περιστροφέα, με την ίδια ενέργεια με τις καταστάσεις (, -, - ) και (,, - ). Έτσι, στην περίπτωση που x = y, αντί για τις καταστάσεις (, -, - ), (,, - ),,, μπορούμε να επιλέξουμε τις καταστάσεις, -,,,, ως ιδιοκαταστάσεις της ενέργειας του περιστροφέα. Με άλλα λόγια, αν x = y, τότε και το σύνολο ì (, -, - ), (,, - ),, üý í î þ και το σύνολο {,,,,, - } είναι σύνολα ιδιοκαταστάσεων της ενέργειας του περιστροφέα.
Αντίθετα, αν x ¹ y, μόνο το ο από τα δύο σύνολα είναι σύνολο ιδιοκαταστάσεων της ενέργειας του περιστροφέα, αφού τότε οι καταστάσεις, και, - δεν είναι ιδιοκαταστάσεις της ενέργειας του περιστροφέα. Σπύρος Κωνσταντογιάννης Φυσικός, M.Sc. skonstan@hotmail.com