1 Fibonaccijeva stevila

1 Fibonaccijeva stevila Fibonaccijevo število F n, kjer je n N, lahko definiramo kot število načinov zapisa števila n kot vsoto sumandov, enakih 1 ali Na primer, število 4 lahko zapišemo v obliki naslednjih vsot: + = + 1 + 1 = 1 + + 1 = 1 + 1 + = 1 + 1 + 1 + 1, odkod sledi, da je F 4 = Fibonaccijeva števila zadoščajo naslednji rekurzivni zvezi: F n = F n 1 + F n, kjer je n 3 1) Tega ni težko pokazati Naj bodo vsote, ki vsebujejo sumande 1 in, razdeljene v dve disjunktni množici M 1 in M M 1 = {vsote, ki se končujejo s sumandom 1}, M 1 = {vsote, ki se končujejo s sumandom } Moč množice M 1 je enaka F n 1, saj je vsota vseh členov z izjemo zadnjega enaka n 1 Iz podobnega razloga je moč množice M je enaka F n toliko imamo namreč vsot števila n, sestavljenih iz sumandov 1 in, z fiksno na mestu zadnjega člena; vsota vseh členov z izjemo zadnjega enaka n ) Ker sta očitno množici disjunktni, sklepamo, da velja 1) Začetna pogoja F 1 = 1 in F = določita rekurzivno zaporedje za vsak n N Postavimo še pogoj F 0 = 1 Splošni člen F n zapišemo tudi v obliki eksplicitne formule F n = 1 1 + ) n+1 1 ) n+1 ) Zlahka dokažemo s pomočjo nekaj teorije iz metod reševanja rekurzivnih zaporedij ) zapišemo kot α + α = 1, ki ima za korena α 1, = 1 ± Ker sta korena različna α 1 α ), poiščemo F n z nastavkom F n = k 1 α1 n + k α n 1 + ) n 1 ) n = k 1 + k 3) Z upoštevanjem začetnih pogojev F 1 = 1 in F 0 = 1 sledi 1 + ) 1 ) F 1 = 1 = k 1 + k F = 1 = k 1 + k Rešitev sistema je par k 1, k ) = 1+, 1+ ), kar v 3) da rezultat ) 1

O ) bi lahko povedali marsikaj Opazimo lahko, da je α = in α 1 = 1+ > 1 Potemtakem je limita lim F n = lim n n 1 1 + ) n+1 1 ) n+1 = lim n 1 1 < 1 1 + ) n+1 Odtod sledi, da je za velike n število F n najbližje celo število številu 1 V posebnem primeru velja F n+1 α = lim = lim n F n n 1 1+ ) n+ 1 1+ ) n+1 = 1 + 1+ Število α imenujemo tudi število zlatega reza Med drugim je to tudi dolžina ene izmed diagonal v pravilnem pretkotniku s stranico 1, točka, ki na enotskem intervalu določa enakost razmerij večjega dela proti celoti in manjšega dela proti večjemu delu ) n+1 Funkcija Fibonaccijevega naslednika Definirali bomo funkcijo na naravnih številih, ki ima to lastnost, da vsako Fibonaccijevo število preslika v naslednje Fibonaccijevo število; skratka številu določi Fibonaccijevega naslednika Izrek 1 Vsako naravno število n lahko enolično zapišemo v obliki n = F i1 + F i1 + + F ik, 4) kjer je i j+1 i j+ za j = 1,, k 1;drugače povedano: v obliki vsote nezaporednih Fibonaccijevih števil Opomba Izrazu 4) pravimo tudi Fibonaccijeva predstavitev števila n Za dokaz izreka potrebujemo pomožno trditev: Lema 1 Naj bo k naravno število Potem velja F 1 + F 3 + + F k 1 = F k 1, F + F 4 + + F k = F k+1 1 Dokaz: Dokažimo le za lihe člene za sode poteka dokaz podobno) Velja F 1 = F 1 Indukcijski korak k 1 k+1: Naj velja F 1 +F 3 ++F k 1 = F k+1 1, prištejmo člen F k+1 na levi in na desni strani enakosti Desna stran je enaka F k + F k+1 1 = F k+ 1, kar je natanko tisto, kar smo želeli pokazati Naj bo sedaj n poljubno naravno število in naj bo F k največje Fibonacijevo število, ki je manjše od n Iz leme sledi, da je F k v Fibonaccijevi predstavitvi

števila n, saj je vsota vseh nezaporednih Fibonaccijevih števil, manjših od F k, kvečjemu le F k 1 Število n F k ne vsebuje Fibonaccijevega predhodnika F k 1, saj je n < F k+1 = F k + F k 1,od kod sledi n F k < F k 1 Naslednje Fibonaccijevo število, ki nastopa v predstavitvi števila n, je največje Fibonaccijevo število F m, manjše od n F k in velja k m Z induktivnim sklepom pridemo do enolične Fibonaccijeve predstavitve 4) števila n Definicija 1 Naj bo n = F i1 + F i1 + + F ik n Funkcijo σ : N N definirano kot Fibonaccijeva predstavitev števila σn) = F i1+1 + F i+1 + + F ik +1 imenujemo funkcija Fibonaccijevega naslednika σn) imenujemo Fibonaccijev naslednik n) Hitro opazimo naslednje lastnosti funkcije: σf k ) = F k+1 Dokaz: trivialno, k = 1 σn) = m natanko tedaj, ko se F 1 ne nahaja v Fibonaccijevi predstavitvi števila m ; m je Fibonaccijev naslednik števila n, če ne vsebuje F 1 ) Dokaz: = ) Naj bo σn) = m Potem velja σn) = F i1+1 + F i+1 + + F ik +1, kjer je F i1+1 najmanjše število v vsoti n + σn) = σ n) σσn)) ; če želimo večkrat uporabiti funkcijo Fibonaccijev naslednik)d Dokaz: n + σn) = F i1 + F i + + F ik ) + F i1+1 + F i+1 + + F ik +1) = = F i1 + F i1+1) + F i + F i+1) + + F ik + F ik +1) = = F i1+ + F i+ + + F ik + = σσn)) F Pokazali smo že, da je lim n+1 n F n = 1+, oziroma da se sosednji Fibonaccijevi števili razlikujeta približno za α = 1+ Naj bo n N nα = αf i1 + αf i + + αf ik Označimo ρn) najbližje celo število številu nα = Fi1+1 + F i+1 + + F ik +1 = σn) Izrek Naj bo n N Označimo ρn) najbližje celo število številu nα Potem velja natanko ena izmed naslednjih trditev: i) σn) = ρn) ii) σn) = ρn) + 1 Trditev i) velja v primeru, če je n Fibonaccijev naslednik Dokaz: Naj bo n Fibbonaccijev naslednik Potem F 1 = 1 ne nastopa v zapisu števila n Definicijsko območje funkcije σ razširimo na N 0 s predpisom σ0) = 0 3

3 Tabeliranje funkcije Fibonaccijevega naslednika V nadaljevanju povejmo nekaj o naslednji tabeli: 0 1 1 3 8 13 1 34 1 3 4 7 11 18 9 47 76 13 4 6 10 16 6 4 68 110 178 3 6 9 1 4 39 63 10 16 67 4 8 1 0 3 84 136 0 36 6 7 8 9 10 *: izraz prvi element vrstice bo pomenil v tem poglavju prvi element v vrstici, ki se pojavi za dvojno črto na primer: 4 je prvi element vrstice) Konstrukcija tabele opis): prvi stolpec sestavljajo število 0 in vsa naravna števila, zapisana po vrsti z navadno urejenostjo, prva vrstica sestavlja zaporedje Fibonaccijevih števil, 1 element prvevrstice je F 1, sledi mu F, drugo vrstico začenja število 1, kateremu sledi število 3 3 je najmanjše število, ki ga še nismo uporabili v zgornji vrstici; število je sledilo številu 1 že v prvi vrstici, zato ga ne vzamemo, )Vsako naslednje število je vsota prejšnjih dveh tretja, četrta,n-ta vrstica je sestavljena principu druge: zaporednemu naravnemu številu v prvem stolpcu sledi v drugem stolpcu najmanjše število, ki ga prej v zaporedjih še nismo uporabili Na primer: v četrti vrstici številu 3 sledi v drugem stolpcu število 6 To pa zato, ker sta števili 4 in že sledili 3 znotraj prejšnjih vrsticvsako naslednje število je vsota prejšnjih dveh Matematični opis tabele: Tabela pa ima še drug pomen, ki ga lahko tudi matematično opišemo Prva vrstica: Fibbonacijevo zaporedje F n, kjer je n 1 F 1 je prvi element desno od dvojne črte) Druga vrstica: 4

Oglejmo si število 4,prvi element v drugi vrstici Zanj velja kar pomeni, da je 4 = 1 + 3 = F 1 + F 3, σ4) = F + F 4 = + = 7, kar je naslednji element v drugi vrstici Podobno lahko izračunamo naprej: σσ4)) = σ7) = F 3 + F = 3 + 8 = 11 Vidimo lahko, da tako sestavljena druga vrstica od dvojne črte desno) predstavlja dejansko seznam vseh Fibonaccijevih naslednikov σn), kjer je n 3 Tretja vrstica: Število 6 kot prvi element tretje vrstic je število, ki ga lahko zapišemo kot Fibonaccijev naslednik števila 6 je 6 = + 1 = F 4 + F 1 σ6) = F + F = 8 + = 10 σσ6)) = σ10) = F 6 + F 3 = 13 + 3 = 16 Število 16 pa je naslednji element v tretji vrstici Podobno razmislimo tudi za naslednji element 6, ki je Fibonaccijev naslednjik števila 16, itn Splošno: Hitro opazimo, da je poljubno število v izbrani vrstici vsota prejšnjih dveh, hkrati pa Fibonaccijev naslednjik prejšnjega To je preprosta posledica formule n + σn) = σσn)), ki rekurzivno določa Fibonaccijevega naslednika že določenega Fibonaccijevega naslednika Izrek 3 Vsako naravno število se pojavi v tabeli natanko enkrat Dokaz: Vzemimo poljubno število n, ki ima Fibonaccijevo predstavitev n = F i1 + F i + + F ik Ta se pojavi v poljubni vrstici v stolpcu i 1, je naslednik števila, ki se nahaja v stolpcu i 1 1 Ta je oblike σ 1 n) = F i1 1 + F i 1 + + F ik 1 z σ 1 n) označimo predhodnika števila n) Njegov predhodnik σ 1 σ 1 n)) σ n) se nahaja v stolpcu i 1 in je oblike σ n) = F i1 + F i + + F ik Če induktivno nadaljujemo s postopkom, pridemo do prvega elementa v vrstici, ki je oblike m = F 1 + F i i 1+1 + + F ik i 1+1

Torej: Število je Fibonaccijev naslednik natanko tedaj, ko se ne nahaja v tabeli v prvi vrstici Če je Fibonaccijev naslednik, potem je očitno v tabeli če ima najmanjši sumand F i1, se nahaja v i 1 stolpcu) Če število ni Fibonacijev naslednik, potem se nahaja v tabeli kot prvi element neke vrstice Ali se vsako število, ki ni Fibonaccijev naslednik, pojavlja v tabeli? Da, vsa števila, ki vsebujejo v Fibonaccijevi predstavitvi člen F 1, so kot prvi elementi neka vrstice in so navpično razporejeni po velikostiče bi se kakšno število, ki vsebuje F 1, ne pojavilo kot prvi element neke vrstice, potem tudi vseh njegovih Fibonacijevuh naslednikov ne bi bilo v tabeli, kar pa vemo, da ni res Odtod sledi, da se vsako število pojaviv tabeli Enoličnost dokažemo na naslednji način: Če bi za dve naravni števili m in p veljalo n = p, bi potem imali enako Fibonaccijevo predstavitev: m = n = F i1 + F i + + F ik odkod sledi, da sta v i 1 stolpci in imata iste predhodnike, torej tudi prvi element vrstice m Od tod sledi, da se nahajata na istem mestu v tabeli, saj so si števila, ki nimajo Fibonaccijevega predhodnika, v naraščajočem vrstnem redu Izrek 4 Naj bosta a 1, a N Definirajmo zaporedje a n ) z Fibonacijevo rekurzivno zvezo a n+ = a n + a n+1 za vsak n 1 Potem obstajajo taka števila k, l, m N, da velja a m+n = T k,l+n za vsak n 0 Izrek pove to, da se od neke vrednosti naprej v tabeli pojavi zaporedje, za katero velja Fibonaccijeva rekurzivna zveza) Dokaz: Zadostuje pokazati, da obstaja n N, za katerega velja a n+1 = σa n ) Splošni člen Fibonaccijevega zaporedja lahko zapišemo v obliki a n = Aα n + Bβ n za neki konstanti A in B ter vrednosti α = 1+, β = 1 Ker je β < 1, hitro vidimo, da za dovolj veliki n velja a n+1 = ρa n ) oziroma a n+1 je najbližje naravno število številu a n α Želimo doseči, da je a n+1 = σa n ), zato potrebujemo tak a n,da je ρa n ) = σa n ) Po prejšnjem izreku moramo poiskati tak a n, da bo sam Fibonaccijev naslednik Recimo, da a n ni Fibonaccijev naslednik Potem je oblike a n = F 1 + F k +, kjer je k 3 Potem velja po prejšnjem izreku, da je a n+1 = ρa n ) = σa n ) 1 = F + F k+1 + 1 = = F 1) + F k+1 + = F 1 + F k+1 +, 6

kar pomeni, da a n+1 ni Fibonaccijev naslednikza naslednji člen zaporedja a n ) pa lahko trdimo a n+ = a n + a n+1 = F 1 + F k + ) + F 1 + F k+1 + ) = = F + F k+ +, kar pomeni, da je a n+ Fibonaccijev naslednik Opomba: Naj bo r n nanmanjše število vrstice v tabeli, ki vsebuje naravno število n T 0,0 element v vrstici 0 in stolpcu 0) Vidimo, da se števila 0, 1,, 3 prvič pojavijo v vrstici 0, število 4 v vrstici 1, ),kar poda zaporedje r n ) = 0, 0, 0, 1, 0,, 1, 0, 3,, 1, 4, 0,, 3,, 6, 1, 7, 4, 0, ) Definirajmo podzaporedje f i ) i=0, za katerega velja f i je razlika indeksov zaporednih ničelnih členov zaporedja r i Opazimo, da je f 0 = indr ) indr 1 ) = 1 = 1 f 1 = indr 3 ) indr ) = 3 = 1 f = indr ) indr 3 ) = 3 = f 3 = indr 8 ) indr ) = 8 = 3 f 4 = indr 13 ) indr 8 ) = 13 8 = f = indr 1 ) indr 13 ) = 1 13 = 8 Razlika indeksov zaporednih ničelnih členov oblikuje Fibonaccijevo zaporedje: F n = f n za vsak n N 0 Števila, ki se nahajajo kot neničelni členi zaporedja r n med dvema zaporednima ničelnima členoma 7