Στατιστική Συμπερασματολογία Διαφάνειες 3 ου κεφαλαίου Έλεγχος Σύνθετων Υποθέσεων Σταύρος Χατζόπουλος 13/03/2017, 20/03/2017, 27/03/2017 1
Ιδιότητα Μονότονου Λόγου Πιθανοφανειών Συνήθως, καταστάσεις, όπως αυτές που αναφέρθηκαν στο 2 ο κεφάλαιο, δεν είναι συχνές, αφού οι συνήθεις οικογένειες κατανομών, τις περισσότερες φορές, εξαρτώνται από μια ή περισσότερες συνεχείς παραμέτρους. Στην απλούστερη περίπτωση, που η κατανομή εξαρτάται από μία μόνο παράμετρο, η αρχική υπόθεση είναι μονόπλευρη. Για παράδειγμα, έστω Η :. Στηγενικήπερίπτωσηηισχυρότατηελεγχοσυνάρτηση της Η έναντι της εναλλακτικής Η : εξαρτάται από την παράμετρο και συνεπώς δεν υπάρχει Ι.Ε. Όμως, αν ικανοποιείται μια επιπλέον συνθήκη, υπάρχει Ο.Ι.Ε. Αυτή η επιπλέον συνθήκη είναι η ιδιότητα του μονότονου λόγου πιθανοφανειών (Μ.Λ.Π.). 2
Ιδιότητα Μονότονου Λόγου Πιθανοφανειών Ορισμός 3.1. Έστω Χ τ.δ. από την οικογένεια κατανομών ;, Ω της οποίας το πεδίο ορισμού είναι ανεξάρτητο από άγνωστες παραμέτρους. Η οικογένεια κατανομών ; έχει την ιδιότητα του μονότονου λόγου πιθανοφανειών, αν υπάρχει μια πραγματική συνάρτηση x ) τέτοια, ώστε για οι κατανομές x ;και x ; να είναι διακεκριμένες και ο λόγος x ; x ; να είναι μια αύξουσα συνάρτηση της x. 3
Ιδιότητα Μονότονου Λόγου Πιθανοφανειών Παράδειγμα 3.1. Δίνεται η οικογένεια κατανομών ;,. Να αποδειχθεί ότι η ; έχει την ιδιότητα του μονότονου λόγου πιθανοφανειών. Λύση. Έστω, τότε: Επίσης, ο λόγος: x ; 1 exp x ; x ; 1 exp exp 1 1 x ;. είναι αύξουσα συνάρτηση του x. Επομένως, η οικογένεια κατανομών x ; έχει την ιδιότητα του Μ.Λ.Π. ως προς τη συνάρτηση X,. 4
Ιδιότητα Μονότονου Λόγου Πιθανοφανειών Θεώρημα 3.1. Αν η μονοπαραμετρική κατανομή ; ανήκει στην Ε.Ο.Κ. και είναι της μορφής: ; exp, όπου 0,, 0, Ω, τότε η ; έχει την ιδιότητα του Μ.Λ.Π. ως προς τη συνάρτηση, αν η είναι αύξουσα, και ως προς τη συνάρτηση, αν η είναι φθίνουσα. Επίσης, η πιθανοφάνεια x ; έχει την ιδιότητα του Μ.Λ.Π. ως προς τη συνάρτηση x, αν η είναι αύξουσα, ως προς τη συνάρτηση x, αν η είναι φθίνουσα. 5
Ιδιότητα Μονότονου Λόγου Πιθανοφανειών Πόρισμα 3.1. Αν η κατανομή ; έχει την ιδιότητα του Μ.Λ.Π. ως προς τη συνάρτηση καιανήκειστηνε.ο.κ., τότε η πιθανοφάνεια x ; έχει επίσης την ιδιότητα του Μ.Λ.Π. ως προς τη συνάρτηση: x. Παρατήρηση 3.1. Από το θεώρημα 3.1 και το πόρισμα 3.1 προκύπτει ότι οι παρακάτω οικογένειες κατανομών έχουν την ιδιότητα του Μ.Λ.Π. ως προς τη συνάρτηση x : Διωνυμική,, Poisson,. Κανονική,,. 6
Στη συνέχεια θα μελετηθούν οι έλεγχοι σύνθετων υποθέσεων οι οποίοι έχουν τη μορφή: 1. Η : θθ ως προς την εναλλακτική Η : θθ. 2. Η : θθ ως προς την εναλλακτική Η : θθ. 3. Η : θθ ή θθ ως προς την εναλλακτική Η : θ θθ. 4. Η : θ θθ ως προς την εναλλακτική Η : θθ ή θθ. Θα αποδειχθεί ότι, αν η κατανομή έχει την ιδιότητα του Μ.Λ.Π., τότε υπάρχουν Ο.Ι.Ε. για τις κλάσεις των υποθέσεων 1, 2, 3, αλλά όχι για την 4. Όμως, αν ο ερευνητής περιοριστεί στην κλάση των αμερόληπτων ελεγχοσυναρτήσεων, τότε είναι δυνατό να κατασκευασθεί Ο.Ι.Ε. για την κλάση των υποθέσεων 4. 7
Θεώρημα 3.2. Έστω η τ.μ. με κατανομή ;, Ω,. Ας υποτεθεί ότι η συνάρτηση πιθανοφάνειας x ; έχει την ιδιότητα του Μ.Λ.Π. ως προς τη συνάρτηση x. Για τον έλεγχο της απλής αρχικής υπόθεσης Η : έναντι της σύνθετης εναλλακτικής υπόθεσης Η : η ελεγχοσυνάρτηση που δίνεται από τη σχέση: 1, αν x x, αν x 0, αν x, είναι Ο.Ι.Ε. για τον έλεγχο της Η έναντι της Η σε σ.σ. a. Υπενθυμίζεται ότι οι σταθερές 0,1 και 0δίνονται από τη σχέση: X a. Επιπλέον, αν η κατανομή ; είναι συνεχής, τότε 0. 8
Θεώρημα 3.3. Έστω η τ.μ. με κατανομή ;, Ω,. Ας υποτεθεί ότι η συνάρτηση πιθανοφάνειας x ;, έχει την ιδιότητα του Μ.Λ.Π. ως προς τη συνάρτηση x. Για τον έλεγχο της απλής αρχικής υπόθεσης Η : έναντι της σύνθετης εναλλακτικής υπόθεσης Η : η ελεγχοσυνάρτηση που δίνεται από τη σχέση: 1, αν x x, αν x 0, αν x, είναι Ο.Ι.Ε. για τον έλεγχο της Η έναντι της Η σε σ.σ. a. Υπενθυμίζεται ότι οι σταθερές 0,1 και 0δίνονται από τη σχέση: x a. Επιπλέον, αν η κατανομή ; είναι συνεχής, τότε 0. 9
Παράδειγμα 3.3. Δίνεται τυχαίο δείγμα,,, από κατανομή με σ.π.π. ;, όπου,,. Σε στάθμη σημαντικότητας a να γίνει ο έλεγχος των υποθέσεων : έναντι της εναλλακτικής : για. Λύση. Η συνάρτηση πιθανοφάνειας δίνεται από τη σχέση: ; ; 1 exp 1 exp Στο παράδειγμα 3.1 αποδείχθηκε ότι η ; έχει την ιδιότητα του Μ.Λ.Π. ως προς τη συνάρτηση. Σύμφωνα με το θεώρημα 3.2. η Ο.Ι.Ε. για τον έλεγχο των υποθέσεων Η : 10έναντι της Η : 10είναι: x 1, αν 0, αν,. 10
όπου η σταθερά υπολογίζεται από τη σχέση: a Χ P. Να σημειωθεί ότι οι τ.μ.,,, είναι ανεξάρτητες και ακολουθούν την κατανομή 1,. Από την άσκηση 1.4, προκύπτει ότι η τ.μ. ακολουθεί την κατανομή, ενώ η τ.μ. ακολουθεί κατανομή. Επομένως, θέτοντας, προκύπτει: 2 a Χ P 2 ;. Για 10, 31και a 0.05 προκύπτει, με χρήση της συνάρτησης «CHISQ.INV.RT(0.05;62)» του Excel, ότι ;. 5 81.3810 406.9051. 11
Θεώρημα 3.4. Έστω η τ.μ. με κατανομή ;, όπου Ω, και X,,, τ.δ. από την κατανομή αυτή. Ας υποτεθεί ότι η πιθανοφάνεια x ; έχει την ιδιότητα του Μ.Λ.Π. ως προς τη συνάρτηση x. Τότε για τον έλεγχο της μηδενικής υπόθεσης Η : ως προς την εναλλακτική Η :, υπάρχει Ο.Ι.Ε. που δίνεται από τη σχέση: x 1, αν x, αν x 0, αν x όπου οι σταθερές και υπολογίζονται από τη σχέση:, 3.4 a X. 3.5 Η συνάρτηση ισχύος X είναι αυστηρά αύξουσα για κάθε Ω 12
Θεώρημα 3.5. Έστω η τ.μ. με κατανομή ;, όπου Ω, και X,,, τ.δ. από την κατανομή αυτή. Αν υποτεθεί ότι η πιθανοφάνεια x ; έχει την ιδιότητα του Μ.Λ.Π. ως προς τη συνάρτηση x, τότε για τον έλεγχο της μηδενικής υπόθεσης Η : ως προς την εναλλακτική Η : υπάρχει Ο.Ι.Ε. που δίνεται από τη σχέση: 1, αν x x, αν x 0, αν x, 3.7 όπου οι σταθερές και υπολογίζονται από τη σχέση: a Χ. Επιπλέον, η συνάρτηση ισχύος Χ είναι φθίνουσα συνάρτηση ως προς. 13
Πόρισμα 3.2. Έστω η τ.μ. με κατανομή ; από την Ε.Ο.Κ.: x ; exp x x. Για τον έλεγχο της αρχικής υπόθεσης Η : έναντι της εναλλακτικής Η : η Ο.Ι.Ε. δίνεται από τις σχέσεις (3.4) και (3.5) αν η συνάρτηση είναι αύξουσα, και από τις σχέσεις (3.7) και (3.5) αν η συνάρτηση είναι φθίνουσα. Για τον έλεγχο της αρχικής υπόθεσης Η : έναντι της εναλλακτικής Η : η Ο.Ι.Ε. δίνεται από τις σχέσεις (3.7) και (3.5) αν η συνάρτηση είναι αύξουσα, και από τις σχέσεις (3.4) και (3.5) αν η συνάρτηση είναι φθίνουσα. 14
Παράδειγμα 3.4. Να μελετηθούν οι καμπύλες ισχύος ομοιόμορφα ισχυρότατων ελεγχοσυναρτήσεων της μηδενικής υπόθεσης : έναντι των εναλλακτικών : και :, όπου είναι η μέση τιμή της κανονικής κατανομής,, και γνωστό. Λύση. Η σ.π.π. της κανονικής κατανομής, είναι: ; 1 1 exp 2 2. Επομένως, η συνάρτηση πιθανοφάνειας δίνεται από τη σχέση: δηλαδή: x ; ; x ; 1 2 exp, exp 1 2. 15
Εύκολα διαπιστώνεται ότι η x ;είναιεκθετικήςμορφήςκαιέχειτηνιδιότητατουμ.λ.π. ως προς x. 1 η Περίπτωση. Για τον έλεγχο των υποθέσεων Η : έναντι της εναλλακτικής Η : η Ο.Ι.Ε. είναι: όπου: x 1, αν 0, αν, P a P a. 16
Αν ισχύει ότι P a, τότε: Η συνάρτηση ισχύος είναι:. X P P, δηλαδή: 1Φ 1Φ Φ. Από την προηγούμενη σχέση, αλλά και από το θεώρημα 3.2 η συνάρτηση ισχύος είναι αύξουσα συνάρτηση του, του μεγέθους του δείγματος και της σ.σ. a. Στα παρακάτω σχήματα δίνονται οι καμπύλες ισχύος σε σχέση με τη στάθμη σημαντικότητας και το μέγεθος του δείγματος. 17
Σχήμα 3.1. Καμπύλη ισχύος της Ο.Ι.Ε. για τον έλεγχο της υπόθεσης H 0 : θ = θ 0 έναντι της H 1 : θ > θ 0. 18
Σχήμα 3.2. Καμπύλεςισχύοςγιασ.σ. a=0.05και a = 0.10, για τον έλεγχο της μηδενικής υπόθεσης H0: θ = θ0 έναντι της εναλλακτικής H1: θ > θ0. 19
Σχήμα 3.3. Καμπύλες ισχύος για δύο ελέγχους σε σ.σ. a=0.05με διαφορετικά μεγέθη δειγμάτων,n >n,για τον έλεγχο της υπόθεσης H 0 : θ = θ 0 έναντι της H 1 : θ > θ 0 20
2 η Περίπτωση. Για τον έλεγχο των υποθέσεων Η : έναντι της εναλλακτικής Η : η Ο.Ι.Ε. δίνεται από τη σχέση: όπου: P a P Η συνάρτηση ισχύος είναι: x 1, αν 0, αν, X P P a. Φ. Στην περίπτωση αυτή η συνάρτηση ισχύος είναι φθίνουσα συνάρτηση του, αλλά είναι αύξουσα συνάρτηση του μεγέθους του δείγματος και της σ.σ. a. Στα σχήματα που ακολουθούν δίνονται οι καμπύλες ισχύος σε σχέση με τη στάθμη σημαντικότηταςκαιτομέγεθος του δείγματος. 21
Σχήμα 3.4. Καμπύλη ισχύος της Ο.Ι.Ε. για τον έλεγχο της υπόθεσης H0: θ = θ0 έναντι της H1: θ < θ0. 22
Σχήμα 3.5. Καμπύλεςισχύοςγιασ.σ. a=0.05και a =0.10για τον έλεγχο της μηδενικής υπόθεσης H0: θ = θ0 έναντι της εναλλακτικής H1: θ < θ0. 23
Σχήμα 3.6. Καμπύλες ισχύος για δύο ελέγχους σε σ.σ. a=0.05με διαφορετικά μεγέθη δειγμάτων,n >n,για τον έλεγχο της υπόθεσης H0: θ = θ0 έναντι της H1: θ < θ0. 24
Παράδειγμα 3.6. Σε τυχαίο δείγμα μεγέθους από κατανομή Bernoulli,,, βρέθηκε. Να πραγματοποιηθεί ο έλεγχος των υποθέσεων :. μεεναλλακτική :., σε στάθμη σημαντικότητας.. Λύση. Η κατανομή Bernoulli ανήκει στην Ε.Ο.Κ., διότι: P 1 1 exp ln 1. Για 0,1, προφανώς η συνάρτηση ln είναι αύξουσα συνάρτηση του. Άρα η σ.π. P έχει την ιδιότητα του Μ.Λ.Π. ως προς τη συνάρτηση, ενώ η πιθανοφάνεια x ;έχει την ιδιότητα του Μ.Λ.Π. ως προς τη στ.σ. x. Σύμφωναμεταθεωρήματα3.1 και 3.4 ηο.ι.ε. δίνεται από τη σχέση: 25
1, αν x, αν, 0, αν P P a. P. P. 0.99. Είναι γνωστό (άσκηση 1.1) ότι, αν οι ανεξάρτητες τ.μ.,,, ακολουθούν κατανομή 1,, τότε η συνάρτηση Χ ακολουθεί την κατανομή 25,. 26
Από τους πίνακες της διωνυμικής κατανομής (παράρτημα Β, πίνακας Β6, για 18 προκύπτει ότι P. 18 0.9927 και P. 0.1888. 18 0.0143 και Η μηδενική υπόθεση Η : 0.5απορρίπτεται, διότι 2418. 27
Παράδειγμα 3.7. Ένα φάρμακο, που δίνεται σε δισκία, έχει περιεκτικότητα σε θειικό μαγνήσιο. gr/cm 3 τουλάχιστον. Για να γίνει παραλαβή μιας παρτίδας του φαρμάκου, λαμβάνεται, δείγμαμερικώνδισκίωνκαιεξετάζεταιηπεριεκτικότητάτουςσεθειικόμαγνήσιο. Από δισκία υπολογίστηκε η μέση περιεκτικότητα και αποφασίζεται ότι η παρτίδα θα απορριφθεί, όταν η μέση περιεκτικότητα είναι μικρότερη από κάποια τιμή, έστω. Αποφασίζεται ότι η παρτίδα θα επιστραφεί, ότανημέσητιμήείναι. με σφάλμα το πολύ 1%, ενώ, ανημέσητιμήείναι., τότε η παρτίδα θα γίνει δεκτή τουλάχιστον στο 98% των περιπτώσεων. Με την υπόθεση ότι η περιεκτικότητα σε θειικό μαγνήσιο ακολουθεί κανονική κατανομή, να απαντηθούν τα ερωτήματα: α) Αν η τυπική απόκλιση της περιεκτικότητας είναι., να βρεθεί το μέγεθος του δείγματος και η τιμή. β) Αν το μέγεθος του δείγματος είναι και η μέση περιεκτικότητα είναι., να αποφασιστεί αν θα γίνει δεκτή η υπόθεση., έναντι της εναλλακτικής., σε στάθμη σημαντικότητας.. Λύση. Ερώτημα α). Ο έλεγχος των υποθέσεων είναι Η : 1.54 με εναλλακτική Η : 1.54. Σύμφωνα με το θεώρημα 3.5 και το παράδειγμα 3.4 η ζητούμενη ελεγχοσυνάρτηση είναι: 28
Η συνάρτηση ισχύος δίνεται από τη σχέση: x 1, αν 0, αν, P,. Από τα δεδομένα του παραδείγματος προκύπτει ότι: P 1.50 0.99 P 1.54 0.98. Σύμφωνα με το θεώρημα 3.5 η συνάρτηση ισχύος είναι φθίνουσα. Άρα: P 1.50 0.99 P 1.54 0.02, 29
P P 1.50 0.03 1.54 0.03 1.50 0.03 1.54 0.03 0.99 0.02 Φ 1.50 0.03 Φ 1.54 0.03 0.99 0.02 1.50 0.03. 2.33 1.54 0.03. 2.06 11 1.5212 30
Ερώτημα β). Για τον έλεγχο των υποθέσεων Η : 1.54με εναλλακτική Η : 1.54η ζητούμενη ελεγχοσυνάρτηση είναι: με: δηλαδή: x 1, αν 0, αν,. Χ 0.01 P. 0.01 Φ 1.54 13 0.03 0.01, 1.54 13 0.03. 2.33 1.5206. Επομένως, η μηδενική υπόθεση Η :1.54απορρίπτεται οριακά, γιατί 1.52. 31
Ο.Ι.Ε. για τις Υποθέσεις Η0: θ θ1 ή θ θ2, Η1: θ1 < θ < θ2 Θεώρημα 3.6. Έστω X,,, τ.δ. από τ.μ. με κατανομή ;,, Ω που ανήκει στην Ε.Ο.Κ.,δηλαδή μπορεί να γραφεί ως x ; exp x x. Έστω, επίσης, οι υποθέσεις Η :,, Η :,. Αν η συνάρτηση είναι αύξουσα, τότε η Ο.Ι.Ε. δίνεται από τη σχέση: 1, αν x x, αν x, 1,2, 0, αν x ή x. 3.8 32
Ο.Ι.Ε. για τις Υποθέσεις Η0: θ θ1 ή θ θ2, Η1: θ1 < θ < θ2 Αν η συνάρτηση είναι φθίνουσα, τότε η Ο.Ι.Ε. δίνεται από τη σχέση: x 1, αν x ή x, αν x, 1,2,. 3.9 0, αν x όπου οι σταθερές, και, 0,1ορίζονται από τη σ.σ. a ως εξής: Χ Χ a. 3.10 Επίσης, ισχύει ότι:, Χ a 3.11, Χ a. 3.12 33
Ο.Ι.Ε. για τις Υποθέσεις Η0: θ θ1 ή θ θ2, Η1: θ1 < θ < θ2 Σχήμα 3.7 Καμπύλη ισχύος για τον έλεγχο της υπόθεσης H 0 : θ θ 1 ή θ θ 2 έναντι της H 1 : θ 1 < θ < θ 2 για την κανονική κατανομή. 34
Ο.Ι.Ε. για τις Υποθέσεις Η0: θ θ1 ή θ θ2, Η1: θ1 < θ < θ2 Παράδειγμα 3.8. Έστω,,, τυχαίο δείγμα από κατανομή Poisson. Σε στάθμη σημαντικότητας να βρεθεί ομοιόμορφα ισχυρότατη ελεγχοσυνάρτηση για τις υποθέσεις :.,. με εναλλακτική :.,.. Επιπλέον, ναβρεθείηισχύς του ελέγχου για.. Λύση. Η κατανομή Poisson ανήκει στην Ε.Ο.Κ. και η πιθανοφάνεια του τ.δ. X είναι: x ;! exp ln!. καιέχειτηνιδιότητατουμ.λ.π. ως προς τη συνάρτηση. Σύμφωνα με το θεώρημα 3.6 η Ο.Ι.Ε. δίνεται από τη σχέση (3.8) καιοισταθερές 0,1και, 1,2υπολογίζονται από τη σχέση (3.10). Aν οιανεξάρτητεςτ.μ.,,, ακολουθούν κατανομή, τότε η τ.μ. την κατανομή (βλέπε άσκηση 1.1). ακολουθεί 35
Ο.Ι.Ε. για τις Υποθέσεις Η0: θ θ1 ή θ θ2, Η1: θ1 < θ < θ2 X P P P a X P P P a P. 1 P. P. P. a P. 1 P. P. P. a. Αναζητείται ένα ζεύγος, για το οποίο να ισχύει συγχρόνως ότι P 1 P 0.05, =1,2. Για 0.325 έχουμε την κατανομή 3.9. Άρα 7και 18, δηλαδή 9. P. 8 0.981 P. 7 0.955 P. 8 P. 7 0.026 36
Ο.Ι.Ε. για τις Υποθέσεις Η0: θ θ1 ή θ θ2, Η1: θ1 < θ < θ2 Για 1.25έχουμε την κατανομή 15. Άρα 7και 18, δηλαδή 9. P. 8 0.037 P. 7 0.018 P. 8 P. 7 0.019. Για την εύρεση των και πρέπει να επιλυθεί το σύστημα, δηλαδή : 0.026 P 7 3.9 P 9 3.9 0.05 0.019 P 7 15 P 9 15 0.05 0.055 0.012 0.024 0.010 0.032 0.031 0.243 0.866 37
Ο.Ι.Ε. για τις Υποθέσεις Η0: θ θ1 ή θ θ2, Η1: θ1 < θ < θ2 Για 0.5η ισχύς του ελέγχου είναι: γp. 79 P. 7 P. 9, Για 0.5έχουμε την κατανομή 6. Για 6, προκύπτει ότι: γp 8 0.243 P 7 0.866 P 9 γ 0.847 0.744 0.243 0.744 0.6060.866 0.916 0.847 γ 0.103 0.243 0.138 0.866 0.069 γ 0.103 0.034 0.060 0.196 38
Μελέτη του Ελέγχου Υποθέσεων Η0: θ1 θ θ2, Η1: θ < θ1 ή θ > θ2 Θεώρημα 3.7. Έστω X,,, τ.δ. από τ.μ. με σ.π.π. ;. Έστω ότι η πιθανοφάνεια του τ.δ. έχει την ιδιότητα του Μ.Λ.Π. ως προς τη συνάρτηση x. Αποδεικνύεται ότι δεν υπάρχει Ο.Ι.Ε. για τον έλεγχο της υπόθεσης Η : έναντι της εναλλακτικής Η : ή. Πόρισμα 3.3. Αν, τότε δεν υπάρχει Ο.Ι.Ε. για τον έλεγχο της μηδενικής υπόθεσης Η : με εναλλακτική την Η :. Θεώρημα 3.8. Για τον έλεγχο των υποθέσεων Η : και Η : ή υπάρχει αμερόληπτη Ο.Ι.Ε., δηλαδή ισχύει ότι: X a, Ω, X a, Ω, που δίνεται από τις σχέσεις: 39
Μελέτη του Ελέγχου Υποθέσεων Η0: θ1 θ θ2, Η1: θ < θ1 ή θ > θ2 1, αν x ή x x, αν x, 1,2, 0, αν x, με X X a. Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης ισχύος του παραπάνω ελέγχου υποθέσεων. Σχήμα 3.8 Συνάρτηση ισχύος για τον έλεγχο της υπόθεσης H 0 : θ 1 θ θ 2 έναντι της H 1 : θ < θ 1 ή θ > θ 2. 40
Κεφάλαιο 3ο. Ασκήσεις Άσκηση 3.1. Σε δείγμα 200 ερωτηθέντων βρέθηκε ότι το 45% καπνίζει. Να ελεγχθεί η υπόθεση : το ποσοστό των ατόμων που καπνίζει είναι 45%, έναντι της εναλλακτικής : το ποσοστό των ατόμων που καπνίζει είναι μικρότερο του 45%. Να κατασκευαστεί ομοιόμορφα ισχυρότατη ελεγχοσυνάρτηση σε στάθμη σημαντικότητας. και να προσδιοριστεί η σταθερά με τη βοήθεια του κεντρικού οριακού θεωρήματος. Άσκηση 3.2. Αν οι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,, ακολουθούν κατανομή Bernoulli, να προσδιορισθεί το μέγεθος του δείγματος, ώστε η ομοιόμορφα ισχυρότατη ελεγχοσυνάρτηση για τον έλεγχο των υποθέσεων :., έναντι της εναλλακτικής :. να έχει στάθμη σημαντικότητας. και ισχύ, για., ίση με.. Άσκηση 3.3. Η τυχαία μεταβλητή παριστάνει τον αριθμό των τηλεφωνικών κλήσεων που δέχεται ένας φοιτητής ανά ώρα και ακολουθεί κατανομή Poisson με παράμετρο. Αν η παρατηρούμενη τιμή την προηγούμενη ώρα ήταν 8, ενώ από έρευνες είναι γνωστό ότι η μέση τιμή των τηλεφωνικών κλήσεων είναι 10, είναι σωστό να ισχυριστεί κάποιος ότι ο αριθμός των τηλεφωνικών κλήσεων ελαττώθηκε; Να πραγματοποιηθεί ο έλεγχος υποθέσεων σε στάθμη σημαντικότητας.. 41
Κεφάλαιο 3ο. Ασκήσεις Άσκηση 3.4. Η τυχαία μεταβλητή Χ παριστάνει τη βροχόπτωση το μήνα Απρίλιο σε κάποιο μετεωρολογικό σταθμό και ακολουθεί κανονική κατανομή Ν(θ,62.5). Τα τελευταία 10 χρόνια μετρήθηκαν τα παρακάτω ύψη βροχόπτωσης σε mm: 24.3, 25.0, 27.6, 25.6, 21.0, 26.8, 29.5, 24.2, 22.7, 23.4. Να ελεγχθεί αν η βροχόπτωση το μήνα Απρίλιο στο συγκεκριμένο σταθμό είναι 26mm ή λιγότερο σε στάθμη σημαντικότητας a=0.05. Άσκηση 3.5. Το σημείο τήξεως του Μg είναι μια τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί κανονική κατανομή,. Ένας μεταλλουργός παρατήρησε τις ακόλουθες 4 τιμές: 1269, 1271, 1263, 1265. Η κοινώς αποδεκτή θερμοκρασία τήξεως του Mg είναι 1260 o C. Αν να κατασκευαστεί η ομοιόμορφα ισχυρότατη ελεγχοσυνάρτηση για τον έλεγχο των υποθέσεων :, έναντι της εναλλακτικής : σε στάθμη σημαντικότητας.. Άσκηση 3.6. Η τυχαία μεταβλητή παριστάνει πόσες φορές ανοίγει και κλείνει, χωρίς βλάβη, ένας διακόπτης και ακολουθεί γεωμετρική κατανομή. Έστω,,, ένα τυχαίο δείγμα από την παραπάνω κατανομή για το οποίο παρατηρήθηκε ότι. Να κατασκευαστεί η ομοιόμορφα ισχυρότατη ελεγχοσυνάρτηση για τον έλεγχο των υποθέσεων :., έναντι της εναλλακτικής :. σε στάθμη σημαντικότητας.. 42