Σχέδιο βαθμολόγησης-προσομοίωση Προσανατολισμού Γ Λυκείου - /7 ΣΧΕΔΙΟ ΒΑΘΜΟΛΟΓΗΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΑΒΒΑΤΟ, ΜΑΡΤΙΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
Σχέδιο βαθμολόγησης-προσομοίωση Προσανατολισμού Γ Λυκείου - /7 ΘΕΜΑ Α Α. i. Να διατυώσετε το θεώρημα των ενδιαμέσων τιμών και στη συνέχεια να το αοδείξετε ii. Να δώσετε ένα αράδειγμα σχεδιάζοντας ένα ρόχειρο σχήμα για μια συνεχή συνάρτηση f στο διάστημα α, β, η οοία δεν αίρνει υοχρεωτικά όλες τις ενδιάμεσες τιμές ανάμεσα στα f(α), f(β). Α. Να βρείτε το λάθος στον εόμενο συλλογισμό. Να αιτιολογήσετε την αάντησή σας. Comment [D]: Μ Comment [D]: 4Μ Comment [D3]: Μ Comment [D4]: Μ Comment [D5]: Μ Comment [D6]: Μ I= d - du=- du -I + u - - - + u +u (θέσαμε, οότε d ). u u Άρα I=-I, οότε I. Αυτό, όμως, είναι άτοο, αφού + για κάθε -,. I= d, εειδή - + Α3. Να χαρακτηρίσετε τις ροτάσεις ου ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίλα στο γράμμα ου αντιστοιχεί σε κάθε ρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η ρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η ρόταση είναι λανθασμένη. α) Αν,, f g h είναι τρεις συναρτήσεις και ορίζεται η hogof hogof και ισχύει hogof hog of., τότε ορίζεται και η β) Για κάθε συνάρτηση f ου είναι συνεχής στο [α, β], το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι [f(α), f(β)] ή [f(β), f(α)]. γ) Αν για κάθε συνάρτηση f και για ένα σημείο ισχύει: f() f( ) f() f( ) lim = lim + - του εδίου ορισμού της ου, τότε η f είναι αραγωγίσιμη στο. δ) Μια συνάρτηση f η οοία είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [ a, ] δεν έχει Comment [D7]: Μ Comment [D8]: Μ Comment [D9]: Μ Comment [D]: Μ ασύμτωτες.
Σχέδιο βαθμολόγησης-προσομοίωση Προσανατολισμού Γ Λυκείου - /7 β γ ε) Για όλες τις συνεχείς στο R συναρτήσεις με f()d= f()d α (α, β, γ R), α ισχύει β γ. Α4. Στο εόμενο σχήμα δίνεται η γραφική αράσταση της αραγώγου f μιας συνάρτησης f στο διάστημα [, ]. Ειλέξτε τη σωστή αάντηση: Comment [D]: Μ Comment [D]: 3Μ Το σημείο A, f() είναι:. θέση τοικού μέγιστου της f. θέση τοικού ελάχιστου της f 3. σημείο καμής της Cf ΕΡΩΤΗΜΑ Α Α Α3 Α4 ΜΟΝΑΔΕΣ Ι α β γ δ ε ιι ΣΥΝΟΛΑ ΓΕΝΙΚΟ ΣΥΝΟΛΟ ΘΕΜΑ Β Δίνεται η γραφική αράσταση της συνάρτησης f.
Σχέδιο βαθμολόγησης-προσομοίωση Προσανατολισμού Γ Λυκείου - /7 B. Να βρείτε το εδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της f. B. Να βρείτε, αν υάρχουν, τα αρακάτω όρια. α) δ) lim f() β) lim f() ε) 7 lim f() γ) 3 lim f() 9 lim f() 5 Για τα όρια ου δεν υάρχουν να αιτιολογήσετε την αάντησή σας. B3. Να βρείτε, αν υάρχουν, τα αρακάτω όρια. α) lim β) f() 6 Να αιτιολογήσετε την αάντησή σας. lim γ) lim f f() f() 8 B4. Να βρείτε τα σημεία στα οοία η f δεν είναι συνεχής. Να αιτιολογήσετε την αάντησή σας. B5. Να βρείτε τα σημεία του εδίου ορισμού της f για τα οοία ισχύει f ( ) =. Να αιτιολογήσετε την αάντησή σας. Comment [D3]: Μ Comment [D4]: Μ Comment [D5]: Μ Comment [D6]: Μ Comment [D7]: Μ Comment [D8]: Μ Comment [D9]: Μ Comment [D]: Comment [D]: Μ Comment [D]: Μ Comment [D3]: Μ Comment [D4]: 3=3 Comment [D5]: M Comment [D6]: m Comment [D7]: M Comment [D8]: M ΕΡΩΤΗΜΑ Β Β Β3 Β4 ΜΟΝΑΔΕΣ Ι α β γ δ ε ιι ΣΥΝΟΛΑ ΓΕΝΙΚΟ ΣΥΝΟΛΟ
Σχέδιο βαθμολόγησης-προσομοίωση Προσανατολισμού Γ Λυκείου - /7 ΘΕΜΑ Γ Γ. Θεωρούμε τη συνάρτηση g( ) e, [, ]. Εφαρμόζουμε το Θ. Bolzano για την g στο [, ] Η g είναι συνεχής στο [, ] (ως αοτέλεσμα ράξεων συνεχών συναρτήσεων στο [, ] ). g() g ( ) e Άρα υάρχει a(, ) τέτοιο, ώστε g( a) ea a. Η g είναι αραγωγίσιμη στο (, ) (ως αοτέλεσμα ράξεων αραγωγίσιμων συναρτήσεων στο (, ) ), με g ( ) e για κάθε (, ) και εειδή η g είναι συνεχής στο [, ] η g είναι γνησίως αύξουσα στο [, ], άρα και «-», δηλαδή η η g έχει μοναδική ρίζα την a. Γ. Η f είναι αραγωγίσιμη στο (ως αοτέλεσμα ράξεων αραγωγίσιμων συναρτήσεων στο ) με f ( ) e,. Άρα f ( ) g( ) και η g έχει μοναδική ρίζα την a. Έχουμε: a g( ) g( a) f ( ) a g( ) g( a) f ( ) Δηλαδή f ( ) για κάθε (, ) και εειδή η f είναι συνεχής στο (, ] είναι γνησίως φθίνουσα στο (, ]. Ακόμα f ( ) για κάθε ( a, ) και εειδή η f είναι συνεχής στο [, ) είναι γνησίως αύξουσα στο[, ). Εομένως η f αρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο, το f ( a) ea a (). Όμως έχουμε: Άρα η () δίνει: Άρα έχουμε: Γ3. Είναι: lim g( a) ea a ea a () f a e a ( ) a f ( ) f ( a) f ( ) για κάθε. και e e e lim lim. Comment [D9]: M Comment [D3]: M Comment [D3]:,5M Comment [D3]: O,5M Comment [D33]: M Comment [D34]: M Comment [D35]: M Comment [D36]: M Comment [D37]:,5M Comment [D38]:,5M Comment [D39]:,5M Comment [D4]:,5M Comment [D4]:,5M Comment [D4]:,5M Comment [D43]:,5M Comment [D44]: Ο,5Μ
Σχέδιο βαθμολόγησης-προσομοίωση Προσανατολισμού Γ Λυκείου - /7 Αν Δ,,, Είναι: f ( f ( με θα έχουμε: ) ) Εομένως:,, (εειδή η f γν. φθίνουσα στο Δ και γν. άυξουσα στο Δ ) (, ) και 7 6. Comment [D45]: M Comment [D46]: M 7 7 f (Δ ), άρα υάρχει (, a) τέτοιος, ώστε f (ρ ) και είναι 6 6 μοναδικός αφού η f, ως γνησίως φθίνουσα στο,είναι και «-». 7 7 f (Δ ), άρα υάρχει (, ) τέτοιος, ώστε f (ρ) και είναι 6 6 μοναδικός αφού η f, ως γνησίως αύξουσα στο, είναι και «-». Εομένως η f έχει δύο ακριβώς ρίζες, τις,. Comment [D47]: M Comment [D48]: M Γ4. Η σχέση ου θέλουμε να αοδείξουμε γράφεται διαδοχικά: f ( ) f ( ) f ( ) f ( 3) f ( ) f ( ) f ( 3) f ( ) f ( ) f ( ) f ( 3) f ( ) () ( ) ( 3) ( ) Εφαρμόζοντας το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού για την συνάρτηση f στα διαστήματα, και, 3, : Η f αραγωγίσιμη στα διαστήματα, και, 3, (ως αοτέλεσμα ράξεων αραγωγίσιμων συναρτήσεων στο). Άρα η f είναι και συνεχής στα διαστήματα αυτά. Εομένως υάχουν αντίστοιχα ξ (, ), (, 3) με: f ( ) f ( ) f (ξ ) ( ) και f f (ξ ) ( 3) f ( ) ( 3) ( ) Έτσι η ρος αόδειξη σχέση () γίνεται f (ξ ) f (ξ ), η οοία είναι αληθής αφού: ξ f (ξ ) f (ξ ), εειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο διότι f ( ) e για κάθε ( f συνεχής στο ). Γ5. Έχουμε ότι y( t) e( t) ( t) ( t), t (). Τα μέλη της σχέσης () είναι αραγωγίσιμες συναρτήσεις για κάθε t (ως ράξεις και σύνθεση αραγωγίσιμων συναρτήσεων για κάθε t ). Εομένως έχουμε: Comment [D49]: Μ Comment [D5]: Μ Comment [D5]: Μ (+) Comment [D5]: Μ Comment [D53]:,5Μ Comment [D54]:,5Μ
Σχέδιο βαθμολόγησης-προσομοίωση Προσανατολισμού Γ Λυκείου - /7 Άν t t y ( t) e( t) ( t) ( t) ( t) ( t) y ( t) ( t) e( t) ( t) (3) είναι η χρονική στιγμή ου το σημείο Μ διέρχεται αό το ( t ), ισχύει ( t ),. Η σχέση (3) για t t γίνεται: y t ( t ) e t t (4) ( ) ( ) ( ), τότει Ισχύει ακόμα ότι e ( t ) ( t ) ea a (5). Η σχέση (4), λόγω της σχέσης (5) γίνεται y ( t ) ( t ). Comment [D55]: Comment [D56]:,5Μ Comment [D57]:,5 Μ ΕΡΩΤΗΜΑ Γ Γ Γ3 Γ4 ΜΟΝΑΔΕΣ ΣΥΝΟΛΑ ΓΕΝΙΚΟ ΣΥΝΟΛΟ ΘΕΜΑ Δ Δ. i. Έχουμε διαδοχικά: f ' ( ) ' ' ' f ( ) ( f ( )) ( ) f ( ) c για έχουμε f () c cc άρα: f ( ) Comment [D58]: Μ Comment [D59]: Μ ii. f ( ). Η συνάρτηση f είναι αραγωγίσιμη στο, με f ' ( ),, και η f είναι συνεχής στο,, εομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο ισχύει: f f Δ. g( ). Αό το ερώτημα β) ισχύει:,,. Εχουμε:, και Comment [D6]: Μ Comment [D6]: Μ
Σχέδιο βαθμολόγησης-προσομοίωση Προσανατολισμού Γ Λυκείου - /7 αν, τότε, και ισχύει: για g Άρα g( ),,. Η συνάρτηση g είναι αραγωγίσιμη στο, (ως αοτέλεσμα ράξεων αραγωγίσιμων συναρτήσεων στο, ) με: ' g ( ) ' = αν, τότε και άρα g ( ) αν, τότε και άρα g ( ) για g () Άρα η g είναι γνησίως φθίνουσα στο, και γνησίως αύξουσα στο, Η g αρουσιάζει για = ολικό ελάχιστο το g()=. Comment [D6]: Μ (εξαγωγή αολύτου) Comment [D63]: Μ Comment [D64]: (,5Μ) Comment [D65]: (,5Μ) ος τρόος: ' g ( ) ' = ' g () αν, τότε, και, άρα g ( ) Άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο,,,.έστω με τότε: g g Άρα η g είναι γνησίως φθίνουσα στο, Η g αρουσιάζει για = ολικό ελάχιστο το g()=. g g
Σχέδιο βαθμολόγησης-προσομοίωση Προσανατολισμού Γ Λυκείου - /7 Δ3. i. g a g,, όου a, και a,, άρα υάρχει μοναδικό o, g o a ( γιατί η g είναι γνησίως αύξουσα στο, Το o, o είναι μοναδικό ) τέτοιο, ώστε και g o o o o g o Άρα το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης a ( γιατί η g είναι γνησίως φθίνουσα στο, ) g a, όταν a είναι : o o. Comment [D66]:,5 Μ Comment [D67]: Μ Comment [D68]: Μ Comment [D69]:,5Μ ii. Εειδή,, 3 οι θετικές ρίζες των εξισώσεων g, g, g 3 αντίστοιχα, έχουμε: g, g, g 3 3 Comment [D7]:,5Μ και είναι: 3 g( ) g( ) g( ) 3 3 Comment [D7]: Μ αό την εφαρμογή του Θ.Μ.Τ για την g στα ροϋοθέσεις διότι g αραγωγίσιμη στο, άρα και συνεχής σε αυτά) έχουμε:,,, 3 (αφού ληρούνται οι, εομένως και στα,,, 3 g g g,, g g 3 g 3,, 3 3 Προσθέτοντας τις ροηγούμενες σχέσεις κατά μέλη ροκύτει:, Comment [D7]: Μ Comment [D73]:,5Μ ' g 3 g Δ4. ln f ln i. ι. lim ln D. L. P lim D. L. P lim lim Comment [D74]: Μ Comment [D75]: Μ Comment [D76]: Μ
Σχέδιο βαθμολόγησης-προσομοίωση Προσανατολισμού Γ Λυκείου - /7 ος τρόος: ln ln f ln lim ln lim lim l ln D. L lim. H D. L. H lim lim lim D. L. H lim lim Άρα: ln f ln lim ii. Για (I) (αό το ερώτημα Δ ii) και (ΙΙ) για κάθε,. Άρα με ρόσθεση κατά μέλη έχουμε: (ΙΙΙ), για κάθε, Άρα οι γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων f, f τέμνονται μόνο στο σημείο Ο (,) (αφού f () f () ). Το εμβαδόν του χωρίου Ω ου ερικλείεται αό τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων f και f και την ευθεία για κάθε είναι (λόγω της σχέσης (ΙΙΙ) έχουμε, ): Comment [D77]:,5Μ Comment [D78]: Μ
Σχέδιο βαθμολόγησης-προσομοίωση Προσανατολισμού Γ Λυκείου - /7 ( ) f ( ) f () d d ( ) d d d d I I I d 3 3 d ( ) d ημ d I d d d ( ) Άρα: Ε(Ω)= 3.. () Comment [D79]:,5 Μ (Αναλογική κατανομή στα Ι,Ι,Ι3) Εναλλακτικά για το μοναδικό σημείο τομής έχουμε: Οι γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων f, f τέμνονται μόνο στο σημείο Ο (,) αφού : f ( ) f ( ) () Προφανώς για η () εαληθεύεται, δηλαδή οι f, f τέμνονται στο Ο (,). Θεωρούμε τη συνάρτηση ( ),, η οοία είναι αραγωγίσιμη στο διάστημα, (ως αοτέλεσμα ράξεων αραγωγίσιμων συναρτήσεων στο, ) με ( ) για κάθε, και εειδή η είναι συνεχής στο, θα είναι γνησίως αύξουσα στο,, άρα και «-» και εομένως η είναι η μοναδική ρίζα της (). Άρα οι f, f τέμνονται μόνο στο σημείο Ο (,). ΕΡΩΤΗΜΑ Δ Δ Δ3 Δ4 ΜΟΝΑΔΕΣ ι. ιι. ι. ιι. ι. ιι. ΣΥΝΟΛΑ ΓΕΝΙΚΟ ΣΥΝΟΛΟ ΣΥΝΟΛΙΚΟΣ ΒΑΘΜΟΣ:
Σχέδιο βαθμολόγησης-προσομοίωση Προσανατολισμού Γ Λυκείου - /7 Ειστημονική ειμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Ρουμελιώτης Αντώνης, Καθηγητής Μαθηματικών