Μέθοδος Ειδώλων
Δομή Διάλεξης 1 ο παράδειγμα εφαρμογής μεθόδου ειδώλων για εύρεση δυναμικού με δεδομένες οριακές συνθήκες και ύπαρξη συμμετρίας: Φορτίο πάνω από άπειρο επίπεδο αγωγό. Εύρεση επαγόμενων επιφανειακών φορτίων Εύρεση δύναμης που ασκείται στο πραγματικό φορτίο και αποθηκευμένης ηλεκτροστατικής ενέργειας. 2 ο παράδειγμα: Φορτίο στο εξωτερικό αγώγιμης σφαίρας Σύνοψη
Φορτίο πάνω από αγώγιμο επίπεδο Εύρεση δυναμικού στην περιοχή πάνω από τον γειωμένο επίπεδο αγωγό (V=0): Συνοριακές συνθήκες: Μέθοδος ειδώλων: Τοποθέτηση φορτίων (ειδώλων) έξω από την περιοχή όπου υπολογίζεται το πεδίο με σκοπό την διαμόρφωση (μαζί με τα πραγματικά φορτία) των συνοριακών συνθηκών που δίνονται στο πρόβλημα. Το ηλεκτρικό δυναμικό προκύπτει από την υπέρθεση των δυναμικών των πραγματικών φορτίων μαζί με τα φορτία-είδωλα που βρίσκονται πάντα εκτος της περιοχής όπου υπολογίζεται το δυναμικό (πεδίο). Χρήση 1 ου θεωρήματος μοναδικότητας για κατοχύρωση μοναδικότητας λύσης.
Φορτίο πάνω από αγώγιμο επίπεδο Εύρεση δυναμικού στην περιοχή πάνω από τον γειωμένο επίπεδο αγωγό (V=0): Συνοριακές συνθήκες: Φορτίο είδωλο: Το νέο δυναμικό μαζί με το φορτίο-είδωλο μηδενίζεται αυτόματα πάνω στο επίπεδο z=0 και ικανοποιεί τις συνοριακές συνθήκες.
Φορτίο πάνω από αγώγιμο επίπεδο Το νέο δυναμικό μαζί με το φορτίο-είδωλο μηδενίζεται αυτόματα πάνω στο επίπεδο z=0 και ικανοποιεί τις συνοριακές συνθήκες. Το δυναμικό αυτό ικανοποιεί την ίδια εξίσωση Poisson στον πάνω ημιχώρο καθώς και τις ίδιες οριακές συνθήκες. Άρα από το 1 ο θεώρημα μοναδικότητας είναι η μοναδική λύση του προβλήματος (Poisson + οριακές συνθήκες) στον πάνω ημιχώρο. Στον κάτω ημιχώρο όμως δεν είναι λύση γιατί δεν ικανοποιεί την ίδια διαφορκή (Laplace) με το αρχικό πρόβλημα λόγω του νέου φορτίου ειδώλου (η Laplace γίνεται Poisson με δ συνάρτηση λόγω του φορτίου).
Επαγώμενο φορτίο Εύρεση επιφανειακής πυκνότητας φορτίου από την παράγωγο του δυναμικού:
Ολικό Επαγώμενο Φορτίο Πολικές συντεταγμένες: To ολικό επαγόμενο φορτίο είναι ίσο με το σημειακό φορτίο.
Ασκούμενη δύναμη στο φορτίο Το σημειακό φορτίο βρίσκεται σε ηλεκτρικό πεδίο ίσο με το πεδίο που θα προκαλούσε το φορτίο-είδωλο. Άρα η δύναμη που δέχεται είναι (ελκτική προς το επίπεδο): Ενέργεια κατανομής φορτίων: Συνεισφορά μόνο από ένα ημιχώρο Εναλλακτική απόδειξη: Δεν παράγεται έργο στο φορτίο είδωλο.
Φορτίο κοντά σε γειωμένη σφαίρα Εύρεση δυναμικού στο εξωτερικό της σφαίρας (εύρεση ειδώλου στο εσωτερικό της σφαίρας που παράγει V=0 στην επιφάνεια της σφαίρας): Έστω φορτίο q είδωλο σε απόσταση b<r (εσωτερικό της σφαίρας δηλ. εκτός της περιοχής που μας ενδιαφέρει). Απαιτούμε να μηδενίζει το δυναμικό στην επιφάνεια της σφαίρας. Επιλογή q, b (μπορεί να βρεθεί και από την απαίτηση σφαιρικού μηδενισμού στο R) <R
Φορτίο κοντά σε γειωμένη σφαίρα Επιλογή q, b (μπορεί να βρεθεί και από την απαίτηση σφαιρικού μηδενισμού στο R) Είναι λύση της ηλεκτροστατικής (εξίσωση Poisson) στο εξωτερικό της σφαίρας και ικανοποιεί οριακή συνθήκη (μηδενισμός στο r=r). Άρα από 1 ο θεώρημα μοναδικότητας είναι μοναδική λύση του προβλήματος.
Δύναμη στο φορτίο q To φορτίο q βρίσκεται σε ηλεκτρικό πεδίο που θα μπορούσε να παράγεται από το φορτίο-είδωλο q (στην πραγματικότητα το ίδιο πεδίο παράγεται από τα επαγωγικά φορτία στην επιφάνεια της γειωμένης σφαίρας). Άρα η δύναμη που ασκείται στο φορτίο q προκύπτει ως:
Προτεινόμενες ασκήσεις Από Griffiths: 3.6, 3.7, 3.8, 3.9
Σύνοψη Μέθοδος ειδώλων: Τοποθέτηση φορτίων (ειδώλων) έξω από την περιοχή όπου υπολογίζεται το πεδίο με σκοπό την διαμόρφωση (μαζί με τα πραγματικά φορτία) των συνοριακών συνθηκών που δίνονται στο πρόβλημα. Το 1 ο θεώρημα μοναδικότητας εξασφαλίζει μοναδικότητα της λύσης για το δυναμικό. Στην μέθοδο των ειδώλων το δυναμικό προκύπτει από την υπέρθεση των δυναμικών των πραγματικών φορτίων και των φορτίων-ειδώλων που βρίσκονται πάντα εκτός της περιοχής όπου υπολογίζεται το δυναμικό. Από το υπολογισμένο δυναμικό μπορεί να βρεθεί το ηλεκτρικό πεδίο, η επιφανειακή πυκνότητα φορτίου στους αγωγούς (όρια περιοχής) και η δύναμη που ασκείται από το ηλεκτρικό πεδίο πάνω στα πραγματικά φορτία. Παραδείγματα εφαρμογής της μεθόδου των ειδώλων εμφανίζονται όταν έχουμε σημειακό φορτίο πάνω από άπειρο αγώγιμο επίπεδο και σημειακό φορτίο έξω από αγώγιμη σφαίρα.