Πανεπιζηήμιο Αθηνών Τμήμα Φςζικήρ

Πανεπιζηήμιο Αθηνών Τμήμα Φςζικήρ Κβαντομητανική ΙI Α. Καρανίκας και Π. Σφήκας Σημειώζειρ I: Κίνηζη ζε ηπειρ διαζηάζειρ, ζηποθοπμή 1. Κίνηζη ζε ηπειρ διαζηάζειρ Απνδεηθλύεηαη (κε ηνλ ίδην ηξόπν όπσο θαη γηα ηελ ζπληζηώζεο ηεο νξκήο ζηνλ άμνλα θαη, ˆp θαη ˆp, δίδνληαη σο: ˆp ) όηη νη ηειεζηέο πνπ αληηζηνηρνύλ ζηηο p ˆ i, pˆ i (1.1) Οη αληίζηνηρεο ζρέζεηο κεηάζεζεο είλαη: Δίλαη επίζεο πξνθαλέο όηη ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ,p,p i,,, 0 όπσο επίζεο p ˆ ˆ i,p j 0 γηα i, j,,. Τέινο,,p,p 0. Όιεο απηέο νη ζρέζεηο κπνξνύλ λα ζπκπηπρζνύλ ζηε κνξθή ˆ ˆ i όπνπ εηζαγάγνπκε ην ζπκβνιηζκό ˆ, ˆ,ˆ,, ˆ ˆ ˆ 1 3 i,p j ij (1.) θαη p ˆ1,p ˆ,pˆ 3 p ˆ ˆ ˆ,p,p. Έηζη, κπνξνύκε λα γξάςνπκε ηελ ηξηζδηάζηαηε νξκή σο άλπζκα: ˆ p pˆ ˆ ˆ e p e pe e i e i e i (1.3) όπνπ e, e θαη e ηα κνλαδηαία αλύζκαηα ζηνπο άμνλεο, θαη αληίζηνηρα. Σε θαξηεζηαλέο ζπληεηαγκέλεο: pˆ p p pˆ pˆ pˆ ˆ ˆ Η (1.3) κπνξεί λα γξαθηεί θαη πην ζύληνκα, ρξεζηκνπνηώληαο ην αλάδειηα: ˆp i (1.4) Οπόηε, γεληθόηεξα: ˆp i i (1.5) Η θπκαηνζπλάξηεζε, πιένλ, εμαξηάηαη από ηηο ηξεηο αλεμάξηεηεο κεηαβιεηέο,, δει:, t,,, t, t 1

Αληίζηνηρα, ζε ζθαηξηθέο ζπληεηαγκέλεο, θαη ε νξκή γξάθεηαη σο, t,,, t 1 1 ˆp i e e e (1.6) si Γηα δε ηελ επίιπζε ηεο ρξνλνεμαξηώκελεο εμίζσζεο ηνπ Schödige, ρξεζηκνπνηνύκε ηελ ίδηα παξαγνληνπνίεζε όπσο θαη ζηελ πεξίπησζε ηεο κηαο δηάζηαζεο (1D):, t T t, t T t (1.7) Αληηθαζηζηώληαο ηελ (1.7) ζηελ εμίζσζε ηνπ Schödige, θαηαιήγνπκε ζην ίδην απνηέιεζκα όπσο θαη ζηελ πεξίπησζε ηνπ 1D: Πξνθαλώο, ε εξκελεία ηεο ˆ ˆ H i H E και T t T 0e t iet παξακέλεη ε ίδηα, δειαδή είλαη ε ππθλόηεηα πηζαλόηεηαο ζε έλα ηκήκα d, d, d ηνπ ρώξνπ. Δπνκέλσο, πξόθεηηαη γηα ηελ ππθλόηεηα πηζαλόηεηαο όγθνπ dv ddd. Η δε πηζαλόηεηα λα βξεζεί ην ζσκάηην κέζα ζε θάπνην όγθν V είλαη ηώξα Παξάδεηγκα 1: Κίλεζε ζε δπν δηαζηάζεηο: P V dv Αληηθαζηζηώληαο ηηο (1.1) ζηελ (1.8), παίξλνπκε ηελ εμήο κνξθή: Η πην απιή πεξίπησζε: V, V V αξκνληθόο ηαιαλησηήο ζε D: V ˆp ˆp Ĥ V, (1.8) V, E. Παξάδεηγκα ηέηνηνπ δπλακηθνύ είλαη ν απιόο 1 1 1 V Παξαηεξνύκε όηη νη όξνη κε θαη είλαη αλεμάξηεηνη κεηαμύ ηνπο, νπόηε αλαδεηνύκε ιύζε ζηε κνξθή γηλνκέλνπ, F G : d F d G 1 1 G F FG EFG d d Γηαηξώληαο θαη ηα δύν κέιε κε F G, παίξλνπκε

1 d F 1 1 d G 1 E F d G d f g (1.9) Ο πξώηνο όξνο ζηελ (1.9) είλαη ζπλάξηεζε ηνπ (κόλν), ελώ ε δεύηεξε παξέλζεζε ζπλάξηεζε ηνπ (κόλν). Έζησ f θαη g απηέο νη ζπλαξηήζεηο. Η εμίζσζε (1.9) πιένλ γξάθεηαη f g E Ο κόλνο ηξόπνο κε ηνλ νπνίν ην άζξνηζκα δπν ζπλαξηήζεσλ πνπ εμαξηώληαη από δηαθνξεηηθέο αλεμάξηεηεο κεηαβιεηέο κπνξεί λα είλαη ζηαζεξό, είλαη ε θάζε ζπλάξηεζε λα είλαη ζηαζεξή. Καη επνκέλσο f E θαη g E όπνπ E, E δπν λέεο ζηαζεξέο: F df 1 E F d θαη κηα παλνκνηόηππε εμίζσζε κε, F G Οη ιύζεηο καο είλαη ήδε γλσζηέο: ε E θαη E δίδνληαη σο. F θαη ε G είλαη πνιπώλπκα Heite, ελώ νη ζηαζεξέο E 1 όποσ E 1 όποσ Σηελ εηδηθή πεξίπησζε πνπ (θαη επνκέλσο ) ε νιηθή ελέξγεηα ηνπ ζώκαηνο δίδεηαη σο E E E E 1 Παξαηεξνύκε όηη νη θαηαζηάζεηο ζπγθεθξηκέλεο ελέξγεηαο είλαη εθθπιηζκέλεο: E 0 1, 0 E1 καταστάσεις εκυσλισμένες 1, 0, 0 E 3 1, 1 3 καταστάσεις (εκυσλισμένες) 0, Σε ηη δηαθέξνπλ νη θαηαζηάζεηο πνπ έρνπλ ηελ ίδηα ελέξγεηα; Η παξάκεηξνο ραξαθηεξίδεη ηελ νξκή ζηνλ άμνλα ησλ (θαη αληίζηνηρα ε ηελ νξκή ζηνλ άμνλα ησλ. Καη επνκέλσο δηαθέξνπλ σο πξνο ηελ θίλεζε ζηνπο δπν άμνλεο. Αξγόηεξα ζα δνύκε όηη γξακκηθνί ζπλδπαζκνί ηνπο αληηζηνηρνύλ ζε ηδηνζπλαξηήζεηο ηεο ζηξνθνξκήο. 3

Παξάδεηγκα : απεηξόβαζν πεγάδη ζε ηξεηο δηαζηάζεηο. Έζησ θνπηί κε πιεπξέο κε κήθνο L, L, L ζηνπο άμνλεο, θαη αληίζηνηρα. Έζησ όηη ην δπλακηθό είλαη ζηαζεξό (άξα κπνξνύκε λα ην νξίζνπκε σο V 0 ) κέζα ζην θνπηί, δει. V 0 ζην δηάζηεκα 0 L θαη 0 L θαη 0 L θαη V ζε όιεο ηηο άιιεο πεξηνρέο. Γνθηκάδνπκε θαη πάιη ιύζεηο ηεο κνξθήο: 1 d X 1 d Y 1 d Z X Y Z E X d Y d Z d E E E Έρνπκε ηξεηο εμηζώζεηο ηεο κνξθήο: E E f f e d f, d i i cos si i f Ae Be A B Δθαξκόδνπκε ηηο ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο. Ωο παξάδεηγκα, ζηνλ άμνλα,, ζα έρνπκε: όπνπ f 0 f L 0 A 0; BsiL 0 L X N si L N κηα ζηαζεξά θαλνληθνπνίεζεο. Με ηνλ ίδην αθξηβώο ηξόπν βξίζθνπκε όηη ππάξρνπλ ζεηηθνί αθέξαηνη,. Η νιηθή θπκαηνζπλάξηεζε γξάθεηαη σο εμήο: L L,, N si si si L L L όπνπ N ε ζπλνιηθή ζηαζεξά θαλνληθνπνίεζεο. Η ελέξγεηα δίδεηαη σο: E L L L Σηελ πεξίπησζε πνπ ηα ηξία κήθε είλαη ίζα, δει L L L E L θαη έρνπκε θαη πάιη εθθπιηζκό ησλ ελεξγεηαθώλ ζηαζκώλ. θαη έηζη ώζηε. Σθαιπικέρ ζςνηεηαγμένερ Τα «πξαγκαηηθά» δπλακηθά είλαη ζπλάξηεζε ηεο απόζηαζεο αλάκεζα ζε δπν ζεκεία, θαη θπζηθά ε κνξθή απηή δελ κπνξεί λα γξαθηεί σο άζξνηζκα αλεμάξηεησλ ζπλαξηήζεσλ: 4

1 1 V V V V Δίλαη ινηπόλ πξνθαλέο όηη όηαλ ην δπλακηθό είλαη ζπλάξηεζε ηεο απόζηαζεο, π.ρ. Λαπιαζηαλή πξέπεη λα γξαθηεί ζε ζθαηξηθέο ζπληεηαγκέλεο Τν E ζε ζθαηξηθέο ζπληεηαγκέλεο γξάθεηαη σο V, ε 1 1 ˆ 1 cot ˆ si Η εμίζσζε Schödige γξάθεηαη σο εμήο: (1.10) Σεκεηώλεηαη όηη κεηνλνκάζακε ηελ ˆ ˆ,,,, V E ζε (1.11), επεηδή ζε ζθαηξηθέο ζπληεηαγκέλεο ε θπκαηνζπλάξηεζε εμαξηάηαη από ηελ γσλία. Γηα λα απνθεπρζεί νπνηαδήπνηε αλάκημε, ζηηο ζθαηξηθέο ζπληεηαγκέλεο, ε (1.7) γξάθεηαη, t T t Η εμίζσζε (1.11) καο ζπκίδεη ηελ κνξθή ηεο ελέξγεηαο (ζηελ Κιαζζηθή Μεραληθή) γηα ζώκα ζε θεληξηθό δπλακηθό: p L V E (1.1) L Σηελ (1.1), ε νιηθή νξκή, p, γξάθεηαη σο p όπνπ p ε αθηηληθή νξκή θαη L ε ζηξνθνξκή. Καη αληηζηνηρία, ζηελ Κβαληηθή Μεραληθή γξάθνπκε ηελ (1.1) σο: ˆp ˆ L V E Σπγθξίλνληαο ηελ (1.11) κε ηελ (1.13), ζπκπεξαίλνπκε όηη ζα πξέπεη λα ηζρύεη: (1.13) ˆ ˆp (1.14) θαη ˆ 1 ˆ cot L (1.15) si Η απόδεημε ησλ (1.14) θαη (1.15) απνηειεί ην ζέκα ηεο επόκελεο ελόηεηαο. 5

3. Σσέζη οπμήρ-ζηποθοπμήρ Σηελ θιαζζηθή κεραληθή ε (ηξνρηαθή) ζηξνθνξκή νξίδεηαη σο εμήο: L p Δπνκέλσο, ην ηεηξάγσλν ηεο ζηξνθνξκήο γξάθεηαη σο L L L p p p p Σπκβνιίδνληαο ηηο ζπληζηώζεο ηνπ σο,, i 1 3 i έρνπκε: L ijj p ill p j p l p ijil i j l j l i j pl p jl j l j pj p j p p j p p j l j j i i θαη έηζη, βξίζθνπκε ηελ θιαζζηθή αλάιπζε ηεο νξκήο ζε αθηηληθή p θαη ζηξνθνξκή L : p L p (1.16) Τν θβαληνκεραληθό αλάινγν ηεο ζρέζεο απηήο βξίζθεηαη κε ηνλ ίδην ηξόπν κέρξη ην ζεκείν όπνπ: (1.17) L j pj p j p p j j j Όηαλ αληηθαηαζηήζνπκε ηηο ζέζεηο θαη νξκέο ζηελ (1.17) κε ηνπο αληίζηνηρνπο ηειεζηέο, p p, γεληθά, δειαδή: i j j i ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 6 ˆ ˆ jpjp jp p j p p j j Αλη απηνύ, πξέπεη λα αλαιύζνπκε ηνπο όξνπο πξνζέρνληαο ηε ζεηξά κε ηελ νπνία εκθαλίδνληαη. Φξεζηκνπνηώληαο ηε ζρέζε κεηάζεζεο ζέζεο-νξκήο ˆ ˆ i, p j i ij έρνπκε: i j i Lˆ ˆ j ˆ jpˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ p j p p j j j ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ p i p j pp j 3i p j Άζθεζε: απνδείμηε όηη κπνξεί λα γξαθεί θαη σο εμήο: ˆ L ˆˆ p ˆ ˆ p ˆ p ˆ i ˆ p ˆ (1.18) ˆ ˆ ˆ L ˆˆ p p ˆ i pˆ (1.19) ˆ L ˆ pˆ ˆ pˆ ˆ pˆ ˆ i i p=... ˆ j j j j Φξεζηκνπνηώληαο ηελ (1.18), κπνξνύκε λα ππνινγίζνπκε ηνλ ηειεζηή ηεο αθηηληθήο νξκήο, δει. ηνλ (1.14). Τν εζσηεξηθό γηλόκελν ζηελ (1.19) βξίζθεηαη εύθνια:

Οπόηε ν δεύηεξνο όξνο ζηελ (1.18) γίλεηαη: θαη ν ηξίηνο όξνο ζηελ (1.18) γίλεηαη: Πξνζζέηνληαο ηνπο όξνπο έρνπκε: ˆ pˆ i ˆ i pˆ ˆ i pˆ δειαδή αλαθηάκε ηελ (1.16) ζε κνξθή ηειεζηώλ. Δίλαη εύθνιν λα δείμεηε όηη νη δπν όξνη ζηνλ θαη επνκέλσο, κηα άιιε κνξθή ηνπ ˆp ˆ L ˆ pˆ pˆ pˆ ˆp κπνξνύλ λα γξαθνύλ σο κηα παξάγσγνο: ˆp (1.0) ˆp είλαη: ˆp Ο άιινο ηξόπνο εμαγσγήο ηνπ ίδηνπ απνηειέζκαηνο είλαη λα μεθηλήζνπκε από ηελ θιαζζηθή έθθξαζε: L p e p θαη λα αληηθαηαζηήζνπκε ηηο θπζηθέο πνζόηεηεο κε ηνπο αληίζηνηρνπο ηειεζηέο. Ωζηόζν εδώ ππάξρεη έλα λέν «θαηλόκελν»: ε απιή αληηθαηάζηαζε ηεο ζέζεο θαη ηεο νξκήο κε ηνπο γλσζηνύο ηειεζηέο δελ δίλεη εξκηηηαλό ηειεζηή. Ο ιόγνο είλαη θαη πάιη όηη, θβαληνκεραληθά, ηζρύεη ε (1.) θαη επνκέλσο ν ηειεζηήο e p πνπ πεξηέρεη ην εζσηεξηθό γηλόκελν p ˆ pˆ p ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ p p e p δελ είλαη εξκηηηαλόο: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ i p p p p p p p p p p 3! Γεληθεύνληαο ην εξώηεκα, έζησ κηα θπζηθή πνζόηεηα q, p πνπ, κε απιή αληηθαηάζηαζε ησλ ηειεζηώλ ζέζεο θαη νξκήο, δελ δίλεη εξκηηηαλό ηειεζηή, π.ρ ηειεζηήο ζηελ Κβαληνκεραληθή ˆq H είλαη: q p. Ο αληίζηνηρνο εξκηηηαλόο 7

q+q ˆ ˆ q ˆq H (1.1) Ο ηειεζηήο ˆq ζηελ (1.1) είλαη, εμ νξηζκνύ, εξκηηηαλόο. Σην δε θιαζζηθό όξην, όπνπ ζέζε θαη νξκή κεηαηίζεληαη, ν λένο q είλαη απιώο ίζνο κε ηνλ παιηό. Με απηό ην ζθεπηηθό, ν ηειεζηήο ηεο αθηηληθήο νξκήο, ˆp, είλαη: ˆp 1 ˆ pˆ pˆ ˆ (1.) 1 Άζθεζε: απνδείμηε όηη ˆp i Απόδεημε: Η (1.) δίλεη 1 1 f 1 f f ˆp f e e f f f f i i i όπνπ ρξεζηκνπνηήζακε ηελ ηαπηόηεηα fa f A f A Ο δεύηεξνο όξνο ππνινγίδεηαη σο εμήο: e e e 1 1 1 1 3 3 3 3 3 f f 1 ˆp f f i i Καη επνκέλσο, ν ηειεζηήο ηεο αθηηληθήο νξκήο είλαη: Τν ηεηξάγσλν ηεο (1.3) ππνινγίδεηαη εύθνια: ˆp 1 i (1.3) 1 1 1 1 1 1 ˆp f f f f θαη επνκέλσο, πνπ ζπκθσλεί κε ηελ (1.0). ˆp 4. Λύζη ηηρ εξίζωζηρ Schödige ζε ζθαιπικέρ ζςνηεηαγμένερ Γηα λα ιύζνπκε ηελ εμίζσζε ηνπ Schödige ζε ζθαηξηθέο ζπληεηαγκέλεο, δνθηκάδνπκε ην γηλόκελν: 8

,, R, Αληηθαζηζηώληαο ζηελ (1.13) θαη δηαηξώληαο κε,, ˆ, παίξλνπκε: ˆ, 1 1 Π Π, R R, V E Σε αληηζηνηρία κε ηα πξνεγνύκελα βήκαηα ζα ππάξρεη ζηαζεξά ηέηνηα ώζηε 1 ˆL, cot, (1.4) si Σεκεηώλνπκε όηη ην είλαη αδηάζηαην (επεηδή βγάιακε ην ζηελ (1.4)). Δπεηδή θαη πάιη νη όξνη ηεο (1.4) εμαξηώληαη είηε από ην είηε από ην, δνθηκάδνπκε ιύζεηο ηεο κνξθήο, P Q Αληηθαζηζηώληαο θαη δηαηξώληαο κε,, παίξλνπκε 1 d P 1 1 1 cot dp d Q 0 P d P d Q si d Γηα αθόκα κηα θνξά, έρνπκε ην άζξνηζκα δπν ζπλαξηήζεσλ αλεμάξηεησλ κεηαβιεηώλ 1 d Q 1 d P 1 d P si cot 0 Q d P d P d g f (1.5) g f 0 Καη πάιη, εθόζνλ νη δπν όξνη εμαξηώληαη από δηαθνξεηηθέο αλεμάξηεηεο κεηαβιεηέο, ζα πξέπεη λα ηζνύληαη κε κηα ζηαζεξά, c. Απηό καο δίλεη dq cq d (1.6) Δίλαη πξνθαλέο όηη γηα c 0 νη ιύζεηο ηεο (1.6) δελ είλαη πεξηνδηθέο ζην (θαη ζα πξέπεη, εμ νξηζκνύ, γηα λα νξίδεηαη ε θπκαηνζπλάξηεζε «ζηε γσλία», λα ηζρύεη Q Q c 0 θαη γξάθνπκε c. Οπόηε έρνπκε dq d i Q Q e Δθαξκόδνληαο ηε ζπλνξηαθή ζπλζήθε Q Q i i i e e e 1 :ακέραιος Αληηθαζηζηώληαο ηελ (1.6) ζηελ (1.5) έρνπκε: παίξλνπκε ). Άξα 9

d P dp cot P 0 d d si Κάλνπκε ηελ εμήο αιιαγή κεηαβιεηήο: u cos du sid Οπόηε νη δπν πξώηνη όξνη ζηελ (1.7) γξάθνληαη σο εμήο: (1.7) θαη ε δηαθνξηθή εμίζσζε (1.7) γξάθεηαη d P cos dp 1 d dp si d si d si d d d dp du du 1u 1u P 0 (1.8) Γηα 0, απνδεηθλύεηαη εύθνια, κνινλόηη κε αξθεηή άιγεβξα (βιέπε Μαζεκαηηθό Σπκπιήξσκα ηνπ θεθαιαίνπ), όηη ε (1.8) έρεη ιύζεηο κόλν όηαλ ε παξάκεηξνο παίξλεη ηηο ηηκέο 1 όπνπ θπζηθόο αξηζκόο (ή 0). Οη ιύζεηο ηεο (1.8) είλαη πολσώνσμα βαθμού, θαη νλνκάδνληαη «πνιπώλπκα Legede». Τν πνιπώλπκν βαζκνύ δίδεηαη σο: 1 d! du u 1 P u Σεκεηώλνπκε όηη εθόζνλ ε εμίζσζε είλαη ζπκκεηξηθή σο πξνο u, νη περιττές ζπλαξηήζεηο. (1.9) P u πξέπεη λα είλαη άρτιες ή Δίλαη εύθνιν, κνινλόηη ρξεηάδεηαη ιίγε άιγεβξα, λα απνδεηρζεί όηη ηα πνιπώλπκα P είλαη, θάζεηα κεηαμύ ηνπο θαη ε θαλνληθνπνίεζή ηνπο δίδεηαη σο 1 P cos P cos d cos 1 1 (1.30) Γηα 0 ε γελίθεπζε ηεο (1.9) δίλεη ηα ζπλαθή πνιπώλπκα Legede 1 : Τν P u νξίδεηαη σο εμήο: d P u 1 d P u 1 u 1 u u 1 du! du! P u 1 P u! (1.31) Η θαλνληθνπνίεζε ησλ P δίδεηαη από ηελ εμήο ζύκβαζε: 1 P P d 1! 1! (1.3) 1 Associated Legede poloials 10

Q, Από ηηο (1.31) θαη (1.3) βιέπνπκε όηη. Τέινο, ζπλδπάδνληαο ηα P cos κε ηα παίξλνπκε ηε κνξθή ησλ ιύζεσλ, σο όπνπ. Απηέο νλνκάδνληαη ζθαηξηθέο αξκνληθέο θαη δίδνληαη! 1 i, A 1 1 e P cos 4! A ε ζηαζεξά θαλνληθνπνίεζεο πνπ δίδεηαη σο: A 1! 4! Έηζη έρνπκε βξεη ηηο ηδηνηηκέο θαη ηδηνζπλαξηήζεηο ηεο L : ˆ 4.1 Πολςώνςμα Legede και Σθαιπικέρ Απμονικέρ 1) Καλνληθνπνίεζε ησλ : όπνπ cos d d d θαη (1.33) L, 1, (1.34),, d ) Γπν ζεκαληηθέο ηδηόηεηεο ησλ ζθαηξηθώλ αξκνληθώλ: α), 1, β), 1, Απόδεημε β:, 1 A e 1, 1, i Η ηδηόηεηα απηή είλαη εμαηξεηηθά ζεκαληηθή γηα ηα ζηνηρεηώδε. Οη πξώηεο ζθαηξηθέο αξκνληθέο δίδνληαη από ηηο εμήο εθθξάζεηο: 11

0 0 1 4 0 3 3 1 cos 4 4 1 3 i 3 i 1 e si 8 8 0 5 5 cos 1 16 16 1 15 i 15 i e cossi 8 8 15 i 15 i e si 3 3 (1.35) Οη εθθξάζεηο σο πξνο ηα,, βξίζθνληαη κε απιή αληηθαηάζηαζε ησλ ζθαηξηθώλ ζπληεηαγκέλσλ κε ηηο αληίζηνηρεο θαξηεζηαλέο, π.ρ.: Τέινο: νη e i i i si e si νξίδνπλ έλα ρώξν Hilbet: νπνηαδήπνηε ζπλάξηεζε ησλ, εθθξαζζεί σο γξακκηθόο ζπλδπαζκόο ηνπο: όπνπ f, a,, έζησ, a ζηαζεξέο πνπ κπνξνύλ λα ππνινγηζζνύλ από ηελ νξζνθαλνληθόηεηα ησλ,,,, f κπνξεί λα : f d a d a a Σηελ πξάμε, νη ζπληειεζηέο αθόινπζν παξάδεηγκα: κπνξεί λα ππνινγηζζνύλ θαη κε ην «κάηη», όπσο δείρλεη ην Παξάδεηγκα 1: Βξείηε ηηο πηζαλέο ηηκέο ηεο L θαη ηηο αληίζηνηρεο πηζαλόηεηεο εκθάληζεο ησλ, γηα ζσκάηην πνπ έρεη ηελ εμήο θπκαηνζπλάξηεζε: f A, si cos Παξαηεξώληαο ηε κνξθή ηεο f,, βιέπνπκε όηη ε εμάξηεζε από ηελ είλαη ηεο κνξθήο cos, θαη άξα, κπνξεί λα γξαθηεί σο γξακκηθόο ζπλδπαζκόο ζθαηξηθώλ αξκνληθώλ ηεο κνξθήο Αλαπηύζζνληαο ηνλ εθζεηηθό όξν: 1 15 si i e 4 1

Καη επνκέλσο, 1 15 si cos i si 4 1 15 si cos i si 4 f A 15, Άξα, ππάξρεη κόλν κηα δπλαηή ηηκή ηεο, ε. Καη επνκέλσο, L 3 Η δε L παίξλεη ηηο ηηκέο θαη κε πηζαλόηεηα 50% 50%. Παξάδεηγκα : Σσκάηην έρεη θπκαηνζπλάξηεζε,, c e Βξείηε ηελ πηζαλόηεηα ε ζηξνθνξκή ηνπ a λα είλαη 0. Δπίζεο, ηελ πηζαλόηεηα ε L a λα είλαη 6. Τη δίλεη, θαη κε πνηα πηζαλόηεηα, ε κέηξεζε ηεο L ; Δίλαη πξνθαλέο όηη πξέπεη λα εθθξάζνπκε ηελ ζε ζθαηξηθέο ζπληεηαγκέλεο. sicos si si c si si cos si cos si si cos cose cos 1 si si si cos si cos a c e 1 15 i 1 1 15 e cos si cos si isi 8 8 1 15 i 1 1 15 e cos si cos si cos 8 8 8 i si cos si 15 8 1 si cos cos 15 1 1 1 1 15 15 cos i si si cos si 3 3 15 15 cos isi si i si si 3 3 a 13

1 3 1 i 8 8 1 4 15 15 15 a 1 1 1 1 c e Καλνληθνπνίεζε: θη επνκέλσο c 8 i 1 e 15 4i 4i a 1 1 1 1 c 8 a i i 1 1 c 8 e i i e F 4 15 15 a 1 1, 4 a dv d e d F, d F, 1 1 3 4 4 c 8 6 a 3 d e 1 4 15 Τέινο, από ηε κνξθή ηεο F, βξίζθνπκε άκεζα: p p 0 0 6 100% 1 1 p p, p 1 p 1, p 0 0 3 6 5. Σηποθοπμή, ιδιοζςναπηήζειρ και ιδιοηιμέρ Πώο βξίζθνπκε ηηο ζπληζηώζεο ηεο L ; Υπάξρνπλ δπν κέζνδνη: α) Με αιιαγή κεηαβιεηήο από θαξηεζηαλέο ζε ζθαηξηθέο: ˆ L ˆˆ ˆˆ p p i θαη αθνινύζσο κε αληηθαηάζηαζε ησλ θαξηεζηαλώλ ζπληεηαγκέλσλ, π.ρ β) Από ηνλ νξηζκό ηνπ αλύζκαηνο: ˆ L ˆ pˆ e e i e e e i si Φξεζηκνπνηώληαο ηα εμσηεξηθά γηλόκελα: e e e θαη e e e, παίξλνπκε: ˆ 1 L e e i si (1.36) 14

Τώξα κπνξνύκε λα βξνύκε ηηο θαξηεζηαλέο ζπληζηώζεο ηεο L, παίξλνληαο ην εζσηεξηθό γηλόκελν ηεο κε ηα κνλαδηαία αλύζκαηα e, e, e. Γηα παξάδεηγκα, ε L ππνινγίδεηαη σο εμήο: ˆL ˆ 1 e L e e e e i si i όπνπ ζην ηειεπηαίν βήκα ρξεζηκνπνηήζακε ην γεγνλόο όηη Με ηνλ ίδην αθξηβώο ηξόπν θαη ρξεζηκνπνηώληαο βγάδνπκε: e e cos si e e cos si θαη e e coscos ˆL si cot cos e L i ˆL cos cot si e L i (1.37) (1.38) Μπνξείηε εύθνια (κνινλόηη κε αξθεηή άιγεβξα) λα επηβεβαηώζεηε όηη νη (1.36), (1.37), (1.38) δίλνπλ: Παξαηεξνύκε όηη ε, ˆ ˆ ˆ 1 L L L cot si είλαη ηδηνζπλάξηεζε θαη ηνπ ηειεζηή ˆL : ˆL A P cos e i i Άξα ε, είλαη ε θπκαηνζπλάξηεζε ζσκαηηδίνπ κε νιηθή ζηξνθνξκή 1 θαη πξνβνιή ζηνλ άμνλα. Με ηελ επθαηξία, εδώ έρνπκε ηε δπλαηόηεηα λα απνδείμνπκε όηη : L L L L 1 (1.39) θαη εθόζνλ ν είλαη αθέξαηνο θαη ε (1.39) ηζρύεη γηα αιιά όρη γηα 1, ζπκπεξαίλνπκε. Οη ζπλαξηήζεηο, ηελ (1.37) ζηελ δελ είλαη θαη ηδηνζπλαξηήζεηο ησλ L ˆ ˆ,L. Ωο παξάδεηγκα, δξώληαο κε έρνπκε: 15

dp cos i ˆL, si e cot cos αριθμός, i d Γεληθά, νη ηειεζηέο πνπ αληηζηνηρνύλ ζηηο πξνβνιέο L ˆ ˆ, L θαη π.ρ. ˆ ˆ L,L 0 i ˆL δελ κεηαηίζεληαη κεηαμύ ηνπο: ˆ ˆ L,L si cot cos si cot cos i i si cot cos cos si cot si cot cos i i cos cot si L ˆ L ˆ,L ˆ ˆ i L i i i Με ηνλ ίδην ηξόπν ππνινγίδνπκε θαη ηνπο άιινπο δπν κεηαζέηεο: L ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ,L i L, L,L i L (1.40) Απνδεηθλύεηαη επίζεο (κε αξθεηή άιγεβξα) όηη L ˆ,Lˆ ˆ ˆ ˆ ˆ L,L, L,L 0 Από ηηο ζρέζεηο κεηάζεζεο ησλ ˆL i, ζπκπεξαίλνπκε όηη δελ κπνξνύκε λα κεηξήζνπκε ζπγρξόλσο πάλσ από κηα πξνβνιή ηεο ζηξνθνξκήο, θαη άξα δελ κπνξνύκε λα γλσξίδνπκε ην πιήξεο άλπζκα ηεο L. Μόλν ην κέγεζνο ηνπ αλύζκαηνο, θαη ην πνιύ κηα ζπληζηώζα, κπνξνύκε λα πξνζδηνξίζνπκε ζπγρξόλσο. 6. Εύπεζη πολςωνύμων Legede Υπάξρνπλ δπν ηξόπνη ππνινγηζκνύ ησλ πνιπσλύκσλ: α) Με εθαξκνγή ηνπ ηύπνπ (1.9). Ωο παξάδεηγκα, γηα ην P u έρνπκε: 3u 1 1 d 1 d 3 P u u 1 4u 4u! du 8 du β) Μέζσ ηεο δηαθνξηθήο εμίζσζεο (1.9). Ωο παξάδεηγκα, γηα ην P : P u a a u a u P u a a u 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 cos έρνπκε: d 3 a 1 a u a 1 u a u 3 a 0 a 1 u a u 0 du a a u 6a u 6a 6a u 6a u 0 4a u 6a a 0 a 0, a 3a 16

θαη άξα P u a 1 3u 1 όπνπ ε ζηαζεξά a, ππνινγίδεηαη από ηε ζρέζε θαλνληθνπνίεζεο (1.30). Μεξηθά πνιπώλπκα Legede P cos P u : 7. Η ζηποθοπμή ωρ γεννήηοπαρ ζηποθών. Οξίδνπκε ηνλ ηειεζηή ζηξνθήο θαηά Γηα κηθξό, 1 3 P0 u 1 P3 u 5u 3u 1 4 P1 u u P4 u 35 u 30 u 3 8 1 1 P u u P5 u u u u 8 5 3 3 1 63 70 15 ; γύξσ από ηνλ άμνλα, σο ˆR : ˆR ; f κεηαζρεκαηηζκόο, f f ˆR f f f f 1 f!... Όκσο, Lˆ Lˆ f f i i i ˆL θαη f f ˆ i ˆ 1 i R L L ˆ f f f f...! Δπνκέλσο, ν ηειεζηήο πνπ κεηαζρεκαηίδεη ηελ αληηζηνηρεί ζε ζηξνθή ησλ αμόλσλ θαηά i ˆ 1 i ˆ 1 L L... f! i ˆL ep f f όηαλ ε γσλία αιιάδεη από ζε, (πνπ ), δίδεηαη σο ˆR i ˆL e Γεληθόηεξα, γηα ζηξνθή θαηά γσλία γύξσ από ηνλ άμνλα πνπ δίλεηαη από ην κνλαδηαίν άλπζκα ˆ : ˆR i e ˆ ˆ L Αλ ν ρώξνο είλαη νκνγελήο, ηόηε πξνθαλώο όια ηα θπζηθά θαηλόκελα ζα είλαη αλαιινίσηα θάησ από ζηξνθέο ησλ αμόλσλ θαηά Rf ˆ, είλαη θπκαηνζπλάξηεζε. Καη επνκέλσο, θαη ε 17

R,H ˆ ˆ 0,Hˆ dl L 0 0 dt Παίξλνληαο ηηο ηδηνθαηαζηάζεηο ηεο Φακηιηνληαλήο, έζησ f,, ζα πξέπεη: ˆ * * H dv H θαη επνκέλσο, εθόζνλ R, Rˆ HR=H ˆ ˆ ˆ H,R ˆ ˆ 0. Καη όλησο, αλ V f κόλν, δειαδή ην δπλακηθό είλαη «αγλσζηηθό» σο πξνο,, Ĥ, L 0 Πίζσ ζηνλ D απιό αξκνληθό ηαιαλησηή: ˆ dv ˆ ˆp L Ĥ V, H H e e Δπαλεξρόκαζηε ηώξα ζηηο θαηαζηάζεηο κε νιηθή ελέξγεηα E, πνπ αληηζηνηρνύλ ζην 1, δει. 1. Όπσο έρνπκε ήδε δεη, ππάξρνπλ δπν ηέηνηεο ηδηνζπλαξηήζεηο ηεο Φακηιηνληαλήο: 1 0 1 0 0 1 0 1 1, 0:, H H e e 0, 1:, H H e e Φξεζηκνπνηώληαο ηε κνξθή ησλ πνιπσλύκσλ Heite, H0 c H1 θαη επνκέλσο 10 01, e e, e e Παίξλνληαο ηνλ εμήο γξακκηθό ζπλδπαζκό ησλ 10 θαη 01, Καη βιέπνπκε όηη νη 1, i 4 ie e sie e e 3 10 01 i 1 1, 1 είλαη θαηαζηάζεηο κε 1L θαη 1. Σεκεηώλνπκε όηη νη δελ είλαη ηδηνθαηαζηάζεηο ηνπ «άιινπ ηειεζηή». Η «άιιε» θπζηθή πνζόηεηα, είλαη ε ζηξνθνξκή, θαη αληηζηνηρεί ζε γξακκηθνύο ζπλδπαζκνύο πνπ δηαθνξνπνηνύλ ηελ εθθύιηζε:,,, a E E E 10 01 10 01 Βιέπνπκε εδώ όηη κνινλόηη ε Ĥ θαη ε ˆL κεηαηίζεληαη, νη ηδηνζπλαξηήζεηο ηεο Ĥ δελ είλαη αλαγθαζηηθά θαη ηδηνζπλαξηήζεηο ηεο ˆL. Απηό νθείιεηαη ζην γεγνλόο όηη ην ζεώξεκα ιέεη όηη 18

όηαλ δπν ηειεζηέο A,B ˆ ˆ 0, ηόηε ππάξρεη έλα ζύλνιν θνηλώλ ηδηνζπλαξηήζεσλ. Γελ είλαη, σζηόζν, όλοι νη δπλαηνί γξακκηθνί ζπλδπαζκνί ησλ ηδηνζπλαξηήζεσλ ηνπ Â θαη ηδηνζπλαξηήζεηο ηνπ ˆB (θαη ην αληίζεην). 19

8. Μαθημαηικό ζςμπλήπωμα 8.1 Λύζη ηηρ διαθοπικήρ εξίζωζηρ Legede Γηα 0 ε εμίζσζε είλαη Αλαπηύζζνπκε ζε ζεηξά: d du dp du 1 u P 0 (1.41) (1.4) 1 P u a u P u a u Αληηθαζηζηώληαο ζηελ (1.41): d du 1 1 au au au 0 1 a u a 1 u a u 0 1 a u 1 a u 0 a a 1 1 Δμεηάδνπκε αλ ζπγθιίλεη ε ζεηξά (θαη επνκέλσο θνηηάκε ηελ αθνινπζία): θαη επνκέλσο ε (1.4) δελ ζπγθιίλεη γηα a li a 1 1 u 1 cos 1 Δπνκέλσο ε (1.4) δελ ζπγθιίλεη, παξά κόλν αλ ε ζεηξά δελ είλαη άπεηξε, δειαδή αλ ηεξκαηίδεηαη. Απηό ζεκαίλεη όηη a γηα θάπνηα ηηκή ηνπ, έζησ 0 Άξα ππάξρεη αθέξαηνο ηέηνηνο ώζηε ηεο κνξθήο 1. Γηα 0, ε εμίζσζε είλαη 1. Δπνκέλσο ε εμίζσζε έρεη ιύζεηο κόλν γηα ι d dp du du 1u 1u P 0 (1.43) 0

Η (1.43) πξνθύπηεη από ηελ (1.41) κε δηαδνρηθέο παξαγσγίζεηο. Έηζη θαηαιήγνπκε ζηε κνξθή Η γεληθόηεξε ζπκπεξηθνξά ηεο 1 u P 1 P u u u d P u du εμάγεηαη σο εμήο: Δίλαη πξνθαλέο, όηη ιόγσ ηνπ παξάγνληα ζηνλ παξνλνκαζηή ηνπ δεύηεξνπ όξνπ, ε ζπκπεξηθνξά ηνπ αληίζηνηρε, δειαδή ζα πξέπεη λα κεδελίδεηαη: 1 u P u Puζα πξέπεη λα είλαη όπνπ κηα δύλακε πνπ πξέπεη λα ππνινγίζνπκε. Αληηθαζηζηώληαο ζηελ (1.43), παίξλνπκε d 1 1 1 u 1 u u 1 u 1 u 0 du Κάλνληαο ηηο πξάμεηο, θαηαιήγνπκε ζηελ εμίζσζε 1 u 4 u 0 Δθείλν πνπ καο ελδηαθέξεη είλαη ε ζπκπεξηθνξά ηεο γίλεηαη Άξα, ζην όξην u 1, ε όπνπ 4 0 Pu ζπκπεξηθέξεηαη σο 1 (1.44) Pu ζην όξην u 1. Δπνκέλσο ε (1.44) 1 u. Καη ε πιήξεο Pu γξάθεηαη σο P u u F u (1.45) Fu ζπλάξηεζε πνπ πξέπεη λα βξνύκε. Αληηθαζηζηώληαο ηελ (1.45) ζηελ (1.43), καο νδεγεί ζηελ εμήο έθθξαζε: 1 d F df u 1 1 F 0 du du (1.46) πνπ είλαη ε εμίζσζε Legede (1.7). Με αθξηβώο ηνλ ίδην ηξόπν, όπσο θαη ζηελ πεξίπησζε 0, κπνξνύκε λα δείμνπκε όηη ε (1.46) έρεη πεπεξαζκέλε ιύζε κόλν γηα εηδηθέο ηηκέο ηνπ πνπ δίδνληαη σο Θέηνληαο 1, παίξλνπκε ηελ ίδηα ιύζε δει. 1 8. Λαπλαζιανή ζε ζθαιπικέρ ζςνηεηαγμένερ θαη εθόζνλ 0. Φξεζηκνπνηνύκε απόδεημε δη επαγσγήο: γηα 1 κε κηα παξαγώγηζε δείρλνπκε όηη ηζρύεη γηα 1 είλαη εύθνιν. Αθνινύζσο, ζεσξνύκε όηη ηζρύεη γηα. 1, θαη

f f f f sicos sisi cos f f ηεξάζηηα δνπιεηά Αλη απηνύ, ρξεζηκνπνηώληαο ηνλ νξηζκό ηνπ αλαδέιηα, f e df γηα ds dse ds df f e e ds d f e f d df 1 f e e ds d f e f d df 1 f e e ds sid f e f sid si f f 1 f f,, e e e si Σηηο ζθαηξηθέο ζπληεηαγκέλεο: 1 1 si f, f, f Δίλαη ελδηαθέξνλ όηη νη ηξεηο απηνί ηειεζηέο δελ κεηαηίζεληαη: 1 f 1 f 1 f 1 f 1 f 1 f f, f f,,! f Δίλαη εύθνιν λα δείμνπκε όηη (όπσο θαη πεξηκέλακε). ˆ ˆp,L 0