Shefferjeva polinomska zaporedja
|
|
- Ἀθήνη Κοσμόπουλος
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Shefferjeva polinomska zaporedja Marko Razpet Matematični kolokviji Ljubljana, 23. marca 2006 Page 1 of 63
2 Predstavljen bo osnovni koncept umbralnega računa, kakršnega sta razvila Gian-Carlo Rota in Steven Roman. Njun umbralni račun je sistematičen študij Shefferjevih polinomskih zaporedij, ki ustrezajo parom danih formalnih potenčnih vrst, pri čemer je uporabljena preprosta tehnika moderne algebre. Pokazano bo, kako poiščemo konstante, ki povezujejo dve Shefferjevi polinomski zaporedji, in podanih bo nekaj znanih in preprostih primerov, v katerih nastopajo Stirlingova in Lahova števila. Kot zgled za uporabo umbralnega računa bo predstavljen primer preštevanja mrežnih poti. Page 2 of 63 Gian-Carlo Rota ( )
3 Rojeni 23. marca J. Vega ( ) P. S. Laplace ( ) E. A. Noether ( ) H. Whitney ( ) Umrli 23. marca I. Lah ( ) T. A. Skolem ( ) Page 3 of 63
4 F polje s karakteristiko 0; F[x] polinomi spremenljivke x s koeficienti v F p(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 F[x] a 0, a 1,..., a n 1, a n F; a n 0 : n = deg p(x) F[[t]] formalne potenčne vrste spremenljivke t s koeficienti v F f(t) = a 0 + a 1 t + a 2 t = a k t k F[[t]] Page 4 of 63 Red vrste f(t) 0 je najmanjši indeks k, za katerega je a k 0. Za red ničelne vrste vzamemo.
5 Običajne operacije s polinomi in vrstami. Pomemben je produkt: f(t) = a 0 + a 1 t + a 2 t = a k t k F[[t]] g(t) = b 0 + b 1 t + b 2 t = b k t k F[[t]] f(t)g(t) = a 0 b 0 + (a 0 b 1 + a 1 b 0 )t +... = c n t n F[[t]] n=0 c n = a 0 b n + a 1 b n a n 1 b 1 + a n b 0 = a k b n k Vrsta f(t) reda 0 je obrnljiva v algebrskem smislu. Njen inverz označimo z 1/f(t) = f(t) 1. Velja: f(t)f(t) 1 = 1. Page 5 of 63
6 Če ima vrsta f(t) red več od 1, je f(t) lahko argument druge vrste g(t): h(t) = g(f(t)) Vrsta f(t) reda 1 je obrnljiva v kompozicijskem smislu. Njen kompozicijski inverz označimo z f(t) in je tudi reda 1. Velja torej: f( f(t)) = f(f(t)) = t Vrstam reda 1 pravimo tudi vrste tipa delta. Redi potenc f(t) k take vrste z rastočim k naraščajo. Ugodno je zapisati vrsto f(t) F[[t]] v eksponencialni obliki: Page 6 of 63 f(t) = a k tk
7 Za dani vrsti je produkt: f(t) = c n = a k tk, g(t) = b k tk c n f(t)g(t) = n! tn n=0 ( ) n a k b n k, n = 0, 1, 2,... k Page 7 of 63
8 Vsako vrsto f(t) F[[t]] lahko obravnavamo kot linearni funkcional na F[x]: f(t) x n = a n, n = 0, 1, 2,... Obratno, za vsak linearni funkcional L na F[x] obstaja natanko določena vrsta f(t) F[[t]], tako da je za vsak p(x) F[x]: L p(x) = f(t) p(x) f(t) = L x k t k Page 8 of 63
9 f(t)g(t) x n = ( ) n f(t) x k g(t) x n k, n = 0, 1, 2,... k S tem postane F[[t]] algebra umbralna algebra. Razvoja vrste in polinoma: h(t) F[[t]] = h(t) = h(t) x k t k Page 9 of 63 Zadnja vrsta je končna. p(x) F[x] = p(x) = t k p(x) x k
10 Če je red vrste f k (t) F[[t]] enak k in velja f k (t) p(x) = f k (t) q(x) za k = 0, 1, 2,..., kjer sta p(x), q(x) F[x], potem je p(x) = q(x). Če je stopnja polinoma p k (x) F[x] enaka k in velja f(t) p k (x) = g(t) p k (x) za k = 0, 1, 2,..., kjer sta f(t), g(t) F[[t]], potem je f(t) = g(t). Page 10 of 63
11 Formalni odvod poljubne vrste f(t) = je vrsta Velja: f (t) = k=1 a k ktk 1 = a k tk F[[t]] a k+1 f(t) xp(x) = f (t) p(x) t k F[[t]] za vsak p(x) F[x]. Za vsak a F in za vsak p(x) F[x] pa še f(t) p(ax) = f(at) p(x) Page 11 of 63
12 Če je f(t) tipa delta, torej reda 1, ustreznemu funkcionalu pravimo funkcional tipa delta. f(t) je tipa delta f(t) 1 = 0 in f(t) x 0 Page 12 of 63 Steven Roman
13 Primeri funkcionalov Za eksponentno vrsto je za vsak p(x) F[x]: t k x n = n!δ n,k, k, n = 0, 1, 2,... t k p(x) = p (k) (0), k = 0, 1, 2,... exp(yt) = y k tk, y F exp(yt) p(x) = p(y) Page 13 of 63
14 exp(yt) 1 p(x) = p(y) p(0) t exp(yt) p(x) = p (y) (1 t) 1 p(x) = 0 p(u) exp( u) du Page 14 of 63 (exp(yt) 1)/t p(x) = y 0 p(u) du
15 Vsako vrsto f(t) F[[t]] imamo lahko za linearni operator na F[x]. Označimo: x k = x(x 1)(x 2)... (x k+1), x k = x(x+1)(x+2)... (x+k 1) za naraven k 1 in posebej za k = 0: x 0 = 1, x 0 = 1 V primeru delovanja potence t k na potenco x n, kjer je n = 0, 1, 2,..., definiramo: t k x n = n k x n k Page 15 of 63
16 Delovanje razširimo linearno na poljubno vrsto a k f(t) = tk F[[t]] Ker je imamo: f(t)x n = ( ) n = nk k ( ) n a k x n k k Operator f(t) polinomom ne poveča stopnje. Zato ni vsak linearni operator na F[x] predstavljiv z neko vrsto f(t) F[[t]], na primer operator množenja z x. Page 16 of 63
17 Če je vrsta f(t) F[[t]] tipa delta, pravimo, da je tudi kot operator tipa delta. Linearni operator A na F [x] je predstavljiv z vrsto f(t) F[[t]] natanko tedaj, ko A komutira s kakim operatorjem tipa delta. Na splošno velja: [f(t)g(t)]p(x) = f(t)[g(t)p(x)] = f(t)g(t)p(x) = g(t)f(t)p(x) Če red vrste f(t) presega stopnjo polinoma p(x), je f(t)p(x) = 0. Page 17 of 63
18 Analogno kot za funkcionale na F[x] velja tudi: Če je red vrste f k (t) F[[t]] enak k in velja f k (t)p(x) = f k (t)q(x) za k = 0, 1, 2,..., kjer sta p(x), q(x) F[x], potem je p(x) = q(x). Če je stopnja polinoma p k (x) F[x] enaka k in velja f(t)p k (x) = g(t)p k (x) za k = 0, 1, 2,..., kjer sta f(t), g(t) F[[t]], potem je f(t) = g(t). Page 18 of 63
19 Če se srečata vrsti f(t) in g(t) v vlogi operatorja in funkcionala, velja: f(t)g(t) p(x) = g(t) f(t)p(x) = f(t) g(t)p(x) Page 19 of 63 Umbra (lat.) senca
20 Primeri operatorjev Za eksponentno vrsto je za vsak p(x) F[x]: t k x n = n k x n k, k, n = 0, 1, 2,... t k p(x) = p (k) (x), k = 0, 1, 2,... exp(yt) = y k tk, y F exp(yt)p(x) = p(x + y) Page 20 of 63
21 (exp(yt) 1)p(x) = p(x + y) p(x) t exp(yt)p(x) = p (x + y) (1 t) 1 p(x) = 0 p(x + u) exp( u) du Page 21 of 63 [(exp(yt) 1)/t]p(x) = x+y x p(u) du
22 Shefferjevo polinomsko zaporedje (s n (x)) n=0, kjer je s n (x) F[x] in deg p n (x) = n za n = 0, 1, 2,... pripada urejenemu paru formalnih potenčnih vrst (g(t), f(t)), pri čemer je g(t) F[[t]] reda 0 in f(t) F[[t]] reda 1 (vrsta tipa delta). Pri tem velja: g(t)f(t) k s n (x) = n!δ n,k za vse n, k = 0, 1, 2,... Shefferjevo polinomsko zaporedje (p n (x)) n=0 para (1, f(t)) je pridruženo vrsti tipa delta f(t). Pri danem paru (g(t), f(t)) velja povezava g(t)s n (x) = p n (x) za n = 0, 1, 2,... Page 22 of 63
23 Razvoja vrste in polinoma: h(t) F[[t]] = h(t) = h(t) s k (x) g(t)f(t) k p(x) F[x] = p(x) = Zadnja vrsta je končna. g(t)f(t) k p(x) s k (x) Page 23 of 63
24 Zamenjajmo x k s k (x), h(t) = h(t) x k Dobimo prejšnja razvoja t k g(t)f(t) k v razvojih t k, p(x) = t k p(x) x k h(t) = p(x) = h(t) s k (x) g(t)f(t) k p(x) g(t)f(t) k s k (x) Page 24 of 63
25 Med drugim velja za vsak y F razvoj: exp(yt) s k (x) exp(yt) = g(t)f(t) k Iz tega dobimo exp(yt) = s k (y) g(t)f(t) k in nazadnje rodovni funkciji Shefferjevih in pridruženih polinomov: [g( f(t))] 1 exp(y f(t)) s k (y) = t k exp(y f(t)) = p k (y) t k Page 25 of 63
26 Razvoja sta potreben in zadosten pogoj za to, da je polinomsko zaporedje (s n (x)) n=0 Shefferjevo za par (g(t), f(t)) oziroma da je polinomsko zaporedje (p n (x)) n=0 pridruženo vrsti f(t) tipa delta. Ker velja enakost g(t)f(t) k f(t)s n (x) = g(t)f(t) k+1 ns n 1 (x) za vse nenegativne k in n, imamo: f(t)s n (x) = ns n 1 (x), f(t)p n (x) = np n 1 (x) To sta analogiji za odvod: tx n = nx n 1. Splošno: f(t) k s n (x) = n k s n k (x), f(t) k p n (x) = n k p n k (x) Page 26 of 63
27 Delovanje operatorja na polinom s n (x): h(t) = h(t)s n (x) = = h(t) s k (x) h(t) s k (x) g(t)f(t) k g(t)f(t) k s n (x) = h(t) s k (x) n k g(t)s n k (x) = ( ) n = h(t) s n k (x) p k (x) k Page 27 of 63
28 Imamo: h(t)s n (x) = h(t)p n (x) = ( ) n h(t) s n k (x) p k (x) k ( ) n h(t) p n k (x) p k (x) k V posebnem primeru dobimo za vsak y F: exp(yt)s n (x) = exp(yt)p n (x) = ( ) n exp(yt) s n k (x) p k (x) k ( ) n exp(yt) p n k (x) p k (x) k Page 28 of 63
29 Imamo Shefferjevo identiteto s n (x + y) = ( ) n s n k (y)p k (x) k in binomsko formulo pridruženih polinomov: ( ) n p n (x + y) = p n k (y)p k (x) k Pogoja p n (0) = 1 p n (x) = δ n,0 in f(t)p n (x) = np n 1 (x) Page 29 of 63 sta potrebna in zadostna za to, da je polinomsko zaporedje (p n (x)) n=0 pridruženo vrsti f(t) tipa delta.
30 Z uporabo funkcionala [g( f(t))] 1 exp(y f(t)) na potenco x n dobimo: s n (y) = [g( f(t))] 1 exp(y f(t) x n = 1 = [g( 1 f(t))] f(t) k x n y k Tako imamo eksplicitno za Shefferjeve in pridružene polinome: 1 s n (x) = [g( 1 f(t))] f(t) k x n x k, n = 0, 1, 2,... p n (x) = 1 f(t) k x n x k, n = 0, 1, 2,... Page 30 of 63
31 V posebnem primeru h(t) = t dobimo iz splošne formule ( ) n h(t)s n (x) = h(t) s n k (x) p k (x) k rekurzijo za odvod Shefferjevega in pridruženega polinoma: n 1 ( ) n s n(x) = t s n k (x) p k (x) k p n(x) = n 1 ( ) n t p n k (x) p k (x) k Page 31 of 63
32 Z delovanjem operatorja g(t) 1 na obeh straneh enačaja prejšnje formule dobimo: n 1 ( ) n s n(x) = t p n k (x) s k (x) k Iz splošnega razvoja polinomov g(t)f(t) k p(x) p(x) = s k (x) dobimo v posebnem primeru: xs n (x) = n+1 g(t)f(t) k xs n (x) s k (x) Page 32 of 63
33 Upoštevamo enakost h(t) xp(x) = h (t) p(x) : xs n (x) = xs n (x) = n+1 Končna rekurzija: n+1 [g(t)f(t) k ] s n (x) s k (x) [g (t)f(t) k + kg(t)f(t) k 1 f (t)] s n (x) xs n (x) = + ( ) n k 1 n+1 [( ) n g (t) s n k (x) + k ] g(t)f (t) s n k+1 (x) s k (x) s k (x) Page 33 of 63
34 Za pridružene polinome dobimo v posebnem primeru rekurzijo: Dvojnost: xp n (x) = n+1 s n(x) = s n(x) = ( ) n f (t) p n k+1 (x) p k (x) k 1 n 1 n 1 ( ) n t s n k (x) p k (x) k ( ) n t p n k (x) s k (x) k Page 34 of 63
35 Primeri exp(yt) = f(t) = f(t) = i(t) = t y k tk = p n (x) = x n Binomska formula za pridružene polinome ( ) n p n (x + y) = p n k (x)p k (y) k preide v znano, klasično: (x + y) n = ( ) n x n k y k k Page 35 of 63
36 f(t) = exp(t) 1, f(t) = log(1 + t), exp(y log(1 + t)) = (1 + t) y y k exp(y log(1 + t)) = tk = p n (x) = x n Binomska formula za pridružene polinome ( ) n p n (x + y) = p n k (x)p k (y) k preide v: (x + y) n = ( ) n x n k y k k Page 36 of 63
37 f(t) = 1 exp( t), f(t) = log(1 t) exp( y log(1 t)) = (1 t) y y k exp( y log(1 t)) = tk = p n (x) = x n Binomska formula za pridružene polinome preide v: (x + y) n = ( ) n x n k y k k Uporabili smo spodnje in zgornje faktorialne polinome: x n = x(x 1)... (x n + 1) x n = x(x + 1)... (x + n 1) Page 37 of 63
38 x n = ( 1) n ( x) n, x 0 = x 0 = 1 x n = ( 1) n ( x) n (exp(t) 1)x n = (x + 1) n x n = nx n 1 (1 exp( t))x n = x n (x 1) n = nx n 1 Page 38 of 63
39 Laguerrovi polinomi L n (α) (x) so Shefferjevi polinomi za par (g(t), f(t)), kjer je g(t) = (1 t) α 1, f(t) = f(t) = t(t 1) 1 Parameter α F je red zaporedja Laguerrovih polinomov. Rodovna funkcija: (1 t) α 1 exp(yt(t 1) 1 ) = L (α) n (y) t k Page 39 of 63 Za α = 1 dobimo pridružene polinome L n (x) = L ( 1) n (x) za vrsto f(t) = t(t 1) 1 in rodovno funkcijo: exp(yt(t 1) 1 ) = L k (y) t k
40 V operatorskem smislu velja g(t)s n (x) = p n (x), torej v tem primeru: Sheffereva identiteta: Binomska formula: L (α) n (x) = (1 t) α+1 L n (x) L (α) n (x + y) = L n (x + y) = ( ) n L (α) n k k (x)l k(y) ( ) n L n k (x)l k (y) k Page 40 of 63
41 Z eksplicitno formulo za pridružene polinome dobimo: Razvijmo: p n (x) = L n (x) = 1 f(t) k x n x k 1 t k (t 1) k x n x k (t 1) k = ( 1) k (1 t) k = ( 1) k ( 1) j ( k)j j! j=0 t j Page 41 of 63
42 Posebej je t k (t 1) k x n = (t 1) k t k x n = n k (t 1) k x n k t k (t 1) k x n = ( 1) k n k ( 1) n k ( k) n k = ( 1) k n k k n k Tako imamo: L n (x) = n k k n k ( x) k Nazadnje predelamo L n (x) v obliko: ( ) n! n 1 L n (x) = ( x) k = k 1 L(n, k)( x) k Page 42 of 63
43 Števila L(n, k) = n! ( ) n 1 k 1 so Lahova števila, objavljena leta 1955 (I. Lah, Eine neue Art von Zahlen, ihre Eigenschaften und Anwendung in der mathematischen Statistik, Mitteilungsbl. Math. Statist., vol. 7 (1955), pp ) n k Ivo Lah ( ) Page 43 of 63
44 Za vrsto f(t) F[[t]] tipa delta definiramo umbralni operator Λ f na F[x] s predpisom: Λ f x n = p n (x), n = 0, 1, 2,... Polinomi p n (x) so pri tem pridruženi vrsti f(t). Če imamo še vrsto l(t) tipa delta, definiramo umbralni operator Λ l s predpisom: Λ l x n = q n (x), n = 0, 1, 2,... Polinomi q n (x) so pri tem pridruženi vrsti l(t). Page 44 of 63
45 Umbralni račun pove, da velja naslednje pravilo kompozituma: Λ f Λ l = Λ l f Vrsti (l f)(t) = l(f(t)) pa je pridruženo polinomsko zaporedje (q n ( p (x))) n=0. Očitno je Λ i = I, identični operator na F[x]. Posledica: Λ 1 f = Λ f Page 45 of 63
46 Pri tem je polinom q n ( p (x)) umbralni kompozitum polinoma q n (x) s polinomi p n (x) v naslednjem smislu: če je q n (x) = α n,k x k potem je q n ( p (x)) = α n,k p k (x) Page 46 of 63
47 Velja namreč: Λ l x n = q n (x) = α n,k x k Torej: (Λ f Λ l )x n = Λ f q n (x) = α n,k Λ f x k = (Λ f Λ l )x n = Λ l f x n = q n ( p (x)) α n,k p k (x) Polinomi q n ( p (x)) so pridruženi kompozitumi (l f)(t). Page 47 of 63
48 Laguerrovi polinomi L n (x) so pridruženi vrsti f(t) = t(t 1) 1, ki je sama sebi inverz: (f f)(t) = i(t) = t. Vrsti i(t) = t pa so pridružene navadne potence x n. Zato velja: L n ( L (x)) = x n Imejmo vrsti f(t) in l(t) tipa delta. Prvi naj bodo pridruženi polinomi p n (x), drugi pa polinomi q n (x). Problem povezovalnih konstant sprašuje po takih konstantah c n,k F, za katere za vse nenegativne n velja enakost: p n (x) = c n,k q k (x) Page 48 of 63
49 Z umbralnimi operatorji lahko zapišemo: Λ f x n = c n,k Λ l x k Λ f l x n = Λ lλ f x n = c n,k x k = t n (x) Torej so polinomi t n (x) pridruženi vrsti F (t) = f( l(t)). Znano pa je, da so polinomi, ki so pridruženi vrsti F (t) oblike: t n (x) = 1 F (t) k x n x k Page 49 of 63
50 Tako imamo končno: c n,k = 1 F (t) k x n = 1 (l( f(t))) k x n Podobno rešujemo problem povezovalnih konstant za Shefferjeve polinome. Če so polinomi s n (x) Shefferjevi za par (g(t), f(t)) in r n (x) Shefferjevi za par (h(t), l(t)), potem so povezovalne konstante c n,k v enakosti s n (x) = c n,k r k (x) oblike: c n,k = 1 [h( f(t))][g( f(t))] 1 (l( f(t))) k x n Page 50 of 63
51 Ideja je v vpeljavi Shefferjevih operatorjev Λ g, f, ki so definirani s predpisom: Λ g, f x n = s n (x) kjer so polinomi s n (x) Shefferjevi za par (g(t), f(t)). Sestavljajo se po pravilu Λ g, f Λ h, l = Λ g(h f), l f Za inverzni operator pa dobimo Λ 1 g, f = Λ (g( f)) 1, f Page 51 of 63
52 Primeri Polinomi p n (x) = x n so pridruženi vrsti f(t) = exp(t) 1, za katero je f(t) = log(1 + t), polinomi q n (x) = x n pa vrsti l(t) = t. Povezovalne konstante c n,k povezujejo takole: x n = c n,k x k Page 52 of 63
53 Po splošni formuli je potem: c n,k = 1 [log(1 + t)] k x n = s(n, k) To so Stirlingova števila prve vrste. Polinomi p n (x) = x n so pridruženi vrsti f(t) = t, polinomi q n (x) = x n pa vrsti l(t) = exp(t) 1. Povezovalne konstante c n,k povezujejo takole: x n = c n,k x k Page 53 of 63
54 Po splošni formuli je potem: c n,k = 1 [exp(t) 1] k x n = S(n, k) To so Stirlingova števila druge vrste. Polinomi p n (x) = x n so pridruženi vrsti f(t) = 1 exp( t), za katero je f(t) = log(1 t), polinomi q n (x) = x n pa vrsti l(t) = exp(t) 1. Povezovalne konstante c n,k povezujejo takole: x n = c n,k x k Page 54 of 63
55 V tem primeru je F (t) = l( f(t)) = t(1 t) 1 = t(t 1) 1 in po splošni formuli je c n,k = ( 1)k [t k (t 1) k x n Spomnimo se Laguerrovih polinomov 1 L n (x) = t k (t 1) k x n x k v katerih je 1 t k (t 1) k x n = ( 1) k L(n, k) Torej so povezovalne konstante Lahova števila: c n,k = L(n, k) Page 55 of 63
56 Lahova števila povezujejo polinome x n in x n : x n = L(n, k)x k oziroma po zamenjavi x x in s formulama tudi ( x) n = ( 1) n x n, ( x) n = ( 1) n x n x n = ( 1) n k L(n, k)x k Page 56 of 63
57 Primer uporabe pri preštevanju mrežnih poti j Dovoljeni koraki: (1, 0), (0, 1), (1, 1). Naj r(i, j) označuje število mrežnih poti od točke (0, 0) do točke (i, j), pri tem pa vse poti potekajo po področju i 0, j 0. Veljajo rekurzija r(i, j) = r(i 1, j) + r(i, j 1) + r(i 1, j + 1) in pogoja r(0, j) = 1, r(i, 1) = δ i,0. i Page 57 of 63
58 Vzamemo pridružene polinome p n (x) vrste f(t), kjer je Pri tem je p 0 (x) = 1 in f(t) = t(1 + t) 1 (2 + t) 1 f(t)p n (x) = t(1 + t) 1 (2 + t) 1 p n (x) = np n 1 (x) Nato definiramo za i 0 števila: r(i, j) = 1 i! (1 + t)j+1 p i (x) Page 58 of 63
59 Najprej je za vsak j in r(0, j) = (1 + t) j+1 1 = 1 + (j + 1)t = 1 Nazadnje imamo za i, j 1: r(i, 1) = 1 i! 1 p i(x) = δ i,0 u(i, j) = r(i, j) r(i 1, j) r(i, j 1) r(i 1, j + 1) = = 1 i! (1 + t)j+1 p i (x) 1 (i 1)! (1 + t)j+1 p i 1 (x) 1 i! (1 + t)j p i (x) 1 (i 1)! (1 + t)j+2 p i 1 (x) Page 59 of 63
60 Združimo prvi in tretji ter drugi in četrti člen: u(i, j) = = 1 i! t(1 + t)j p i (x) 1 (i 1)! (2 + t)(1 + t)j+1 p i 1 (x) Sedaj prvi člen zapišemo v obliki: 1 i! t(1 + t)j p i (x) = 1 i! (2 + t)(1 + t)j+1 t(1 + t) 1 (2 + t) 1 p i (x) oziroma 1 i! t(1 + t)j p i (x) = 1 (i 1)! (2 + t)(1 + t)j+1 p i 1 (x) Page 60 of 63
61 Torej je u(i, j) = 0 in števila r(i, j) zadoščajo vsem pogojem. Nazadnje dobimo s tako imenovano transferno formulo p n (x) = x(t/f(t)) n x n 1 ki velja za n 1 in izraža eksplicitno vrsti f(t) pridružene polinome p n (x), tudi naša števila r(i, j) = j + 1 i 1 ( )( ) i + j i 2 k+1 i! k k + 1 za i 1. Page 61 of 63
62 S transferno formulo dobimo Laguerrove polinome L n (x) = x(t 1) n x n 1 = x ( 1) knk tn k x n 1 = = ( 1) knk (n 1)n k x k = = n! ( ) n 1 ( x) k = k 1 n!(n 1)! (k 1)!(n k)! ( x)k = L(n, k)( x) k Page 62 of 63
63 Literatura 1. I. Niven: Formal power series, Amer. Math. Monthly 76 (1969), pp S. Roman: The Umbral Calculus, Academic Press, Orlando et al Page 63 of 63
Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 22. oktober 2013 Kdaj je zaporedje {a n } konvergentno, smo definirali s pomočjo limite zaporedja. Večkrat pa je dobro vedeti,
Διαβάστε περισσότεραDiferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci
Linearna diferencialna enačba reda Diferencialna enačba v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci d f + p= se imenuje linearna diferencialna enačba V primeru ko je f 0 se zgornja
Διαβάστε περισσότεραFunkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2
Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 2. april 2014 Funkcijske vrste Spomnimo se, kaj je to številska vrsta. Dano imamo neko zaporedje realnih števil a 1, a 2, a
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 14. november 2013 Kvadratni koren polinoma Funkcijo oblike f(x) = p(x), kjer je p polinom, imenujemo kvadratni koren polinoma
Διαβάστε περισσότεραOdvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 5. december 2013 Primer Odvajajmo funkcijo f(x) = x x. Diferencial funkcije Spomnimo se, da je funkcija f odvedljiva v točki
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 21. november 2013 Hiperbolične funkcije Hiperbolični sinus sinhx = ex e x 2 20 10 3 2 1 1 2 3 10 20 hiperbolični kosinus coshx
Διαβάστε περισσότεραTretja vaja iz matematike 1
Tretja vaja iz matematike Andrej Perne Ljubljana, 00/07 kompleksna števila Polarni zapis kompleksnega števila z = x + iy): z = rcos ϕ + i sin ϕ) = re iϕ Opomba: Velja Eulerjeva formula: e iϕ = cos ϕ +
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 12. november 2013 Graf funkcije f : D R, D R, je množica Γ(f) = {(x,f(x)) : x D} R R, torej podmnožica ravnine R 2. Grafi funkcij,
Διαβάστε περισσότεραOdvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 10. december 2013 Izrek (Rolleov izrek) Naj bo f : [a,b] R odvedljiva funkcija in naj bo f(a) = f(b). Potem obstaja vsaj ena
Διαβάστε περισσότεραZaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 15. oktober 2013 Oglejmo si, kako množimo dve kompleksni števili, dani v polarni obliki. Naj bo z 1 = r 1 (cosϕ 1 +isinϕ 1 )
Διαβάστε περισσότεραSplošno o interpolaciji
Splošno o interpolaciji J.Kozak Numerične metode II (FM) 2011-2012 1 / 18 O funkciji f poznamo ali hočemo uporabiti le posamezne podatke, na primer vrednosti r i = f (x i ) v danih točkah x i Izberemo
Διαβάστε περισσότεραIZPIT IZ ANALIZE II Maribor,
Maribor, 05. 02. 200. (a) Naj bo f : [0, 2] R odvedljiva funkcija z lastnostjo f() = f(2). Dokaži, da obstaja tak c (0, ), da je f (c) = 2f (2c). (b) Naj bo f(x) = 3x 3 4x 2 + 2x +. Poišči tak c (0, ),
Διαβάστε περισσότεραmatrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):
4 vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 matrike Matrika dimenzije m n je pravokotna tabela m n števil, ki ima m vrstic in n stolpcev: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n
Διαβάστε περισσότεραKODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK
1 / 24 KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK Štefko Miklavič Univerza na Primorskem MARS, Avgust 2008 Phoenix 2 / 24 Phoenix 3 / 24 Phoenix 4 / 24 Črtna koda 5 / 24 Črtna koda - kontrolni bit 6 / 24
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA FOURIERJEVA TRANSFORMACIJA
29.03.2004 Definicija DFT Outline DFT je linearna transformacija nekega vektorskega prostora dimenzije n nad obsegom K, ki ga označujemo z V K, pri čemer ima slednji lastnost, da vsebuje nek poseben element,
Διαβάστε περισσότεραNavadne diferencialne enačbe
Navadne diferencialne enačbe Navadne diferencialne enačbe prvega reda V celotnem poglavju bo y = dy dx. Diferencialne enačbe z ločljivima spremeljivkama Diferencialna enačba z ločljivima spremeljivkama
Διαβάστε περισσότεραRealne funkcije. Elementarne funkcije. Polinomi in racionalne funkcije. Eksponentna funkcija a x : R R + FKKT Matematika 1
Realne funkcije Funkcija f denirana simetri nem intervalu D = ( a, a) ali D = [ a, a] (i) je soda, e velja f(x) = f( x), x D; (ii) je liha, e velja f(x) = f( x), x D. Naj bo f denirana D f in x 1, x 2
Διαβάστε περισσότεραPodobnost matrik. Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik
Podobnost matrik Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Matjaž Željko FKKT Kemijsko inženirstvo 14 teden (Zadnja sprememba: 23 maj 213) Matrika A R n n je podobna matriki B R n n, če obstaja obrnljiva
Διαβάστε περισσότεραMatematika I (VS) Univerza v Ljubljani, FE. Melita Hajdinjak 2013/14. Pregled elementarnih funkcij. Potenčna funkcija. Korenska funkcija.
1 / 46 Univerza v Ljubljani, FE Potenčna Korenska Melita Hajdinjak Matematika I (VS) Kotne 013/14 / 46 Potenčna Potenčna Funkcijo oblike f() = n, kjer je n Z, imenujemo potenčna. Število n imenujemo eksponent.
Διαβάστε περισσότεραKombinatorika. rekurzivnih enačb in rodovne funkcije. FMF Matematika Finančna matematika. Vladimir Batagelj. Ljubljana, april
FMF Matematika Finančna matematika Kombinatorika Reševanje rekurzivnih enačb in rodovne funkcije Vladimir Batagelj Math fun: Pascal triangle Ljubljana, april 2008 4. Dec 2012 različica: December 4, 2012
Διαβάστε περισσότεραDefinicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1
Funkcije več realnih spremenljivk Osnovne definicije Limita in zveznost funkcije več spremenljivk Parcialni odvodi funkcije več spremenljivk Gradient in odvod funkcije več spremenljivk v dani smeri Parcialni
Διαβάστε περισσότεραBooleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke
Izjave in Booleove spremenljivke vsako izjavo obravnavamo kot spremenljivko če je izjava resnična (pravilna), ima ta spremenljivka vrednost 1, če je neresnična (nepravilna), pa vrednost 0 pravimo, da gre
Διαβάστε περισσότεραSKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK
SKUPNE PORAZDELITVE SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK Kovaec vržemo trikrat. Z ozačimo število grbov ri rvem metu ( ali ), z Y a skuo število grbov (,, ali 3). Kako sta sremelivki i Y odvisi
Διαβάστε περισσότερα1 Fibonaccijeva stevila
1 Fibonaccijeva stevila Fibonaccijevo število F n, kjer je n N, lahko definiramo kot število načinov zapisa števila n kot vsoto sumandov, enakih 1 ali Na primer, število 4 lahko zapišemo v obliki naslednjih
Διαβάστε περισσότεραV tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant.
Poglavje IV Determinanta matrike V tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant 1 Definicija Preden definiramo determinanto,
Διαβάστε περισσότεραNumerično reševanje. diferencialnih enačb II
Numerčno reševanje dferencaln enačb I Dferencalne enačbe al ssteme dferencaln enačb rešujemo numerčno z več razlogov:. Ne znamo j rešt analtčno.. Posamezn del dferencalne enačbe podan tabelarčno. 3. Podatke
Διαβάστε περισσότεραAlgebraične strukture
Poglavje V Algebraične strukture V tem poglavju bomo spoznali osnovne algebraične strukture na dani množici. Te so podane z eno ali dvema binarnima operacijama. Binarna operacija paru elementov iz množice
Διαβάστε περισσότεραOsnove matematične analize 2016/17
Osnove matematične analize 216/17 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Kaj je funkcija? Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta
Matematika Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 6. november 200 Poglavje 2 Zaporedja in številske vrste 2. Zaporedja 2.. Uvod Definicija 2... Zaporedje (a n ) = a, a 2,..., a n,... je predpis,
Διαβάστε περισσότεραLinearne preslikave. Poglavje VII. 1 Definicija linearne preslikave in osnovne lastnosti
Poglavje VII Linearne preslikave V tem poglavju bomo vektorske prostore označevali z U,V,W,... Vsi vektorski prostori bodo končnorazsežni. Zaradi enostavnosti bomo privzeli, da je pripadajoči obseg realnih
Διαβάστε περισσότεραReševanje sistema linearnih
Poglavje III Reševanje sistema linearnih enačb V tem kratkem poglavju bomo obravnavali zelo uporabno in zato pomembno temo linearne algebre eševanje sistemov linearnih enačb. Spoznali bomo Gaussovo (natančneje
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1
Mtemtik 1 Gregor Dolinr Fkultet z elektrotehniko Univerz v Ljubljni 2. jnur 2014 Gregor Dolinr Mtemtik 1 Izrek (Izrek o povprečni vrednosti) Nj bo m ntnčn spodnj mej in M ntnčn zgornj mej integrbilne funkcije
Διαβάστε περισσότεραUniverza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA. Polona Oblak
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA Polona Oblak Ljubljana, 04 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 5(075.8)(0.034.) OBLAK,
Διαβάστε περισσότεραREˇSITVE. Naloga a. b. c. d Skupaj. FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost 2. kolokvij 23.
Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost. kolokvij 3. januar 08 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Nalog je 6,
Διαβάστε περισσότεραSpoznajmo sedaj definicijo in nekaj osnovnih primerov zaporedij števil.
Zaporedja števil V matematiki in fiziki pogosto operiramo s približnimi vrednostmi neke količine. Pri numeričnemu računanju lahko npr. število π aproksimiramo s števili, ki imajo samo končno mnogo neničelnih
Διαβάστε περισσότερα1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja
ZNAČILNOSTI FUNKCIJ ZNAČILNOSTI FUNKCIJE, KI SO RAZVIDNE IZ GRAFA. Deinicijsko območje, zaloga vrednosti. Naraščanje in padanje, ekstremi 3. Ukrivljenost 4. Trend na robu deinicijskega območja 5. Periodičnost
Διαβάστε περισσότεραMatematika. Funkcije in enačbe
Matematika Funkcije in enačbe (1) Nariši grafe naslednjih funkcij: (a) f() = 1, (b) f() = 3, (c) f() = 3. Rešitev: (a) Linearna funkcija f() = 1 ima začetno vrednost f(0) = 1 in ničlo = 1/. Definirana
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. Diferencialne enačbe drugega reda
Matematika 2 Diferencialne enačbe drugega reda (1) Reši homogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti: (a) y 6y + 8y = 0, (b) y 2y + y = 0, (c) y + y = 0, (d) y + 2y + 2y = 0. Rešitev:
Διαβάστε περισσότεραdiferencialne enačbe - nadaljevanje
12. vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 diferencialne enačbe - nadaljevanje Ortogonalne trajektorije Dana je 1-parametrična družina krivulj F(x, y, C) = 0. Ortogonalne
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALI RACIONALNIH FUNKCIJ
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA NIKA HREN INTEGRALI RACIONALNIH FUNKCIJ DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 203 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA MATEMATIKA - RAČUNALNIŠTVO NIKA HREN Mentor: izr.
Διαβάστε περισσότεραKvadratne forme. Poglavje XI. 1 Definicija in osnovne lastnosti
Poglavje XI Kvadratne forme V zadnjem poglavju si bomo ogledali še eno vrsto preslikav, ki jih tudi lahko podamo z matrikami. To so tako imenovane kvadratne forme, ki niso več linearne preslikave. Kvadratne
Διαβάστε περισσότεραAnaliza 2 Rešitve 14. sklopa nalog
Analiza Rešitve 1 sklopa nalog Navadne diferencialne enačbe višjih redov in sistemi diferencialnih enačb (1) Reši homogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti: (a) 6 + 8 0, (b)
Διαβάστε περισσότεραIzpeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega
Izeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega 1. Najosnovnejše o konveksnih funkcijah Definicija. Naj bo X vektorski rostor in D X konveksna množica. Funkcija ϕ: D R je konveksna,
Διαβάστε περισσότεραDomače naloge za 2. kolokvij iz ANALIZE 2b VEKTORSKA ANALIZA
Domače naloge za 2. kolokvij iz ANALIZE 2b VEKTORSKA ANALIZA. Naj bo vektorsko polje R : R 3 R 3 dano s predpisom R(x, y, z) = (2x 2 + z 2, xy + 2yz, z). Izračunaj pretok polja R skozi površino torusa
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραDodatna poglavja iz linearne algebre za 1. letnik finančne matematike na FMF. Primož Moravec
Dodatna poglavja iz linearne algebre za 1 letnik finančne matematike na FMF Primož Moravec 13 september 2017 1 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 51264(0758)
Διαβάστε περισσότεραFAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 22. junij Navodila
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 22 junij 212 Ime in priimek: Vpisna št: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Veljale bodo samo rešitve na papirju, kjer
Διαβάστε περισσότεραDefinicija 1. Naj bo f : D odp R funkcija. Funkcija F : D odp R je primitivna funkcija funkcije f, če je odvedljiva in če velja F = f.
Nedoločeni integral V tem razdelku si bomo pogledali operacijo, ki je na nek način inverzna odvajanju. Za dano funkcijo bomo poskušali poiskati neko drugo funkcijo, katere odvod bo ravno dana funkcija.
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραLastne vrednosti in lastni vektorji
Poglavje VIII Lastne vrednosti in lastni vektorji V tem poglavju bomo privzeli, da so skalarji v vektorskih prostorih, koeficienti v matrikah itd., kompleksna števila. Algebraične operacije seštevanja,
Διαβάστε περισσότεραMatrike. Poglavje II. Matrika je pravokotna tabela realnih števil. Na primer: , , , 0 1
Poglavje II Matrike Matrika je pravokotna tabela realnih števil Na primer: [ ] 1 1 1, 2 3 1 1 0 1 3 2 1, 0 1 4 [ ] 2 7, Matrika je sestavljena iz vrstic in stolpcev Vrstici matrike [ ] 1 1 1 2 3 1 [ ]
Διαβάστε περισσότερα8. Diskretni LTI sistemi
8. Diskreti LI sistemi. Naloga Določite odziv diskretega LI sistema s podaim odzivom a eoti impulz, a podai vhodi sigal. h[] x[] - - 5 6 7 - - 5 6 7 LI sistem se a vsak eoti impulz δ[] a vhodu odzove z
Διαβάστε περισσότεραKotne in krožne funkcije
Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku Avtor: Rok Kralj, 4.a Gimnazija Vič, 009/10 β a c γ b α sin = a c cos= b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu nasprotne katete
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότερα13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa
13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa Bor Plestenjak NLA 25. maj 2010 Bor Plestenjak (NLA) 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 25. maj 2010 1 / 12 Enostranska Jacobijeva
Διαβάστε περισσότεραVaje iz MATEMATIKE 8. Odvod funkcije., pravimo, da je funkcija f odvedljiva v točki x 0 z odvodom. f (x f(x 0 + h) f(x 0 ) 0 ) := lim
Študij AHITEKTURE IN URBANIZMA, šol l 06/7 Vaje iz MATEMATIKE 8 Odvod funkcije f( Definicija: Naj bo f definirana na neki okolici točke 0 Če obstaja lim 0 +h f( 0 h 0 h, pravimo, da je funkcija f odvedljiva
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU
I FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Jadranska cesta 19 1000 Ljubljan Ljubljana, 25. marec 2011 MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU KOMUNICIRANJE V MATEMATIKI Darja Celcer II KAZALO: 1 VSTAVLJANJE MATEMATIČNIH
Διαβάστε περισσότερα1 Seštevanje vektorjev in množenje s skalarjem
Poglavje I Vektorji Seštevanje vektorjev in množenje s skalarjem Za lažjo geometrično predstavo si najprej oglejmo, kaj so vektorji v ravnini. Vektor je usmerjena daljica, ki je natanko določena s svojo
Διαβάστε περισσότεραMatematika vaja. Matematika FE, Ljubljana, Slovenija Fakulteta za Elektrotehniko 1000 Ljubljana, Tržaška 25, Slovenija
Matematika 1 3. vaja B. Jurčič Zlobec 1 1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za Elektrotehniko 1000 Ljubljana, Tržaška 25, Slovenija Matematika FE, Ljubljana, Slovenija 2011 Določi stekališča zaporedja a
Διαβάστε περισσότεραPoliedri Ines Pogačar 27. oktober 2009
Poliedri Ines Pogačar 27. oktober 2009 Pri linearnem programiranju imamo opravka s končnim sistemom neenakosti in končno spremenljivkami, torej je množica dopustnih rešitev presek končno mnogo polprostorov.
Διαβάστε περισσότερα1. VAJA IZ TRDNOSTI. (linearna algebra - ponovitev, Kroneckerjev δ i j, permutacijski simbol e i jk )
VAJA IZ TRDNOSTI (lnearna algebra - ponovtev, Kroneckerev δ, permutacsk smbol e k ) NALOGA : Zapš vektor a = [, 2,5,] kot lnearno kombnaco vektorev e = [,,,], e 2 = [,2,3,], e 3 = [2,,, ] n e 4 = [,,,]
Διαβάστε περισσότεραInterpolacija in aproksimacija funkcij
Poglavje 4 Interpolacija in aproksimacija funkcij Na interpolacijo naletimo, kadar moramo vrednost funkcije, ki ima vrednosti znane le v posameznih točkah (pravimo jim interpolacijske točke), izračunati
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta
Matematika 1 Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 21. april 2008 102 Poglavje 4 Odvod 4.1 Definicija odvoda Naj bo funkcija f definirana na intervalu (a, b) in x 0 točka s tega intervala. Vzemimo
Διαβάστε περισσότεραEnačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba.
1. Osnovni pojmi Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba. Primer 1.1: Diferencialne enačbe so izrazi: y
Διαβάστε περισσότεραIntegralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d)
Integralni račun Nedoločeni integral in integracijske metrode. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: d 3 +3+ 2 d, (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) + 3 4d, 3 +e +3d, 2 +4+4 d, 3 2 2 + 4 d, d, 6 2 +4 d, 2
Διαβάστε περισσότεραDragi polinom, kje so tvoje ničle?
1 Dragi polinom, kje so tvoje ničle? Vito Vitrih FAMNIT - Izlet v matematično vesolje 17. december 2010 Polinomi: 2 Polinom stopnje n je funkcija p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, a i R.
Διαβάστε περισσότεραD f, Z f. Lastnosti. Linearna funkcija. Definicija Linearna funkcija f : je definirana s predpisom f(x) = kx+n; k,
Linearna funkcija Linearna funkcija f : je definirana s predpisom f(x) = kx+n; k, n ᄀ. k smerni koeficient n začetna vrednost D f, Z f Definicijsko območje linearne funkcije so vsa realna števila. Zaloga
Διαβάστε περισσότεραUniverza v Mariboru. Fakulteta za logistiko MATEMATIKA. Univerzitetni učbenik
Univerza v Mariboru Fakulteta za logistiko MATEMATIKA Univerzitetni učbenik AJDA FOŠNER IN MAJA FOŠNER Junij, 2008 Kazalo 1 Množice 5 11 Matematična logika 5 12 Množice 10 2 Preslikave 18 21 Realne funkcije
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO MATEMATIKA II
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO Petra Žigert Pleteršek MATEMATIKA II Maribor, 2016 Kazalo Uvod v linearno algebro 1 1.1 Matrike................................ 1 1.2 Računanje
Διαβάστε περισσότεραKunci, jabolka in zlatnina
Kunci, jabolka in zlatnina Marko Razpet, PeF UL Kunci Matematik Fibonacci ali Leonardo iz Pise (r okoli 70, u okoli 240) je znan po svojih delih Liber Abaci, Practica Geometriae, Flos in Liber Quadratorum
Διαβάστε περισσότεραNa pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12
Predizpit, Proseminar A, 15.10.2015 1. Točki A(1, 2) in B(2, b) ležita na paraboli y = ax 2. Točka H leži na y osi in BH je pravokotna na y os. Točka C H leži na nosilki BH tako, da je HB = BC. Parabola
Διαβάστε περισσότεραUporabna matematika za naravoslovce
Uporabna matematika za naravoslovce Zapiski predavanj Študijski programi: Aplikativna kineziologija, Biodiverziteta Študijsko leto 203/4 doc.dr. Barbara Boldin Fakulteta za matematiko, naravoslovje in
Διαβάστε περισσότεραPONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST
PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST 1. * 2. *Galvanski člen z napetostjo 1,5 V požene naboj 40 As. Koliko električnega dela opravi? 3. ** Na uporniku je padec napetosti 25 V. Upornik prejme 750 J dela v 5 minutah.
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότερα8. Posplošeni problem lastnih vrednosti
8. Posplošeni problem lastnih vrednosti Bor Plestenjak NLA 13. april 2010 Bor Plestenjak (NLA) 8. Posplošeni problem lastnih vrednosti 13. april 2010 1 / 15 Matrični šop Dani sta kvadratni n n matriki
Διαβάστε περισσότεραMnožico vseh funkcijskih vrednosti, ki jih pri tem dobimo, imenujemo zaloga vrednosti funkcije f. Oznaka: Z f
Funkcije Funkcija f : A B (funkcija iz množice A v množico B) je predpis (pravilo, postopek, preslikava, formula,..), ki danemu podatku x A priredi funkcijsko vrednost f (x) B. Množica A je množica vseh
Διαβάστε περισσότεραFunkcije več spremenljivk
DODATEK C Funkcije več spremenljivk C.1. Osnovni pojmi Funkcija n spremenljivk je predpis: f : D f R, (x 1, x 2,..., x n ) u = f (x 1, x 2,..., x n ) kjer D f R n imenujemo definicijsko območje funkcije
Διαβάστε περισσότεραVERIŽNI ULOMKI IN NESKONČNE VRSTE
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA KATJA SKUBIC VERIŽNI ULOMKI IN NESKONČNE VRSTE DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 204 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA MATEMATIKA IN RAČUNALNIŠTVO KATJA SKUBIC Mentor:
Διαβάστε περισσότεραFrekvenčna analiza neperiodičnih signalov. Analiza signalov prof. France Mihelič
Frekvenčna analiza neperiodičnih signalov Analiza signalov prof. France Mihelič Vpliv postopka daljšanja periode na spekter periodičnega signala Opazujmo družino sodih periodičnih pravokotnih impulzov
Διαβάστε περισσότεραII. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ
II. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ. Preslikave med množicami Funkcija ali preslikava med dvema množicama A in B je predpis f, ki vsakemu elementu x množice A priredi natanko določen element y množice B. Važno
Διαβάστε περισσότεραNavadne diferencialne enačbe
Navadne diferencialne enačbe (študijsko gradivo) Matija Cencelj 1. maja 2003 2 Kazalo 1 Uvod 5 1.1 Preprosti primeri......................... 8 2 Diferencialne enačbe prvega reda 11 2.1 Ločljivi spremenljivki.......................
Διαβάστε περισσότερα*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center
Državni izpitni center *M40* Osnovna in višja raven MATEMATIKA SPOMLADANSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Sobota, 4. junij 0 SPLOŠNA MATURA RIC 0 M-40-- IZPITNA POLA OSNOVNA IN VIŠJA RAVEN 0. Skupaj:
Διαβάστε περισσότεραMatematika. BF Lesarstvo. Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 2010/2011
Matematika BF Lesarstvo Matjaž Željko Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 00/0 Izpis: 9 avgust 0 Kazalo Števila 5 Naravna števila 5 Cela števila 6 3 Racionalna števila 6 4 Realna števila 7 5 Urejenost
Διαβάστε περισσότεραZBIRKA REŠENIH NALOG IZ MATEMATIKE I
Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Andrej Perne ZBIRKA REŠENIH NALOG IZ MATEMATIKE I Skripta za vaje iz Matematike I (UNI + VSP) Ljubljana, množice Osnovne definicije: Množica A je podmnožica
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραTema 1 Osnove navadnih diferencialnih enačb (NDE)
Matematične metode v fiziki II 2013/14 Tema 1 Osnove navadnih diferencialnih enačb (NDE Diferencialne enačbe v fiziki Večina osnovnih enačb v fiziki je zapisana v obliki diferencialne enačbe. Za primer
Διαβάστε περισσότεραVektorski prostori s skalarnim produktom
Poglavje IX Vektorski prostori s skalarnim produktom Skalarni produkt dveh vektorjev v R n smo spoznali v prvem poglavju. Sedaj bomo pojem skalarnega produkta razširili na poljuben vektorski prostor V
Διαβάστε περισσότερα1. Trikotniki hitrosti
. Trikotniki hitrosti. Z radialno črpalko želimo črpati vodo pri pogojih okolice z nazivnim pretokom 0 m 3 /h. Notranji premer rotorja je 4 cm, zunanji premer 8 cm, širina rotorja pa je,5 cm. Frekvenca
Διαβάστε περισσότεραΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΕΟ 13 ΤΟΜΟΣ Δ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ
ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΕΟ 13 ΤΟΜΟΣ Δ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (5) ΑΘΗΝΑ ΜΑΡΤΙΟΣ 2013 1 ΕΠΕΞΗΓΗΣΗ ΤΥΠΩΝ ΚΑΙ ΣΥΜΒΟΛΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Τυχαία μεταβλητή είναι μία συνάρτηση η οποία να αντιστοιχεί
Διαβάστε περισσότεραInverzni problem lastnih vrednosti evklidsko razdaljnih matrik
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko Fakulteta za matematiko in fiziko Peter Škvorc Inverzni problem lastnih vrednosti evklidsko razdaljnih matrik DIPLOMSKO DELO UNIVERZITETNI
Διαβάστε περισσότεραKotni funkciji sinus in kosinus
Kotni funkciji sinus in kosinus Oznake: sinus kota x označujemo z oznako sin x, kosinus kota x označujemo z oznako cos x, DEFINICIJA V PRAVOKOTNEM TRIKOTNIKU: Kotna funkcija sinus je definirana kot razmerje
Διαβάστε περισσότεραOdvode odvisnih spremenljivk po neodvisni spremenljivki bomo označevali s piko: Sistem navadnih diferencialnih enačb prvega reda ima obliko:
4 Sisemi diferencialnih enačb V prakičnih primerih večkra naleimo na več diferencialnih enačb, ki opisujejo določen pojav in so medsebojno povezane edaj govorimo o sisemih diferencialnih enačb V eh enačbah
Διαβάστε περισσότεραTransformator. Delovanje transformatorja I. Delovanje transformatorja II
Transformator Transformator je naprava, ki v osnovi pretvarja napetost iz enega nivoja v drugega. Poznamo vrsto različnih izvedb transformatorjev, glede na njihovo specifičnost uporabe:. Energetski transformator.
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραIterativno reševanje sistemov linearnih enačb. Numerične metode, sistemi linearnih enačb. Numerične metode FE, 2. december 2013
Numerične metode, sistemi linearnih enačb B. Jurčič Zlobec Numerične metode FE, 2. december 2013 1 Vsebina 1 z n neznankami. a i1 x 1 + a i2 x 2 + + a in = b i i = 1,..., n V matrični obliki zapišemo:
Διαβάστε περισσότεραp 1 ENTROPIJSKI ZAKON
ENROPIJSKI ZAKON REERZIBILNA srememba: moža je obrjea srememba reko eakih vmesih staj kot rvota srememba. Po obeh sremembah e sme biti obeih trajih srememb v bližji i dalji okolici. IREERZIBILNA srememba:
Διαβάστε περισσότεραGimnazija Krˇsko. vektorji - naloge
Vektorji Naloge 1. V koordinatnem sistemu so podane točke A(3, 4), B(0, 2), C( 3, 2). a) Izračunaj dolžino krajevnega vektorja točke A. (2) b) Izračunaj kot med vektorjema r A in r C. (4) c) Izrazi vektor
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότερα